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Traitement d’images : approche morphologique
Nikola Stikov
ELE6812
5 avril 2016
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 1 / 28
Position du problème
Position du problème
Objectifs générauxExtraction de primitives
régionscontourssquelettes
Utilisation de notions topologiquesvoisinagesconnexité
OutilsOpérations sur les ensembles4-connexité, 8-connexité, m-connexitéAdaptation des techniques de filtrage
réponse impulsionnelle ←→ élément structurantnotion de masqueopérations à définir
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 2 / 28
Position du problème
Plan
1 Position du problème
2 Images binairesOpérations élémentairesExemples d’algorithmes complexesReconstruction morphologique
3 Extensions aux images non binairesOpérations élémentairesExemples d’algorithmes complexesReconstruction morphologique
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 3 / 28
Images binaires Opérations élémentaires
Opérations morphologiques sur les images binaires
CadreImage binaire AÉlément structurant B dont l’origine est précisée
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Opérations unairesOpérations binaires
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Images binaires Opérations élémentaires
Opérations élémentaires
Opérations unaires
Symétrie BTranslation (B)z
Complément (B)c ou B
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Opérations binairesET (intersection)OU (union)
Différence : A− B4= A ∩ B
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Images binaires Opérations élémentaires
Érosion et dilatation
ÉrosionObjectif : suppression des parties de A dans lesquelles B « ne rentrepas »
Formalisation : A B4= {z |(B)z ⊆ A}
Dilatation
Objectif : suppression des parties de A dans lesquelles B « ne rentrepas »
Formalisation : A⊕ B4= {z |(B)z ∩ A 6= ∅}
RemarquesImportance de la forme de l’élément structurantRelations de dualité : A B = A⊕ B et A⊕ B = A BIllustration : voir démonstration demo_ed.m
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Images binaires Opérations élémentaires
Ouverture et fermeture (1)
DéfinitionsObjectif : lissage du contour de A
Ouverture : A ◦ B4= (A B)⊕ B
Fermeture : A • B4= (A⊕ B) B
Propriétés(A ◦ B) ◦ B = A ◦ B(A • B) • B = A • B
InterprétationOuverture : suppression des parties fines et lissage des angles aigus deAFermeture : opération identique sur A
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 7 / 28
Images binaires Opérations élémentaires
Ouverture et fermeture (2)
Illustration
Ouverturec©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
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Images binaires Opérations élémentaires
Ouverture et fermeture (2)
Illustration
Fermeturec©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
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Images binaires Opérations élémentaires
Ouverture et fermeture (3)
Illustrations
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Voir démonstration demo_of.m
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 9 / 28
Images binaires Opérations élémentaires
Transformation Hit-or-Miss
DéfinitionObjectif : détection d’une forme précise D dans une image
Définition : A ~ D4= (A D) ∩
[A (W − D)
]W : arrière-plan de D
Illustration
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 10 / 28
Images binaires Opérations élémentaires
Transformation Hit-or-Miss
DéfinitionObjectif : détection d’une forme précise D dans une image
Définition : A ~ D4= (A D) ∩
[A (W − D)
]W : arrière-plan de D
Illustration
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 10 / 28
Images binaires Opérations élémentaires
Transformation Hit-or-Miss
DéfinitionObjectif : détection d’une forme précise D dans une image
Définition : A ~ D4= (A D) ∩
[A (W − D)
]W : arrière-plan de D
Illustration
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 10 / 28
Images binaires Exemples d’algorithmes complexes
Extraction de frontières
Définition
β(A)4= A− (A B)
Importance de la forme l’élément structurant
IllustrationVoir démonstration demo_frontiere.m
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 11 / 28
Images binaires Exemples d’algorithmes complexes
Comblement de trous et extraction de composantesconnexes
ApprocheProcédure itérative de croissance (dilatation)Nécessité d’un point initialNécessité d’un facteur limitant la croissance
FormalisationComblement de trous : Xk = (Xk−1 ⊕ B) ∩ AExtraction de composantes connexes : Xk = (Xk−1 ⊕ B) ∩ AB : symétrique ; détermine le type de connexité
IllustrationVoir démonstration demo_trou.m
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 12 / 28
Images binaires Exemples d’algorithmes complexes
Amincissement et épaississement
ApprocheRognage ou épaississement directionnel le long des frontières de AApplication récurrente des opérateurs correspondants
Amincissement : A⊗ B4= A− (A ~ B)
Épaississement : A� B4= A ∪ (A ~ B)
Répétition des opérations en appliquant une rotation à l’élémentstructurantCritère d’arrêt : stabilité du résultat
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 13 / 28
Images binaires Exemples d’algorithmes complexes
Extraction de squelette
ApprocheÉrosions successivesConservation des points éliminés par ouverture à chaque étapeFormalisation
S(A) =⋃k
Sk(A)
Sk(A) = (A kB)− (A kB) ◦ B
IllustrationVoir démonstration demo_sq.m
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 14 / 28
Images binaires Exemples d’algorithmes complexes
Élagage
ApprocheObjectif : élimination de détails parasitesDémarche : séquence d’opérations
amincissementdétection des extrémitésdilatation conditionnelle à Afusion de la structure amincie et de la dilatation des extrémités
IllustrationVoir démonstration demo_sq.m
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 15 / 28
Images binaires Reconstruction morphologique
Érosion et dilatation géodésiques (1)
Approchemasque Gmarqueur Fdilatation par Bérosion par B
Formalisation
Dilatation : DG (F )4= (F ⊕ B) ∩ G
Érosion : EG (F )4= (F B) ∪ G
Possibilité d’itérer les opérationsB : élément structurant symétrique
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 16 / 28
Images binaires Reconstruction morphologique
Érosion et dilatation géodésiques (2)
Illustration
Dilatation géodésiquec©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 17 / 28
Images binaires Reconstruction morphologique
Érosion et dilatation géodésiques (2)
Illustration
Érosion géodésiquec©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 17 / 28
Images binaires Reconstruction morphologique
Reconstruction par dilatation et érosion
ApprocheItération de la dilatation ou de l’érosion géodésiques jusqu’à stabilitéde la solution
Exemple d’applicationOuverture par reconstructionComblement de trousNettoyage de frontières
IllustrationVoir démonstration demo_morphrecon.m
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 18 / 28
Images binaires Reconstruction morphologique
Ouverture par reconstruction
Illustration
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 19 / 28
Extensions aux images non binaires Opérations élémentaires
Opérations morphologiques sur les images non binaires
CadreImage f (x , y)
Élément structurant b(x , y) uniforme ou non
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Extension des opérations élémentaires
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 20 / 28
Extensions aux images non binaires Opérations élémentaires
Opérations élémentaires (1)
Opérations unaires et binairesSymétrie et translation : pas de changementOpérations sur les ensembles : à remplacer
Exemple : complément f (x , y)4= −f (x , y) ou 1− f (x , y)
Érosion et dilatationÉlément structurant binaire (Flat SE)
Érosion : [f b](x , y)4= min(s,t)∈b{f (x + s, y + t)}
Dilatation : [f ⊕ b](x , y)4= max(s,t)∈b{f (x − s, y − t)}
Relations de dualité identiques à celles du cas binaire
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 21 / 28
Extensions aux images non binaires Opérations élémentaires
Opérations élémentaires (2)
Illustration
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 22 / 28
Extensions aux images non binaires Opérations élémentaires
Ouverture et fermeture (1)
Définitions et propriétésIdentiques à celles du cas binaire
Ouverture : f ◦ b4= (f b)⊕ b
Fermeture : f • b4= (f ⊕ b) b
(f ◦ b) ◦ b = f ◦ b(f • b) • b = f • bRelations de dualité identiques à celles du cas binaire
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 23 / 28
Extensions aux images non binaires Opérations élémentaires
Ouverture et fermeture (2)
Interprétation
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 24 / 28
Extensions aux images non binaires Opérations élémentaires
Ouverture et fermeture (3)
Illustration
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 25 / 28
Extensions aux images non binaires Exemples d’algorithmes complexes
Lissage, gradient, Top-hat
ApprocheCombinaison d’opérations élémentaires pour effectuer une opérationparticulièreLissage morphologique : g = (f ◦ b) • bGradient morphologique : g = (f ⊕ b)− (f b)
Illustrations : voir manuel, paragraphe 9.6.3
Top-hatObjectif : sélection de petits objets présentant un contraste avec lereste de l’image
Objets plus clairs que l’arrière plan : That4= f − (f ◦ b)
Objets plus foncés que l’arrière plan : Bhat4= (f • b)− f
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 26 / 28
Extensions aux images non binaires Exemples d’algorithmes complexes
Top-hat
Illustration
c©1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Autres applications : granulométrie, segmentation...Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 27 / 28
Extensions aux images non binaires Reconstruction morphologique
Reconstruction morphologique
ApprocheObjectifs identiques à ceux du cas binaireIntersection et union remplacés respectivement par minimum (∧) etmaximum (∨) pixel par pixel
Formalisation
Dilatation : Dg (f )4= (f ⊕ b) ∧ g ; f ≤ g
Érosion : Eg (f )4= (f b) ∨ g ; f ≥ g
Possibilité d’itérer les opérations
Exemples d’applicationOuverture par reconstruction : reconstruction par dilatationgéodésique d’une image érodée n foisOpération duale : fermeture par reconstruction
Nikola Stikov (ELE6812) Morphologie mathématique 5 avril 2016 28 / 28