Enseigner en intégrant l’outil informatique. L’exemple des mathématiques.

Olivier Leguay Octobre 2009

L’introduction de ce que l’on appelle les TIC (Technologies de l’Information et de la Communication)

dans l’Enseignement (ce qui donne le E à TICE) fait débat à juste titre. Est-ce une avancée ou un effet

de mode ? Comment appréhender ce vaste monde en termes pédagogiques ? Si le sujet alimente les

débats de toutes sortes, les positions sont encore plus marquées lorsqu’il s’agit de mettre l’un à coté

de l’autre ces outils numériques et les mathématiques, alors que la filiation pourrait sembler

naturelle puisque ce sont les mathématiciens qui ont accouché de la pensée numérique et

algorithmique, il y a fort longtemps de ça. Les physiciens ont permis, quant à eux, l’implémentation

des codes dans ce qu’il est aujourd’hui commun d’appeler un ordinateur.

Avant de présenter notre pensée, peut-être est-il intéressant de faire un tour d’horizon historique et

de dresser un état des lieux actuels sur la question de l’algorithmique (squelette d’un programme) et

de l’utilisation d’outils numériques (logiciels installés et applications en ligne).

L’algorithmique est une science très ancienne prenant certainement racine aux origines de la pensée

humaine. Sa présence aux quatre coins du globe est aussi une preuve de l’universalité de cette

forme de pensée. On en retrouvera par exemple des traces en Chine dans les Neufs Chapitres

étudiés par Karine Chemla.

Au fur et à mesure des avancées dans le domaine des mathématiques, les hommes perfectionnèrent

les procédures, les méthodes. Ils les optimisèrent. L’étymologie du mot « Algorithme » provient du

VIIIème siècle par déformation du nom du mathématicien persan Mohammed ibn Musa Al

Khwarizmi. De l’algorithme dit de Babylone permettant le calcul approché des racines carrées avec

une précision remarquable, aux récents algorithmes de traitement d’images, nous pouvons passer

en revue 5500 ans d’histoire de l’humanité, comme le fait Jacques Bretin dans un diaporama mêlant

repères historiques et utilisation de Scratch.

L’algorithmique dépasse de loin le seul cadre des mathématiques pour s’ouvrir vers les domaines les

plus divers. Faire une recherche dans un dictionnaire ou trier des objets relèvent aussi de

l’algorithmique, alors qu’est-ce qu’un algorithme ?

C'est un concept pratique, qui traduit la notion intuitive de procédé systématique, applicable

mécaniquement, sans réfléchir, en suivant simplement un mode d'emploi précis.

Et puis un jour, il y eu ces mathématiciens géniaux qui eurent l’idée d’utiliser quelques règles, les plus

élémentaires et de les utiliser pour définir et automatiser des calculs. L’idée de l’ordinateur était là, elle

fut mise en évidence par Türing et sa machine, il ne restait plus qu’à le construire. L’ordinateur deviendra

l’objet de la seconde moitié du XXème siècle et ses utilisations possibles « l’objet » du XXIème que

l’humanité devra inventer. L’ordinateur se fond aujourd’hui déjà, dans le web et ses outils collaboratifs.

L’origine des technologies de l’information remonte à la Préhistoire. Calcul, écriture et

informatique sont de la même nature. Les « vrais » concepts traversent les millénaires. La

notion de langage fait partie de ceux-ci.

Ainsi, le futur se caractérise par la « disparition » de l’ordinateur mais l’apparition de

nouveaux langages et écritures informatiques, multiples et surtout adaptés au métier de

l’utilisateur. Les hommes préhistoriques dessinaient sur les parois. On fera de même, et à

plusieurs ; voire tous ensemble. Aujourd’hui, c’est déjà un peu demain. Nous sommes tous

des scribes. Et c’est très bien ainsi. Chroniques informatiques : des hiéroglyphes aux

écritures informatiques.

Voilà donc planté de façon assez rapide le décor et l’ambivalence de l’usage des TICE en

mathématiques relevant aussi bien de la démonstration que du langage, de l’interne que de

l’externe, de l’apprivoisé que du sauvage, du passé comme du futur, source de vérité ou

d’égarement.

Alors les débats font rage suivant que l’objet numérique est présenté comme interne ou externe,

représentant la tradition ou la modernité, base de la pensée humaine ou enfermement de celle-ci.

On peut trouver trouver dans les discours liés à l’enseignement des positions diamétralement

opposées.

L’une affirme la quasi inanité du recours au TICE dans un enseignement des mathématiques, ce serait

par exemple celle du virulent Rudolph Bkouche. L’autre position, diamétralement opposée, serait

celle de Gilles Jobin dans Technolâtrie, reflétant celle de Seymour Papert dans son livre Le

jaillissement de l’esprit, affirmant au contraire que la pensée algorithmique et aujourd’hui

l’utilisation des ordinateurs sont à la base de l’épanouissement humain et de l’apprentissage.

Pour ma part j’ai une position différente. Si je suis peu convaincu de la pérennité dans le futur, de la

position tranchée de Monsieur Bkouche avec l’invasion logicielle et applicative qui nous entoure, il

est cependant notable de remarquer que toute tentative d’enseignement d’un contenu donné

utilisant un outil, en particulier informatique, se transforme vite, une fois institutionnalisé, en

apprentissage dudit outil dans lequel le contenu passe au second plan, ou est tellement transformé

qu’il ne ressemble en rien à l’objet initial. On ne peut donc pas faire l’économie de ce constat

quelque peu dramatique lorsque l’on pense à l’utilisation de tout outil, en particulier informatique, à

des fins d’apprentissage. Par suite, dans le cas où l’outil n’est pas explicitement ciblé, l’évaluation est

rendue impossible ou vraiment minimale.

D’un autre coté, malgré certaines vertus que l’on peut accorder à la pédagogie constructiviste dont

l’utilisation de l’ordinateur permet une mise en œuvre plus aisée, je ne pense pas qu’elle s’applique

de façon inconditionnelle à tous les concepts, en particulier des mathématiques. Il faut donc, selon

moi, utiliser l’outil informatique avec beaucoup de circonspection étant donné la proximité, voir la

fusion, et donc la confusion, de ce que l’on étudie avec ce qui en permet l’étude (machines à

calculer, logiciels).

Par exemple, la notion de nombre dans la calculatrice est très complexe (elle l’est déjà sans la

calculatrice !) et les pièges sont souvent au rendez-vous. La couche logicielle forme une abstraction

supplémentaire même si elle permet parfois d’atteindre des objectifs qui ne pourraient l’être sans. Si

l’on peut constater l’évolution des outils, avec par exemple l’écriture formelle des nombres dans les

calculatrices, cela va de pair avec la complexification de ces mêmes outils. On peut faire la même

remarque sur la (con)fusion entre l’objet d’étude mathématique et sa représentation avec le logiciel

qui permet sa visualisation. Utiliser un logiciel, une calculatrice, c’est utiliser un outil donc pouvoir

aller plus loin, modifier le regard. C’est aussi prendre un risque qui doit être clairement identifié et

circonscrit. Il me semble que le rôle de l’enseignant est majeur dans ce « jeu » où les règles sont

cachées-découvertes, et c’était la raison principale pour laquelle j’étais partisan d’un apprentissage

encadré par un professeur, de mathématiques médiatisées par une couche logicielle. La non

évaluation rendant toute tentative d’institutionnalisation caduque, l’épreuve pratique de

mathématique du baccalauréat me semblait une bonne expérience de contact.

Je me dissocie de l’idée selon laquelle, sous couvert, de pureté de la méthode, de fidélité à la

tradition, les outils numériques et informatiques ne doivent pas pénétrer dans nos salles de cours,

tout comme aussi je ne crois pas à l’utilisation inconditionnelle de ces mêmes outils comme origine

de la construction d’un savoir qui se répandrait sur plus d’élèves et plus facilement que des

méthodes plus traditionnelles.

Je suis cependant porté à croire que l’informatique et son utilisation au travers des applications et

des logiciels, modifie profondément la façon de penser, de percevoir le monde physique et celui des

connaissances. On ne peut pas limiter le phénomène à la croyance d’une simple transposition du

papier vers un format numérique. Les objets manipulés sont profondément en train de changer de

nature et il sera bientôt impossible de les traiter, de les représenter et de les visualiser autrement

que par l’intermédiaire de couches logicielles. Il me semble donc très important de concevoir et

d’intégrer ce point de vue dans des pratiques d’enseignement. L’occasionalisme linguistique de

Bacon se généralise ici avec les TIC et l’enseignement ne peut pas en faire l’économie si dans quelque

temps, on veut encore enseigner « quelque chose » faisant sens, ce quelque chose se trouvant être

modifié en profondeur par sa simple numérisation. A chaque contact entre l’homme et la machine,

ou l’homme et l’homme, va maintenant correspondre une sorte de pacte communicationnel.

L’homme sera de plus en plus proche des formes numériques qu’il aura personnalisées à loisir, les

contacts avec ses pairs seront en rapport étroit avec ceux qu’il aura tissés dans le monde numérique.

Pour beaucoup la vision primaire sera celle provenant de la forme numérique et sera ensuite

transposée dans le monde réel. Un nouveau paradigme communicationnel se met en place, inversant

le rapport entre les hommes et les objets de pensée. La virtualisation numérique devient concrète

pour beaucoup et la réalité devient souvent une projection de cette médiation virtuelle dans le Réel.

Les repères du monde numérique seront pour tous ceux qui en ont l’accès, les premiers repères et

non des repères secondaires, alors que ceux qui peineront à accéder à ce monde se verront relégués.

Il est à noter que les choses vont aller très vite car les exclus de l’informatique vont s’y trouver

projetés via les nouveaux appareils de téléphonie mobile. Les deux mondes vont converger pour ne

faire qu’un monde unique, celui de la communication synchrone et asynchrone. L’utilisation d’un

moteur de recherche ne sera plus liée à un ordinateur et il sera tout à fait possible de comparer les

superficies de la Chine et de la France lors d’un diner entre amis dès lors que l’on aura un téléphone

portable! La position de l’école va certainement être de plus en plus difficile à tenir dès lors que l’on

y percevra trop clairement qu’il ne s’agit plus d’un lieu d’acquisition de connaissances, qui sont

maintenant disponibles partout ou presque, mais d’un bras armé de la sélection par l’intermédiaire

des connaissances, ce qui en fera la ruine de sa forme généralisée actuelle et sonnera la fin d’une

certaine vision de l’idéal républicain que l’on a placé pendant très longtemps du coté du religieux.

La personne en situation d’apprentissage, se trouve aujourd’hui la plupart du temps baignée dans un

champ communicationnel et informatif, rendant le contact des objets numériques et leur

manipulation obligatoires. Extraire de ce champ dans l’enseignement, c’est aussi prendre le risque

que l’apprenant ne soit plus en mesure de reconnaître facilement les objets qu’on lui fait manipuler

tant leur nature sera différente de ce qu’il aura l’habitude de percevoir. Cette distance peut créer

une abstraction, elle-même artificielle, entre l’objet de savoir et l’apprenant. A chaque échange

communicationnel se réactualise le pacte linguistique que nous généraliserons à tous les objets de

communication qu’ils soient technologiques ou non. L’établissement de ce pacte demandera de

déployer d’autant plus d’énergie que les formes d’apprentissages seront lointaines de la forme

naturelle d’échange de l’apprenant. Jusqu’à maintenant on trouvait l’écueil culturel, s’y ajoutera

demain l’écueil formel. Extraire artificiellement de ce champ les situations d’apprentissage est du

même ordre d’idée, de mon point de vue, que d’interdire de prendre des notes écrites alors que le

papier et le crayon sont généralisés.

L’éloignement artificiel entre l’apprenant et l’objet d’apprentissage, par non médiation ou

présentation numérique, va devenir un obstacle, encore mineur aujourd’hui mais qui croit

inéluctablement. On peut s’imaginer que la trop grande proximité créera aussi des inconvénients

majeurs, liés à la fusion, et permettant donc la confusion, entre l’objet d’étude et sa représentation.

«Ceci n’est pas une pipe ! ».

Les TIC procèdent du langage, de la représentation des choses et en ce sens, ils sont incontournables

dans tout phénomène communicationnel post-moderne. Ils sont les médias d’une nouvelle

symbolique comme l’ont été et le sont toujours la voix, le texte écrit et l’image. Le pacte linguistique

de Bacon est généralisé et décuplé avec l’outil informatique, de synchrone, il devient aussi

asynchrone et chacun va de plus en plus s’attendre à être en contact instantanément avec les

représentations du monde qui lui sont coutumières, à les trouver chez l’Autre, technologique ou non.

Je ne crois donc pas qu’un éloignement de Google soit plus bénéfique qu’une trop grande proximité.

Les TIC doivent être non pas intégrés dans l’enseignement mais tout simplement être considérées

comme la cause et le symptôme d’une mutation profonde de la représentation des objets de pensée

de l’humanité, ou plus raisonnablement de la partie de l’humanité qui y a l’accès. De ce fait, ils

doivent être considérés comme support et porteurs de sens, sur lesquels s’appuient de nouvelles

formes de représentations du monde et donc de penser le monde.

Il faudra bien que l’on trouve les arguments, dans quelques années afin de répondre pourquoi nous

allons demander de régurgiter à des millions d’élèves ce qui est disponible immédiatement en ligne.

Il faudra bien que l’on explique assez rapidement aux élèves pourquoi on leur interdit d’utiliser des

téléphones portables dont la partie « téléphone » deviendra certainement mineure, outils

permettant un accès à une connaissance quasi généralisée. Il faudra aussi que l’on explique aux

élèves pourquoi ce qu’on leur montre en classe ne se trouvera pas directement disponible en ligne

juste après les cours afin qu’ils puissent le consulter dans le bus. Il faudra aussi qu’on explique

pourquoi recopier une partie d’un article wiki est une faute alors que celui-ci est juste, et qu’il est mis

à disposition pour et par la communauté et prévu à cet usage. Pourquoi est-ce que l’accès à tout le

potentiel informatif et de transformation de l’information n’est pas accessible partout dans le temple

du savoir ? Pourquoi, par exemple, pour factoriser ou développer une expression, il ne sera pas

possible d’utiliser instantanément les moyens proposés par la communauté mondiale ?

Pour résumer ma pensée, les TIC relèvent de la communication et à ce titre, ils activent la notion de

pacte linguistique de Bacon. Ils relèvent d’un nouveau rapport au savoir en modifiant profondément

d’une part son accessibilité et d’autre part la nature de ces objets de connaissance. La réduction

constructiviste des TICE à la formation du savoir est incomplète tout comme l’est l’idéologie voulant

à tout prix limiter leur usage. Les TICE devront donc régner au même titre que le papier, le crayon, la

voix, et l’image.

L’utilisation des TICE en mathématiques n’est qu’une application de ce que je viens d’expliquer plus

haut et les problèmes associés doivent être distingués entre ceux qui relèvent de la pratique à

l’intérieur de la discipline et ceux qui relèvent de la modification des objets de connaissance et de la

communication qui s’articule autour d’eux.

L’introduction de l’algorithmique en seconde nous amène à proposer d’écrire des algorithmes. On

peut se contenter de les écrire en langage naturel. On peut aussi les écrire en langage de la

calculatrice. Chacun se retrouve face à son petit écran ne sachant guère où se trouve telle ou telle

commande et de demander au professeur « Comment est-ce que l’on fait ça ?». Il n’est pas

impossible que dans quelques années, le recours à une communauté en ligne ne soit pas une

demande incontournable de la part des jeunes qui auront déjà trouvé l’assistance dont ils avaient

besoin sur tel ou tel forum. Par exemple, Scratch offre cette communauté, et bien fort celui qui

pourra dire qui l’emportera en termes d’argumentaire, de la communauté d’utilisateurs ou de

l’application. Certainement qu’elles ne pourront exister l’une sans l’autre.

Geogebra est un logiciel de géométrie dynamique qui permet de tracer des figures complexes,

d’énoncer des conjectures, de réaliser des calculs de façon exacte. Il permet aussi à l’enseignant de

présenter des animations en cours, de réaliser des figures précises et animées tant dans la partie

analyse que géométrie. Il est possible aujourd’hui pour une personne de bon niveau en informatique

(ce que je ne suis pas) de mettre en ligne des animations Geogebra, c’est l’exemple du site ABCmaths

de Guy Marion ou de celui de Daniel Mentrard avec plus de 3000 animations Geogebra.

Si aujourd’hui, il faut disposer d’un site pour héberger et faire fonctionner ces animations, j’imagine

que demain ces animations pourront être transportées sur n’importe quel blog et que Geogebra (ou

une autre application) bénéficiera d’une communauté d’utilisateurs en ligne. Le logiciel ne sera donc

plus essentiellement dans les mains des spécialistes et de leur communauté, mais se diffusera avec

une accessibilité accrue au sein d’une communauté élargie d’utilisateurs-apprenants qui pourront

produire aussi du contenu et donc se l’approprier plus facilement. Si aujourd’hui, vidéo-projeter en

classe une animation Geogebra que l’on a placé en ligne peut relever du parcours du combattant

pour l’enseignant, il est tout à fait possible que dans un avenir très proche les utilisateurs non-

experts puissent s’approprier la technologie, créent une communauté autour d’elle et demandent à

ce qu’elle soit utilisée régulièrement en classe, produisant ainsi une inversion paradigmatique dans

l’enseignement. Il y a aussi fort à parier que l’écriture des mathématiques sur un support numérique

va se trouver de plus en plus facilitée, comme le montre cet exemple donné par Microsoft lui même

sur l’utilisation de Windows 7 avec un Tablet PC.

Une question pertinente que l’on peut se poser est de savoir si une communauté d’utilisateurs, dont

il est certain que celle-ci contiendra des experts, peut être plus efficace que le seul contact avec un

enseignant auquel cas l’idéologie constructiviste a de beaux jours devant elle et demandera une

refonte complète des processus d’enseignement qui devra être au moins aussi rapide que la création

de ces communautés et l’obtention de leur masse critique en dessous de laquelle elles ne seront

guère viables.

Réduire l’utilisation des TICE dans telle ou telle discipline à un simple patch pédagogique me semble

relever de l’incompréhension profonde de la société en mutation vis-à-vis de ces outils, société qui

d’ailleurs peut se les approprier à une vitesse vertigineuse comme le montrent la fréquentation des

réseaux sociaux et des messageries instantanées dont nous ne sommes qu’au début d’une

complexification croissante et l’apparition de possibilités décuplées. En mathématiques, la distinction

précise entre ce qui est interne à la discipline et ce qui relève de la communication et de la nouvelle

représentation des objets de savoir doit être clairement réalisée. Il me semble de plus, impossible

d’énoncer un point de vue sur ce sujet, qui dépasse totalement les disciplines scolaires et d’ailleurs

l’école en général, sans se confronter soi-même pendant de longues heures à l’utilisation de ces

outils et à leur compréhension interne.