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Cours de mathmatiques

Thomas Rey

classe de Terminale ES

Table des matires

1 quations de droites. Second degr 71.1 quation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Polynme du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Rsolution dune quation du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Interprtation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Inquation du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Factorisation dun trinme du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Fonction. Continuit 132.1 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Oprations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.3 Fonction compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Thormes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Limite dune somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Limite dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Limite dun quotient f

g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Formes indtermines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Cas des fonctions polynmes ou rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Cas des fonctions composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Thormes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Approche graphique de la continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Notion intuitive de la continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.4 Partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.5 Proprit des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Variations dune fonction. Drivation 233.1 Variations et oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Produit par un rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3 Variations dune fonction compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.1 Thorme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Quelques formules de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.4 Un exemple : fonction de cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.5 Drive dune fonction compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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4 TABLE DES MATIRES

3.3 Complment : asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.1 Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2 Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.3 Asymptote oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Probabilits conditionnelles 294.1 Distribution de frquences. Loi de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Introduction. Premires dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 Distribution de frquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3 Loi de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.4 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.5 quiprobabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Quelques exemples de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Intersection. Runion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.1 vnement. vnement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.2 Intersection. Runion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4.2 Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.3 Arbres pondrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Indpendance. Formule des probabilits totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5.1 Indpendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5.2 Formule des probabilits totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6 Expriences indpendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Un problme type bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Primitives 395.1 Primitives dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.2 Ensemble des primitives dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.3 Primitive avec condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.1 Primitives de f + g et de f pour rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.2 Primitives de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.3 Autres formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Notion dintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.3 criture de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Logarithme nprien 456.1 La fonction logarithme nprien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.1 La fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.2 Premires consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.3 tude du signe de ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.1.4 Fonction compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 Proprits algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.1 logarithme dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.2 logarithme dun inverse, dun quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


TABLE DES MATIRES 5

6.2.3 logarithme dune puissance, dune racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3 tude de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3.1 tude des limites en + et en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3.2 Courbe reprsentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3.3 Quelques limites connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3.4 quation ln x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.4 tude dune fonction compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4.1 Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4.2 Primitive de u

u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7 Fonction exponentielle 537.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.1.2 Premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.1.3 Courbe reprsentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.2 Proprits algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.3 tude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3.1 Limites en + et en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.3.2 Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.3.3 Variations et courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.3.4 Quelques limites connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.4 tude dune fonction compose eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.4.1 Drive. Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.4.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.4.3 Exemple dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Lois de probabilit 598.1 Lois de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.1.1 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.1.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.1.3 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.2 Esprance et variance dune loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9 Exponentielle de base a. Croissances compares 639.1 Fonction exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.1.2 Racine ne dun rel strictement positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.1.3 Fonction x 7 ax avec a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.2 Croissances compares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10 Calcul intgral 6710.1 Intgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.2 Aire sous une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.3 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.4 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


6 TABLE DES MATIRES

11 Sries statistiques deux variables 7111.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.1.1 Paramtre de position : la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7111.1.2 Paramtres de dispersion : variance et cart-type . . . . . . . . . . . . . 71

11.2 Srie statistique deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211.2.1 Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211.2.2 Ajustement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.2.3 Ajustement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.3 Adquation une loi quirpartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


Chapitre 1

quations de droites. Second degr

1.1 quation de droite

Dans un repre (O;~i,~j), une droite d a une quation du type ax + by + c = 0. Cela signifieque si un point A appartient la droite d, alors les coordonnes de A vrifient lquation de ladroite ; rciproquement, si un point B a ses coordonnes qui vrifient lquation de la droite d,alors B appartient la droite d.

Remarque 1.1Une mme droite a plusieurs quations : si d a pour quation ax + by + c = 0, alors quelquesoit k R, (ka)x + (kb)y + (kc) = 0 est aussi une quation de d.Si c 6= 0, (cest dire si d ne passe pas par lorigine du repre) on peut donc toujours trouverune quation de d sous la forme ax + by + 1 = 0.

Remarque 1.2Si la droite d nest pas parallle laxe des ordonnes, alors elle admet une quation du typey = mx + p. Cette quation est appele quation rduite de d

Exemple 1.1Soit d la droite dquation 2x + y 5 = 0. Pour tracer cette droite dans le repre (O;~i,~j) : on dtermine deux points A et B dont les coordonnes vrifient lquation. Par exemple, en

choisissant1 xA = 2, on obtient : 4 + y 5 = 0 soit y = 1. Donc le point A(2; 1) d. Demme, en prenant xB = 0, on obtient yB = 5 donc le point B(0; 5) d.

on place les deux points dans le repre et on trace la droite (AB) : cest la droite d.Pour dterminer lquation de la droite (EF ) o E(3; 1

2) et F (2;2) :

(EF ) nest pas parallle laxe des ordonnes donc elle admet une quation du type y = mx + p.

En remplaant par les coordonnes de E puis de F , on obtient le systme :{

12= 3m + p

2 =2m + p En rsolvant on obtient : m = 1

2et p = 1. La droite (EF ) a donc pour quation y = 1

2x 1.

1On aurait pu choisir nimporte quelle autre valeur de xA.


8 quations de droites. Second degr

O

A

B

E

F

1.2 Polynme du second degrDfinition 1.1On appelle polynme du second degr de coefficients a, b et c la fonction f dfinie par :

f(x) = ax2 + bx + c, o a R, b R, c R

1.2.1 Rsolution dune quation du second degrDfinition 1.2Une quation du second degr une inconnue x est une quation qui peut scrire sous la formeax2 + bx + c = 0, avec a, b et c trois rels et a 6= 0.

Dfinition 1.3On appelle discriminant de lquation du second degr ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 le nombre rel = b2 4ac.

Lexistence de solutions lquation ax2 + bx + c = 0 dpend du signe de :

Thorme 1.1Soit ax2 + bx + c = 0 un quation du second degr et son discriminant.si < 0, lquation ax2 + bx + c = 0 na pas de solution.

si > 0, lquation ax2 + bx + c = 0 a deux solutions distinctes :

x1 =

b

2a

x2 =b +

2a

si = 0, lquation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution : x0 =b2a

.


1.2 Polynme du second degr 9

Exemple 1.2Rsoudre lquation 2x2 2x = 5.

On crit cette quation sous la forme ax2 + bx + c = 0 et on obtient 2x2 2x + 5 = 0.

On calcule = b2 4ac = (2)2 4 2 5 = 4 40 = 36 < 0. Donc cette quation na pasde solution : S = .

Exemple 1.3Rsoudre lquation x2 10

3x + 25

9= 0

On calcule =(10

3

)2 4 1 259

= 1009 100

9= 0.

Lquation a donc une unique solution x0 = 10

3

21 =53.

Exemple 1.4Rsoudre lquation 2x2 + 11

2x 3

2.

On calcule =(

11

2

)2 4 2

(3

2

)=

121

4+ 12 =

169

4> 0. Donc lquation a deux

solutions :

x1 =11

2

1694

2 2=11

2 13

2

4= 24

8= 3.

x1 =11

2+

1694

2 2=11

2+ 13

2

4=

2

8=

1

4.

S ={3; 1

4

}.

1.2.2 Interprtation graphique

Soit (E) : ax2 + bx + c = 0 une quation du second degr (a 6= 0).

On peut associer (E) le polynme du second degr f : x 7 ax2 + bx+ c. Les solutions de (E)sont alors les rels x tels que f(x) = 0. Ces nombres sont appels les racines du polynme dusecond degr f .

La reprsentation graphique de f dans un repre orthogonal est une parabole Pf . Graphique-ment, les solutions de lquation f(x) = 0 sont les abscisses des points dintersection de Pf etde la droite dquation y = 0 (axe des abscisses).

Exemple 1.5On considre trois polynmes du second degr f , g et h et on note Pf , Pg, Ph, leurs courbesreprsentatives dans un repre orthogonal.



f(x) = x2 + 4x + 3

O

Pf coupe laxe des abscissesen deux points dabscissesx1 = 3 et x2 = 1. Lqua-tion f(x) = 0 a donc deuxsolutions : 3 et 1.On peut retrouver ce rsul-tat par le calcul : = 42 4 1 3 = 4 > 0.Les solutions sont :4

4

2= 3, et 4+

4

2= 1

g(x) = (x + 2)2

O

Pg est tangent laxe desabscisses en un point dabs-cisses x0 = 2. Lquationg(x) = 0 a donc une solu-tion : 2.On peut retrouver ce rsul-tat par le calcul :g(x) = x2 + 4x + 4, donc : = 42 4 1 4 = 0.La solution est :42

= 2

h(x) = x2 + x + 1

O

Ph et laxe des abscissesnont pas de point commun :lquation h(x) = 0 na pasde solution.On peut retrouver ce rsul-tat par le calcul : = 12411 = 3 < 0.Donc lquation na pas desolution.

On peut se poser le problme inverse du paragraphe prcdent : soit P une parabole dquationy = ax2 + bx + c dans un repre orthogonal. On ne connait pas la position prcise de P dansle repre, mais on peut tudier sa position par rapport laxe des abscisses ; en effet :

si > 0, lquation ax2 + bx + c = 0 a deux solutions donc P coupe laxe des abscisses endeux points.

si = 0, lquation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution : on dit que P est tangente laxe des abscisses.

si < 0, lquation ax2 + bx + c = 0 na pas de solution donc P ne rencontre pas laxe desabscisses.

De plus, on admettra que si a > 0, la parabole est tourne vers le haut, et si a < 0, laparabole est tourne vers le bas.

On regroupe les rsultats dans le tableau suivant :


1.2 Polynme du second degr 11

> 0 = 0 < 0

a > 0

O

x1 x2O x0 O

a < 0

Ox2 x1 O

x0O

1.2.3 Inquation du second degrUne inquation du second degr peut scrire sous la forme ax2 +bx+c 0 ou ax2 +bx+c > 0.

Thorme 1.2Soit ax2 + bx + c un trinme du second degr. On pose = b2 4ac.si < 0, pour tout x R, le nombre ax2 + bx + c est du signe de a.si = 0, pour tout x 6= b

2a, le nombre ax2 + bx + c est du signe de a.

si > 0, le nombre ax2 + bx + c est du signe de a pour x lextrieur des racines de ax2 + bx + c, est du signe contraire de a lintrieur des racines de ax2 + bx + c.

Exemple 1.6On considre le trinme 6x2 10x 4. = 102 4 6 (4) = 196. Les racines du trinmesont :

x1 =10

196

2 6= 1

3et x2 =

10 +

196

2 6= 2

Pour x ]1

3; 2[

(x lintrieur des racines), 6x2 10x 4 est du signe contraire de 6 soit6x2 10x 4 < 0

Pour x ];1

3

[ ]2; +[ (x lextrieur des racines), 6x2 10x 4 est du signe de 6

soit 6x2 10x 4 > 0

Exemple 1.7Rsoudre linquation 2x2 3x 3 < x2 5x.Linquation propose peut scrire sous la forme 2x23x3x2+5x < 0 soit x2 + 2x 3 < 0.On calcule le discriminant : = 22 4 1 (3) = 16. Les racines sont x1 = 2

16

2= 3 et

x2 =2+

16

2= 1.

Le trinme x2 + 2x 3 est strictement ngatif pour x lintrieur des racines soit x ] 3; 1[.



1.2.4 Factorisation dun trinme du second degrOn admet le thorme 1.3 :

Thorme 1.3On considre le trinme ax2 + bx + c, a 6= 0. Si ce trinme na pas de racine ( < 0), il ne peut pas tre factoris. Si le trinme a une racine unique x0 ( = 0), on a : ax2 + bx + c = a(x x0)2. Si le trinme a deux racines x1 et x2, ( > 0), on a : ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2).

Exemple 1.8En reprenant le trinme de lexemple 1.6 :

6x2 10x 4 = 6(

x +1

3

)(x 2)


Chapitre 2

Fonction. Continuit

Dans ce chapitre, I dsigne un intervalle de R.

2.1 Fonction

2.1.1 Gnralits

Dfinition 2.1Une fonction numrique f permet dassocier un nombre x un autre nombre quon note f(x).Ce nombre f(x) est appel image de x par la fonction f . Lensemble des x pour lesquels f(x)existe est appel lensemble de dfinition de f . On le note gnralement Df .

On dit quune fonction f est strictement croissante sur I lorsque pour tout a et tout b de I, sia < b alors f(a) < f(b).

On dit quune fonction f est strictement dcroissante sur I lorsque pour tout a et tout b de I,si a < b alors f(a) > f(b).

On dit quune fonction f est constante sur I lorsque pour tout a et b de I, f(a) = f(b).

2.1.2 Oprations sur les fonctions

Dfinition 2.2Soit u et v deux fonctions dfinies sur un intervalle I. On dit que la fonction f est la sommedes fonctions u et v, si pour tout x I, f(x) = u(x) + v(x).

Exemple 2.1Sur le graphique ci-dessous, la fonction f dfinie sur I = [2; 4] est la somme des fonctions uet v : pour tout x I, f(x) = u(x) + v(x).


14 Fonction. Continuit

~i

~j

Cu

Cv

Cf

x

u(x)

v(x)

f(x)

Dfinition 2.3Soit u une fonction numrique dfinie sur I, et un rel. On appelle produit de par u lafonction dfinie sur I et note (u) qui, tout x de I associe le nombre (u)(x) = u(x).

Exemple 2.2Sur le graphique ci-dessous, la fonction f dfinie sur I = [2; 4] est le produit de la fonctionu par 1,5, et la fonction g dfinie sur I = [2; 4] est le produit de la fonction u par 1

2: pour

tout x I, on a : f(x) = 1,5u(x) et g(x) = 12u(x).

~i

~j

Cu

Cf

Cg

2

u(2)

f(2)

g(2)

2.1.3 Fonction composeDfinition 2.4Soit g une fonction, et Dg son ensemble de dfinition. Soit u une fonction dfinie sur I telle quepour tout x I, u(x) Dg.La fonction f compose de u suivie de g dfinie sur I est la fonction qui tout x de I associele nombre f(x) = g (u(x)).


2.2 Thormes sur les limites 15

On la note f = g u. On dit aussi que f est la compose de g par u.

Iu Dg

g Rx 7 u(x) 7 g(u(x))

f

Exemple 2.3Soit u et g les fonctions dfinies sur R par u(x) = 2x + 3 et g(x) = x2. On note f et h lesfonctions dfinies par : f = g u et h = u g. On a :

Ru R g R

x 7 u(x) 7 g(u(x))2 7 7 7 490 7 3 7 9x 7 2x + 3 7 (2x + 3)2

f

Finalement f est dfinie par f(x) = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9.De mme, on a :

Rg R u R

x 7 g(x) 7 u(g(x))2 7 4 7 110 7 0 7 3x 7 x2 7 2x2 + 3

h

Finalement, h est dfinie par h(x) = 2x2 + 3.

2.2 Thormes sur les limitesDfinition 2.5Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I du type [a; +[. On dit que f a pour limite l lorsque x tend vers + si les valeurs de f(x) sont aussi proches

de l que lon veut lorsque x devient de plus en plus grand. On crit :

limx+

f(x) = l

On dit que f a pour limite + lorsque x tend vers + si les valeurs de f(x) sont aussigrandes que lon veut lorsque x devient de plus en plus grand. On crit :

limx+

f(x) = +

Dfinition 2.6Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I. Le rel a appartient I ou est une borne de I. On dit que la limite de f lorsque x tend vers a est l si les valeurs de f(x) peuvent tre aussi

proches que lon veut de l lorsque x se rapproche de a. On crit :

limxa

f(x) = l



On dit que la limite de f lorsque x tend vers a est + si les valeurs de f(x) peuvent deveniraussi grandes que lon veut lorsque x de rapproche de a. On crit :

limxa

f(x) = +

Remarque 2.1Ces dfinitions sont adaptables pour des limites en et/ou pour des limites valant .

Dans les tableaux suivants, l et l sont des nombres rels finis. Ces tableaux rsument lesproprits connaitre sur les sommes, les produits et les quotients de limites de deux fonctionsf et g.Ces proprits sont valables pour des limites en +, en ou en a. Lorsque les casescontiennent F.I. , il sagit dune forme indtermine : on ne peut pas conclure (a dpenddes cas).

2.2.1 Limite dune sommeSi f a pour limite l l l + +et si g a pour limite l + + alors, f + g a pour limite l + l + + F.I.

2.2.2 Limite dun produitSi f a pour limite l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 + + 0et si g a pour limite l + + + f g a pour limite l l + + + + F.I.

2.2.3 Limite dun quotient fgCas o la limite de la fonction g nest pas nulle

Si f a pour limite l l + + et si g a pour limite l 6= 0 l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 f

ga pour limite l

l0 + + F.I.

Cas o la limite de la fonction g est nulle

Si f a pour limite l > 0 ou + l > 0 ou + l < 0 ou l < 0 ou 0et si g a pour limite 0 en restant 0 en restant 0 en restant 0 en restant 0

positive ngative positive ngativef

ga pour limite + + F.I.

2.3 Formes indterminesLes cas de formes indtermines sont au nombre de quatre :

; 0;

;0

0


2.3 Formes indtermines 17

Exemple 2.4Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = x2 2x + 3. tudions la limite de f lorsque x tendvers + :

limx+

x2 = + et limx+

(2x + 3) =

La limite en + est donc une forme indtermine du type . Pour lever cetteindtermination, on va crire lexpression de f(x) diffremment :

f(x) = x2 1 x2 2x

+ x2 3x2

= x2(

1 2x

+3

x2

)

Or : limx+

(1 2

x+

3

x2

)= 1 et : lim

xx2 = +

Par produit, on obtient :lim

xf(x) = +

2.3.1 Cas des fonctions polynmes ou rationnellesThorme 2.1 (admis) La limite en linfini dune fonction polynme est la mme que la limite de son terme de plus

haut degr.lim

x

(anx

n + an1xn1 + + a1x + a0

)= lim

x(anx

n)

La limite en linfini dune fonction, quotient de deux polynmes, est la mme que la limitedu quotient simplifi des termes de plus haut degr des deux polynmes.

limx

anxn + an1x

n1 + + a1x + a0bmxm + bm1xm1 + + b1x + b0

= limx

anxn

bmxm

Exemple 2.5Soit g la fonction polynme dfinie sur R par g(x) = 3x3 2x2 x + 5. On a :

limx+

g(x) = limx+

3x3 = +

limx

g(x) = limx

3x3 =

Soit f la fonction dfinie sur ]12; +[ par f(x) = 2x23x+1

8x31 . On a :

limx+

f(x) = limx+

2x2

8x3= lim

x+

1

4x= 0

Soit h la fonction dfinie sur ]2; +[ par h(x) = 2x23x+1x2+x6 . On a :

limx+

h(x) = limx+

2x2

x2= lim

x+2 = 2



2.3.2 Cas des fonctions composesDans le thorme suivant, les lettres , k et l dsignent soit un nombre rel soit +, soit .u et g sont deux fonctions telles que g u existe sur un intervalle dont une borne est .

Thorme 2.2Si : la limite de u(x) lorsque x tend vers vaut k, et : la limite de g(t) lorsque t tend vers k vaut l,alors, la limite de g u(x) lorsque x tend vers vaut l.On crit :

Si{

limx

u(x) = k

limtk

g(t) = l, alors lim

xg u(x) = l

Exemple 2.6Soit f la fonction dfinie sur ]1; +[ par f(x) =

4x+9x1 . f est la compose de la fonction

rationnelle u dfinie par u(x) = 4x+9x1 suivie de g qui est la fonction racine carre. On a :{

limx1+

u(x) = +lim

t+g(t) = + , donc limx1+ g u(x) = +

et :{

limx+

u(x) = 4

limt4

g(t) = 2, donc lim

x+g u(x) = 2

2.3.3 Thormes de comparaisonThorme 2.3 (admis)Soit f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle du type [a; +[.Sil existe un rel A tel que pour tout x > A, f(x) g(x) et lim

x+g(x) = +, alors on a :

limx+

f(x) = +.

Cf

Cu

Ce thorme peut aussi snoncer en (exercice)


2.4 Continuit 19

Thorme 2.4 (admis)Soit f , u et v trois fonctions dfinies sur un intervalle du type [a; +[.Sil existe un rel A tel que pour tout x > A, u(x) f(x) v(x) et lim

x+u(x) = lim

x+v(x) = l,

alors on a : limx+

f(x) = l.

Cu

Cv

Cfy = l

Ce thorme peut aussi snoncer en (exercice)

Exemple 2.7Soit f une fonction telle que pour tout x 1, on a : 1

x2 f(x) 3 1

x. Dterminer la limite

de f en +.Daprs la double ingalit propose, on a : 3 + 1

x2 f(x) 3 + 1

x. Or :

limx+

(3 +

1

x2

)= 3 et lim

x+

(3 +

1

x

)= 3

Donc, par comparaison, on obtient :

limx+

f(x) = 3

2.4 Continuit

2.4.1 Approche graphique de la continuit

En observant les trois courbes ci-dessous, on remarque que les deux premires peuvent tretraces sans lever le crayon alors que la troisime admet un saut labscisse 2. Les deuxpremires reprsentent des fonctions dites continues sur lintervalle [2; 4] alors que la troisimereprsente une fonction qui admet une discontinuit en x = 2.



~i

~j

~i

~j

~i

~j

2.4.2 Notion intuitive de la continuit

Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est dfinie sur cet intervalle et si sa courbereprsentative se trace dun trait continu , sans lever le crayon.Pour tout a I, si x I se rapproche de a, alors f(x) peut se rapprocher de f(a) autant quonle souhaite. On crit :

f est continue en a si limxa

f(x) = f(a)

2.4.3 Fonctions continues

On admet le thorme suivant :

Thorme 2.5Une fonction obtenue par oprations sur les fonctions usuelles est continue sur chaque intervalleo elle est dfinie.Ainsi, les fonctions polynmes, rationnelles et dfinies par des racines carres sont continuessur chaque intervalle de leur ensemble de dfinition.

2.4.4 Partie entire

Un nombre rel est compose dune partie entire finie (avant la virgule) et dune partie dcimale(aprs la virgule). La partie entire de 4,65 est 4.On remarque galement que tout nombre rel x appartient un intervalle du type [n; n + 1[ on Z.

Dfinition 2.7La partie entire de x R note E(x) est dfinie ainsi :

si x [n; n + 1[ (n Z), E(x) = n

Exemple 2.8Ainsi, E(3,14) = 3 car 3,14 [3; 4[.Et E(4,32) = 5 car 4,32 [5;4[.

La reprsentation graphique de la fonction partie entire x 7 E(x), pour x [2; 3[ est traceci-dessous :


2.4 Continuit 21

~i

~j

2.4.5 Proprit des valeurs intermdiairesSoit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. La courbe reprsentative de f passe parA(a; f(a)) et B(b; f(b)), et elle se trace sans lever le crayon . Ainsi tout nombre m comprisentre f(a) et f(b) est lordonne dun point de la courbe : il existe donc [a; b] tel quef() = m.

a b

f(a)

f(b)

x1 x2 x3

m

Figure 1

a b

f(a)

f(b)

x1

m

Figure 2

a b

f(a)

f(b)

x1

m

Figure 3

Thorme 2.6 (de la valeur intermdiaire)Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout m compris entre f(a) etf(b), lquation f(x) = m admet une et une seule solution dans lintervalle [a ; b].

Remarque 2.2Si la fonction f est continue mais non strictement monotone sur [a ; b], lquation f(x) = madmet au moins une solution pour toute valeur de m comprise entre f(a) et f(b), mais elle nestpas ncessairement unique (voir figure 1 ci-dessus : lquation a trois solutions). Ce rsultat estappel thorme des valeurs intermdiaires.

Remarque 2.3Par convention, dans un tableau de variation, les flches obliques traduisent : la continuit de la fonction sur lintervalle considr, la stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle.

Exemple 2.9Soit f la fonction dfinie sur [0 ; 9] par f(x) =

x + 2. Dmontrer que lquation f(x) = 3

admet une unique solution dans [0 ; 9].La fonction f est strictement croissante sur [0 ; 9] car la fonction racine carre lest. Par ailleurs,f est une fonction continue sur [0 ; 9]. De plus f(0) = 2 et f(9) = 5.



Ainsi, 3 [f(0) ; f(9)], donc daprs le thorme de la valeur intermdiaire, lquation f(x) = 3admet une et une seule solution dans lintervalle [0 ; 9].

Exemple 2.10Soit f une fonction dfinie sur [0 ; 7] dont on donne le tableau de variation :

x 0 2 4 7

f(x)4

02

3

Dterminer le nombre de solutions de lquation f(x) =

2.Rsolution : Daprs le tableau de variation de f , sur lintervalle [0 ; 4] la fonction f est continue et

strictement dcroissante. De plus

2 [f(4) ; f(0)] donc daprs le thorme de la valeurintermdiaire, lquation f(x) =

2 admet une unique solution dans [0 ; 4].

Daprs le tableau de variation de f , sur lintervalle [4 ; 7] la fonction f est continue etstrictement croissante. De plus

2 [f(4) ; f(7)] donc daprs le thorme de la valeur in-

termdiaire, lquation f(x) =

2 admet une unique solution dans [4 ; 7].Finalement lquation f(x) =

2 admet deux solutions dans [0 ; 7]. On pourrait mme montrer

que la solution la plus petite est dans [0 ; 2], et lautre dans [4 ; 7].


Chapitre 3

Variations dune fonction. Drivation

3.1 Variations et oprations

3.1.1 SommeThorme 3.1Soit u et v deux fonctions dfinies sur un mme intervalle I. Si u et v sont croissantes sur I, alors u + v est croissante sur I. Si u et v sont dcroissantes sur I, alors u + v est dcroissante sur I.

Exemple 3.1En reprenant la figure de lexemple 2.1, sur lintervalle[0; 2], u et v sont croissantes, et f lest aussi. Sur linter-valle [3; 4], u et v sont dcroissantes et f lest aussi.

~i

~j

Cu

Cv

Cf

x

u(x)

v(x)

f(x)

3.1.2 Produit par un relThorme 3.2Soit k un rel non nul et f une fonction dfinie sur I. Si k > 0, alors les fonctions f et kf ont les mmes variations. Si k < 0, alors les fonctions f et kf ont des variations de sens contraire.

Exemple 3.2Dans lexemple 2.2, sur lintervalle [0; 2], u est croissante. la fonction f est le produit de u par 1,5 < 0 : elle est

dcroissante sur [0; 2]. la fonction g est le produit de u par 0,5 > 0 : elle est

croissante sur [0; 2]. ~i~j

Cu

Cf

Cg

2

u(2)

f(2)

g(2)


24 Variations dune fonction. Drivation

3.1.3 Variations dune fonction composeThorme 3.3Soit u et g deux fonctions telles que g u soit dfinie sur I avec u et g monotones sur leurensemble de dfinition. Si u et g ont le mme sens de variation, alors g u est croissante sur I. Si u et g ont des variations de sens contraires alors g u est dcroissante sur I.

Dmonstration :si u et g sont croissantes.soit a et b dans I avec a < b.u est croissante doncu(a) < u(b).g est croissante doncg(u(a)) < g(u(b)).Donc g u est croissante.

si u et g sont dcroissantes.soit a et b dans I avec a < b.u est dcroissante doncu(a) > u(b).g est dcroissante doncg(u(a)) < g(u(b)).Donc g u est croissante.

si u est croissante et g d-croissante.soit a et b dans I avec a < b.u est croissante doncu(a) < u(b).g est dcroissante doncg(u(a)) > g(u(b)).Donc g u est dcroissante.

3.2 Drivation

3.2.1 Thorme fondamentalDfinition 3.1Soit f une fonction dfinie sur I et a I. On dit que f est drivable en a si la limite lorsquex tend vers a du quotient f(x)f(a)

xa est finie. Cette limite est appele nombre driv de f en aquon note f(a).

f (a) = limxa

f(x) f(a)x a

, lorsque cette limite existe.

Si f est drivable pour tout a de I, on dit que f est drivable sur I.Grpahiquement le nombre driv de f en a est le coefficient directeur de la tangente la courbeCf au point dabscisse a.

f(x)

f(a)

a xO

M

A

Consquence :Soit f une fonction numrique dfinie et drivable sur un intervalle I. Soit a I. La tangenteTa la courbe Cf a pour quation :

Ta : y = f(a) (x a) + f(a)

Exemple 3.3Soit f la fonction dfinie et drivable sur R par f(x) = x2 3x + 1. Dterminons lquation dela tangente Cf au point A dabscisse 2 :


3.2 Drivation 25

On a : f (x) = 2x 3, donc f (2) = 2 2 3 = 1. De plus, f(2) = 22 3 2 + 1 = 1. Doncla tangente T2 la courbe Cf au point dabscisse 2 a pour quation :

T2 : y = 1 (x 2) + (1) cest dire : Ta : y = x 3

Thorme 3.4 (admis)Soit f une fonction dfinie et drivable sur un intervalle I. Si f (x) > 0 sur I, alors f est croissante sur I. Si f (x) < 0 sur I, alors f est dcroissante sur I. Si f (x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.

3.2.2 Quelques formules de drivesDans la suite de ce formulaire, k est un rel quelconque fix et n est un entier naturel non nul.

Fonction f Drive f Ensemble dedrivabilit de f

x 7 k x 7 0 Rx 7 x x 7 1 Rx 7 x2 x 7 2x Rx 7 xn x 7 nxn1 Rx 7

x x 7 1

2

xR+

x 7 1x

x 7 1x2

R

Si f est drivable sur I, alors, kf est drivable sur I, et (kf) = kf . Si u et v sont drivables sur I, alors u + v est drivable sur I et (u + v) = u + v. Si u et v sont drivables sur I, alors uv est drivable sur I et (uv) = uv + uv. Si u et v sont drivables sur I, avec pour x I, v(x) 6= 0, alors u

vest drivable sur I et

(uv) = u

vuvv2

.

3.2.3 ExtremumThorme 3.5Soit f une fonction dfinie et drivable sur un intervalle I, et c I.Si la drive de f sannule en c en changeant de signe, alors f admet un extremum en c.

x c +

f (x) + 0

ff(c)

f admet un maximum en c.

x c +

f (x) 0 +f

f(c)

f admet un minimum en c.

3.2.4 Un exemple : fonction de cotLe cot total de production dun bien en quantit q est la somme des cots de fabrication. Lafonction de cot total de production est toujours croissante.



On note CT (q) le cot total de production pour une quantit q de biens produite. En notantCf la courbe reprsentant la fonction de cot total, CT (q) est lordonne du point de Cf qui apour abscisse q.Les cots fixes sont les cots lorsque la quantit produite est nulle : il sagit de CT (0).Le cot moyen est le quotient du cot total par la quantit produite : CM(q) = CT (q)

q.

Le cot marginal qui est le cot de la dernire unit produite est assimil la drive du cottotal : Cm(q) = CT (q).Lectures graphiques :Sur la figure ci-aprs, on a trac une courbe Cf de cot total. M est un point de cette courbe.Labscisse de M est une quantit produite q ; son ordonne est le cot total correspondant cette quantit produite.La pente de la droite (OM), cest dire son coefficient directeur, est le cot moyen pour laquantit q produite. On peut dresser facilement le tableau de variation de la fonction CM : cotmoyen de production. En partant de labscisse 0, la pente de la droite (OM) dcroit jusqux = 6 (en effet la droite est de plus en plus horizontale ), puis la pente de la droite augmente(la droite est de plus en plus verticale ).

q 0 6 8

CM(q)1,5

2

La pente de la droite T , tangente la courbe en M , est le cot marginal.

q en milliers

cout (kEuros)

1 6

12

10

15

q

CT (q) M

A

Cf

T

3.2.5 Drive dune fonction composeThorme 3.6Soit u et g deux fonctions telles que f = g u existe sur un intervalle I.Si u est drivable en x0 et si g est drivable en y0 = u(x0), alors f est drivable en x0 et on a :

f (x0) = g(u(x0)) u(x0)


3.3 Complment : asymptotes 27

En gnralisant tout x0 de I, on obtient : si u et g sont drivables sur leurs ensembles dedfinition respectifs, alors f est drivable sur I et on a :

(g u) = g(u) u

Exemple 3.4Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = (2x+3)3. Cette fonction est la compose de g dfiniepar g(x) = x3 et de u dfinie par u(x) = 2x + 3 : f(x) = g(u(x)).u et g sont drivables sur R donc f est drivable sur R. On a :

pour x R, g(x) = 3x2 et u(x) = 2

Et donc, f (x) = g(u(x)) u(x) = 3(2x + 3)2 2 = 6(2x + 3)2

Application : des nouvelles formules de drives.Si f est une fonction qui scrit sous la forme f = un o n N, alors f = n fn1 f . (utant une fonction drivable)Si f est une fonction qui scrit sous la forme f =

u, alors f = u

2

u. (u tant une fonction

drivable strictement positive)Si f est une fonction qui scrit sous la forme f = 1

u, alors f = u

u2. (u tant une fonction

drivable qui ne sannule pas)

3.3 Complment : asymptotes

3.3.1 Asymptote horizontaleDfinition 3.2Soit f une fonction numrique dfinie sur un intervalle du type [A ; +[ (resp. ] ; A]), etCf sa courbe reprsentative dans un repre.On dit que la droite d dquation y = b est asymptote la courbe Cf en + (resp. ) si :

limx+

f(x) = b

(resp. lim

xf(x) = b

)Exemple 3.5Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = 2x23x+1

3x2+1. On a :

limx+

f(x) = limx+

2x2

3x2=

2

3

Donc la droite dquation y = 23

est asymptote horizontale Cf en +. (Elle lest aussi en).

3.3.2 Asymptote verticaleDfinition 3.3Soit f une fonction dfinie sur un intervalle du type ]a ; b], avec a valeur interdite, et Cf sacourbe reprsentative dans un repre orthogonal.On dit que la droite dquation x = a est asymptote verticale la courbe Cf si :

limxa+

f(x) = + ou limxa+

f(x) =



Exemple 3.6Soit f la fonction dfinie sur ]1 ; +[ par f(x) = 1

x1 . On a :

limx1+

f(x) = +

Donc la droite dquation x = 1 est asymptote verticale Cf

3.3.3 Asymptote obliqueDfinition 3.4Soit f une fonction dfinie sur un intervalle du type [A ; +[ (resp. ] ; A]), et Cf sa courbereprsentative dans un repre.On dit que la droite d dquation y = ax + b est asymptote la courbe Cf en + (resp. )si :

limx+

(f(x) (ax + b)) = 0(

resp. limx

(f(x) (ax + b)) = 0)

Remarque 3.1 (Positions relatives)Si f(x) (ax + b) > 0 alors Cf est au dessus de d et si f(x) (ax + b) < 0 alors Cf est endessous de d.

Exemple 3.7Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = 2x 1 + 1

x+1. On a :

limx+

(f(x) (2x 1)) = limx+

(2x 1 + 1

x + 1 (2x 1)

)= lim

x+

1

x + 1= 0

Donc la droite d dquation y = 2x + 1 est asymptote oblique la courbe Cf en +.

tudions la position relative de Cf par rapport d :x 1 +

signe de f(x) (2x + 1) - 0 +position de Cf % d Cf en dessous de d | Cf au dessus de d


Chapitre 4

Probabilits conditionnelles

4.1 Distribution de frquences. Loi de probabilit

4.1.1 Introduction. Premires dfinitionsVocabulaireLobjet dune tude dun phnomne alatoire est appel exprience alatoire. Au cours dune ex-prience alatoire, les rsultats possibles sont appels les ventualits (notes gnralement ei).Lensemble des n ventualits est appel lunivers de lexprience alatoire. On le note gn-ralement (omega majuscule dans lalphabet grec). Un vnement est un ensemble constitudventualits. Un venement ne comportant quune seule ventualit est appel vnementlmentaire.

Exemple 4.1On lance un d six faces numrotes de 1 6 : les ventualits sont e1 = 1, e2 = 2, e3 = 3, e4 = 4, e5 = 5, e6 = 6 ; lunivers est donc = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; si on note A lvnement obtenir un chiffre pair , alors A = {2; 4; 6} ; si on note B lvnement obtenir un six , alors B = {6} : cest un vnement lmentaire.

4.1.2 Distribution de frquencesLorsquon rpte un grand nombre de fois la mme exprience alatoire en notant les rsultatsobtenus, on peut compter le nombre de fois o chaque vnement lmentaire se produit, etensuite calculer sa frquence dapparition. On obtient alors pour chaque ventualit ei unefrquence fi = niN , o ni est le nombre dapparitions de ei et N le nombre total dexpriences.On dit alors que la distribution de frquences associe ces N expriences alatoires est la suite(f1; . . . ; fp).

Proprit 4.1(f1; . . . ; fp) est une distribution de frquences associe N expriences alatoires identiques ; on a : f1 + + fp = 1. si A est un vnement, alors la frquence de A, f(A) est la somme des frquences de toutes

les ventualits constituant A.

Exemple 4.2On lance cent fois de suite une flchette sur une cible ayant cinq zones : noire, rouge, jaune,


30 Probabilits conditionnelles

bleue et verte. Les rsultats obtenus sont regroups dans le tableau ci-dessous :

zone touche noire rouge jaune bleue vertenombre de touches 5 15 20 35 25

frquence 0,05 0,15 0,20 0,35 0,25

La distribution de frquences associe ces cent lancers de flchettes est donc :

(0,05 ; 0,15 ; 0,20 ; 0,35 ; 0,25)

4.1.3 Loi de probabilitExemple 4.3Dans une urne on a plac huit boules numrotes de 1 8. On en tire une au hasard. Si lesboules sont indiscernables au toucher, on a autant de chances den tirer une plutt quune autre.On dit que la probabilit dobtenir chaque boule est gale 1

8. On crit :

p(1) = p(2) = = p(8) = 18

On dit quon a dfini une loi de probabilit sur lensemble = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Plus gnralement, on a la dfinition suivante :

Dfinition 4.1Soit un univers li une exprience alatoire ayant n ventualits e1, e2,. . ., en.Si chaque vnement lmentaire {ei} on associe un nombre pi [0 ; 1] tel que :

p1 + p2 + + pn = 1

Alors on dfinit une loi de probabilit sur lunivers .Chaque pi est appel probabilit de lvnement {ei}.La probabilit dun vnement A est la somme des probabilits des ventualits composant A.

Consquences est lvnement certain : p() = 1. est lvnement impossible : p() = 0.

Exemple 4.4En reprenant lnonc de lexemple 4.3, on note A lvnement obtenir un chiffre strictementsuprieur 5. On a alors A = {6 ; 7 ; 8}, et donc p(A) = 3

8.

4.1.4 Loi des grands nombresPour une exprience alatoire donne ayant une loi de probabilit P , la distribution de fr-quences obtenue sur un nombre dexpriences est proche de la loi de probabilit lorsque lenombre dexpriences est trs grand .


4.2 Quelques exemples de rfrence 31

4.1.5 quiprobabilit

Les n vnements lmentaires dun univers li une exprience alatoire sont dits quipro-bables si la probabilit de chacun deux est 1

n.

Dans ce cas la probabilit dun vnement A est :

p(A) =nombre dlments de Anombre dlments de =

Card(A)Card()

Remarque 4.1Dans un exercice, pour signifier quon est dans une situation dquiprobabilit on a gnralementdans lnonc un expression du type : on lance un d non pip. . . : on tire dans un jeu de cartes non truqu. . . ; dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher . . . ; on rencontre au hasard une personne parmi. . . ; . . .

4.2 Quelques exemples de rfrenceExemple 4.5 (le d quilibr)On lance un d quilibr six faces. On considre lvnement A : obtenir un chiffre pair et lvnement B : obtenir un diviseur de six . Calculer la probabilit de chacun de ces deuxvnements.Le d est quilibr donc on est dans une situation dquiprobabilit. On a donc pour 1 i 6,p(i) = 1

6.

On a : A = {2 ; 4 ; 6} et B = {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Donc p(A) = 36

= 12, et p(B) = 4

6= 2

3.

Exemple 4.6 (les boules de couleurs)Dans une urne on place dix boules de couleurs numrotes. Les boules sont indiscernables autoucher et sont rparties comme suit : quatre boules rouges numrotes 1, 2, 3 et 4 ; trois boules blanches numrotes 1, 2 et 3 ; deux boules vertes numrotes 1 et 2 ; une boule jaune numrote 1.On tire au hasard une boule de lurne. Calculer les probabilits des vnements suivants : U : obtenir une boule numrote 1 . B : obtenir une boule blanche . A : obtenir un chiffre pair sur une boule rouge . I : obtenir un chiffre impair .Les boules sont indiscernables au toucher et le tirage se fait au hasard, on est donc dans unesituation dquiprobabilit : chaque boule a une probabilit p = 1

10dtre tire. En notant

chaque ventualit par linitiale de la couleur suivie du chiffre de la boule, on a : U = {R1 ; B1 ; V 1 ; J1}, donc p(U) = 4

10= 0,4 ;

B = {B1 ; B2 ; B3}, donc p(B) = 310

= 0,3 ; A = {R2 ; R4}, donc p(A) = 2

10= 0,2 ;

I = {R1 ; R3 ; B1 ; B3 ; V 1 ; J1}, donc p(I) = 610

= 0,6 ;



Exemple 4.7 (le jeu de cartes)On choisit une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes non truqu. On appelle figure lesrois, dames et valets. Calculer les probabilits des vnements suivants : A : obtenir une figure ; B : obtenir un pique ; C : obtenir un as .Le jeu de cartes nest pas truqu et le choix se fait au hasard, on est donc dans une situationdquiprobabilit : chaque carte a une probabilit p = 1

52dtre choisie :

dans le jeu il y a 4 3 = 12 figures. Donc p(A) = 1252

= 313

; dans le jeu il y a 13 piques. Donc p(B) = 13

52= 1

4;

dans le jeu, il y a 4 as. Donc p(C) = 452

= 113

.

Exemple 4.8 (non-quiprobabilit)Un d est pip de sorte que les faces 1, 2, 3, 4 et 5 aient les probabilits suivantes dapparatre :

p(1) = p(2) = p(3) = 0,1 ; p(4) = p(5) = 0,2

1. Calculer p(6).2. Calculer p(A) et p(B) o A et B sont les vnements dfinis dans lexemple 4.5.

1. La somme de toutes les probabilits doit tre gale 1, donc :

p(6) = 1 (p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5)) = 0, 3

2. p(A) = p(2) + p(4) + p(6) = 0,6 et p(B) = p(1) + p(2) + p(3) + p(6) = 0,6.

Exemple 4.9 (rencontre)Dans une classe, 20 % des lves ont 16 ans, 35 % ont 17 ans, 30 % ont 18 ans et 15 % ont19 ans. On rencontre au hasard un lve de cette classe. Calculer la probabilit quil ait aumoins 17 ans , puis quil ait strictement plus de 17 ans : on note A lvnement llve a au moins 17 ans : p(A) = 35% + 30% + 15% = 80% ; on note B lvnement llve a strictement plus de 17 ans : p(B) = 30% + 15% = 45%.

4.3 Intersection. Runion

4.3.1 vnement. vnement contraireDfinition 4.2Soit A un vnement dun univers li une exprience alatoire. On appelle vnementcontraire de A et on note A lvnement constitu de toutes les ventualits de ntant pasdans A.

Exemple 4.10Dans le cas dun jet de d six faces, les vnements contraires des vnements dfinis danslexemple 4.5 sont : A : obtenir un chiffre impair et B : obtenir un 4 ou un 5 .

Proprit 4.2Soit A un vnement dun univers de probabilit p(A). Alors lvnement A a pour probabilit1 p(A).


4.4 Probabilits conditionnelles 33

4.3.2 Intersection. RunionDfinition 4.3Soit un univers li une exprience alatoire et P une loi de probabilit sur . Soit A et Bdeux vnements de ; lvnement constitu des ventualits appartenant A et B est not A B. (on lit A

inter B ou A et B ) ; lvnement constitu des ventualits appartenant A ou B ou aux deux est not AB.

(on lit A union B ou A ou B ).

Exemple 4.11On considre un jeu de 32 cartes. On note A lvnement obtenir une figure , et B lvnement obtenir un trfle .

1. Expliciter A B et A B.2. Calculer p(A), p(B), p(A B) et p(A B).3. Calculer p(A) + p(B) puis p(A B) + p(A B).1. A B : obtenir une figure trfle

A B : obtenir une figure ou un trfle ou une figure trfle .2. p(A) = 12

32= 3

8. p(B) = 8

32= 1

4.

p(A B) = 332

. p(A B) = 1732

.3. p(A) + p(B) = 3

8+ 1

4= 5

8.

p(A B) + p(A B) = 332

+ 1732

= 2032

= 58.

Proprit 4.3Soit un univers li une exprience alatoire, et P une loi de probabilit sur . Soit A et Bdeux vnements de . Alors on a :

p(A B) = p(A) + p(B) p(A B)

A

B

A B

Interprtation :En comptant le nombre dventualits de A et en ajoutant le nombre dventualits de B,on compte deux fois les ventualits de A B. Do le p(A B) dans la formule de laproprit 4.3.

4.4 Probabilits conditionnelles

4.4.1 ExempleExemple 4.12On a regroup dans le tableau suivant les pourcentages de filles et de garons suivant la spcialitchoisie parmi tous les lves de terminale ES dun lyce :



Maths SES LVFilles 12% 13% 27%

Garons 16% 12% 20%

1. On choisit au hasard un lve de terminale ES.On note F lvnement cest une fille , et M lvnement llve a choisi la spcialitmaths . On a alors :p(F ) = 52%, p(M) = 28% et p(F M) = 12%.

2. On rencontre au hasard un lve de terminale ES et cest une fille. Quelle est la probabilitquelle soit en spcialit maths ?Cette probabilit est p = 12

52(il ya 12 sp maths parmi les 52 filles).

On a donc : p = 1252

= 0,120,52

= 12%52%

.On dit que p est une probabilit conditionnelle. On note pF (M) = p(FM)p(F ) . On lit : proba-bilit de M sachant F .

4.4.2 GnralisationDfinition 4.4Soit A et B deux vnements dun univers .Si p(B) 6= 0, on appelle probabilit de A sachant B ou probabilit de A si B et on notepB(A) le nombre :

pB(A) =p(A B)

p(B)

Remarque 4.2 On a 0 p(A B) p(B) donc pB(A) est bien un rel compris de lintervalle [0 ; 1]. Si p(B) et p(A) sont non nuls, on a alors :

p(A B) = pB(A) p(B) = pA(B) p(A)

4.4.3 Arbres pondrsExemple 4.13On peut reprsenter la situation de lexemple 4.12 par un arbre pondr :

G

LV

2048

SES

1248

M16480, 48

F

LV

2752

SES

1352

M1252

0, 52


4.5 Indpendance. Formule des probabilits totales 35

Rgles de larbre pondr :

B

ApB (A)

ApB(A)

p(B)

B

ApB (A)

ApB(A)

p(B)

la somme des probabilits des branches issues dun mme noeud vaut 1 :

pB(A) + pB(A) = 1;

la probabilit dun chemin est le produit des probabilits des diffrentes branches qui consti-tuent ce chemin :

pB(A) p(B) = p(A B)

4.5 Indpendance. Formule des probabilits totales

4.5.1 IndpendanceIntuitivement, deux vnements sont indpendants si la ralisation de lun dentre eux nin-fluence pas les chances que lautre se ralise. Mathmatiquement, on traduit cela par la dfini-tion suivante :

Dfinition 4.5On considre A et B deux vnements dune exprience alatoire dunivers . Les vnementsA et B sont dits indpendants si :

p(A B) = p(A) p(B)

Remarque 4.3On considre A et B deux vnements dune exprience alatoire dunivers tels que A, A, Bet B soient de probabilit non nulle. On alors : si A et B sont indpendants, alors :

pB(A) =p(A B)

p(B)=

p(A) p(B)p(B)

= p(A)

et de mme, on a pA(B) = p(B) ; si A et B sont indpendants, alors pB(A) = p(A) et pA(B) = p(B).En effet : on a A B = A \ (A B) (faire un diagramme). Donc :

pB(A) = p(A) =p(A B)

p(B)=

p(A) p(A B)1 p(B)

=p(A) p(A) p(B)

1 p(B)=

p(A)(1 p(B))1 p(B)

= p(A)



Exemple 4.14On choisit au hasard une carte dans un jeu de trente deux cartes.On note T lvnement cest un trfle , et D lvnement cest une dame .p(T D) = 1

32(il y a une dame de trfle dans le jeu).

p(T ) = 832

= 14

(il y a huit trfles dans le jeu).p(D) = 4

32= 1

8(il y a quatre dames dans le jeu).

On a donc p(T )p(D) = 14 1

8= 1

32= p(TD). Donc les vnements D et T sont indpendants.

Intuitivement on comprend aisment que si on tire une carte dans le jeu, la chance dobtenirune dame sachant quon a trfle est la mme que celle dobtenir une dame sans rien savoir surla carte tire.

4.5.2 Formule des probabilits totalesDfinition 4.6Des vnements forment une partition de lunivers si les deux conditions suivantes sontralises : ils sont deux deux disjoints ; leur runion forme .Cela signifie que chaque ventualit de appartient un et un seul de ces vnements.

Exemple 4.15Dans un jeu de cartes, on tire une carte au hasard. On note P , T , Ca et Co les vnements obtenir un pique, un trfle, un carreau et un coeur .Les vnements P , T , Ca et Co forment une partition de lunivers.

Proprit 4.4 (Formule des probabilits totales)On considre une exprience alatoire dunivers . Si B1, B2, . . ., Bn forment une partition de, alors pour tout vnement A de , on a :

p(A) = p(A B1) + p(A B2) + + p(A Bn)

Avec larbre vu dans les rgles de larbre pondr (page 34), lvnement A est la runion dedeux chemins : p(A) est la somme des probabilits de ces chemins :

p(A) = p(A B) + p(A B)

Exemple 4.16On reprend les donnes de lexemple 4.12. On a alors :

p(M) = p(F M) + p(G M) = 0,52 1252

+ 0,48 1648

= 0,12 + 0,16 = 0,28

4.6 Expriences indpendantesDes expriences alatoires successives sont indpendantes si le rsultat de lune delles ninfluepas sur le rsultat des autres.

Proprit 4.5Dans le cas dune succession dexpriences alatoires indpendantes, la probabilit dobtenirune liste de rsultats est le produit des probabilits de chaque rsultat lmentaire de cetteliste.


4.7 Un problme type bac 37

Exemple 4.17On lance trois fois de suite un d quilibr six faces. On obtient ainsi un nombre troischiffres : le premir lancer nous donne le chiffre des centaines, le deuxime lancer le chiffre desdizaine et le troisime lancer le chiffre des units.Chacun des lancers de d est indpendant, donc la probablit dobtenir le nombre 421 est :p(421) = 1

6 1

6 1

6= 1

216.

Attention : ce nest pas la probabilit dobtenir 421 en jetant trois ds simultanment cardans ce cas, lordre na pas dimportance ( 421 , 214 , 412 , . . . ne forment quune seuleet mme combinaison).

Exemple 4.18On lance une pice de monnaie quilibre et on note F lvnement on obtient face . Ensuite,on tire une boule dans une urne contenant trois boules rouges et quatre boules blanches. Onnote R lvenement obtenir une rouge .Ces deux expriences sont indpendantes. On les ralise successivement. La probabilit dobtenirlvnement (F, R) est donc : p(F, R) = 1

2 3

7= 3

14.

4.7 Un problme type bac Extrait du sujet du bac ES - La Runion - septembre 2006. 5points.On sintresse une population de 135 000 personnes abonnes un fournisseur daccs Internet. Il existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonne un seul de cesfournisseurs. On sait quun tiers des personnes de cette population est abonn au fournisseurA. Par ailleurs, 60 % des personnes abonnes au fournisseur A accdent Internet par le hautdbit, et 51 % des personnes abonnes au fournisseur B accdent Internet par le haut dbit.On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilit dunvnement est assimile la frquence correspondante.On note :A, lvnement : la personne choisie est abonne au fournisseur A B, lvnement : la personne choisie est abonne au fournisseur B H, lvnement : la personne choisie accde Internet par le haut dbit

1. Dcrire cette situation alatoire par un arbre pondr.2. Montrer que la probabilit de lvnement la personne est abonne au fournisseur A et

accde Internet par le haut dbit est gale 0,20.3. Montrer que la probabilit de lvnement H : la personne accde Internet par le haut

dbit est gale 0,54.4. Calculer pH(A), probabilit de A sachant H, puis en donner la valeur dcimale arrondie

au centime.5. On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de

personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes des tiragessuccessifs indpendants avec remise. Calculer la probabilit de lvnement exactementdeux des personnes choisies accdent Internet par le haut dbit . On en donnera lavaleur dcimale arrondie au centime.


Chapitre 5

Primitives

5.1 Primitives dune fonction

5.1.1 Notion de primitiveDfinition 5.1Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I. On dit que la fonction F est une primitive de fsur I si F est drivable sur I et si pour tout x I, on a F (x) = f(x).

Exemple 5.1Soit F : x 7 x2, pour x R et f : x 7 2x pour x R.f et F sont dfinies sur R et F est drivable sur R. Pour tout x R, on a F (x) = 2x = f(x),donc F est une primitive de f sur R.

Exemple 5.2Dterminer une primitive de f sur I dans les cas suivants :

1. f(x) = 3x2 + 3, pour I = R.2. f(x) = 1

2

x, pour I = R+.

3. f(x) = 0 pour x R.

Thorme 5.1 (admis)Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Remarque 5.1 (notation)Lorsquune fonction est dsigne par une lettre minuscule, on note gnralement une de sesprimitives par la mme lettre majuscule.

5.1.2 Ensemble des primitives dune fonctionExemple 5.3Soit F1 : x 7 2x2+3x+4 et F2 : x 7 2x2+3x. Les fonctions F1 et F2 sont dfinies et drivablessur R et on a : F 1(x) = 4x + 3 et F 2(x) = 4x + 3.Ainsi la fonction f dfinie par f(x) = 4x + 3 admet (au moins) deux primitives sur R.

Proprit 5.1f est une fonction dfinie sur un intervalle I. Si f admet une primitive F sur I, alors elle


40 Primitives

en admet une infinit. Ces primitives scrivent toutes sous la forme Fk : x 7 F (x) + k. Lesfonctions Fk forment lensemble des primitives de f .

Dmonstration : Soit k R et G dfinie sur I par G : x 7 F (x)+ k. Montrons que G est une primitive de f :

G est la somme de deux fonctions drivables sur I : F et la fonction constante gale k. Elleest donc drivable sur I et on a : G(x) = F (x) = f(x) pour x I. Donc G est une primitivede f .

Rciproquement, soit G une primitive de f . Montrons quil existe k R tel que pour toutx I, on ait G(x) = F (x) + k.Soit H la fonction dfinie sur I par H(x) = G(x)F (x). H est la diffrence de deux fonctionsdrivables sur I elle est donc drivable sur I et on a : H (x) = G(x)F (x) = f(x)f(x) = 0.H est une fonction de drive nulle sur I, elle est donc constante sur I. Ainsi, il existe k Rtel que H(x) = k pour tout x I. Donc pour tout x I, G(x) F (x) = k, cest dire queG(x) = F (x) + k. Ainsi toute primitive de G scrit sous cette forme.

Remarque 5.2 (autre formulation)La proprit 5.1, peut aussi snoncer comme suit : deux primitives dune fonction diffrentdune constante.

Exemple 5.4Dterminer toutes les primitives sur R+ de f : x 7 2x + 3 + 12x .Les primitives de f sont les fonctions Fk dfinies par Fk(x) = x2 + 3x +

x + k, pour k R et

x > 0.

5.1.3 Primitive avec condition initialeProprit 5.2Soit f une fonction dfinie sur I admettant des primitives sur I. Soit x0 I et y0 R.Il existe une unique primitive F sur I de la fonction f telle que F (x0) = y0. On dit que F estla primitive de f sur I qui satisfait la condition initiale F (x0) = y0.

Dmonstration :Soit G une primitive de f sur I. Toutes les primitives de f sur I scrivent : Fk(x) = G(x) + ko k R et pour tout x I.On a : Fk(x0) = G(x0) + k. Donc Fk(x0) = y0 quivaut G(x0) + k = y0 ou encore k = y0 G(x0). Il existe donc une unique valeur de k telle que Fk(x0) = y0. Cette valeur cor-respond une unique primitive de f sur I.

Exemple 5.5Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = 4x 1.

1. Dterminer toutes les primitives de f sur R.2. Dterminer la primitive de f sur R qui sannule pour x = 1.

1. Les primitives de f sur R sont les fonctions Fk, k R dfinies par Fk(x) = 2x2 x + k.2. La primitive de f qui sannule pour x = 1 est la fonction Fk qui vrifie Fk(1) = 0. On

a donc rsoudre : 2 12 1 + k = 0, qui admet pour solution k = 1. La fonctioncherche est donc F1 dfinie pour x R par F1(x) = 2x2 x 1.


5.2 Recherche de primitives 41

5.2 Recherche de primitives

5.2.1 Primitives de f + g et de f pour relProprit 5.3Soit R. Si f et g sont deux fonctions dfinies sur I admettant respectivement F et G pourprimitives sur I, alors la fonction f + g admet des primitives sur I et lune delles est la fonction F + G. la fonction f admet des primitives sur I et lune delles est la fonction F .

Dmonstration :On note H la fonction dfinie sur I par H(x) = F (x) + G(x). H est drivable sur I commesomme de fonctions drivables sur I et on a : H (x) = F (x) + G(x) = f(x) + g(x). Ainsi f + gadmet la fonction F + G comme primitive, elle en admet donc une infinit.

5.2.2 Primitives de fonctions usuellesEn crivant le tableau des drives lenvers , on obtient le tableau suivant o k et sontdes rels quelconques, n N :

la fonction f dfiniepar. . . admet sur I

les primitives Fkdfinies par. . .

f(x) = I = R Fk(x) = x + k

f(x) = xn I = R Fk(x) =1

n + 1xn+1 + k

f(x) =1

xnI = R Fk(x) =

1

n 1 1

xn1+ k

f(x) =1x

I = R+ Fk(x) = 2

x + k

5.2.3 Autres formulesSoit I un intervalle de R. Soit n N et u une fonction drivable sur I. La fonction u u admet 1

2u2 pour primitive sur I.

La fonction un u admet 1n+1

un+1 pour primitive sur I. La fonction u

unadmet 1

(n1)un1 pour primitive (o n 2 et I un intervalle sur lequel u nesannule pas).

La fonction uu

admet 2

u pour primitive sur I (o I est un intervalle sur lequel u eststrictement positive).

Exemple 5.6Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = (3x2 +x+1)2(6x+1). f scrit sous la forme u2uavec u la fonction dfinie par u(x) = 3x2 + x + 1. Donc une primitive de f scrit 1

3u3 ; cest

dire que les primitives de f sont les fonctions Fk o k R dfinies par :

Fk(x) =1

3(3x2 + x + 1)3 + k

Exemple 5.7Soit g la fonction dfinie sur R par g(x) = 2x+1

x2+x+1. La fonction g scrit g = u

uo u est dfinie


42 Primitives

par u(x) = x2 + x + 1. (En tudiant u, on remarquera que pour tout x R, u(x) > 0). Ainsiles primitives de g sont les fonctions Gk o k R dfinies par :

Gk(x) = 2

x2 + x + 1 + k

5.3 Notion dintgrale

5.3.1 DfinitionProprit 5.4Soit f une fonction dfinie sur I admettant des primitives sur I. Soit F et G deux primitivesde f sur I. Soit a et b deux rels de I. Alors : F (b) F (a) = G(b)G(a).

Dmonstration :F et G sont deux primitives de f donc elles diffrent dune constante : il existe k R tel quepour tout x I, G(x) = F (x) + k. On a donc :

G(b)G(a) = (F (b) + k) (F (a) + k) = F (b) + k F (a) k = F (b) F (a)

Dfinition 5.2Soit f une fonction dfinie sur I un intervalle de R et admettant la fonction F comme primitivesur I. Si a et b sont deux rels de I, on appelle intgrale de a b de f(x)dx le rel F (b) F (a).

On note : b

a

f(x)dx = [F (x)]ba = F (b) F (a)

Remarque 5.3Dans lcriture ci-dessus, la lettre x dsigne une variable muette : on peut la remplacerpar nimporte quelle autre lettre non utilise : b

a

f(x)dx = b

a

f(t)dt = b

a

f(u)du = . . .

Exemple 5.8

Calculer 3

2

(2x + 3)dx :

32

(2x + 3)dx =[x2 + 3x

]32

= (32 + 3 3) (22 + 3 2) = 18 10 = 8

5.3.2 PropritsProprit 5.5Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et soit a et b deux rels de I.Alors on a : a

a

f(x)dx = 0 et a

b

f(x)dx = b

a

f(x)dx

Dmonstration :


5.3 Notion dintgrale 43

Soit F une primitive de f sur I. on a : aa

f(x)dx = [F (x)]aa = F (a) F (a) = 0

ab

f(x)dx = [F (x)]ab = F (a) F (b) = (F (b) F (a)) = [F (x)]ba =

ba

f(x)dx

5.3.3 criture de primitivesSoit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit a un rel de I fix et xune variable de I : cest dire un rel pouvant prendre nimporte quelle valeur de I.Pour un x fix,

xa

f(t)dt est un rel. Si chaque x de I on associe ce rel, on obtient unefonction dfinie sur I par :

G : x 7 x

a

f(t)dt

Proprit 5.6La fonction dfinie ci-dessus est la primitive de f qui sannule en a.

Dmonstration :Soit F une primitive de f sur I. On a pour x I :

G(x) =

xa

f(t)dt = F (x) F (a)

OrF (a) est une constante donc G(x) = F (x)+k pour tout x de I. Donc daprs la proprit 5.1la fonction G est une primitive de f .De plus G(a) = F (a) F (a) = 0. Donc G est bien la primitive de f qui sannule pour x = a.

Exemple 5.9Soit f la fonction dfinie sur R+ par f(t) = 1t .La fonction f est continue sur R+ donc elle admet des primitives. On nen connait pas encore1mais on peut les crire laide dune intgrale : si a > 0,

Fa : x 7 x

a

dtt

est la primitive de f qui sannule en a.

1Patience ! Ce sera dans le chapitre 6


44 Primitives


Chapitre 6

Logarithme nprien

6.1 La fonction logarithme nprien

6.1.1 La fonction lnOn note f la fonction inverse (f : x 7 1

x). Cette fonction est dfinie et continue sur ]0 ; +[

et elle admet des primitives sur cet intervalle.

Dfinition 6.1La fonction logarithme nprien est la primitive de la fonction f : x 7 1

xsur ]0 ; +[ qui

sannule pour x = 1. On la note ln.Le logarithme nprien dun nombre x > 0 est not ln(x) ou ln x.

Remarque 6.1Sur la calculatrice la touche permettant de calculer le logarithme nprien dun rel x stricte-ment positif est la touche LN, ne pas confondre avec la touche log.

6.1.2 Premires consquencesProprit 6.1Daprs la dfinition, on a : le logarithme nprien de 1 vaut 0 : ln 1 = 0, la fonction logarithme nprien est drivable sur R+ et :

pour x > 0, ln(x) = 1x

la fonction logarithme nprien est strictement croissante sur R+ : en effet, pour x > 0,ln(x) = 1

x> 0.

On peut regrouper ces rsultats dans le tableau de variation suivant :

x 0 1 +

ln x +

ln x 0


46 Logarithme nprien

6.1.3 tude du signe de ln xDaprs ltude des variations de la fonction ln, on a la proprit suivante :

Proprit 6.2Pour tous rels a et b de R+, on a :ln a > ln b si et seulement si a > b ;ln a = ln b si et seulement si a = b.

En utilisant le fait que ln 1 = 0 on obtient alors la proprit qui suit :

Proprit 6.3Pour tout rel x > 0, on a :ln x = 0 si et seulement si x = 1 ;ln x > 0 si et seulement si x > 1 ;ln x < 0 si et seulement si x < 1.

6.1.4 Fonction composeExemple 6.1Soit f la fonction dfinie par f(x) = ln(2x + 4). Dterminer lensemble de dfinition et dedrivabilit de f et calculer sa drive. tudier ensuite le signe de f(x) suivant les valeurs de x.f(x) existe pour 2x + 4 > 0 cest dire pour x > 2. Donc Df =] 2 ; +[. La fonctionlogarithme est drivable sur son ensemble de dfinition donc f est drivable sur ] 2 ; +[.Pour x > 2, on a : f (x) = ln(u(x)) u(x) o u : x 7 2x + 4 (drive dune fonctioncompose).On obtient donc : pour x > 2, f (x) = 1

2x+4 2 = 2

2x+4= 1

x+2.

f(x) > 0 si et seulement si 2x + 4 > 1, cest dire pour x > 32.

Exemple 6.2 (quation)Rsoudre lquation suivante : ln(2x2 12) = ln(5x).Pour que cette quation ait un sens, il faut ncessairement que 2x2 12 > 0 et que 5x > 0. Ondresse un tableau de signes :

x

6 0

6 +2x2 12 + 0 0 +

5x 0 +

On rsout donc lquation pour x ]

6 ; +[.Pour x >

6, ln(2x2 12) = ln(5x) si et seulement si 2x2 12 = 5x (prop 6.2).

On rsout donc lquation 2x25x12 = 0 qui a deux solutions : = 32

et = 4. La solution ne convient pas car 3

2

6 par contre la solution convient.La solution lquation de dpart est donc S = {4}.

Exemple 6.3 (inquation)Rsoudre linquation ln(2x + 3) 0.Pour que cette inquation ait un sens, il faut que 2x + 3 > 0 soit x > 3

2.


6.2 Proprits algbriques 47

Ensuite, on utilise la proprit 6.3, ainsi pour x > 32, on a ln(2x + 3) 0 si et seulement si

2x + 3 1 ; cest dire x 1.La solution est donc : S = [1 ; +[

6.2 Proprits algbriques

6.2.1 logarithme dun produitProprit 6.4Si a et b sont deux rels strictement positifs, alors on a :

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

dmonstration :Soit f la fonction dfinie sur R+ par f(x) = ln(ax) ln(x) (o a > 0).f est drivable sur R+ comme compose de fonctions et pour x > 0, on a :

f (x) =1

ax a 1

x= 0. Donc f est constante.

Donc pour tout x > 0, f(x) = f(1) = ln(a) ln(1) = ln(a).En prenant x = b, on obtient : f(b) = ln(a) donc ln(ab) ln(b) = ln(a). Do la proprit.

Remarque 6.2Attention, a et b doivent tous les deux tre strictement positifs pour pouvoir appliquer cetteproprit :si a = 3 et b = 2, alors ln(ab) existe car ab = (3)(2) = 6 > 0 mais ln(a)+ln(b) nexistepas car a et b sont ngatifs.

6.2.2 logarithme dun inverse, dun quotientProprit 6.5Pour tout a > 0, ln( 1

a) = ln(a).

Dmonstration :Pour tout a > 0 on a :

ln(a) + ln( 1a) = ln(a 1

a) daprs la prop. 6.4

= ln(aa)

= ln(1)= 0

Donc ln(

1a

)= 0 ln(a) = ln(a).

Proprit 6.6Si a et b sont deux rels strictement positifs, alors :

ln(a

b

)= ln(a) ln(b)



Dmonstration :Pour tout a > 0 et tout b > 0, on a :

ln(ab) = ln(a 1

b)

= ln(a) + ln(1b) daprs la prop. 6.4

= ln(a) + ( ln(b)) daprs la prop. 6.5= ln(a) ln(b)

6.2.3 logarithme dune puissance, dune racineProprit 6.7Si a est un rel strictement positif et n un entier relatif, alors :

ln (an) = n ln(a)

Dmonstration : Si n = 0, alors ln(a0) = ln(1) = 0 = 0 ln(a). Si n > 0, alors ln (an) = ln(a a

n facteurs

) = ln(a) + + ln(a) n termes

= n ln(a).

Si n < 0, on pose m = n > 0. On a alors ln(an) = ln( 1am

) = ln(am) = m ln(a) = n ln(a).

Proprit 6.8Si a est un rel strictement positif, alors ln (

a) = 1

2ln(a).

Dmonstration :a > 0 donc a = (

a)

2. Donc ln(a) = ln((

a)2)

= 2 ln (

a).Donc ln (

a) = 1

2ln(a).

6.3 tude de la fonction ln

6.3.1 tude des limites en + et en 0On a les rsultats suivants :

limx+

ln(x) = + et limx0

ln(x) =

Dmonstration :Il sagit de montrer que pour tout M > 0, aussi grand soit-il, il existe une valeur > 0 telleque pour tous les x > , ln(x) > M .Pour tout M > 0 il existe un entier n tel que n > M

ln(10)(Il suffit de calculer M

ln(10)et de prendre

la valeur arrondie lunit par excs).En prenant = 10n, on a :

Pour tout x > , on a ln(x) > ln(10n) car ln est croissantedonc ln(x) > n ln(10) Prop. 6.7donc ln(x) > M

ln(10) ln(10) car n > M

ln(10)

donc ln(x) > M

Pour la limite en 0, on pose X = 1x. On a alors :

limx0+

ln(x) = limX+

ln

(1

X

)= lim

X+( ln(X)) =


6.3 tude de la fonction ln 49

Consquence graphique :Laxe des ordonnes est asymptote verticale la courbe reprsentative de la fonction ln.

6.3.2 Courbe reprsentativeOn peut complter le tableau de variation de la fonction ln :

x 0 1 +

ln x +

ln x

0+

tude de la tangente Cln en 1 :On a f(1) = 0 et f (1) = 1

1= 1. Donc lquation de la tangente est :

T1 : y = x 1

Daprs ses variations la fonction ln est continue et strictement croissante sur R+ et de plus,ln(R+)

= R (daprs les limites en 0 et +). Or 1 R donc daprs le thorme de la valeurintermdiaire (Thorme 2.6 page 21), lquation ln(x) = 1 admet une unique solution surR+ : cest labscisse du point de Cln qui a pour ordonne 1. Ce nombre est not e et il vautenviron 2,718.

~i

~j

y = ln(x)

e

6.3.3 Quelques limites connaitreProprit 6.9

limx+

ln x

x= 0; lim

x0x ln x = 0; lim

x1

ln x

x 1= 1

Dmonstration :On pose g : x 7 ln(x)

x. La fonction g est dfinie et drivable sur R+.

Pour x > 0, on a g(x) = 1x 1

2

x= 2

x

2x. Dressons le tableau de variation de la fonction g :



x 0 4 +

g(x) + 0 g ln 4 2

On a g(4) = ln(4)

4 0,61 (calculatrice), donc daprs le tabelau pour tout x > 0, on aln x

x < 0 ; donc ln x 0,

on obtient : ln xx

1 (cas qui nous intresse puisquon cherche une limite en +), ln(x)x

> 0. On adonc pour x > 1 :

0 0 (il suffit de calculer le discriminant. . .). Ainsi f scrit sous la formef = u

uavec u(x) = x2 + x + 1, et u strictement positive sur R.

Les primitives de f sont donc les fonctions Fk dfinies par Fk(x) = ln(x2 +x+1)+k o k R.Fk(0) = 0 si et seulement si ln(02 + 0 + 1) + k = 0 ; soit k = 0. La primitive cherche est doncla fonction F dfinie sur R par : F (x) = ln(x2 + x + 1).

Exemple 6.6Soit f la fonction dfinie sur ]1 ; +[ par f(x) = 2x

1x2 . Dterminer la primitive de f sur ]1 ; +[qui sannule pour x = 2.On a f = u

uavec pour x > 1, u(x) = 1 x2 = (1 x)(1 + x) < 0.

Donc daprs le thorme 6.2, les primitives de f sur ]1 ; +[ sont les fonctions Fk dfinie par :

Pour x > 1, FK(x) = ln((1 x2)

)+ k = ln(x2 1) + k, o k R

On cherche k tel que Fk(2) = 0 ; Soit ln(3) + k = 0. Do k = ln(3). La primitive chercheest la fonction F dfinie pour x > 1 par :

F (x) = ln(x2 1) ln(3)


Chapitre 7

Fonction exponentielle

7.1 La fonction exponentielle

7.1.1 DfinitionOn a vu dans le chapitre 6 que lquation ln(x) = m admet une unique solution pour toutm R et cette solution est un rel strictement positif (voir le paragraphe 6.3.4).Autrement dit, pour tout x R, il existe un unique y > 0 tel que x = ln(y).

Dfinition 7.1La fonction exponentielle est la fonction dfinie sur R qui, chaque rel x associe le relstrictement positif y vrifiant x = ln(y). La fonction exponentielle est note exp.

Exemple 7.1 On a ln(1) = 0 donc exp(0) = 1. On a ln(e) = 1 donc exp(1) = e, o e est le rel dfini au chapitre 6 comme tant lantcdent

de 1 par la fonction ln. e valant environ 2,718.

Remarque 7.1On a vu que pour n Z, ln(en) = n ln(e) = n. Donc en utilisant la dfinition de la fonctionexponentielle, on a : pour tout n Z, exp(n) = en. Par convention, on gnralise cette notation tous les nombres : pour x R on note ex limage de x par la fonction exponentielle.

Pour x R, on a : ex = exp(x)

7.1.2 Premires propritsProprit 7.1(1) Pour tout x R, on a ex > 0.(2) Pour tout y R+, ex = y si et seulement si x = ln(y).(3) Pour tout x R, on a ln (ex) = x.(4) Pour tout x R+, on a eln(x) = x.

Dmonstration :(1) Daprs la dfinition de la fonction exponentielle, ex est le rel strictement positif y tel que

x = ln(y). Donc ex = y > 0.


54 Fonction exponentielle

(2) Mme dmonstration que le point prcdent.

(3) Soit x R. Daprs la dfinition 7.1, on a ex = y avec ln(y) = x.Donc ln(ex) = ln(y) = x.

(4) On pose y = ln(x). On a ey = z > 0 avec ln(z) = y = ln(x). Or x > 0 et z > 0 donc,ln(z) = ln(x) si et seulement si x = z. Donc x = z = ey = eln(x).

Proprit 7.2Pour tous rels a et b on a :

ea = eb si et seulement si a = b.

ea < eb si et seulement si a < b.

Dmonstration :On pose ya = ea et yb = eb les rels strictement positifs tels que ln(ya) = a et ln(yb) = b. On adonc :a = b ln(ya) = ln(yb)

ya = yb (daprs la prop 6.2) ea = eb

a < b ln(ya) < ln(yb) ya < yb (daprs la prop 6.2) ea < eb

7.1.3 Courbe reprsentativeProprit 7.3 (admise)Dans un repre orthonormal, les courbes reprsentatives des fonction logarithme nprien etexponentielle sont symtriques par rapport la droite dequation y = x.

~i

~j

y

x = ln(y) M

x

y =ex N

Cexp

Cln

Dans le repre orthonormal ci-dessus, le point M est le point de Cln dabscisse y. Ses coordonnessont donc M(y ; ln(y)).Son symtrique par rapport : y = x est le point N de coordonnes N(ln(y) ; y). On a doncyN = exp(xN) car exp(xN) = exp(ln(y)) = y daprs la proprit 7.1. Donc N Cexp.


7.2 Proprits algbriques 55

7.2 Proprits algbriques

Thorme 7.1 Pour tous rels a et b, on a : ea+b = eaeb. Pour tout rel a et tout entier relatif p, on a : (ea)p = epa. Pour tout rel a, on a ea = 1ea . Pour tous rels a et b, on a eab = eaeb .

Dmonstration :Deux nombres rels strictement positifs sont gaux si et seulement si leurs logarithmes nprienssont gaux (Proprit 6.2). On a : ln(ea+b) = a + b et ln(eaeb) = ln(ea) + ln(eb) = a + b. Do ea+b = eaeb. De mme, ln((ea)p) = p ln(ea) = pa et ln(epa) = pa. Donc (ea)p = epa. . . .

7.3 tude de la fonction exponentielle

7.3.1 Limites en + et en

Proprit 7.4

limx

ex = 0 et limx+

ex = +

Dmonstration :Limite en :limx0

exp(ln(x)) = limX

exp(X)

Or exp(ln(x)) = x donc :limx0

exp(ln(x)) = limx0

x = 0

donc : limX = 0Limite en + :

limx+

exp(ln(x)) = limX+

exp(X)

Or exp(ln(x)) = x donc :lim

x+exp(ln(x)) = lim

x+x = +

donc : limX+ = +

7.3.2 Drive

Proprit 7.5La drive de la fonction exponentielle sur R est elle-mme :pour tout x R, on a exp(x) = exp(x).

Dmonstration :Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = ln(exp(x)).Pour tout x R, on a f(x) = x, donc f (x) = 1. Or en utilisant le thorme 6.1 sur la drivedune fonction compose avec la fonction ln, on a :Pour x R, f (x) = exp

(x)exp(x)

. Ainsi : exp(x)

exp(x)= 1, do exp(x) = exp(x).



7.3.3 Variations et courbeProprit 7.6La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Dmonstration :On a vu que la drive de lexponentielle est elle-mme et que lexponentielle est une fonctionstrictement positive. Donc la drive de lexponentielle est strictement positive do le rsultat.On obtient donc le tableau de variation suivant :

x 0 +

exp(x) +

exp0

1+

Tangente en 0 :Lquation de la tangente Cexp au point A dabscisse 0 est :y = exp(0)(x 0) + exp(0), soit y = x + 1.

Courbe reprsentative :

~i

~jCexp

T0

7.3.4 Quelques limites connaitreProprit 7.7On a les limites suivantes :

limx+

ex

x= +; lim

xxex = 0; lim

x0

ex 1x

= 1

Dmonstration : La premire limite est une forme indtermine du type .

En posant X = ex, on a x = ln(X) et lim x +X = +. Donc :

limx+

ex

x= lim

X+

X

ln X= +

En effet, pour X > 1, on a Xln(X)

> 0 et limX+ ln XX = 0 donc limX+X

ln X= +


7.4 tude dune fonction compose eu 57

La deuxime limite est une forme indtermine du type 0.On pose X = ex, on a x = ln(X) et limxinfty X = 0. Donc :

limxtoinfty

eex = limX0

ln(X)X = 0

La troisime limite est une forme indtermine du type 00

.Pour tout x R, on a exp(x) = exp(x) ; donc exp(0) = 1. Mais en utilisant la dfinition dunombre driv en 0, on a aussi :

1 = exp(0) = limx0

exp(x) exp(0)x

= limx0

ex 1x

7.4 tude dune fonction compose eu

7.4.1 Drive. VariationsProprit 7.8Soit u une fonction drivable sur un intervalle I. Alors la fonction f = eu = exp u est drivablesur I et pour x I, f (x) = u(x)eu(x).

Exemple 7.2Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = e2x23x. f scrit eu avec pour x R, u(x) = 2x23x.La fonction u est drivable sur R donc f est galement drivable sur R et pour x R,f (x) = (4x 3)e2x23x.

Remarque 7.2La fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc les fonctions u et eu ont lesmmes variations (voir le thorme 3.3).

7.4.2 PrimitivesProprit 7.9Soit u une fonction drivable sur un intervalle I.Soit f la fonction dfinie sur I par f(x) = u(x)eu(x).Alors la fonction f admet des primitives sur I et lune dentre elles est la fonction F dfinie surI par F (x) = eu(x).

Exemple 7.3Soit f la fonction dfinie sur R+ par f(x) = e

1x

x2.

On peut crire f(x) = 1x2 e 1x = u(x)eu(x) avec u(x) = 1

x.

Donc f admet pour primitives sur R+ les fonctions Fk dfinies pour x > 0 par : Fk(x) = e1x +k.

7.4.3 Exemple dtudeExemple 7.4Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = ex2 .

1. tudier les limites de f(x) en et en +.2. Pour x R, calculer f (x) et tudier son signe.



3. Dresser le tableau de variation de f .4. Dterminer lquation de la tangente Cf au point A dabscisse 1.5. Tracer et Cf dans un repre.


Chapitre 8

Lois de probabilit

8.1 Lois de probabilit

8.1.1 Cas gnralOn considre une exprience alatoire ayant un nombre fini dventualits. On dit quon a dfinila loi de probabilit de cette exprience si on connat la probabilit de chaque ventualit decette exprience.Gnralement, on donne une loi de probabilit sous la forme dun tableau :

ventualit xi . . . . . .Probabilit pi

Remarque 8.1La somme des pi vaut 1 :

pi = 1

Exemple 8.1Dans une urne, on a plac trois boules rouges, deux boules blanches, cinq boules vertes et dixboules jaunes. On tire une boule au hasard dans lurne. On note B lvnement la boule estblanche , . . ..La loi de probabilit de cette exprience est donc :

xi R B V Jpi 0,15 0,1 0,25 0,5

On a bien :

pi = 0,15 + 0,1 + 0,25 + 0,5 = 1

8.1.2 Loi de BernoulliDfinition 8.1Lorsquune exprience alatoire nadmet que deux issues quon nomme alors succs et chec,on lappelle preuve de Bernoulli1.Dans une preuve de Bernoulli, on note gnralement p la probabilit de succs. La proba-bilit de lchec est alors 1 p.

La loi de probabilit dune preuve de Bernoulli est dfinie par : xi Succs checpi p 1 p

1Famille de mathmaticiens et physiciens suisses


60 Lois de probabilit

Exemple 8.2On lance un d quilibr six faces. On sintresse la divisibilit par 3 du chiffre obtenu. Onnote S (succs) lvnement le chiffre obtenu est divisible par 3 .Cette exprience alatoire est une preuve de Bernoulli de paramtre p = 1

3car p(S) = 2

6= 1

3

(seuls 3 et 6 sont divisibles par 3).

8.1.3 Loi Binomiale

Dfinition 8.2On rpte n fois de manire indpendante la mme preuve de Bernoulli de paramtre p. Onsintresse au nombre de succs obtenus au cours de ces n expriences.Cette exprience admet n + 1 ventualits : 0 succs, 1 succs, 2 succs, . . ., n succs.La loi de probabilit sur ces n + 1 ventualits est appele loi Binomiale de paramtres p et n.

Obtenir une loi Binomiale :Pour obtenir la loi Binomiale de paramtres n et p, on construit un arbre pondr n niveauxo chaque noeud se spare en deux branches : S et E.Pour k compris entre 0 et n, on compte alors le nombre Nk de chemins ayant k succs.Chaque chemin ayant k succs a pour probabilit le produit des probabilits de chaque ven-tualit qui le constitue soit :

p p k facteurs(k succs)

(1 p) (1 p) nk facteurs(nk) checs

= pk (1 p)nk

La loi Binomiale est donc donne par le tableau suivant :

xi 0 1 2 . . . k . . . npi (1 p)n N1p(1 p)n1 N2p2(1 p)n2 Nkpk(1 p)nk pn

o xi est le nombre de succs obtenus.

Exemple 8.3Un lve vient au lyce tous les jours en vlo. Sur son chemin il rencontre un feu qui est vert40 % du temps.Llve part de chez lui un horaire alatoire et narrive donc pas toujours la mme heureau feu. On sintresse au nombre de fois o llve arrive au feu vert au cours dune semaine dequatre jours. Dterminer la loi de cette exprience alatoire.Il sagit dune exprience de Bernoulli de paramtre p = 0,4 rpte quatre fois : on est doncen prsence dune loi binomiale de paramtres p = 0,4 et n = 4.On dtermine le nombre de chemins ayant k succs (k feux verts) pour 0 k 4 :arbreOn obtient : N0 = 1, N1 = 4, N2 = 6, N3 = 4 et N4 = 1. La loi de cette exprience est donc :

xi 0 1 2 3 4pi 1 0,40 0,64 4 0,41 0,63 6 0,42 0,62 4 0,43 0,61 1 0,44 0,60

= 0,129 6 = 0,345 6 = 0,345 6 = 0,153 6 = 0,025 6

T.Rey - Cours de Terminal

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