Ann. SC. math. Québec, 198S, vol. 9, no 2, pp. El-174

UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE POUR DIVERSES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRlQUES*

Serge Dubuc

Le cadre de notre étude est Péquation fonctionnelle

Où t varie dans T, x varie dans X, f(t,x) est une fonction des deux varia-

bles t et x à valeurs dans X et b(t) est une transformation de T, la fonc-

tion inconnue est la fonction x(t) de T dans X. Cette équation a déjà été

considérée dans la littérature mathématique. Ce que nous poursuivons est de présen-

ter une multitude dfexemples où cette équation intervient très naturellement.

C’est ainsi que nous rencontrerons la fonction de Weierstrass, les fonctions de

Knopp, de van der Waerden et de Hildebrandt, les courbes de von Koch-Mandelbrot, le

dragon de Harter-Heightway, une fonction non-dérivable de Sierpinski, la pyramide

de von Koch et d’autres constructions encore. Dans plusieurs cas, il se produira

que la fonction b ou la fonction f(t,x) seront discontinues. Lorsque ceci se

produit, il est bon de connaftre une condition suffisante pour que la solution x(t)

soit malgré tout une fonction continue. Nous terminerons notre étude en faisant

1 *analyse numérique des constructions géométriques ainsi obtenues.

1. Considérat ions générales sur 1 t équat ion (1)

A notre connaissance, Read Cl21 a été la première personne à introduire

1 I équat ion (1) dans le cent exte où T et X était le plan complexe, b et f

étaient des fonctions analytiques; il cherchait une solution analytique à Féquation

152

w . En 1957, Bajraktarevic Cl1 a élargi ce contexte en proposant 1Wude de 1%

quation fonctionnelle

Où T et X sont des parties de deux espaces euclidiens, t varie dans T, les

fonctions {b$_l sont des transformations de T, la fonction f est une appli-

cation de T x Xr dans X. Cette équation (2) a attiré l’attention de plusieurs

mathématiciens depuis, Kwapisz CIO1 est l’un de ceux-ci et situe bien ses travaux

par rapport aux autres.

quat ion fonctionnelle (1). Reprenons Pessentiel de l’argumentation de

Néanmoins, notre intérêt se 1 imite au cas où r = 1, nous revenons à Vé-

Bajraktarecic et de Kwapisz. T est un ensemble arbitraire, t varie dans T,

b(t) est une transformation de T. X est un espace métrique complet dont la mé-

trique sera notée par d. f(t,x) est une application de T x X dans X. Défi-

nissons deux conditions pour f:

A) Il existe un point x. de X tel que {f(t,xo):t E T} est une par-

tie bornée de X.

B) Il existe un nombre k < 1 tel que pour tout t de T et pour tout

couple de points de X, xl et x2, d(f(t,xl) ,f(t,x2)) 5 kd(xl,x2).

THÉORÈME 1. Loh~que kh contioti A eZ B cuti &?mp&.U, i?&ption (1)

acfmd une ti une au.te mlution bmnk Si x (t) eM une @wALun bmnEe de T 0

dam x ti AL x (t) n tif d&hzie pst Mcumence: xn+l(t) = f(t,x (b(t))), n

n = 0,1,2 ,..., a&ti &Z MTuZLun de (1) e~.t la Limkte de La huile x (t) d lu n

cunvekgence eA.t uni.&mne huh T.

DÉMONSTRATION. Il suffit de faire appel au principe des contractions de Banach.

Soit E l’espace métrique complet des fonctions bornées de T dans X, on a muni

E de la métrique uniforme. On introduit la transformation K: si x(t) E E,

alors KCx(t) 1 = f(t,x(b(t))) l Les conditions A et B permettent de dire que K

est bien définie et est une contraction.

semj e. lk.4buc 153

Remarquons que si T est un espace topologique, si f et b sont des

fonctions continues, la solution x(t) est une fonction continue. Indiquons une

condition suffisante pour que la solution x(t) de (1) soit une fonction continue

lorsque T est un espace topologique, et que 1 *une ou 1 *autre des fonctions b ou

f ne sont pas continues.

Cl Il existe une famille F de fonctions continues de T dans X tel-

les que pour tout y(t) de F, f(t,y(b(t))) appartient à la famille F.

2. La fonction de Weierstrass et ses héritières

CO

La fonction de Weierstrass 1161 est W(t) = 1 kn cos(ant) où k E lO,lC n=O

et w>O. Cette fonction est la solution bornée de 1 ‘équation (1) où T et X

est l’axe réel, b(t) = Ut et f(t,x) = COS t t kx. Hardy [61 a montré que si

kti 2 1, alors W(t) est une fonction dont la dérivée n’existe en aucun point t

de l’axe réel. Weierstrass avait établi ce résultat lorsque u est un entier im-

pair tel que 3 k.~ dépassait 1 t 2 JT.

La fonction de Weierstrass est l*afnée de plusieurs autres fonctions ana-

logues. C’est ainsi que Cellérier C21 a fait valoir que la fonction w

1 a Sn sin(ant) n’admet aucune dérivée finie si a est un entier pair suffisam- n=l ment grand. La fonction C(t) de Cellérier est solution de Véquation (1) où T

et X est l’axe réel, b(t) = at et f(t,x) = (sin at t x)/a. De même, Knopp [9] ca

a introduit la fonction 1 an +(bnt) où q(t) est la distance de t au plus n=O

proche entier relatif. Knopp a établi que cette fonction est non-dérivable pour

chaque valeur de t si 0 < a < 1, si b est un entier pair et si ab > 4. Par

la suite, van der Waerden cl41 et Hildebrandt 171 ont démontré très simplement que

la fonction de Knopp est non-dérivable dans les deux cas respectifs: a = l/lO et

b = 10, puis a =1/2 et b=2. La fonction de Knopp satisfait également l%qua-

tion (1). La Figure 1 représente le graphe de la fonction de Knopp-Hildebrandt.

La Figure 2 combine la fonction de Weierstrass et celle de Cellérier: c’est le

tracé de la courbe paramétrique (W(t) 9 sin(t) t C(t)) où les paramètres des

154 Une @&On @uUmwmUe poW~ cLLvuUc2 coWl%u~u~ gEorn&Okpeh

fonctions sont k = 1/2, u = 2 et a = 2. Toujours selon Hardy, chaque composante

n'admet pas de dérivée en chacun des points.

Figure 1. La fonction de Knopp-Hildebrandt

Figure 2. Courbe des fonctions de Weierstrass et de Cellérier

l l Sage Vubuc

3. Courbes partiellement semblables à elles-mêmes

Nous proposons ici la construction d’une famille de courbes dont font par-

tie les courbes de von Koch-Mandelbrot, le dragon de Harter-Heighway ainsi qu’une

fonction due à Sierpinski. La propriété fondamentale de ces courbes est qu’elles

se décomposent en arcs qui sont chacun des contractions de certaines parties spéci-

fiques de la courbe totale, ces parties étant des réunions de ces mêmes arcs.

Soit T un complexe cellulaire fini de dimension un (voir par exemple la

définition dans Godbillon [SI) sans point isolé, T est donc formé de p arcs

compacts simples où les seuls points communs à deux de ces arcs ne

peuvent être que des extrémités d’arcs. Désignons par tl,t2,. . .,t q

les points de

T qui sont les extrémités des arcs Ai. Pour chaque arc

une fonction cent inue

l’arc Ai

bi Ai dans T telle que 1 *image des extrémités de

A on se donne aussi

Supposons de plus que X est un espace métrique

complet connexe par arc, que xl,x2,...,xq soient q points de X et qu’il existe

des contractions Si de X dans X telles que Si(x W)

) et si(x~(i)) soient

précisément x. et xk si t. et tk sont les extrémités de l’arc Ai. J J

T dam X i de [LPI eit

/XWL AR.& ~u~IX t de Ai, x(t) = S. (x(b.(t))) . CeA% @zcLiun x(t) CM nEce& 1 1

DÉMONSTRATION. On introduit une transformation b de T: on choisit pour b(t)

l’une des valeurs

tanément on pose

Où i est un indice tel que t appartient à ‘si_; s imul-

La solution bornée à Véquation (1) sera

cent inue : i.1 suffit de faire appel aux conditions A), B) et C) de la section 1.

Pour vérifier la condition C), on considère la famille F des arcs continus

y:T + X tels que y(ti) = xi, i = 1,2,. . .,p. Si y(t) appartient à F, alors

f(t,y(b(t))) appartient aussi à F. x(t) est la fonction recherchée.

156

4. Courbes de von Koch-Mandelbrot

Mandelbrot Cl11 a suggéré de construire des courbes fractales du plan par

une propriété dlautosimilitude. Une telle courbe est formée de p arcs semblables

à la courbe elle-même. Le Théor&ne 2 est adapté à la génération de ces courbes.

Soient xl,x2,...,xp+l , p+l points du plan, T est [O,pI, les arcs Ai sont

[i,itlJ, la fonction b. 1 est la fonction linéaire qui envoie A. 1

sur T , dloù

(Pu-1 = 0 et Q(i) = p et la iième contraction du plan X est la similitude Si

du plan qui envoie le segment x YXptl sur le segment xi,xitl . Avec ces spéci-

f icat ions, l’arc continu obtenu du Théorème 2 est la courbe de von Koch-Mandelbrot .

La courb e de von Koch El51 est obtenue en pr P =4:

xl = (0,O) , x2 = [+O] , x3 = ($$j , x4 = [$O] et x5 =

Cette courbe plane est une courbe simple sans tangente. Kahane [81 a proposé de

construire une courbe sans tangente à partir d’une ligne polygonale

P segments sont de même longueur égale à

X* dont 1

rcl; la courbe ainsi construite

est lipschitzienne d’ordre -1og r/log p.

5. Le dragon de Harter-Heighway

Heighway a imaginé la courbe du dragon et avec Harter et Banks, il a ana-

lysé cette courbe spéciale. Dans sa chronique mensuelle du Scientific American,

Martin Gardner [41 résme très bien les découvertes de ces physiciens. Heighway a

proposé la construction suivante dite du pliage de papier. La procédure est récur-

sive, Hn(t) pour t compris entre 0 et 1 sera une ligne polygonale de 2n seg-

ments du plan. Ho(t) = (t,O) 9 il s’agit du segment unité de 1 ‘axe des abscisses.

La ligne polygonale d’ordre ntl s’obtient en deux parties. La première partie

est obtenue par une similitude de la ligne polygonale d’ordre n dont les extrémi-

tés (0,O) et (1,O) sont envoyées respectivement sur (0,O) et (i,-$); la

deuxième partie est une rotation de 90 degrés dans le sens nÇgatif autour du point

( $,-4) de la première partie précédemment construite. Si

SeAge Vubuc 157

WGYI = m+YW,~-~+Y~/~~ ta WLYI = (y,-~), la définition analytique de

H n+l (t ) est :

S(Hn(2t) si t E CO& et (1,O) t RS(Hn(2(l-t))) sinon.

Hn(t) est la construction itérative rattachée à la solution H(t) de

Péquation fonctionnelle (1) où T = [O,lJ , X est le plan euclidien, b(t) = 2t

et f(t,x,y) = S(x,y) si t .C i , b(t) = 2(1-t) et f(t,x,y) = (1,O) t RS(x,y)

pour les autres valeurs de t . La construction du dragon de Harter-Heighway s’ob-

tient du Théorème 2 en prenant p = 2, (‘i9Yi) = (O,O), (M) et (1,O) 9

Al = [O,$l et A2 = [$,lJ, b. = b , ~(1) = 0 , Q(l) = 2 , C~(Z) = 2 et 1

VJW = 0 et les deux contract ions du plan X sont S et (1,O) t RS .

6. La fonction non dérivable de Sierpifiski

La fonction S(t) de Sierpigski est la solution bornée de Féquation (1)

où T et X est l’axe réel, b(t) = 6ttlt(-l)ct’/2 et f(t,x) = (-l)ct’/2tx/2 .

SierpiGski Cl31 a fait valoir que S(t) est continue et ne possède pour aucune va-

leur de t une dérivée, ni finie, ni infinie, de signe déterminé ou non déterminé.

Appliquons le Théorème 2 dans le contexte suivant. T = CO, 21 , mais 0 et

2 sont identifiés. p = 4 , Ai = C(i-l)/Z,i/Zl pour i variant de 1 à 4. Les

sommets t. 1

de T sont les nombres (i-l) /2 . Si t appartient à Pintérieur de

A-j_ 9

selon

mités

alors

i

de Ai . On observe que les nombres

que les

est le double de la partie fractionnaire de 3tt3/4 ou de 3ttl/4

mée des quatre nombres suivants : 0, 1, 0, -1 . La

f(0 ,x) selon que i est inférieur à 3

est inférieur à 3 ou non; on prolonge par continuité

nombres sont 2, 49 4, 2 .

bi

sont respectivement

X= C-l,11 , la suite

aux extré-

4, 2, 2, 4

X* 1

est for-

suite des contractions S i est

ou non. Soit x(t) la solu-

tion bornée de Péquation (1) présentée dans le Théorème 2. Si l’on prolonge par

périodicité sur l’axe réel selon la période 2 la fonction x(t), on obtient préci-

sément la fonction de SierpiGski, car son équation fonctionnelle est satisfaite.

Nous venons d’établir que la fonction de Sierpifiski est périodique de période 2 et

que sur chacun des intervalles A. 1'

elle est semblable à ce qu’elle est sur trois

demi-périodes consécutives. La Figure 3 trace le graphe de S(t) sur la période

Figure 3. La fonction non dérivable de Sierpinski

7. Courbes fermées partiellement semblables à elles-mêmes

On peut créer des courbes fermées partiellement semblables à elles-mêmes

de diverses manières. Comme Mandelbrot Cl1 l’a fait, on peut d’abord juxtaposer

des arcs semblables à eux-mêmes de telle sorte que l’extrémité et l’origine de deux

arcs consécutifs co!?ncident alors que l’origine du premier arc est identique à

Pextrémité du dernier arc. Une autre technique est fournie par le Théorème 2 à

l’aide d’un espace paramétrique T homéomorphe au tore. Notre discussion de la

fonction de Sierpinski s’est faite de cette manière. Illustrons de nouveau ce pro-

cédé en créant une classe de courbes dépendant de trois paramètres entiers I?, q, r*

Soit p un entier supérieur ou égal à 4, l’espace paramétrique T est

LO,ll, partagé en p intervalles Ai = Ci/p,(itl)/pl, i varie de 0 à p-l , où

s mg e. lkLbuc 159

néanmoins les extrémités de T , 0 et 1, sont identifiées. Les fonctions bi du

Théorème 2 seront fournies par les deux paramètres q et r ; q est un entier

compris entre 0 et p-l et r est un entier relatif dont le reste lors de la di-

vision par p diffère de 0, 1 et p-l . Si t appartient à Ai , hi(t) est la

partie fractionnaire de i+qtr(t-i) . On choisit alors pour X le plan cartésien,

les points Pi de X qui correspondent aux sommets de T , C/PI;;; 9 seront les

sommets du polygone régulier à p CÔtés: Pi = (cos(2ni/p),sin(2ni/p)) . Si

j/p = bi(i/p) et k/p = bi( (itl)/p) , la transformation Si retenue sera la simi-

litude qui envoie le segment CPj ,Pk] sur le segment CPi,Pitll. Les restrictions

données sur r assure que les similitudes sont des contractions. La courbe pro-

duite par le théorème à l’aide de ces spécifications sera une courbe fermée conti-

nue. La Figure 4 représente une de ces courbes. En choisissant p = 6 , q = 5

et r=-3, on obtient un flocon de neige plus élaboré que celui de von Koch. Dans

ce cas-ci, la similitude Si est Vhomothétie de rapport 1/2 dont le centre est le

point de rencontre des prolongements des deux CÔtés de Vhexagone adjacents au c&é

(‘i,‘i+l) l

Figure 4. Un flocon de neige

160

8. La couronne flamboyante

Tous les exemples de solution à Péquation (1) que j’ai donnés jusqu’ici

sont des courbes, c *est-à-dire que T est unidimensionnel. Donnons des exemples

où T est bidimensionnel, les solutions à (1) sont des surfaces paramétriques. La

première série d’exemples est presque évidente: on se sert de produit cartésien de

courbes pour obtenir une surface, Soient deux équations fonctionnelles du type

(1) . . X et Y sont deux espaces métriques complets, T et U sont deux espaces

paramétriques, b et c sont des transformations respectives de T et de U ,

w 9x1 et g(u,y) sont deux familles de contractions, si x(t) et y(u) sont

les solutions bornées respectives des équations: x(t) = f(t,x(b(t))) ,

y(u) = g(u,y(c(u))) . Si l’on pose V = TxU , Z = XxY , d(v) = d(t,u) =

(b(t),c(u)) , h(v,z) = h(t,u,x,y) = (f(t,x),g(u,y)) , la solution bornée à l’équa-

tion z(v) = h(v,z(d(v))) est évidente: z(v) = (x(t),y(u)) .

En dépit de sa simplicité, cette construction peut provoquer des surfaces

remarquables. Je cite l’exemple de la couronne flamboyante que j ‘ai décrite [11 au

Luxembourg en 1981. On prend pour X la droite réelle, T est CO,11 , b(t) est

la partie fractionnaire de St si ce n’est que b(l) = 1. f(t,x) est ainsi définie:

- x/4 si 0 < t < 1/5 - 1/4 + x/2 si 1/5 2 t K 215

1/4 - x/4 si 215 5 t c 315 x/2 si 3/5 5 t K 4/5

1/2 + x/2 si 4/5 5 t < 1 1 si t=l.

Soit x(t) la solution à Féquation (1), si l’on pose y(u) = 1-x(l-u) ,

la surface (t,u) -+ (x(t) ,y(u)) est du type précédemment décrit: Y = X , U = T ,

WI = b(t) et g(t,x) = 1 - f(l-t,l-x) . Or la trace de la diagonale de cette

surface est la courbe (x(t) >Y(t)) l Cette courbe donne la couronne flamboyante

dont une représentation graphique est jointe au texte.

Sage Vubuc 161

Figure 5. Couronne flamboyante

9. La pyramide de Koch

Une solution bidimensionnelle à Véquation (1) est la pyramide de Koch

que Mandelbrot a décrite à la page 139 de Clll. Reprenons cette construction selon

notre terminologie. Partons du tétraère de l’espace euclidien à trois dimensions

dont les sommets Po, Pl, P2 et P3 ont pour Coordonnées cartésiennes: (O,O,O) 9

U,WL ULW~ et ewJ~ l X sera l’enveloppe convexe des quatre sommets Pi

et T sera la face de X Opposée à P. . Pour définir la transformation b de

T 9 on subdivise T en six triangles: soient Ql = (0,1/2,1/2), Q2 = (1/2,0,1/2),

Q3 = (1/2,1/2,0), B = (1/3,1/3,1/3), les six triangles sont (Pl,Q2,Q3),

CQlsP2sQ3L CQl ,Q2 ,P3) 9 ULQ2,Q3L CQl ,B,Q3) et (Ql,Q2,B) . Puisque les six

triangles forment un recouvrement de T , on peut choisir une partition de T ,

9 telle que ui est entièrement contenu dans le triangle de rang i parmi

les six triangles donnés. b sur chacune des trois premières parties U. est dé- 1

finie comme la restriction à ui de Vhomothétie de rapport deux et dont le centre

est P. . 1

Sur U4 , b est la restriction à U4 de la transformation affine qui

1 6 2

envoie B sur Pl, Q2 sur P2 et Q3 sur P3 ; s u r l e c i n q u i è m e e t l e s i x i è m e

t r i a n g l e s , o n d é f i n i t b d e f a ç o n s y m é t r i q u e . P o u r d é f i n i r l e s t r a n s f o r m a t i o n s

f ( t , x ) , o n s e s e r t d e s i x s i m i l i t u d e s S i de X . L e s t r o i s p r e m i è r e s s i m i l i t u -

d e s s o n t d e s h o m o t h é t i e s d e r a p p o r t 1 / 2 d o n t l e s c e n t r e s s o n t r e s p e c t i v e m e n t P l ,

P2 et P3 . L e s t r o i s a u t r e s s i m i l i t u d e s t r a n s f o r m e n t X d e t e l l e s o r t e q u e P .

e s t e n v o y é s u r ( P o + P 1 ) 1 2 9 ( P o t P 2 ) / 2 e t ( P O + P $ / 2 r e s p e c t i v e m e n t a l o r s q u e l e

t r i a n g l e T e s t e n v o y é s u r l e s t r i a n g l e s Po9Q29Q3L CQlJosQ31 etz CQl,Q2301

r e s p e c t i v e m e n t , l e s o m m e t P . J

é t a n t e n v o y é s u r l e s o m m e t d e r a n g j d u t r i a n g l e -

i m a g e c o r r e s p o n d a n t . Si t appartient à ui , on pose f(t,X) = Si(X) .

S o i t x ( t ) u n e f o n c t i o n c o n t i n u e d e T d a n s X t e l l e q u ’ e n t o u t p o i n t

u sur un des cBtés de T , x(u) = u , o n v é r i f i e q u e l a f o n c t i o n y ( t ) +

f ( t , x ( b ( t ) ) ) e s t c o n t i n u e e t a d m e t l a m 8 m e p r o p r i é t é d e l a i s s e r l e s p o i n t s d e s

c & é s d e T i n v a r i a n t s . L e s c o n d i t i o n s A , B e t C d u T h é o r è m e 1 s o n t r e m p l i e s . L a

s o l u t i o n b o r n é e d e 1 ‘ é q u a t i o n ( 1 ) e s t c o n t i n u e e t d o n n e u n e p a r a m é t r i s a t i o n d e l a

p y r a m i d e d e K o c h . I l s ’ a g i t d ’ u n e s u r f a c e s i m p l e s a n s p l a n t a n g e n t d o n t s i x p a r -

t i e s s o n t s e m b l a b l e s a u t o u t .

1 0 . D e u x n o u v e l l e s s u r f a c e s f r a c t a l e s

P o u r i l l u s t r e r u n e d e r n i è r e f o i s l ’ é q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e ( 1 ) , j e p r é s e n t e

d e u x s u r f a c e s f r a c t a l e s q u i p r o v i e n n e n t d e m o d i f i c a t i o n s d e c a r r é s d e 1 f e s p a c e .

d é c r i s l e p r e m i e r e x e m p l e . O n c o n s t r u i t u n e s u i t e d e s u r f a c e s z n l

e s t u n

c a r r é d o n n é d e l ’ e s p a c e . L a c o n s t r u c t i o n I n s e f a i t p a r r é c u r r e n c e . 1 e s t n

f o r m é e d ’ u n e r é u n i o n d e c a r r é s . P o u r o b t e n i r Z n t l , o n r e m p l a c e c h a c u n d e s c a r r é s

d e ‘ n p a r d f a u t r e s c a r r é s . P a r t a n t d ’ u n c a r r é d e ‘n ’ o n s u b d i v i s e c e c a r r é e n

n e u f c a r r é s p l u s p e t i t s e t V o n r e m p l a c e l e p e t i t c a r r é i n t é r i e u r p a r c i n q a u t r e s

c a r r é s , c e s o n t l e s a u t r e s f a c e s d ’ u n c u b e d o n t l e p e t i t c a r r é i n t é r i e u r e s t l a

b a s e . S o y o n s m a i n t e n a n t p l u s e x p l i c i t e . T e s t l e c a r & - u n i t é d u p l a n O x y d e

l’espace . R 3 X e s t p r é c i s é m e n t l ’ e s p a c e 3 t r o i s d i m e n s i o n s . I n t r o d u i s o n s t r e i z e

s i m i l i t u d e s S i de X . L e s h u i t p r e m i è r e s s i m i l i t u d e s s o n t d e s h o m o t h é t i e s d e

r a p p o r t 1 / 3 p a r r a p p o r t a u x c e n t r e s s u i v a n t s : d * a b o r d l e s q u a t r e s o m m e t s d u

s - e V u 6 u c 1 6 3 I 1

carré T , p u i s l e s q u a t r e p o i n t s m i l i e u x d e s c 8 t é s d e T . L e s c i n q a u t r e s s i m i -

l i t u d e s s o n t d e r a p p o r t 1 / 3 e t e n v o i e n t l e c a r r é T s u r l ’ u n e o u l ’ a u t r e d e s c i n q

f a c e s l a t é r a l e s o u s u p é r i e u r e d u c u b e C : C l / 3 , 2 / 3 1 x [ 1 / 3 , 2 / 3 1 x [ 0 , 1 / 3 1 . O n

e x i g e d e c e s s i m i l i t u d e s q u e 1 * i m a g e d u d e m i - e s p a c e {z ’ 01 p a r e l l e s n e r e n c o n -

tre pas C . C e s s i m i l i t u d e s n e s o n t p a s u n i q u e m e n t d é t e r m i n é e s .

P o u r d é f i n i r l e s t r a n s f o r m a t i o n s b ( t ) e t f ( t , x ) , f a i s o n s a p p e l à u n

h o m é o m o r p h i s m e h ( t ) e n t r e T e t l a r é u n i o n d e s t r e i z e c a r r é s S i ( T ) ,

1 < i 5 13 . Soit {U.}13 1 i = l u n e p a r t i t i o n d e T t e l l e q u e p o u r c h a q u e v a l e u r d e

i. 9 e s t c o n t e n u d a n s ‘ j _ C T l 9 o n d é f i n î t b s u r ‘ i c o m m e s u i t : b ( t ) =

S $ h ( t ) ) . Si t appartient à ui , on pose f(t,x) = Si(X) . On vérifie que si

m l e s t u n e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r T à v a l e u r s d a n s X telle que x(u) = u

U e s t s u r l k n d e s c B t é s d e T 3 a l o r s l a f o n c t i o n

a l e s m ê m e s p r o p r i é t é s d l ê t r e c o n t i n u e e t d e l a i s s e r f i x e s l e s p o i n t s s i t u é s s u r

l e s c & é s d u c a r r é T . S i x o ( t ) = t , s i x n + l ( t ) = f ( t , x n ( b ( t ) ) ) , a l o r s x n ( t )

e s t u n e s u i t e d e f o n c t i o n s q u i c o n v e r g e n t u n i f o r m é m e n t v e r s l a s o l u t i o n b o r n é e d e

V é q u a t i o n ( 1 ) , s o l u t i o n q u i s e r a c o n t i n u e . L a F i g u r e 6 p r é s e n t e l a p r o j e c t i o n o r -

t h o g o n a l e s u r l e p l a n x + y = z d e s c a r r é s v i s i b l e s à l * é t a p e 3 o ù 2 1 9 7

c a r r é s s o n t p r é s e n t s .

L a s e c o n d e s u r f a c e d o n t j e p r é s e n t e l ’ e s q u i s s e a d m e t u n e c o n s t r u c t i o n a n a -

l o g u e . J ’ i n d i q u e l ’ o r i g i n e g é o m é t r i q u e d e l a c o n s t r u c t i o n q u i p r o c è d e c o m m e t a n t &

p a r u n e s u i t e d e s u r f a c e s I n . Z 0

e s t u n c a r r é d o n n é d e 1 ‘ e s p a c e . L a c o n s t r u c -

t i o n Z n s e f a i t p a r r é c u r r e n c e . Z e s t f o r m é e d ’ u n e r é u n i o n d e c a r r é s . n P o u r

o b t e n i r Z n t l ’ o n r e m p l a c e c h a c u n d e s c a r r é s d e E n p a r d ’ a u t r e s c a r r é s . P a r t a n t

d ’ u n c a r r é d e Z n ’ o n s u b d i v i s e c e c a r r é e n n e u f c a r r é s p l u s p e t i t s e t l ’ o n r e m -

p l a c e c h a c u n d e s q u a t r e p e t i t s c a r r é s d e c o i n p a r c i n q a u t r e s c a r r é s , c e s o n t l e s

c i n q a u t r e s f a c e s d ’ u n c u b e d o n t l e p e t i t c a r r é d e c o i n e s t l a b a s e . O n p r o d u i t

u n e é q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e c o m m e t a n t & à l ’ a i d e d e 2 S s i m i l i t u d e s a d é q u a t e m e n t

c h o i s i e s . O n p o u r s u i t l a m ê m e d é m a r c h e j u s q u ’ à l a f i n .

164

Figure 6. Proj ection dT une surface fractale en formation

11. Analyse numérique des graphiques produits

Les figures qui accompagnent ce texte illustrent les richesses Cachées

dans Véquation fonctionnelle (1). Jt explique maintenant comment ces figures ont

été préparées. Elles nous amsnent à nous interroger sur le sens mathématique à ac-

corder à une représentation graphique lors de l’usage d’imprimantes à points, comme

c’est le cas ici. Chaque figure revient à observer un objet du plan cartésien à

Vintérieur d’un carré, Quitte à entreprendre une homothétie sur l’objet, on peut

se restreindre à discuter de Vobservation d’un objet dans le carré-unité:

CO,11 x CO,11 . Donnons-nous maintenant deux entiers positifs m et n . Ces

deux entiers permettent de discrétiser le carré selon mn points: ce sont les

points (i/(m-1) , j/(n-1)) où i et j sont deux entiers, le premier peut varier

de 0 jusqu’à m-l , le second de 0 à n-l , Les informaticiens parlent alors de

pixels. Désignons cette collection de pixels par P(m,n) . Si C est une partie

du carré-unité, une représentation graphique de C n’est rien d’autre qu’un choix

I i s m g e V u 6 u c 1 6 5

d e p i x e l s p o u r d é c r i r e C . S o i t G l e c h o i x r e t e n u , p e u t - o n s e d o n n e r u n e r è g l e

p o u r s a v o i r s i l e c h o i x G e s t a c c e p t a b l e o u n o n ?

S i E e s t u n n o m b r e p o s i t i f , n o u s d i r o n s q u e G e s t a c c e p t a b l e a u n i v e a u

E s i l a d i s t a n c e d e H a u s d o r f f d e G à C n e d é p a s s e p a s & . C e c i v e u t d i r e q u e

t o u t p i x e l d e G e s t p r o c h e d ’ u n p o i n t d e C à E près et tout point de C est

p r o c h e d ’ u n p i x e l d e G à E p r è s . D ’ u n e m a n i è r e g é n é r a l e , i l e s t i l l u s o i r e d e

c h o i s i r E t r o p p e t i t l o r s q u e m e t n s o n t d o n n é s . I n d i q u o n s u n e v a l e u r ~ ~

q u i m i n o r e r a t o u t c h o i x u l t é r i e u r d e & . E 0

e s t l e r a y o n d u p l u s p e t i t d i s q u e q u i

c o n t i e n t l e r e c t a n g l e C - a , a 1 x C - b , b l o ù a = 1 / ( 2 ( m - 1 ) ) e t b = 1 / ( 2 ( n - 1 ) ) .

I l e s t f a c i l e d ’ é t a b l i r l e p r o c h a i n l e m m e . C e l u i - c i i n d i q u e d e u x r e p r é s e n t a t i o n s

g r a p h i q u e s d e C a c c e p t a b l e s a u n i v e a u ~ ~ .

i

P ( m , n ) :

j ( m - l ) x e t d e ( n - 1 ) y , a . h A

E 0 l

P o u r c h a c u n e d e s f i g u r e s , n o u s c h e r c h o n s u n c h o i x d e p i x e l s a c c e p t a b l e a u

n i v e a u 3 ~ ~ . L ’ i m p r i m a n t e d i s p o n i b l e p o u v a i t t r a c e r 1 2 0 p o i n t s a u p o u c e à l * h o r i -

z o n t a l e e t 2 1 6 p o i n t s a u p o u c e à l a v e r t i c a l e , P o u r u n e f i g u r e d e q u a t r e p o u c e s

par quatre pouces, ceci donne m = 480 et n = 864 ; dloù E 0

e s t à p e u p r è s é g a l

à 1 1 8 3 7 .

1 1 . 1 .

L a f o n c t i o n d e K n o p p - H i l d e b r a n d t e s t K ( x ) = n : . $ ( 2 n x ) / 2 n où q(t) est

l a d i s t a n c e d e t a u p l u s p r o c h e e n t i e r r e l a t i f . L * é q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e a s s o -

c i é e e s t K ( x ) = $ J ( x ) t K ( 2 x ) / 2 . L a F i g u r e 1 e s t i s s u e d e l a l i g n e . p o l y g o n a l e d e

1 0 2 4 s e g m e n t s d é t e r m i n é s p a r l e s 1 0 2 5 p o i n t s c o n s é c u t i f s ( ~ . , y . ) 1 0 2 4 : J J j = O xj =

j / l 0 2 4 e t ‘ j

= K(xj) . n o m b r e s s e c a l c u l e n t p a r r é c u r r e n c e d e l a m a -

n i è r e s u i v a n t e : y = y l 0 2 4

0 e t y . = 0 J

j / l 0 2 4 + y 2 j / 2 s i j 2 5 1 3 e t

- . . : . s - . . -

= yl 024-j Si j > 512. La fonction linéaire par morceaux qui interpole les 9

points (xj,yj) est K9(x) = 1 *(2nx)/2n . L*écart entre K(x) et K9(x) est n=O

inférieur à l/l 024 . La représentation graphique du graphe de Kg(x) sera accep-

table au niveau ~~ t l/l 024. Si G est la totalité des pixels associées à

Kg(x) pour m = 480 et n = 984, si hi est le nombre de pixels de G dont la

première composante est i/479, on peut se demander quelle est la distribution des

nombres h i ’ Le tableau suivant donne pour chaque valeur de k , le nombre N de

i tels hi est égal à k .

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

N 10 68 102 36 79 53 31 39 24 10 9 10 0 4 2 2 1

La valeur moyenne des hauteurs des colonnes de pixels est de 5,2 et

l*écart-type est de 2,9 . L’explication de ces données vient de la non-dérivabi-

lité de K(x).

La Figure 2 trace la courbe X(t) ,Y(t) où X(t) est la fonction de w

Weierstrass 1 2Bn cos(2nt) alors que Y(t) est celle de Cellérier avec un terme c0 n=O

en plus: 1 2 mn sin(2nt) . Le couple X(t) J(t) satisfait le système d’équations n=O

fonctionnelles: X(t) = Cos(t) t X(2t)/2 et Y(t) = sin(t) t Y(2t)/2.

Pour obtenir la représentation graphique de la courbe lorsque t varie de

oà 2, on partage l’intervalle [0,27Tl en 213 = 8 192 parties égales: soit

‘k = 2rk/8 192 , k = 0,1,...,8 192 . &l POSe Xk = x(tk) et $ = Y($) ,

‘k = cos(tk) et sk = sin(tk) . (La seule connaissance de cl et s l permet le

calcul des c k et des sk par les identités trigonomÇtriques cktl = ckcl - sksl

et ‘ktl = ‘ksl t clsk .) Les points xk,yk peuvent se calculer par récurrence:

x o 9 y o = x8 lg29y8 lg2 = ‘,O ; xk = ck ’ x2k / 2 et yk = sk - t - Y 2 k i 2 si ks4096.

‘k = x8 192_k et yk = -y8 192_k Si k > 4 096.

!Sage Vubuc 167

Démontrons que chaque point de la courbe est suffisamment pro-

che d’un des points Si t est une valeur comprise entre 0 et

peut trouver un entier k tel kt-tk[ 2 T/8 192 . Or on peut vérifier que la dis-

tance

effet,

euclidienne de

12 = z 2 -n cos(2nt)

n=O et

à ‘k”k ne dépas sera pas (131~+4)/8 192 . En

sont respectivement

l.’ -n

y12(t) = n_o 1 2 sin

les deux sommes partielles:

(2nt) a 1 ors la distance de

x12(t) ,Y12(t) à x12(tk) ,Y12(tk) est au plus de 12[t-tki j (1 f?h?ïv~ Zz 1 u-v/).

D’autre part, chacune des distances de X12(t),Y12(t) à X(t) ,Y(t) , de

X12(tk),y12(tk) 2 x(tk) ,y(tk) ne dépasse pas 1/4 096 .

Dans la Figure 2, la fenêtre d’observation pour X(t),Y(t) est le carré

[-2,2-J x [-2,21. Le choix de pixels pour représenter la courbe sont les points

(i/479,j/863) où i et j sont les arrondies de 479(2txk)/4 et de 863(2tyk)/4.

Ce choix sera acceptable au niveau ~~ t (13 t4)/32 768 . Si 1 ‘on remarque que

X2(t) ,Y2(t) donne une cardioyde, la courbe X(t) ,Y(t) est ce que 1 Ion pourrait

appeller une cardio!i!de non dérivable.

Rappelons les propriétés essentielles de la fonction S(x) de Sierpinski.

Pour tout x , S(xt2) = S(x) . S(x) = 1/2 + S(6xt3/2)/2 si 0 2 x < 1 et

S(x) = A/2 t S(6xtl/2)/2 si 1 5 x .C 2 .

Pour obtenir le graphe de la fonction de Sierpinski, il suffit de tracer

864 la ligne polygonale (xk,yk)k_O (864 = 4 x 63) . ks abscisses xk sont les

nombres k/432 . Les nombres yk S%aluent par rÇcurrence: y 0

= 0 , Y2lfj = ' 9

Yk = 1/2 + yj/2 si k c 432 et si j = 6k - 216 modula 864,

= -1/2 + yj/2 si k > 432 et si j = 6k t 216 modula 864.

Majorons maintenant la distance de Hausdorff entre le graphe de la fonc-

tion de Sierpinski et le graphe de la ligne polygonale (xk,yk) ’ Si x est une

valeur comprise entre 0 et 2, soit k un entier tel que xk 1 2 x < xk , une des

p r o p r i é t é s d e l a f o n c t i o n d e S i e r p i n s k i e s t q u e S ( x ) p r e n d u n e v a l e u r i n t e r m é d i a i -

r e e n t r e ‘ k - l e t ‘k l

C e c i a s s u r e q u e l a d i s t a n c e d u p o i n t

p o l y g o n a l e n e p e u t p a s d é p a s s e r 1 / 4 3 2 . D ’ a u t r e p a r t , s i

l a l i g n e p o l y g o n a l e e t s i ‘ k - l < X < X k ’ a l o r s Y e s t c o m p r i s e n t r e y k - l e t

à l a l i g n e

e s t u n p o i n t s u r

‘k l

L a c o n t i n u i t é d e l a f o n c t i o n d e S i e r p i n s k i p e r m e t d ’ a f f i r m e r 1 ‘ e x i s t e n c e

d ’ u n e v a l e u r

a u g r a p h e d e l a f o n c t i o n S e s t a u s s i m a j o r é e p a r 1 / 4 3 2 .

‘ k - l ” k t e l q u e S(u) = y . L a d i s t a n c e d u p o i n t % Y

D a n s l a F i g u r e 3 , l a f e n ê t r e p o u r o b s e r v e r l e g r a p h e d e S e s t l e c a r r é

C O , 2 1 x C - l , 1 1 l L e c h o i x d e s p i x e l s d e P m n p a r l a l i g n e p o l y g o n a l e x k , y k r a - 9

. m e n e s d a n s l e c a r r é - u n i t é e s t a c c e p t a b l e a u n i v e a u c. t 1/864 . L o r s d e l a r é a l i -

e t

L a F i g u r e 4 d o n n e l a t r a c e d e l a c o u r b e p a r a m é t r i q u e x ( t ) , y ( t ) o ù x ( t )

s o n t d e u x f o n c t i o n s p é r i o d i q u e s d e p é r i o d e 6 q u i s a t i s f o n t l e s r e l a t i o n s

f o n c t i o n n e l l e s s u i v a n t e s : s i k 5 t < k t l ,

x ( t ) = u k + x ( 4 k - 1 - 3 t ) / 2 e t y ( t ) = v k t y ( 4 k - l - 3 t ) / 2 .

5 Les p o i n t s { u k , v k j k _ O s o n t l e s p o i n t s s u c c e s s i f s d ’ u n h e x a g o n e r é g u l i e r

c e n t r é à l ’ o r i g i n e d o n t l e p r e m i e r p o i n t e s t ( 3 / 4 , 3 5 4 ) . L e s a u t r e s p o i n t s

u k ’ v k s ’ o b t i e n n e n t p a r p é r i o d i c i t é : ukt6 = uk et vkt6 = vk . Les points

$ / k } o n t é t é c h o i s i s p o u r q u e l e s p o i n t s { x ( k ) , Y ( k ) $ z o s o i e n t l e s s o m m e t s d e

l ’ h e x a g o n e r é g u l i e r c e n t r é à l ’ o r i g i n e d o n t l e p r e m i e r s o m m e t e s t ( 1 , O ) . P a r r é -

c u r r e n c e s u r n , o n p e u t c a l c u l e r e n p r i n c i p e l e s 6 x 3 n p o i n t s : x ( k h ) , y ( k h )

o ù h = 3 - n e t k = 0 , 1 , . . . , 6 ~ 3 ~ - 1 ; i l s u f f i t d e s e s e r v i r d e s r e l a t i o n s f o n c -

t i o n n e l l e s . L a F i g u r e 4 e s t l e t r a c é d e c e s d e r n i e r s 6 x 3 8 = 3 9 3 6 6 p o i n t s .

wz.ge Vubuc 169

Majorons maintenant la distance de Hausdorff entre la trace de la courbe

et les points ainsi tracés. Soit la fonction de dans R

l’on définit comme 4k-1-3t si k 5 t x k+l , si xo(t) ,yo(t) est l’enroulement

naturel de l’axe des t sur Vhexagone régulier unité et si l’on pose f(t,x) =

et lorsque k< t < ktl , la suite de fonctions

X ntl CG = f~bqw~~ t3tz YntlW = f(t,yn(b(t))) permet d’obtenir x(t) ,y(t)

comme la limite uniforme de xn(t) ,yn(t) . Soit t une valeur réelle, pour un en-

tier n donné, on peut poser h l 1/(6 3n) et trouver un entier k tel que

it-kh[ 2 h/2 . La distance de xn(t),yn(t) à x(kh),y(kh) ne dépasse pas 2Mn/2 .

Par les inégalités propres au principe des contractions de Banach, la distance de

xn(t),yn(t) à x(t),y(t) est majorée par k”/(l-k) fois la distance uniforme de

la fonction xl(t),yl(t) à la fonction xo(t),yo(t) où k est le paramètre de

contraction. Ici k l 1/2 et l%cart uniforme entre 1 ‘enroulement initial de l’en-

roulement suivant est majoré par 1/2 . D?où la distance entre x(t),y(t) et

x(kh),y(kh) ne dépasse pas 2 -’ x 3/2

C--l,11 x C-l,11 . Le choix des pixels

nés dans le carré-unité est acceptable

La fenstre de la Figure 4 est le carré

de ‘mn par les points x(kh) ,y(kh) rame- 9

au niveau c. t 3/2 048 .

La couronne flamboyante (Figure 5) est la courbe paramétrique x(t),y(t)

Où x(t) satisfait 1 ‘équation x(t) = f(t,x({5t1)) alors que y(t) = 1 - x(l-t) .

f(t,x) est ainsi définie:

- 44 si 0 2 t < 1/5 - 1/4 t x/2 si 1/5 s t < 2/5

1/4 - x/4 si 2/5 5 t < 3/5 x/2 si 3/5 2 t x 4/5

1/2 t x/2 si 4/5 2 t x 1 1 si t=l.

f(t,x) = x. t vix Si 1 i/5 < t < (itl)/S où les nombres x.

1 sont

09 -1/4, 1/4, 0, 1/2 et les pentes vi sont -1/4, 1/2, -1/4, 1/2 et 1/2 . Soit

xo(t) = t , on pose par récurrence ‘ntl (t) = f(t,xn({5t1))) . xn(t) est une fonc-

tion linéaire sur chacun des intervalles [i/Sn,(itl)/SnC , i = O,l,..., Sn-1 .

‘,

170

Désignons par xi n 9

la suite double des points xn(i/5n) . On obtient les relations

de récurrence sur cette suite double:

X

i5n+j ,ntl x. t V.X. 1 1 J,n

pour i 5 et j 5n .

Si l’on pose yn(t) = 1 - xn(l-t) , l%cart uniforme de xn(t),yn(t) à

x(t),y(t) ne dépasse pas llécart de xl(t) ,yl(t) à xo(t) ,yo(t) multiplié par

-ntl 2 . Or Pécart de xl(t) ,yl(t) à xo(t),yo(t) est 3 x 17’/20 = 0,618 . La

ligne polygonale x8(t) ,y8(t) est donc voisine de x(t) ,y(t) 2 1/206 Pr?%.

Cette ligne formée de 58 = 390 625 segments peut &re tracée par les points consé-

cutifs x ,y. i,8 1,8 ’ Où yi 8 = 1 - x 8 . La fenêtre de la Figure 5 est

9 5 -i,8 C-l,11 x CO,21 . Le graphique construit est acceptable au niveau ~~ t 1/824 . Il

est à remarquer que le nombre de pixels dans la Figure 5 est effectivement bien

moindre que 58 . Dans une section ultérieure, nous décrirons une méthode plus éco-

nomique pour le tracé de la couronne.

11.6.

La Figure 6 donne une représentation graphique de la surface Z3 décrite

dans la section 10. Cette surface est formée de 13 3 = 2 197 carrés de cBté 1/27.

La construction a commencé avec Io ’ le carré-unité dans le plan z 0. La Fi-

gure 6 donne la portion visible de Z3 lors de sa projection orthogonale dans le

plan Ouv . La normale au plan Ouv est le vecteur (-1,.1,l) . Le point du

plan Ouv correspond au point (a,-a,O) de l’espace où a = 1/2 1 . Le point

(0,l) du plan Ouv correspond au point (b,b,-2b) où b = 1/6 $ . Le fenêtre

d’observation dans le plan Ouv est le carré C-a,al x CO,2al . Le choix particu-

lier de la direction de la projection facilite la détermination de la portion visi-

ble de II3 par le. fait que la proj ection de chacun des carrés est la réunion de

. deux triangles contigus d’un réseau hexagonal dans le plan Ouv .

Sege Vubuc 171

12. Résolution numérique de Féquation (1)

Je propose deux nouvelles idées pour déterminer numériquement la solution

à Véquation fonctionnelle (1). La première idée consiste en l’accentuation et à

la régularisation des contractions. Revenons donc à l’équation x(t) = f(t,x(b(t))).

Introduisons la suite des contractions fn(t ,x) définies par récurrence: fl(t ,x)

= f(t,x) et fn+l(t ,x) = f(t,fn(b(t) ,x)) . Soit @k}r_l une partition de 1 *espace

T , si t appartient à Pk , on pose b*(t) = bk(t) , la k ième itérée fonction-

nelle de b et l’on pose f*(t ,x) = fk(t,x) . Il est bien clair que x(t) est

aussi solution de Véquation fonctionnelle

ml = f*(t,x(b*(t))) . u*1

Soit E un nombre positif et t un point de T , désignons par N(t) le

premier entier k tel le paramètre de contraction de fk(t,x) comme transforma-

tion de X ne dépasse pas &. La fonction N(t) donne une partition de T :

pk = {t: N(t) = k} . Toutes les fonctions x + f*(t,x) sont des contractions dont

le paramètre de contraction ne dépasse pas C.

La deuxième idée est elle-même très simple. On part d’une approximation

xo(t) de Véquation (1). On pose xl(t) = f*(t,x (b*(t))) et x2(t) = 0

f*w+*w 11 l X+l sera très souvent une excellente approximation de la so-

lution de (1) . En effet la distance de x2(t) à cette solution sera majorée par

la distance de xl(t) à xo(t) multipliée par 2 E /(l-C) . L *avantage de cette

méthode est aussi d%viter des calculs intermédiaires.

Regardons brièvement 1 ‘effet de ces calculs dans le cas de la couronne

flamboyante . La courbe de départ est xo(t) = t et yo = t . On choisit

E = 1/16 . La courbe xl(t) ,yl(t) est alors une ligne polygonale de 305 segments.

Soient {‘i,yi}~~~ les 306 sommets de la ligne polygonale ainsi obtenue, on évalue

à peu de frais la ligne polygonale x2(t) ,y2(t) . Les sommets respectifs de cette

ligne, à l’exception du point (191) 9 seront les points:

_.

172

Où i = 0,l ,..., 304 et j = O,l,..., 304 . La couronne flamboyante ainsi tracée

est formée de 93 026 points.

13. Conclusion

L’équation fonctionnelle traitée dans cet article résume très bien plusieurs

constructions géométriques anciennes ou nouvelles. Ce11 e-ci suggère une nouvelle

approche pour réaliser diverses constructions géométriques. Plutat que de faire

des modifications locales où chacune des petites parties d’un objet est transformée

en m parties plus élémentaires, on effectue des modifications globales où m

transformations agissent sur des morceaux relativement gros de l’objet. La cons-

truction du dragon par pliage de papier est justement de cet ordre et peut être

transposée pour tous les exemples cités. On aura remarqué que les courbes obtenues

sont des courbes très souvent non dérivables. J’ai voulu attiré l’attention sur

leur réalisation graphique. Ceci est un problème mathématique qui a son intérêt

propre. Au terme de ce travail, je propose une première piste de recherche. Peut-

on préciser et explorer la notion de fidélité d’une représentation graphique? La

deuxième piste de recherche reviendrait à tirer parti de Féquation fonctionnelle

pour créer davantage de surfaces. J’ai présenté quelques exemples, mais il y au-

rait lieu d’aller plus loin.

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* C e t a r t i c l e a é t é p u b l i é g r É c e à u n e l ‘ a i d e e t l e s o u t i e n à l a r e c h e r c h e .

s u b v e n t i o n d u f o n d s F.C.A.C. d u Q u é b e c p o u r