THESE - Thèses · d’un matériau poreux ... 4.5 Étude théorique de l’acoustique du milieu...
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UNIVERSITE DE BOURGOGNE
Institut Supérieur de l’Automobile et des Transports
Laboratoire de Recherche en Mécanique et Acoustique
THESEPour obtenir le grade de
Docteur de l’Université de Bourgogne
Discipline: Acoustique
par
Rostand TAYONG BOUMDA
Le 29 novembre 2010
Propriétés acoustiques de systèmes
incorporant des plaques
micro-perforées et des matériaux
absorbants sous forts niveaux
d’excitation
Directeur de thèse
Philippe LECLAIRE
Encadrant
Thomas DUPONT
Jury
DEPOLLIER Claude Professeur Université du Maine
GALLAND Marie-Annick Professeur Ecole Centrale de Lyon
ATALLA Noureddine (Rapporteur) Professeur Université de Sherbrooke
DAUCHEZ Nicolas (Rapporteur) Professeur SUP’MECA Paris
À M. Samuel BOUMDA mon papa.
Remerciements
Je tiens tout particulièrement à exprimer ma reconnaissance au Prof. Phi-
lippe LECLAIRE de m’avoir beaucoup appris lors de ce travail de thèse
avec générosité et disponibilité. Je suis particulièrement reconnaissant pour la
confiance et le soutien qu’il m’a toujours accordés. A M. Thomas DUPONT,
qui a encadré cette thèse de bout en bout, son sens pratique et sa disponibi-
lité m’auront beaucoup encouragés. De tout coeur, je lui exprime ici ma plus
profonde reconnaissance.
Je suis très honoré que les professeurs Noureddine ATALLA et Nicolas
DAUCHEZ aient accepté d’être rapporteurs de ma thèse. Je les prie de trou-
ver ici l’expression de ma plus grande gratitude.
Je suis très heureux de la participation au jury des professeurs Claude
DEPOLLIER et Marie-Annick GALLAND. Je leur exprime toute ma recon-
naissance.
Je tiens à remercier le Prof. Lauriks WALTER pour tout ce que j’ai appris
lors de mes séjours passés au K.U. Laboratorium voor Akoestiek en Ther-
mische Fysica de Leuven en Belgique.
Ce travail doit beaucoup à toute l’équipe technique de l’I.S.A.T. qui a su
donner à la partie expérimentale de ce travail une touche spéciale. Je pense
particulièrement à Bernard ADAM, Pascal ROUAULT, Sylvain ERARD et
Anthony PERRIOT. Par ailleurs, je souhaite remercier Nadia MASSE pour
m’avoir initié au logiciel LateX.
Je tiens aussi à remercier tous les membres du laboratoire DRIVE, le per-
sonnel de l’I.S.A.T et particulièrement mes collègues doctorants, Batman, Raf-
faële et le couple Fab-Ling pour les soirées au Donald’s Pub.
Un grand merci à toute la famille AHIPO pour la chaleur et le cadre
familial que j’ai connus durant ces trois années de thèse. A tous ceux qui
v
m’ont apporté leurs remarques et leurs judicieux conseils, à chacun, je vous
exprime ma gratitude.
Je remercie vivement toute ma famille de m’avoir soutenu et encouragé
dans la poursuite de mes études. Et enfin à Pamela Reine ma fiancée, de tout
cœur, merci pour ta présence dans ma vie.
Nevers, le 15 décembre 2010.
vi
Résumé
Ce travail de thèse a pour objectif l’étude des propriétés acoustiques de sys-
tèmes incorporant des plaques micro-perforées (MPP) et des matériaux ab-
sorbants sous forts niveaux d’excitation.
Le premier chapitre traite des systèmes composés d’une MPP couplée à une
cavité d’air et une paroi rigide. Un modèle analytique intégrant deux pa-
ramètres adimensionnels et un nombre de Mach optimal est présenté. Une
formule proposée permet de prédire les variations du pic d’absorption avec
le nombre de Mach acoustique.
Les effets d’interaction entre les perforations sont étudiés sous forts ni-
veaux d’excitation dans le deuxième chapitre. Un modèle basé sur l’approche
fluide équivalent est proposé. Dans ce modèle, la tortuosité est corrigée pour
prendre en compte les distorsions d’écoulement dues aux effets d’interaction
entre perforations et aux effets de turbulence.
Les multi-couches composés de MPP et de matériaux poreux sont l’objet
d’étude du troisième chapitre. Chaque couche du système est modélisée à
forts niveaux d’excitation suivant une loi de Forchheimer.
Dans le dernier chapitre, l’étude sur la transparence acoustique à forts ni-
veaux est initiée.
Mots-clés: Acoustique, Micro-perforation, Niveau de pression, Régime
non-linéaire, Effet d’interaction, Matériaux poreux, Absorption, loi de For-
chheimer
vii
Abstract
This work deals with the acoustical properties of systems incorporating
Micro-Perforated Panels (MPP) and absorbing materials under high level of
excitation.
In the first chapter, absorbent systems composed of an air-cavity backed MPP
are studied at high level of excitations. An analytical model involving two di-
mensionless parameters and an optimum Mach number is proposed. A for-
mula is proposed that predicts the variations of the absorption peak with the
acoustical Mach number.
In the second chapter, the holes interaction effects are studied theoretically
and experimentally under high levels of excitations. Following an equivalent
fluid approach, a model for which the tortuosity is corrected to account for
the holes interaction effects coupled to the jet-like effects is developed.
Multi-layered absorbents composed of MPP and porous materials are then
studied under high level of excitations. Forchheimer’s law is used to model
each medium of the multi-layer.
Sound transmission study under high level of excitation is introduced.
Keywords: Acoustic, Micro-Perforated Panel, Pressure level, Nonlinear re-
gime, Interaction effect, Porous materials, Absorption, Forchheimer law
viii
ix
x
xi
xii
Table des matières
Table des matières xiii
Liste des figures xvii
Introduction générale 1
1 Système absorbant composé d’une plaque micro-perforée sous fort niveau acoustique 5
Notations du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Généralités sur les plaques micro-perforées . . . . . . . . . 11
1.2 Modélisations de l’impédance acoustique à faibles ni-
veaux d’excitation : Le régime linéaire . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Les approches de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 La méthode modale d’Ingard-Allard . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 La méthode du fluide équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Le modèle analytique de Maa . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5 Les approches numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.6 Tableau de synthèse des approches . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Modélisations à forts niveaux d’excitation . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Au sujet de l’origine du phénomène de turbulence . . . . . . 23
1.3.2 Au sujet du modèle présenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Régime darcéen, régime non-darcéen et lois de Forchheimer . 27
1.3.4 Modèle d’impédance en régime non-linéaire . . . . . . . . . 30
1.3.5 L’effet mécanique de la plaque couplé à l’effet acoustique . . 33
1.3.6 Coefficient d’absorption de plaque micro-perforée couplée à
une cavité d’air et une paroi rigide . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.7 Variation du maximum d’absorption en fonction du nombre
de Mach Mp : Nombre de Mach optimal . . . . . . . . . . . 41
1.4 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.1 Caractéristiques des échantillons de plaques micro-perforées . 45
1.4.2 Mesures au tube à impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
xiii
1.4.3 Estimation de la vitesse particulaire dans les perforations . . 49
1.4.4 Résultats et validation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.5 Calculs d’incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2 Modélisation des effets d’interaction entre les per-forations 63
Notations du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Les effets d’interaction entre perforations à faibles ni-
veaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.1 Théorie classique sur la conductance et l’approche de Fok . . 71
2.2.2 Modélisation de l’impédance avec effets d’interaction . . . . 78
2.2.3 Influence de la distance b et du taux de perforation sur le
coefficient d’absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3 Les effets d’interaction entre perforations à forts ni-
veaux d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.1 Zone d’influence autour de la perforation et introduction du
rayon moyen et effet de tortuosité . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3.2 Expression de l’impédance acoustique avec effet d’interaction
sous forts niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4.1 Echantillons testés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4.2 Effets d’interaction : Résultats et discussion . . . . . . . . . . 94
2.4.3 Système Multi-MPP à taux de perforation décroissants . . . . 101
2.4.4 Synthèse concernant les effets d’interaction entre perforations 104
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Application au comportement sous fort niveau
des multi-couches constitués de plaques micro-perforées et de matériaux poreux 109
Notations du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Généralités sur les poreux classiques . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.1 Paramètres de la géométrie poreuse . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.2 Modèle de Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2.3 Approche du fluide équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.2.4 Modèle empirique de Delany et Bazley . . . . . . . . . . . . 129
xiv
3.2.5 Le modèle de Johnson-Allard (5 paramètres) . . . . . . . . . 130
3.3 Comportement des milieux poreux sous forts niveaux d’ex-
citation acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.1 Origine physique de la non-linéarité dans les milieux poreux 131
3.3.2 Paramètre influencé et comportements en régime non-linéaire 132
3.4 Modélisation du multi-couche constitué d’une MPP et
d’un matériau poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.4.1 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.2 Prise en compte du régime non-linéaire . . . . . . . . . . . . 138
3.5 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5.1 Échantillons testés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5.2 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4 Perspectives 147
Notations du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1 Étude à plus haute fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Étude plus poussée des coefficients du modèle sous fort
niveau acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Modification de la tortuosité pour prendre en compte
les effets d’interaction entre perforations . . . . . . . . . 151
4.4 Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5 Étude théorique de l’acoustique du milieu poreux en ré-
gime non-linéaire dans le cadre de la théorie de Biot . . . 152
4.6 Transparence acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.1 Le régime linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6.2 La transparence acoustique sous fort niveau acoustique . . . 155
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Conclusion générale 157
A Annexes 161
B Caractéristiques de l’air 163
C Impédance acoustique d’une plaque mince non per-forée couplée à une cavité d’air et une paroi rigide 165
C.0.3 Détermination de l’énergie cinétique de la plaque . . . . . . 166
C.0.4 Détermination de l’énergie potentielle de la plaque . . . . . . 166
xv
C.0.5 Détermination de l’énergie potentielle de la cavité . . . . . . 167
D Analyse dimensionnelle de la propagation dans les
perforations sous fort niveau 171
D.0.6 Rappel général du théorème de Buckingham . . . . . . . . . 171
D.0.7 Application pour trouver le coefficient a . . . . . . . . . . . . 172
E Détermination de pression et vitesse pariétales 175
F Brève présentation des modèles de Maa et d’Hersh
et al. sous fort niveau d’excitation 179
F.1 Le modèle de Maa sous fort niveau d’excitation . . . . . . . 179
F.2 Le modèle d’Hersh et al. sous fort niveau d’excitation . . 180
G Détermination de la distance moyenne Lm sous fort
niveau acoustique 183
H Sur la fabrication des échantillons perforés
d’acier et d’aluminium 187
H.0.1 Quelques contraintes sur la fabrication des échantillons . . . 187
I Multi-couches par Analogie au Circuit Electrique
Equivalent (ACEE) 191
I.0.2 Méthode ACEE appliquée au double MPP et cavité d’air avec
une paroi rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
I.0.3 Généralisation de la méthode ACEE à plusieurs MPP et cavi-
tés avec une paroi rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Bibliographie 195
Production scientifique personnelle 205
xvi
Liste des figures
1.1 Présentation de la MPP. a) Vue de face, b) Vue de profil, c)
Aperçu d’une perforation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Phénomènes physiques à prendre en compte. a) Phénomènes
qui influencent la résistance et b) Phénomènes qui influencent
la réactance.(Schéma de Atalla et Sgard (AS07)) . . . . . . . . . 17
1.3 Schéma de configuration du domaine de calcul pour les ap-
proches numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Régimes tourbillonnaires à (a) faible niveau sonore (l’anneau
tourbillonnaire reste accroché aux bords du tube) et (b) fort
niveau sonore (l’anneau tourbillonnaire est expulsé). (Schéma
de Skulina (SCG03)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Comparaison des Impédances normalisées de plaque nue en
co-polymère et en acier pour la condition encastrée sur les
bords. Profondeur de cavité de 50mm. . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Comparaison des coefficients d’absorption de plaque nue en
co-polymère et en acier pour la condition encastrée sur les
bords. Profondeur de cavité de 50mm. . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7 Deux cas du coefficient d’absorption d’une plaque micro-
perforée en co-polymère en fonction de la fréquence : La fré-
quence de résonance due aux perforations est inférieure à la
fréquence de résonance due à la structure ⇒ formation d’un
pic de vibration (cavité d’air de 50 mm) ; La fréquence de ré-
sonance due aux perforations est supérieure à la fréquence de
résonance due à la structure ⇒ formation d’un puit de vibra-
tion (cavité d’air de 10 mm). h = 2,2 mm ; d = 1 mm ; φ = 0,8% ;
E = 0, 49× 1010Pa ; νp = 0,3 ; ρ = 900kg.m−3 ; η11 = 0,1 . . . . . . 39
xvii
1.8 Résultats expérimentaux du coefficient d’absorption en fonc-
tion de la fréquence pour une plaque perforée en co-polymère
couplée à une cavité d’air pour différents niveaux de pression
en entrée de perforations. Caractéristiques de la plaque perfo-
rée : h = 2,2 mm ; d = 0,7 mm ; φ = 0,7% ; Dcav = 50 mm ; E =
0, 49× 1010Pa ; νp = 0,3 ; ρ = 900kg.m−3 ; η11 = 0,1 . . . . . . . . . 39
1.9 Influence du module d’Young (a) et de la profondeur de ca-
vité d’air (b) sur le coefficient d’absorption d’une plaque en
co-polymère non-perforée. Condition encastrée sur les bords.
Profondeur de cavité de 50mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.10 Schéma représentant le maximum du coefficient d’absorp-
tion (absorption à la fréquence de résonance) en fonction du
nombre de Mach dans les perforations. . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11 Influence de l’épaisseur h sur le coefficient d’absorption à la
résonance αM en fonction du nombre de Mach dans les perfo-
rations. Profondeur de cavité de 50mm. . . . . . . . . . . . . . . 43
1.12 Influence du diamètre de perforation d sur le coefficient d’ab-
sorption à la résonance αM en fonction du nombre de Mach
dans les perforations. Profondeur de cavité de 50mm. . . . . . . 44
1.13 Influence du taux de perforation φ sur le coefficient d’absorp-
tion à la résonance αM en fonction du nombre de Mach dans
les perforations. Profondeur de cavité de 50mm. . . . . . . . . . 45
1.14 Photos des échantillons de MPP testés au tube de Kundt (dia-
mètre de 100 mm). a) MPP1 (en co-polymère) ; b) MPP2 (en
co-polymère) ; c) MPP3 (en acier) ; d) MPP4 (en duralumin). . . 46
1.15 Présentation du tube de Kundt. a) Photo du tube ; b) Schéma
du tube avec la nomenclature utilisée. . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.16 Partie réelle de l’impédance normalisée de surface en fonction
du nombre de Mach dans les perforations. Profondeur de la
cavité de 50mm. Les symboles représentent les mesures et les
traits représentent l’ajustement linéaire à fort niveau.© et trait
interrompu : MPP1 (580 Hz) ; F et trait continu : MPP2 (364
Hz) ; ♦ et trait pointillé : MPP3 (598 Hz) ; 4 et trait mixte :
MPP4 (504 Hz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
xviii
1.17 Partie imaginaire de l’impédance normalisée de surface en
fonction du nombre de Mach dans les perforations. Profon-
deur de la cavité de 50mm. © pour MPP1 (580 Hz) ; F pour
MPP2 (364 Hz) ; ♦ pour MPP3 (598 Hz) ; 4 pour MPP4 (504 Hz). 52
1.18 Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre
de Mach dans les perforations. Cas de l’échantillon MPP4. Pro-
fondeur de cavité de 50mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.19 Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre
de Mach dans les perforations. Cas des échantillons MPP1,
MPP2 et MPP3. Profondeur de cavité de 50mm. . . . . . . . . . 54
1.20 Comparaison des coefficients d’absorption simulés et mesurés
de l’échantillon MPP1 à 145 dB (u = 0,325 m/s). Profondeur
de cavité de 50 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.21 Comparaison des Impédances normalisées de surface simulées
et mesurées de l’échantillon MPP1 à 145 dB (u = 0,325 m/s).
Profondeur de cavité de 50 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.22 Comparaison des coefficients d’absorption simulés et mesurés
de l’échantillon MPP3 à 145dB (u = 0,337 m/s). Profondeur de
cavité de 40mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.23 Comparaison des Impédances normalisées de surface simulées
et mesurées de l’échantillon MPP3 à 145dB (u = 0,337 m/s).
Profondeur de cavité de 40mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1 Schéma de la perforation dans un tube. Baffle fini de dimension b. 73
2.2 La fonction de Fok (ΨFok) en fonction de d/b. . . . . . . . . . . . 77
2.3 interaction entre deux perforations identiques de diamètre d
logés sur un conduit principal. La distance entre les centres
des perforations est b. la distance entre les bords proches des
perforations est b− d. L’axe z est parallèle à l’axe du conduit
principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4 Comparaison des corrections d’épaisseur en fonction de la fré-
quence sans prise en compte d’interaction (-.-) ; par approche
de Fok (- - -) ; par approche de Keefe (—). Épaisseur de plaque
de 1,5 mm, diamètre de perforation de 1,6 mm avec un taux de
perforation de 20, 52% (b = 3,5 mm). (Voir également la figure
57 de (Dup02)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
xix
2.5 Comparaison des corrections d’épaisseur en fonction de la dis-
tance b entre perforations à la fréquence de 506 Hz : par ap-
proche de Fok (- - -) ; par approche de Keefe (—). Épaisseur de
plaque de 1,5 mm, diamètre de perforation de 1 mm. . . . . . . 85
2.6 Influence du taux de perforation (φ) de la plaque sur le coeffi-
cient d’absorption pour différentes profondeurs de cavité d’air
en fonction de la fréquence. (a) cavité de 38 mm ; (b) cavité de
75 mm ; (c) cavité de 142 mm ; cavité de 150 mm ; Ces profon-
deurs de cavités sont les mêmes que celles choisies pour les
mesures. Diamètre de perforation de 1,6 mm, épaisseur de la
plaque de 1,5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7 Influence de la distance b entre les perforations de la plaque
sur le coefficient d’absorption en fonction de la fréquence.
Echantillon couplé à une cavité d’air et une paroi rigide. Dia-
mètre de perforation de 1,6 mm, épaisseur de la plaque de 1,5
mm et profondeur de la cavité de 75 mm. . . . . . . . . . . . . . 87
2.8 Phénomène d’aspiration à forts niveaux d’excitation. Zones hé-
misphériques fictives qui en résultent autour 2 perforations. a)
Pas d’interaction entre les perforations ; b) Les perforations in-
teragissent entre elles. Dans ce cas, aucune particule de fluide
ne circule dans la zone de partage ; c) Chemin moyen suivi par
une particule de fluide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.9 Tortuosité αint∞ en fonction de la distance b entre deux perfo-
rations. Épaisseur h = 2 mm ; Diamètre de perforation d = 1,6
mm : — Avec effet d’interaction ; - - - Sans effet d’interaction. . 90
2.10 Photographies des échantillons de la série A testés (Effet d’in-
teraction couplé à l’effet de porosité) au tube de Kundt (dia-
mètre de 100 mm). a) Échantillon 1A ; b) Échantillon 2A ; c)
Échantillon 3A ; d) Échantillon 4A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.11 Photos des échantillons de la série B testés (Effet d’interaction
avec effet de porosité constant) au tube de Kundt (diamètre de
100 mm). a) Échantillon 1B ; b) Échantillon 2B ; c) Échantillon
3B ; d) Échantillon 4B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
xx
2.12 Résistance normalisée en fonction du nombre de Reynolds
dans les perforations. Cas des échantillons de la série A. a)
Fréquence d’excitation de 292 Hz ; b) Fréquence d’excitation
de 506 Hz. Les symboles représentent les mesures et les traits
les simulations. � et trait continu : échantillon 1A (b = 12 mm) ;
4 et trait interrompu : échantillon 2A (b = 08 mm) ; © et trait
interrompu mixte : échantillon 3A (b = 3,5 mm) ; ♦ et trait poin-
tillé : échantillon 4A (b= 2,6 mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.13 Réactance normalisée en fonction du nombre de Reynolds dans
les perforations. Cas des échantillons de la série A. a) Fré-
quence d’excitation de 292 Hz ; b) Fréquence d’excitation de
506 Hz. Les symboles représentent les mesures et les traits les
simulations. � et trait continu : échantillon 1A (b = 12 mm) ;
4 et trait interrompu : échantillon 2A (b = 08 mm) ; © et trait
interrompu mixte : échantillon 3A (b = 3,5 mm) ; ♦ et trait poin-
tillé : échantillon 4A (b= 2,6 mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.14 Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre
de Reynolds dans les perforations. Cas des échantillons de la
série A. a) Fréquence d’excitation de 292 Hz ; b) Fréquence
d’excitation de 506 Hz. Les symboles représentent les mesures
et les traits les simulations.� et trait continu : échantillon 1A (b
= 12 mm) ; 4 et trait interrompu : échantillon 2A (b = 08 mm) ;
© et trait interrompu mixte : échantillon 3A (b = 3,5 mm) ; ♦
et trait pointillé : échantillon 4A (b= 2,6 mm). . . . . . . . . . . . 99
2.15 Résistance normalisée en fonction du nombre de Reynolds
dans les perforations. Cas des échantillons de la série B (Po-
rosité constante). Fréquence d’excitation de 514 Hz. . . . . . . . 100
2.16 Réactance normalisée en fonction du nombre de Reynolds dans
les perforations. Cas des échantillons de la série B (Porosité
constante). Fréquence d’excitation de 514 Hz. . . . . . . . . . . . 100
2.17 Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre
de Reynolds dans les perforations. Cas des échantillons de la
série B (Porosité constante). Fréquence d’excitation de 514 Hz. . 101
xxi
2.18 Rangement des MPP pour un système multi-MPP efficace. La
MPP au taux de perforation le plus élevé se trouvant dans le
plan incident. Les MPP sont rangées en ordre décroissant de
leurs taux de perforation. a) taux de perforation φ3 ; b) taux de
perforation φ2 ; c)taux de perforation φ1. Avec φ3>φ2>φ1. . . . . 102
2.19 Résultat idéal du système multi-MPP à taux de perforation
décroissants. Maximum du coefficient d’absorption à la ré-
sonance en fonction du nombre de Reynolds dans les per-
forations. Combinaison des résultats de simulations de la fi-
gure 2.14b. Pour chacune de ces plages de niveaux (régions),
correspond un taux de perforation (φ1, φ2 et φ3) optimal. . . . . 103
2.20 Simulation du maximum du coefficient d’absorption du sys-
tème multi-MPP à taux de perforation décroissants des échan-
tillons 1A, 2A et 3A à la fréquence de 506 Hz en fonction du
nombre de Reynolds dans les perforations. . . . . . . . . . . . . 104
2.21 interaction entre 2 perforations en régime linéaire (faibles ni-
veaux de pression) sur un demi-cycle. a) Perforations éloi-
gnées : effets d’interaction négligeables. b) Perforations rap-
prochées : effets d’interaction non négligeables. . . . . . . . . . 105
2.22 interaction entre 2 perforations en régime non-linéaire (forts
niveaux de pression) sur un demi-cycle. a) Perforations éloi-
gnées : effets d’interaction négligeables. b) Perforations rap-
prochées : effets d’interaction non négligeables. . . . . . . . . . 107
3.1 Schéma représentatif de quelques configurations. (a) MPP cou-
plée à une cavité d’air et une paroi rigide ; (b) Poreux sur une
paroi rigide ; (c) MPP couplée à un poreux sur une paroi rigide
sans aucune cavité d’air ; (d) MPP couplée à un poreux avec
cavité d’air avant la paroi rigide ; (e) MPP couplée à un poreux
sur paroi rigide avec une cavité d’air avant le poreux. . . . . . . 116
3.2 Représentation schématique des profils de vitesse particulaire
dans un tube cylindrique. a) basse fréquence et b) haute fré-
quence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3 Les différents régimes d’écoulement dans les milieux poreux.
Schéma inspiré de Basak (Bas77). . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
xxii
3.4 Mesures du coefficient d’absorption des échantillons poreux 1
(Mousse) et poreux 2 (Feutre) en fonction de la fréquence. ♦
Poreux 1 à 90 dB ; © Poreux 1 à 142 dB ; � Poreux 2 à 90 dB ;
4 Poreux 2 à 142 dB. Les niveaux de pression sont donnés par
le microphone de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.5 Schéma représentatif d’un bicouche composé d’une MPP et
d’un matériau poreux et nomenclature utilisée. La région 1 est
constituée de la MPP tandis que la région 2 est constitué du
matériau poreux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.6 Résistivité σ des plaques micro-perforées MPP1 et MPP2 en
fonction du nombre de Reynolds dans les perforations. Pro-
fondeurs de cavité d’air de 84 mm (cas de MPP1) et 72 mm
(cas de MPP2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.7 Coefficient d’absorption à la résonance des plaques micro-
perforées MPP1 et MPP2 en fonction du nombre de Reynolds
dans les perforations. Profondeurs de cavité d’air de 84 mm
(cas de MPP1) et 72 mm (cas de MPP2). . . . . . . . . . . . . . . 143
3.8 Coefficient d’absorption à la résonance des Système1 et Sys-
tème2 (sans cavité d’air) en fonction du nombre de Reynolds
dans les perforations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.9 Coefficient d’absorption en fonction de la fréquence pour le
système1 sans cavité d’air. Niveau de pression en entrée de 145
dB (correspondant à Rep = 492,5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.10 Coefficient d’absorption à la résonance des Système1 et sys-
tème2 (avec cavité d’air) en fonction du nombre de Reynolds
dans les perforations. Profondeurs de cavité d’air de 25 mm
(derrière le système1) et 21 mm (derrière le système2). . . . . . 145
3.11 Coefficient d’absorption en fonction de la fréquence pour le
système2 avec 21 mm de profondeur de cavité d’air avant la
paroi rigide. Niveau de pression en entrée de 142 dB (corres-
pondant à Rep = 459,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.1 Plaque micro-perforée (MPP) délimitant deux espaces semi-
infinis en incidence normale. Le milieu de propagation est l’air.
AI , AR et AT représentent respectivement l’amplitude de pres-
sion incidente, réfléchie et transmise. p1 et p2 sont les pressions
acoustiques de part et d’autres de la MPP. . . . . . . . . . . . . . 153
xxiii
E.1 Propagation acoustique dans le tube à impédance. Calcul de la
pression et de la vitesse pariétales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
G.1 Disposition hexagonale des perforations dans le plan (⇒ 6 per-
forations autour d’une perforation). a) Vue de dessus ; b) Vue
de profil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
G.2 Zone autour des perforations en régime non-linéaire. a) cas
d’une seule perforation sans interaction (OA=AB=BC=OC=RH) ;
b) Cas de deux perforations interagissant entre elles avec b <
2RH (OP=OS=RH, b=distance entre perforations, PQ=b/2). . . . 184
H.1 Photographies agrandies de quelques perforations de diamètre
nominal de 1,6 mm. Agrandissement x15. . . . . . . . . . . . . . 188
H.2 Observation de la circularité de quelques perforations sur un
projecteur de profil DELTRONIC DV114. Agrandissement x10.
Perçage réalisé au Laser avec un rayon de faisceau de 0,3 mm. . 189
H.3 Plaque micro-perforée d’épaisseur 1 mm, diamètre de trous de
0,9 mm avec 4300 trous (Taux de perforation de 48,37 %). a)
Vue de face ; b) Vue de profil (déformation de la plaque due à
la libération des contraintes internes). . . . . . . . . . . . . . . . 190
I.1 Représentation généralisée du circuit électrique équivalent des
multi-couches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
I.2 Comparaison des coefficients d’absorption d’un multi-MPP
composés de 5 MPP identiques avec une paroi rigide à l’ar-
rière. − − − Méthode de la matrice de transfert ; — Méthode
ACEE. caractéristiques : 2,2 mm d’épaisseur MPP, de 0,7 mm
de diamètre de trous, de 2,5 % de taux de perforation et pour
des profondeurs de cavité toutes prises à 20 mm. . . . . . . . . 193
xxiv
Introduction générale
Enjeux et motivations
Le développement des activités économiques a conduit à une expansion
des moyens de transports (en particulier de l’automobile). Avec cette
dernière, les nuisances sonores se sont vues accroître à tel point que le bruit
constitue aujourd’hui l’une des premières causes de plaintes individuelles en
Europe. Selon une étude réalisée en avril 2010 pour le ministère de l’écologie,
de l’énergie, du développement durable et de la mer, les nuisances sonores en
France sont considérées comme la troisième grande pollution (après les dé-
chets et la pollution de l’air). Selon cette même étude, les transports et en par-
ticulier la circulation routière sont considérés comme les principales sources
de nuisances sonores. Les pouvoirs publics sont de plus en plus à l’écoute
des plaintes dans ce domaine, renforçant la réglementation en vigueur, et
d’importants enjeux humains ainsi qu’économiques sont un véritable moteur
de la recherche dans le domaine sur la réduction du bruit. Les industries
automobile et aéronautique utilisent déjà beaucoup de matériaux absorbants
de type poreux classiques pour le traitement des moyennes et des hautes fré-
quences ; les basses fréquences nécessitant l’utilisation d’épaisseurs de maté-
riaux importants qui sont le plus souvent incompatibles avec les contraintes
industrielles. Aussi, la tendance actuelle est d’utiliser des structures de plus
en plus fines et légères.
Objectif et plan de la thèse
L’objectif de cette thèse est de contribuer à la modélisation, sous forts ni-
veaux d’excitation des systèmes incorporant les plaques micro-perforées
(MPP en anglais pour Micro-Perforated Plates) et les matériaux poreux clas-
siques. Le ou les modèles développés doivent pouvoir apporter des éléments
importants nécessaires à la compréhension et à la prédiction du comporte-
ment acoustique de ces systèmes. Pour atteindre l’objectif de cette thèse, les
1
2 Introduction générale
systèmes composés de MPP seule sont d’abord étudiés en régime de forts
niveaux afin de mieux cerner leur comportement. Dans ce régime, l’effet d’in-
teraction entre les perforations est exploré pour deux raisons principales :
La première est que ces effets ont très peu été explorés en régime de faibles
niveaux et quasiment pas sous forts niveaux d’excitation. La deuxième raison
est que ces effets nous permettent d’explorer une nouvelle piste qui est la
modification de la tortuosité pour prendre en compte de tels effets. La piste
de la tortuosité se révèle adaptée pour l’utilisation d’une approche par fluide
équivalent pour modéliser les multi-couches incorporant les plaques micro-
perforées et les matériaux poreux classiques. Les multi-couches sont alors
étudiés à forts niveaux d’excitation sous une approche fluide équivalent par
la méthode de la matrice de transfert (TMM en anglais pour Transfer Matrix
Method). Pour terminer, l’étude des multi-couches ouvre des perspectives
intéressantes sur une étude de la transparence de tels systèmes sous forts
niveaux. Deux régimes sont distingués pour l’excitation : le régime linéaire
dit de faibles niveaux d’excitation et le régime de forts niveaux d’excitation.
Entre ces deux régimes, il existe un régime transitoire qui peut être plus ou
moins accentué. Ces régimes vont permettre de définir deux points essentiels
dans la compréhension de notre travail : Le point critique (définit comme
le point à partir duquel s’installe le régime non-linéaire) et le point optimal
(point à partir duquel le maximum du coefficient d’absorption (pic fréquen-
tiel) décroît avec le niveau d’excitation). Nos contributions portent sur 4 axes
présentés sous forme de chapitres dans ce mémoire :
Le chapitre 1 est consacré au comportement acoustique des MPP cou-
plées à une cavité d’air et une paroi rigide sous forts niveaux d’excitation.
Un modèle analytique est développé dans ce chapitre intégrant deux pa-
ramètres adimensionnels et un nombre de Mach optimal qui se révèlent
appropriés pour prédire l’impédance acoustique de tels systèmes à forts
niveaux d’excitation. L’impédance acoustique des systèmes formés par une
MPP couplée à une cavité d’air et une paroi rigide peut être considérée
comme la somme d’une impédance due aux effets visqueux et thermique
(contribution à faibles niveaux d’excitation) et d’une impédance due aux ef-
fets de turbulence (contribution à forts niveaux d’excitation). C’est la raison
pour laquelle ce chapitre débute sur un bref rappel de quelques modéli-
sations de ces systèmes à faibles niveaux d’excitation. Le modèle à forts
niveaux d’excitation que nous présentons ensuite repose essentiellement sur
Introduction générale 3
une analyse dimensionnelle et une application des lois de Forchheimer (lois
à l’origine utilisées pour les matériaux poreux classiques). L’effet vibratoire
de la plaque est examiné en particulier et sa contribution est intégrée dans
le modèle final. Ce chapitre a la particularité de présenter deux résultats
nouveaux : le premier résultat est celui de décrire la variation du pic (fré-
quentiel) d’absorption avec l’augmentation du niveau d’excitation (donné en
nombre de Mach) et le second résultat est de proposer une formule don-
nant le nombre de Mach "optimal" permettant de maximiser l’absorption.
Le modèle présenté est relativement validé par les résultats expérimentaux.
Le modèle est proposé dans des conditions d’absence d’écoulement moyen
et d’absence d’effets d’interaction entre les perforations (hypothèse que les
perforations sont très espacées les unes par rapport aux autres). Les effets
d’interactions sont particulièrement étudiés dans le chapitre suivant.
Le chapitre 2 est consacré à la problématique des effets d’interaction
entre perforations sous forts niveaux d’excitation. En pratique, les interac-
tions entre les perforations peuvent modifier le champ acoustique en entrée
et en sortie des perforations. Dans ce chapitre, les effets d’interaction sont
d’abord présentés en régime linéaire suivant deux approches classiques :
l’approche par la fonction de Fok et l’approche de Keefe. Une troisième
approche en termes de fluide équivalent, par correction de la tortuosité est
développée pour prendre en compte les effets d’interaction entre perforations
en régime sous forts niveaux. La résistivité, dans le modèle géométrique alors
développé est modifiée suivant la loi parabolique de Forchheimer. Pour vali-
der ce modèle, deux groupes d’échantillons ont été fabriqués et testés dans
la partie expérimentale. Dans le premier groupe d’échantillons, la porosité
des plaques varie avec la distance entre les perforations et dans le deuxième
groupe d’échantillons, cette porosité reste constante avec la variation de la
distance entre les perforations. Il est alors montré par le modèle développé
et par les résultats expérimentaux, qu’avec l’augmentation du niveau d’exci-
tation, une augmentation du taux de perforation est nécessaire pour obtenir
des amplitudes de coefficient d’absorption proches de 1. Un fort taux de
perforation pouvant être une contrainte en régime linéaire, nous proposons
en fin de chapitre une solution à cette contrainte, celle d’utiliser un système
multi-MPP à taux de perforation décroissants, composé de quelques MPP
uniquement. La raison pour laquelle les interactions ont été étudiées via une
modification de la tortuosité est que cette méthode est bien adaptée à l’étude
4 Introduction générale
des systèmes multi-couches dans l’approximation du fluide équivalent et
dans le cadre du modèle des matrices de transfert.
Le chapitre 3 traite de la modélisation de multi-couches formés de MPP
et de matériaux poreux classiques, tels que mousse et feutre couplés ou
non à une cavité d’air avant la paroi rigide, sous forts niveaux d’excitation.
Les deux types de matériaux (MPP et matériaux poreux classiques) sont
modélisés suivant une approche fluide équivalent et leur couplage est pris
en compte par utilisation de la méthode de la matrice de transfert. Pour
prendre alors en compte le régime sous fort niveau, la loi de Forchheimer
est appliquée à chaque couche. Dans la partie expérimentale, deux cas sont
examinés : le cas où le multi-couche est directement couplé à une paroi
rigide et le cas où il y a une cavité d’air entre le multi-couche et la paroi
rigide. Le modèle multi-couche est expérimentalement validé pour deux
fréquences choisies relativement basses (gamme d’efficacité des MPP) sur
deux échantillons de MPP de caractéristiques différentes et deux échantillons
de matériaux classiques (feutre et mousse).
Dans le chapitre 4 nous présentons les perspectives et introduisons l’étude
de la transparence acoustique des MPPs sous forts niveaux d’excitation en
incidence normale. Pour l’étude de la transparence acoustique, seul le déve-
loppement théorique est proposé en incidence normale. Entre autres pers-
pectives de ce travail, une étude des vibrations de la plaque perforée sous
forts niveaux d’excitation est intéressante. L’effet vibratoire qui est considéré
dans ce mémoire est supposé linéaire (faibles déplacements de la MPP). Le
comportement des matériaux poreux classiques, soumis aux forts niveaux
d’excitation, est très souvent modélisé par une approche de structure rigide
dans des configurations qui le permettent. Une étude avec structure élastique
sous forts niveaux d’excitation et dans le cadre théorique de Biot apporterait
une contribution importante dans l’étude de ces systèmes.
1Système absorbant composé d’une
plaque micro-perforée sous fort
niveau acoustique
Sommaire
Notations du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Généralités sur les plaques micro-perforées . . . . . . . . . 11
1.2 Modélisations de l’impédance acoustique à faibles ni-veaux d’excitation : Le régime linéaire . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Les approches de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 La méthode modale d’Ingard-Allard . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 La méthode du fluide équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Le modèle analytique de Maa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5 Les approches numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.6 Tableau de synthèse des approches . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Modélisations à forts niveaux d’excitation . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Au sujet de l’origine du phénomène de turbulence . . . . . . 23
1.3.2 Au sujet du modèle présenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Régime darcéen, régime non-darcéen et lois de Forchheimer . 27
1.3.4 Modèle d’impédance en régime non-linéaire . . . . . . . . . . 30
1.3.5 L’effet mécanique de la plaque couplé à l’effet acoustique . . 33
1.3.6 Coefficient d’absorption de plaque micro-perforée couplée à
une cavité d’air et une paroi rigide . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.7 Variation du maximum d’absorption en fonction du nombre
de Mach Mp : Nombre de Mach optimal . . . . . . . . . . . . 41
5
6
Chapitre 1. Système absorbant composé d’une plaque micro-perforée sous fort niveauacoustique
1.4 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.1 Caractéristiques des échantillons de plaques micro-perforées 45
1.4.2 Mesures au tube à impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.3 Estimation de la vitesse particulaire dans les perforations . . 49
1.4.4 Résultats et validation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.5 Calculs d’incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Notations du chapitre 1
a, Ap Constante adimensionnelle liée au régime nonlinéaire
Amn Constante modale
As Aire de la section droite
b, Bp Constante adimensionnelle liée au régime nonlinéaire
b1 Distance entre deux perforations
Bmn Constante modale
c0 Célérité du son dans l’air
d Diamètre de perforation
Dcav Profondeur de la cavité d’air
D f Tenseur des taux de déformation
Drig Rigidité de flexion
E Module d’Young
Ec Energie cinétique
Ecav Energie potentielle de la cavité
Ecp Energie cinétique de la plaque
Epp Energie potentielle de la plaque
f Fréquence d’excitation
F0, F1, F2, F3 et F4 Coefficients de Forchheimer
Fp Forces en présence
h Epaisseur de la plaque
H12 Fonction de transfert entre les microphones 1 et 2
I1 Fonction de Bessel modifiée de première espèce
Imag Partie imaginaire
j Imaginaire pur
J0, J1 Fonctions de Bessel de première espèce à l’ordre 0 et 1 respectivement
k Nombre d’onde
k0 Nombre d’onde dans l’air
kp Constante de perforation
kv Perméabilité visqueuse
K Constante des effets de forme des embouchures en régime nonlinéaire
K1 Fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce
KR Conductivité de Rayleigh
7
l1, l2 Distance entre l’échantillon et le microphone 1, 2 respectivement
Lx, Ly Dimension suivant la direction des x ou y
m Numéro du mode
M Nombre de Mach
Mp Nombre de Mach dans les perforations
Ms Masse surfacique
n Numéro du mode
nmes Nombre de mesures expérimentales effectuées
p Pression acoustique
p∗ Pression généralisée
P0 Pression atmosphérique
Q Débit
r Rayon hydraulique de perforation(=d/2)
Real Partie réelle
Rs Résistance acoustique de Rayleigh
Rt Tenseur de Reynolds
R(ω) Coefficient de réflexion
S Surface
St Nombre de Strouhal
Sx,y Surface de la plaque carrée
t Variable temps
tF Coefficient de Fisher-Student
T Tenseur des extras-contraintes
u Vitesse particulaire axiale
up Vitesse particulaire axiale dans les perforations
V Volume de contrôle
x Direction de l’espace
y Direction de l’espace
z Direction de l’espace
zcav Impédance normalisée de la cavité d’air
zs Impédance normalisée de surface
Z0 Impédance caractéristique de l’air = ρ0c0
Zcav Impédance acoustique de la cavité d’air
8
ZMPP Impédance acoustique due aux perforations
Zvib Impédance due à la vibration de la plaque
< > moyenne
α∞ Tortuosité géométrique
α∞ Tortuosité dynamique
α, α(ω) Coefficient d’absorption
αM Coefficient d’absorption à la résonance
γ Rapport des chaleurs spécifiques de l’air
δ Constante caractérisant le régime laminaire, turbulent et de transition
∆p Variation de pression en entrée et sortie de la MPP
εe Correction de longueur
η Coefficient de viscosité dynamique du fluide
ηmn Facteur de perte du mode mn
Λ Longueur caractéristique visqueuse
µ Viscosité dynamique de l’air
ν Viscosité cinématique du fluide
νp Coefficient de Poisson
ρ Densité
ρ0 Densité de l’air
ρe Densité effective
σ Résistivité
σnl Résistivité en régime nonlinéaire
σrep Répétabilité estimée à partir de l’écart-type
τij Tenseur des contraintes visqueuses
φ Taux de perforation ou porosité
φmn Déformée modale
ω Pulsation
Les indices utilisés
p, per f Perforation
cav Cavité (généralement de l’air)
ray Rayonnement
9
MPP Plaque Micro-Perforée
R Rayleigh
0 Paramètre lié au fluide (l’air)
S, s Surface
e Effective ou équivalente
vib Vibration (structure)
NL, nl Régime nonlinéaire
linear Régime linéaire
i, j indices relatifs aux directions
Les exposants utilisés
l, m, n, o, p, q constantes de puissance de l’analyse dimensionnelle
10
1.1 Généralités sur les plaques micro-perforées
A l’origine utilisées pour protéger les matériaux poreux classiques des dégra-
dations physiques, les plaques perforées constituent de nos jours un potentiel
innovant dans l’amélioration du confort acoustique en moyennes et basses
fréquences. Parmi les plaques perforées, seules les plaques micro-perforées
se révèlent posséder des propriétés d’absorption acoustiques intéressantes.
Le concept d’utilisation de plaques micro-perforées (fig. 1.1) comme ab-
sorbants fut développé dans les années soixante-dix par Maa (Maa75). Elles
étaient alors utilisées comme compléments aux traditionnelles fibres absor-
bantes. L’utilisation de ces fibres absorbantes fut mise de coté pour des rai-
sons de difficulté d’entretien. Il devient de plus en plus approprié d’utiliser
des plaques micro-perforées, que nous noterons très souvent MPP (Micro-
Perforated Panels) en remplacement ou en complément des absorbants clas-
siques tels que laines, mousses, feutres, etc. L’avantage principal d’utilisa-
tion des plaques micro-perforées réside dans le fait qu’elles peuvent présen-
ter un grand coefficient d’absorption en basses ou moyennes fréquences par
rapport aux absorbants classiques cités. Leurs propriétés et leur côté esthé-
tique constituent des avantages. Les plaques micro-perforées (fig. 1.1) sont
des plaques de matériaux en acier, zinc, cuivre, aluminium, plexiglas, PVC,
bois ou composites d’épaisseur de l’ordre du millimètre ou du submillimètre
dont les surfaces présentent des trous carrés, à fentes ou circulaires de tailles
de l’ordre du millimètre ou en général des submillimètres (le terme micro-
perforation est généralement utilisé lorsque les rayons de perforations sont
submillimétriques). Même si l’idéal dans la fabrication de ces matériaux reste
le fait que la taille des trous doit être supérieure à l’épaisseur de plaque (plus
le rapport entre la taille des trous et l’épaisseur avoisinent 1, plus il est dif-
ficile et coûteux d’en fabriquer), les avantages pré-cités font que les plaques
micro-perforées sont d’un grand intérêt dans la réduction des nuisances so-
nores.
Le principe des matériaux absorbants classiques est de transformer l’éner-
gie acoustique en chaleur. Dans le cas des MPP, le principe est le suivant :
lorsque les particules d’air oscillantes se propagent dans les perforations de
la plaque, il se produit des frictions au niveau de chaque trou. De ces frictions,
à faibles niveaux de pressions incidentes, résulte la dissipation de l’énergie
acoustique ; tandis qu’à forts niveaux de pressions incidentes, la dissipation
de l’énergie acoustique résulte en grande partie de l’aspiration en entrée et
11
des détachements tourbillonnaires appelés vortex shedding en sortie. Pour
appliquer les outils de la mécanique des milieux continus, les différentes
longueurs d’ondes des ondes pouvant se propager dans les perforations sont
supposées grandes devant les dimensions des matériaux étudiés. Cette condi-
tion va nous permettre de négliger les effets de la diffusion et de la dispersion
spatiale et de considérer le fluide comme étant incompressible à l’échelle de
la perforation. Nous allons également supposer que les dimensions des per-
forations sont suffisamment grandes, de sorte qu’à l’échelle microscopique,
le fluide peut encore être considéré comme un milieu continu.
Si le principe d’utilisation des plaques micro-perforées est simple, leur
modélisation reste encore incomplète. Dans le principe, quand l’onde acous-
tique incidente rencontre la MPP, la structure est supposée vibrer très peu.
L’onde se propage dans les perforations. Si les dimensions des perforations
sont de l’ordre de grandeur des couches limites thermiques et visqueuses,
une partie de l’énergie acoustique est dissipée par frictions et échanges de
chaleur ou détachements tourbillonnaires. En dehors de ces couches limites,
l’énergie acoustique est très peu dissipée. Du fait de l’ordre de grandeur
des couches limites visqueuses et turbulentes, il sera indispensable d’utiliser
des perforations ayant des diamètres submillimétriques. Il est important de
remarquer que l’utilisation d’une plaque micro-perforée isolée, c’est-à-dire
dans l’air ou contre une paroi, n’est pas acoustiquement efficace ; pour un
rendement acoustique efficace, elle doit être couplée à une cavité (MPP dé-
collée de la paroi) afin d’augmenter la vitesse dans les perforations et de ce
fait la dissipation à certaines fréquences.
Fig. 1.1 – Présentation de la MPP. a) Vue de face, b) Vue de profil, c) Aperçu d’une perfora-
tion.
12
1.2 Modélisations de l’impédance acoustique à
faibles niveaux d’excitation : Le régime linéaire
De multiples travaux ont été entrepris depuis quelques dizaines d’années
dans le but d’étudier le comportement acoustique des plaques perforées et
micro-perforées. Les approches pour modéliser l’acoustique de ces plaques à
faibles niveaux d’excitation sont diverses. Entre autres, on rencontre l’ap-
proche théorique et empirique de l’acoustique des orifices (BLI49), l’ap-
proche par les résonateurs d’Helmholtz (Ing53), l’approche par la propaga-
tion acoustique dans les tubes très fins (Maa98), l’approche du fluide équi-
valent (AS07) et les approches numériques (How79). Dans la caractérisation
des MPP, on est généralement amené, à partir de paramètres plus ou moins
connus, à trouver une expression de l’impédance caractéristique de la MPP.
Cette impédance caractéristique ZMPP se définit par
ZMPP =∆pu
(1.1)
où ∆p représente la différence de pression en entrée et en sortie de la MPP et
u la vitesse à travers les perforations. Dans une situation donnée, l’impédance
de surface est évaluée à partir des relations de transport d’impédance dans
les milieux formés et des formules de raccordement d’impédance entre le
milieu de la MPP et le milieu derrière la MPP.
L’étude de l’acoustique est basée sur l’équation d’onde, pouvant porter
sur la pression p, la vitesse particulaire u ou encore la densité ρ. Suivant une
notation de pression, cette équation s’écrit, en acoustique linéaire :
∂2p∂t2 − c2
0∆p = 0 (1.2)
où c0 est la célérité du son. En considérant une onde sinusoïdale, avec k0 le
nombre d’onde, on obtient l’équation d’Helmholtz donnée par
∆p + k20p = 0. (1.3)
Le modèle d’impédance sous forts niveaux d’amplitudes de pression étant
généralement considéré comme la somme des impédances en régime linéaire
et en régime non-linéaire, nous présentons ici de façon succincte quelques
modèles classiques du régime linéaire (faibles niveaux de pression).
13
1.2.1 Les approches de base
Les formulations de Kirchhoff en 1868 ont contribué à poser les bases du pro-
blème de la propagation et de l’absorption des ondes acoustiques dans un
matériau poreux. Dans son travail, Kirchhoff (Kir68) présente la propagation
d’une onde acoustique dans un tube de section circulaire dans l’hypothèse
que le fluide est un gaz visqueux et conducteur de chaleur. Trois principales
équations constituent le noyau de cette étude : l’équation de Navier-Stokes li-
néarisée, la conservation de la masse et la conservation de l’énergie. Bien que
cette théorie ne constitue pas en soi un modèle de matériau poreux, on peut
en obtenir un en considérant un milieu constitué d’une matrice rigide percée
de tubes cylindriques. La plupart des modèles développés sur les milieux
poreux (principalement sur la propagation en conduits de section circulaire)
seront une généralisation de la théorie de Kirchhoff dans une configuration
donnée. L’étude la plus générale de l’acoustique en tubes est effectuée par
Crandall (Cra27). Ce dernier se limite à l’étude des effets visqueux du fluide
contenu dans le tube représenté par la perforation ; en d’autres termes, son
étude ne traite pas du rayonnement en entrée ou en sortie du tube. Dans son
modèle, deux types de pertes résistives sont considérés : les pertes de type
Poiseuille (correspondant au cas où r2 f < 0, 1 dans l’air avec r le rayon du
tube et f la fréquence d’excitation) et les pertes de type Helmholtz (corres-
pondant au cas où r2 f > 0, 5 dans l’air). Il est montré que seul le second type
de pertes dépendra de la fréquence. Ce sont les travaux d’Ingard (Ing53) et
Sivian (Siv35) qui vont fournir les premières expressions d’impédance (ré-
sistance et réactance) de rayonnement de perforation selon le type de pertes
considéré.
1.2.2 La méthode modale d’Ingard-Allard
L’approche modale d’Ingard-Allard (All93) est essentiellement basée sur la
prise en compte des effets résistif et inertiel. La caractéristique modale de ce
modèle vient du fait que la longueur de correction est calculée par une ap-
proche modale pour des perforations circulaires. A cause de l’oscillation de
la masse d’air contenue dans la perforation, un effet de rayonnement prend
place aux embouchures de la perforation. Pour prendre en compte ce rayon-
nement qui modifie l’épaisseur de la perforation, une correction de longueur
est nécessaire.
Si l’on considère que les ondes acoustiques arrivent sur la plaque, de
14
gauche à droite sur la figure 1.1c, et que l’on regarde deux points A et B
pris en entrée et en sortie de perforation, il s’agit de trouver l’impédance ZA
au point A. Avec ZB représentant l’impédance du milieu derrière la MPP
(impédance de la cavité d’air si la MPP est couplée à une cavité d’air). Si
l’on ne tient compte d’aucun effet (résistif ou inertiel), l’impédance ZB est
obtenue par la conservation des débits (formule de changement de milieu)
des milieux Air et MPP, soit
ZB =ZB′
φ(1.4)
et il faut ajouter à cette impédance les termes prenant en compte les effets
résistif et inertiel.
L’effet résistif : du fait de la dissipation visqueuse dans la perforation et
sur la surface de la plaque, l’impédance en B doit présenter une composante
résistive RB. L’expression de cette composante est
RB = Rs (1.5)
où Rs est la résistance d’écoulement décrite dans le paragraphe (1.2.4). Tou-
tefois, du fait que cette résistance est trop petite, Ingard (Ing53) propose à
partir de mesures de prendre dans les modèles deux fois cette résistance de
chaque côté.
L’effet inertiel : c’est l’effet de masse ajoutée. Il est analogue à l’effet de
tortuosité rencontré dans les milieux poreux. La surface de la MPP déforme
l’écoulement d’air dans une région ayant une épaisseur souvent plus petite
que le diamètre de perforation. Cette modification de l’écoulement crée une
augmentation de l’énergie cinétique. En considérant l’onde incidente plane,
Allard (All93) montre que l’impédance obtenue par cet effet est de la forme :
Zi = jωεeρ0 (1.6)
où Zi est l’impédance due à l’effet inertiel, εeρ0 est la masse ajoutée par unité
de surface de perforation, ρ0 représente la masse volumique du fluide (l’air
dans notre cas) et εe la longueur à rajouter à l’orifice cylindrique à gauche
de B afin de créer le même effet que crée la distorsion de l’écoulement. Cette
longueur à rajouter est déterminée à partir de l’impédance de rayonnement
en négligeant la partie réelle. La MPP est décomposée en plusieurs grilles
comportant une perforation chacune, les perforations peuvent ainsi être vues
15
comme des cellules cylindriques espacées de façon régulière. En utilisant les
fonctions de Bessel, Allard exprime la pression et la vitesse au niveau d’une
perforation et ainsi l’impédance au point B′. Finalement, cette impédance est
la somme des impédances produites par tous ces effets. Ainsi
ZB′ = φZB + 2Rs + jωρ0εe. (1.7)
L’impédance au point A est trouvée en prenant en compte les deux masses
ajoutées (de part et d’autres de la perforation), la masse et la résistance
d’écoulement d’une perforation circulaire et deux fois l’effet résistif. On a
alors
ZA = ZB′ + 4hd
Rs + jωρ0h + 2Rs + jωρ0εe + φZB (1.8)
où h représente l’épaisseur de la plaque, d le diamètre de perforation. D’où
l’impédance en A est donnée par
ZA = 4(
1 +hd
)Rs + jωρ0 (h + 2εe) + φZB (1.9)
où ZB représente l’impédance du système derrière la MPP.
1.2.3 La méthode du fluide équivalent
Cette méthode, developpée par Atalla et Sgard (AS07), est basée sur une ap-
proche fluide équivalent à l’origine développée par Johnson-Allard (All93)
pour l’étude des milieux poreux. Dans cette approche, la tortuosité effec-
tive est vue comme une fonction de la longueur de correction induite par le
rayonnement de la MPP et d’une tortuosité dynamique du milieu en contact
avec la MPP. Il s’agit par exemple de trouver l’impédance de surface de la
MPP lorsque celle-ci est couplée à une cavité d’air. La partie réelle de cette
impédance représente les effets visqueux à l’intérieur des perforations (loca-
lisés dans les couches limites de viscosité) et à l’embouchure des perforations
(distorsion d’écoulement acoustique). La partie imaginaire (appelée aussi ré-
actance) représente le déplacement de la masse d’air dans les perforations.
Lorsque ce déplacement a une longueur plus grande que l’épaisseur de la
MPP, il est nécessaire de prendre en compte les longueurs de correction du
rayonnement acoustique. La figure 1.2 présente les différents phénomènes
physiques intervenant aux frontières et dans la perforation en régime linéaire.
Pour des perforations cylindriques, sous incidence normale d’onde plane,
les paramètres de Biot (All93) appliqués aux perforations cylindriques dans
la direction de propagation de l’onde peuvent être utilisés. Allard (All93)
16
montre que dans ce cas, les longueurs caractéristiques visqueuse Λ et ther-
mique Λ′ sont égales au rayon hydraulique des perforations d/2.
Fig. 1.2 – Phénomènes physiques à prendre en compte. a) Phénomènes qui influencent la
résistance et b) Phénomènes qui influencent la réactance.(Schéma de Atalla et Sgard (AS07))
La résistivité de la MPP est fonction du rayon de perforation et du taux
de perforation φ selon la relation
σ =8η
φr2 (1.10)
où est η la viscosité dynamique de l’air. Cette résistivité est obtenue à partir
de la perméabilité visqueuse statique de la loi de Poiseuille. Si l’on considère
la propagation dans une perforation, l’impédance au point A′ (voir fig. 1.1c)
est influencée par les effets visqueux et inertiels et est donnée par
ZA′ = jωρeh + φZB (1.11)
où ω est la pulsation, h est l’épaisseur de la plaque, ZB′ étant l’impédance
acoustique au point B′ et ρe est la densité effective qui est une fonction de la
densité de l’air et de la tortuosité dynamique α∞. Cette densité effective est
donnée par
ρe = ρ0α∞ (1.12)
où la tortuosité dynamique α∞ est donnée par
α∞ = α∞
(1 +
σφ
jωρ0α∞GJ (ω)
), (1.13)
avec
GJ(ω) =(
1 + j4ωρ0α2
∞η
σ2φ2Λ2
)1/2
, (1.14)
où ρ0 la densité de l’air, α∞ la tortuosité géométrique, Λ la longueur caracté-
ristique visqueuse qui est égale au rayon hydraulique de perforation (Λ = r).
17
Pour prendre en compte la distorsion du flux en entrée et en sortie de per-
foration, la tortuosité géométrique est corrigée en fonction de la nature du
milieu derrière la plaque (milieu au point B). Dans le cas où la plaque per-
forée est placée devant une cavité d’air et un mur rigide, cette tortuosité est
donnée par
α∞(ω) = 1 +2εe
h(1.15)
et dans le cas où elle est placée devant un matériaux poreux on a
α∞(ω) = 1 +εe
h(1 + Real(α∞2)) (1.16)
avec α∞2 la tortuosité dynamique du milieu poreux derrière la plaque perfo-
rée, εe = 0,48
√πr2(1-1,14
√φ) étant la correction de longueur obtenue par une
approche modale dans le cas de perforations cylindriques et pour√
φ < 0, 4.
L’impédance de surface ZA est alors
ZA = jω
φρeh + ZB. (1.17)
1.2.4 Le modèle analytique de Maa
Cette théorie a été de nombreuses fois reprise et appliquée à des systèmes
absorbants comprenant des MPP (simple et multi-MPP). Le modèle de Maa
(Maa98) a été développé à partir des travaux de Crandall sur la propagation
acoustique dans les tubes fins. En ne considérant que la vitesse axiale (la
vitesse radiale étant négligeable devant la vitesse axiale) dans un tube court
(par rapport à la longueur d’onde), l’équation différentielle sur la vitesse
axiale u est donnée par
jωρ0u− η
r∂
∂r
[r
∂
∂ru]
=∆ph
(1.18)
où ∆p représente la différence de pression en entrée et en sortie du tube,
h la longueur du tube (correspondant à l’épaisseur de la plaque perforée),
η la viscosité dynamique, ρ0 la densité de l’air, r la coordonnée radiale et
u la vitesse particulaire dans le tube. L’expression (1.18) est une équation
différentielle de Bessel. Par un développement en série entière de u et par
identification des coefficients, l’impédance caractéristique (rapport entre ∆p
et la vitesse moyenne 〈u〉 sur une section du tube court) est donnée par
Zper f =∆p〈u〉 = jωρ0h
[1− 2
kp√−j
J1(kp√−j)
J0(kp√−j
]−1
, (1.19)
18
où kp = d√
ωρ04η est la constante de perforation définie comme le rapport
entre le diamètre de trou et l’épaisseur de couche limite visqueuse dans la
perforation, J0 et J1 sont les fonctions de Bessel de première espèce d’ordre
0 et 1, respectivement. Maa propose une approximation de Zper f valide pour
les tubes minces comme suit
Zper f =32ηh
d2
√1 +
k2p
32+ jωρ0h
1 +1√
32 + k2p/2
. (1.20)
Le rayonnement sonore à l’embouchure de la perforation est pris en compte
par une double correction (une pour chaque embouchure) ajoutée à la partie
imaginaire (réactance) de l’impédance de la perforation. Cette correction sera
d’autant plus importante que le diamètre de perforation est supérieur ou de
l’ordre de grandeur de l’épaisseur de plaque (II67). Une identification du
système au rayonnement d’un piston bafflé permet d’obtenir l’impédance de
rayonnement et est donnée par Morse (Mor48) (dans le cas k0d << 1) par
Zray =(k0d)2
2+ j
8k0d3π
(1.21)
où k0 est le nombre d’onde. Les vibrations des particules d’air sur le baffle
en sortie de la perforation contribuent à une augmentation des effets thermo-
visqueux. Pour prendre cet effet en compte, Rayleigh (Ray29) propose d’ajou-
ter à la résistance acoustique un facteur RS donné par
RS =12
√2ωρ0η. (1.22)
Les résultats précédents sont valables pour une seule perforation. Sous
certaines hypothèses, on peut effectuer une homogénéisation sur l’ensemble
des perforations de plaque. En considérant que la distance minimale entre les
perforations est très grande devant le diamètre de trou et qu’elle est très petite
devant la longueur d’onde considérée, il est alors possible de considérer que
les effets d’interaction entre les perforations sont négligeables. L’épaisseur
de la plaque doit être plus petite que la longueur d’onde considérée afin
d’assurer la continuité de vitesse de part et d’autre de la plaque.
L’impédance totale de la plaque perforée est alors obtenue en divisant
l’impédance d’une perforation par le taux de perforation φ (rapport entre le
volume de trous et le volume total de la plaque)
ZMPP =Zper f + 2Zray + 4RS
φ. (1.23)
19
Le facteur 4 dans l’expression (1.23) prend en compte le fait que la résistance
RS donnée par Rayleigh est en pratique trop petite. Ingard (Ing53), tout
comme Allard (All93) ont également observé ce comportement dans leurs
modèles et proposent une correction de ce facteur.
1.2.5 Les approches numériques
Il existe plusieurs modèles numériques qui ont été développés pour modé-
liser l’impédance acoustique de plaques perforées. La plupart des méthodes
numériques sont basées sur la discrétisation des équations aux dérivées par-
tielles satisfaites dans les différents domaines. Ces méthodes incluent la mé-
thode des éléments finis de volume (FEM), la méthode des éléments finis de
frontière (BEM), les approches mixtes (FEM/BEM) et les méthodes intégro-
géométriques. L’une des particularités des approches numériques est d’in-
tégrer à la fois le régime linéaire et non-linéaire dans un seul modèle. Ces
approches sont basées sur les équations linéarisées de Navier-Stokes, qui
prennent en compte les effets de viscosité de cisaillement et de volume. Les
simulations numériques directes les plus courantes reposent sur des codes
de calcul développés à partir des équations d’énergie et de Navier-Stokes en
fluide compressible qui sont données par
∂ρ
∂t+
∂ρuj
∂xj= 0, (1.24)
∂ui
∂t+ uj
∂ui
∂xj= −1
ρ
∂p∂xi
+∂τij
∂xj, (1.25)
∂p∂t
+ uj∂p∂xj
+ γp∂uj
∂xj= 0, (1.26)
avec ρ la densité du fluide, ui et uj les vitesses du fluide, p la pression, τij
le tenseur des contraintes visqueuses, γ le rapport des chaleurs spécifiques
du fluide. On considère qu’à l’instant initial, le fluide est au repos et que
le milieu de propagation est l’air. En appliquant un maillage adéquat du
domaine d’étude (maillage plus fin au niveau de la perforation) décrit par
la figure 1.3, le mécanisme de dissipation de la perforation peut être observé
selon un certain temps d’intégration à définir. Ces méthodes sont définies
et décrites dans les travaux numériques effectués par Tam et al. (TKAG01),
Eldredge et al. (EBS07) ou Dassé et al. (DMN08).
20
Fig. 1.3 – Schéma de configuration du domaine de calcul pour les approches numériques.
La plupart des modèles numériques décrits dans la littérature sur l’acous-
tique des MPP sont basés sur l’approche de Howe (How79). Ce modèle tel
que décrit ici, contrairement aux modèles précédents, a été développé pour
les conditions d’écoulements. Le comportement acoustique d’une perforation
y est décrit par le biais de la conductivité de Rayleigh KR définie par
KR =iρ0ωq
p+ − p−(1.27)
où ρ0 est la densité du fluide qui entoure la perforation, p− et p+ représentent
les amplitudes des fluctuations de pressions mesurées en amont et en aval de
la perforation, q est l’amplitude des fluctuations de débit. Sous l’hypothèse
d’épaisseur de plaque infinie et en absence d’interaction entre les perfora-
tions, Howe obtient une expression de la conductivité de Rayleigh donnée
par
KR = 2r(γh − iδh), (1.28)
avec
γh − iδh = 1 +π2 I1(St)e−St − iK1(St) sinh(St)
St[
π2 I1(St)e−St + iK1(St) cosh(St)
] , (1.29)
où I1 et K1 sont les fonctions de Bessel modifiée de première et deuxième
espèces et St est le nombre de Strouhal donné en fonction de la vitesse up
dans la perforation par
St =2πr f
up. (1.30)
A partir de l’expression de la conductivité de Rayleigh KR et de la distance
b1, l’impédance de la perforation en incidence normale est obtenue par
zper f =iωρ0b2
1KR
. (1.31)
1.2.6 Tableau de synthèse des approches
21
Synthèse des approches présentées A
pproche D
éveloppée par
Principes N
ature Param
ètres d’entrée
Paramètres
de sortie Points forts
Lim
ites
Modale
Ingard-Allard
(All93)
Correction de longueur
d’épaisseur déterm
inée par une m
éthode m
odale
Analytique
Epaisseur de plaque, diam
ètre de trous et taux de perforation
Impédance de
perforation
Prend en compte
les faibles effets d’interaction
entre perforations
Taux de perforation < 0,4
Num
érique H
owe (H
ow79)
Calcul de la
conductivité de R
ayleigh pour une perforation
Num
érique
Diam
ètre de trou, vitesse du fluide, distance inter-perforation
Impédance de
perforation, conductivité de
Rayleigh
Modèle adapté
avec ou sans écoulem
ent, im
plémentation
facile quelque soit le code de
calcul
Epaisseur de plaque infinie, pas adapté aux géom
étries de perforation
complexes, ne
prend pas en com
pte les effets d’interaction
entre perforations
Propagation en tubes fins et
courts M
aa (Maa98)
Equations de K
irchhoff A
nalytique
Epaisseur de plaque, diam
ètre de trous et taux de perforation
Impédance de
perforation C
lassique, sim
ple
Nécessite une
correction de viscosité dans certains cas
Fluide équivalent
Atalla et Sgard
(AS07)
Approche de
Johnson-Allard
avec tortuosité équivalente
Analytique
Epaisseur de plaque, diam
ètre de trous et taux de perforation
Impédance de
perforation
Prend en compte
les faibles effets d’interaction
entre perforations
Taux de perforation < 0,4
22
1.3 Modélisations à forts niveaux d’excitation
1.3.1 Au sujet de l’origine du phénomène de turbulence
En règle générale, les modèles de propagation acoustique reposent sur les
principes de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie) formulés
comme suitddt
∫V
ρdV =∫
V(
∂ρ(x, t)∂t
+∇.(ρu))dV, (1.32)
qui est la conservation de la masse, où V est un volume de contrôle contenant
une certaine masse de fluide et
ddt
∫V
ρudV =∫
V(
∂ρu∂t
+∇.ρuu)dV, (1.33)
qui est la conservation de la quantité de mouvement. En utilisant une formu-
lation locale et en remarquant que
∇u = ∇|u|2
2+ (∇× u)× u, (1.34)
on a
ρ∂u∂t
+ ρ∇|u|2
2+ ρ(∇× u)× u = contraintes en presence. (1.35)
Par souci de clarté, le symbole vecteur ~ est volontairement omis dans ce
mémoire. On peut noter que cette dernière équation est très utile quand on
veut étudier la vorticité du fluide (tourbillons et structures similaires qui se
créent). La conservation de l’énergie cinétique est donnée par
ddt
∫V
EcdV =∫
V(
∂Ec
∂t+∇.(
12
ρ |u|2 u))dV. (1.36)
La question du pourquoi le déclenchement de la turbulence et des effets
non-linéaires liés constitue un sujet sur lequel les avis semblent diverger. En
effet, Hassanizadeh et Gray (HG87), par une analyse sur les niveaux des dif-
férentes grandeurs dans l’équation de conservation de la quantité de mouve-
ment, indiquent que ce sont les forces visqueuses microscopiques qui sont la
source de déclenchement de la non-linéarité, alors que Barak (Bar87) attribue
ce déclenchement aux forces inertielles microscopiques en considérant atten-
tivement la formation locale des tourbillons avec l’augmentation du nombre
de Reynolds. L’explication de ce dernier point de vue est la suivante :
Quand l’inertie augmente, les petites fluctuations de vitesses peuvent être
amplifiées à cause de la non-linéarité du terme convectif u∇u, ce qui conduit
23
à une perte de stabilité de la propagation. On parle alors de turbulence. Pour
mettre cela en évidence, introduisons la décomposition de Reynolds de la
vitesse en une valeur moyenne et une fluctuation : u = 〈u〉+ u′. Quand on
moyenne, les fluctuations disparaissent 〈u′〉 = 0, où le symbole 〈〉 désigne
l’opérateur moyenne. Dans les équations de Navier-Stokes, on remplace u
par la décomposition de Reynolds, puis on moyenne ; on part de l’équation
de Navier-Stokes sous forme tensorielle
ρ(∂u∂t
+ u∇u) = −∇p∗ +∇.T, (1.37)
avec p∗ la pression généralisée et T le tenseur des extras-contraintes qui
prend la forme linéaire T = 2µD f , D f étant le tenseur des taux de défor-
mation et µ la viscosité dynamique ; partant de cette dernière équation, on
aboutit à
ρ(∂ 〈u〉
∂t+ 〈u〉∇ 〈u〉) = −∇ 〈p∗〉+∇.T − ρ∇.〈u′u′〉, (1.38)
car 〈u′u′〉 6= 0 à priori. Cette dernière équation est très similaire à la première
(Navier-Stokes) si ce n’est qu’un nouveau terme est apparu
Rt = −ρ∇.〈u′u′〉. (1.39)
Ce terme est en fait le tenseur de Reynolds qui représente la turbulence.
Ce nouveau tenseur (symétrique) introduit de nouvelles inconnues et il faut
donc fournir des relations supplémentaires pour résoudre le système d’équa-
tions. La turbulence va donc traduire une perte de stabilité du régime lami-
naire. En d’autres termes, elle introduit du désordre dans la distribution des
vitesses. Une des principales difficultés de l’étude de la turbulence est que,
malgré le désordre induit, de nouvelles structures apparaissent (formations
de tourbillons ou jets). L’existence de ces structures explique le caractère non
local de la turbulence : Ce qui se passe à un endroit donné peut dépendre
très fortement de ce qui se passe dans un voisinage plus ou moins éloigné.
Le travail de cette thèse sera concentré sur les effets (conséquences) de la tur-
bulence sur le caractère absorbant des plaques micro-perforées et non sur la
formation des tourbillons. La formation des tourbillons ayant fait l’objet de
travaux poussés dans le domaine aéro-acoustique.
1.3.2 Au sujet du modèle présenté
Lorsqu’elles sont couplées à des cavités d’air, les plaques perforées ou micro-
perforées (MPP) constituent un système absorbant d’un grand intérêt pour
24
les applications d’atténuation du son (exemple : les résonateurs d’Helm-
holtz). Ces systèmes ont l’avantage d’être robustes, d’une fabrication simple
et peuvent être utilisés dans des environnements hostiles (pression ou tem-
pérature élevées). Si plusieurs modèles ont été développés pour modéliser le
comportement de ces systèmes en régime linéaire (faibles niveaux de pres-
sion incidente), le régime non-linéaire (forts niveaux de pression incidente)
reste encore très peu maîtrisé. Il est important de rappeler que la non-linéarité
dont il est question dans ce travail porte sur des niveaux d’excitation élevés
mais pour lesquels les équations de l’acoustique linéaire restent valides. A
partir des premiers travaux effectués dans les cas de forts niveaux de pres-
sion incidente, il est clair que les détachements tourbillonnaires qui prennent
place aux embouchures de la perforation modifient considérablement le mé-
canisme d’absorption. Sivian (Siv35) révéla le premier le fait qu’à forts ni-
veaux d’excitation, la réactance acoustique de perforations est indépendante
de la vitesse particulaire incidente. A partir des travaux expérimentaux effec-
tués au fil chaud, Ingard et Ising (II67) ont observé qu’en régime non-linéaire,
le flux se sépare en sortie de la perforation sous forme de jets. Pendant la
première demi-période d’entrée de flux, le flux incident est essentiellement
irrotationnel mais très rotationnel (sous forme de jets) en sortie de la perfora-
tion. La vitesse particulaire augmente très rapidement quand l’onde est aspi-
rée dans la perforation. C’est pourquoi en régime non-linéaire, les propriétés
acoustiques (principalement l’impédance) vont dépendre de la vitesse parti-
culaire en entrée ou dans la perforation. Pendant la seconde demi-période,
le cycle est inversé. Les travaux de Cummings (Cum84; Cum86) sur plaque
perforée ont conduit à l’élaboration d’un modèle numérique de prédiction du
comportement de la résistance non-linéaire dans le domaine temporel. Dans
ses travaux, il est révélé le fait qu’en absence d’écoulement moyen, la fraction
d’énergie absorbée est non-linéairement dépendante du niveau sonore inci-
dent. Kraft et al. (KYKE99; Kra99) ont également développé un modèle pour
le régime non-linéaire. Leur modèle développé sur la base de mesures de
plusieurs échantillons perforés sur une large gamme de niveaux de pression,
permet à la fois de simuler les impédances linéaire et non-linéaire de surface.
Dans ces travaux, le paramètre non-linéaire considéré est le coefficient de dé-
charge qui est le rapport entre la décharge effective (décharge en présence de
frictions) et la décharge idéale (décharge en absence de frictions). Si le coef-
ficient de décharge est plus facilement mesurable dans le domaine de l’hy-
draulique, en acoustique par contre, son estimation est encore mal maîtrisé.
25
On considère en général que le coefficient de décharge varie entre 0,5 et 0,9.
Kraft et al. (KYKE99) trouve un coefficient de décharge de 0,76 en supposant
un comportement non-linéaire constant en dépit des conditions de propaga-
tion. De plus, la résistance et la réactance acoustiques de leur modèle en ré-
gime non-linéaire sont indépendants de la fréquence d’excitation présumant
ainsi une masse ajoutée toujours constante. Le modèle élaboré par Melling
(Mel73) permet une bonne compréhension des phénomènes liés au régime
non-linéaire. Dans son modèle, Melling (Mel73) développe une expression
de la résistance en régime non-linéaire. Les particularités de ce modèle sont
que le coefficient de décharge considéré dépend de la fréquence d’excitation
et n’est valide que dans le cas où l’épaisseur de plaque est inférieure au dia-
mètre de perforation. Plus tard dans ses travaux, Maa (Maa94) remarque
que le phénomène de non-linéarité acoustique est un phénomène extérieur à
la perforation. En d’autres termes l’impédance interne de la perforation est
indépendante du niveau d’intensité acoustique. Il propose alors dans ses tra-
vaux une expression de l’impédance non-linéaire valide pour les faibles taux
de perforation. Cette expression est le rapport entre le nombre de Mach dans
la perforation et le taux de perforation. Sur la base d’une continuité de dé-
bit et en supposant qu’il n’y a pas d’interaction entre les perforations, Hersh
et al. (HWC03) présentent un modèle adapté aux multi-perforations. Dans
ce modèle, le coefficient de décharge considéré et bien d’autres paramètres
sont déterminés de façon empirique. Les récents travaux numériques et ex-
périmentaux d’Atig et al. (ADG04) et Skulina et al. (SCG03) par utilisation
de la vélocimétrie par image de particules (PIV) permettent d’apporter des
éléments importants sur le comportement non-linéaire en sortie d’un tube.
Les principales observations issues de la PIV des travaux de Skulina et al.
(SCG03) mettent en lumière deux comportements (à faible et à fort niveau
sonore) à l’extrémité ouverte d’un tube. A faible niveau sonore, des zones
tourbillonnaires apparaissent dans le prolongement des bords intérieurs du
tube lorsque la vitesse acoustique est dirigée vers l’extérieur du tube. Il y
a création d’un anneau tourbillonnaire accroché aux bords du tube par des
filaments de vorticité. Cet anneau tourbillonnaire reste dans le voisinage de
l’embouchure (Fig. 1.4(a)). Lorsque la vitesse acoustique est dirigée vers l’in-
térieur du tube, l’anneau tourbillonnaire est ravalé dans le tube. A fort niveau
sonore, l’anneau tourbillonnaire n’est plus accroché aux bords du tube, il est
expulsé (Fig. 1.4(b)).
Dans cette partie, nous développons un modèle plus fin dans la prédiction
26
Fig. 1.4 – Régimes tourbillonnaires à (a) faible niveau sonore (l’anneau tourbillonnaire reste
accroché aux bords du tube) et (b) fort niveau sonore (l’anneau tourbillonnaire est expulsé).
(Schéma de Skulina (SCG03))
du coefficient d’absorption de plaques micro-perforées forts niveaux d’exci-
tation en absence d’écoulement. La particularité de ce modèle est de pouvoir
décrire le comportement du maximum d’absorption en fréquence (ou pic
d’absorption) avec l’augmentation des niveaux d’excitation. Les méthodes de
mesures par PIV ou les approches de vortex sound et numériques de Howe
(How79) n’ayant pas permis de bien corroborer les résultats au tube à impé-
dance, nous choisissons de focaliser notre étude sur des approches au tube
à impédance. Le modèle développé prend appui sur le modèle linéaire (ce-
lui de Maa (Maa98) ou d’Ingard-Allard (All93) ou encore d’Attala et Sgard
(AS07)) pour décrire le comportement du coefficient d’absorption en régime
non-linéaire par l’utilisation des paramètres plus faciles à mesurer que le co-
efficient de décharge et d’interprétation physique simple. Le modèle proposé
est basé sur une méthode d’analyse dimensionnelle avec application des lois
de Forchheimer des milieux poreux.
1.3.3 Régime darcéen, régime non-darcéen et lois de Forchheimer
Le régime darcéen peut être défini comme un régime pour lequel la loi de
Darcy est valide et applicable (très souvent le régime laminaire). La majo-
rité des travaux sur les milieux poreux font utilisation de la loi de Darcy.
L’équation de Darcy est quelquefois considérée comme une loi physique. La
loi de Darcy est une expression à l’origine empirique qui décrit la propaga-
tion d’un fluide à travers un milieu poreux comme une relation linéaire entre
le gradient de pression et la vitesse du fluide. C’est une loi, formulée par
Henry Darcy (Dar56), qui est basée sur des résultats de mesures effectuées
sur l’écoulement de l’eau à travers un cylindre rempli de sable, d’axe vertical.
27
Sous sa forme unidimensionnelle, la loi de Darcy est donnée par
Q = −kvSµ
(p2 − p1)h
(1.40)
avec Q le débit, S l’aire de la section droite, p1 et p2 les pressions en amont et
en aval, h la hauteur du cylindre rempli de sable, µ la viscosité dynamique du
fluide, kv la perméabilité visqueuse qui est homogène à une surface et pou-
vant avoir un caractère tensoriel dépendant uniquement du milieu poreux.
Les effets d’anisotropie en 3D sont pris en compte par utilisation du tenseur
de perméabilité, tenseur symétrique de second ordre qui s’écrit
k =
kxx kxy kxz
kyx kyy kyz
kzx kxx kzz
, (1.41)
où les x, y et z sont les trois directions. Si la perméabilité est la même dans
toutes les directions, kxx = kyy = kzz > 0 et les autres composantes sont
nulles.
On remarque bien que la loi de Darcy est une loi linéaire qui exprime la
proportionnalité entre le débit par unité de section (Q/S) et le quotient de
la différence de pression par la hauteur (∆p/h). C’est donc en général une
loi de proportionnalité entre un flux et le déséquilibre qui cause ce flux (tout
comme la loi de Fourier pour la conduction de la chaleur ou encore la loi
d’Ohm pour la conduction de l’électricité). Si l’on néglige l’accélération due
à la pesanteur, la loi de Darcy prend la forme suivante
u = −kv
µgradp (1.42)
où u est la vitesse à travers le milieu poreux, grad p le vecteur gradient de
la pression. Sous cette forme généralisée, la loi de Darcy va impliquer les
propriétés suivantes :
1. S’il n’y a aucune différence de pression sur une certaine distance, alors
il n’y aura pas d’écoulement.
2. S’il y a une différence de pression, l’écoulement s’effectuera dans la
direction de la plus grande pression vers la plus petite.
3. Le débit à travers le milieu étudié augmente avec l’augmentation de la
différence de pression.
La loi de Darcy telle que formulée n’est valide que dans certaines condi-
tions (Dar56), entre autres des conditions d’écoulement visqueux lent et dans
28
les cas d’écoulements laminaires. En dehors de ces conditions, cette loi pré-
sente des limites. On peut noter entre autre que les déformations au sein
du solide ne sont pas prises en compte et le solide est vu comme un mi-
lieu poreux rigide. En plus, dans une approche par la loi de Darcy, il est
sous-entendu que la viscosité du fluide est constante et ne dépend pas de
la pression. Cette dernière hypothèse n’est plus valable pour des niveaux de
pression élevés. Dans ces derniers cas, la viscosité ne peut plus être consi-
dérée constante et pour cette raison, la traînée due au solide (traînée qui est
une conséquence importante des frottements au niveau des perforations) ne
peut être celle donnée par la formulation de l’équation de Darcy. Il est donc
nécessaire de trouver une loi (d’interprétation semblable à la loi de Darcy)
adaptée aux conditions de niveaux pressions élevées (régime non-darcéen).
La nécessité de réviser ou d’apporter une correction à la loi de Darcy dans
les conditions de régime non-darcéen a longtemps constitué un sujet d’inté-
rêt pour plusieurs chercheurs (voir (FG95; FGQ97)). Parmi ces chercheurs,
Philipp Forchheimer (For01a; For01b), qui a effectué des travaux dans le
génie civil et l’hydraulique appliquée, a introduit pour la première fois une
méthode mathématique d’étude de l’hydraulique. Dans ses travaux, une so-
lution au problème de non-linéarité dans les milieux poreux est proposée.
Après de nombreuses mesures effectuées, Forchheimer propose trois formu-
lations qui prennent en compte les déviations sur le régime darcéen. Ces
formulations sont données par
∇p = F1u2 + F2u, (1.43)
∇p = F0u3 + F1u2 + F2u, (1.44)
∇p = F3uF4 , (1.45)
avec F0, F1, F2, F3, F4 des coefficients qui dépendent du milieu poreux et/ou
du milieu de propagation. A noter que ces formulations de Forchheimer
sont appelées formulation parabolique pour l’équation (1.43), cubique pour
l’équation (1.44) et de puissance pour l’équation (1.45). Comme l’ont souligné
Firdaouss et al. (FGQ97), le sens physique de ces coefficients n’est pas totale-
ment maîtrisé. Dans cette étude, nous choisirons la formulation parabolique
car dans la plage de niveaux de pressions étudiée, c’est elle qui corrobore
mieux les résultats expérimentaux relevés. Dans ce travail, nous proposons
une interprétation physique des coefficients F1 et F2 en rapport aux structures
perforées. Cette interprétation se trouve validée par des précédents travaux
(Mel73) et par nos résultats.
29
1.3.4 Modèle d’impédance en régime non-linéaire
Dépendance de l’impédance avec les paramètres géométriques de la plaque
perforée
A partir des travaux d’Ingard et Ising (II67) au fil chaud, il est observé qu’à
fort niveau d’excitation, sur une demi-période de propagation, le flux inci-
dent est irrotationnel tandis que le flux en sortie est très rotationnel. Le cycle
est ensuite inversé pour la seconde demi-période. D’après Ingard (Ing53),
le flux perd de l’énergie en entrée par frottement sur les parois de la plaque
et en sortie par détachements tourbillonnaires. La résistivité à l’écoulement
du matériau va donc constituer un paramètre important du milieu poreux.
A partir de la loi de Darcy, la résistivité à l’écoulement est définie comme le
rapport entre la différence de pression par unité de longueur (épaisseur) et
la vitesse particulaire up à travers le matériau, soit
σ =∆puph
. (1.46)
La résistivité à l’écoulement, à faibles amplitudes de pression, est une consé-
quence de la trainée visqueuse subie par le fluide à travers la perforation.
C’est un paramètre utilisé dans la caractérisation des matériaux poreux. Pour
ces derniers, en régime non-linéaire, Forchheimer (For01a) indique que σ
évolue en fonction de la vitesse particulaire dans les pores. A noter que pour
les matériaux poreux, le terme "pores" est utilisé tandis que pour les MPP,
c’est le terme "perforations". Dans notre étude, nous choisissons d’appliquer
l’approche des poreux aux structures MPP. L’application des approches des
poreux aux structures MPP a été effectuée par Atalla et Sgard (AS07). En
utilisant la formulation parabolique de Forchheimer appliquée aux poreux,
l’expression en régime non-linéaire de σ peut s’écrire
σnl = σ0 + Fup (1.47)
avec σ0 la résistivité en régime linéaire, F une constante et up la vitesse parti-
culaire à travers le matériau.
Lorsque les non-linéarités apparaissent, elles se manifestent par l’appari-
tion de distorsions qui déforment le signal harmonique (ML95). La notion
d’impédance caractéristique n’est pas définie pour les cas de propagation
non-linéaire d’onde. Néanmoins, il est toujours possible de définir une impé-
dance caractéristique si la distorsion harmonique n’est pas très grande (faible
30
non-linéarité). C’est donc l’approximation du premier harmonique ou mé-
thode de l’équivalent harmonique que nous considérons dans ce travail. En
d’autres termes, on néglige les harmoniques autre que le fondamental dans le
signal. Ingard et Ising (II67) proposent, pour les perforations, une expression
de la résistance acoustique d’une perforation donnée par
Real {ZMPP}NL = Apup + Bp (1.48)
avec Real {ZMPP}NL la résistance de l’échantillon perforé, up la vitesse dans
la perforation, Ap et Bp étant des constantes qui dépendent des paramètres
géométriques de la MPP et du milieu de propagation. Ap prend aussi en
compte les phénomènes d’interaction entre les perforations, d’épaisseur et
est fonction de la fréquence. Il est expérimentalement montré que la variation
de la réactance avec la vitesse up est très négligeable en comparaison de la
variation de la résistance avec up (II67; Mel73). Melling (Mel73) explique que
cette remarque sur la réactance non-linéaire n’est valide que pour des plaques
minces. Dans ses travaux, il observe que cette réactance tend vers une valeur
asymptotique d’environ une demie fois la valeur en régime linéaire (cela est
confirmé par nos mesures).
En divisant up par la célérité du son c0, on peut introduire le nombre de
Mach Mp et l’expression 1.48 devient
Real {zMPP}NL = aMp + b, (1.49)
avec zMPP = ZMPPρ0c0
l’impédance normalisée de la MPP, a et b étant des pa-
ramètres adimensionnels qui dépendent des caractéristiques géométriques
de la plaque perforée et du milieu de propagation. Il faut noter que Maa
(Maa94) fait également la même observation dans son travail sur les non-
linéarités des MPP où il trouve que a est inversement proportionnel au taux
de perforation φ alors que Hersh et al. (HWC03) trouve que la résistance
non-linéaire est dépendante du ratio h/d.
A partir d’une étude paramétrique d’analyse dimensionnelle (détaillée en
Annexe D), nous trouvons la dépendance de a avec les autres paramètres
comme étant une expression différente des observations de Maa (Maa94), de
Melling (Mel73) et d’Hersh et al. (HWC03). Après analyse dimensionnelle,
il en ressort que
a = K
(dh
)l (hρ0c0
µ
)mφn, (1.50)
avec K, l, m and n des constantes. La constante K prend en compte les effets
de forme des embouchures de trou, d’interaction entre les perforations, de
31
l’épaisseur de la plaque et est fonction de la fréquence. Cette dernière ob-
servation est également présentée dans le travail expérimental d’Atig et al.
(ADG04). Dans leurs travaux, ils étudient les effets acoustiques non-linéaires
localisés à la sortie d’un tube cylindrique. Il est observé que l’importance des
pertes dépend fortement du rayon de courbure des bords intérieurs à la sor-
tie de tube. Malgré le fait que tous les paramètres influençant la valeur de K
ne sont pas à l’heure actuelle totalement maîtrisés, la forme de l’embouchure
et le type de matériau (isolant ou conducteur thermique) semblent fortement
influencer la valeur de K. Cette observation est confirmée par les résultats
expérimentaux.
Détermination des constantes à partir du modèle d’écoulement de Forch-
heimer
Les récentes applications de la loi parabolique de Forchheimer aux matériaux
poreux classiques ont été réalisées par les travaux d’Auregan et de Pachebat
(AP99) ou encore Umnova et al. (UASC03). Cette loi indique que la résisti-
vité est linéairement proportionnelle au nombre de Reynolds dans les pores
à partir d’un certain régime non-darcéen (régime non-linéaire). Puisque le
nombre de Reynolds dans les pores est proportionnel au diamètre de pore,
la résistivité (qui peut également être définie comme la résistance acoustique
par unité d’épaisseur) est alors directement proportionnelle au diamètre de
pore. En fait, à partir de l’expression (1.50), si l’on considère que l = m = 1
et n = −1, on retrouve aisément l’expression utilisée par Auregan et Pache-
bat (en considérant également que la longueur caractéristique visqueuse est
égale au rayon de perforation). on a alors
a = K
(dh
)(hρ0c0
µ
)φ−1, (1.51)
qui se réduit à
a = Kdc0
νφ(1.52)
avec ν la viscosité cinématique. De même, on montre que le coefficient b est
directement relié au coefficient adimensionnel δ d’Auregan et de Pachebat
(AP99) par
b = (1 + δ)Real{zMPP}linear (1.53)
où δ est une constante caractérisant les trois régimes c’est-à-dire le régime
linéaire (δ = 0), le régime non-linéaire (δ 6= 0) et le régime transitoire entre
32
les deux régimes. Etant donné qu’en régime non-linéaire, la résistance acous-
tique est asymptotiquement linéaire, la constante b va correspondre à l’inter-
section de la pente avec l’axe des ordonnées. Il est important ici de préciser
que, tel que obtenue, la constante b n’a pas d’interprétation physique puis-
qu’à Mp = 0, le comportement asymptotique n’est pas valide. K et b sont des
constantes phénoménologiques déterminées à partir d’une technique d’ajus-
tement linéaire des résultats de mesures.
1.3.5 L’effet mécanique de la plaque couplé à l’effet acoustique
En pratique, les échantillons MPP sont des échantillons finis fixés suivant
des conditions limites spécifiques. Des effets dus à la vibration de la struc-
ture couplée à la cavité peuvent intervenir dans les mécanismes d’absorption.
Il est intéressant d’observer l’évolution de ces effets sous forts niveaux d’ex-
citation. Nous proposons ici d’intégrer ces phénomènes vibratoires dans le
modèle.
Les résultats de mesures sur certains des échantillons, notamment ceux
en co-polymère, font apparaître sur les courbes d’absorption un pic dû à
l’effet vibratoire de la plaque couplée à une cavité d’air. Du fait que ce der-
nier peut améliorer (ou détériorer comme le montrent Lee et al. (LLN05))
les performances absorbantes de la plaque perforée, il est nécessaire de bien
le prendre en compte dans la modélisation. La vibration des plaques finies,
fines, homogènes et sans perforation a fait l’objet de nombreuses études et
la théorie de base des plaques minces la plus courante est celle de Kirchhoff-
Love (Lov88) (l’équivalent de la théorie d’Euler-Bernouilli des poutres). Il
est montré que le comportement vibratoire d’une plaque circulaire ou rec-
tangulaire peut-être décrit par une méthode modale. Pour modéliser l’effet
vibratoire d’une plaque perforée couplée à une cavité d’air, deux méthodes
peuvent être utilisées. Dans la première méthode basée sur les travaux de
Ford et McCormick (FM69), on étudie par le biais de l’analyse modale le
comportement de la plaque sans perforation (cas classique) et on considère
au final que l’impédance due à la vibration de la plaque est montée en paral-
lèle (en schéma électro-acoustique) avec l’impédance due aux perforations.
Dans la deuxième méthode, on peut soustraire de l’énergie totale du sys-
tème la contribution énergétique de chaque perforation. Dans la deuxième
méthode, il est nécessaire que la frontière de chaque perforation soit bien
définie par une fonction continue et dans ce cas, on peut alors appliquer la
33
méthode classique de Ritz (LL95). Nous choisissons d’utiliser la première
méthode qui se trouve appropriée pour les faibles taux de perforation. Nos
échantillons dans cette première partie ont tous un taux de perforation infé-
rieur à 3%. Pour les forts taux de perforation la seconde méthode serait plus
précise (voir Lim et al. (LL95)).
Plaque sans perforations
Soit une plaque non perforée couplée à une cavité d’air de profondeur Dcav.
Soient les dimensions latérales de la plaque Lx suivant l’axe des x et Ly sui-
vant l’axe des y ; soit w le déplacement transversal de la plaque dû au mouve-
ment de flexion, ET l’énergie totale du système formé (plaque + cavité). L’im-
pédance due à la vibration de la plaque peut s’obtenir à partir du principe
des travaux virtuels. Ce principe énonce que la somme des travaux virtuels
des forces appliquées à un système dans son propre champ de déplacement
est nulle. Ce qui peut s’écrire, en considérant le système formé par la plaque
non perforée et la cavité d’air, sous la forme
∂Ecp
∂〈w〉 .∂〈w〉+∂Epp
∂〈w〉 .∂〈w〉+∂Ecav
∂〈w〉 .∂〈w〉 − Fpejωt.∂〈w〉 = 0, (1.54)
avec Ecp l’énergie cinétique de la plaque, Epp l’énergie potentielle de la
plaque, Ecav l’énergie potentielle de la cavité d’air, Fp les efforts en présence
s’exerçant autour de la plaque, t est variable temps et ω la pulsation, le sym-
bole 〈〉 est utilisé pour représenter la moyenne. L’énergie cinétique d’une
plaque en vibrations Ecp est donnée par (Cha09) par
Ecp =MS
2
Lx∫0
Ly∫0
(∂w∂t
)2dxdy, (1.55)
où MS représente la masse surfacique de la plaque. Pareillement, l’énergie
potentielle Epp de la plaque en flexion est donnée par
Epp =Drig
2
Lx∫0
Ly∫0
((∂2w∂x2 )2+(
∂2w∂y2 )2+2(
∂2w∂x∂y
))dxdy, (1.56)
avec Drig le module de rigidité en flexion donnée par
Drig =Eh3
12(1− ν2p)
, (1.57)
34
où E est le module d’Young et νp le coefficient de Poisson.
L’énergie potentielle de la cavité Ecav se donne par
Ecav =γP0
2DcavL2
x(∑m
∑n〈wmn〉)2, (1.58)
avec Dcav la profondeur de la cavité d’air derrière la plaque, P0 la pression
atmosphérique, γ le rapport des chaleurs spécifiques de l’air. En considérant
une répartition homogène des forces de pression (forces en présence dans le
système) s’exerçant sur la plaque carrée on a
Fp = (p1 − p2)Sxy = ∆pL2x, (1.59)
où p1 (resp. p2) est l’amplitude de la pression qui s’exerçe sur la face avant
(resp. arrière) et Sxy est la surface de la plaque carrée.
L’impédance acoustique Zvib du système formé par la plaque non perforée
et la cavité d’air est donnée par l’expression
Zvib =∆p〈us〉
(1.60)
avec 〈us〉 la vitesse moyenne de l’ensemble des modes moyennés de la plaque
donnée par
〈us〉 = ∑m
∑n〈umn〉. (1.61)
En ne considérant que les quatre premiers modes impairs (les modes pairs
ne pouvant être excités sous l’action d’une distribution uniforme de forces
de pression), l’expression générale de l’impédance acoustique de la plaque
non perforée couplée à une cavité d’air (voir développement en Annexe C)
s’obtient par
Zvib = jωMS Amn +1
jω
[Drig(1 + jηmn)
L2x
Bmn +ρ0c2
0Dcav
], (1.62)
ou encore en séparant la contribution résistive de la contribution réactive
Zvib =DrigBmnηmn
ωL4x
+ j
[ωMS Amn −
DrigBmn
ωL4x−
ρ0c20
ωDcav
]. (1.63)
Une analyse élémentaire a été entreprise par une méthode conven-
tionnelle, pour caractériser le comportement vibratoire des échantillons de
plaques micro-perforées dans une condition encastrée aux extrémités. La
plaque étant provisoirement bloquée, un essai au marteau d’impact n’a
35
pas permis d’obtenir une réponse vibratoire présentant une résolution fré-
quentielle suffisante. En effet, en raison de l’amortissement des plaques co-
polymères, la durée de la réponse, mesurée à l’aide d’un accéléromètre, s’est
révélée trop brève pour conduire à une résolution fréquentielle satisfaisante
dans la bande fréquentielle considérée. Une analyse par balayage en fré-
quence à l’aide d’un vibromètre laser aurait certainement donné de meilleurs
résultats. Toutefois, en se contentant des résultats expérimentaux d’impé-
dance acoustique des échantillons, il est constaté que seule la fréquence du
premier mode (autour de 900 Hz) est susceptible de se retrouver dans la
plage fréquentielle étudiée qui va de 200 Hz à 1600 Hz. Dans le cas d’une
condition encastré sur tous les bords, les constantes modales du mode (1,1)
valent A11 = 2, 02 et B11 = 2640. Les valeurs des autres constantes modales
sont données en Annexe C.
Plaque avec perforations
Par analogie avec un circuit électrique, l’impédance de surface Zs d’une
plaque perforée mince couplée à une cavité d’air et une paroi rigide est obte-
nue par
Zs =ZMPPZvib
ZMPP + Zvib+ Zcav (1.64)
où ZMPP est l’impédance acoustique des perforations, Zcav l’impédance de la
cavité d’air et Zvib l’impédance de la plaque nue (sans perforations).
1.3.6 Coefficient d’absorption de plaque micro-perforée couplée à
une cavité d’air et une paroi rigide
En supposant de petites distorsions harmoniques à forts niveaux d’excitation,
il est possible de définir une impédance de cavité d’air pour le régime non-
linéaire. Cette impédance de cavité d’air est donnée par l’expression classique
normalisée suivante
zcav = −j cot(k0Dcav) (1.65)
avec Dcav la profondeur de la cavité d’air. L’impédance de surface normalisée
du système (MPP couplée à une cavité d’air) est donnée par la superposition
des deux impédances
zs = zMPP + zcav. (1.66)
36
Le coefficient de réflexion, pour une excitation onde plane en incidence nor-
male est donné par
R(ω) =zs − 1zs + 1
, (1.67)
et le coefficient d’absorption acoustique est calculé selon l’expression
α(ω) = 1− |R(ω)|2 . (1.68)
La formule précédente du coefficient d’absorption sous incidence normale
peut également se donner en fonction des parties réelle et imaginaire de
l’impédance de surface zs par
α =4Real{zs}
(1 + Real{zs})2 + (Imag{zs})2 (1.69)
où Real {zs} représente la partie réelle de l’impédance (résistance du sys-
tème) et Imag {zs} représente la partie imaginaire (réactance du système).
La figure (1.5) présente les simulations des impédances acoustiques nor-
malisées (résistance en (a) et réactance en (b)) dues à l’effet mécanique de
deux plaques nues, l’une en co-polymère et l’autre en acier. La profondeur de
la cavité d’air derrière la plaque est de 50 mm. On constate sur la figure (1.5a)
que la plaque en acier a une plus grande résistance structurale comparée à la
plaque en co-polymère, la rigidité de flexion étant plus grande pour l’acier.
Tandis que sur la figure (1.5b), on constate que la réactance structurale de
l’acier ne s’annule pas dans la plage de fréquence considérée contrairement à
la réactance structurale du co-polymère qui elle s’annule pour une fréquence
d’environ 900 Hz.
1800160014001200800 1000Fréquence (Hz)
600400200
,
\,, , , , , , ,
-Plaque nue en copolymére (cavité air = 50 mm)'-, -
---Plaque en acier (cavité air = 50 mm)" " -" '.'." ~, -.........-'---..----------\.. ------- -------------
500
400
300
200
100
00(a)
, , , , , , , ,
0f- -~
0 ~.
N ~~~~
--:0 ~~~~
> ~~
~ -500;"
~~~ -;'0> ;'œ ;;
E ~..;,-, , , ,
,-, , ,
-1 0000
' ;
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800(b) Fréquence (Hz)
Fig. 1.5 – Comparaison des Impédances normalisées de plaque nue en co-polymère et en acier
pour la condition encastrée sur les bords. Profondeur de cavité de 50mm.
La figure (1.6) présente les simulations des coefficients d’absorption de
l’effet mécanique couplé à l’effet acoustique pour le cas de deux plaques
37
nues, l’une en co-polymère et l’autre en acier. La profondeur de la cavité
d’air derrière la plaque est de 50 mm. On constate dans le cas du matériau
en co-polymère l’apparition d’un pic d’absorption à une fréquence d’environ
900 Hz, tandis que globalement dans le cas de l’acier l’absorption est nulle
dans la plage de fréquence étudiée. Comme on le constatera dans les résultats
expérimentaux et théoriques, ce pic d’absorption dû à l’effet vibratoire se
combine avec le ou les pics d’absorption dus aux effets de viscosité ou de
turbulence.
Fig. 1.6 – Comparaison des coefficients d’absorption de plaque nue en co-polymère et en acier
pour la condition encastrée sur les bords. Profondeur de cavité de 50mm.
Une remarque importante sur l’effet de structure est que, comme le pré-
sente la figure (1.7), lorsque la fréquence de résonance due aux perforations
est inférieure à la fréquence de résonance due à la structure, il se forme un pic
d’absorption tandis que lorsque la fréquence de résonance due aux perfora-
tions est supérieure ou égale à la fréquence de résonance due à la structure,
il se forme un puits d’absorption. Lee et al. (LLN05) l’ont également ob-
servé dans leurs travaux. Ce qui conduit à la remarque selon laquelle l’effet
structural d’une plaque micro-perforée couplée à une cavité d’air peut soit
améliorer l’absorption du système soit la détériorer.
La figure (1.8) présente les résultats expérimentaux du coefficient d’ab-
sorption en fonction de la fréquence pour une plaque perforée en co-
polymère couplée à une cavité d’air pour différents niveaux de pression en
entrée de perforations. Le premier pic (autour de 350 Hz) est causé par les
perforations tandis que le deuxième pic (autour de 950 Hz) résulte de l’effet
structural de la plaque (effet vibratoire). La variation de ces deux pics en fonc-
tion du niveau de pression en entrée de perforations montre que, comparé
38
Fig. 1.7 – Deux cas du coefficient d’absorption d’une plaque micro-perforée en co-polymère
en fonction de la fréquence : La fréquence de résonance due aux perforations est inférieure à
la fréquence de résonance due à la structure⇒ formation d’un pic de vibration (cavité d’air
de 50 mm) ; La fréquence de résonance due aux perforations est supérieure à la fréquence de
résonance due à la structure ⇒ formation d’un puit de vibration (cavité d’air de 10 mm). h
= 2,2 mm ; d = 1 mm ; φ = 0,8% ; E = 0, 49× 1010Pa ; νp = 0,3 ; ρ = 900kg.m−3 ; η11 = 0,1
au pic dû aux perforations, la variation du pic dû à la structure est moindre.
Ce résultat expérimental nous permet d’établir pour la suite de ce travail que
l’effet de la structure sur le caractère absorbant de la MPP est négligeable
(comparé aux effets des perforations) pour ces niveaux testés.
Fig. 1.8 – Résultats expérimentaux du coefficient d’absorption en fonction de la fréquence
pour une plaque perforée en co-polymère couplée à une cavité d’air pour différents niveaux
de pression en entrée de perforations. Caractéristiques de la plaque perforée : h = 2,2 mm ; d
= 0,7 mm ; φ = 0,7% ; Dcav = 50 mm ; E = 0, 49× 1010Pa ; νp = 0,3 ; ρ = 900kg.m−3 ; η11 =
0,1
La figure (1.9) présente les influences du module d’Young (a) et de la
39
profondeur de cavité sur le coefficient d’absorption d’une plaque nue en co-
polymère. La profondeur de la cavité d’air derrière la plaque est de 50 mm.
Sur la figure (1.9a), bien que ce résultat soit relatif, c’est à dire à densité et
coefficient de Poisson constants, on constate qu’avec une augmentation du
module d’Young du matériau constituant la plaque, le maximum d’absorp-
tion est décalé vers les hautes fréquences. Les valeurs de coefficient d’absorp-
tion supérieures à 0,7 sont obtenues pour des modules d’Young inférieurs à
3 GPa. Sur la figure (1.9b), on constate qu’au delà d’une profondeur de cavité
de 10 mm, la profondeur de cavité n’a quasiment plus d’influence sur la fré-
quence de résonance représentant le phénomène vibratoire de la plaque non
perforée. Ce résultat se conçoit bien au regard de l’expression 1.63 où on voit
que lorsque Dcav tend vers l’infini, le dernier terme de la partie imaginaire
tend vers 0. Ce qui fait que dans ce cas, seules les propriétés mécaniques
de la plaque contrôlent l’impédance Zvib. Par contre en deçà de la profon-
deur de cavité de 10 mm, une augmentation de la profondeur de cavité se
fait ressentir par un décalage de la fréquence de résonance vers les basses
fréquences. Ce dernier résultat est classique et s’observe également pour les
plaques perforées.
500 1000 1500Fréquence (Hz)(b)
500 1000 1500Fréquence (Hz)
1
0.89 160 0.6
0.78 ~140
~ E0.5III 0.6 E[J.. ~
Cl 7 'Cl 120~ -Cl 0.5 > 0.4c 6 rl100::J0 Cl>- 0.4 ""0""0 5 ~ 80 0.3::JCl Cl::J 0.3 ""0
""0 4 c 600 .2 0.2:::; 0
0.2 ~
3 [J.. 40
2 0.1 200.1
(a)
Fig. 1.9 – Influence du module d’Young (a) et de la profondeur de cavité d’air (b) sur le
coefficient d’absorption d’une plaque en co-polymère non-perforée. Condition encastrée sur
les bords. Profondeur de cavité de 50mm.
Remarque : Il est expérimentalement constaté une faible variation d’am-
plitude du pic d’absorption dû à l’effet vibratoire. C’est pourquoi dans la
modélisation de l’impédance vibratoire, nous n’intégrons aucun paramètre
prenant en compte le niveau d’excitation (pression, vitesse, nombre de Mach
ou nombre de Reynolds).
40
1.3.7 Variation du maximum d’absorption en fonction du nombre
de Mach Mp : Nombre de Mach optimal
La question du comportement du maximum du coefficient d’absorption en
fonction de l’augmentation du niveau d’excitation sonore a longtemps suscité
des divergences d’opinions sur les travaux réalisés sur les MPP. La tendance
sur cette question a laissé penser que le maximum d’absorption croît avec
une augmentation du niveau sonore (TKAG01). Des récents résultats nu-
mériques, Roche et al. (RLDVda) remarquent que cette augmentation n’est
vérifiée qu’aux fréquences éloignées de la résonance du système formé par
les perforations et la cavité d’air. Dans cette section, nous étudions la varia-
tion de ce maximum du coefficient d’absorption (absorption à la résonance)
en fonction du nombre de Mach dans les perforations afin d’apporter une
réponse à ce comportement. Le coefficient d’absorption est exprimé par
α =4Real{zs}
(1 + Real{zs})2 + (Imag{zs})2 . (1.70)
En utilisant l’expression de la résistance non-linéaire de l’expression (1.49),
l’expression du coefficient d’absorption devient
α =4(aMp + b)
(1 + aMp + b)2 + (Im{zs})2 . (1.71)
Le maximum du coefficient d’absorption αM est obtenu lorsque Imag {zs} =0 et l’on a
αM =4(aMp + b)
(1 + aMp + b)2 . (1.72)
Une dérivée partielle de l’expression (1.72) par rapport au nombre de Mach
Mp permet d’étudier la variation de l’extrémum du coefficient d’absorption
en fonction du nombre de Mach dans la perforation (ou indirectement du
niveau de pression en entrée) de perforations. On a alors
∂αM
∂Mp=
4a(1− aMp − b)(1 + aMp + b)3 . (1.73)
L’étude de fonction de αM et l’expression de sa dérivée permettent de mon-
trer l’existence d’une valeur optimale du nombre de Mach dans les perfo-
rations, valeur pour laquelle le coefficient d’absorption est maximum (voir
fig. 1.10). Et puisque a 6= 0, l’expression (1.73) fournit donc l’expression du
nombre de Mach optimal Mm par
Mm =1− b
a. (1.74)
41
A partir de ces derniers résultats, on se rend compte que αM passe par un
maximum (Fig. 1.10). Dans une première phase, αM croît avec le nombre de
Mach Mp puis atteint une valeur maximale au nombre de Mach optimal Mm.
Dans une deuxième phase, αM décroît avec Mp. C’est un comportement qui
est également observé par Maa (Maa94) dans ses travaux. Dans ce travail,
nous avons apporté une description théorique de ce phénomène et proposé
la formule (1.74) donnant le nombre de Mach optimal.
Il faut noter que ce comportement de αM avec l’augmentation du nombre
de Mach Mp n’est observable que si la résistance acoustique de l’échantillon
est strictement inférieure à la résistance du milieu de propagation et si la
valeur optimale de Mp est au-delà de la limite des régimes linéaire et non-
linéaire. Il est montré par les résultats expérimentaux que pour certains cas
d’échantillons, la valeur du nombre de Mach optimal ne sera pas identifiable
si cette valeur se trouve dans la plage du régime linéaire. Dans de tels cas,
αM va simplement décroitre avec une augmentation de Mp (ou du niveau
de pression incidente). On peut également noter le fait que αM(Mm) = 1
pour tous les cas pour lesquels le nombre de Mach optimal Mm est situé
dans le domaine non-linéaire. Cette dernière remarque est importante dans
la fabrication de MPP optimums.
Fig. 1.10 – Schéma représentant le maximum du coefficient d’absorption (absorption à la
fréquence de résonance) en fonction du nombre de Mach dans les perforations.
Influence de l’épaisseur de plaque à forts niveaux
La figure (1.11) présente l’influence de l’épaisseur h sur αM en fonction du
nombre de Mach dans les perforations pour tous les échantillons testés. La
42
profondeur de cavité est réglée de telle sorte que l’on est toujours sur la
résonance. On peut observer globalement sur cette figure qu’en gardant les
autres paramètres de la plaque constants, une augmentation de l’épaisseur a
pour effet de diminuer le nombre de Mach optimal en le faisant tendre vers
le régime linéaire. Le comportement de αM est tel que décrit précédemment.
Pour tous ces échantillons, on constate qu’à une valeur d’épaisseur donnée,
αM passe par un maximum avec l’augmentation du nombre de Mach.
Fig. 1.11 – Influence de l’épaisseur h sur le coefficient d’absorption à la résonance αM en
fonction du nombre de Mach dans les perforations. Profondeur de cavité de 50mm.
Influence du diamètre de trou à forts niveaux
La figure (1.12) présente l’influence du diamètre de perforation d sur αM en
fonction du nombre de Mach dans les perforations pour tous les échantillons
testés. La profondeur de cavité est réglée de telle sorte que l’on est toujours
sur la résonance (Imag {zs} = 0). On peut observer que l’effet de la varia-
tion du diamètre de trou sur αM est double. A forts Mp, une diminution
du diamètre de trou a pour effet d’augmenter la valeur de αM et d’élargir
la courbe de αM en fonction du nombre de Mach. Globalement pour tous
ces échantillons, les valeurs optimales de αM sont obtenues pour des dia-
mètres de trou relativement faibles (inférieurs à 0,5 mm). En d’autres termes,
à très forts niveaux d’excitation, une augmentation du diamètre de perfo-
ration n’est pas intéressant. En régime non-linéaire, tout comme en régime
linéaire, les diamètres de perforations de l’ordre des submillimètres sont né-
cessaires pour une absorption efficace de plaque micro-perforée couplée à
une cavité d’air. Ce principe d’utilisation de plaques micro-perforées dans
43
ces ordres de grandeurs, en régime linéaire, est décrit par Maa (Maa98) et
Dupont et al. (DPL03). Il est montré que si le diamètre de perforation est de
l’ordre de grandeur des couches limites visqueuse et thermique, la majorité
de l’énergie acoustique est dissipée par frictions et par échanges de chaleur.
En dehors de cet ordre de grandeur des couches limites, l’énergie acoustique
est très peu dissipée. Dans le cas des échantillons MPP1, MPP2 et MPP4,
on observe que αM augmente dans une première phase jusqu’à atteindre la
valeur maximale de 1 et décroît dans une deuxième phase. Dans le cas de
l’échantillon MPP2, αM diminue avec l’augmentation du nombre de Mach.
Fig. 1.12 – Influence du diamètre de perforation d sur le coefficient d’absorption à la réso-
nance αM en fonction du nombre de Mach dans les perforations. Profondeur de cavité de
50mm.
Influence du taux de perforation à forts niveaux
La figure (1.13) présente l’influence du taux de perforation φ sur αM en fonc-
tion du nombre de Mach dans les perforations pour tous les échantillons
testés. La profondeur de cavité est réglée de telle sorte que l’on est toujours
sur la résonance. On observe pour tous ces échantillons qu’une augmentation
du taux de perforation entraîne une augmentation de la valeur du nombre
de Mach optimal. Une augmentation du taux de perforation résulte en un
décalage du nombre de Mach optimal vers les niveaux élevés d’excitation
tout en élargissant la courbe de αM en fonction du nombre de Mach. Il est
à remarquer que le taux de perforation est lié au diamètre de perforation et
une interprétation de ces résultats dépend des interprétations décrites dans
le paragraphe précédent (sur l’influence du diamètre de trou). L’effet du taux
44
de perforation sur αM est examiné dans le chapitre suivant de ce mémoire
où les effets d’interaction entre perforations sont étudiés à faibles et à forts
niveaux d’excitation.
Fig. 1.13 – Influence du taux de perforation φ sur le coefficient d’absorption à la résonance
αM en fonction du nombre de Mach dans les perforations. Profondeur de cavité de 50mm.
1.4 Partie expérimentale
1.4.1 Caractéristiques des échantillons de plaques micro-perforées
Les mesures sont effectuées sur des échantillons de MPP en co-polymère (E =
0, 49× 1010 Pa et νp = 0,3), acier (E = 21× 1010 Pa et νp = 0,31) et duralumin (E
= 0, 69× 1010 Pa et νp = 0,33). Les échantillons de type co-polymère sont issus
d’un alliage de propylène et d’éthylène. Les échantillons (voir fig. 1.14) ont
un diamètre externe de 100 mm correspondant au diamètre interne du tube
de Kundt utilisé. Les autres caractéristiques des échantillons testés sont don-
nées dans le tableau 1.1. Le dimensionnement de ces échantillons est effectué
de telle sorte que la distance entre les trous soit aussi grande possible afin
de limiter tout effet d’interaction entre les trous. Ces derniers étant répartis
sur toute la surface des échantillons, la plaque est tenue par une couronne
mince à l’arrière au moyen de vis. A cause du serrage de ces vis, les condi-
tions de fixation des échantillons dans le tube de Kundt sont plus proches de
la condition encastrée. La figure 1.14 représente une photographie des diffé-
rents échantillons de MPP testées. Le perçage de trous de ces échantillons est
réalisé au moyen d’un laser de rayon 0,3 mm. Malgré la taille du rayon de
45
Tab. 1.1 – Caractéristiques des échantillons perforés testés.
h (mm) d (mm) φ (%) ρ (Kg/m3) E (Pa) νp
MPP1 2,2 1,0 2,2 900 0, 49× 10100,3
MPP2 2,2 1,0 0,8 900 0, 49× 10100,3
MPP3 2,0 0,7 1,94 7800 21× 10100,31
MPP4 2,0 1,0 1,6 2700 0, 69× 10100,33
laser utilisé, des défauts de fabrication peuvent apparaître (voir Annexe H).
Entre autres défauts de fabrication, on distingue le fait qu’un certain nombre
de trous peuvent ne pas être parfaitement circulaires et/ou le fait que certains
trous peuvent être partiellement débouchant dépendamment du diamètre de
perçage souhaité. Dans les résultats expérimentaux qui sont présentés, seuls
les échantillons de MPP dont la section des perforations est de forme bien
circulaire et les trous totalement débouchant sont utilisés ceci afin de limiter
les effets dus aux défauts de fabrication.
Fig. 1.14 – Photos des échantillons de MPP testés au tube de Kundt (diamètre de 100 mm).
a) MPP1 (en co-polymère) ; b) MPP2 (en co-polymère) ; c) MPP3 (en acier) ; d) MPP4 (en
duralumin).
46
1.4.2 Mesures au tube à impédance
Pour quantifier le pouvoir absorbant d’un matériau acoustique, s’il existe
plusieurs méthodes, la détermination des propriétés acoustiques par la me-
sure au tube à impédance (ou tube de Kundt) reste la plus employée. La
première raison est que dans un tube à impédance, on est dans une approche
1D en dessous de la fréquence de coupure du tube. Le montage expérimental
est plus simple. La deuxième raison, constituant un avantage, est que la mé-
thode au tube de Kundt ne nécessite que de petits échantillons du matériau à
tester (de l’ordre de quelques centimètres tout au plus). A partir des mesures
effectuées au tube de Kundt, il est possible de caractériser l’impédance de
surface acoustique et le coefficient d’absorption sous incidence onde plane
normale. Une première méthode appelée méthode du taux d’ondes station-
naires consiste à mesurer le profil du champ de pression acoustique, à la fré-
quence de résonance, à l’aide d’un microphone mobile à l’intérieur du tube.
Une fois la position du premier maximum repérée, et après avoir calculé le
taux d’ondes stationnaires, l’impédance de surface du matériau est déduite
de la valeur des amplitudes complexes, incidente et réfléchie de l’onde acous-
tique. Cette méthode longue et fastidieuse a été remplacée par une procédure
de mesure à deux microphones, introduite par Seybert et Ross (SR77), puis
améliorée par Chung et Blaser (CB80). La technique de mesure à deux mi-
crophones (doublet microphonique) est efficace et rapide, puisqu’elle permet
notamment la détermination expérimentale des grandeurs acoustiques sur
une bande de fréquence large. C’est cette méthode qui est retenue dans la
partie expérimentale de ce travail. La méthode de mesure au doublet micro-
phonique s’appuie sur la mesure des fonctions de réponse en fréquence de la
pression acoustique entre deux microphones acoustiques distincts situés en
paroi du tube de Kundt. La figure (1.15) représente une photo et un schéma
du montage de mesure au tube à impédance utilisé.
Fig. 1.15 – Présentation du tube de Kundt. a) Photo du tube ; b) Schéma du tube avec la
nomenclature utilisée.
47
Le tube, de section circulaire, a un diamètre intérieur constant de 100 mm.
Il est constitué à une extrémité d’une chambre de compression (modèle JBL
2450J) qui constitue la source acoustique expérimentale pouvant atteindre en
surface de l’échantillon, à certaines fréquences, un niveau de pression d’en-
viron 160 dB. Cette chambre de compression va générer dans le tube des
ondes planes qui vont se propager dans le tube et se réfléchir en surface de
l’échantillon à tester. L’impédance de l’échantillon modifie l’onde réfléchie,
et en mesurant l’onde réfléchie modifiée, il est possible de remonter à l’impé-
dance de surface et au coefficient d’absorption de l’échantillon (All93). Une
propagation de l’onde plane dans le tube est assurée jusqu’à la fréquence
de 1700 Hz (fréquence de coupure du tube à impédance). La chambre de
compression ayant un diamètre utile plus petit que le diamètre du tube, une
couronne de forme conique permet d’assurer une transition continue entre la
source et le tube à impédance. A l’autre extrémité du tube, un piston rigide
est utilisé comme paroi rigide. Un simple réglage de la position du piston
dans le tube permet de créer une profondeur de cavité d’air entre l’échan-
tillon et la paroi rigide. L’échantillon est donc monté entre la source et le pis-
ton rigide (Fig. 1.15). Trois microphones 1/4′′ sont utilisés pour la détection
du signal acoustique dans le tube. Les deux premiers microphones servent à
mesurer l’impédance de surface (par la méthode du doublet microphonique)
et le troisième microphone (microphone de référence sur figure (1.15)) est
utilisé pour contrôler la pression au niveau de l’échantillon. Il est important
de contrôler l’onde plane dans le tube à impédance particulièrement lorsque
les niveaux de pression sont élevés (généralement supérieurs à 130 dB). En
effet comme l’ont décrit Maa et Liu (ML95), des phénomènes de bifurca-
tion et de saturation peuvent apparaître. Pour certains niveaux de pression,
dépendemment de la fréquence d’excitation, l’onde stationnaire à l’intérieur
du tube peut saturer et l’hypothèse de propagation linéaire n’est plus valide.
Dans les résultats présentés dans ce travail, les fréquences d’excitation sont
choisies de façon à minimiser le plus possible les effets de saturation et bifur-
cation. Une première mesure au bruit blanc est réalisée dans le but le localiser
la fréquence de résonance. A noter qu’on peut aussi utiliser la partie imagi-
naire de l’impédance pour trouver la fréquence de résonance et observer le
pic d’absorption. La deuxième mesure est effectuée en excitation sinusoïdale.
Le gain de la source est réglé de façon à obtenir le niveau de pression sou-
haité sur le microphone de référence. Le niveau de pression varie entre 90
dB et 155 dB en surface de l’échantillon. Les phénomènes non-linéaires ob-
48
servés pour les perforations dépendent principalement de l’amplitude de la
vitesse acoustique (ou du nombre de Mach) dans la perforation (comme nous
l’avons expliqué dans la partie théorique et souligné par Melling (Mel73)). En
considérant qu’il n’y a aucun effet d’interaction entre les perforations, les ten-
dances restent les mêmes pour les vitesses en entrée et dans les perforations
(les ordres de grandeurs différant). Les niveaux acoustiques sont cependant
donnés à titre indicatif en dB pour la pression incidente sur l’échantillon.
Une correction, après calibration, est effectuée sur les mesures des fonctions
de transfert.
1.4.3 Estimation de la vitesse particulaire dans les perforations
Dans l’hypothèse d’ondes planes dans le tube à impédance, il est possible
d’estimer les pressions et vitesses acoustiques en n’importe quel point du
tube. Le calcul de ces pressions et vitesses est décrit par Dalmont (Dal01).
A partir de la mesure de pression p1 au microphone 1 et de la fonction de
transfert H12 entre le microphone 1 et le microphone 2, la vitesse acoustique
en entrée de perforation est donnée par la formule
u = jp1
Z0
H12 cos (k0l1)− cos (k0l2)sin (k0s)
, (1.75)
avec l1 (respectivement l2) la distance entre le microphone 1 (respectivement
2) et l’échantillon à mesurer (Fig. 1.15), s = l1− l2, Z0 l’impédance caractéris-
tique de l’air, k0 le nombre d’onde, p1 la pression mesurée par le microphone
1. Les valeurs des vitesses acoustiques présentées dans les résultats sont les
valeurs de vitesse à la fréquence de résonance. En supposant qu’il n’y a au-
cun effet d’interaction entre les perforations (hypothèse d’une distance entre
perforations très grande devant le diamètre de perforation), la vitesse acous-
tique dans les perforations up est donnée le principe de conservation des
débits par
〈up〉 =〈u〉φ
, (1.76)
et le nombre de Mach Mp dans la perforation est alors obtenu par
Mp =〈up〉
c0, (1.77)
où c0 est la vitesse du son dans l’air.
49
1.4.4 Résultats et validation du modèle
Dans ces paragraphes, les résultats présentés sont effectués dans le cas d’un
simple échantillon perforé couplé à une cavité d’air et une paroi rigide. Les
paramètres adimensionnels K et δ utilisés pour la détermination complète de
l’expression (1.49) sont donnés dans le tableau 1.2. La figure (1.16) montre la
partie réelle de l’impédance de surface (résistance) en fonction du nombre de
Mach dans les perforations des différents échantillons. Sur cette figure, deux
types de comportement de la résistance du système apparaissent : un com-
portement linéaire qui est approximé par une droite et un comportement de
transitoire qui pourrait être approximé par une parabole de façon similaire
aux travaux d’Auregan et de Pachebat (AP99). Nous nous intéressons au
régime non-linéaire pour lequel la résistance est asymptotiquement linéaire
à la vitesse dans les perforations. En ne considérant que les points de me-
sures (6 au mininum) pour lesquels les niveaux de pression sont supérieurs
ou égaux à 135 dB, nous traçons l’approximation linéaire qui ajuste au mieux
tous ces points. La droite obtenue nous fournit une valeur de pente (valeur
de a dans l’expression 1.49). Cette droite coupe l’axe des ordonnées à une
valeur de résistance supérieure à la valeur de résistance en régime linéaire.
L’intersection de cette droite avec l’axe Mp = 0 fournit donc la valeur de b
dans l’expression (1.49). Des valeurs de a et b trouvées, on déduit les coeffi-
cients de non-linéarité K et δ. Ces valeurs sont données pour les fréquences
580 Hz (MPP1), 364 Hz (MPP2), 598 Hz (MPP3) et 504 Hz (MPP4). Une sé-
rie de mesures effectuée à différentes fréquences sur un même échantillon et
une analogie effectuée avec les matériaux poreux classiques par les travaux
d’Auregan et de Pachebat (AP99) nous permettent de dire que K diminue
avec l’augmentation de fréquence. Ceci peut s’expliquer par le fait que les
phénomènes non-linéaires diminuent avec la fréquence (AP99).
La figure (1.16) montre la partie réelle (résistance) de l’impédance de sur-
face en fonction du nombre de Mach dans les perforations pour les échan-
tillons présentés précédemment. Les traits représentent l’ajustement linéaire
appliqué et les symboles représentent les résultats de mesures. La profondeur
de la cavité d’air étant prise à 50 mm pour tous les échantillons. On constate,
comme l’ont déjà observé d’autres auteurs (II67; KYKE99; Maa94; Mel73),
qu’à forts niveaux d’excitation la résistance non-linéaire est asymptotique-
ment linéaire en rapport avec la vitesse (ou implicitement le nombre de Mach)
dans les perforations. On constate également que la pente de cette asymptote
50
Tab. 1.2 – Caractéristiques des paramètres adimensionnels des échantillons.
Mm K δ
MPP1 0, 18× 10−3 1, 43× 10−32,024
MPP2 0, 22× 10−3 1, 43× 10−33,868
MPP3 Non observable 1, 56× 10−30,956
MPP4 9, 41× 10−5 2, 2× 10−30,8
diffère d’un échantillon à un autre ; cette dernière observation révèle le fait
que dans les conditions identiques de mesures, cette pente est fonction des
paramètres géométriques de l’échantillon perforé. Par contre le relevé des
différentes pentes permet une déduction de la valeur du coefficient adimen-
sionnel K donnée dans le tableau 1.2. On observe alors que la valeur de
K tend à être liée au type de matériau (1, 43 × 10−3 pour les échantillons
en co-polymère ; 1, 56× 10−3 pour l’échantillon en acier et 2, 2× 10−3 pour
l’échantillon en Duralumin), et comme nous l’avons expliqué précédemment,
elle est également liée à la forme de l’embouchure de la perforation. En sui-
vant Melling (Mel73), K prend en compte l’épaisseur et l’interaction entre
les perforations.
Fig. 1.16 – Partie réelle de l’impédance normalisée de surface en fonction du nombre de
Mach dans les perforations. Profondeur de la cavité de 50mm. Les symboles représentent les
mesures et les traits représentent l’ajustement linéaire à fort niveau.© et trait interrompu :
MPP1 (580 Hz) ;F et trait continu : MPP2 (364 Hz) ; ♦ et trait pointillé : MPP3 (598 Hz) ;
4 et trait mixte : MPP4 (504 Hz).
La figure (1.17) montre la partie imaginaire (réactance) de l’impédance
de surface en fonction du nombre de Mach dans les perforations pour les
échantillons MPP1, MPP2 et MPP3. On observe une diminution de la réac-
51
tance avec une augmentation du nombre de Mach Mp. Cette décroissance a
déjà fait l’objet d’observation d’abord par Ingard (Ing53) ensuite par Melling
(Mel73). C’est un comportement typique aux plaques micro-perforées minces
en présence des effets de turbulence. Pour les échantillons MPP1 et MPP3,
cette décroissance se stabilise à une valeur d’environ −0, 2 et reste quasiment
plate tout au long de l’excitation. Une mesure que nous avons réalisée sur
des plaques nues (sans perforations) minces révèle qu’avec l’augmentation
de Mp la réactance acoustique diminue tout au long de la plage d’excitation.
Ce qui nous laisse penser que l’augmentation de la réactance du système
observée à forts niveaux pour l’échantillon MPP2 est liée aux effets de tur-
bulence autour des perforations et des structures qui s’y créent (tourbillons
et jets). A noter que les ordres de grandeur des variations de Imag {zs} sont
petits devant celles de Real {zs}, l’influence de la variation de Imag {zs} est
considéré négligeable sur les valeurs de α.
Fig. 1.17 – Partie imaginaire de l’impédance normalisée de surface en fonction du nombre de
Mach dans les perforations. Profondeur de la cavité de 50mm.© pour MPP1 (580 Hz) ;F
pour MPP2 (364 Hz) ; ♦ pour MPP3 (598 Hz) ; 4 pour MPP4 (504 Hz).
La figure (1.18) présente la comparaison entre le coefficient d’absorption
à la résonance αM mesuré et simulé en fonction du nombre de Mach dans
les perforations pour l’échantillon MPP4. La profondeur de cavité étant de
50 mm. Cette figure illustre le cas où le maximum de αM est relativement
correctement prédit par le modèle pour la raison que le nombre de Mach
optimal se trouve localisé dans une plage de validité du modèle. La com-
paraison entre le modèle et les mesures est assez flatteuse excepté pour les
nombres de Mach en deçà du nombre de Mach optimal (hors plage de vali-
dité du modèle). A partir de ces résultats, on remarque que le maximum de
52
αM ne peut être prédit par le modèle que pour les cas de faibles valeurs de b
(ou δ). (Voir tableau 1.2).
Fig. 1.18 – Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre de Mach dans les
perforations. Cas de l’échantillon MPP4. Profondeur de cavité de 50mm.
Comparaison de αM théorique et expérimental comme fonction du nombre
de Mach Mp
La comparaison entre le coefficient d’absorption à la résonance αM mesuré et
simulé en fonction du nombre de Mach dans les perforations est présentée
sur la figure (1.19) pour les échantillons MPP1, MPP2 et MPP3. La profon-
deur de cavité est de 50 mm. Les comparaisons entre le modèle développé
et les mesures sont correctes pour tous ces échantillons. On observe bien sur
cette figure que dépendemment de la valeur du nombre de Mach optimal,
avec l’augmentation de Mp, le pic d’absorption augmente dans un premier
temps jusqu’à une valeur maximale et décroît dans un deuxième temps. On
remarque que dans les trois cas présentés ici (MPP1, MPP2 et MPP3), la va-
leur du coefficient d’absorption au point du nombre de Mach optimal n’est
pas du tout prédit par le modèle. Ceci, comme nous l’avons souligné dans
la partie théorique, est dû au fait que les nombres de Mach optimums des
trois échantillons se trouvent en deçà du nombre de Mach critique qui repré-
sente la limite entre le régime linéaire et le régime non-linéaire. Par contre,
concernant les résultats expérimentaux, le nombre de Mach optimal Mm est
bien observable pour les échantillons MPP1 et MPP3 et localisé dans une
plage où le modèle développé n’est plus valide. C’est pourquoi le modèle ne
peut prédire ce nombre de Mach optimal. Dans le cas de l’échantillon MPP2,
le maximum de αM n’est ni observable expérimentalement ni prédit par le
53
modèle développé. En règle générale, si le nombre de Mach optimal est très
faible, le coefficient d’absorption à la résonance va uniquement décroître avec
l’augmentation de Mp.
o MPP1 experiment at 580 Hz--- MPP1 simulation* MPP2 experiment at 364 Hz-MPP2 simulation~ MPP3 experiment at 598 Hz
..... MPP3 simulation
",~.. A~~. ~... ..; ...... ' .......... .............. ...~........ '.
~ ~.~~ .... ....
'"....... '{>.....-~~ ...~...v ~__ ~v-...... . .......... ....'0...... '$......... ........... "
~~"'"~~
~~
******
*
0.5
o.
0.8
0.6
0.7
::2:ij
0.4
0.2 1.2 1.4x 10.3
Fig. 1.19 – Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre de Mach dans les
perforations. Cas des échantillons MPP1, MPP2 et MPP3. Profondeur de cavité de 50mm.
Comparaison des coefficients d’absorption théorique et expérimental
comme fonction de la fréquence
La figure (1.20) représente la comparaison entre les résultats expérimentaux
et simulations par les modèles de Maa (Maa94), Hersh et al. (HWC03) et
celui développé dans ce travail pour le coefficient d’absorption de l’échan-
tillon MPP1 à un niveau de 145 dB en entrée de perforations (microphone
de référence) dans une plage de fréquence qui s’étend de 200 Hz à 1600 Hz.
La profondeur de cavité étant de 50 mm. La comparaison entre le modèle
développé et les mesures donne de bons résultats. Le premier pic d’absorp-
tion observé autour de 564 Hz est le pic d’absorption dû aux perforations
tandis que le deuxième pic d’absorption observé autour de 900 Hz résulte
de la réponse structurale (vibratoire) d’une plaque couplée à une cavité d’air.
L’impédance structurale est décrite dans la section 1.3.5. Le modèle présenté
et les mesures sont correctes.
La figure (1.21) représente les comparaisons entre les mesures et les simu-
lations de l’impédance de surface de l’échantillon MPP1 à 145 dB en entrée de
perforation pour une profondeur de cavité d’air de 50 mm (fig. 1.21a pour les
résistances acoustiques et fig. 1.21b pour les réactances acoustiques). Globale-
ment, la comparaison entre les prédictions et les mesures donne des résultats
acceptables. Une observation plus locale permet de remarquer que dans le
54
Fig. 1.20 – Comparaison des coefficients d’absorption simulés et mesurés de l’échantillon
MPP1 à 145 dB (u = 0,325 m/s). Profondeur de cavité de 50 mm.
cas des résultats de la résistance (Fig. (1.21a), le modèle de Maa (Maa94)
sous-estime les mesures, tandis que le modèle d’Hersh et al. (HWC03) a
une prédiction plus correcte comparée à celle de Maa excepté aux fréquences
proches du comportement structural de la plaque. Par contre, sur les résul-
tats de la réactance (Fig. (1.21b), les trois modèles ont tous une prédiction
correcte sur les mesures même si le modèle d’Hersh et al. semble légèrement
minorer la mesure.
Fig. 1.21 – Comparaison des Impédances normalisées de surface simulées et mesurées de
l’échantillon MPP1 à 145 dB (u = 0,325 m/s). Profondeur de cavité de 50 mm.
La figure (1.22) représente la comparaison des coefficients d’absorption
en fonction de la fréquence de l’échantillon MPP3 pour un niveau de 145 dB
en entrée de perforations entre les résultats expérimentaux et simulations par
les modèles de Maa (Maa94), Hersh et al. (HWC03) et celui développé dans
ce travail. La profondeur de cavité est de 40 mm. On observe que la com-
55
paraison entre le modèle développé et les résultats expérimentaux donne de
bons résultats sur toute la plage de fréquence étudiée. Par contre, les modèles
de Maa (Maa94) et d’Hersh et al. (HWC03) à eux fournissent une mauvaise
prédiction du coefficient d’absorption. Dans le modèle de Maa (Maa94), la
pente de la résistance non-linéaire ne dépend que du taux de perforation
φ de l’échantillon perforé, ce qui paraît insuffisant pour modéliser le coeffi-
cient d’absorption. Dans le modèle d’Hersh et al. (HWC03), cette résistance
non-linéaire dépend beaucoup plus du rapport épaisseur sur diamètre de
trou (h/d). Ce modèle (celui d’Hersh et al. (HWC03)) paraît également très
insuffisant dans ce cas pour modéliser le coefficient d’absorption.
Fig. 1.22 – Comparaison des coefficients d’absorption simulés et mesurés de l’échantillon
MPP3 à 145dB (u = 0,337 m/s). Profondeur de cavité de 40mm.
La figure (1.23) représente les comparaisons entre les mesures et les si-
mulations de l’impédance de surface (résistances sur la figure (1.23a) et ré-
actances sur la figure (1.23b) de l’échantillon MPP3 à 145 dB en entrée de
perforation (microphone de référence) pour une profondeur de cavité d’air
de 40 mm. Globalement, la comparaison entre les prédictions et les mesures
donne de bons résultats. Sur la figure (1.23a), en deça de la fréquence de 800
Hz, la comparaison entre le modèle développé et les résultats expérimentaux
est correcte. Par contre au-delà de la fréquence de 800 Hz, on observe une
mauvaise prédiction du modèle sur le résultat expérimental. Cette remarque
pourrait suggérer une certaine dépendance des paramètres de non-linéarité
(principalement K) avec la fréquence. Cette différence du modèle sur la me-
sure n’a pas une influence considérable puisqu’au final le coefficient d’ab-
sorption est très bien prédit sur toute la gamme de fréquence étudiée.
56
Fig. 1.23 – Comparaison des Impédances normalisées de surface simulées et mesurées de
l’échantillon MPP3 à 145dB (u = 0,337 m/s). Profondeur de cavité de 40mm.
1.4.5 Calculs d’incertitudes
Incertitudes sur les valeurs de K et de δ
Le degré de confiance sur les valeurs obtenues des coefficients K et δ a été
vérifié. Pour cela, l’incertitude de la mesure a été estimée suivant un proto-
cole décrit dans les techniques de l’ingénieur (Pri99). L’incertitude totale sur
le résultat présenté résulte de la composition de l’ensemble des erreurs. Sur
un plan statistique, il s’agit de prendre en compte l’ensemble des variances
induites par les différentes variables. Elle se calcule donc en répercutant les
incertitudes des différents termes intervenant dans l’expression de la résis-
tance acoustique en régime non-linéaire. Ces termes sont : le diamètre de
perforation, la célérité du son dans l’air, la viscosité cinématique, le taux de
perforation, le nombre de Mach (rapport vitesse sur célérité), l’impédance ca-
ractéristique de l’air et la résistance acoustique de la MPP en régime linéaire.
Par souci de simplification, ces différents termes sont considérés indépen-
dants quant à leurs mesures (hypothèse de non-corrélation entre les mesures
de ces termes). A noter toutefois que les mesures du diamètre et du taux de
perforation sont corrélées.
Pour rappel, la résistance acoustique en régime non-linéaire est donnée
par les expressions 1.49, 1.52 et 1.53 par
Real {zMPP}NL = aMp + b, (1.78)
avec
a = Kdc0
νφ(1.79)
et
b = (1 + δ)Real{zMPP}linear. (1.80)
57
Les coefficients K et δ sont donc déduits de ces expressions et donnés res-
pectivement par
K =νφ
dc0a (1.81)
et
δ =b
Real{zMPP}linear− 1. (1.82)
On obtient alors les incertitudes relatives suivantes : pour le coefficient K(Γ(K)
K
)2
=(
Γ(a)a
)2
+(
Γ(φ)φ
)2
+(
Γ(ν)ν
)2
+(
Γ(d)d
)2
+(
Γ(c0)c0
)2
,
(1.83)
et pour le coefficient δ on a(Γ(δ)
δ
)2
=(
Γ(b)b
)2
+(
Γ(zMPPlinear)zMPPlinear
)2
, (1.84)
où Γ représente la variance pour chaque variable.
Incertitude sur a : La pente ”a” est déterminée à partir de 6 ou 7 points
de mesures pour les niveaux supérieurs ou égaux à 137 dB. La moyenne des
pentes extrêmes permet d’estimer ”a” et son incertitude est donnée par
∆a =∣∣∣∣ asup − ainf
2
∣∣∣∣ . (1.85)
Incertitude sur d : Les diamètres de perforation, l’épaisseur de plaque et
les distances entre perforations sont mesurés au moyen d’un micromètre élec-
tronique. Les valeurs lues sont données à 10−2 mm près (données construc-
teur).
Incertitude sur φ : Le taux de perforation est relié au diamètre de trou et
à la distance entre perforation. Pour une disposition carrée ou triangulaire
de perforations circulaires (cas de nos échantillons), l’incertitude sur le taux
de perforation peut être obtenue à partir des incertitudes sur le diamètre de
perforation et la distance entre perforation par(Γ(φ)
φ
)2
=(
2Γ(d)
d
)2
+(
2Γ(b1)
b1
)2
. (1.86)
Incertitude sur c0 : La célérité du son dans l’air dépend de la température
ambiante T0 de l’air exprimée en kelvins. A partir de la formule liant la
célérité et la température (voir Annexe B), l’incertitude sur la célérité du son
dans l’air est évaluée par l’expression(Γ(c0)
c0
)2
=14
(Γ(T0)
T0
)2
. (1.87)
58
L’incertitude de mesure de la température considérée pour nos mesures est
de 0,1˚C.
Incertitude sur ν : Tout comme la célérité du son, la viscosité cinématique
est un paramètre qui dépend de la température. Pour l’air comme pour cer-
tains gaz, la viscosité est considérée comme pouvant être décrite parfaitement
par la loi de Sutherland. Nous évaluons la précision sur la viscosité cinéma-
tique à ±2 %.
Incertitude sur b : Tout comme la pente ”a”, l’ordonnée à l’origine est
déterminée à partir de 6 ou 7 points de mesures pour les niveaux supérieurs
ou égaux à 137 dB. Son incertitude est donc considérée la même que pour la
pente (voir ci-dessus).
Incertitude sur Real{zMPP}linear : La résistance acoustique en régime li-
néaire Real{zMPP}linear dépend des paramètres géométriques et du milieu de
propagation. Son incertitude est évaluée à partir des incertitudes ci-dessus
en considérant en plus l’incertitude sur la densité de l’air (précision évaluée
à ±2 %) et l’incertitude sur l’épaisseur (voir ci-dessus l’incertitude sur le dia-
mètre).
Le tableau 1.3 présente les incertitudes relatives sur K et δ évaluées pour les
échantillons testés.
Tab. 1.3 – Incertitudes relatives sur les coefficients K et δ du régime non-linéaire.
K δ
MPP1 2, 25× 10−2 1, 68× 10−2
MPP2 2, 26× 10−2 1, 76× 10−2
MPP3 2, 47× 10−2 1, 37× 10−2
MPP4 2, 25× 10−2 4, 47× 10−2
Sur la répétabilité des mesures
Le terme répétabilité désigne la variabilité des résultats d’une série de me-
sures sur un même échantillon effectuée dans des conditions très proches.
Nous présentons ici la répétabilité de la mesure de la résistance acoustique
en régime non-linéaire de l’échantillon en Duralumin (ce qui se transpose
facilement aux cas co-polymère et acier). Cette étude de la répétabilité est
réalisée sur plusieurs essais à température ambiante de 22˚C et d’humidité
relative de 45 %. Afin de garantir que l’on est bien en régime non-linéaire,
59
seuls les niveaux de pression strictement supérieurs à 135 dB sont considérés
(d’après (Mel73), le régime de non-linéarité sur les MPP est en général établi
à partir de 130 dB). Après chaque essai, l’échantillon est retiré complètement
du tube à impédances avant d’être remis pour l’essai suivant. La répétabilité
est estimée à partir de l’écart-type σrep par
σrep =
√√√√√nmes∑1
(xi − x)2
nmes − 1, (1.88)
où xi représente la ime valeur obtenue sur une série de nmes mesures sur un
échantillon, x est la valeur moyenne sur la série de nmes mesures et nmes le
nombre de mesures.
En supposant une distribution normale des résultats, l’intervalle de
confiance sur une valeur xi est donné par
xi ± tFσrep, (1.89)
avec tF le coefficient de Fisher-Student choisi correspondant à 95 % et dépen-
dant du nombre de mesures nmes qui a servi au calcul de σrep. Le coefficient
de Fisher-Student se trouve donné dans des tables pour différents niveaux
de probabilité. A partir de l’expression (1.88) l’erreur de répétabilité sur nos
mesures est de 5 × 10−5 pour les résultats du coefficient d’absorption et de 6
× 10−5 pour les résultats de résistance acoustique normalisée.
Conclusion du chapitre
Cette première partie a fait l’objet d’un article paru dans le J.A.S.A. (Journal
of the Acoustical Society of America) de Tayong et al. (TDL10) ; elle constitue
la version étendue et approfondie de cet article. Dans cette première partie,
un modèle de prédiction d’impédance acoustique de plaque micro-perforée
soumise à forts niveaux d’excitation est proposé et validé expérimentalement
dans une configuration de MPP couplée à une cavité d’air et une paroi ri-
gide. Deux paramètres adimensionnels et un nombre de Mach optimal sont
introduits et utilisés. Ces paramètres s’avèrent adaptés et nécessaires pour
une bonne prédiction de l’impédance de tels systèmes pour des niveaux de
pression élevés. Les comparaisons des résultats obtenus par simulation avec
ceux obtenus par la mesure sont correctes. Le travail théorique effectué ré-
vèle le fait qu’avec une augmentation de niveau de pression incidente, le pic
60
d’absorption dû aux perforations va s’élever dans une première étape jus-
qu’à une valeur maximale égale à 1 et ensuite décroître dans une deuxième
étape. Il a été expérimentalement montré que ce comportement n’est ob-
servé que si la valeur du nombre de Mach optimal se trouve bien au-delà
de la limite des régimes linéaire/non-linéaire de l’échantillon perforé. Par
contre, si ce nombre de Mach optimal se trouve en deçà de la limite des ré-
gimes linéaire/non-linéaire, le pic d’absorption va tout simplement décroître
avec une augmentation du niveau d’excitation (en pression ou en nombre de
Mach). Les plaques micro-perforées sont très sensibles au niveau de pression
incident. C’est pourquoi il est important, lorsque des résultats sont présen-
tés, d’indiquer le niveau de pression (ou de vitesse, de nombre de Mach ou
de nombre de Reynolds) auquel l’échantillon a été soumis, particulièrement
en régime non-linéaire. L’un des paramètres de la résistance du régime de
non-linéarité se trouve être fortement influencé par la forme de la perfora-
tion en sortie et aussi par les effets liés aux extrémités de perforation. C’est
pourquoi il est présenté, dans le chapitre suivant, les effets d’interaction entre
les perforations à forts niveaux d’excitation. Un autre chapitre est consacré
au couplage avec des matériaux poreux (cas des multi-couches) sous forts
niveaux d’excitation.
61
2Modélisation des effets
d’interaction entre les
perforations
Sommaire
Notations du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Les effets d’interaction entre perforations à faibles ni-veaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.1 Théorie classique sur la conductance et l’approche de Fok . . 71
2.2.2 Modélisation de l’impédance avec effets d’interaction . . . . . 78
2.2.3 Influence de la distance b et du taux de perforation sur le
coefficient d’absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3 Les effets d’interaction entre perforations à forts ni-veaux d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.1 Zone d’influence autour de la perforation et introduction du
rayon moyen et effet de tortuosité . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3.2 Expression de l’impédance acoustique avec effet d’interaction
sous forts niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4.1 Echantillons testés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4.2 Effets d’interaction : Résultats et discussion . . . . . . . . . . . 94
2.4.3 Système Multi-MPP à taux de perforation décroissants . . . . 101
2.4.4 Synthèse concernant les effets d’interaction entre perforations 104
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
63
Notations du chapitre 2
b Distance entre deux perforations proches
C1, C2 Constantes adimensionnelles de Forchheimer
c0 Célérité du son dans l’air
d Diamètre de perforation
Dcav Profondeur de la cavité d’air
Dt Diamètre du grand conduit contenant les perforations
e Excentricité de l’ellipse
Ec, Ecb Énergie cinétique
f Fréquence
h Épaisseur de la plaque
I0, I3 Chemin moyen de la particule dans le quart du cercle
I1 Chemin moyen de la particule dans le carré OABC
I2 Chemin moyen de la particule dans le rectangle OPQ b2
Im Partie imaginaire
j Imaginaire pur
J0, J1 Fonctions de Bessel de première espèce à l’ordre 0 et 1 respectivement
k Nombre d’onde
k0n Nombre d’onde du mode n
kFok Conductance de Fok
kp Constante de perforation
kT Conductance totale
KR Conductivité de Rayleigh
Lm Distance moyenne entre l’axe vertical et le demi-hémisphère
mi Réactance inertielle
M Masse oscillante du gaz
Mb Masse fictive qui oscille dans la perforation
MFok masse ajoutée de Fok
MT Masse ajoutée totale
Mv Valeur moyenne de fonction
n Numéro du mode
np Nombre de perforations
p Pression acoustique
65
Q Débit
rb Rayon du grand tube contenant la perforation
r, rd Rayon hydraulique de perforation(=d/2)
R, R(ω) Coefficient de réflexion en incidence normale
RH Rayon du demi-hémisphère autour de la perforation
Reyp Nombre de Reynolds dans les perforations
s1, S Surface de perforation ou de conduit
sp Surface occupée par l’ensemble des perforations
t Variable temps
T0 Température ambiante
ug Vitesse particulaire du gaz
ur Vitesse particulaire radiale
uz Vitesse particulaire axiale
up Vitesse particulaire dans les perforations
x Direction de l’espace
y Direction de l’espace
z Direction de l’espace
Z0 Impédance caractéristique de l’air = ρ0c0
Zcav Impédance acoustique de la cavité d’air
ZMPP Impédance acoustique due aux perforations
Zray Impédance de rayonnement de Rayleigh
ZS Impédance normalisée de surface
< > moyenne
αint∞ Tortuosité modifiée en régime non-linéaire
α, α(ω) Coefficient d’absorption en incidence normale
αM Coefficient d’absorption à la résonance
δikee f e Paramètre d’interaction de Keefe
δrayl Correction d’épaisseur de Rayleigh
η Coefficient de viscosité dynamique du fluide
Λ Longueur caractéristique visqueuse
µ Viscosité dynamique de l’air
ν Viscosité cinématique du fluide
66
ρ Densité
ρ0 Densité de l’air
ρe Densité effective
σ0 Résistivité en régime linéaire
σF Résistivité en régime non-linéaire
φ, φ1, φ2 et φ3 Taux de perforation
Φ Potentiel scalaire de vitesse
ω Pulsation
ξ Rapport du diamètre de perforation et de la distance entre perforations
ξ f =√
π2 ξ
ψ Potentiel vecteur de vitesse
Ψ0 Fonction de correction
ΨFok Fonction d’interaction de Fok
Ψkee f e Fonction d’interaction de Keefe
Les indices utilisés
p, per f Perforation
cav Cavité (généralement de l’air)
Fok Fok
kee f e keefe
ray ou rayl Rayonnement
MPP Plaque Micro-Perforée
R Rayleigh
0 Paramètre lié au fluide (l’air)
S, s Surface
e Effective ou équivalente
Les exposants utilisés
(i) ou int Interaction entre perforation
67
68
2.1 Introduction
De nombreux modèles ont été élaborés dans le but d’appréhender le compor-
tement acoustique des plaques perforées (Maa98; HWC03) et ainsi de prédire
leurs capacités absorbantes (All93; AS07; Kra99). La particularité commune
de la plupart de ces modèles (All93; Maa98; HWC03) est qu’ils ne sont va-
lides que lorsque les distances entre les perforations sont très grandes devant
le diamètre de perforation (hypothèse d’effets d’interaction négligés). Cepen-
dant, dans de très nombreux cas d’applications de ces absorbants, les perfora-
tions sont très rapprochées les unes des autres à tel point que les interactions
entre elles peuvent influencer leurs performances acoustiques. L’approche
classique la plus souvent utilisée pour prendre en compte l’interaction entre
perforations est celle de Fok (Fok41). Dans son étude (Fok41; Rzh63), il est
développé une fonction (appelée fonction de Fok) qui prend en compte les ef-
fets d’interaction en intégrant la distance entre perforations par correction du
rayonnement de chaque perforation. Ingard (Ing53) a travaillé sur les résona-
teurs. Il traite le cas de deux perforations rapprochées qui interagissent entre
elles et il note que le rayonnement en sortie de chaque perforation dépend
fortement de la distance qui les sépare. Les travaux de Melling (Mel73) sur
les effets d’interaction à faibles niveaux d’excitation révèlent que la longueur
de correction sur la réactance est√
2 fois plus grande dans le cas de deux
trous consécutifs et distincts que pour deux perforations indépendantes. Il
note également que la résistance doit aussi être corrigée de la même manière
que la réactance. Ainsi, les longueurs de correction sur la résistance comme
sur la réactance diminuent avec le rapprochement des trous ; En effet, dans le
cas d’interaction, les effets de résistance et de réactance sont partagés. Cette
observation est aussi notée par Randeberg (Ran00). Les phénomènes d’in-
teraction entre des trous étant courants dans les instruments à bec de type
flûte ou clarinette, les travaux de Keefe (Kee83) sur la propagation acous-
tique en conduits permettent d’introduire un paramètre d’interaction qui est
fonction du diamètre d de perforation, de la distance b entre perforations
et du diamètre Dt du conduit sur lequel les perforations sont réalisées. En
considérant le fait que toute perturbation acoustique dans un conduit peut
se représenter comme une fonction du mode propagatif et d’une somme sur
la réponse du mode évanescent qui y a lieu, Keefe (Kee83) remarque que
les effets d’interaction entre perforations sont considérables si la distance b
entre deux perforations est suffisamment petite devant la longueur caracté-
69
ristique d’atténuation du mode évanescent. Tous les résultats de travaux pré-
cités étant effectués à faibles niveaux d’intensités acoustiques, les modèles
qui s’y appuient ne sont donc valides que pour les régimes linéaires. En ré-
gime non-linéaire (cas de forts niveaux d’intensités acoustiques), les premiers
auteurs à s’intéresser aux phénomènes d’interaction sous forts niveaux sont
Ingard (Ing53) et Melling (Mel73). Dans ses travaux sur ces phénomènes à
forts niveaux d’excitation portés sur les cas particuliers de taux de perfora-
tion (porosité) de 22 % et 7,5 %, Melling (Mel73) montre que la correction
de Fok ne peut s’appliquer que sous conditions d’un fluide potentiel. En ré-
gime non-linéaire, les écoulements turbulents existent ; si la fonction de Fok
peut continuer à être appliquée sur la réactance du système, elle ne peut
plus être appliquée sur la résistance. Melling (Mel73) développe un mo-
dèle d’impédance acoustique en régime non-linéaire dont le paramètre de
non-linéarité est décrit par le coefficient de décharge (défini par le rapport
entre la décharge effective c’est-à-dire décharge en présence de frictions et
la décharge idéale c’est-à-dire décharge en absence de frictions). Ce para-
mètre de non-linéarité est sensé prendre en compte de façon implicite les
effets d’interaction entre perforations sous forts niveaux. Il montre alors que
la correction apportée à l’impédance de rayonnement par utilisation de la
fonction de Fok est en pratique faible pour les faibles taux de perforation
tandis que les forts taux de perforation vont réduire l’impédance de rayon-
nement de façon significative. Bien après, Randeberg (Ran00) va révéler le
fait qu’en régime linéaire, l’utilisation de la fonction de Fok comme correc-
tion sera pratiquement équivalente à utiliser la correction de rayonnement
proposée par Ingard pour les deux extrémités de la perforation. L’utilisation
d’un dispositif de mesure de Velocimétrie par imagerie de Particules (PIV)
appliqué aux stacks va permettre, grâce aux travaux de Berson et al. (Ber07),
de visualiser la formation et l’interaction des jets (structures tourbillonnaires)
formés à forts niveaux d’excitation. Ils montrent une différence de résultats
entre le cas où les plaques qui composent les stacks sont minces (cas avec
interaction) et le cas où les plaques sont épaisses (cas sans interaction). Leurs
travaux apportent ainsi des éléments nouveaux dans le comportement non-
linéaire des perforations (pouvant être identifiées aux stacks) rapprochées.
En résolvant l’équation d’Euler incompressible pour un tube d’épaisseur fi-
nie, les récents travaux numériques et expérimentaux de lee et al. (LIP07)
ont conduit à l’élaboration d’un modèle d’impédance de plaque perforée en
présence d’écoulement. Dans le cas d’interaction entre perforations, les com-
70
paraisons entre les simulations et les mesures de ce dernier modèle donnent
de bons résultats. Toutefois, les phénomènes liés aux interactions entre per-
forations en régime non-linéaire ne sont pas encore tout à fait maitrisés et
davantage de travaux sont nécessaires pour appréhender ces effets.
Nous traitons des effets d’interaction entre perforations en régimes li-
néaire et non-linéaire. Dans un premier temps, en régime linéaire, un rappel
sur les travaux de Fok et une comparaison le modèle de Keefe adapté sont
présentés. Les méthodes de prédiction de l’impédance acoustique en pré-
sence de ces effets sont également présentées. Nous choisissons de modéliser
les plaques micro-perforées par une approche fluide équivalent. En régime
non-linéaire, la fonction de Fok n’est pas adaptée dans la prédiction de l’im-
pédance acoustique en présence des effets d’interaction. En effet, la fonction
de Fok est basée sur une hypothèse d’un écoulement lent et stable. Ainsi, il
est proposé un modèle géométrique basé sur la tortuosité du chemin par-
couru par la particule fluide lorsqu’elle est aspirée dans la perforation. Dans
la partie expérimentale, deux jeux d’échantillons sont fabriqués et testés. Le
premier jeu se focalise sur l’effet d’interaction entre perforations couplé à l’ef-
fet de porosité. Dans le deuxième jeu d’échantillons, la porosité des échan-
tillons est gardée constante et c’est la distance entre perforations qui varie.
Dans ce cas, on peut supposer que la faible décroissance de la pente est alors
liée aux effets d’interaction entre perforations même s’il existe un effet de
réactance pouvant intervenir.
2.2 Les effets d’interaction entre perforations à
faibles niveaux
2.2.1 Théorie classique sur la conductance et l’approche de Fok
L’effet d’interaction entre perforations, bien qu’étant un effet qui prend
place aux deux embouchures, est lié à la propagation dans la perforation
(Rzh63). L’un des paramètres importants qui caractérise cette propagation
est la conductivité acoustique de la perforation (Ray29). Dans cette section,
nous présentons les calculs qui conduisent à la détermination de la conduc-
tivité acoustique et son lien direct avec l’effet d’interaction tel que présenté
par Fok (Fok41).
Les travaux effectués par Fok (Fok41; Rzh63) sur les effets d’interaction
71
entre perforations reposent essentiellement sur le calcul et l’interprétation de
la conductance d’une ou de plusieurs perforations. La notion de conductance
(ou de conductivité mentionnée dans le paragraphe 1.2.5) d’un tube a pour
la première fois été mis en exergue en acoustique par Rayleigh (Ray29), en
effectuant une analogie électro-acoustique. Dans cette analogie, le fluide est
considéré comme un câble électrique conducteur, les frontières de la perfo-
ration constituant l’isolant. Si l’on applique une différence de potentiel de
part et d’autre du conducteur, un courant est alors généré. Le rapport entre
le courant total et la force électromotrice est appelé conductivité du conduit.
A basses fréquences, l’énergie cinétique d’un gaz (ou d’un liquide) occu-
pant un conduit de longueur h et de section S ayant une vitesse ug est donnée
par
Ec =12
Mu2g =
12(Shρ)u2
g =12
ρ
S/h(Sug)2 =
12
MQ2, (2.1)
où M représente la masse oscillante du gaz (M = Shρ). Lorsque l’énergie
cinétique est exprimée en fonction du débit Q = Sug, la masse s’exprime
en unité acoustique (M = M/S2). La quantité exprimée par KR = S/h, ho-
mogène à une longueur, représente la conductance acoustique et l’énergie
cinétique s’écrit en fonction de la conductance par
Ec =12
ρS2
KRu2
g =12
ρ
KRQ2. (2.2)
Il n’y a en réalité pas de difficulté majeure à calculer la conductance d’un
tube. Dans le cas où le champ acoustique est de nature plus compliquée,
il suffit dans un premier temps d’intégrer l’énergie cinétique sur la région
considérée et d’utiliser l’équation (2.2) pour déterminer la conductance KR
ou la masse M = ρ/KR par identification à l’expression du débit dans la
perforation. Les divers problèmes de calcul de conductance acoustique ont
été résolus par Rayleigh (Ray29). Pour arriver à déterminer la conductance,
la méthode classique est de calculer l’énergie cinétique sur la région infinie
par
Ec =12
ρ∫ ∫ ∫ [
(∂Φ∂x
)2 + (∂Φ∂y
)2 + (∂Φ∂z
)2]
dxdydz, (2.3)
avec Φ le potentiel de vitesse. La valeur moyenne de Ec dans un intervalle de
temps donné se détermine en calculant la vitesse en chaque point constituant
le champ acoustique. Si le débit Q est une donnée connue, la conductance est
alors déduite de l’équation (2.2). Soit une perforation de section elliptique
et soient s et e sa surface et son excentricité respectivement (e < 1). Si le
72
baffle de la perforation est infini, d’après Rayleigh (Ray29), sa conductance
est donnée par
KR = 2√
sπ
(1 +
e4
64+
e6
64+ ...
). (2.4)
Pour une perforation de forme cylindrique (e = 0) cette conductance devient
KR = 2√
sπ
= 2
√πr2
π= 2r = d. (2.5)
avec r le rayon de la perforation. Ainsi, la conductance d’une perforation
circulaire dans un baffle infini est égale au diamètre de perforation. La
conductance des formes autre que cylindrique et elliptique se calcule bien à
partir des résultats d’Ingard (Ing48; Ing53). Toutefois, si la perforation n’est
pas très étendue, la conductance peut s’approximer par
KR ≈ 2√
sπ
. (2.6)
Du fait que la vitesse particulaire n’est pas toujours uniforme sur le plan de
la perforation, il s’en suit que le débit Q devra être déterminé par intégration
de la vitesse sur la surface de la perforation.
Dans le cas où le baffle en extrémité de la perforation est de dimension
finie b, Fig. (2.1), il est logique de penser que la conductance dans ce cas
est différente de la conductance obtenue pour le baffle infini, ceci à cause
du fait que le profil de propagation et l’énergie cinétique vont différer. Si le
rapport d/b est très petit, le problème s’assimile au cas du baffle infini et la
conductance est KR ≈ d. Par contre si d augmente, d→ b, la conductance tend
vers l’infini ce qui se conçoit bien car l’effet de distorsion du profil devient
alors faible et la masse ajoutée tend à disparaître. Par analogie à un piston
Fig. 2.1 – Schéma de la perforation dans un tube. Baffle fini de dimension b.
circulaire de diamètre d oscillant à la vitesse U0 contenu dans un tube de
diamètre b (voir Fig. 2.1), le potentiel de vitesse s’exprime par (voir (Bru98))
Φ(z, r) =∞
∑n=0
C0n J0(k0nr)e−j√
k2−k20nz, (2.7)
73
où J0 est la fonction de Bessel d’ordre 0, n le mode considéré, k0n le nombre
d’onde, z l’axe de propagation, C0n la constante modale. Dans cette expres-
sion le facteur ejωt est omis. Cette expression résulte de la séparation des
variables (par la méthode de Fourier) de la solution de l’équation d’onde
dans un tube cylindrique. En considérant que la vitesse particulaire u a une
composante axiale uz et une composante radiale ur, la vitesse particulaire
totale est donnée par
u =√
u2z + u2
r (2.8)
avec
uz(z, r) = −∂Φ∂z
=∞
∑n=0
j√
k2 − k20nC0n J0(k0nr)e−j
√k2−k2
0nz (2.9)
et
ur(z, r) = −∂Φ∂r
=∞
∑n=0
k0nC0n J1(k0nr)e−j√
k2−k20nz. (2.10)
On cherche à présent à exprimer les coefficients d’amplitude C0n en utilisant
les conditions et les propriétés d’orthogonalité de fonctions de Bessel.
A la condition limite z = 0 (Fig. 2.1) la vitesse axiale est :
uz(0, r) =∞
∑n=0
j√
k2 − k20nC0n J0(k0nr) =
{u0 pour 0 < r < d/2
0 pour d/2 < r < b/2(2.11)
où rb est le rayon du grand tube et rd le rayon de la perforation. En multipliant
chaque membre par J0(k0mr) et en intégrant sur la surface du tube on a
2π∞
∑n=0
j√
k2 − k20nC0n
d/2∫0
J0(k0nr)J0(k0mr)rdr = 2πu0
d/2∫0
J0(k0mr)rdr. (2.12)
D’après les propriétés d’orthogonalité des fonctions de Bessel,
d/2∫0
J0(k0nr)J0(k0mr)rdr =
{0 si m 6= n
d2
4 J20(k0nd/2) si m = n
Cette propriété s’appliquant aussi bien à l’ordre 1 de la fonction de Bessel.
b/2∫0
J1(k0nr)J1(k0mr)rdr =
{0 si m 6= n
r2b2 J2
1(k0nb/2) si m = n
⇒ on montre que les coefficients modaux s’écrivent alors
C00 =r2
djkr2
bu0, (2.13)
74
C0n =2rd J1(k0nrd)u0
j√
k2 − k20nk0nr2
b J20(k0nrb)
≈ 2rd J1(k0nrd)u0
(k0nrb)2 J20(k0nrb)
. (2.14)
Pour le calcul de l’énergie cinétique, il est nécessaire de ne prendre en
compte que les modes supérieurs (n = 1, 2, 3, ...) qui disparaissent avec l’aug-
mentation de la distance par rapport au piston oscillant.
Pour k << k0n, en utilisant ces précédents résultats, la vitesse totale s’obtient
par
u2 = u2z + u2
r =∞
∑n=1
C20nk2
0n J20(k0nr)e−2k0nz+
∞
∑n=1
C20mk2
0m J21(k0mr)e−2k0mz+
2∞
∑n=1
∞
∑m=1
C0nC0mk0nk0m J0(k0nr)J0(k0nr)e−(k0n+k0m)z+
2∞
∑n=1
∞
∑m=1
C0nC0mk0nk0m J1(k0nr)J1(k0nr)e−(k0n+k0m)z. (2.15)
Et l’énergie cinétique dans tout le volume du tube (de z = 0 à z = ∞) à
l’instant du maximum de vitesse est donnée par
Ecb =12
2πρ
∞∫0
rb∫0
u2rdrdz. (2.16)
On peut montrer, à l’aide des propriétés d’intégrales sur les fonctions de
Bessel que les deux derniers termes de l’expression (2.15) sont nuls. En re-
marquant que∞∫
0
e−2k0nzdz =1
2k0n(2.17)
et en utilisant l’expression de C0n précédemment trouvée, l’énergie cinétique
dans le tube est donnée par
Ecb =12
πρ∞
∑n=1
C20nk0nr2
b J20(k0nrb) = 2πr2
drbρu20
∞
∑n=1
J21(k0nrd)
(k0nrb)3 J20(k0nrb)
. (2.18)
De cette expression, on voit que l’on peut associer à l’énergie cinétique une
masse fictive Mb qui oscille à la vitesse d’amplitude u0 en posant
Ecb =12
Mbu20. (2.19)
Cette masse fictive oscille aux deux extrémités de la perforation (donc à
prendre en compte 2 fois), la masse ajoutée totale M est obtenue par
M = 2Mb = 4πr2drbρ
∞
∑n=1
J21(k0nrd)
(k0nrb)3 J20(k0nrb)
. (2.20)
75
En posant ξ = d/b, on a
M =4πr3
dρ
ξ
∞
∑n=1
J21(k0nrbξ)
(k0nrb)3 J20(k0nrb)
. (2.21)
Si on augmente le diamètre du grand tube (c’est à dire quand b → ∞), on
arrive au cas du baffle infini où Mb = 8r3dρ/3 et la masse totale quand ξ→0
tendra vers l’expression
M =1613
r3dρ =
ρs2
k0Ψ(0)(2.22)
avec dans le cas limite ξ = 0, la conductance k0 = (3π2/32)d. Lorsque ξ est
très petit, la conductance est donnée par k=k0 Ψ(ξ).
Rayleigh (Ray29) propose de résoudre le problème de masse ajoutée par
une analogie à un piston en déplacement. Ainsi Fok (Fok41), en suivant
l’approche de Rayleigh (Ray29), obtient une expression similaire pour une
taille de perforation infiniment mince. Il obtient une expression de la masse
ajoutée donnée par
MFok =ρs2
dΨFok(2.23)
où MFok est la masse ajoutée de Fok, la conductance est kFok = dΨFok, avec
ΨFok la fonction de Fok dont l’expression est
ΨFok(ξ f ) = (1 + a1ξ f + a2ξ2f + a3ξ3
f + ...)−1, (2.24)
où ξ f =√
πd/(2b) = ξ√
π/2 et les coefficients sont
a1 = -1,40925 a7 = +0,03015
a2 = 0 a8 = -0,01641
a3 = +0,33818 a9 = +0,01729
a4 = 0 a10 = -0,01248
a5 = +0,06793 a11 = +0,01205
a6 = -0,02287 a12 = -0,00985.
La fonction de Fok a la particularité d’être toujours supérieure à 1 (Fig. 2.2).
Quand ξ → 1, ΨFok → ∞,⇒ la masse ajoutée tend vers 0 et d = b
Quand ξ → 0, ΨFok → 1 et b » d.
En considérant maintenant np perforations identiques sur une même plaque
disposées de façon uniforme, d étant le diamètre de perforation et b la dis-
tance entre les perforations, d’après les précédents résultats une étude des
limites de ΨFok montre que :
76
si d/b < 0, 2, les perforations sont très espacées les unes des autres, on uti-
lise une approximation de baffle infini pour chaque perforation et la conduc-
tance d’une seule perforation est alors donnée par kFok ≈ d, la masse ajoutée
d’une perforation est MFok = ρ/kFok. La conductance totale sera la somme
des np conductances individuelles (kT = npkFok) et la masse ajoutée totale
sera la masse ajoutée d’une perforation divisée par np (MT = MFok/np).
si d/b > 0, 8, les perforations sont très rapprochées les unes des autres, la
conductance kFok d’une perforation est très grande alors que la masse ajoutée
d’une perforation devient négligeable (MFok → 0). Dans ce cas, l’ensemble
des np perforations se comporte comme une unique perforation de surface
Sp. On peut montrer que
Sp = npb2 (2.25)
pour une disposition carrée des perforations et
Sp = 0, 867npb2 (2.26)
pour une disposition équilatérale des perforations. Sp est la surface totale
autour des np perforations. A noter que le cas d/b = 1 n’est pas pratiquement
réalisable.
Fig. 2.2 – La fonction de Fok (ΨFok) en fonction de d/b.
Remarque sur l’écoulement potentiel
77
Les équations qui conduisent à la formulation de la fonction de Fok sont
basées sur une hypothèse d’écoulement potentiel. Il serait intéressant ici de
rappeler brièvement la notion d’écoulement potentiel. De façon générale, le
champ de vitesse peut être considéré comme composé de deux parties : une
partie irrotationnelle et une partie rotationnelle et l’on écrit l’expression
u = ∇Φ +∇× ψ (2.27)
avec Φ le potentiel scalaire, ψ le potentiel vectoriel, ∇ et × représentant res-
pectivement le vecteur gradient et le produit vectoriel. Le terme ∇Φ va tra-
duire le caractère irrotationnel du fluide tandis que le terme ∇× ψ va plus
traduire son caractère rotationnel. Un champ d’écoulement potentiel est un
champ libre du caractère rotationnel du fluide. En d’autres termes, en écou-
lement potentiel, le champ de vitesse d’écrit
u = ∇Φ. (2.28)
Un écoulement de fluide non-visqueux à la fois irrotationnel et incompres-
sible est décrit comme un écoulement potentiel. Dans ce cas, on a alors
∇× u = 0, (2.29)
à cause du caractère purement irrotationnel et
∇.u = 0 (2.30)
à cause du caractère incompressible. A noter que le produit vectoriel ∇× u
décrit le champ de vorticité d’un écoulement. C’est pourquoi, en régime non-
linéaire (fort niveau d’excitation par exemple) où l’écoulement est principa-
lement dominé par la turbulence, la fonction de Fok ne sera pas appropriée
pour décrire ou prendre en compte la perturbation créée par les effets d’in-
teraction comme le montre également Melling (Mel73). Les écoulements po-
tentiels, bien que n’étant pas en réalité physique du fait qu’ils n’intègrent pas
toutes les caractéristiques d’un fluide réel (présence de couches limites vis-
queuse ou turbulente), peuvent dans certaines mesures être utilisés dans des
applications acoustiques comme une solution pour simplifier le problème.
2.2.2 Modélisation de l’impédance avec effets d’interaction
La méthode de Melling
Lorsque les perforations sont rapprochées les unes des autres, pour prendre
en compte l’effet d’interaction entre les perforations, Rschevkin (Rzh63) pro-
pose d’appliquer la fonction de Fok comme une correction de longueur de
78
la partie réactive de l’impédance. Si deux perforations sont très proches, les
phénomènes d’embouchure sont minorés. Les surfaces limitrophes des per-
forations sont en partie confondues et les phénomènes de masse ajoutée et
de friction d’une perforation interagissent avec les phénomènes des perfora-
tions voisines. Lorsque plusieurs perforations interagissent entre elles , Mel-
ling (Mel73) propose d’utiliser la fonction de Fok sur la longueur totale de la
masse ajoutée. Soit la réactance acoustique Im {ZMPP} d’une plaque multi-
perforée telle que
Im{ZMPP} = jωmi (2.31)
où mi représente la réactance inertielle. En présence d’interaction entre les
perforations, cette expression devient
Im{ZMPP} = jρ0c0k0(43
h +8d
3πΨFok(ξ f )). (2.32)
Comme le montre Melling, cette expression de la réactance est valide unique-
ment dans le cas type Poiseuille (r2 f < 0, 1), le même principe s’appliquant
dans le cas type Helmholtz (r2 f > 0, 5). Il est important de noter que Mel-
ling (Mel73) préconise d’appliquer une correction de même type sur la partie
réelle de l’impédance, ceci à faibles niveaux d’excitation uniquement.
La méthode de Keefe
Intéressons-nous à présent à l’approche de Keefe (Kee83) et comparons-la à
celle de Fok-Melling (Mel73). Les travaux de Keefe (Kee83) sont essentielle-
ment basés sur la propagation acoustique en conduits, particulièrement dans
les instruments à bec telle la flûte ou la clarinette. Dans ce type d’instrument,
le champ acoustique aux abords des perforations joue un rôle important dans
le comportement de l’instrument.
Soit un conduit cylindrique de diamètre Dt sur lequel deux perforations
espacées d’une distance b sont réalisées. Les perforations sont identiques
de diamètre d et de hauteur h (voir Fig. 2.3). A des fréquences telles que
k0Dt < 1, 83, un seul mode est susceptible de se propager dans le conduit
principal (le mode plan). Toute perturbation acoustique dans le conduit peut
être modélisée comme une fonction du mode propagatif et d’une somme sur
la réponse du mode évanescent qui y a lieu. A basses fréquences, la distance
caractéristique au-delà de laquelle les amplitudes des ondes évanescents ne
sont pas négligeables est approximativement égale au diamètre du conduit
(Kee83). En d’autres termes, si l’on suppose la présence d’une discontinuité
79
créée par une perforation dans le conduit au point z = 0, la perturbation lo-
cale au niveau de la discontinuité s’étend tout au plus sur une fois le diamètre
du conduit de part et d’autres du point z = 0. En dehors de cette région de
perturbation, on suppose que le front d’onde est plan dans le conduit.
On considère maintenant la présence d’une seconde perforation à une
distance b de la première (Fig. 2.3). Si b est très grande devant la longueur
caractéristique d’atténuation du mode évanescent, la perturbation créée par
cette perforation n’affecte pas l’autre. Par contre, si b est suffisamment pe-
tite, la perturbation créée par une perforation interfère avec celle créée par
l’autre, alors un effet d’interaction entre les perforations prend place (de par
et d’autre de la perforation). Pour caractériser cet effet d’interaction entre les
perforations, Keefe note que la distance à prendre en compte n’est pas celle
entre les deux centres mais plutôt la distance b − d qui sépare les 2 bords
proches des perforations.
Si on considère la longueur caractéristique du mode évanescent de l’ordre
d’une fois le diamètre Dt du conduit, le critère pour qu’il n’y ait pas d’inter-
action interne entre les 2 perforations est que la distance de séparation entre
les deux soit très grande devant le diamètre du conduit. Keefe (Kee83) définit
un paramètre δ(i)kee f e comme le paramètre d’interaction interne tel que
δ(i)kee f e =
Dt
b− d. (2.33)
L’effet d’interaction interne est d’autant plus grand que δ(i)kee f e est grand. Cette
expression est applicable aux effets d’interaction interne (dans le conduit
principal). En sortie des perforations, ce même effet d’interaction prend place
(interaction externe), ceci dû au fait que le rayonnement d’une perforation
unique agit comme une charge additionnelle sur les propriétés de rayon-
nement des perforations voisines. C’est un effet similaire aux effets mutuels
d’impédance de rayonnement de pistons proches. Ces effets d’interaction (in-
terne comme externe) lorsqu’ils ne sont pas négligeables doivent être pris en
compte par modification des impédances des perforations.
A noter que l’effet d’interaction externe se rapproche le plus de notre
configuration d’étude en tube à impédance. Nous nous intéressons particu-
lièrement à cet effet dans la suite de ce travail.
On considère le montage décrit par la figure (2.3) soumis à une propa-
gation d’ondes planes dans la direction de l’axe z. les deux perforations se
comportent comme des sources identiques et nous allons considérer les hy-
pothèses suivantes :
80
Fig. 2.3 – interaction entre deux perforations identiques de diamètre d logés sur un conduit
principal. La distance entre les centres des perforations est b. la distance entre les bords
proches des perforations est b− d. L’axe z est parallèle à l’axe du conduit principal.
1. Les niveaux des sources constituées par les perforations sont de même
amplitude et de même phase.
2. Les fronts d’onde en sortie des perforations sont sphériques.
3. Les effets d’interaction entre perforations créent de petites variations de
pression et de débit de vitesse.
Du fait que les perforations se comportent comme des sources et que le
front d’onde en sortie de chaque perforation est sphérique, la pression à une
distance r de la perforation est donnée par (Bru98)
p(r, t) =jωρ0Q
4πrej(ωt−k0r), (2.34)
où ρ0 représente la densité de l’air, ω la pulsation, k0 le nombre d’onde, t
la variable temps (à noter que la dépendance temporelle est ignorée dans la
suite) et Q le débit de vitesse caractérisant la force de la source est donné en
fonction de la vitesse radiale ur par
Q = 4πr2ur. (2.35)
La pression p sur la surface de sortie de la perforation est la somme de la
pression p(0) en absence d’interaction et de la pression p(1)(b) due à la per-
foration adjacente
p = p(0) + p(1)(b), (2.36)
avec, en reprenant l’expression (2.34)
p(1)(b) =jk0Z0Q(0)
4πbe−jk0b, (2.37)
où Z0 représente l’impédance caractéristique de l’air. L’exposant (0) est uti-
lisé pour les quantités en absence d’interaction. A la condition d’extrémité
81
de la perforation, l’impédance de rayonnement Z(0)ray est donnée en absence
d’interaction par
p(0) =Q(0)
s1Z(0)
ray (2.38)
et
p(0) + p(1) = (Q(0) + Q(1))(Z(0)ray + Z(1)
ray), (2.39)
avec s1 la surface d’une perforation et Z(1)ray l’impédance de rayonnement due
à l’interaction entre perforations. L’interprétation de l’expression (2.39) per-
met de noter que toute variation de la pression obtenue par l’équation (2.37)
entraîne un décalage du débit et de l’impédance de rayonnement. Sous l’hy-
pothèse que l’interaction entre perforations engendrent une faible perturba-
tion, en divisant l’équation (2.39) par l’équation (2.38) membre à membre, on
obtient la relationp(1)
p(0)=
Q(1)
Q(0)+
Z(1)ray
Z(0)ray
(2.40)
⇒ s1p(1)
Q(0)Z(0)ray
=Q(1)
Q(0)+
Z(1)ray
Z(0)ray
(2.41)
d’où on obtient
Z(1)ray =
s1p(1)
Q(0)− Q(1)
Q(0)Z(0)
ray. (2.42)
Il est important ici de remarquer que la propagation qui va d’une perforation
vers la perforation adjacente n’a pas un front d’onde plan. On considère alors
qu’on se trouve en champ proche car le produit k0b n’est pas très petit devant
1. Si on considère l’onde plane comme arrivant en incidence normale, on peut
écrire
Q(1) = −s1u(1)(b). (2.43)
Le débit dans une perforation est donnée par le produit de la vitesse particu-
laire de l’onde sphérique sortante de l’autre perforation par la surface de la
perforation. La vitesse u(1)(b) arrivant en sens inverse. L’équation d’Euler en
ondes harmoniques permet d’exprimer u(1)(b)
u(1)(b) =j
ρ0ω
∂p(1)(b)∂r
=p(1)(b)
Z0
(1− j
k0b
), (2.44)
⇒ Q(1) = −πd2
4Z0p(1)(b)
(1− j
k0b
). (2.45)
82
L’impédance de rayonnement d’une perforation en présence d’interaction
(expression 2.42) est alors obtenue de ces précédents développements par
Z(1)ray =
jk0Z0d2
16b
[1 +
Z(0)ray
Z0
(1− j
k0b
)]e−jk0b. (2.46)
Cette dernière expression est l’impédance de rayonnement due à l’interaction
entre les 2 perforations. A cause de la présence d’un rayonnement sonore à
la terminaison d’une perforation cylindrique, Rayleigh (Ray29) a montré
qu’une correction devait être apportée sur la partie imaginaire de l’impé-
dance de la perforation en augmentant l’épaisseur de la perforation de δray
avec
δrayl =8d3π
. (2.47)
Contrairement au montage décrit sur la figure (2.3), les perforations des
échantillons sont bafflées en entrée et en sortie. Sans effet d’interaction entre
les perforations, l’impédance acoustique de rayonnement est donnée par
Z(0)ray = jk0Z0δrayl (2.48)
pour des fréquences suffisamment basses (k0d2 << 1) ⇒ le terme réel est
négligé. L’impédance acoustique de rayonnement due à l’interaction des per-
forations (expression 2.46) pourrait aussi bien s’écrire sous une forme sem-
blable par
Z(1)ray = jk0Z0δkee f e (2.49)
avec
δkee f e =d2
16b
[1 + j
83π
k0d(
1− jk0b
)]e−jk0b. (2.50)
Soit Ψkee f e le rapport entre la longueur de correction due aux effets d’inter-
action et la longueur effective (épaisseur h + correction δray sans interaction)
d’une perforation exprimée par
Ψkee f e =δkee f e
h + δrayl=
3πd2
16b(3πh + 8d)
[1 + j
83π
k0d(
1− jk0b
)]e−jk0b, (2.51)
ce ratio permet d’exprimer le décalage de la longueur effective de la perfora-
tion en présence d’effet d’interaction. L’impédance de rayonnement agissant
en série avec l’impédance de la perforation, δkee f e étant complexe, l’impé-
dance de rayonnement modifiée d’une perforation avec prise en compte de
l’effet d’interaction est exprimée alors par
Zintray = jωρ0(δrayl +
∣∣δkee f e∣∣ cos k0b). (2.52)
83
A noter qu’à cause des deux extrémités de la perforation, l’impédance de
rayonnement se doit être comptée deux fois (x2). Cette impédance de rayon-
nement modifiée due à l’interaction entre perforations, est à incorporer au
modèle du régime linéaire et à homogénéiser par le taux de perforation pour
prendre en compte l’ensemble des interactions entre toutes les perforations.
La figure 2.4 montre une comparaison des corrections d’épaisseur obte-
nues par les approches de Fok, Keefe et par l’approche sans prise en compte
de l’effet d’interaction pour une plaque perforée d’épaisseur de 1,5 mm, un
diamètre de perforation de 1,6 mm et un taux de perforation de 20,52 %. Les
approches de Fok et de Keefe donnent des résultats quasiment similaires.
Fig. 2.4 – Comparaison des corrections d’épaisseur en fonction de la fréquence sans prise en
compte d’interaction (-.-) ; par approche de Fok (- - -) ; par approche de Keefe (—). Épaisseur
de plaque de 1,5 mm, diamètre de perforation de 1,6 mm avec un taux de perforation de
20, 52% (b = 3,5 mm). (Voir également la figure 57 de (Dup02)).
La figure 2.5 montre une comparaison des corrections d’épaisseur en fonc-
tion de la distance b entre perforations à la fréquence de 506 Hz par l’ap-
proche de Fok et par l’approche de Keefe. De façon générale, la tendance des
deux approches est la même. Lorsque les effets d’interaction diminuent, on
observe sur cette figure qu’avec l’augmentation de la distance b entre perfo-
rations, les deux approches tendent asymptotiquement vers la même valeur.
Par contre, lorsque les effets d’interaction augmente, la tendance n’est plus
la même. Lorsque la distance b entre perforations diminue, la correction de
84
longueur obtenue par l’approche de Fok est d’autant plus grande que la lon-
gueur de correction par l’approche de Keefe.
Fig. 2.5 – Comparaison des corrections d’épaisseur en fonction de la distance b entre perfo-
rations à la fréquence de 506 Hz : par approche de Fok (- - -) ; par approche de Keefe (—).
Épaisseur de plaque de 1,5 mm, diamètre de perforation de 1 mm.
2.2.3 Influence de la distance b et du taux de perforation sur le co-
efficient d’absorption
En règle générale, pour une répartition régulière des perforations des MPP,
une variation de la distance b entre les perforations entraîne une variation du
taux de perforation. Nous étudions ici l’influence de ces deux paramètres sur
le coefficient d’absorption par l’approche de Fok (Fok41) (suivant Melling
(Mel73)) appliquée au modèle de Maa (Maa98).
La figure (2.6) représente l’influence du taux de perforation sur le coef-
ficient d’absorption d’une plaque perforée couplée à une cavité d’air pour
différentes profondeurs de cavité d’air ((a) cavité de 38 mm, (b) cavité de 75
mm, (c) cavité de 142 mm et (d) cavité de 150 mm). Ces résultats, qui cor-
respondent aux simulations en régime linéaire des échantillons fabriqués du
groupe A, révèlent que le coefficient d’absorption optimal est obtenu pour les
faibles taux de perforation ; Et qu’avec l’augmentation du taux de perforation,
le maximum d’absorption est légèrement décalé vers les hautes fréquences.
cette dernière observation se justifie par le fait que plus le taux de perforation
85
augmente, plus la masse ajoutée diminue et donc plus haute est la fréquence
de résonance. A noter que malgré le fait que le maximum d’absorption di-
minue avec le taux de perforation, la largeur du pic d’absorption par contre
augmente avec le taux de perforation. L’effet de la cavité reste inchangé, c’est-
à-dire qu’avec l’augmentation de la profondeur de cavité, le pic d’absorption
est décalé vers les basses fréquences. On voit apparaître pour des cavités re-
lativement grandes (cas (c) et (d)), un second pic d’absorption. A cause d’un
effet réactif de la plaque, il faut remarquer que la fréquence de ce second pic
ne suit pas la règle Dcav = λ(2n + 1)/4, avec Dcav la profondeur de la cavité,
λ la longueur d’onde et n le numéro du mode.
Fig. 2.6 – Influence du taux de perforation (φ) de la plaque sur le coefficient d’absorption
pour différentes profondeurs de cavité d’air en fonction de la fréquence. (a) cavité de 38 mm ;
(b) cavité de 75 mm ; (c) cavité de 142 mm ; cavité de 150 mm ; Ces profondeurs de cavités
sont les mêmes que celles choisies pour les mesures. Diamètre de perforation de 1,6 mm,
épaisseur de la plaque de 1,5 mm
La figure (2.7) représente l’influence de la distance b entre les perfora-
tions de la plaque sur le coefficient d’absorption en fonction de la fréquence.
A noter que dans ce résultat le taux de perforation décroît avec la distance b.
L’échantillon étant couplé à une cavité d’air et une paroi rigide, le diamètre
de perforation est de 1,6 mm, l’épaisseur de la plaque de 1,5 mm et la pro-
fondeur de cavité prise à 75 mm. Le taux de perforation étant inversement
proportionnel au carré de la distance b entre perforations, l’effet de la dis-
tance entre perforation est un effet inverse à l’effet du taux de perforation
précédemment décrit. C’est-à-dire que le coefficient d’absorption optimal est
obtenu pour des distances entre perforations relativement grande. Contraire-
ment à l’influence du taux de perforation, c’est une diminution de la distance
86
entre perforations qui a pour effet de décaler légèrement le pic d’absorption
vers les hautes fréquences.
22
20~
ê 18
:g 16o-~ 14.g~ 12~-<:: 10Q)
oCQ) 8"<::
~ 6o
4
2200 400 600 800 1000
Fréquence (Hz)1200 1400 1600
a
0.6
0.5
04
Fig. 2.7 – Influence de la distance b entre les perforations de la plaque sur le coefficient
d’absorption en fonction de la fréquence. Echantillon couplé à une cavité d’air et une paroi
rigide. Diamètre de perforation de 1,6 mm, épaisseur de la plaque de 1,5 mm et profondeur
de la cavité de 75 mm.
2.3 Les effets d’interaction entre perforations à
forts niveaux d’excitation
Avec l’augmentation du niveau d’excitation dans la perforation (en nombre
de Reynolds par exemple), les travaux d’ingard (Ing48) révèlent que la pro-
pagation de l’onde est déformée en entrée, autour et en sortie de la perfo-
ration. Aux embouchures des perforations, c’est l’effet de rayonnement qui
prend place. A forts niveaux de nombre de Reynolds, à l’effet de rayonne-
ment s’ajoutent les formations de jets et des détachements tourbillonnaires.
Dû au fait que le profil de vitesse aux embouchures des perforations et à
leur voisinage est très complexe, la modélisation de l’impédance acoustique
en régime non-linéaire et en présence d’effet d’interaction peut-être difficile
à développer. Toutefois, la complexité de cette modélisation peut être simpli-
fiée si l’on effectue une approximation du parcours d’une particule de fluide
en entrée et en sortie de perforation. Nous proposons d’utiliser une expres-
sion appropriée de la tortuosité dans le cas d’une excitation à forts niveaux.
C’est pourquoi l’approche du fluide équivalent (décrite au paragraphe 1.2.3)
est choisie ici et se révèle adaptée comme approche simplifiée pour cette
complexe modélisation.
87
2.3.1 Zone d’influence autour de la perforation et introduction du
rayon moyen et effet de tortuosité
Des résultats expérimentaux en régime non-linéaire des travaux d’Ingard
(Ing48; Ing53) et d’Ingard et Ising (II67), principalement ceux réalisés à par-
tir de mesures effectuées à l’aide d’un fil chaud, les mesures de la vitesse
en fonction de la distance axiale au centre de la perforation montrent que
la vitesse en sortie de perforation décroît rapidement jusqu’à atteindre de
très faibles valeurs à des distances de 2 à 3 fois le diamètre de la perfo-
ration. Ceci révèle l’existence d’un champ proche en entrée de la perfora-
tion. Comme le cycle est inversé dans l’autre demie période, le même constat
peut se faire en entrée de perforation. Cette observation, confirmée par Hersh
(HWC03), implique si l’on suppose que le front d’onde en entrée de la per-
foration est sphérique, qu’une région d’un demi-hémisphère (région fictive)
peut être considérée comme recouvrant l’extrémité de la perforation. Dans
cette zone du demi-hémisphère (de rayon RH égal à 2 ou 3 fois le rayon de
la perforation), on va supposer que les particules de fluide se déplacent de
façon homogène.
Considérons dans un premier temps le cas d’une perforation qui n’inter-
agit pas avec une autre (Fig. 2.8a). On montre que le chemin moyen d’une
particule de fluide à travers l’une des perforations se calcule en fonction de
la distance moyenne Lm (distance moyenne entre l’axe vertical et le demi
hémisphère) par
Lm = RH(1− π
4), (2.53)
où RH représente le rayon du demi-hémisphère autour de la perforation
(Fig. 2.8c).
Si l’on considère maintenant le cas où les perforations interagissent entre
elles (Fig. 2.8b), si b < 2RH, la région autour de chaque perforation est par-
tagée avec la région voisine et les phénomènes d’embouchures se minorent
(Mel73; Ran00). Cette diminution des phénomènes d’embouchures peut s’ex-
pliquer par la décroissance du chemin moyen de la particule fluide à travers
les perforations. Dans le cas où les perforations interagissent entre elles, les
régions autour des perforations se partagent. Dans la zone de partage aucune
particule ne peut circuler puisqu’à la frontière des régions, les perforations
exercent les mêmes forces d’aspiration sur les particules. On montre alors
dans ce cas (voir développements en annexe G) qu’à cause des symétries
géométriques de la situation, le problème peut se simplifier et la distance
88
Fig. 2.8 – Phénomène d’aspiration à forts niveaux d’excitation. Zones hémisphériques fictives
qui en résultent autour 2 perforations. a) Pas d’interaction entre les perforations ; b) Les
perforations interagissent entre elles. Dans ce cas, aucune particule de fluide ne circule dans
la zone de partage ; c) Chemin moyen suivi par une particule de fluide.
moyenne Lm s’obtenir par
Lm = RH −1
RH
2b
b/2∫0
RH∫0
√R2
H − x2dxdy, (2.54)
expression qui après calcul se réduit sous la forme
Lm = RH −12
√R2
H −b2
4−
R2H
barcsin
b2RH
. (2.55)
Cette dernière expression représente la distance moyenne Lm en présence
des effets d’interaction entre perforations (pour b < 2RH). On vérifie bien
que dans le cas où b = 2RH, c’est-à-dire à la limite où il n’y a plus d’inter-
action entre les perforations, on retrouve bien l’expression (2.53). Le chemin
de la particule moyenne telle que décrit précédemment permet d’introduire
le facteur de tortuosité. La tortuosité est une quantité adimensionnelle qui
rend compte de l’allure des chemins fluides au travers d’un matériau poreux
et est très souvent définie (définition que nous adopterons) comme le rap-
port entre le chemin réel (ici moyen) et le chemin en ligne droite. Dans la
littérature, la tortuosité est définie de différentes manières. Certains auteurs
(Bea72; Dul79) la définissent comme le carré du rapport entre le chemin réel
et le chemin en ligne droite. L’expression de Lm obtenue, la tortuosité αint∞ en
régime non-linéaire est donnée par
αint∞ =
Lm + RH + hRH + h
= 1 +Lm
RH + h. (2.56)
Étant donné le fait que le rayon du demi-hémisphère dépend du niveau d’ex-
citation (ce rayon variant entre 2 à 3 fois le rayon de la perforation) comme
89
l’expliquent Ingard et Ising (II67), il va de soi que cette tortuosité obtenue
devrait être dépendante du niveau d’excitation. La difficulté ici repose sur le
comment quantifier cette tortuosité en fonction de la vitesse dans les perfo-
rations. Pour atteindre cet objectif et exprimer proprement cette tortuosité, il
est nécessaire de mesurer la vitesse particulaire dans le champ proche de la
perforation à des distances de l’ordre du sub-millimètre en entrée ou en sortie
de la perforation. Toutefois, dans les résultats de simulation que nous pré-
sentons, nous considérons que le rayon du demi-hémisphère RH est constant
et égal à 3 fois le rayon de la perforation (cas extrême).
La figure. 2.9 représente la tortuosité αint∞ en fonction de la distance b entre
deux perforations avec et sans effet d’interaction entre perforations pour une
épaisseur h de 2 mm et un diamètre d de perforation de 1,6 mm. On observe
que αint∞ varie dans le même sens que la distance b c’est-à-dire que plus les
perforations s’éloignent les unes des autres, plus cette tortuosité augmente.
Ce résultat se conçoit assez bien dans la mesure où lorsque les perforations
sont très proches, le chemin parcourue par une particule de fluide se rap-
proche du chemin direct.
Il est juste proposé ici une modification de la tortuosité géométrique αint∞
qui va modifier la réactance. Pour pouvoir modifier également la résistance,
une modification de la tortuosité dynamique est nécessaire.
Fig. 2.9 – Tortuosité αint∞ en fonction de la distance b entre deux perforations. Épaisseur h
= 2 mm ; Diamètre de perforation d = 1,6 mm : — Avec effet d’interaction ; - - - Sans effet
d’interaction.
90
2.3.2 Expression de l’impédance acoustique avec effet d’interaction
sous forts niveaux
La distorsion de la propagation due aux effets d’interaction et de non-
linéarité affectent à la fois la résistance et la réactance du système formé
par une plaque perforée couplée à une cavité d’air et une paroi rigide. Pour
prendre en compte ces effets (effet d’interaction et effets du régime non-
linéaire), la résistivité et la tortuosité géométrique de la plaque doivent être
modifiées et exprimées de façon appropriée. Les récents travaux sur les phé-
nomènes de non-linéarité dans les milieux poreux rigides font utilisation de
la loi de Forchheimer pour les forts nombres de Reynolds dans la perforation.
Cette loi (paragraphe 1.3.3) stipule, dans sa formulation parabolique, que la
résistivité σF dans ce régime est donnée par
σF = σ0(C1Reyp + (1− C2)), (2.57)
avec σ0 la résistivité en régime linéaire, C1 et C2 les constantes adimension-
nelles de Forchheimer obtenues à partir des résultats de mesures, Reyp le
nombre de Reynolds dans les perforations donné par
Reyp =dup
ν, (2.58)
avec up la vitesse moyenne dans les perforations, ν la viscosité cinématique.
Comme décrit dans la première partie de ce travail (paragraphe 1.2.3), de
l’approche du fluide équivalent appliquée aux plaques perforées, l’impé-
dance de surface est donnée par (AS07) et s’écrit pour rappel
ZS =1φ
jωρeh + Zcav, (2.59)
avec h l’épaisseur de la plaque, φ le taux de perforation, Zcav l’impédance de
la cavité d’air et ρe la densité effective exprimée dans ce cas par
ρe = ρ0αint∞
(1 +
σFφ
jωρ0αint∞
GJ(ω))
, (2.60)
avec
GJ(ω) =
(1 + j
4ωρ0αint∞
2η
σ2Fφ2Λ2
)1/2
, (2.61)
et αint∞ la tortuosité géométrique en présence des effets d’interaction entre
perforations décrite dans le paragraphe précédent, η la viscosité dynamique
de l’air, Λ la longueur caractéristique visqueuse égale au rayon hydraulique
91
de la perforation. Une fois que l’impédance normalisée de surface du régime
non-linéaire avec prise en compte de l’effet d’interaction est complètement
déterminée, les coefficients de réflexion et d’absorption sous excitation onde
plane en incidence normale sont donnés par les formules classiques
R =ZS − Z0
ZS + Z0, (2.62)
et
α = 1− |R|2 , (2.63)
2.4 Partie expérimentale
2.4.1 Echantillons testés
Deux groupes d’échantillons (groupes A et B) ont été fabriqués et testés. Dans
le cas des échantillons du groupe A, la distance entre perforations et le taux
de perforation de la MPP varient d’un échantillon à un autre. Tandis que
dans le cas des échantillons du groupe B, le taux de perforation est le même
pour tous les échantillons et seule la distance entre perforations varie d’un
échantillon à un autre. En pratique, une variation de la distance entre perfo-
rations résulte en une variation du taux de perforation et l’effet d’interaction
se trouve lié à l’effet de taux de perforation. Les échantillons du groupe B
sont fabriqués et testés dans le but de dissocier l’effet d’interaction de l’effet
de taux de perforation. Les figures (2.10) et (2.11) représentent ces échan-
tillons. Les caractéristiques des échantillons sont données dans le tableau 2.1.
La résistivité est donnée par l’expression (1.10). Le matériau utilisé dans la
fabrication de ces échantillons est le Duralumin (Dural) et les trous sont réa-
lisés au moyen d’un faisceau de laser de rayon de 0,3 mm. Les échantillons
ont un diamètre externe de 100 mm correspondant au diamètre interne du
tube à impédance utilisé. Chaque échantillon est monté dans le tube couplé
à une cavité d’air avant la paroi rigide. Nous rappelons que le maximum
d’absorption est obtenu lorsque la réactance totale du système (réactance de
la plaque perforée et de la cavité d’air) s’annule. Pour comparer les résultats
de différentes plaques perforées (qui diffèrent par le diamètre de perforation
et le taux de perforation) à une fréquence donnée, il sera nécessaire de faire
varier la profondeur de la cavité d’air. Les différentes profondeurs de cavités
d’air utilisées dans nos mesures sont données dans les tableaux 2.2 et 2.3. Le
92
montage expérimental est exactement le même que celui présenté et décrit
dans la première partie au paragraphe 1.4.2.
Fig. 2.10 – Photographies des échantillons de la série A testés (Effet d’interaction couplé à
l’effet de porosité) au tube de Kundt (diamètre de 100 mm). a) Échantillon 1A ; b) Échantillon
2A ; c) Échantillon 3A ; d) Échantillon 4A.
Fig. 2.11 – Photos des échantillons de la série B testés (Effet d’interaction avec effet de porosité
constant) au tube de Kundt (diamètre de 100 mm). a) Échantillon 1B ; b) Échantillon 2B ; c)
Échantillon 3B ; d) Échantillon 4B.
93
h(mm) d(mm) b(mm) φ(%) σ(N.s.m−4) ξ = d/b
Echantillon 1A 1,5 1,6 12 1,92 11980 0,13
Echantillon 2A 1,5 1,6 8,0 4,25 5412 0,2
Echantillon 3A 1,5 1,6 3,5 20,52 1121 0,45
Echantillon 4A 1,5 1,6 2,6 35,28 652 0,61
Echantillon 1B 2,0 1,6 14,18 0,95 2, 421× 1040,11
Echantillon 2B 2,0 1,6 8,0 0,95 2, 421× 1040,2
Echantillon 3B 2,0 1,6 3,5 0,95 2, 421× 1040,45
Echantillon 4B 2,0 1,6 2,6 0,95 2, 421× 1040,61
Tab. 2.1 – Caractéristiques des échantillons testés.
2.4.2 Effets d’interaction : Résultats et discussion
Série d’échantillons A (avec variation de la porosité)
Les figures 2.12a et 2.12b représentent la résistance de surface normalisée des
échantillons 1A, 2A, 3A et 4A en fonction du nombre de Reynolds dans les
perforations pour les fréquences d’excitation de a) 292 Hz et b) 506 Hz. Les
symboles représentent les mesures et les traits représentent les modèles par
ajustement linéaire (régression linéaire > 0, 98) réalisés pour l’obtention des
coefficients de Forchheimer en régime non-linéaire. Les coefficients obtenus
à partir de ce fitting sont donnés dans le tableau 2.2. On remarque sur ces fi-
gures qu’avec ou sans effet d’interaction, la dépendance linéaire entre la résis-
tance normalisée et le nombre de Reynolds dans les perforations se conserve.
Cette observation va dans le même sens que les résultats obtenus par (Ing53)
et (Mel73). Le produit σ.C1 représente la pente de la droite donnée par l’ex-
pression (2.57). Sur les figures 2.12a et 2.12b, on observe, dans les deux cas de
fréquence testés, que le coefficient C1 décroît avec la distance entre les perfo-
rations. Il faut noter que dans ces résultats, les effets d’interaction entre les
perforations sont combinés aux effets de porosité. Avec une augmentation du
nombre de Reynolds dans la perforation, la décroissance de la pente dans ces
cas résultent à la fois d’une augmentation de porosité et d’une diminution
de la distance entre perforations. Comme l’a remarqué Melling (Mel73), ces
deux effets sont tellement liés qu’en pratique, les dissocier n’est pas évident.
Pour une répartition régulière des perforations sur la plaque, augmenter la
distance entre les perforations c’est forcément réduire le taux de perforation
(porosité) et donc diminuer la distance entre les perforations c’est forcément
94
augmenter le taux de perforation. La série B des échantillons a été fabriquée
dans le but d’isoler l’effet de porosité (en le gardant constant) et par contre
de diminuer la distance entre les perforations, il est évident dans ce cas que
les perforations ne sont pas distribuées régulièrement sur toute la surface de
la plaque.
7r-- -,---- ---.-- - ,------ ---,--- ----,- - ,--- ---,-- ---,- - ,--- ---,
900 1000
o
200 300 400 500 600 700 800Nombre de Reynolds dans la perforation (Rey!~)
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100
A-Acb."'·'··'-·j, ",A~.c.:I
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10 20 30 40,./~5:0 ...-J3""/...-J;y"""
6
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8
200 300 400 500 600 700 BOO 900 1000Nombre de Reynolds dans la perforation (Rey!~)
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A __.!l<'·=A __ .......c.:I
A. A ocr ,..,.., -A ..~- .. ,_ .... .. .. ... ..• ,_'~:~,',~: ,'::::;:,',~" " " " "" "" " " " ''''''''' '' '' ' '''I.:Ii ... ,,,,,,'.'"''''.',":,:,',, ,,,,,,,,,,,,,,,,' ' ' '' ' ' ' ' '''''' ' ' '' ' '
&",!'1,'-"-:,~:/l\'-',"i',',':':,,':': !"""i'",:,:",:,: , ~ """"" -,," " ,',
7
b)
Fig. 2.12 – Résistance normalisée en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
Cas des échantillons de la série A. a) Fréquence d’excitation de 292 Hz ; b) Fréquence d’ex-
citation de 506 Hz. Les symboles représentent les mesures et les traits les simulations. � et
trait continu : échantillon 1A (b = 12 mm) ; 4 et trait interrompu : échantillon 2A (b =
08 mm) ; © et trait interrompu mixte : échantillon 3A (b = 3,5 mm) ; ♦ et trait pointillé :
échantillon 4A (b= 2,6 mm).
Les figures 2.13a et 2.13b représentent la réactance de surface normali-
sée des échantillons 1A, 2A, 3A et 4A en fonction du nombre de Reynolds
dans les perforations pour les fréquences d’excitation de a) 292 Hz et b) 506
Hz. Les symboles représentent les mesures et les traits représentent les si-
mulations. Une variation de la réactance a en général pour effet de décaler
le pic d’absorption. Pour chacun de ces échantillons, les variations de la ré-
actance sont très faibles comparées aux mêmes variations de la résistance
normalisée de surface. Globalement, comme l’a observé Melling (Mel73), la
95
C1 C2 Profondeur de cavité
Echantillon 1A 0, 138 10, 5 100 mm
Echantillon 2A 0, 121 2, 28 180 mm
Echantillon 3A 0, 053 15, 7 200 mm
Tab. 2.2 – Coefficients de la résistance en régime non-linéaire et profondeurs de cavités d’air
utilisées pour la fréquence d’excitation de 292 Hz.
C1 C2 Profondeur de cavité
Echantillon 1A 0, 133 12, 45 38 mm
Echantillon 2A 0, 102 19, 01 75 mm
Echantillon 3A 0, 041 27, 10 142 mm
Echantillon 4A 0, 038 30, 61 150 mm
Tab. 2.3 – Coefficients de la résistance en régime non-linéaire et profondeurs de cavités d’air
utilisées pour la fréquence d’excitation de 506 Hz.
réactance décroît avec une augmentation du nombre de Reynolds dans la
perforation. C’est un comportement classique des plaques perforées minces
en régime non-linéaire. Cette décroissance résulte d’un transfert d’une partie
de l’énergie cinétique autour de la perforation en mouvement turbulent en
sortie. Comme le baffle est réduit, les jets qui se forment en entrée et en sortie
de perforations sont susceptibles d’interagir entre eux. Pour les échantillons
3A et 4A, on observe que la décroissance de la réactance avec l’augmentation
du nombre de Reynolds dans la perforation est moindre dans ces cas. L’in-
terprétation physique directe est que plus les perforations sont rapprochées
les unes des autres moins les particules sont refoulées en sortie de la perfo-
ration. Malgré le fait que la variation de la réactance avec l’augmentation du
nombre de Reynolds est négligeable (en comparaison avec la variation de la
résistance), la comparaison des simulations avec les mesures n’est pas bonne.
Particulièrement, la décroissance de la réactance telle que décrite ci-dessus
n’est pas prédite par le modèle du fait que ce dernier suppose une dépen-
dance négligeable. A noter que la modification de la tortuosité géométrique,
telle que décrite ici, n’affecte que la réactance du système et pas la résistance.
Une modification de la tortuosité dynamique apporterait certainement plus
d’influence sur l’impédance du système. La variation de la réactance est glo-
balement faible et son influence sur le coefficient d’absorption est négligeable
quelque soit l’influence des interactions sur la réactance.
96
OA~-~--~-~--~-~--~-~--~-~-~
0.2
Cl'ClCIl
IIIE0-0.2cID ----------LJft--------------------------------------------------1:r--tl - - - - - - -g -OA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0IIIt5III~ -0.6
-0.8
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Nombre de Reynolds dans la perforation (Rey/~)
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'Clet:: -1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Nombre de Reynolds dans la perforation (Rey/~)
-1 .50'-----~-~_c_____c__'_c_-~_c_____=_"__c_-~c_____=~-~c_____c_'_c_____c~~
b)
Fig. 2.13 – Réactance normalisée en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
Cas des échantillons de la série A. a) Fréquence d’excitation de 292 Hz ; b) Fréquence d’ex-
citation de 506 Hz. Les symboles représentent les mesures et les traits les simulations. � et
trait continu : échantillon 1A (b = 12 mm) ; 4 et trait interrompu : échantillon 2A (b =
08 mm) ; © et trait interrompu mixte : échantillon 3A (b = 3,5 mm) ; ♦ et trait pointillé :
échantillon 4A (b= 2,6 mm).
Les figures 2.14a et 2.14b représentent le coefficient d’absorption à la ré-
sonance (maximum du coefficient d’absorption) des échantillons 1A, 2A, 3A
et 4A en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations pour les fré-
quences d’excitation de a) 292 Hz et b) 506 Hz. Les symboles représentent
les mesures et les traits représentent les simulations. Le coefficient d’absorp-
tion est maximal lorsque la partie imaginaire de l’impédance (réactance du
système) est nulle. Dans les deux cas de fréquences étudiées, les simula-
tions et les mesures se corroborent logiquement bien. Dépendamment des
caractéristiques de l’échantillon (particulièrement du diamètre et du taux de
perforation), comme nous l’avons montré dans la première partie de cette
thèse, avec une augmentation du nombre de Reynolds dans la perforation, le
maximum d’absorption croît jusqu’à la valeur de 1 dans une première phase
97
avant de décroître dans une deuxième phase. Soit le nombre de Reynolds op-
timal Reym défini comme la valeur du nombre de Reynolds au changement
de phases (croissance et décroissance) du maximum du coefficient d’absorp-
tion. Ces changements de phase sont clairement prédits et mesurés pour les
échantillons 1A et 2A et prennent place à des valeurs du nombre de Rey-
nolds en dehors de la plage étudiée pour les échantillons 3A et 4A. Si la
distance b entre deux perforations et le taux de perforation φ sont optimums,
les effets d’interaction entre perforations couplés à l’effet de porosité peuvent
contribuer à améliorer le caractère absorbant d’une plaque perforée en ré-
gime non-linéaire.
Série d’échantillons B (sans variation de la porosité)
La figure 2.15 représente la résistance de surface normalisée des échantillons
1B, 2B, 3B et 4B en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations
pour la fréquence d’excitation de 514 Hz. Pour ces cas d’échantillons, la poro-
sité est constante tandis que la distance entre perforations varie. On observe
sur cette figure qu’à faibles nombres de Reynolds, la résistance acoustique
est quasiment invariable avec la diminution de la distance entre perforations.
L’influence de l’interaction entre perforations est très faible. A forts nombres
de Reynolds, on observe une petite différence de pente entre les échantillons.
En régime non-linéaire, les effets d’interaction semblent diminuer les pentes
de la résistance en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
La figure 2.16 représente la réactance de surface normalisée des échan-
tillons 1B, 2B, 3B et 4B en fonction du nombre de Reynolds dans les perfo-
rations pour la fréquence d’excitation de 514 Hz. Globalement, la réactance
acoustique diminue avec une augmentation du nombre de Reynolds dans les
perforations (échantillons 3B et 4B) même si l’on observe une remontée des
valeurs de la réactance pour les échantillons 1B et 2B. Pour les nombres de
Reynolds inférieurs à 1200, on observe que cette décroissance est moins pro-
noncée avec la diminution de la distance entre perforations. Cette dernière
remarque a également été faite dans le cas où l’effet d’interaction était cou-
plé à l’effet de porosité. Ceci implique que l’effet d’interaction a tendance à
diminuer la masse ajoutée. Pour les nombres de Reynolds supérieurs à 1500,
ce comportement est inversé c’est-à-dire que la réactance diminue dans le
même sens que la distance entre les perforations. Rappelons que pour tous
98
Fig. 2.14 – Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre de Reynolds dans
les perforations. Cas des échantillons de la série A. a) Fréquence d’excitation de 292 Hz ;
b) Fréquence d’excitation de 506 Hz. Les symboles représentent les mesures et les traits les
simulations. � et trait continu : échantillon 1A (b = 12 mm) ; 4 et trait interrompu :
échantillon 2A (b = 08 mm) ;© et trait interrompu mixte : échantillon 3A (b = 3,5 mm) ; ♦
et trait pointillé : échantillon 4A (b= 2,6 mm).
ces échantillons, la variation de la réactance avec le nombre de Reynolds reste
négligeable comparée à la variation de la résistance.
La figure 2.17 représente le coefficient d’absorption à la résonance des
échantillons 1B, 2B, 3B et 4B en fonction du nombre de Reynolds dans les
perforations pour la fréquence d’excitation de 514 Hz. Comme pour les cas
précédents, on constate que le maximum du coefficient d’absorption aug-
mente avec le nombre de Reynolds dans les perforations jusqu’à la valeur de
99
Fig. 2.15 – Résistance normalisée en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
Cas des échantillons de la série B (Porosité constante). Fréquence d’excitation de 514 Hz.
Fig. 2.16 – Réactance normalisée en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
Cas des échantillons de la série B (Porosité constante). Fréquence d’excitation de 514 Hz.
1 (Reym ≈ 200) et décroît ensuite. Sur cette figure, à faibles et forts nombres
de Reynolds, les cas où les perforations sont plus éloignés fournissent une
meilleure absorption. Dans l’ensemble, on peut remarquer que le nombre de
Reynolds optimal Reym reste inchangé (valeur d’environ 200) avec ou sans
effet d’interaction. En regard avec les observations faites dans le cas où les ef-
fets d’interaction étaient couplés à l’effet de porosité, on peut conclure que le
décalage du nombre de Reynolds optimal est uniquement une conséquence
de l’augmentation de la porosité et pas de l’effet d’interaction.
100
Fig. 2.17 – Coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre de Reynolds dans
les perforations. Cas des échantillons de la série B (Porosité constante). Fréquence d’excitation
de 514 Hz.
2.4.3 Système Multi-MPP à taux de perforation décroissants
Des résultats expérimentaux présentés (Fig. 2.14), il est observé que pour
obtenir un αM (maximum du coefficient d’absorption) optimum avec une
MPP couplée à une cavité d’air, il sera très souvent nécessaire de faire un
compromis entre le régime linéaire ou non-linéaire et un faible ou un fort
taux de perforation. En régime linéaire, un faible taux de perforation fournit
un meilleur coefficient d’absorption à la résonance tandis qu’en régime non-
linéaire, c’est un taux de perforation élevé qui fournira un meilleur coefficient
d’absorption à la résonance. Pour éviter de faire face à ce compromis qui peut
s’avérer être une contrainte, on pourrait envisager un système multi-MPP à
taux de perforation décroissants. Dans un tel système, le taux de perforation
optimal adéquat est déterminé pour chaque sous-système et est prévu agir
de façon optimale dans la plage de niveau d’excitation considérée. Ainsi le
maximum du coefficient d’absorption optimal est obtenu sur toute la plage
de niveau considérée. Un tel système trouverait une application tant dans le
domaine de l’acoustique que dans le domaine de filtration.
Objectif du système : Fournir un meilleur coefficient d’absorption sur
une grande plage de niveau d’excitation, englobant à la fois les régimes li-
néaire et non-linéaire.
Principe de fonctionnement d’un tel système : Soit par exemple un as-
101
semblage de trois échantillons de MPP de même diamètre de perforation, de
taux de perforation différents φ1, φ2 et φ3 tel que φ1 < φ2 < φ3 séparés les
uns des autres par une cavité d’air. Les échantillons sont montés suivant un
ordre décroissant des taux de perforation (Voir fig. 2.18), le taux de perfora-
tion le plus élevé se trouvant du côté de l’onde incidente. La profondeur de
cavité derrière chaque MPP est fixée par la résonance (maximum du coeffi-
cient d’absorption) de cette MPP seule couplée à une cavité d’air et le mur
rigide. Au départ, on ne considère d’abord que la MPP au taux de perfora-
tion le plus élevé φ3. Ensuite on considère la MPP au taux de perforation φ2 et
sa cavité d’air optimale. Enfin, on applique la même procédure à la MPP au
taux de perforation φ1. Il est important que le dimensionnement du taux de
perforation soit optimal pour chacune des MPP. L’onde acoustique traverse
ainsi chacune des régions et chaque système agit de façon optimale dans une
plage d’excitation spécifique. Le résultat final permet d’obtenir un système
efficace en régime linéaire et en régime non-linéaire. .
Fig. 2.18 – Rangement des MPP pour un système multi-MPP efficace. La MPP au taux de
perforation le plus élevé se trouvant dans le plan incident. Les MPP sont rangées en ordre
décroissant de leurs taux de perforation. a) taux de perforation φ3 ; b) taux de perforation φ2 ;
c)taux de perforation φ1. Avec φ3>φ2>φ1.
Considérons pour application de ce système multi-MPP les 3 premiers
échantillons du groupe A (Échantillons 1A, 2A et 3A) à la fréquence d’étude
de 506 Hz. Ci-dessous, nous présentons les résultats idéal et simulé.
Résultats idéal et simulé du système multi-MPP à taux de perforation
décroissants
La figure 2.19 présente le résultat idéal attendu du système multi-MPP à
taux de perforation décroissants des échantillons 1A, 2A et 3A à la fréquence
de 506 Hz. A noter que cette figure correspond à une combinaison des résul-
tats de simulations de la figure 2.14b. Le maximum du coefficient d’absorp-
tion à la résonance y est présenté en fonction du nombre de Reynolds dans
la perforation pour les trois plages de niveaux d’excitation déterminées par
102
les différents échantillons. Dans l’ensemble, on pourrait donc espérer obtenir
des maximums de coefficient d’absorption de valeurs autour de 0,9 sur une
grande plage de niveau d’excitation.
Fig. 2.19 – Résultat idéal du système multi-MPP à taux de perforation décroissants. Maxi-
mum du coefficient d’absorption à la résonance en fonction du nombre de Reynolds dans les
perforations. Combinaison des résultats de simulations de la figure 2.14b. Pour chacune de
ces plages de niveaux (régions), correspond un taux de perforation (φ1, φ2 et φ3) optimal.
La figure 2.20 présente le résultat de simulation du système multi-MPP
de ces échantillons (1A, 2A et 3A) à la fréquence de 506 Hz. On observe
que le système multi-MPP se comporte comme une seule MPP couplée à
une cavité d’air, à deux différences importantes près : La première est que le
maximum ne passe pas par la valeur de 1 au nombre de Reynolds optimal
et la deuxième différence étant que la décroissance avec le nombre de Rey-
nolds reste faible au delà du nombre de Reynolds optimal résultant ainsi en
un maximum du coefficient d’absorption supérieur à 0,75 sur toute la plage
d’excitation (en régime linéaire et non-linéaire).
La description précédente a été effectuée pour un système de trois échan-
tillons. Il est évident que le principe pourrait tout aussi bien s’appliquer à un
nombre plus élevé d’échantillons et pour des profondeurs de cavité plus pe-
tites. Le concept qui est ici présenté est une des solutions envisageables pour
optimiser l’utilisation des MPP à faibles et forts niveaux d’excitation. Une
autre solution pouvant être l’utilisation d’une seule MPP à plusieurs taux
de perforation locaux (les différentes régions locales de taux de perforation
étant séparées les unes des autres par une cloison rigide), d’une seule profon-
103
Fig. 2.20 – Simulation du maximum du coefficient d’absorption du système multi-MPP à
taux de perforation décroissants des échantillons 1A, 2A et 3A à la fréquence de 506 Hz en
fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
deur de cavité d’air et une paroi rigide. Dans ce dernier cas de solution, une
modélisation FEM s’avèrerait plus adaptée qu’une modélisation analytique.
2.4.4 Synthèse concernant les effets d’interaction entre perforations
En régime linéaire
Les figures 2.21a et 2.21b représentent l’interaction entre deux perforations
en régime linéaire sur un demi cycle pour des perforations éloignées (a) et
pour des perforations proches (b).
Effets sur la résistance acoustique : Ici, l’effet principal est dû aux fric-
tions (viscosité) sur les surfaces internes et sur la surface en sortie de la per-
foration. Lorsque les perforations sont éloignées (il n’y a pas de partage de
zone entre les perforations), la résistance due au rayonnement de chaque
perforation est totale. Lorsque les perforations sont rapprochées, la zone de
partage entre perforations n’est pas nulle, ce qui induit à une minimisation
de la résistance de rayonnement des perforations. De façon générale, avec ou
sans effets d’interaction, le caractère laminaire, symétrique et irrotationnel de
la propagation est conservé à faibles niveaux d’excitation.
Effets sur la réactance acoustique : Ici, l’effet est dû à la fois à la masse
d’air en mouvement dans la perforation, à l’effet de rayonnement et à la dis-
torsion de l’écoulement en entrée et en sortie de la perforation. La réactance
104
diminue avec la diminution de la distance entre perforations. Lorsque les
perforations sont éloignées, les contributions des effets réactifs sont totales
et donc plus élevées. Étant donné qu’avec l’augmentation d’effet d’interac-
tion, on augmente le taux de perforation et donc on diminue la masse to-
tale, cela va provoquer un décalage de la fréquence de résonance. Lorsque
la distance entre perforations diminue, une partie de la masse ajoutée aux
embouchures de chaque perforation se partage causant ainsi une diminution
de la masse ajoutée. Cette diminution de la réactance due au rayonnement
est d’autant plus élevée que l’épaisseur de perforation est petite devant le
diamètre de perforation. L’effet d’interaction entre les perforations à faibles
niveaux a pour conséquence principale de réduire la réactance totale de la
plaque.
Fig. 2.21 – interaction entre 2 perforations en régime linéaire (faibles niveaux de pression)
sur un demi-cycle. a) Perforations éloignées : effets d’interaction négligeables. b) Perforations
rapprochées : effets d’interaction non négligeables.
En régime non-linéaire
Les figures 2.22a et 2.22b représentent l’interaction entre deux perforations
en régime non-linéaire sur un demi cycle pour des perforations éloignées (a)
et pour des perforations proches (b).
Effets sur la résistance acoustique : Ici, l’effet principal est dû aux dé-
tachements tourbillonnaires en entrée et en sortie des perforations (phéno-
mènes d’aspiration et de refoulement). Lorsque les perforations sont éloi-
gnées, dans la première partie du cycle, en entrée de perforation, l’écoule-
ment est irrotationnel en aspiration mais est refoulé en sortie sous forme de
jets (fortement rotationnel). Dans la deuxième partie du cycle, le phénomène
est inversé. Le phénomène de turbulence crée deux types de formations de
jets : un premier type de jets localisés parallèlement à l’écoulement (en face
de la perforation) et un deuxième type localisé autour de l’embouchure de
la perforation. Ces deux types de jets contribuent à l’effet résistif de rayon-
nement. Lorsque les perforations sont rapprochées, l’effet de rayonnement
105
(incluant l’effet rotationnel précédemment décrit) est d’autant plus partagé,
ce qui résulte en une minimisation de la résistance de rayonnement. Cette mi-
nimisation de la résistance de rayonnement va tendre à réduire la résistance
totale. C’est pourquoi l’effet d’interaction entre les perforations (ou implici-
tement l’effet de porosité) doit être pris en compte dans la modélisation de la
résistance à forts niveaux de pression. De façon générale, avec ou sans interac-
tion entre les perforations, la résistance totale est asymptotiquement linéaire
à la vitesse particulaire dans les perforations. Ainsi, la contribution des ef-
fets d’interaction entre perforations sur la résistance totale est soit constante
ou soit linéairement dépendante de la vitesse. Le coefficient de non-linéarité
(coefficient de pente) varie avec les effets d’embouchures des perforations (et
avec la distance entre les perforations). Lorsque la zone d’interaction (zone
partagée par les perforations) est grande, les jets qui prennent naissance aux
embouchures proches se mélangent, la zone d’appui de ces jets est réduite,
et ainsi, la résistance de friction est diminuée.
Effets sur la réactance acoustique : A forts niveaux d’excitation, on a
une contribution des effets de réactance décrits précédemment en régime li-
néaire mais aussi une contribution de l’effet de turbulence en entrée et en
sortie des perforations. De façon générale, avec ou sans interaction, la réac-
tance diminue avec l’augmentation du niveau d’excitation. Toutefois, l’effet
d’interaction entre perforations (couplée à l’effet de porosité) a tendance à
réduire cette diminution. En considérant les effets d’aspiration et de refou-
lement précédemment décrits, dans le premier cycle à forts niveaux d’exci-
tation, le refoulement turbulent qui a lieu en sortie projette une majorité de
particules de fluide vers l’extérieur. Ces refoulements turbulents auront pour
conséquence une forte diminution de la réactance totale (pouvant aller à plus
de la moitié de la masse ajoutée en régime linéaire). Plus les perforations
sont rapprochées, moins cette diminution est prononcée. En présence d’effet
d’interaction entre perforations à forts niveaux d’excitation, les effets d’in-
teractions semblent diminués, l’effet réactif dû à la turbulence se couplant à
l’effet de rayonnement en sortie.
Sur le maximum du coefficient d’absorption : L’effet d’interaction entre
les perforations sur le maximum du coefficient d’absorption est une combi-
naison des effets de résistance et de réactance. De façon générale, avec ou
sans effets d’interaction, avec une augmentation du niveau d’excitation, le
maximum du coefficient d’absorption va augmenter et atteindre la valeur
maximale de 1 dans une première phase et ensuite descendre dans une se-
106
Fig. 2.22 – interaction entre 2 perforations en régime non-linéaire (forts niveaux de pression)
sur un demi-cycle. a) Perforations éloignées : effets d’interaction négligeables. b) Perforations
rapprochées : effets d’interaction non négligeables.
conde phase suivant la description donnée dans le paragraphe 1.3.7 et dans
les conditions décrits. Toutefois, le nombre de Reynolds optimal (nombre de
Reynolds correspondant à la transition entre la croissance et la décroissance
du maximum du coefficient d’absorption avec l’augmentation de l’excitation)
augmente avec le taux de perforation mais ne semble pas si influant aux in-
teractions directes. A forts niveaux d’excitation, même avec les effets d’inter-
action, la valeur du maximum d’absorption peut augmenter avec la vitesse
dans les pores et ainsi fournir de meilleur coefficient d’absorption comparé
au cas du régime linéaire. Pour obtenir un maximum d’absorption intéres-
sant sur une meilleure plage de niveaux d’excitation, un certain compromis
est nécessaire entre le régime linéaire, la porosité et la distance entre les per-
forations de la plaque. Une alternative à l’utilisation des MPP simples serait
l’utilisation de multi-MPP (paragraphe 2.4.3) ou de systèmes MPP et cavités
multiples.
Conclusion du chapitre
Dans cette deuxième partie, une étude théorique et expérimentale sur l’ef-
fet d’interaction entre perforations a été menée. Dans la partie théorique, à
faibles niveaux d’excitation, les développements du modèle classique de Fok
et le modèle adapté de Keefe ont été comparés. Une étude paramétrique des
variables susceptibles d’influer sur l’effet d’interaction a été effectuée. A forts
niveaux d’excitation, les modèles classiques se trouvent limités pour prendre
en compte ces effets en présence des détachements tourbillonnaires qui y ont
lieu. A noter que le modèle de Fok, adapté au régime linéaire, est basé sur une
analyse en écoulement lent et stable. La correction par l’approche de Fok est
appliquée à la réactance acoustique de la MPP. A partir de l’approche fluide
équivalent adaptée pour les MPP, une correction de la tortuosité géométrique
est proposée. Il est observé que l’effet d’interaction entre les perforations di-
107
minue la masse ajoutée de la MPP. Malgré le fait que l’effet d’interaction se
trouve couplé à l’effet de porosité, une méthode visant à découpler ces deux
effets a été envisagée et testée. Il est alors constaté à partir des mesures que
pour un taux de perforation constant, l’effet d’interaction entre perforation
existe mais reste faible. Dans le cas où les deux effets sont couplés, la pente de
la résistance acoustique en fonction de la vitesse dans les perforations décroît
avec le taux de perforation. Le nombre de Reynolds optimal augmente avec
le taux de perforation. Par contre, dans le cas où la porosité est constante,
le nombre de Reynolds optimal est constant quelque soit la distance entre
les perforations. En résumé, pour obtenir un maximum d’absorption sur une
grande plage de niveaux d’excitation, un certain compromis est nécessaire
entre les deux régimes. Pour améliorer l’absorption de ces systèmes, des so-
lutions sont proposées pour obtenir un comportement efficace en régimes
linéaire et non-linéaire. Comme le nombre de Reynolds optimal augmente
avec le taux de perforation, pour une configuration optimale à faible niveau,
il est nécessaire d’augmenter la valeur du taux de perforation pour retrouver
une configuration optimale à forts niveaux d’excitation.
108
3Application au comportement
sous fort niveau des
multi-couches constitués de
plaques micro-perforées et de
matériaux poreux
Sommaire
Notations du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Généralités sur les poreux classiques . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.1 Paramètres de la géométrie poreuse . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.2 Modèle de Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2.3 Approche du fluide équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.2.4 Modèle empirique de Delany et Bazley . . . . . . . . . . . . . 129
3.2.5 Le modèle de Johnson-Allard (5 paramètres) . . . . . . . . . . 130
3.3 Comportement des milieux poreux sous forts niveaux d’ex-citation acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.1 Origine physique de la non-linéarité dans les milieux poreux 131
3.3.2 Paramètre influencé et comportements en régime non-linéaire 132
3.4 Modélisation du multi-couche constitué d’une MPP et
d’un matériau poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.4.1 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.2 Prise en compte du régime non-linéaire . . . . . . . . . . . . . 138
109
3.5 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5.1 Échantillons testés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5.2 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
110
Notations du chapitre 3
ai2, ar2 Coefficients d’amplitude
A Premier coefficient de Lamé
b Coefficient de frottement visqueux
B Nombre de Prandtl
c0 Célérité du son dans l’air
C1, C2 Constantes adimensionnelles de Forchheimer
cL Vitesse de phase associée à l’onde lente
cR Vitesse de phase associée à l’onde rapide
d Diamètre de perforation
D Fonction de dissipation
Dcav Profondeur de la cavité d’air
E Module d’Young
Ec Énergie cinétique
f Fréquence f = ω/2π
G(ω) Facteur correcteur de la viscosité
h Épaisseur
Imag Partie imaginaire
j Imaginaire pur
N Second coefficient de Lamé
k0,1,2 Nombre d’onde dans le milieu 0 (air), 1 ou 2
k Constante de propagation
k0 Perméabilité statique
k′0 Perméabilité thermique
kL Nombre d’onde associé à l’onde lente
kR Nombre d’onde associé à l’onde rapide
K Compressibilité dynamique
Ke Compressibilité effective
Kb Module de compressibilité de la matrice
K f Module de compressibilité de l’air
Ks Module de compressibilité du matériau
∆P Différence de pression
P0 Pression atmosphérique
111
P, Q, R Coefficient d’élasticité de Biot
p Pression acoustique
pp et p′p Paramètres de Pride
q f Forces d’inertie de la phase fluide
qs Forces d’inertie de la phase solide
Real Partie réelle
Re f l Coefficient de réflexion en incidence normale
Rep Nombre de Reynolds dans les pores
Si Surface d’interface entre le fluide et la structure
T1 Matrice associée à la MPP
T2 Matrice associée au matériau poreux
T Température
u Déplacement moyen de la matrice
U Déplacement moyen du fluide
U Vitesse de la matrice
u Vitesse microscopique du fluide
up vitesse du fluide dans les pores
V Volume d’homogénéisation
Vf Volume d’air dans les inclusions
Vtotal Volume total du matériau
w Déplacement relatif entre le fluide et le solide
w Vitesse relative entre le fluide et le solide
Xi Forces de dissipation visqueuse
Z0 Impédance caractéristique de l’air
Zc Impédance caractéristique du matériau poreux
Zs Impédance acoustique de surface
Zcs Impédance caractéristique associée à la matrice
Zc f Impédance caractéristique associée au fluide
< > moyenne
α Coefficient d’absorption en incidence normale
alpha∞ Vitesse de la matrice
α∞ Tortuosité dynamique
112
δ Constante adimensionnelle à fort niveau d’excitation
δij Symbole de Kronecker
δv Epaisseur de la couche limite visqueuse
εe Correction de longueur
ε f Tenseur des déformations du fluide
εs Tenseur des déformations du solide
φ Porosité (ou taux de perforation de la MPP)
γ Rapport des chaleurs spécifiques
η Viscosité dynamique
Λ Longueur caractéristique visqueuse
Λ′ Longueur caractéristique thermique
µ Viscosité dynamique
ν Viscosité cinématique
νp Coefficient de Poisson
ϕ Rapport entre la vitesse du fluide dans les pores et celle du squelette
ϕw Potentiel scalaire
ρ0 Densité de l’air
ρe Densité effective
σ0 Résistivité en régime linéaire
σ f Tenseur des contraintes fluide
σs Tenseur des contraintes solide
τ Température acoustique
ω Pulsation
ψw Potentiel vecteur
Les indices utilisés
0 Paramètre lié au fluide (l’air)
1 Paramètre lié à la MPP
2 Paramètre lié au matériau poreux
3 Paramètre lié au milieu derrière le matériau poreux
L Lente (Onde)
R rapide (Onde)
113
Les exposants utilisés
(s) ou f solide ou fluide
114
3.1 Introduction
Depuis plusieurs dizaines d’années, la réduction des nuisances sonores
constitue un thème de grande importance dans l’amélioration de notre
confort quotidien. En ce qui concerne les traitements acoustiques passifs,
l’utilisation d’absorbants multi-couches intégrant des plaques perforées et
poreux classiques s’est révélée être un moyen efficace pour l’atténuation so-
nore sur une grande plage de fréquence (Dav77; LS06). Puisque ces maté-
riaux sont composés de plaques perforées et de matériaux poreux en confi-
guration multi-couches et avec une ou plusieurs cavités d’air, il est important
d’étudier les comportements acoustiques de chacun de ces milieux en ré-
gime linéaire. Un matériau poreux peut être défini comme un milieu bipha-
sique constitué d’une matrice solide qui définit un réseau de pores saturés
par un fluide pouvant être visqueux et compressible. Parmi la diversité des
matériaux poreux, on peut citer : les matériaux fibreux (tissus, laines miné-
rales...), les mousses (naturelles ou synthétiques), les agglomérats granulaires
(sable, revêtement routier...). De par la présence de micro-canaux (les pores),
des écoulements de type poiseuille se produisent accompagnés d’interaction
visco thermique entre les différentes couches de fluide au cours de l’écou-
lement. La prédiction du comportement acoustique de tels milieux bipha-
siques a largement fait l’objet d’études depuis plusieurs dizaines d’années
et leur modélisation se trouve de plus en plus raffinée. Parmi les modèles
qui ont été développés, l’un des plus connus et des plus simples à mettre
en œuvre est le modèle empirique de Delany et Bazley (DB70). A partir
d’une étude systématique des constantes de propagation et des impédances
caractéristiques des matériaux fibreux, Delany et Bazley ont établi des lois
empiriques suivant lesquelles ces caractéristiques acoustiques ne dépendent
que du rapport de la fréquence f à la résistance au passage de l’air (définie
dans la section suivante de ce mémoire). Il faut remarquer que ce modèle est
quelque peu limité du fait qu’il ne met pas en évidence les phénomènes liés
aux vibrations du squelette du matériau poreux.
La figure 3.1 représente quelques configurations étudiées dans cette par-
tie.
115
Fig. 3.1 – Schéma représentatif de quelques configurations. (a) MPP couplée à une cavité
d’air et une paroi rigide ; (b) Poreux sur une paroi rigide ; (c) MPP couplée à un poreux sur
une paroi rigide sans aucune cavité d’air ; (d) MPP couplée à un poreux avec cavité d’air
avant la paroi rigide ; (e) MPP couplée à un poreux sur paroi rigide avec une cavité d’air
avant le poreux.
3.2 Généralités sur les poreux classiques
3.2.1 Paramètres de la géométrie poreuse
Porosité La porosité, généralement noté φ, se définit comme le rapport entre
le volume de fluide Vf contenu dans les pores et le volume total Vt du maté-
riau, soit
φ =Vf
Vt. (3.1)
On peut définir une porosité ouverte (ou connectée) ; dans ce cas, on va consi-
dérer que le volume accessible au fluide n’est pas cloisonné et qu’il est ramifié
dans tout le matériau. Les éventuelles inclusions contenant de l’air n’inter-
viennent pas dans la propagation d’une onde acoustique dans le matériau,
et l’on ne tiendra pas compte de cette porosité fermée (porosité piégée ou
occluse) lorsque l’on exprimera la valeur de φ. Ainsi, de par sa définition, la
porosité φ est un paramètre adimensionnel toujours plus petit que un. Elle
peut être évaluée en connaissant les masses volumiques du matériau consti-
tuant le squelette et du matériau poreux. Pour les matériaux poreux tels que
la laine de verre ou les mousses polyuréthane, φ est souvent souvent proche
de 1 mais peut diminuer avec une forte compression du matériau.
Résistivité au passage de l’air La résistivité, notée σ0, se définit comme
le rapport entre la différence de pression ∆P par unité d’épaisseur h du ma-
tériau et de la vitesse U à travers le matériau. Soit
σ0 =∆PUh
. (3.2)
116
La résistivité s’exprime en N.s.m−4, en kg.m−3.s−1 ou en Rayls.m−1 et se me-
sure en soumettant un échantillon de matériau, inséré dans un tube, à une
différence de pression statique ∆P. La mesure de la vitesse d’écoulement à
travers cet échantillon soumis à ∆P fournit le coefficient σ0. En pratique, pour
les laines et les feutres, σ0 varie entre 5 000 et 100 000 rayls.m−1 ; et pour les
mousses, σ0 varie entre 500 et 40 000 Rayls.m−1. En acoustique, l’écoulement
statique peut être considérée comme la limite basse fréquence de l’écoule-
ment dynamique associé au passage d’une onde. L’écoulement dynamique
correspond à un fluide allant et venant dans les pores du matériau. A la place
de la résistivité à l’écoulement, la perméabilité statique peut être utilisée. La
perméabilité statique k0 se définit comme
k0 =η
σ0, (3.3)
avec η la viscosité dynamique du fluide. La perméabilité statique k0 est un
paramètre géométrique indépendant du fluide saturant le matériau.
Tortuosité La tortuosité, notée α∞, est un paramètre géométrique adi-
mensionnel qui rend compte de la forme des chemins parcourus par le fluide
dans le matériau. Elle fut introduite par Johnson et al. (JKD87). Elle permet
de quantifier l’écart par rapport à un pore droit. Elle est exprimée de la ma-
nière suivante pour un fluide idéal (fluide incompressible et non visqueux)
qui traverse un volume V d’homogénéisation du matériau
α∞ =
1V
∫V
u2dV
1V
(∫V
udV
)2 , (3.4)
avec u la vitesse microscopique du fluide à travers les pores de la structure
solide. L’intégration s’effectue dans un volume V plus grand que le volume
minimum d’homogénéisation. La tortuosité est toujours supérieure à 1.
Longueur caractéristique visqueuse La longueur caractéristique vis-
queuse, notée Λ, et introduite par Johnson et al. (JKD87) est un paramètre
géométrique permettant de quantifier l’atténuation par frottements visqueux
entre le solide et le fluide. Elle est définie dans la limite des hautes fréquences
(c’est-à-dire lorsque l’épaisseur de peau visqueuse le long des pores devient
infiniment petite). Elle s’obtient par
2Λ
=
∫S
u2(rw)dS∫V
u2(r)dV, (3.5)
117
avec u(r) et u(rw) les vitesses microscopiques dans le volume et le long de la
surface du pore. En pratique, pour la plupart des matériaux poreux, Λ est de
l’ordre du rayon des pores les plus petits (régions de constriction), là où les
vitesses et les dissipations visqueuses sont les plus grandes. Dans le cas des
pores cylindriques à section circulaire,
Λ =(
8α∞η
φσ0
)1/2
. (3.6)
Longueur caractéristique thermique La longueur caractéristique ther-
mique, notée Λ′, introduit par Champoux et Allard (CA91) en suivant le
même développement que pour Λ. C’est un paramètre qui tient compte des
échanges thermiques entre les différentes couches de fluide dans la couche
limite thermique. Elle s’obtient par
2Λ′
=
∫S
dS∫V
dV. (3.7)
Cette expression est analogue à l’expression (3.5) à la différence près que les
poids u2 dans l’intégration ont disparu. Pratiquement, Λ est de l’ordre du
rayon des pores les plus grands, là où les surface d’échanges et les dissipa-
tions thermiques sont les plus grandes. Dans le cas de pores cylindriques à
section uniforme, Λ=Λ′. Il est important de remarquer que pour des pores
quelconques, Λ est toujours inférieure à Λ′.
La tortuosité et les deux longueurs caractéristiques sont définies comme
étant des paramètres moyennés permettant de tenir compte de la complexité
de la géométrie des pores à haute fréquence et les méthodes les plus em-
ployées à l’heure actuelle pour les déterminer sont basées sur des études ul-
trasonores (en identifiant ces paramètres à ceux des modèles asymptotiques).
En dehors de ces cinq paramètres décrits, on peut ajouter
– La constante de piégéage Γ qui décrit la rapidité avec laquelle une
particule en mouvement brownien dans le fluide heurte la structure
solide et ainsi décrit avec plus de précision les échanges thermiques.
Elle a été introduite par Lafarge (Laf93).
– La perméabilité thermique k′0 qui est l’inverse de la constante de pié-
geage.
– Les paramètres de Pride pp et p′p pour corriger les effets visqueux et
les effets thermiques à basses fréquences (Pri94).
118
3.2.2 Modèle de Biot
La théorie de Biot (Bio56a; Bio56b), qui a été initialement établie dans les
années 50 pour la recherche pétrolière, fournit un modèle fondamental pour
décrire le comportement des matériaux poroélastiques. Biot propose une ap-
proche macroscopique du problème dynamique du milieu poreux où ce der-
nier est décrit comme un milieu homogène contenant deux phases équiva-
lentes : une phase fluide équivalente et une phase solide équivalent. Les in-
teractions fluide structure jouent alors un rôle essentiel dans le phénomène
de propagation. Le milieu poreux est traité comme un continuum. On va
considérer que la porosité occluse fait partie de la phase solide. On distingue
les tenseurs des déformations du fluide équivalent ε f , du solide équivalent
εs, les tenseurs des contraintes fluides σ f et solides σs. La théorie de Biot
permet de décrire le comportement de ces matériaux en donnant les lois de
comportement et les équations d’équilibre du fluide et du solide. Lorsque
le squelette peut être considéré comme statistiquement isotrope, le module
d’Young et le coefficient de Poisson du solide équivalent suffisent pour dé-
crire les lois de comportement. Ces lois de comportement sont données par
σsij = −(1− φ)p f =
[(P− 2N)εs + Qε f
]δij + 2Nεs
ij (3.8)
pour la phase solide, et
σfij = −φp f δij = (Qεs + Rε f )δij (3.9)
pour la phase fluide, avec δij le symbole de Kronecker (= 1 si i = j et = 0
sinon) P, Q et R les coefficients d’élasticité de Biot (BW57), A le premier
coefficient de Lamé et N le second coefficient de Lamé (ou module de ci-
saillement). Les équations 3.8 et 3.9 font apparaître des termes de couplage
élastique entre les deux phases. Pour appliquer les méthodes de la mécanique
des milieux continus, on a considéré que la longueur d’onde était grande de-
vant la taille des hétérogénéités (milieu homogène). Le modèle de Biot peut
par exemple être appliqué dans diverses situations parmi lesquelles :
– lorsque le matériau poreux repose sur une structure vibrante.
– lorsqu’un film imperméable est associé au matériau poreux.
– lorsque sous excitation acoustique, la résistivité σ0 est grande et la rigi-
dité faible.
Dans la modélisation, le comportement acoustique du matériau poreux
étant entièrement décrit par ses constantes de propagation et impédances
119
caractéristiques, l’objectif est de déterminer ces paramètres. Les tenseurs des
déformations du fluide ε f et du solide εsij sont donnés par
εs = ∇.u, (3.10)
εsij =
12(uij + uji), (3.11)
ε f = ∇.U, (3.12)
avec u(ux,uy,uz) le vecteur déplacement moyen de la matrice et
U(Ux,Uy,Uz) le vecteur déplacement moyen du fluide dans le matériau
poreux. Les coefficients d’élasticité de la théorie de Biot P, Q et R sont expri-
més en fonction des modules de compressibilité de la matrice Kb, de l’air K f
et du matériau constituant la matrice Ks par (BW57)
P =(1− φ)(1− φ− Kb
Ks)Ks + φ Ks
K fKb
1− φ− KbKs
+ φ KsK f
+43
N, (3.13)
interprété comme le module de compression du solide équivalent
Q =(1− φ− Kb
Ks)φKs
1−Q− KbKs
+ φ KsK f
, (3.14)
exprimant le couplage existant entre les déformations de la phase solide et
celles de la phase fluide
R =φ2Ks
1− φ− KbKs
+ φ KsK f
, (3.15)
interprété comme le module de compression du fluide équivalent.
Energie cinétique et équations du mouvement
L’énergie cinétique du système air-matériau, en considérant les deux phases,
s’écrit
Ec =12
ρ11 |u|2 + ρ12uU +12
ρ22∣∣U∣∣2 , (3.16)
où ρ11, ρ12 et ρ22 sont données parρ11 = (1− φ)ρ0 − ρ12
ρ22 = φρ0 − ρ12
ρ12 = −(α∞ − 1)φρ0
, (3.17)
120
avec ρ0 la densité de l’air, α∞ la tortuosité géométrique. Les dissipations vis-
queuses sont prises en compte en remplaçant α∞ par α∞(ω) (JKD87).
A partir des équations de Lagrange, on obtient les expressions des forces
d’inertie données par
qs =ddt
∂Ec
∂u= ρ11u + ρ12U, (3.18)
pour la phase solide et
q f =ddt
∂Ec
∂U= ρ12u + ρ22U, (3.19)
pour la phase fluide, avec qs et q f les forces d’inertie associées aux phases
solides et fluide.
Démonstration des relations en (3.17)
Dans le cas particulier où le fluide et le squelette vibrent à la même vitesse,
il n’y a plus d’interaction inertielle entre les deux phases, l’énergie cinétique
devient
Ec =12(ρ1 + ρ2) |u|2 =
12(ρ1 + φρ0) |u|2 , (3.20)
avec ρ1 et ρ2 = φρ0 les masses volumiques du squelette et de l’air contenu
dans les pores du matériau, respectivement. En considérant l’équation 3.20 et
l’équation 3.16, on peut alors écrire
ρ11 + 2ρ12 + ρ22 = ρ1 + φρ0. (3.21)
En reprenant la définition des forces d’inertie qs et q f , on a
qs = ρ1u, (3.22)
et
q f = ρ2U = φρ0U, (3.23)
d’où on en déduit par identification
ρ1 = ρ11 + ρ12, (3.24)
et
φρ0 = ρ12 + ρ22. (3.25)
En considérant cette fois le cas général avec un couplage inertiel fluide-
structure, la force d’inertie qui s’exerce sur le fluide est
q f = −φ∇p = ρ22U = φρ0α∞U, (3.26)
121
d’où on obtient finalementρ11 = ρ1 − ρ12
ρ22 = φρ0 − ρ12
−ρ12 = φρ0(α∞ − 1)
(3.27)
Le couplage visqueux
Dans la théorie de Biot, la dissipation est considérée comme résultant du
déplacement relatif entre le squelette et le fluide saturant, résultant en frot-
tement visqueux au niveau des parois et responsable de perte d’énergie. On
peut définir une fonction de dissipation D par
D =12
b(u− U)2 =12
bφ2 w2, (3.28)
avec w = φ(U − u) le vecteur caractérisant la vitesse relative entre le fluide
et le solide, b un coefficient de frottement visqueux. A partir de la fonction
(ou du potentiel) de dissipation, les forces de dissipation visqueuse Xi sont
obtenues par
Xi =∂D
∂wi. (3.29)
En négligeant les forces de gravité, les équations de Lagrange s’écrivent
qs =ddt
∂Ec
∂u+
∂D
∂u=
∂2
∂t2 (ρ11u + ρ12U) + b∂
∂t(u−U), (3.30)
et
q f =ddt
∂Ec
∂U+
∂D
∂U=
∂2
∂t2 (ρ12u + ρ22U)− b∂
∂t(u−U), (3.31)
et les équations du mouvement (Bio56a; Bio56b) s’écrivent{N∇2u +∇
[(A + N)εs + Qε f ] = ∂2
∂t2 (ρ11u + ρ12U) + b ∂∂t (u−U)
∇(Qεs + Rε f ) = ∂2
∂t2 (ρ12u + ρ22U)− b ∂∂t (u−U)
(3.32)
Les effets visqueux sont pris en compte par le coefficient b qui intervient
aussi dans l’expression des masses volumiques dynamiques complexes (ex-
pressions 3.39). Ce coefficient de frottement visqueux est complexe et dépen-
dant de la fréquence. Son expression générale est reliée à la porosité et à la
résistance statique à lécoulement par
b = φ2σ0G(ω), (3.33)
où G(ω) est un facteur correcteur de la viscosité traduisant le fait que lécou-
lement dans les pores séloigne dun écoulement de type Poiseuille lorsque la
122
pulsation augmente (fig. 3.2). Johnson et al. (JKD87) en proposent la forme
suivante
G(ω) =
√1 + j
4α2∞ηρ0ω
σ20 Λ2φ2
. (3.34)
Fig. 3.2 – Représentation schématique des profils de vitesse particulaire dans un tube cylin-
drique. a) basse fréquence et b) haute fréquence
Le couplage thermique
Les mécanismes de dissipation thermique sont considérés indépendants des
effets visqueux et pris en compte par le module de compression uniforme
complexe. Cette dissipation est le résultat des échanges thermiques entre les
différentes couches de fluide dans la couche limite au voisinage des parois
solide. Les mécanismes de dissipation reliés aux effets thermiques ont été in-
troduits par Champoux et Allard (CA91) de façon similaire aux mécanismes
de dissipation visqueux.
L’expression du module de compression uniforme complexe Ke est donnée
par
Ke(ω) =γP0
γ− (γ− 1)[1− j ωc
B2ωG(B2ω)
]−1 , (3.35)
avec ωc = bφρ0
, b = φ2σ0 et
G(B2ω) =
√1 + j4
ηρ0α2∞
σ20 φ2Λ′2
B2ω. (3.36)
Constantes de propagations et impédances caractéristiques
On se place dans un cas de mesure de coefficient d’absorption sous inci-
dence normale, dans le cas mono-dimensionnel, en ne considérant que les
ondes de compression, une application respective des opérateurs divergence
123
et rotationnel aux équations du système 3.32 nous donne{∇2(Pεs + Qε f ) = ∂2
∂t2 (ρ11εs + ρ12ε f ) + b ∂∂t (εs − ε f )
∇2(Qεs + Rε f ) = ∂2
∂t2 (ρ12εs + ρ22ε f )− b ∂∂t (εs − ε f )
(3.37)
En posant εs = a1ej(ωt−kx) et ε f = a2ej(ωt−kx), le système précédent fournit
l’équation de dispersion suivante
k4(RP−Q2) + k2 [−ω2(Pρ22 + Rρ11 − 2ρ12Q) + jωb(P + R + 2Q)]
+ω4(ρ11ρ22 − ρ212)− jω3b(ρ11 + ρ22 + 2ρ12) = 0
, (3.38)
en posantρ11 = ρ11 − j b
ω
ρ12 = ρ12 + j bω
ρ22 = ρ22 − j bω
, (3.39)
l’équation de dispersion se réécrit comme
k4(RP−Q2) + k2ω2(Pρ22 + Rρ11 − 2ρ12Q) + ω4(ρ11ρ22 − ρ212) = 0. (3.40)
En posant
∆d = (Pρ22 + Rρ11 − 2ρ12Q)2 − 4(RP−Q2)(ρ11ρ22 − ρ212), (3.41)
on en déduit l’existence de deux ondes de compression distinctes, appelées
onde lente et onde rapide de nombre d’onde respectif kL et kR tels que
k2L =
ω2
2(RP−Q2)
[Rρ11 + Pρ22 − 2ρ12Q +
√∆d
], (3.42)
et
k2R =
ω2
2(RP−Q2)
[Rρ11 + Pρ22 − 2ρ12Q−
√∆d
], (3.43)
En définissant le rapport ϕ de la vitesse de l’air dans les pores sur la
vitesse du squelette, l’on peut déterminer dans quel milieu (le fluide ou le
solide) l’onde se propage préférentiellement. Ce rapport, pour chacune des
deux ondes, s’écrit
ϕL =ε f
εs =ω2ρ11 − Pk2
LQk2
L −ω2ρ12, (3.44)
et
ϕR =ε f
εs =ω2ρ11 − Pk2
RQk2
R −ω2ρ12. (3.45)
Les vitesses de phase sont aisément déduites de 3.42 et 3.43 et s’écrivent
cL =Rρ11 + Pρ22 − 2ρ12Q +
√∆d
2(ρ11ρ22 − ρ212)
(3.46)
124
et
cR =Rρ11 + Pρ22 − 2ρ12Q−
√∆d
2(ρ11ρ22 − ρ212)
. (3.47)
On définit pour chaque onde, deux impédances caractéristiques, Zcs as-
sociée au rapport force/vitesse pour la matrice par unité de surface et Zc f
associée au rapport pression/vitesse pour le fluide par unité de surface. On
a pour la matrice
Zcs = − σs
jωu= −Pεs + Qε f
jωu, (3.48)
ce qui fournit les impédances caractéristiques de la matrice pour les deux
ondes de compression{Zcs
R = − (P+QϕR)εs
jωu = − (P+QϕR)∇.ujωu = (P + QϕR) kR
ω
ZcsL = − (P+QϕL)εs
jωu = − (P+QϕL)∇.ujωu = (P + QϕL) kL
ω
(3.49)
De même pour le fluide on a
Zc f =p f
jωU= − σ f
jωφU= −Qεs + Rε f
jωφU, (3.50)
ce qui fournit les impédances caractéristiques du fluide pour les deux ondes
de compression Zc fR = −
( QϕR
+R)ε f
jωφU = −( Q
ϕR+R)∇.UjωφU = ( Q
ϕR+ R) kR
φω
Zc fL = −
( QϕL
+R)ε f
jωφU = −( Q
ϕL+R)∇.UjωφU = ( Q
ϕL+ R) kL
φω
(3.51)
Remarque concernant les ondes de compression
Les équations de propagation des ondes de compression dans la théorie de
Biot découlent du système d’équation 3.32. En définissant un potentiel sca-
laire ϕw et un potentiel vecteur ψw associés au déplacement relatif w de la
phase fluide et solide, on peut
w = ∇ϕw +∇× ψw, (3.52)
pour les ondes de dilatation, on a w = ∇ϕw (pas d’onde de cisaillement dans
le fluide), ce qui conduit au système d’équations{(A + 2N)∇2ϕs −Q∇2ϕw = −ω2(ρϕs + ρ f ϕw)
Q∇2ϕs + R∇2ϕw = −ω2(ρ f ϕs + ηjωk0
ϕw), (3.53)
où ϕi et ψi sont les potentiels scalaire et vecteur associés aux déplacements
de la phase solide εs (i = s) et au déplacement de la phase fluide ε f (i = f )
125
respectivement tels que
εs = ∇ϕs +∇× ψs
ε f = ∇ϕ f +∇× ψ f. (3.54)
Le système d’équation 3.53 se traite identiquement au système d’équa-
tion 3.37 et les ondes lentes et rapides que l’on obtient alors ont les mêmes
caractéristiques que les nombres d’onde et vitesses de phase précédemment
présentés.
3.2.3 Approche du fluide équivalent
Dans le modèle de fluide équivalent (ou dans l’approximation du squelette ri-
gide), le fluide est considéré léger et le squelette (la phase solide) du matériau
ne se meut pas durant le processus d’excitation acoustique. Par conséquent,
tout déplacement de la phase solide est nul et seul le fluide contenu dans
les pores inter-connectés est susceptible de constituer un support à la propa-
gation des ondes acoustiques. Toutefois, les effets dissipatifs continuent de
prendre place aux interfaces entre le solide et le fluide. Dans la pratique, le
squelette du matériau est considéré rigide, soit en raison d’une densité et/ou
des coefficients de rigidité importants par rapport à ceux du fluide.
Lorsqu’une onde acoustique pénètre à l’intérieur d’un pore du matériau,
un cycle de compression-dilatation se produit à la fréquence de l’onde dans le
fluide saturant. La description du phénomène se base sur un moyennage des
équations de l’acoustique linéaire sur un volume d’homogénéisation. Zwik-
ker et Kosten (ZK49) introduisent l’hypothèse que les effets visqueux et
thermiques peuvent être traités séparément. Ainsi, dans la description de
la réponse du matériau à une excitation acoustique, les couplages visqueux
et inertiels sont modélisés par l’introduction d’une densité dynamique com-
plexe, la densité effective notée ρe(ω), dans l’équation du mouvement
ρe(ω)jωu = −∇p. (3.55)
Par ailleurs, l’équation d’état du fluide va décrire les échanges thermiques
entre le fluide et la matrice solide, soit
pK(ω)
=ρ
ρ0, (3.56)
où K(ω) représente la compressibilité dynamique complexe. Pour caractériser
complètement la perturbation acoustique, l’équation de conservation de la
126
masse est utilisée, soit
jωρ + ρ0∇u = 0. (3.57)
Les relations précédentes étant exprimées pour une onde plane monochro-
matique définie avec la convention ejωt, l’équation de Helmholtz permettant
d’obtenir la pression (et explicitement la vitesse) s’obtient par
∆p + ω2 ρe
Kp = 0. (3.58)
Cette équation induit donc l’existence d’une constante de propagation k(ω)
dans le matériau poreux et une impédance caractéristique Zc(ω) définie par
le rapport entre la pression et la vitesse macroscopiques. La pression s’obtient
alors par l’équation d’Helmholtz (expression 3.58) et la vitesse par l’équation
du mouvement (expression 3.55). Le comportement acoustique du matériau
poreux dans l’hypothèse de structure rigide est alors entièrement déterminé
par les expressions de la constante de propagation et de l’impédance carac-
téristique respectivement données par
k(ω) = ω
√ρe(ω)K(ω)
, (3.59)
et
Zc(ω) =√
K(ω)ρe(ω), (3.60)
ou par la densité et la compressibilité effective exprimées respectivement en
fonction de la constante de propagation et l’impédance caractéristique par
ρe(ω) =k(ω)Zc(ω)
ω, (3.61)
et
K(ω) =Zc(ω)k(ω)
. (3.62)
Détermination de la densité effective
La prise en compte des interactions inertielles et visqueuses entre la phase
solide et la phase fluide se traduit par l’introduction d’une densité effective
dans l’équation du mouvement. Cette densité effective, notée ρe(ω), est com-
plexe et dépend de la fréquence. Dans la détermination de la densité effec-
tive, deux démarches peuvent se dégager, l’une analytique et l’autre asymp-
totique.
A basse fréquence, la limite des équations acoustiques correspond au régime
statique. En effet, la propagation acoustique pour une fréquence très basse,
127
qui correspond à une période extrêmement longue, est proche de l’écoule-
ment statique à faible vitesse. On utilise la loi de Darcy qui nous permet
d’introduire le concept de résistivité σ0. La loi de Darcy est donnée par
∇p = −φσ0u. (3.63)
La densité effective ρe est, par définition, la densité qu’aurait un fluide parfait
admettant la relation 3.63, soit
∇p = −jωρeu. (3.64)
On en déduit la limite de la densité effective du matériau en très basse fré-
quence, soit
ρe|ω→0 =σ0φ
jω. (3.65)
Cette formulation est alors généralisée en introduisant une tortuosité dyna-
mique α∞2. Sur un bilan d’énergie cinétique, en appliquant le théorème de
l’énergie cinétique, on obtient
ρ0α∞∂u∂t
= −∇p, (3.66)
d’où
ρe = ρ0α∞. (3.67)
Le régime des hautes fréquences peut être traité de manière asymptotique
par l’introduction des concepts de couche limite visqueuse. En utilisant une
approche énergétique, Johnson et al. (JKD87) obtiennent la contribution de
la couche limite acoustique à la densité effective. A partir de leur travaux,
l’asymptote de la densité effective obtenue pour la limite des très hautes
fréquences est donnée par
ρe = ρ0α∞
(1 + (1− j)
δv
Λ
), (3.68)
avec δv l’épaisseur de couche limite visqueuse donnée par
δv =
√2η
ρ0ω. (3.69)
Détermination de la compressibilité effective
Suivant un raisonnement analogue au paragraphe précédent, les échanges
thermiques entre la phase fluide et la phase solide sont pris en compte grâce
128
à l’introduction d’un module de compressibilité effective Ke complexe et dé-
pendant de la fréquence.
A très basse fréquence, les processus sont considérés comme isothermes.
Le module de compressibilité doit tendre vers 1/P0, inverse de la pression
atmosphérique. De même qu’en thermodynamique on définit la compressi-
bilité K par
K ≡ 1ρ
∂ρ
∂P, (3.70)
on peut également définir la compressibilité effective Ke par
Ke ≡1ρ0
∂ 〈ρ〉∂ 〈P〉 =
1P0
∂ 〈P〉∂ 〈P〉 −
1T0
∂ 〈τ〉∂ 〈P〉 =
1P0− 1
T0
〈τ〉〈P〉 , (3.71)
avec P0 la pression atmosphérique, τ la température acoustique, T la tempé-
rature. Dans la limite isotherme, on n’a pas de variation de température et la
compressibilité est isotherme, soit
Ke|ω→0 =1P0
. (3.72)
Pour le régime des hautes fréquences, on peut reprendre le même raison-
nement effectué pour la densité effective. Champoux et Allard (CA91) ont
appliqué cette idée pour introduire la longueur caractéristique thermique Λ′.
Ils proposent l’asymptote suivante pour la compressibilité à très haute fré-
quence
Ke = γP0
(γ− (γ− 1)
(1− (1− j)
δv
Λ′√
B
))−1
, (3.73)
avec B le nombre de Prandtl.
3.2.4 Modèle empirique de Delany et Bazley
Parmi les théories décrivant la propagation du son dans les matériaux po-
reux, le modèle de Delany et Bazley (DB70), par sa simplicité, est l’un
des plus utilisés. Établi de façon empirique à partir de nombreuses mesures
acoustiques, il nécessite uniquement la connaissance de la résistivité au pas-
sage de l’air σ0. Il fournit la constante de propagation Kc et l’impédance ca-
ractéristique Zc du milieu fluide, équivalent au matériau, pour une fréquence
f données respectivement par
Kc =ω
c0
[1 + 0, 0978X−0,7 − j0, 189X−0,595
], (3.74)
et
Zc = ρ0c0
[1 + 0, 0571X−0,754 − j0, 087X−0,732
], (3.75)
avec X = ρ0 f /σ0 compris entre 0,01 et 1 et f étant la fréquence.
129
3.2.5 Le modèle de Johnson-Allard (5 paramètres)
Dans le modèle de Johnson-Allard (All93), les expressions générales de la
densité effective et de la compressibilité effective sont déterminées à partir
des cinq paramètres caractéristiques préalablement définis
ρe(ω) = α∞ρ0
(1− jσ0φG(ω)
ρ0α∞ω
), (3.76)
pour la densité effective avec
G(ω) =
(1 +
4jα2∞ηρ0ω
σ20 φ2Λ2
) 12
, (3.77)
et la compressibilité effective est donnée par
Ke(ω) =γP0
γ− (γ− 1)[1− j ωc
B2ωG(B2ω)
]−1 , (3.78)
avec ωc = bφρ0
, b = φ2σ0 et
G(B2ω) =
√1 + j4
ηρ0α2∞
σ20 φ2Λ′2
B2ω. (3.79)
3.3 Comportement des milieux poreux sous forts ni-
veaux d’excitation acoustique
L’étude de matériaux poreux soumis à forts niveaux d’excitation a depuis
plus d’une dizaine d’année constitué un sujet d’intérêt majeur (ZP71; KB87;
WML88; Pac97). Les premiers travaux de Zorumski et Parrot (ZP71) sur la
non-linéarité due aux niveaux d’excitation intenses dans les matériaux po-
reux montrent que l’impédance acoustique dépend du niveau de la vitesse
acoustique pour ce régime. Kuntz et Blackstock (KB87) proposent qu’une at-
ténuation supplémentaire est causée par la résistivité due à la déviation sur
la loi de Darcy. Une non-linéarité du type Forchheimer est alors introduite
par Nelson (Nel85) pour tenir compte du niveau du signal acoustique dans
l’approximation de structure rigide. Cette non-linéarité sera étendue par Wil-
son et al. (WML88) et introduite dans l’expression de la densité effective
du matériau poreux. Sur une étude essentiellement expérimentale, Auregan
et Pachebat (AP99) montrent la faisabilité de l’utilisation de la loi de For-
chheimer pour prédire avec précision le comportemant acoustique de deux
130
types de matériaux poreux (mousse et caoutchouc), cela impliquant l’utilisa-
tion de coefficients déterminés de façon phénoménologique. Quelques temps
après, Umnova et al. (UASC03) effectuent à un examen théorique et ex-
périmental du comportement des matériaux poreux rigides à forts niveaux
d’excitation. Dans leur modèle, la résistivité non-linéaire est introduite dans
l’expression de la tortuosité complexe et le module de compressibilité en ré-
gime non-linéaire est considéré équivalent à celui du régime linéaire. Wang
et al. (WPC09) vont ensuite appliquer cette non-linéarité de type Forchhei-
mer aux matériaux poreux métalliques et examiner la variation du coefficient
d’absorption en fonction du niveau de pression.
3.3.1 Origine physique de la non-linéarité dans les milieux poreux
La raison physique du déclenchement de la non-linéarité dans les matériaux
poreux a souvent constitué un sujet important et de divergence d’opinion
parmi les chercheurs du domaine. Historiquement, il était considéré et ad-
mis que le déclenchement de la non-linéarité se produit avec l’apparition
de la turbulence. Toutefois, les résultats expérimentaux de certains travaux
(Sch60; Bea72; DE82) ont révélé le fait qu’avec une augmentation de la vi-
tesse macroscopique, les phénomènes de non-linéarité apparaissent long-
temps avant que la turbulence ne prennent place. Ainsi, depuis lors, il est plus
ou moins accepté que le changement de régime (linéaire à non-linéaire) n’est
pas à l’origine des déviations de la loi Darcy. Suivant une analyse d’ordres
de grandeur des magnitudes de l’équation de Navier-Stokes linéarisée, les
travaux de Hassanizadeh et Gray (HG87) vont aboutir à la conclusion se-
lon laquelle ce sont les forces visqueuses qui sont la source du déclenche-
ment de la non-linéarité. Pourtant, en considérant la formation des vortex
(tourbillons) locaux et le développement sinueux des lignes de courant à l’in-
térieur des pores avec une augmentation graduelle du nombre de Reynolds
dans les pores, Barak (Bar87) va plutôt attribuer ce déclenchement aux forces
d’inertie microscopiques qui y prennent place. C’est ce dernier point de vue
(celui de Barak) qui est relativement bien accepté et considéré dans d’autres
travaux (CMC88). Le paramètre le plus important pour bien caractériser cette
non-linéarité reste le nombre de Reynolds. Ce qui ressort clairement de tous
ces travaux c’est qu’il n’existe pas une expression générale (ou un nombre de
Reynolds) définissant la limite entre les régimes linéaire et non-linéaire dans
les milieux poreux. Il est donc considéré que la non-linéarité (déviations de
131
la loi de Darcy) ne résulte pas de la turbulence mais serait plutôt due aux
effets d’inertie. Le changement de régime n’est pas à l’origine de la déviation
de la loi de Darcy. La figure 3.3 montre les différents régimes d’écoulement
pouvant prendre place dans les milieux poreux (d’après Basak (Bas77)).
Fig. 3.3 – Les différents régimes d’écoulement dans les milieux poreux. Schéma inspiré de
Basak (Bas77).
3.3.2 Paramètre influencé et comportements en régime non-linéaire
Les propriétés acoustiques d’un matériau poreux (à structure rigide) dé-
pendent, comme nous l’avons décrit, de paramètres physiques caractérisant
la géométrie de cette structure (porosité, tortuosité, résistivité, longueurs ca-
ractéristiques visqueuse et thermique). Une étude bibliographique montre
que, parmi les paramètres qui caractérisent un matériau poreux, la résisti-
vité est la grandeur qui varie le plus lorsque l’intensité du champ acoustique
croît (AP99; UASC03). En effet, l’analyse de mesures d’impédance, réalisées
à fort niveau acoustique met en évidence la possibilité de prendre en compte
de manière simple le comportement non-linéaire du matériau par la modi-
fication de la résistivité en fonction du niveau sonore. Une correction à la
loi de Darcy se révèle nécessaire pour prendre en compte les effets liés aux
niveaux sonores intenses. Deux tendances se dégagent dans la littérature au
sujet de cette correction à la loi de Darcy appliquée aux matériaux poreux
et aux structures perforées. La première tendance (WML88; For01b; BS69)
132
indique que la résistivité non-linéaire est une fonction linéaire du nombre de
Reynolds, soit
σ = C1σ0Rep + (1− C2)σ0, (3.80)
et la seconde tendance (RA67; WL91; FG95) indique que la résistivité non-
linéaire est une fonction quadratique du nombre de Reynolds donnée sous la
forme
σ = σ0 + δσ0Re2p, (3.81)
avec σ0 la résistivité en régime linéaire, δ,C1 et C2 des constantes adimension-
nelles obtenues de façon phénoménologique, Re est le nombre de Reynolds
dans les pores obtenu par l’expression
Rep =2Λup
ν, (3.82)
où ν est la viscosité cinématique de l’air, up la vitesse particulaire dans les
pores et Λ la longueur caractéristique visqueuse. La première tendance, don-
née par l’expression 3.80, est plus connue sous le nom de loi de Forchheimer.
Même si les avis semblent assez partagés entre ces deux tendances, les récents
travaux expérimentaux de Pachebat (Pac97) révèlent le fait qu’il existe deux
comportements non-linéaires distincts de la résistivité, de part et d’autre d’un
nombre de Reynolds critique. Le comportement qui a lieu en dessous du
nombre de Reynolds critique peut être qualifié de non-linéarité faible tan-
dis que celui qui a lieu au-delà du nombre de Reynolds critique peut être
qualifié de non-linéarité forte. Les mesures effectuées sur des plaques perfo-
rées (TDL10) (voir également les deux premières parties de ce travail) et des
matériaux poreux révèlent pour chacun de ces matériaux que l’évolution de
la résistivité ne peut être décrite par une loi de type Forchheimer pour de
faibles nombres de Reynolds, mais bien plus par une approximation quadra-
tique (Pac97) sans terme linéaire. En revanche, la loi linéaire qui apparaît
pour des nombres de Reynolds plus importants ne tend pas vers σ0 lorsque
Re→ 0. Les matériaux poreux et les plaques perforés (plus particulièrement
les micro-perforées) se comportent de façon identique à la différence que les
plaques perforées sont plus sensibles aux niveaux sonores incidents. C’est
uniquement la première tendance qui est retenue dans ce travail. En d’autres
termes, seule la linéarité forte (loi de Forchheimer) est considérée et la dépen-
dance quadratique est négligée. Cette hypothèse se révèle être valide pour les
matériaux testés.
La figure 3.4 présente les résultats de mesure du coefficient d’absorption
de deux échantillons de matériaux poreux (mousse et feutre) étudiés dans
133
cette partie pour des niveaux incidents de pression de 90 dB et 142 dB en
entrée des échantillons. Il faut toutefois préciser que les phénomènes non-
linéaires observés dans les matériaux poreux dépendent principalement de
l’amplitude de la vitesse acoustique (ou du nombre de Reynolds) dans la
structure poreuse ; les niveaux acoustiques sont donnés en dB (décibels) pour
la pression incidente sur le matériau. On constate sur cette figure (Fig. 3.4)
que le coefficient d’absorption de ces matériaux ne varie quasiment pas de
90 dB à 142 dB. Ceci révèle le fait que, contrairement aux plaques micro-
perforées pour lesquelles le coefficient d’absorption est considérablement
modifié à 130 dB (voir (Mel73)), les matériaux poreux sont moins sensibles
que les plaques micro-perforées aux niveaux de pression incidents.
Fig. 3.4 – Mesures du coefficient d’absorption des échantillons poreux 1 (Mousse) et poreux
2 (Feutre) en fonction de la fréquence. ♦ Poreux 1 à 90 dB ;© Poreux 1 à 142 dB ; � Poreux
2 à 90 dB ; 4 Poreux 2 à 142 dB. Les niveaux de pression sont donnés par le microphone de
référence.
3.4 Modélisation du multi-couche constitué d’une
MPP et d’un matériau poreux
Le couplage d’une plaque perforée et d’un matériau poreux constitue un
assemblage très répandu en acoustique dans les applications aéronautique
et automobile. Si historiquement les plaques perforées étaient utilisées pour
protéger les matériaux poreux des dégradations, aujourd’hui il est connu
(Dav77; CQ05) qu’à faibles niveaux de pression (régime linéaire), un tel as-
semblage a pour avantage de décaler la fréquence de résonance (principale-
134
ment due à la plaque perforée) vers les basses fréquences et aussi d’élargir le
coefficient d’absorption autour de cette résonance. En étudiant le comporte-
ment réactif de tels assemblages, Bolt (Bol47) conclut que le fait de coupler
des perforations à un matériau poreux résulte à une augmentation du coeffi-
cient d’absorption en basses fréquences et à une diminution de ce coefficient
d’absorption en hautes fréquences. Ingard (Ing54) révèlera quelques temps
après que coupler des perforations à un matériau poreux crée une augmen-
tation de la résistance du système, augmentation due à la fois au matériau
poreux et à l’effet de cavité d’air se trouvant entre les perforations et le ma-
tériau poreux. Ses travaux montrent que la présence d’une cavité d’air entre
les perforations et le matériau poreux aura pour effet de réduire la largeur
du coefficient d’absorption. Les récents travaux expérimentaux de Lee et Se-
lamet (LS06) confirment les résultats d’Ingard et révèlent d’autres parts que
pour une densité de matériau poreux donnée, la résistance et la réactance
décroissent avec une augmentation de porosité.
Dans cette section, la plaque micro-perforée est considérée directement
couplée au matériau poreux sans cavité d’air entre les deux matériaux. La
plaque micro-perforée est en contact (sans collage) avec le matériau poreux.
Le comportement de cet assemblage est étudié expérimentalement et théo-
rétiquement à forts niveaux de pression pour le cas où ces matériaux sont
directement couplés à une paroi rigide et pour le cas où une cavité d’air est
insérée avant la paroi rigide. Les matériaux constituant le multi-couche sont
tous les deux modélisés suivant l’approche du fluide équivalent.
3.4.1 Matrice de transfert
La méthode de la matrice de transfert est utilisée ici pour déterminer l’impé-
dance de surface d’une MPP couplée à un matériau poreux comme le montre
la figure 3.5 où l’indice 1 (respectivement 2) est utilisé pour se référer aux pa-
ramètres de la MPP (respectivement du matériau poreux). Dans son principe
de base, la méthode de la matrice de transfert permet d’exprimer les para-
mètres physiques d’une extrémité d’une couche en fonction des paramètres
physiques de l’autre extrémité de cette couche. Dans un premier temps, la
propagation dans la MPP (région 1) est considérée et l’expression de la ma-
trice associée est construite. En utilisant les notations de la figure 3.5, l’ex-
135
Fig. 3.5 – Schéma représentatif d’un bicouche composé d’une MPP et d’un matériau poreux
et nomenclature utilisée. La région 1 est constituée de la MPP tandis que la région 2 est
constitué du matériau poreux.
pression de l’impédance Z1 de la MPP est donnée par
Z1 =p(−h+
1 )− p(0−)φ1u(−h+
1 ). (3.83)
Les expressions de pression et vitesse sont obtenues en appliquant les pro-
priétés de continuité au niveau des interfaces x = −h1 et x = 0. Soient le
point M1 situé dans la perforation à l’interface x = −h1 et le point M2 situé
dans le matériau poreux à l’interface x = 0. On a alors
p(−h−1 ) = p(−h+1 ), (3.84)
p(0−) = p(0+), (3.85)
u(−h−1 ) = φ1u(−h+1 ), (3.86)
φ1u(0−) = φ2u(0+). (3.87)
En supposant que la vitesse acoustique ne varie d’une interface à une autre
(hypothèse valide pour des échantillons minces), le système suivant est ob-
tenu {p(−h+
1 ) = p(0−) + Z1φ1u(0−)u(−h+
1 ) = u(0−), (3.88)
où Z1 est donnée suivant l’approche du fluide équivalent selon (AS07). En
définissant un vecteur V(x) = [p(x); φu(x)]T, avec l’exposant T représentant
la transposition, le système précédent devient
V(−h+1 ) = T1V(0−), (3.89)
136
avec T1 la matrice associée à la MPP et décrivant la propagation dans la
région 1 tel que
T1 =
(1 Z1
0 1
). (3.90)
Dans le cas où la plaque perforée est placée devant une cavité d’air et un
mur rigide, cette tortuosité de la MPP est corrigée d’après Atalla et Sgard
(AS07) par
α∞1(ω) = 1 +2εe1
h, (3.91)
et dans le cas où elle est placée devant un matériaux poreux on a
α∞1(ω) = 1 +εe1
h(1 + Real(α∞2)) , (3.92)
avec α∞2 la tortuosité dynamique du milieu poreux derrière la plaque micro-
perforée, εe1 = 0,48
√πr2(1-1,14
√φ1) étant la correction de longueur obtenue
par une approche modale dans le cas de perforations cylindriques et√
φ1 <
0, 4.
Dans un deuxième temps, la propagation dans le matériau poreux (ré-
gion 2) est considérée et l’expression de la matrice associée est également
construite. En considérant toujours la nomenclature de la figure 3.5, le terme
ejωt étant considéré mais volontaire omis, pour tout x ∈ [0, h2], pression et
vitesse sont données par
p(x) = ai2e−jk2x + ar2ejk2x, (3.93)
φ2u(x) =1
Z2(ai2e−jk2x − ar2ejk2x), (3.94)
avec k2 = ω/c2 le nombre d’onde et Z2 l’impédance caractéristique respecti-
vement donnés par 3.59 et 3.60 suivant l’approche de Johnson-Allard (All93)
du matériau poreux (région 2). Aux interfaces x = 0 et x = h2, pression et
vitesse deviennent alors
p(0+) = ai2 + ar2, (3.95)
φ2u(0+) =1
Z2(ai2 − ar2), (3.96)
et
p(h−2 ) = ai2e−jk2h2 + ar2ejk2h2 , (3.97)
φ2u(h−2 ) =1
Z2(ai2e−jk2h2 − ar2ejk2h2). (3.98)
Les propriétés de continuité (continuité de pression et continuité de débit)
appliquées à l’interface x = h2 sont
p(h−2 ) = p(h+2 ), (3.99)
137
φ2u(h−2 ) = φ3u(h+2 ), (3.100)
avec φ3 la porosité de la couche située après le matériau poreux. Pour obtenir
la matrice de transfert associée à la région 2, on exprime les coefficients ai2 et
ar2 en fonction de la pression et de la vitesse à l’interface x = 0. D’après (3.95)
et (3.96),
ai2 =12[p(0+) + Z2φ2u(0+)
], (3.101)
ar2 =12[p(0+)− Z2φ2u(0+)
]. (3.102)
En introduisant (3.101) et (3.102) dans les expressions (3.97) et (3.98) et en
utilisant les conditions aux limites on a alors
p(0+) = cos(k2h2)p(h+2 )− jZ2 sin(k2h2)φ3u(h+
2 ), (3.103)
φ2u(0+) = j1
Z2sin(k2h2)p(h+
2 ) + cos(k2h2)φ3u(h+2 ), (3.104)
à partir de cette dernière expression, la matrice de transfert T2 associée à la
région 2 est donnée par
T2 =
(cos(k2h2) −jZ2 sin(k2h2)
j 1Z2
sin(k2h2) cos(k2h2)
). (3.105)
Dans le cas où une couche d’air (région 3) est insérée après le matériau po-
reux et avant la paroi rigide, en suivant une démarche identique, on obtient
la matrice associée à la couche d’air par
T3 =
(cos(k0hcav) jZ0 sin(k0hcav)
j 1Z0
sin(k0hcav) cos(k0hcav)
), (3.106)
avec k0 le nombre d’onde dans l’air et hcav la profondeur de la cavité avant la
paroi rigide.
3.4.2 Prise en compte du régime non-linéaire
Pour prendre en compte le régime non-linéaire, la résistivité de chacun
des matériaux est modifiée suivant la loi de Forchheimer d’après l’équa-
tion (3.80). Ce qui revient à modifier la densité effective de chaque matériau
(le module de compressibilité reste celui du régime linéaire). Les coefficients
de Forchheimer trouvés à partir des résultats de mesures de chaque maté-
riau sont donnés dans la partie expérimentale de cette section. En suivant la
démarche d’Auregan et de Pachebat (AP99), la loi de Forchheimer s’écrit
σ = C1σ0Rep + (1 + C2)σ0. (3.107)
138
Une fois que la matrice associée à chaque couche est obtenue, le produit
direct des matrices permet d’obtenir la matrice globale du système T de l’as-
semblage et l’impédance de surface Zs du système global est donnée par
Zs =T(1, 1)T(2, 1)
. (3.108)
Les coefficients de réflexion Re f l et d’absorption α sont donnés par les ex-
pressions classiques
Re f l =Zs − Z0
Zs + Z0, (3.109)
α = 1−∣∣Re f l
∣∣2 . (3.110)
3.5 Partie expérimentale
3.5.1 Échantillons testés
Les mesures présentées dans cette section sont réalisées sur des échantillons
de plaques micro-perforées (MPP1 et MPP2) fabriqués en acier et de deux
matériaux poreux l’un étant de la mousse polyuréthane et l’autre étant le
feutre. Chaque échantillon testé a un diamètre externe de 100 mm corres-
pondant au diamètre interne du tube à impédance utilisé pour les mesures
(le tube à impédance étant celui utilisé dans les parties précédentes de ce tra-
vail). Les échantillons de plaques micro-perforées sont directement en contact
avec les matériaux poreux, les surfaces de chacun des matériaux étant bien
planes et verticales. Les paramètres des échantillons testés sont donnés dans
le tableau 3.1. Comme indiqué dans ce tableau, le système1 désigne l’assem-
blage constitué de la MPP1 posée sur le matériau poreux nommé Poreux1
tandis que le système2 désigne l’assemblage constitué de la MPP2 posée sur
le matériau poreux nommé Poreux2. Lors des mesures, une attention toute
particulière est prise pour s’assurer qu’il n’y ait aucune saturation des micro-
phones. Les mesures sont réalisées trois fois (la moyenne des mesures étant
considérée) avec une erreur de répétabilité de 5 × 10−5 sur le coefficient
d’absorption et de 6 × 10−5 sur l’impédance acoustique normalisée.
Pour comparer les résultats des différents assemblages d’échantillons
(Système1 et Système2) à une fréquence donnée, une variation de la profon-
deur de la cavité est effectuée. Dans un premier temps, la mesure est réalisée
dans la configuration où la MPP est posée sur le matériau poreux sans cavité
139
Système#1 Système#2
MPP#1 Poreux#1 MPP#2 Poreux#2
Epaisseur h (mm) 2,00 68,00 1,00 40,00
Diamètre de perforation d (mm) 0,70 - 0,50 -
φ (%) 1,94 99,00 0,52 95,00
σ0 (N.s.m−4) 61940 12000 452923 11700
α∞ - 1,001 - 1,260
Λ (µm) - 230,00 - 80,00
Λ′ (µm) - 250,00 - 240,00
Tab. 3.1 – Caractéristiques des échantillons et paramètres acoustiques (φ = porosité, σ0 =
résistivité, α∞ = tortuosité, Λ = longueur caractéristique visqueuse, Λ′ = longueur caracté-
ristique thermique).
d’air avant la paroi rigide. Ceci permet alors de localiser la fréquence de réso-
nance f0 de ce système. Dans un deuxième temps, pour la configuration MPP
seule + cavité d’air + paroi rigide et pour la configuration MPP + matériau
poreux + cavité d’air + paroi rigide, la profondeur de la cavité d’air est réglée
de telle sorte que le maximum du coefficient d’absorption (en fonction de la
fréquence) soit obtenu à la fréquence f0.
3.5.2 Résultats et discussion
La figure 3.6 représente la résistivité mesurée des plaques micro-perforées
MPP1 et MPP2 en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations
pour des profondeurs de cavité de 84 mm (cas de MPP1) et 72 mm (cas de
MPP2). Lorsqu’un milieu poreux ou perforé d’épaisseur fixe h est soumis
à une différence de pression ∆P, une vitesse d’écoulement prend place à
travers le matériau et la résistivité est définie par le ratio entre la différence
de pression et le produit de la vitesse par l’épaisseur du matériau. Le principe
de la résistivité est basée sur une approximation basse fréquence du modèle
de Lafarge-Allard (LLAT97). La résistivité qui est présentée sur la figure 3.6
est obtenue d’après
σ1 =Real{Zs}
h1, (3.111)
avec Real {Zs} la partie réelle de l’impédance de surface de la MPP couplé
à une cavité d’air et h1 est l’épaisseur de la plaque perforée. Les résultats de
mesures sont utilisés pour la détermination des constantes de Forchheimer
par approximation linéaire d’après l’équation (3.107). D’après les travaux de
140
Melling (Mel73), il est montré que l’approximation linéaire en régime non-
linéaire des plaques micro-perforées peut être considérée à partir d’un niveau
de pression incident de 130 dB. Dans un premier temps, dans l’approxima-
tion linéaire qui est effectuée sur nos résultats de mesures, seuls les points de
mesure équivalent à un niveau supérieur de 137 dB sont considérés, ceci afin
de garantir le domaine du régime non-linéaire. Ensuite, dans un deuxième
temps, les valeurs de coefficients obtenus sont celles qui conduisent à la plus
grande valeur du coefficient de corrélation linéaire. Les coefficients de Forch-
heimer C1 et C2 obtenus sont donnés dans le tableau 3.2. Dû à un défaut de
résistivimètre, les coefficients de Forchheimer des poreux classiques utilisés
n’ont pu être mesurés et ont de ce fait été obtenus par ajustement des résul-
tats de mesures. Il est à remarquer que ces coefficients sont dépendants de
la fréquence d’excitation. Deux fréquences d’excitation sont choisies, 442 Hz
pour la MPP1 et 348 Hz pour la MPP2. Ces fréquences correspondent aux
fréquences de résonance que l’on obtient lorsque les plaques micro-perforées
sont directement couplés aux matériaux poreux sans aucune cavité d’air. En-
suite, dans les cas avec une cavité d’air, les profondeurs de cavité d’air sont à
chaque fois réglées de façon à toujours obtenir la résonance à ces fréquences.
Fig. 3.6 – Résistivité σ des plaques micro-perforées MPP1 et MPP2 en fonction du nombre
de Reynolds dans les perforations. Profondeurs de cavité d’air de 84 mm (cas de MPP1) et
72 mm (cas de MPP2).
La figure 3.7 représente une comparaison des résultats de mesure et de
simulation du coefficient d’absorption à la résonance (maximum du coeffi-
cient d’absorption) des plaques micro-perforées MPP1 et MPP2 en fonction
141
MPP#1 Poreux#1 MPP#2 Poreux#2
C1 7, 4× 10−3 10−3 9× 10−3 10−3
C2 1, 3 10−2 1, 7 0, 95
Tab. 3.2 – Coefficients de Forchheimer des différents échantillons.
du nombre de Reynolds dans les perforations pour des profondeurs de ca-
vité de 84 mm (cas de MPP1) et 72 mm (cas de MPP2). Les simulations sont
données par le modèle de Johnson-Allard (All93) en utilisant la méthode de
la matrice de transfert pour les coefficients C1 et C2 précédemment obtenus.
On observe que comme prédit pour le cas de la MPP1, avec une augmenta-
tion du nombre de Reynolds dans les perforations, le maximum d’absorption
croît dans une première phase jusqu’à atteindre un maximum de 1 avant de
décroitre dans une deuxième phase. Le nombre de Reynolds optimal (valeur
du nombre de Reynolds après laquelle le maximum d’absorption décroît avec
une augmentation du niveau d’excitation) tel que décrit dans la première par-
tie de ce travail est clairement observable. Tandis que pour le cas de la MPP2,
le maximum d’absorption décroît avec l’augmentation du nombre de Rey-
nolds dans les perforations. Dans les cas d’échantillons, à faibles nombres de
Reynolds dans les perforations, la simulation se trouve dans un régime où le
modèle n’est plus valide. En fait ce comportement du maximum d’absorption
est désormais mieux connu (voir la première partie de ce travail) et décrit par
Tayong et al. (TDL10).
La figure 3.8 représente une comparaison des résultats de mesure et de
simulation du coefficient d’absorption à la résonance des Système1 (MPP1
posée sur Poreux1) et Système2 (MPP2 posée sur Poreux2) sans cavité d’air
en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations. On observe que
la présence du matériau poreux derrière la MPP a pour effet de diminuer le
nombre de Reynolds optimal. Si précédemment le nombre de Reynolds opti-
mal était observable pour le cas de la MPP1, présentement avec le matériau
poreux, ce nombre de Reynolds optimal n’est plus observable et le maximum
d’absorption dans les deux cas de systèmes décroît avec l’augmentation du
nombre de Reynolds dans les perforations. La diminution du nombre de Rey-
nolds optimal en présence du matériau poreux est due à une augmentation
de résistance du système. Le matériau poreux derrière la MPP a pour effet
d’augmenter la résistance acoustique. Cette augmentation est d’autant plus
considérable que l’on se trouve en régime non-linéaire. La comparaison entre
142
Fig. 3.7 – Coefficient d’absorption à la résonance des plaques micro-perforées MPP1 et MPP2
en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations. Profondeurs de cavité d’air de 84
mm (cas de MPP1) et 72 mm (cas de MPP2).
les mesures et le modèle semble bonne excepté à faibles nombres de Reynolds
pour les raisons précédemment évoquées.
Fig. 3.8 – Coefficient d’absorption à la résonance des Système1 et Système2 (sans cavité d’air)
en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
La figure 3.9 représente une comparaison du coefficient d’absorption en
fonction de la fréquence pour le Système1 (MPP1 posée sur Poreux1) sans
cavité d’air pour un niveau de pression incident de 145 dB (correspondant à
un nombre de Reynolds Rep dans les perforations de 492,5). On peut obser-
ver qu’autour de la fréquence de résonance (d’environ 442 Hz), la comparai-
143
son du modèle et des mesures donne de bons résultats. Loin en-deçà et loin
au-delà de la fréquence de résonance, le modèle sous-estime les mesures. Il
faut noter que les coefficients de forchheimer sont donnés uniquement pour
les fréquences de résonance. C’est pourquoi le modèle est bien valide à la
fréquence de résonance. Pour une meilleure précision du modèle, il est né-
cessaire que ces coefficients soient exprimés pour chaque fréquence étudiée.
Fig. 3.9 – Coefficient d’absorption en fonction de la fréquence pour le système1 sans cavité
d’air. Niveau de pression en entrée de 145 dB (correspondant à Rep = 492,5)
La figure 3.10 représente une comparaison des résultats de mesure et de
simulation du coefficient d’absorption à la résonance des Système 1 (MPP1
posée sur Poreux1) et Système 2 (MPP2 posée sur Poreux2) en fonction du
nombre de Reynolds dans les perforations avec une cavité d’air (de 25 mm
pour le Système1 et de 21 mm pour le système2) avant la paroi rigide. Les
épaisseurs des matériaux poreux, dans cette configuration, sont la moitié des
épaisseurs indiquées dans le tableau 3.1. On observe ici un comportement
similaire au cas avec le matériau poreux sans cavité d’air. Dans les deux cas
(Système1 et Système2), le nombre de Reynolds optimal n’est pas observable
ceci dû à la contribution en régime linéaire du matériau poreux. Quoique la
tendance du modèle semble bonne, en régime non-linéaire, le modèle sous-
estime quelque peu les mesures dans les deux cas présentés. Sachant que
l’effet de cavité d’air est un effet réactif, on est amené à penser qu’une autre
contribution résistive non-linéaire (probablement liée aux jets) prend place
dans le système.
144
Fig. 3.10 – Coefficient d’absorption à la résonance des Système1 et système2 (avec cavité
d’air) en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations. Profondeurs de cavité d’air
de 25 mm (derrière le système1) et 21 mm (derrière le système2).
La figure 3.11 représente une comparaison du coefficient d’absorption en
fonction de la fréquence pour le Système2 (MPP2 posée sur Poreux2) avec
une profondeur de cavité d’air de 21 mm avant la paroi rigide pour un ni-
veau de pression incident de 142 dB (correspondant à un nombre de Rey-
nolds Rep dans les perforations de 459,1). Les épaisseurs des matériaux po-
reux, dans cette configuration, sont la moitié des épaisseurs indiquées dans
le tableau 3.1. On peut observer un bon accord comme dans le cas sans cavité
d’air entre le modèle et les mesures autour de la fréquence de résonance et
qu’en dehors de cette fréquence de résonance, le modèle sous-estime les me-
sures. Pour une meilleure prédiction du modèle, il est nécessaire de trouver
une loi qui relie les coefficients de Forchheimer avec la fréquence.
Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, les absorbants multi-couches composés de plaques micro-
perforées, de matériaux poreux et de cavité d’air ont été étudiés théorique-
ment et expérimentalement sous forts niveaux d’excitation. L’étude théorique
sur les matériaux poreux a d’abord été présentée suivant les approches de
fluide équivalent (structure rigide) et le modèle de Biot (structure élastique).
La méthode de la matrice de transfert a été utilisée pour déterminer l’impé-
dance de surface des systèmes composés de plaques micro-perforées et de
145
Fig. 3.11 – Coefficient d’absorption en fonction de la fréquence pour le système2 avec 21 mm
de profondeur de cavité d’air avant la paroi rigide. Niveau de pression en entrée de 142 dB
(correspondant à Rep = 459,1)
matériaux poreux. Pour prendre en compte les effets du régime non-linéaire,
la résistivité à l’écoulement de chaque couche est modifiée suivant la loi de
Forchheimer. Deux échantillons de plaques micro-perforées (différents épais-
seurs, diamètre de trous et taux de perforation) et 2 échantillons de matériaux
poreux (mousse polyuréthane et feutre) ont été testés en couplage avec et sans
cavité d’air avant la paroi rigide. Les résultats de mesures ont été présentés
suivant un point de vue de la plaque micro-perforée (niveaux d’excitation
dans les perforations). Il a été expérimentalement montré que la présence
d’un matériau poreux derrière la plaque micro-perforée a pour effet d’aug-
menter la résistance tant en régime linéaire (LS06) qu’en régime non-linéaire.
Les comparaisons entre les maximums des coefficients d’absorption mésurés
et simulés en fonction du nombre de Reynolds donnent de bons résultats.
Les coefficients de Forchheimer étant déterminés aux fréquences de réso-
nance, les simulations du coefficient d’absorption en fonction de la fréquence
sont en bon accord avec les mesures autour de la fréquence de résonance.
Loin des fréquences de résonance, le modèle sous-estime les mesures. Ceci
suggère fortement une dépendance des coefficients de Forchheimer trouvés
avec la fréquence. Une telle relation ne ferait qu’améliorer les prédictions du
modèle.
C’est l’approximation de structure rigide (approche du fluide équivalent) qui
a été considérée dans ce travail.
146
4Perspectives
Sommaire
Notations du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1 Étude à plus haute fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Étude plus poussée des coefficients du modèle sous fort
niveau acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Modification de la tortuosité pour prendre en compte les
effets d’interaction entre perforations . . . . . . . . . . . . . 151
4.4 Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5 Étude théorique de l’acoustique du milieu poreux en ré-gime non-linéaire dans le cadre de la théorie de Biot . . . 152
4.6 Transparence acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.1 Le régime linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6.2 La transparence acoustique sous fort niveau acoustique . . . . 155
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
147
Notations du chapitre 4
AI Amplitude de la pression incidente
AR Amplitude de la pression réfléchie
AT Amplitude de la pression transmise
c0 Célérité de l’air
d Diamètre de perforation
h Épaisseur de la plaque
Imag Partie imaginaire
k Nombre d’onde
Ke Module de compressibilité effective
MPP Plaque micro-perforée (Micro-Perforated Plate en anglais)
p1 Pression acoustique dans l’espace z < 0
p2 Pression acoustique dans l’espace z > 0
Ra Coefficient de réflexion anéchoïque
Real Partie réelle
TL Indice d’affaiblissement
u1 Vitesse particulaire dans l’espace z < 0
u2 Vitesse particulaire dans l’espace z > 0
u Vitesse particulaire
Wtr Puissance transmise
Winc Puissance incidente
ZMPP Impédance acoustique de la MPP
φ taux de perforation de la MPP
ρ0 Densité de l’air
ρe Densité effective
τ Transparence acoustique
τa Coefficient de transmission anéchoïque
ω Pulsation
149
150
Un certain nombre d’études peuvent être entreprises dans des travaux
futures.
4.1 Étude à plus haute fréquence
L’étude des MPP sous fort niveau est à compléter par des excitations à des fré-
quences plus élevées. Avec ce type d’excitation, il est nécessaire de disposer
d’un matériel expérimental adapté. Les niveaux élevés de pression pouvant
être atteints dépendent non seulement des capacités de la source acoustique
mais aussi de leur système de contrôle, la détection comprise.
4.2 Étude plus poussée des coefficients du modèle
sous fort niveau acoustique
Certaines hypothèses, au sujet notamment des paramètres qui influencent la
valeur du coefficient K apparaissant dans le modèle du chapitre 1, mérite-
raient d’être étudiées plus profondément. Il est pensé qu’en plus de la forme
de l’embouchure de la perforation, la nature du matériau (sur la conduction
thermique) et certains paramètres liés à la turbulence sont d’une influence
non négligeable sur la valeur de K.
4.3 Modification de la tortuosité pour prendre en
compte les effets d’interaction entre perfora-
tions
Dans le chapitre 2, dans l’approche du fluide équivalent qui est utilisée, la
tortuosité géométrique est corrigée pour prendre en compte les effets d’inter-
action sous forts niveaux. Cette correction améliore la prédiction de la masse
ajoutée. Pour rendre cette correction plus complète, une modification de la
tortuosité dynamique pourrait être envisagée et plus étudiée.
151
4.4 Étude numérique
A notre connaissance, les effets d’interaction entre perforation n’ont presque
pas fait l’objet d’étude numérique. Un modèle numérique sur les effets d’in-
teraction à faibles et forts niveaux d’excitation apporterait certainement des
éléments essentiels dans la compréhension du comportement acoustique des
perforations.
4.5 Étude théorique de l’acoustique du milieu po-
reux en régime non-linéaire dans le cadre de la
théorie de Biot
Une étude ambitieuse serait celle de la propagation acoustique dans les mi-
lieux poreux saturés de fluide en régime non-linéaire dans le cadre de la
théorie de Biot.
4.6 Transparence acoustique
Enfin pour compléter ce travail, la transparence sous forts niveaux d’exci-
tation pourrait être étudiée analytiquement, numériquement et expérimen-
talement avec ou sans effets d’interaction. Sur ce sujet, des éléments de
réponse sont présentés dans les paragraphes qui suivent dans une confi-
guration simple d’incidence normale. Cette section est une introduction à
l’étude de la transparence acoustique des systèmes incorporant des plaques
micro-perforées sous forts niveaux d’excitation. Le coefficient de transmis-
sion acoustique τ est défini comme le rapport de la puissance transmise Wtr
sur la puissance incidente Winc, soit
τ =Wtr
Winc. (4.1)
Il est d’usage de l’exprimer en dB sous la forme de l’indice d’affaiblissement
TL (en anglais Transmission Loss) donné par
TL = 10 log1τ
. (4.2)
152
4.6.1 Le régime linéaire
On considère une plaque micro-perforée d’épaisseur h, de diamètre de trous
d et de taux de perforation φ, placée entre deux milieux semi-infinis (z < 0
et z > 0 sur la figure 4.1). La plaque micro-perforée est supposée latérale-
ment infinie et mince de telle sorte que la vitesse particulaire en entrée des
perforations (vitesse pariétale) est la même en sortie.
Fig. 4.1 – Plaque micro-perforée (MPP) délimitant deux espaces semi-infinis en incidence
normale. Le milieu de propagation est l’air. AI , AR et AT représentent respectivement l’am-
plitude de pression incidente, réfléchie et transmise. p1 et p2 sont les pressions acoustiques
de part et d’autres de la MPP.
Lorsque la structure est excitée par une onde plane sous incidence nor-
male dans l’espace semi-infini z < 0, les champs de pression acoustique et
de vitesse particulaire dans les deux espaces semi-infinis sont :
Espace semi-infini z < 0 :
p1(z) = AIe−jkz + ARejkz et u1(z) =AI
ρ0c0e−jkz − AR
ρ0c0ejkz, (4.3)
Espace semi-infini z > 0 :
p2(z) = ATe−jkz et u2(z) =AT
ρ0c0e−jkz, (4.4)
avec k le nombre d’onde, ρ0 la densité de l’air et c0 la célérité du son dans l’air.
La MPP étant considérée comme mince, nous pouvons appliquer la conti-
nuité des vitesses normales particulaires de chaque côté. A noter que la MPP
est vue globalement et non localement et de ce fait, la contribution des per-
forations est traitée globalement et pas localement. L’expression générale de
l’impédance de la MPP est donnée par
ZMPP =∆pup
, (4.5)
153
avec ∆p = p1(0−)− p2(0+), up la vitesse dans les perforations. A noter que
du fait que la MPP est considérée mince, les mouvements de la MPP peuvent
diminuer les phénomènes de viscosité et modifier l’affaiblissement. L’expres-
sion de l’impédance de la MPP peut inclure l’impédance de vibration de la
structure décrite au paragraphe 1.3.5. Cette impédance peut être décompo-
sée en une partie réelle Real {ZMPP} et une partie imaginaire Imag {ZMPP}et écrite sous la forme
ZMPP = Real{ZMPP}+ jImag{ZMPP}. (4.6)
Le facteur de transmission est
τ =Wtr
Winc=|AT|2
|AI |2, (4.7)
et l’indice d’affaiblissement (TL) est
TL = 10 log1τ
= 10 log|AI |2
|AT|2. (4.8)
avec les conditions limites en z = 0, on a
AI + AR − AT = upZMPP, (4.9)
et la relation de continuité conduit à deux équations
u1(0−) = u2(0+)⇒ AI − AR = AT, (4.10)
up =u2(0+)
φ⇒ up =
φAT
φρ0c0. (4.11)
avec φ le taux de perforation de la MPP. En utilisant l’expression de AR et de
la vitesse particulaire up dans la perforation de la MPP on a alors
AT =2φρ0c0
2φρ0c0 + ZMPPAI , (4.12)
et le facteur de transmission est
τ =|AT|2
|AI |2=
4(ρ0c0)2φ2
(2φρ0c0 + (Real {ZMPP})2 + (Imag{ZMPP})2 , (4.13)
TL = 10 log[(2φρ0c0 + Real {ZMPP})2 + (Imag{ZMPP})2
4(ρ0c0)2φ2
]. (4.14)
154
4.6.2 La transparence acoustique sous fort niveau acoustique
La faisabilité d’une approche fluide équivalent, pour modéliser la transpa-
rence acoustique sous forts niveaux acoustiques des matériaux poreux, a été
montré par Pachebat (Pac97). Dans ses travaux, il est montré que les coef-
ficients de transmission et de réflexion anéchoïques peuvent s’écrire sous la
forme
τa =1
cos(Keh) + j Z2s +12Zs
sin(Keh), (4.15)
Ra =j Z2
s−12Zs
sin(Keh)
cos(Keh) + j Z2s +12Zs
sin(Keh), (4.16)
avec Ke le module de compressibilité effective, h l’épaisseur de la MPP et
Zs = ZcφZ0
où Z0 est l’impédance caractéristique de l’air et Zc l’impédance
caractéristique de l’échantillon testé. Dans l’application de ce modèle, la ré-
sistivité du matériau est modifiée pour prendre en compte le régime sous
forts niveaux d’excitation. On obtient ainsi une densité effective du modèle
de Johnson-Allard (All93) qui dépend du niveau acoustique.
La validation expérimentale de cette approche sur des systèmes incor-
porant des MPP et des matériaux poreux peut être réalisée en tube à im-
pédance. L’utilisation d’une terminaison anéchoïque rajoute des difficultés
pour obtenir des forts niveaux acoustiques sur les systèmes. Cette condition
de terminaison permet le plus souvent de minimiser les erreurs de mesure
et de limiter l’apparition d’harmoniques supérieurs (Pac97). Plusieurs mé-
thodes de mesures du coefficient de transmission en tube à impédance sont
possibles (Cf. (Pan09), (YP09), (Yah09)).
Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, des perspectives envisagées pour ce travail sont citées et
l’étude sur la transparence acoustique sous forts niveaux est introduite. Si cer-
taines de ces perspectives peuvent être rapidement mises en oeuvre, d’autres
à l’instar de l’étude théorique de l’acoustique du milieu poreux en régime
non-linéaire dans le cadre de la théorie de Biot nécessiteront un temps et une
étude plus approfondie.
155
Conclusion générale
Dans le cadre de cette thèse, nous nous sommes intéressés à l’étude
acoustique en approches analytique et expérimentale des systèmes incor-
porant des plaques micro-perforées (MPP en anglais pour Micro-Perforated
Panels) et des matériaux poreux sous forts niveaux d’excitation. Ces travaux
ont abordé plus précisément le comportement de tels systèmes en régime
non-linéaire de niveaux de pression et ont ouvert la voie vers des outils
de conception de systèmes efficaces, en vue d’une amélioration du confort
acoustique.
Au cours de cette étude, nous avons noté un certain nombre de résultats
intéressants :
1. Nous avons étudié la variation du maximum du coefficient d’absorp-
tion des MPP couplées à une cavité d’air et une paroi rigide et sou-
mises aux forts niveaux d’excitation. Un modèle de prédiction de l’im-
pédance acoustique en régime de forts niveaux d’excitation a été dé-
veloppé, intégrant deux paramètres adimensionnels et un nombre de
Mach optimal. Il a été montré par des mesures au tube à impédance
que le pic d’absorption dû aux perforations augmente avec le nombre
de Mach dans une première phase jusqu’à atteindre une valeur maxi-
male égale à 1 pour un nombre de Mach optimal et ensuite décroît dans
une deuxième phase. Ce comportement n’est observable que si la valeur
optimale du nombre de Mach se trouve au-delà de la limite entre les ré-
gimes linéaire et non-linéaire de l’échantillon perforé. En revanche, si
ce nombre de Mach optimal se trouve en deçà de la limite des régimes
linéaire/non-linéaire, le pic d’absorption décroît avec l’augmentation
du niveau d’excitation.
2. L’influence de la vibration de la plaque sur les propriétés acoustiques
de la MPP a été examinée sous forts niveaux d’excitation. Des résultats
expérimentaux ont permis d’observer le fait que les pics d’absorption
provoqués par les modes de vibrations de la structure fine ne sem-
blaient pas être influencés par les niveaux d’incidence (<150 dB). Ces
157
effets vibratoires ont été intégrés dans les modèles de prédiction sui-
vant une analogie électro-acoustique. La comparaison avec les mesures
semblent correcte.
3. Les effets d’interaction entre les perforations ont fait l’objet d’une étude
analytique et expérimentale. Il a été observé que les modèles classiques
tels que l’approche par la fonction de Fok [Fok41] et l’approche adap-
tée aux MPP du modèle de Keefe [Kee83] ne sont pas appropriées pour
modéliser les effets d’interaction sous forts niveaux d’excitation. A par-
tir de l’approche fluide équivalent adaptée pour les MPP, une correction
de la tortuosité géométrique est proposée. La résistance acoustique est
modélisée par la modification de la résistivité de la MPP suivant la loi
parabolique de Forchheimer. Deux groupes d’échantillons ont été fabri-
qués et testés. Dans ces deux groupes, la distance entre les perforations
varie d’un échantillon à un autre. Pour l’un des groupes, le taux de
perforation varie tandis que pour l’autre, le taux de perforation reste
constant. L’étude de ces deux groupes d’échantillons permet de décou-
pler les effets d’interaction de la variation du taux de perforation. Il a
été montré que dans le cas où le taux de perforation varie, l’impédance
acoustique et le coefficient d’absorption du système étaient considéra-
blement modifiés. Tandis que dans le cas où le taux de perforation est
constant, l’effet d’interaction en présence des effets de turbulence reste
faible et modifie très peu l’impédance acoustique. Dans le cas où le taux
de perforation varie, le modèle proposé et les mesures se corroborent
bien.
4. Du résultat précédent, il a été observé que la variation du taux de per-
foration a une influence considérable sur les valeurs des pentes de la
résistance en fonction du nombre de Reynolds dans les perforations.
L’effet d’interaction, à lui tout seul, a une influence moindre sur ces
pentes. Il a été constaté que le nombre de Reynolds optimal variait avec
le taux de perforation mais semblait ne pas varier avec la distance entre
les perforations. Pour obtenir un meilleur pic d’absorption pour une
MPP couplée à une cavité d’air, il sera très souvent nécessaire de faire
un compromis entre le régime linéaire ou non-linéaire et un faible ou
un fort taux de perforation. En régime linéaire, c’est un faible taux de
perforation qui fournit un meilleur coefficient d’absorption à la réso-
nance tandis qu’en régime non-linéaire, c’est un taux de perforation
élevé qui fournit un meilleur coefficient d’absorption à la résonance.
158
Pour éviter de faire face à ce compromis, un système multi-MPP à taux
de perforation décroissants est proposé et décrit.
5. Les multi-couches composés de MPP et de matériaux poreux classiques
ont été modélisés sous forts niveaux d’excitation par l’approche fluide
équivalent. Le couplage entre les différentes couches est considéré par
utilisation de la méthode de la matrice de transfert et le régime non-
linéaire est décrit, pour chaque couche, par une loi de Forchheimer. Le
comportement acoustique de ces multi-couches avec une augmentation
du niveau d’excitation a été expérimentalement étudié pour deux cas
particuliers : le cas où la MPP et le matériaux poreux étaient directement
collés à la paroi rigide et le cas avec ajout d’une cavité d’air avant la
paroi rigide. Il a été observé que le matériau poreux derrière la MPP a
pour effet de diminuer le nombre de Reynolds optimal par rapport au
nombre de Reynolds optimal sans matériau poreux. Particulièrement
pour le cas avec une cavité d’air, la modélisation fluide équivalent se
révèle moins précise. Cette dernière doit être améliorée.
L’étude sous forts niveaux d’excitation des systèmes incorporant des MPP
seules ou avec des matériaux poreux classiques est un vaste sujet auquel nous
espérons avoir apporté une contribution. Malgré tout, il reste de nombreuses
questions ouvertes qui ouvrent sur des perspectives intéressantes.
159
AAnnexes
161
BCaractéristiques de l’air
0˚C 20˚C
Pression atmosphérique P0 (Pa) 101325 101325
Masse volumique ρ0 (kg.m−3) 1, 292 1, 204
Masse molaire de l’air sec M (g/mol) 28, 9644 28, 9644
Capacité calorifique à pression constante cp (J.mol−1.K−1) 29, 07 29, 19
Capacité calorifique à volume constant cv (J.mol−1.K−1) 20, 7643 20, 85
Rapport des chaleurs spécifiques γ 1, 4 1, 4
Viscosité dynamique η (Pa.s) 1, 74× 10−5 1, 84× 10−5
Impédance caractéristique Z0 (kg.m−2.s−1)) 428, 4 413.2
Conductivité thermique k (W/(m.K)) 0, 025 0, 025
Nombre de Prandtl B = cpη/k 0, 7 0, 71
La vitesse du son dans l’air c0 est donnée en fonction de la température
ambiante T0 de l’air par la relation
c0 =
√γP0
ρ0=√
γRT0, (B.1)
avec γ le rapport des chaleurs spécifiques, P0 la pression atmosphérique, ρ0
la densité et R la constante des gaz parfaits pour l’air.
163
CImpédance acoustique d’une
plaque mince non perforée
couplée à une cavité d’air et une
paroi rigide
Cet annexe présente les calculs qui conduisent à la détermination de l’im-
pédance acoustique d’une plaque mince non perforée couplée à une cavité
d’air et une paroi rigide.
Considérons une plaque mince nue (non perforée) de dimensions Lx sui-
vant l’axe des x et Ly suivant l’axe des y et couplée à une cavité d’air et
une paroi rigide. Soit w le déplacement transversal de la plaque, ET l’éner-
gie totale du système formé (plaque + cavité). Si lors d’une sollicitation
acoustique la plaque se déplace de δw, alors le changement induit sur ET
est [(δET/δ 〈w〉).δ 〈w〉] et est égale, d’après le Principe des Travaux Virtuels
(PTV), au travail des forces en présence qu’elles soient virtuelles ou réelles,
c’est-à-dire (Sil05)
∂Ecp
∂ 〈w〉 .∂ 〈w〉+∂Epp
∂ 〈w〉 .∂ 〈w〉+∂Ecav
∂ 〈w〉 .∂ 〈w〉 = Fpejωt.∂ 〈w〉 , (C.1)
avec Ecp l’énergie cinétique de la plaque, Epp l’énergie potentielle de la
plaque, Ecav l’énergie potentielle de la cavité d’air, Fp les efforts en présence
s’exerçant autour de la plaque, t est la variable temps et ω la pulsation. Le
symbole 〈〉 est utilisé pour représenter la moyenne. A noter que nous négli-
geons l’énergie cinétique de la cavité d’air du fait que sa masse est négli-
165
166
C. Impédance acoustique d’une plaque mince non perforée couplée à une cavité d’air etune paroi rigide
geable. L’équation C.1 reflète l’équilibre global des travaux virtuels écrit dans
sa forme générale.
C.0.3 Détermination de l’énergie cinétique de la plaque
L’énergie cinétique d’une plaque en vibrations est donnée par (Cha09) par
Ecp =MS
2
Lx∫0
Ly∫0
(∂w∂t
)2dxdy, (C.2)
où MS représente la masse surfacique de la plaque. On montre que cette
expression, après projection dans une base orthonormée, s’écrit en utilisant
les propriétés de cette base sous la forme
Ecp =MSL2
x2 ∑
m∑n
Amn 〈 ˙wmn〉2, (C.3)
avec Amn la constante modale du mode (m,n) et ¯wmn la vitesse de la plaque
due au mode (m,n).
C.0.4 Détermination de l’énergie potentielle de la plaque
Pour une plaque en vibrations encastrée sur ses bords (déplacement des
bords nul), l’énergie potentielle est donnée par
Epp =Drig
2
Lx∫0
Ly∫0
((∂2w∂x2 )2+(
∂2w∂y2 )2+2(
∂2w∂x∂y
))dxdy, (C.4)
avec
Drig =Eh3
12(1− ν2p)
, (C.5)
où E est le module d’Young et νp le coefficient de Poisson. Comme le dépla-
cement peut s’écrire en fonction de la déformée modale suivant l’expression
w = ∑m
∑n
φmn f (x)g(y), (C.6)
avec φmn la déformée modale du mode (m,n), f (x) la déformée suivant l’axe
des x, g(y) la déformée suivant l’axe des y, on a alors
Epp =Drig
2
Lx∫0
Ly∫0
[∑m
∑n
φmng(y)∂2 f (x)
∂x2
]2
+
[∑m
∑n
φmn f (x)∂2g(y)
∂y2
]2
+ 2
[∑m
∑n
φmn∂ f (x)
∂x∂g(y)
∂y
]2
dxdy. (C.7)
167
On montre que les sommes des termes croisés formés dans les crochets sont
toutes nulles. En intégrant, puis en réduisant l’expression C.7 par projection
dans une base orthonormée, on obtient, en utilisant les propriétés de cette
base, l’expression C.8 en fonction du déplacement moyen 〈wmn〉
Epp =Drig
2L2x
∑m
∑n
Bmn 〈wmn〉2 , (C.8)
C.0.5 Détermination de l’énergie potentielle de la cavité
La cavité derrière la plaque étant complètement fermée, la quantité d’air pré-
sente agit comme un ressort qui va emmagasiner de l’énergie. On suppose, à
cause de la très faible inertie de la cavité, que son énergie cinétique est négli-
geable. En absence d’ondes stationnaires dans la cavité, la raideur du ressort
constitué est constante et l’énergie potentielle est donnée par
Ecav =γP0
2V(δV)2, (C.9)
avec V le volume de la cavité, P0 la pression atmosphérique, γ le rapport des
chaleurs spécifiques de l’air. En considérant la plaque de dimension carrée,
l’expression C.9 devient
Ecav =γP0
2DcavL2
x(∑m
∑n〈wmn〉)2. (C.10)
Les énergies étant déterminées et exprimées toutes en fonction du dépla-
cement moyen 〈wmn〉, l’expression du PTV (expression C.1) devient alors
L2x MS Amn 〈wmn〉+
Drig(1 + jηmn)L2
xBmn 〈wmn〉+
γP0L2x
Dcav∑m
∑n〈wmn〉 = Fpejωt,
(C.11)
avec ηmn le facteur de perte de la plaque qui dépend du mode. En considérant
une répartition homogène des forces de pression s’exerçant sur la plaque
carrée (devant et derrière) on a
Fp = (p1 − p2)Sxy = ∆pL2x, (C.12)
où p1 (resp. p2) est l’amplitude de la pression qui s’exerce sur la face avant
(resp. arrière) et Sxy est la surface de la plaque carrée.
l’expression du PTV est alors au final
MS Amn 〈wmn〉+Drig(1 + jηmn)
L4x
Bmn 〈wmn〉+γP0
Dcav∑m
∑n〈wmn〉 = ∆pejωt.
(C.13)
168
C. Impédance acoustique d’une plaque mince non perforée couplée à une cavité d’air etune paroi rigide
Cette dernière expression est l’équation de mouvement de la plaque non-
perforée à un mode (m,n) donné. Dans ces équations, les déformations dues
au cisaillement et les effets de l’inertie de rotation sont négligées. A cause de
ces approximations, l’expression est valable pour les plaques minces (c’est-à-
dire quand l’épaisseur est très petite devant les dimensions de la plaque).
L’impédance acoustique Zvib du système formé est donnée par l’expres-
sion
Zvib =∆p〈us〉
, (C.14)
avec 〈us〉 la vitesse moyenne de l’ensemble des modes de la plaque donnée
par
〈us〉 = ∑m
∑n〈umn〉, (C.15)
En ne considérant que les quatre premiers modes impairs solutions de l’équa-
tion (les modes pairs ne pouvant être excités sous l’action d’une distribution
uniforme de forces de pression), c’est-à-dire les modes (1,1),(1,3),(3,1) et (3,3),
et en supposant que les modes (1,3) et (3,1) sont identiques, on obtient sous
forme matricielle l’équation∣∣∣∣∣∣∣∣C(1, 1) C(1, 2) C(1, 3)C(2, 1) C(2, 2) C(2, 3)C(3, 1) C(3, 2) C(3, 3)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈u11〉〈u13〉〈u33〉
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∆p
∆p
∆p
∣∣∣∣∣∣∣∣ , (C.16)
avec
C(1, 2) = C(3, 2) = −j(2γP0
ωDcav), (C.17)
C(2, 1) = C(3, 1) = C(3, 1) = C(2, 3) = −j(γP0
ωDcav), (C.18)
et
C(n, n) =BnnDrigηnn
ωL4x
+ j(ωMS Ann −BnnDrig
ωL4x− γP0
ωDcav), (C.19)
où n=1,2 ou 3.
En inversant l’équation C.16, on détermine aisément 〈u11〉, 〈u13〉 et 〈u33〉qui permettent d’obtenir l’expression complète C.14. L’expression générale
de l’impédance acoustique de la plaque non perforée couplée à une cavité
d’air se réduit à
Zvib = jωMS Amn +1
jω
[Drig(1 + jηmn)
L2x
Bmn +ρ0c2
0Dcav
], (C.20)
Les valeurs des constantes modales (FM69) pour une plaque en condition
limite encastrée sont :
169
A11 = 2, 02 et B11 = 2, 64× 103 (C.21)
A13 = 10, 8 et B13 = 1, 89× 105 (C.22)
A31 = 10, 8 et B31 = 1, 89× 105 (C.23)
A33 = 57, 1 et B33 = 2, 79× 106 (C.24)
DAnalyse dimensionnelle de la
propagation dans les
perforations sous fort niveau
D.0.6 Rappel général du théorème de Buckingham
Soient les définitions suivantes :
J étant le nombre de paramètres indépendants du problème.
j1 étant le nombre de dimensions de base trouvées dans les n paramètres.
j2 étant le nombre de dimensions de base nécessaires à considérer simultané-
ment.
Π étant le nombre de termes Π-indépendants qui peut être identifié pour
décrire le problème, Π = J − j2.
Les étapes à suivre pour l’analyse adimensionnelle sont
1. Lister les J paramètres du problème.
2. Exprimer les dimensions de chaque paramètre en utilisant les dimen-
sions de base (M, L, t, θ) c’est-à-dire masse, longueur, temps et angle.
Compter le nombre des dimensions de base utilisé, j1, dans l’ensemble
des paramètres considérés.
3. Trouver le nombre j2 en supposant initialement j2 = j1 et chercher les
paramètres répétés qui ne forment pas un produit Π. Si ce n’est pas
possible, réduire j2 par un et répéter la procédure.
4. Choisir j2 paramètres répétés qui ne forment pas le produit Π.
5. En choisissant les paramètres non répétés, un par un, et mettant en-
semble avec les paramètres répétés, former les Πi, puis trouver algébri-
quement les puissances de chaque paramètre répété pour faire les Π
sans dimensions.
171
172 D. Analyse dimensionnelle de la propagation dans les perforations sous fort niveau
6. Ecrire la combinaison de Π ainsi trouvée dans une forme de fonction
Πi = f (Π1, Π2, ...Πi)
D.0.7 Application pour trouver le coefficient a
En supposant que a dépend non seulement des paramètres de la plaque per-
forée, mais aussi du milieu de propagation, on va écrire pour l’étape 1
a = dlhmφnρo0µpcq
0. (D.1)
Pour l’étape 2, on dresse le tableau de dimensions suivant avec h l’épaisseur
Tab. D.1 – Table des dimensions des paramètres considérés.
Paramètres h d φ ρ0 µ c0
Dimensions L L M.M−1 M.L−3 M.L−1.t−1 L.t−1
de la plaque, d le diamètre de perforation, φ le taux de perforation, ρ la
densité de l’air, µ la viscosité dynamique de l’air, c0 la célérité du son dans
l’air. A partir du précédent tableau, on obtient le nombre de base utilisée. On
a les bases M (masse), L (longueur) et t (temps) d’où nombre de base utilisée
= 3.
Pour l’étape 3, on avons noté
J le nombre de paramètres indépendants de notre problème.
j1 le nombre de dimensions de base trouvées dans les J paramètres ;
j2 étant le nombre de dimensions de base nécessaires à considérer simulta-
nément ;
Π le nombre de termes Π-indépendants qui peut être identifié pour décrire
notre problème, Π = J − j2.
D’après les étapes 1 et 2, on a donc J = 6 et j1 = 3.
On va supposer initialement que j2 = j1 et on considère (h, ρ0, c0) comme
les paramètres répétés qui ne forment pas un produit adimensionnel. En effet,
aucune combinaison de ces 3 paramètres ne peut éliminer la masse M de la
densité et le temps t de la célérité.
En étape 4, on a Π = J− j2 ⇒ Π = 6− 3 = 3. D’où l’on a trois paramètres
Π-indépendants à trouver qui seront notés Π1, Π2 et Π3.
En étape 5, il s’agit de trouver Π1, Π2 et Π3.
Π1 = dlhmρo0cq
0, (D.2)
173
d’où on écrira
Π1 = Ll.Lm(M.L−3)o.(L.t−1)q, (D.3)
et d’après le théorème de Vashi-Buckingham (Buc14), pour que la dimension
de Π1 soit sans dimension, il faut que la puissance de chaque dimension de
base soit zéro. En prenant la somme des puissances de chaque dimension de
base, nous pouvons écrireMasse : o = 0
Longueur : l + m− 3o + q = 0
temps : −q = 0
, (D.4)
qui se réduit à o = q = 0 et l = m, d’où on a Π = hld−l
Π1 =(
hd
)l. (D.5)
En procédant de la même façon pour Π2 et Π3, on obtient
Π2 =(
hρ0c0
µ
)m, (D.6)
et
Π3 = φn. (D.7)
Finalement, le coefficient de non-linéarité a est une fonction des trois Π-
termes indépendants. On écrit
a = f (π1, π2, π3) = f[(
dh)l, (
hρ0c0
µ)m, φn
]. (D.8)
Le théorème de Vashi-Buckingham (Buc14) stipule que les Π-termes peuvent
être combinés entre eux de façon à obtenir un nouveau Π-terme qui soit une
combinaison des autres. le coefficient de non-linéarité a sera choisi comme le
produit de Π1, Π2 et Π3 et on aura donc
a = K(dh)l(
hρ0c0
µ)mφn. (D.9)
avec K une constante adimensionnelle qui prend en compte les disparités qui
ne font pas partie des paramètres pré-cités. L’expression de a ainsi trouvée
nous donne une information générale mais ne nous fournit pas une expres-
sion exacte sur a (les puissances étant indéterminées). Il faut donc une autre
méthode qui nous permettra de les identifier. La loi parabolique de Forchhei-
mer pour les poreux est la méthode retenue pour identifier ces puissances.
EDétermination de pression et
vitesse pariétales
Le terme pariétal est très souvent utilisé en acoustique de matériau pour
désigner la surface de celui-ci. Dans cet annexe, nous décrivons les étapes de
calculs qui permettent d’obtenir l’expression de la pression et de la vitesse
en surface de l’échantillon (au microphone 3 sur la Fig. (E.1)) à partir des
résultats de mesures de pressions aux microphones 1 et 2.
Fig. E.1 – Propagation acoustique dans le tube à impédance. Calcul de la pression et de la
vitesse pariétales.
L’expression générale de la pression dans un tube est donnée par
p(x) = Ae−jk0x + Bejk0x, (E.1)
et l’expression de la vitesse est donnée par
u(x) =1
ρ0c0(−Ae−jk0x + Bejk0x), (E.2)
avec k0 le nombre d’onde dans l’air, ρ0 la densité de l’air, c0 la célérité du
son dans l’air (ρ0c0 = Z0 est l’impédance caractéristique de l’air). A partir de
l’expression (E.1), les expressions des pressions aux points des microphones
1, 2 et 3 sont données par
p1 = Aejk0x1 + Be−jk0x1 , (E.3)
175
176 E. Détermination de pression et vitesse pariétales
p2 = Aejk0x2 + Be−jk0x2 , (E.4)
p3 = A + B, (E.5)
En multipliant l’expression (E.3) par ejk0x2 et l’expression (E.4) par ejk0x1 ,
puis en faisant la différence des deux équations obtenues, l’on obtient
p1ejk0x2 − p2ejk0x1 = B[ejk0(x2−x1) − ejk0(x1−x2)
], (E.6)
expression qui permet de déduire que
B =p1ejk0x2 − p2ejk0x1
ejk0(x2−x1) − ejk0(x1−x2), (E.7)
et qui se réduit à
B =p1ejk0x2 − p2ejk0x1
2j sin k0(x2 − x1). (E.8)
A partir de l’expression (E.3), l’on peut écrire que
Aejk0x1 = p1 − Be−jk0x1 , (E.9)
et en remplaçant l’expression (E.8) dans l’expression (E.9), puis en réduisant
l’on obtient
A =−p1e−jk0x2 + p2e−jk0x1
2j sin k0(x2 − x1). (E.10)
Finalement en remplaçant les expression de A et B obtenues dans l’expres-
sion (E.5), on a après réduction
p3 =p1 sin(k0x2)− p2 sin(k0x1)
sin k0(x2 − x1), (E.11)
qui est l’expression de la pression pariétale et d’après l’expression (E.2), la
vitesse au point du microphone 3 est donnée par
u3 =−A + B
ρ0c0, (E.12)
ce qui permet, à partir des expressions de A et B précédemment trouvées
d’écrire
u3 = jp2 cos(k0x1)− p1 cos(k0x2)
Z0 sin k0(x2 − x1), (E.13)
qui est l’expression de la vitesse pariétale. En considérant h12 = p2/p1
comme la fonction de transfert entre les microphones 1 et 2, les expressions
de la pression et de la vitesse pariétales ( (E.11) et (E.13)) deviennent
p3 = p2sin(k0x2)− h12 sin(k0x1)
h12 sin k0(x2 − x1), (E.14)
177
pour la pression pariétale et
u3 = jp2h12 cos(k0x1)− cos(k0x2)
h12Z0 sin k0(x2 − x1), (E.15)
pour la vitesse pariétale.
FBrève présentation des modèles
de Maa et d’Hersh et al. sous
fort niveau d’excitation
F.1 Le modèle de Maa sous fort niveau d’excitation
Dans ses récents travaux sur les plaques micro-perforées soumises aux forts
niveaux d’excitation, Maa (Maa94) révèle que la non-linéarité acoustique as-
sociée aux forts niveaux d’excitation dans les MPP est un phénomène externe
aux perforations. En d’autres termes, la composante de l’impédance acous-
tique liée aux effets internes ne dépend pas du niveau d’excitation. A partir
de résultats de mesures effectuées, Maa (Maa94) observe que la réactance
de la MPP diminue avec l’augmentation du niveau d’excitation donnée en
vitesse et propose que la correction de longueur (due au rayonnement) soit
dépendante à la fois du nombre de Mach en entrée de perforation et du taux
de perforation. Ainsi, il propose d’associer le facteur upφc0
à l’impédance acous-
tique zmpp de la MPP. A fort niveau d’excitation, cette impédance acoustique
est donnée par
zmpp = Re{zmpp}+ Im{zmpp} (F.1)
où la résistance acoustique Re{zmpp} est donnée par
Re{zmpp} =32νhφc0d2
√1 +k2
p
32+
√2kpd8h
+up
φ2c0(F.2)
et la réactance acoustique Im{zmpp} est exprimée par
Im{zmpp} =h
φc0
1 +1√
32 + k2p
2
+ 0.85d
h(
1 + upφ2c0
) . (F.3)
avec up la vitesse dans la perforation, les autres paramètres sont tels que
définis dans le chapitre 1.
179
180F. Brève présentation des modèles de Maa et d’Hersh et al. sous fort niveau d’excitation
F.2 Le modèle d’Hersh et al. sous fort niveau d’exci-
tation
A partir des équations de conservation de la masse et du moment dans une
direction verticale appliquées à une seule perforation, Hersh et al. (HWC03)
fournissent une expression générale de l’impédance acoustique d’une MPP
ramenée à l’ensemble des perforations sous l’hypothèse d’absence de toute
interaction entre les perforations. Ainsi, d’après Hersh et al. (HWC03), l’im-
pédance acoustique de la MPP se donne par
zmpp = Re{zmpp}+ Im{zmpp} (F.4)
où la résistance acoustique Re{zmpp} est donnée par
Re{zmpp} =
√P0(1− CD)ρ0CDc2
0φ2+(
RL
2ρ0c0
)2
+RL
2ρ0c0(F.5)
avecRL
ρ0c0=
νhφc0d2
(Kss + Kac
√ωd2
ν
)(F.6)
et la réactance acoustique Im{zmpp} est exprimée par
Im{zmpp}ρ0c0
=ωHφc0
. (F.7)
Les constantes CD, Kss et Kac, qui dépendent du rapport h/d, sont dé-
terminées de façon empirique et H est une fonction qui dépend du niveau
d’excitation, de la fréquence d’excitation et de la géométrie de la perforation.
Les expressions de ces paramètres sont également rappelées dans (CSC06).
Expressions des paramètres liés aux pertes visqueuses acoustique Kac et
statique Kss
Kac = 3 + 2, 32(
hd
)−1
(F.8)
Kss = 13 + 10, 23(
hd
)−1,44
(F.9)
Détermination du coefficient de décharge CD
CD =CDres + aCD f 2
non1 + bCD f 2
non + aCD f 2non
(F.10)
avec
CDres =1 + aCDresV
2non
1 + bCDresV2non
(F.11)
F.2. Le modèle d’Hersh et al. sous fort niveau d’excitation 181
=1+aCDres V2
non
1+bCDres V2non
aCDres = 1+110,5e0,647 hd
1+0,109e0,647 hd
bCDres = 1+168,5e0,647 hd
1+0,109e0,647 hd
(F.12)
Vnon =
√Ppk
ρ0(ωde)2 (F.13)
de = h +0, 85d
1 + 1, 25√
φ(F.14)
Ppk =√
2P0 (F.15)
aCD = a1CD + a2CD e−a3CD Vnon (F.16)
a1CD = 18, 81 h
d − 57, 11√
hd
[1− e−0,18 h
d
]a2CD = exp
[(33, 5 h
d − 78(
hd
)2+ 131
(hd
)3+ 917
(hd
)4)/(
1 + 148(
hd
)4)]
a3CD = 43, 2 hd − 147, 1
√hd
[1− e−0,19 h
d
](F.17)
bCD =b1CD + b2CD Vnon
1 + b3CD Vnon(F.18)
b1CD =
−3,44−0,182( hd)
1+0,342( hd)
b2CD =18,23−1,33( h
d)1+0,151( h
d)b3CD = 38
1+1,3×10−7( hd)
2
(F.19)
fnon =fNL
f− 1 (F.20)
fNL
f= 1 + a f
[1− e−b f V2
non]
(F.21)
a f = 0, 785− 0, 76[1− e−3,63 h
d
](F.22)
b f = 3, 63(
hd
)0,6
(F.23)
182F. Brève présentation des modèles de Maa et d’Hersh et al. sous fort niveau d’excitation
Détermination de la fonction H paramètre lié à l’effet inertiel
Hde
= 1−(
1− Hres
de
)exp
(−mH
(f
fNL− 1− f ∗0
)4)
(F.24)
Hres
de≈ 1 + aHVmH
non1 + bHVmH
non(F.25)
aH = 0, 725
(hd
)−1,227
bH = 1, 02(
hd
)−1,411
mH = 3, 42 exp(−0, 117
(hd
)) (F.26)
mH =αH
VβHnon
+ κH (F.27)
αH = 0, 011 + 2, 086(
hd
)(F.28)
βH =0, 0325(
hd
)3,7 + 3, 4 (F.29)
κH = 13, 06
(1− exp
(−64, 9
(hd
)4,365))
(F.30)
f ∗0 =(
1, 34Vnon
) hd
1 + 18, 81(
hd
)+ 0, 264
(1− exp
(−4, 49
(hd
)))− 0, 436
(F.31)
GDétermination de la distance
moyenne Lm sous fort niveau
acoustique
Dans cet annexe, nous présentons les développements qui conduisent
à l’obtention des expressions de Lm, distance moyenne parcourue par les
rayons acoustiques arrivant sous incidence normale sur la plaque micro-
perforée. Rappelons que le chemin acoustique est influencé par un demi hé-
misphère centré sur la perforation (Cf. chapitre 2).
On considère une répartition uniforme des perforations sur la plaque. Dans
la configuration d’une répartition hexagonale des perforations, on se retrouve
alors dans la situation où une perforation interagit en même temps avec les
6 perforations qui lui sont voisines comme le montre la figure G.1a) dans
le plan (x,z). On suppose que les perforations sont identiques et agissent
comme des sources. Dans ce cas, il suffit de ne considérer que deux perfo-
rations, cette distance (zone grisée sur la figure) étant la même en présence
des autres interactions. Par symétrie que l’on obtient, le calcul de Lm en ne
considérant que la zone grise.
La figure G.1b) est une vue de profil des perforations dans le plan (x,y).
La zone grisée y est représentée. Si l’on considère au départ une seule per-
foration sans interaction (figure G.2a)), la distance Lm représente la moyenne
des chemins verticaux des particules dans la zone grisée. On considère les
chemins suivants :
– I0 le chemin moyen de particule d’air dans le carré OABC (on a alors I0
= RH).
– I1 le chemin moyen de particule d’air dans le quart du cercle délimité
par OAC.
183
184 G. Détermination de la distance moyenne Lm sous fort niveau acoustique
Fig. G.1 – Disposition hexagonale des perforations dans le plan (⇒ 6 perforations autour
d’une perforation). a) Vue de dessus ; b) Vue de profil.
Fig. G.2 – Zone autour des perforations en régime non-linéaire. a) cas d’une seule perforation
sans interaction (OA=AB=BC=OC=RH) ; b) Cas de deux perforations interagissant entre
elles avec b < 2RH (OP=OS=RH, b=distance entre perforations, PQ=b/2).
On a alors
I0 = I1 + Lm ⇒ Lm = I0 − I1. (G.1)
185
Or comme la valeur moyenne Mv d’une fonction est définie par
Mv =1
x2 − x1
x2∫x1
f (x)dx, (G.2)
on a alors
I1 =1
RH
RH∫0
ydx. (G.3)
L’équation du cercle dans le plan (x,y) est x2 + y2 = R2H, d’où
I1 =1
RH
RH∫0
√R2
H − x2dx =1
RH
[x2
√R2
H − x2 +R2
H2
Arc sinx
RH
]RH
0
, (G.4)
on a alors
I1 =πRH
4, (G.5)
et le chemin moyen Lm en absence d’effet d’interation est donc donné par
Lm = RH −πRH
4= RH
(1− π
4
). (G.6)
On considère maintenant le cas de deux perforations espacées d’une distance
b, interagissant entre elles. Les zones autour des perforations étant partagées,
la zone des rayons incidents pour une perforation est réduite (zone hachurée
en bleu). Et en utilisant le même principe que dans le cas d’une perforation,
on pose :
– I2 le chemin moyen des particules dans le rectangle OPQ b2 (on montre
que I2 = RH).
– I3 le chemin moyen des particules dans le quart du cercle délimité par
0AC.
On a alors
I2 = I3 + Lm ⇒ Lm = I2 − I3. (G.7)
Les figures étant toutes symétriques par rapport aux axes x, y et z, le cal-
cul du chemin moyen peut se faire sur une portion de l’espace tel le plan
(x,y). Ainsi à cause de ces symétries, en se référant à la figure G.2b) le calcul
de I3 pourrait uniquement s’effectuer entre 0 et b2 suivant l’axe des abscisses
186 G. Détermination de la distance moyenne Lm sous fort niveau acoustique
(l’axe des x), et pourrait s’effectuer entre 0 et le rayon RH suivant l’axe des
ordonnées (l’axe des y). En utilisant la définition de la valeur moyenne (ex-
pression G.2) on a
I3 =1
RH
2b
b/2∫0
RH∫0
f (x, y)dxdy, (G.8)
où f(x,y) représente l’équation du cercle centré en 0 et de rayon RH. On
pose f(x,y)=√
R2H − x2 et on écrit
I3 =1
RH
2b
b/2∫0
RH∫0
√R2
H − x2dxdy =2b
b/2∫0
√R2
H − x2dx,
⇒ I3 =2b
[x2
√R2
H − x2 +R2
H2
arcsinx
RH
]b/2
0
,
d’où
I3 =12
√R2
H −b2
4+
R2H
barcsin
b2RH
. (G.9)
Et le chemin moyen Lm en présence d’effet d’interation entre perforations est
donné par (expression G.7) par
Lm = RH −12
√R2
H −b2
4−
R2H
barcsin
b2RH
. (G.10)
HSur la fabrication des
échantillons perforés d’acier et
d’aluminium
Nous présentons ici des informations relatives à la fabrication des échan-
tillons utilisés lors de nos mesures. Dans un souci de précision concernant
les dimensions (diamètre extérieur de plaque et diamètre de perforation des
trous) des échantillons à tester, la perforation au Laser est choisi comme pro-
cédé technologique pour leur réalisation. Le critère principal de dimension-
nement est la localisation du premier pic d’absorption dû à la viscosité (à
faible niveau d’excitation) dans la gamme fréquentielle [200Hz - 1600 Hz].
Pour certains échantillons en particulier, un simple choix d’épaisseur supé-
rieure ou égale à 1,5 mm permet d’éviter dans la gamme étudiée le premier
mode de vibration (pic dû à la vibration). La découpe et le perçage des échan-
tillons sont réalisés par un spécialiste (certifié ISO) du travail au Laser. Le
modèle de Maa (Maa98) en régime linéaire est celui qui a été retenu pour
simulation et dimensionnement de ces échantillons.
L’opération de perçage au Laser a pour effet de réaliser une perforation par
chauffage de la zone à perforer. Ce chauffage augmente la rugosité par ajout
de matière autour de la perforation (davantage en sortie de perforation qu’en
entrée).
H.0.1 Quelques contraintes sur la fabrication des échantillons
Le rapport épaisseur de plaque / diamètre de trou
Les échantillons fabriqués ont été percés au Laser avec un rayon de faisceau
calibré à 0,3 mm. Il est conseillé pour les procédés de fabrication au Laser,
d’avoir une épaisseur de plaque inférieure au diamètre nominal de trou. Plus
187
188 H. Sur la fabrication des échantillons perforés d’acier et d’aluminium
le rapport épaisseur/diamètre de trou tendra vers 1, plus difficile et coûteuse
sera la fabrication.
Présence de copeaux dans les perforations
Le perçage au Laser est un procédé technologique qui utilise l’énergie du La-
ser pour percer des plaques métalliques ou autres types. Après fabrication de
chaque échantillon, chaque perforation de chaque échantillon est observé au
microscope. La figure H.1 présente des photographies agrandies de quelques
perforations. Sur la figure H.1a et H.1b, on peut apercevoir des restes de co-
peaux métalliques dans la perforation. La présence de ces copeaux entraîne
non seulement une obstruction de la perforation, mais aussi une modification
du diamètre nominal à prendre en compte dans le modèle théorique. D’abord
avec un forêt de diamètre plus petit que le diamètre de perçage, ensuite sou-
mis à un jet d’air, les copeaux sont retirés les uns après les autres. Au regard
de la figure H.2, après enlèvement des copeaux de métal, la forme circulaire
des trous se trouve assez bien conservée. L’erreur sur le diamètre est consi-
dérée comme due principalement à la rugosité interne des perforations et la
précision sur le diamètre est estimée à 10−5 m.
Fig. H.1 – Photographies agrandies de quelques perforations de diamètre nominal de 1,6 mm.
Agrandissement x15.
Déformation de la plaque
Le perçage laser n’impliquant pas d’effort mécanique notable, les trous
peuvent être effectués de manière rapprochée, en ne laissant qu’une épais-
189
Fig. H.2 – Observation de la circularité de quelques perforations sur un projecteur de pro-
fil DELTRONIC DV114. Agrandissement x10. Perçage réalisé au Laser avec un rayon de
faisceau de 0,3 mm.
seur de paroi intercalaire minimale. Dans le cas où cette épaisseur intercalaire
viendrait à être relativement faible, avec un nombre de trous important, un
risque de déformation de l’ensemble de la plaque se présente. Ceci consti-
tue en particulier une grande contrainte dans l’étude des interactions entre
perforations du chapitre 2 de ce mémoire. Cette déformation est due à des
contraintes de flexion qui déforment la plaque lorsque les trous sont rappro-
chés. La figure H.3 présente un cas d’échantillon déformé lors de la fabrica-
tion. L’épaisseur de la plaque étant d’1 mm pour 4300 trous avec un diamètre
nominal de 0,9 mm, la déformation qui en résulte (fig. H.3b) ne permet pas
d’effectuer des tests en incidence normale.
190 H. Sur la fabrication des échantillons perforés d’acier et d’aluminium
Fig. H.3 – Plaque micro-perforée d’épaisseur 1 mm, diamètre de trous de 0,9 mm avec 4300
trous (Taux de perforation de 48,37 %). a) Vue de face ; b) Vue de profil (déformation de la
plaque due à la libération des contraintes internes).
IMulti-couches par Analogie au
Circuit Electrique Equivalent
(ACEE)
I.0.2 Méthode ACEE appliquée au double MPP et cavité d’air avec
une paroi rigide
En analyse des systèmes acoustiques, l’approche par analogie au circuit élec-
trique équivalent est très souvent effectuée (Ray29). En faisant cette analogie,
la différence de pression, la vitesse particulaire et l’impédance acoustiques
sont respectivement identifiées à une différence de potentiel, un courant élec-
trique et une impédance électrique. Les travaux de Jinkyo et al. (JGS92) font
application de cette analogie pour déterminer l’impédance de surface d’une
double plaque perforée couplée à une cavité d’air et une paroi rigide.
Si l’on note Zcav1 l’impédance de la cavité d’air avant la paroi rigide, Z1 l’im-
pédance de la plaque perforée interne, Zcav2 l’impédance de la cavité d’air
entre les deux plaques perforées et Z2 l’impédance de la plaque perforée se
trouvant dans le plan incident, Jinkyo et al. (JGS92) obtiennent l’impédance
de surface ZS du système entier en procédant comme suit : Z1 est considérée
comme montée en série avec Zcav1, l’impédance équivalente Zeq1 est obtenue.
L’impédance équivalente Zeq1 est considérée montée en parallèle avec Zcav2 et
l’impédance équivalente Zeq2 est obtenue. Pour finir, l’impédance équivalente
Zeq2 est considérée comme montée en série avec Z2.
En suivant ce principe décrit avec les doubles MPP et cavités d’air couplés
à une paroi rigide ci-dessus, la méthode ACEE peut s’appliquer à un nombre
n de MPP et de cavités couplées à une paroi rigide.
191
192 I. Multi-couches par Analogie au Circuit Electrique Equivalent (ACEE)
I.0.3 Généralisation de la méthode ACEE à plusieurs MPP et cavités
avec une paroi rigide
La figure I.1 représente une généralisation du principe par analogie au circuit
électrique. Dans le principe décrit, on procède en commençant par l’échan-
tillon proche de la paroi rigide pour remonter jusqu’à l’échantillon se trou-
vant dans le plan incident aux ondes. En suivant la nomenclature de la fi-
Fig. I.1 – Représentation généralisée du circuit électrique équivalent des multi-couches.
gure I.1, les différentes impédances suivantes sont exprimées. Par la conti-
nuité de vitesse, on considère que Zp1 et Zcav1 sont montées en série et on
a
Zeq1 = Zp1 + Zcav1, (I.1)
et par la continuité de pression, on considère que Zeq1 et Zcav2 sont montées
en parallèle et on a
Zeq2 =Zeq1Zcav2
Zeq1 + Zcav2. (I.2)
En procédant de la même façon de proche en proche, on obtient l’impédance
équivalente Zeqn qui permettra d’obtenir l’impédance de surface du système
par
ZS = Zpn + Zeqn. (I.3)
Important : Les différentes impédances de surface Zcavp des différentes
cavités sont toutes obtenues suivant l’expression
Zcavp = −jZp cot(kpDcavp), (I.4)
193
où Zp représente l’impédance caractéristique du milieu se trouvant à la pieme
cavité, kp le nombre d’onde du milieu se trouvant à la pieme cavité, Dcavp la
profondeur de la pieme cavité.
La figure I.2 représente une comparaison des coefficients d’absorption d’un
multi-MPP composés de 5 MPP identiques avec une paroi rigide à l’arrière
des méthodes matrice de transfert et ACEE pour 2,2 mm d’épaisseur de MPP,
de 0,7 mm de diamètre de trous, de 2,5 % de taux de perforation et les profon-
deurs de cavité sont toutes prises à 20 mm. Pour la méthode de la matrice de
transfert l’approche fluide équivalent [AS07] est utilisée et pour la méthode
ACEE, le modèle de Maa [Maa98] est utilisé.
Fig. I.2 – Comparaison des coefficients d’absorption d’un multi-MPP composés de 5 MPP
identiques avec une paroi rigide à l’arrière. − − − Méthode de la matrice de transfert ; —
Méthode ACEE. caractéristiques : 2,2 mm d’épaisseur MPP, de 0,7 mm de diamètre de trous,
de 2,5 % de taux de perforation et pour des profondeurs de cavité toutes prises à 20 mm.
Comparée à la méthode de la matrice de transfert, la méthode ACEE a
l’avantage de reposer sur des calculs simples et moins coûteux. Par contre,
dans son principe, la méthode ACEE établit des continuités de vitesse et non
de flux, ce qui signifie qu’elle ne prend pas forcément en compte les sauts
de discontinuités. D’autres parts, dans le calcul de l’impédance du système
n, l’échantillon n− 1 est considéré comme une paroi rigide. C’est pourquoi
l’interprétation acoustique des résultats obtenus par la méthode ACEE est
délicate.
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Production scientifique
personnelle
Publications dans les revues internationales
1. Rostand Tayong, Thomas Dupont and Philippe Leclaire, "On the va-
riations of acoustic absorption peak with particle velocity in micro-perforated
panels at high levels of excitation", J. Acoust. Soc. Am., Vol 127(5), 2010, pp
2875-2882.
2. Rostand Tayong, Thomas Dupont and Philippe Leclaire, "Experimental
investigation of holes interaction effect on the sound absorption coefficient for
micro-perforated panels under high and medium sound intensities", Soumis-
sion à Applied Acoustics - juin 2010.
3. Rostand Tayong, Thomas Dupont and Philippe Leclaire, "Measurement
and prediction of the sound absorption coefficient of a micro-perforated plate
backed by a porous material under high sound excitation", Soumission à Phy-
sics of fluids - Octobre 2010.
Conférences internationales
1. Rostand Tayong, Thomas Dupont, Marie-Annick Galland and Philippe
Leclaire, "High sound pressure models for micro-perforated panel (MPP) ba-
cked by an air cavity", 155th International Meeting of the Acoustical So-
ciety of America, Paris, 2008.
2. Rostand Tayong, Thomas Dupont and Philippe Leclaire, "On the va-
riations of acoustic absorption peak with particle velocity in micro-perforated
panels at high level of excitation", International Conference on Noise and
Vibration Engineering (ISMA), Leuven - Belgium, 2010.
205
Conférences nationales
1. Rostand Tayong, Thomas Dupont and Philippe Leclaire, "Holes inter-
action effects under high and medium sound intensities for micro-perforated
panels design", 10th French Congress of Acoustics, Lyon, 2010.
2. Rostand Tayong, Thomas Dupont, Marie-Annick Galland and Philippe
Leclaire, "High sound pressure models for micro-perforated panel (MPP) ba-
cked by an air cavity", 9th French Congress of Acoustics, Paris, 2008.
Journées spécialisées
1. Rostand Tayong, "Propagation acoustique dans les matériaux poreux macro-
scopiquement inhomogènes saturés dair", 9eme Journée Ecoles Doctorales,
Besançon, Mai 2008.
2. Rostand Tayong, "Acoustic model for micro-perforated panels under high
sound pressure levels", 10eme Journée Ecoles Doctorales, Dijon, Mai 2009.
Prix spécial
1er prix 2008 de la Société Française de Physique (SFP) pour la présentation
affiche des avancées de thèse des écoles doctorales Franche-Comté et Bour-
gogne.
206
Thèse effectuée à l’Institut Supérieur de l’Automobile et des Transports (I.S.A.T.) -
Contrat FABER - Financement du Conseil Régional. La dernière modification
apportée sur ce document date du 15 décembre 2010.
207