N° d'ordre : 346

T H E S E

présentée à

L'Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse

pour obtenir le

DOCTORAT de L'I.N.S.A.T.

Spécialité : GENIE MECANIQUE

(arrêté en date du 30 mars 1992)

par

Jérôme MASSOL

Etude des assemblages boulonnés à chargement faiblement excentré

soumis à des sollicitations de fatigue.

Soutenue le 20 Décembre 1994 devant le jury composé de :

CHOMEL Philippe, Professeur à l'INSA de Toulouse Président BOHATIER Claude, Professeur à l'Université de Montpellier II Rapporteur RIGAL Jean François, Maître de Conférence à l'INSA de Lyon Rapporteur BOUDET René, Professeur à l'UPS de Toulouse Examinateur GUILLOT Jean, Professeur à l'INSA de Toulouse Examinateur SARTOR Marc, Maître de Conférences à l'INSA de Toulouse Examinateur SOUVIGNET Raymond, Ingénieur au CETIM de Saint-Etienne Examinateur TERRIER Marcel, Directeur qualité études et recherches de FORMER Examinateur

Laboratoire de Génie Mécanique de TOULOUSE : INSA - Département de Génie Mécanique - Complexe Scientifique de Rangueil - 31077 TOULOUSE CEDEX

Laboratoire de Génie Mécanique de TOULOUSE : INSA - Département de Génie Mécanique - Complexe Scientifique de Rangueil - 31077 TOULOUSE CEDEX - FRANCE

ETUDE DES ASSEMBLAGES BOULONNES A CHARGEMENT

FAIBLEMENT EXCENTRE SOUMIS A DES SOLLICITATIONS DE FATIGUE.

Jérôme MASSOL

Résumé : Ce travail de thèse a été consacré à l'étude des assemblages boulonnés chargés axialement ou à chargement faiblement excentré, en vue de fournir des données suffisamment précises pour permettre un calcul en fatigue. Pour cela : Nous avons tout d'abord analysé les modèles permettant le calcul des raideurs des pièces et des boulons, et nous avons proposé une méthode originale de détermination de celles-ci à partir de deux simulations successives en éléments finis. Puis, après avoir étudié l'influence des divers paramètres, nous avons proposé une nouvelle formulation plus précise. Une comparaison avec des essais expérimentaux montre la très bonne corrélation des deux approches. Nous avons également développé une méthode analytique permettant de déterminer les raideurs dans le cas des empilages de pièces de diamètres et de matériaux différents. Cette nouvelle modélisation donne des résultats tout à fait convenables quelle que soit la géométrie étudiée. Puis une méthode de simulation efficace, validée expérimentalement sur de nombreux cas de brides libres, nous permet de tester les modèles analytiques disponibles. Ces travaux ont été complétés par des essais en fatigue, permettant de valider la procédure de calcul développée, à partir des modélisations mises au point en statique. Enfin l'ensemble de la procédure a été appliquée à deux types de brides cylindriques, montrant que l'on était, à partir de ces travaux, capable de prévoir avec une bonne précision le comportement de ces assemblages dans le cadre d'un dimensionnement en fatigue. Mots Clefs : Assemblages boulonnés - Raideurs - Eléments finis - Modèles analytiques - Expérimentation - Chargements excentrés - Brides cylindriques.

DIRECTEUR DE THESE : M. GUILLOT Jean, Professeur à l'INSA de Toulouse.

Remerciements.

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Remerciements. Je remercie vivement Monsieur Claude Bohatier, professeur à l'Université Montpellier II d'avoir accepté d'examiner ce travail et d'en être rapporteur. Que Monsieur Jean François Rigal, maître de conférence à l'INSA de Lyon, accepte toute ma reconnaissance pour avoir bien voulu être rapporteur de mon travail. Qu'il trouve ici l'expression de toute ma gratitude. Mes vifs remerciements vont à Monsieur Philippe Chomel, professeur à l'INSA de Toulouse pour l'honneur qu'il me fait de présider le jury. J'adresse mes sincères remerciements à Monsieur Jean Guillot, professeur à l'INSA de Toulouse, et directeur de cette thèse, pour m'avoir accueilli au sein de son équipe de recherche. Son soutien permanent, sa disponibilité jamais prise en défaut, sa patience, et son extrême gentillesse sont autant de qualités qui m'ont permis de mener à bien ce mémoire. Je n'oublierais pas les innombrables discussions constructives qui ont mis en avant son souci de perfection et sa rigueur scientifique. Je rends également hommage à ses qualités humaines dont il m'a gratifié tout au long de ces années. Je remercie Monsieur Marc Sartor, maître de conférence à l'INSA de Toulouse, pour ses précieux conseils et sa participation au jury, je lui exprime mon profond respect. Que Monsieur Marcel Terrier, directeur qualité, études et recherche de la société FORMER trouve ici l'expression de toute ma reconnaissance pour avoir bien voulu accepter de participer à ce jury. Que Monsieur René Boudet, professeur à l'UPS de Toulouse soit assuré de toute ma gratitude pour avoir accepté de participer au jury. Je remercie vivement Monsieur Raymond Souvignet et Monsieur Alain Durand, ingénieurs au CETIM de Saint-Etienne pour leur participation au jury. La confiance, la disponibilité, les compétences scientifiques et la grande sympathie qu'ils m'ont manifestés durant ces années, m'ont permis d'effectuer ces travaux dans de très bonnes dispositions. J'associe à ces remerciements Monsieur Michel Avérous, directeur du CETIM de Saint-Etienne, Monsieur Alain Brand, chef du département assemblages mécaniques, Monsieur Eric Babaud, chef du département essais et mesures, qui m'ont encouragé et soutenu dans mes recherches. Je remercie également Mademoiselle Mireille Erny, secrétaire de direction, Madame Chantal Vernet, secrétaire et standardiste, Madame Annick Clère, secrétaire du département assemblages mécaniques, pour leur gentillesse en toute occasion, et leur aide dans les démarches administratives. Toute ma sympathie et ma gratitude vont à Alain Colombet, Michel Prot, Bernard Besset, René Revert et tous les techniciens et ingénieurs qui m'ont aidé à réaliser mes essais.

Remerciements.

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L'écriture de ce rapport n'aurait pas été possible sans le prêt d'un ordinateur. Aussi je tiens à remercier toutes les personnes qui ont oeuvré dans ce sens. Je remercie également Mademoiselle Marie Pierre Cros et Madame Evelyne Jaillon, responsables informatiques du CETIM de Saint-Etienne, pour leur aide et les nombreux dépannages sur le réseau informatique. C'est avec un grand plaisir que j'adresse mes remerciements à l'ensemble du personnel du CETIM. Une attention particulière aux membres du bureau d'étude qui m'ont accueilli dans leurs locaux. Je ne saurais passer sous silence le travail efficace en bonne coopération avec les étudiants de DEA, pour la plupart maintenant en thèse, qui ont contribués grandement à l'élaboration du présent rapport. Je citerais Yacine El Abdi, Eric Pefaure, Xavier Hernot, Jean Michel Berge, et Jean Christophe Fauroux. Qu'ils soient assurés de toute mon amitié. Je remercie également Marc Erisé, technicien à l'ENSICA, pour son aide précieuse lors des essais extensométriques. Je remercie le personnel INSA de son aide pour le bon déroulement de mon travail. Il m'est très agréable de remercier tous les membres du laboratoire de génie mécanique pour l'ambiance sympathique et solidaire dans laquelle se sont déroulés ces recherches. Toutes ces personnes ne sont pas étrangères à l'aboutissement de ce travail. Travailler avec Ezzat Bakhiet, toujours dans la bonne humeur, a été un plaisir et je l'en remercie vivement. Je remercie tout particulièrement Christophe Herbelot, qui a accepté de m'héberger de nombreux mois. Je lui en suis infiniment reconnaissant et l'assure de ma profonde amitié. Je tiens à manifester toute ma gratitude à Roland Toupotte, Nicole, Daniel Sylvestre, et les autres pour leur aide particulièrement bénéfique. Qu'ils acceptent toute mon amitié et ma reconnaissance. Enfin je remercie ma compagne et toute ma famille qui m'ont soutenu et encouragé durant ces années. Une pensée pour toutes les personnes que j'aurais pu oublier, qui ont de près ou de loin contribués à l'élaboration de ce rapport.

Résumé.

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Résumé : Ce travail de thèse a été consacré à l'étude des assemblages boulonnés chargés axialement ou à chargement faiblement excentré, en vue de fournir des données suffisamment précises pour permettre un calcul en fatigue. Pour cela : Nous avons tout d'abord analysé les modèles permettant le calcul des raideurs des pièces et des boulons, et nous avons proposé une méthode originale de détermination de celles-ci à partir de deux simulations successives en éléments finis. Puis, après avoir étudié l'influence des divers paramètres, nous avons proposé une nouvelle formulation plus précise. Une comparaison avec des essais expérimentaux montre la très bonne corrélation des deux approches. Nous avons également développé une méthode analytique permettant de déterminer les raideurs dans le cas des empilages de pièces de diamètres et de matériaux différents. Cette nouvelle modélisation donne des résultats tout à fait convenables quelle que soit la géométrie étudiée. Puis une méthode de simulation efficace, validée expérimentalement sur de nombreux cas de brides libres, nous permet de tester les modèles analytiques disponibles. Ces travaux ont été complétés par des essais en fatigue, permettant de valider la procédure de calcul développée, à partir des modélisations mises au point en statique. Enfin l'ensemble de la procédure a été appliquée à deux types de brides cylindriques, montrant que l'on était, à partir de ces travaux, capable de prévoir avec une bonne précision le comportement de ces assemblages dans le cadre d'un dimensionnement en fatigue. Abstract : The object of this thesis is a study of axial and small eccentric loaded bolted joints to provide precise data for accurate calculations in fatigue. For this objective : Firstly, the current methods of estimating the stiffness of the bolt and that of the members are analyzed, and a new method for computing the stiffness of the clamped parts, after using two successive finite element simulations, is proposed. Then, the effect of different parameters are studied and a more precise expression is provided. Analytical results are in a very good agreement with experimental ones. An analytical method for computing the stiffness of joints containing members made of different materials and diameters is developed. Accurate results are obtained for all studied connections. The efficient method of simulation performed and verified experimentally helps testing the available analytical models. In order to complete this work, an experiment in fatigue is carried out. Finally, these procedures are applied on two types of cylindrical flanges. It is shown that the behaviour of the bolted connections, to be dimensioned in fatigue, could be prospected precisely.

Mots clefs.

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Mots clefs : Assemblages boulonnés - Raideurs - Eléments finis - Modèles analytiques - Expérimentation - Chargements excentrés - Brides cylindriques. Key words : Bolted joints - Stiffness - Finite element - Analytical models - Experimental - Eccentric loading - Cylindrical flanges.

Liste des figures.

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Liste des figures. Chapitre 1 : Fig. 1-1 Section résistante d'une vis. Fig. 1-2 Maillage des trois pièces [50]. Fig. 1-3 Déformation d'ensemble des pièces [50]. Fig. 1-4 Courbes isocontraintes équivalentes [50]. Fig. 1-5 Répartition des contraintes équivalentes dans le premier filet en prise [50]. Fig. 1-6 Répartition des efforts dans les filets [56]. Fig. 1-7 a) Répartition des efforts (écrou suspendu). Fig. 1-7 b) Répartition des efforts (écrous spéciaux). Fig. 1-8 Montage d'essais de fatigue [56]. Fig. 1-9 Sollicitation de fatigue : définition des paramètres. Fig. 1-10 Courbes de Wöhler vis 42CD4 - Classe de qualité 12-9. Fig. 1-11 Courbes de Wöhler vis 30B3 - Classe de qualité 12-9. Fig. 1-12 Effet d'entaille sur une vis d'après [51]. Chapitre 2 : Fig. 2-1 Trois cas d'assemblages filetés. Fig. 2-2 Transmission des efforts par adhérence. Fig. 2-3 Assemblage boulonné chargé axialement. Fig. 2-4 Précontrainte de l'assemblage. Fig. 2-5 Comportement d'un assemblage précontraint. Fig. 2-6 Comportement d'un assemblage précontraint chargé axialement. Fig. 2-7 Assemblage soumis à un effort variable de tension Fe Fe Fem M< < . Fig. 2-8 Assemblage soumis à un effort variable de tension FeT et de compression FeC.

Fig. 2-9 Assemblage étudié par WILEMAN [54]. Fig. 2-10 a) Modélisation du comportement de l'assemblage sous l'effet du serrage

(géométrie). Fig. 2-10 b) Modélisation du comportement de l'assemblage sous l'effet du serrage

(déformée sur maillage). Fig. 2-11 a) Modélisation de WILEMAN [54] (maillage). Fig. 2-11 b) Modélisation de WILEMAN [54] (isocontraintes). Fig. 2-12 Comportement d'un poinçon déformable.

Liste des figures.

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Fig. 2-13 Paramètres définissant les pièces étudiées. Fig. 2-14 Modélisation éléments finis proposée par N'GUYEN [36]. Fig. 2-15 Comparaison du modèle de N'GUYEN avec VDI 2230 [62]. Fig. 2-16 Paramètres définissant les pièces [41]. Fig. 2-17 Modèles éléments finis de [41]. Fig. 2-18 Illustration des déplacements. Fig. 2-19 Illustration du calcul de la section équivalente [41]. Fig. 2-20 Section équivalente réduite donnée par [41]. Fig. 2-21 Définition du modèle équivalent. Fig. 2-22 Détermination de la rigidité des pièces dans le modèle VDI 2230 [52]. Fig. 2-23 Comportement des pièces lors de la mesure [52]. Fig. 2-24 Allure des pressions de contact sous tête d'après [41]. Fig. 2-25 Comparaison des différents modèles de raideurs existants pour Dt∗ = 0 647. et

Lp∗ = 3. Fig. 2-26 a) Paramètres définissant l'assemblage étudié (modèle réel). Fig. 2-26 a) Paramètres définissant l'assemblage étudié (modèle éléments finis). Fig. 2-27 Modélisation éléments finis. Fig. 2-28 Déformée de l'assemblage - Vis sans raccordement sous tête. Fig. 2-29 Répartition de pression à l'interface [18]. Fig. 2-30 a) Comportement de l'assemblage (adhérence parfaite). Fig. 2-30 b) Comportement avec des éléments de contact sous tête (glissement parfait). Fig. 2-30 c) Mesure de la précharge. Fig. 2-31 Répartition des contraintes σZ dans l'assemblage. Fig. 2-32 Courbe d'étalonnage de la précharge. Fig. 2-33 Modélisation de la raideur du boulon. Fig. 2-34 Section équivalente des pièces Ap∗ (éléments finis). Fig. 2-35 Comparaison des différents modèles. Fig. 2-36 Coefficient correctif ψ en fonction du rapport Dt / d. Fig. 2-37 Mesure de la raideur des pièces - Montage expérimental. Fig. 2-38 Essais de détermination de la rigidité des pièces. Fig. 2-39 Influence de la hauteur de tête du boulon sur Kp. Fig. 2-40 Influence de la hauteur de la tête du boulon sur Kb. Fig. 2-41 Paramétrage de l'assemblage. Fig. 2-42 a) Modélisation de l'assemblage avec trou axial dans la vis (maillage avec éléments

de contact). Fig. 2-42 b) Modélisation de l'assemblage avec trou axial dans la vis (ensemble déformé). Fig. 2-43 Influence d'un trou dans le boulon sur Kb. Fig. 2-44 Niveau d'introduction de la charge. Fig. 2-45 Modèle équivalent de l'assemblage avec introduction de la charge dans deux

plans éloignés de x.

Liste des figures.

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Fig. 2-46 Mise en évidence du facteur d'introduction de la charge γ. Fig. 2-47 Facteur d'introduction de la charge - Etude pour une collerette à 10 mm. Fig. 2-48 Supplément d'effort pour une collerette à 10 mm. Fig. 2-49 Comparatif éléments finis et théorie. Fig. 2-50 Position de l'introduction de l'effort extérieur. Fig. 2-51 Influence de la position d'introduction de l'effort. Fig. 2-52 Introduction de l'effort extérieur sous la forme d'un effort ponctuel. Fig. 2-53 Influence du type de sollicitation. Fig. 2-54 Comparatif de tous les résultats obtenus. Fig. 2-55 Montage expérimental. Fig. 2-56 Position des jauges extensométriques. Fig. 2-57 Comparaison expérimental - Théorie - Eléments finis. Fig. 2-58 Ordre d'empilage des pièces - Essai éléments finis. Fig. 2-59 Visualisation des différentes zones. Fig. 2-60 Répartition des contraintes de compression dans les pièces. Fig. 2-61 Présentation du modèle analytique. Fig. 2-62 Détermination de l'angle α en fonction de la géométrie - Corrélation E.F et

analytique. Fig. 2-63 Empilage de pièces de matériaux différents. Fig. 2-64 Première configuration. Fig. 2-65 Deuxième configuration. Fig. 2-66 Troisième configuration. Fig. 2-67 Contraintes axiales dans l'assemblage sur partie déformée. Fig. 2-68 Assemblage de pièces de matériaux différents. Fig. 2-69 Deux cas symétriques d'empilage de pièces. Fig. 2-70 Coupure de la pièce supérieure par le cône. Fig. 2-71 Isocontraintes de tension (ou compression) dans l'assemblage. Fig. 2-72 Répartition des contraintes de compression dans la pièce pour un serrage

excentré. Fig. 2-73 Allure du moment de flexion dans le boulon à effort extérieur nul, pour un

serrage excentré. Chapitre 3 : Fig. 3-1 Définition des paramètres nécessaires à la construction du modèle VDI 2230. Fig. 3-2 Influence de l'emplacement de l'axe de charge sur la déformation élastique du

"solide en flexion". Fig. 3-3 Force minimale dans les pièces. Fig. 3-4 Déformation de flexion sous chargement variable.

Liste des figures.

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Fig. 3-5 Bride prismatique étudiée. Fig. 3-6 Recherche du boulon équivalent en flexion. Fig. 3-7 Comparaison des différentes approches. Fig. 3-8 Définition du modèle de solide en flexion circulaire [2]. Fig. 3-9 Supplément de charge axiale ∆Fb dans le boulon en fonction de l'effort Fe pour

différents cas d'excentration [62]. Chapitre 4 : Fig. 4-1 Définition du montage expérimental. Fig. 4-2 Prise des mors. Fig. 4-3 a) Modélisation de la bride (définition de la bride). Fig. 4-3 b) Modélisation de la bride (conditions aux limites). Fig. 4-3 c) Modélisation de la bride (maillage). Fig. 4-4 Contraintes dans la vis. Fig. 4-5 Paramétrage de l'assemblage. Fig. 4-6 Evolution des contraintes σ z en fonction de Fe. Fig. 4-7 Montage expérimental. Fig. 4-8 Définition des boulons de serrage. Fig. 4-9 Position des jauges par rapport à la bride. Fig. 4-10 Repérage de l'angle ϕ. Fig. 4-11 Variation du plan de flexion en fonction de la charge. Fig. 4-12 Influence de la précharge sur la perte de précharge initiale. Fig. 4-13 a) Comparaison éléments finis - Essais - Supplément d'effort - Bride n°1. Fig. 4-13 b) Comparaison éléments finis- Essais - Supplément de moment de flexion –

Bride n°1 Fig. 4-14 a) Comparaison éléments finis - Essais - Supplément d'effort - Bride n°2. Fig. 4-14 b) Comparaison éléments finis - Essais - Supplément de moment de flexion –

Bride n°2 Fig. 4-15 Définition de la bride en chape. Fig. 4-16 Montage d'essai. Fig. 4-17 Disposition des jauges. Fig. 4-18 a) Comparaison éléments finis, expérimentation - Supplément d'effort. Fig. 4-18 b) Comparaison éléments finis, expérimentation - Supplément de moment de

flexion. Fig. 4-19 a) Sollicitation en fatigue de la bride en chape. Fig. 4-19 b) Correspondance entre contrainte alternée et probabilité de survie pour

Q = 200 kN. Fig. 4-20 Introduction de la charge (coefficient γ).

Liste des figures.

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Fig. 4-21 Découpage volumique et maillage. Fig. 4-22 Déformée et contraintes σ z dans les deux pièces. Fig. 4-23 a) Comparaison pour deux valeurs de γ - Supplément d'effort. Fig. 4-23 b) Comparaison pour deux valeurs de γ - Supplément de moment. Chapitre 5 : Fig. 5-1 Distribution des pressions de contact pour différentes valeurs de Fe [1]. Fig. 5-2 a) Modélisation utilisant les ressorts équivalents et montrant la compatibilité des

déplacements - Etat libre. Fig. 5-2 b) Modélisation utilisant les ressorts équivalents et montrant la compatibilité des

déplacements - Etat précontraint sous Q. Fig. 5-2 c) Modélisation utilisant les ressorts équivalents et montrant la compatibilité des

déplacements - Etat de chargement excentrique. Fig. 5-3 Définition de la bride étudiée. Fig. 5-4 Comparaison du modèle poutre fléchie [1] avec les résultats expérimentaux. Fig. 5-5 Modèle non linéaire. Fig. 5-6 Comparaison du modèle "poutre corrigée" avec les résultats expérimentaux. Fig. 5-7 Définition des raideurs. Fig. 5-8 Variation de l'effort dans le boulon. Fig. 5-9 Rotation autour du point de contact. Fig. 5-10 Comparaison du modèle "poutre sur appuis élastiques" aux résultats

expérimentaux. Chapitre 6 : Fig. 6-1 Bride cylindrique chargée en tension et flexion. Fig. 6-2 Définition de l'élément de bride équivalent. Fig. 6-3 Définition de l'élément de bride équivalent. Fig. 6-4 Détermination de l'effort FE. Fig. 6-5 Partie comprimée des pièces. Fig. 6-6 Largeur de bride équivalente selon [22]. Fig. 6-7 Influence de la largeur de bride sur le supplément d'effort. Fig. 6-8 Evolution de ∆Fb en fonction de la géométrie. Fig. 6-9 Evolution du supplément de moment en fonction de Fe. Fig. 6-10 Evolution du supplément de moment en fonction de la géométrie. Fig. 6-11 Bride étudiée en extensométrie. Fig. 6-12 Elément de bride - Application de la précharge.

Liste des figures.

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Fig. 6-13 a) Elément de bride déformé. Fig. 6-13 b) Zone de contact en fonction de FE. Fig. 6-14 Caractéristiques géométriques du boulon utilisé. Fig. 6-15 Positionnement des jauges par rapport à la bride. Fig. 6-16 Positionnement des jauges sur le boulon. Fig. 6-17 Comparaison des différentes approches - Supplément d'effort. Fig. 6-18 Comparaison des différentes approches - Suppléments de moment. Fig. 6-19 Vue globale du pylône du télésiège. Fig. 6-20 Dimensions de la bride. Fig. 6-21 Maillage de deux modèles éléments finis. Fig. 6-22 a) Comparaison des modèles éléments finis angulaire et prismatiques - Supplément

d'effort. Fig. 6-22 b) Comparaison des modèles éléments finis angulaires et prismatiques -

Supplément de moment. Fig. 6-23 a) Evolution de la zone de contact en fonction de l'effort extérieur. Fig. 6-23 b) Allure des contraintes axiales σZ dans l'assemblage. Fig. 6-24 a) Valeurs obtenues par le modèle analytique [5] - Supplément d'effort. Fig. 6-24 b) Valeurs obtenues par le modèle analytique [5] - Supplément de moment. Fig. 6-25 Bride de pylône - Dispositif expérimental (CETIM Saint-Etienne). Fig. 6-26 Vérin d'application de l'effort et son capteur. Fig. 6-27 Bride équipée de seize boulons munis de jauges extensométriques. Fig. 6-28 Disposition des différents boulons. Fig. 6-29 a) Supplément d'effort dans les boulons en fonction de l'effort total appliqué -

Q = 100 kN. Fig. 6-29 b) Supplément d'effort dans les boulons en fonction de l'effort total appliqué -

Q = 100 kN. Fig. 6-29 c) Evolution du supplément d'effort mesuré en fonction de l'effort total -

Q = 100 kN. Fig. 6-30 Moment de flexion dans les boulons - Q = 100 kN. Fig. 6-31 Suppléments d'efforts et de moments dans le boulon le plus chargé (mesures

extensométriques). Fig. 6-32 Valeur de la contrainte alternée en fonction de l'effort extérieur (extensométrie). Fig. 6-33 a) Comparaison des différentes approches - Supplément d'effort dans le boulon le

plus chargé. Fig. 6-33 b) Comparaison des différentes approches - Supplément de moment dans le boulon

le plus chargé. Fig. 6-34 a) Modélisation de l'effet dû à la dépouille - Définition de la bride et de la valeur

de la dépouille. Fig. 6-34 b) Modélisation de l'effet dû à la dépouille - Modélisation par un élément de

plaque.

Liste des figures.

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Fig. 6-35 a) Supplément d'effort. Fig. 6-35 b) Supplément de moment.

Notations.

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Notations. Ap Section équivalente des pièces (mm2). Ap' Section réelle à l'interface (mm2). Ap* Section équivalente réduite. As Section résistante (mm2). Béq Largeur de bride équivalente (mm). C Couple de serrage (N.m). d Diamètre nominal (mm). Da Diamètre extérieur de la zone de contact de la tête de vis sur la pièce (mm). Dp Diamètre des pièces (mm). Dp* Diamètre des pièces réduit. ds Diamètre du cylindre de section As (mm). dt Diamètre du trou dans une vis percée (mm). Dt Diamètre du trou (mm). Dt* Diamètre du trou réduit. dεa Accroissement ou diminution de la déformation unitaire sur la voie a. Eb Module d'élasticité longitudinal du boulon (N/mm2). Ep Module d'élasticité longitudinal de la pièce (N/mm2). Epéq Module d'élasticité longitudinal équivalent. F Effort (N). F1 Effort obtenu par élément finis pour les deux pièces en acier (N). F2 Effort obtenu par élément finis pour une pièce supérieure en acier et une pièce

inférieure en aluminium (N). F3 Effort obtenu par élément finis pour une pièce supérieure en aluminium et une

pièce inférieure en acier (N). Fb Force de traction dans le boulon (N). Fc Résultante des forces de contact (N). Fe Effort extérieur (N). FE Effort extérieur équivalent appliqué sur l'élément de bride (Chapitre 6). FeC Effort extérieur de compression (N). FeT Effort extérieur de traction (N). Fem Effort extérieur minimum (N). FeM Effort extérieur maximum (N). fp Déplacement mesuré suivant l'axe de la pièce (mm). Fp Force de compression dans les pièces assemblées (N).

Notations.

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Fpmin ex Force minimale de compression dans les pièces assemblées (N). H Hauteur de la tête de vis (mm). H* Hauteur réduite de la tête de vis. Hp Hauteur de pièce (mm). IGZ Moment quadratique de la section Ap' (mm4). IP Moment quadratique de la section des pièces (mm4). IS Moment quadratique de la section résistante de la vis (mm4). Kb Raideur du boulon (N/mm). Kb' Rigidité du boulon comportant un perçage sur toute sa longueur (N/mm). Kb'' Rigidité du boulon sans perçage (N/mm). KC Rigidité de l'appui en C (N/mm). KFB Rigidité en flexion du boulon (N.mm). KFP Rigidité en flexion des pièces (N.mm). Kp Raideur des pièces assemblées (N/mm). K0 Raideur par unité de surface servant à déterminer KC. Lp Longueur des parties serrées (mm). Lp* Longueur réduite des pièces assemblées. lt Longueur du trou dans un boulon percé (mm). m Excentration de la force extérieure Fe par rapport à l'axe principal (mm). M Moment extérieur (N.mm). MFb Moment de flexion dans le boulon (N.mm). n Excentration de l'axe de la vis par rapport à l'axe principal (mm). P Pas de la vis (mm). Q Précharge installée dans la vis (N). R Rayon moyen du tube (mm). ra Rayon extérieur de la zone de contact de la tête de vis sur la pièce (mm). Rb Rayon de l'axe des boulons par rapport à l'axe de la bride (mm). Re Rayon extérieur de la bride (mm). Remin Limite apparente d'élasticité minimale (N/mm2). Rmmin Résistance à la traction minimale (N/mm2). rp Rayon de la pièce (mm). rp* Rayon de la pièce réduit. rt Rayon du trou (mm). rt* Rayon du trou réduit. s Excentration de la résultante des efforts de contact Fc. S Souplesse (mm/N). Sb Souplesse du boulon (mm/N). Sc Souplesse de l'appui en C (mm/N). scr s critique (mm). Sp Souplesse des pièces assemblées (mm/N).

Notations.

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Sp* Souplesse de la partie de la pièce comprise entre la tête du boulon et la ligne neutre.

t Epaisseur du tube (mm). u Distance entre le bord de la pièce et l'axe du boulon (chapitre 5). X Position de la collerette par rapport à l'interface des deux pièces assemblées

(mm). Z Nombre de boulons. z1 Distance entre la face d'appui sous tête et le point de coupure du cône (modèle

analytique du calcul de la raideur des pièces de mêmes géométries). z'1 Distance entre la face d'appui sous tête et le point de coupure du cône (modèle

analytique du calcul de la raideur des pièces de géométries différentes). α Coefficient de dispersion totale du moyen de serrage. αK Coefficient de forme. βK Effet d'entaille en fatigue. δ Valeur du déplacement imposé donné à la vis en éléments finis (mm). ∆b Allongement du boulon sous Fb. ∆Fb Supplément d'effort dans le boulon (N). ∆Fp Diminution du serrage des pièces. ∆MFb Supplément de moment de flexion dans le boulon. ∆OB Allongement du boulon sous Q. ∆OP Diminution de la longueur des pièces sous Q. ∆p Raccourcissement des pièces sous Fp. ε Déformation unitaire. γ Facteur d'introduction de la charge. λ Facteur de charge de l'assemblage. λex Facteur de charge de l'assemblage (excentré). µt Coefficient de frottement dans le filetage. µh Coefficient de frottement sous la tête et sous l'écrou. ν Coefficient de Poisson. θi Angle entre (o-i) et l'axe o-x. σa ou σalt Contrainte alternée (dynamique). σbmax Contrainte maximale dans le boulon (MPa). σD Contrainte limite de fatigue (MPa). σeM Contrainte équivalente maximale (MPa). σFLtotal Contrainte de flexion totale (MPa). σFLX Contrainte de flexion dans le plan X (MPa). σFLY Contrainte de flexion dans le plan Y (MPa). σm ou σmoy Contrainte moyenne (MPa). σM ou σmax Contrainte maximale (MPa). σmin Contrainte minimale (MPa).

Notations.

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σT Contrainte de tension dans la vis (MPa). ψ Coefficient correctif de la longueur équivalente du boulon.

Sommaire.

18

Sommaire.

Remerciements ........................................................................................................ 3 Résumé ......................................................................................................................... 5 Mots clefs ................................................................................................................... 6 Liste des figures ...................................................................................................... 7 Notations ..................................................................................................................... 14 Table des matières ................................................................................................ 18

Introduction .............................................................................................................. 22 Chapitre 1 : Résistance statique et dynamique d'un élément fileté. 1-1 Résistance statique d'un boulon ............................................................................... 26 1-2 Résistance dynamique d'un boulon .......................................................................... 27 1-2-1 Essais dynamiques sur vis ................................................................. 30 1-2-2 Caractéristiques dynamiques des boulons .......................................... 31 1-2-3 Conclusions partielles ........................................................................ 33 1-3 Amélioration de la tenue en fatigue d'une vis ........................................................... 34 1-4 Conclusions ............................................................................................................. 37 Chapitre 2 : Modélisation des assemblages boulonnés chargés axialement. 2-1 Préserrage des assemblages ...................................................................................... 38 2-1-1 Qu'est ce que la précharge ? ............................................................... 38 2-1-2 Intérêt de la précharge ........................................................................ 39 2-1-3 Serrage au couple ............................................................................... 40 2-1-4 Incertitudes sur la précharge .............................................................. 41 2-1-5 Conclusion sur le serrage ................................................................... 42 2-2 Comportement d'un assemblage boulonné soumis à des charges axiales .................. 43 2-2-1 Charges statiques ............................................................................... 43 2-2-2 Charges dynamiques .......................................................................... 46

Sommaire.

19

2-2-3 Vérification de la tenue sous charge variable ...................................... 48 2-2-4 Conclusion sur le comportement en fatigue de l'assemblage ................ 48 2-3 Modèles de raideurs existants ................................................................................... 49 2-3-1 Modèle de WILEMAN [54] ............................................................... 49 2-3-2 Modèle de N'GUYEN [36] ................................................................. 52 2-3-3 Modèle de RASMUSSEN [41] .......................................................... 54 2-3-4 Modèle VDI 2230 [27] ...................................................................... 58 2-3-5 Critiques des différents modèles existants .......................................... 61 2-3-6 Comparaison des différents modèles .................................................. 63 2-4 Proposition d'une nouvelle modélisation ................................................................. 65 2-4-1 Modélisation en éléments finis de l'assemblage .................................. 65 2-4-2 Simulations en éléments finis ............................................................. 71 2-4-2-1 Détermination de la rigidité des pièces assemblées .............. 72 2-4-2-2 Proposition d'une nouvelle formule de calcul des raideurs des pièces ................................................................................... 79 2-4-2-3 Correction de la raideur équivalente du boulon Kb ............. 80 2-4-3 Vérification expérimentale ................................................................. 82 2-4-4 Influence de certains paramètres sur les raideurs ................................ 85 2-5 Influence du niveau d'introduction de la charge ....................................................... 92 2-5-1 Facteur d'introduction de la charge .................................................... 92 2-5-2 Mise en évidence du facteur γ : étude éléments finis .......................... 93 2-5-3 Validation expérimentale ................................................................... 102 2-5-4 Conclusion ......................................................................................... 104 2-6 Problème posé par l'empilage des pièces ................................................................. 105 2-6-1 Modèle analytique pour le cas d'un assemblage de deux pièces identiques ........................................................................................... 107 2-6-2 Cas des assemblages de pièces de module de Young différents et (ou) d'épaisseurs différentes ....................................................................... 110 2-6-2-1 Application du modèle analytique ....................................... 111 2-6-2-2 Etude par éléments finis ...................................................... 116 2-6-2-3 Comparaison entre le modèle analytique et les modélisations éléments finis ............................................... 120 2-6-3 Raideur d'un empilage de pièces de diamètres différents ................... 122 Chapitre 3 : Le modèle VDI 2230 linéaire et non linéaire. 3-1 Le modèle VDI 2230 ............................................................................................... 128 3-1-1 Principe de la modélisation ................................................................ 128 3-1-2 Détermination des raideurs suivant le cas de charge ........................... 130

Sommaire.

20

3-1-3 Calcul du supplément d'effort et de moment dans le boulon ............... 130 3-1-4 Etude d'une bride prismatique selon VDI 2230 .................................. 133 3-1-5 Conclusions ........................................................................................ 137 3-2 Modèle VDI non linéaire ........................................................................................ 138 3-2-1 Principe de la modélisation ................................................................ 138 3-2-2 Résolution du système d'équations ...................................................... 139 3-2-3 Remarques sur le calcul de Ip et sur l'importance du facteur d'introduction de la charge ........................................................................................ 140 3-2-4 Calcul de la précharge minimale à installer ........................................ 141 3-2-5 Calcul des contraintes dans la tige de la vis ........................................ 142 3-2-6 Conclusions ........................................................................................ 142 Chapitre 4 : Simulation en éléments finis et expérimentation de brides prismatiques. 4-1 Modélisation en éléments finis ................................................................................ 145 4-2 Expérimentation ...................................................................................................... 151 4-3 Validation expérimentale des éléments finis ............................................................ 157 4-4 Etude d'une bride en chape ...................................................................................... 159 4-5 Introduction de la charge dans un assemblage à chargement faiblement excentré .... 165 Chapitre 5 : Les modèles non linéaires. 5-1 Modèle en poutre fléchie ......................................................................................... 170 5-2 Modèle non linéaire ................................................................................................. 174 5-3 Modèle en poutre sur appuis élastiques .................................................................... 176 Chapitre 6 : Cas des brides cylindriques. 6-1 Modélisation de l'assemblage ................................................................................... 182 6-2 Détermination de l'effort extérieur à appliquer à l'élément de bride ........................ 182 6-3 Détermination de la largeur de bride équivalente .................................................... 184 6-3-1 Sensibilité à la largeur de bride .......................................................... 185 6-3-2 Forme géométrique adoptée ............................................................... 188 6-4 Modèle poutre sur appuis élastiques appliqué aux brides cylindriques .................... 188 6-4-1 Modélisation analytique de la bride ................................................... 188 6-4-2 Application à une bride chargée par un effort axial ........................... 189

Sommaire.

21

6-4-3 Bride soumise à un effort et un moment de flexion extérieur .............. 195 Conclusions et perspectives ............................................................................ 213 Annexe 7 ......................................................................................................................... 216 Annexe 8 ......................................................................................................................... 226 Annexe 10 ....................................................................................................................... 231 Annexe 11 ....................................................................................................................... 237 Références bibliographiques ........................................................................ 252 Liste des publications ........................................................................................ 260

Chapitre 1.

25

Chapitre 1

Résistance statique et dynamique

d'un élément fileté. Le très grand nombre de références existant dans le monde de la mécanique en matière de boulonnerie a conduit l'AFNOR [60] à une normalisation globale des éléments d'assemblages filetés (vis, écrous, et goujons). Ces recommandations concernent plus particulièrement les dimensions et tolérances, les matériaux, les outillages de serrage, et les spécifications d'essais (statiques et dynamiques). Ces normes regroupent : - Les couples de dimensions (diamètre nominal et pas) pour la boulonnerie à pas fin et à pas gros (pas normal). - La section résistante As des filetages : Cette section correspond à la section d'un cylindre de résistance équivalente à celle de la partie filetée de la vis. Elle donne également la même rigidité en traction. Elle se définit comme suit :

A d dS = ⋅

+FHG

IKJ

π4 2

2 32

(1-1)

Fig. 1-1 : Section résistante d'une vis.

Chapitre 1.

26

Cette donnée essentielle permet le passage des efforts aux contraintes lors d'essais sur la fixation, ou bien lors d'un calcul de dimensionnement ou de vérification de tenue de la vis. - Les essais de caractérisation du métal sur éprouvettes (Rmmin, Remin, Amin, KCUmin à 20 °C) et sur éléments (vis ou goujon) entier (Rmmax, résistance à la charge d'épreuve, résistance à la traction avec cale biaise). - Les essais de fatigue sous charge axiale. Cependant aucune valeur de contrainte limite de fatigue n'est indiquée. - Les classes de qualité des organes de liaison (vis, goujon) : Une classe de qualité "va certifier" que les caractéristiques des éléments utilisés répondent bien aux spécifications des essais de caractérisation. Les tableaux 1, 2 et 3 en annexe 1 rappellent les couples de dimensions, les sections résistantes correspondantes, ainsi que les caractéristiques mécaniques des vis et des goujons en fonction de leur classe de qualité selon la NFE 20898-1 et la NFE 20898-2. 1-1 Résistance statique d'un boulon. La norme NFE 20-898-1 et la NFE 20898-2 définissent clairement les spécifications d'essais statiques sur la liaison [60]. a) La vis : La résistance statique nominale d'une vis va être essentiellement fonction de la classe de qualité de l'élément fileté. Le symbole de la classe de qualité se compose de deux chiffres : - Le premier représente le 1/100 ème de la valeur nominale de la résistance à la traction exprimée en N/mm2 (MPa). - Le second représente dix fois le rapport entre la valeur nominale de la limite inférieure d'écoulement Rel ou de la limite conventionnelle d'élasticité Rp0.2 en N/mm2 et la valeur nominale de la résistance à la traction. Par exemple, pour une vis de classe 10.9 on obtient :

Rmmin ≈ 100*10 = 1000 MPa.

Remin ≈ 9 Rmmin10

∗ = 900 MPa.

Chapitre 1.

27

b) L'écrou : L'écrou est lui aussi soumis aux mêmes types d'essais (statiques). Il sera de la même façon affecté d'une classe de qualité. Dans ce cas, la classe de qualité est symbolisée par une valeur qui représente sensiblement le 1/100ème de la contrainte minimale exprimée en MPa sur la vis lors de l'essai de traction sur écrou. ex : écrou de classe 8 : L'écrou doit pouvoir résister à une force correspondant à une contrainte de 800 MPa dans la section résistante de la vis sans qu'il y ait une déformation permanente de l'écrou. L' écrou doit alors pouvoir être enlevé à la main. Dans le cas contraire la norme NFE 20-898-2 autorise l'utilisation d'une clé pour une manoeuvre d'un demi-tour de la clé au maximum. L' écrou doit être ensuite retiré à la main. De façon pratique, et à classe de qualité égale, l'écrou sera toujours bien plus résistant que la vis [24]. C'est donc la vis qui va dans tous les cas déterminer la résistance statique du boulon. Le CETIM a réalisé de nombreux essais statiques, notamment une intéressante étude comparative sur la boulonnerie en aciers spéciaux pour traitements thermiques, et en aciers au Bore [7], [8] et [11]. Ces essais montrent que la tenue statique (et dynamique) des boulons en aciers au Bore est toujours supérieure à celle obtenue avec les aciers spéciaux pour traitements thermiques.

1-2 Résistance dynamique d'un boulon. La rupture en fatigue concerne les assemblages vissés structuraux pour plus d'un cas sur deux [23]. La première difficulté est de déterminer les sollicitations auxquelles est soumise la liaison; cette première analyse est généralement complexe et nécessite souvent l'utilisation d'outils puissants comme les éléments finis. La deuxième difficulté est l'extrême complexité de la transmission des efforts entre l'écrou et la vis, qui dépend de la forme des filets, mais aussi des jeux et des rigidités relatives des pièces. De nombreux travaux ont essayé de modéliser le phénomène [50], [32] permettant une bonne compréhension de celui-ci, mais restant inexploitables pour le calcul. Les plus récents sont dus à TANAKA et HONGO [50] et sont réalisés en utilisant une modélisation par éléments finis. L'assemblage vissé se compose de trois corps élastiques (vis, écrou, pièce serrée). Afin de supprimer toute composante de flexion, l'étude est effectuée sur un montage axisymétrique. Le maillage ainsi réalisé est présenté sur la figure 1-2. Notons le raffinement du maillage dans les zones à fort gradient de contrainte : - Contacts pièce-écrou et écrou-vis. - Les filets en prise dans la vis.

Chapitre 1.

28

La précharge dans la vis est introduite au moyen d'une pression constante sur les éléments inférieurs de la vis (Q = 2700 kgf). Pour des raisons de symétrie les noeuds inférieurs de la pièce serrée sont bloqués axialement et la figure 1-3 montre la déformation globale des pièces.

Fig. 1-2 : Maillages des trois pièces [50]. Fig. 1-3 : Déformation d'ensemble

des pièces [50]. Résultats et analyses : - La zone proche de l'écrou est le siège de concentrations de contraintes importantes. - Le premier filet en prise supporte une grande partie de la charge expliquant de ce fait la quasi-totalité des ruptures des liaisons dans cette partie.

Fig. 1-4 : Courbes isocontraintes

équivalentes [50]. Fig. 1-5 : Répartition des contraintes

équivalentes dans le 1er filet en prise [50].

Chapitre 1.

29

En première approximation on peut retenir la représentation figure 1-6, communément employée [56].

Fig. 1-6 : Répartition des efforts dans les filets [56].

On estime que le premier filet d'une vis va supporter environ 34 % de la charge. Cette concentration d'effort est due à deux phénomènes : 1) L'existence du jeu qui entraîne un contact "progressif" du filet de l'écrou et de la vis. 2) Le fait qu'au niveau du premier filet on ait les déformations relatives les plus grandes (allongement maximal de la vis et compression maximale de l'écrou). On peut remédier à ce deuxième inconvénient en réalisant des écrous suspendus (fig. 1-7 a,b).

(a) (b) Fig. 1-7 : Répartition des efforts (écrous suspendus et spéciaux).

Compte tenu de la complexité du phénomène, la tenue dynamique d'une vis ne pourra être déterminée de façon précise que par le biais d'une campagne d'essai de fatigue sur la vis

Chapitre 1.

30

équipée de son écrou à défaut de pouvoir réaliser des essais sur les assemblages. 1-2-1 Essais dynamiques sur vis. A la demande des fabricants de boulonnerie et de nombreux industriels, le CETIM a été amené à réaliser d'importantes campagnes d'essais sur les liaisons vissées, notamment pour déterminer les caractéristiques dynamiques des boulons HR. La NFE 27-009 et l'ISO 3800/I définissent les conditions d'essais dynamiques sur les vis, et le fascicule de documentation NFE 25-030 [58] propose des valeurs de limite de fatigue en fonction des dimensions du boulon (tableau 1-1).

DIMENSIONS DES BOULONS M4 - M8 M10- M16 M18 - M30 60 MPa 50 MPa 40 MPa

Tab. 1-1 : Limite de fatigue des assemblages vissés [58]. Toutefois nous devons remarquer l'insuffisance de ces données qui ne définissent pas : - La probabilité de rupture. - Le niveau de la contrainte moyenne installée. En effet le jeu entre l'écrou et la vis ne permet pas de réaliser des sollicitations à σm = 0 qui de toute façon ne seraient pas représentatives du comportement de l'assemblage précontraint. Le CETIM a voulu au travers des essais qu'il a réalisé, proposer des valeurs sûres, susceptibles de servir de référence dans un modèle de calcul précis. La figure 1-8 présente le montage d'essais. Ceux-ci ont été réalisés sur un vibrophore AMSLER 45 HFP.

Fig. 1-8 : Montage d'essais de fatigue [56].

Chapitre 1.

31

La figure 1-9 défini le type de sollicitations imprimées au boulon :

t

σalt

σmoy

σmax

σmin

1 cycleσ

Fig. 1-9 : Sollicitation de fatigue : définition des paramètres.

Elles sont caractérisées par : a) Une contrainte moyenne constante (généralement une fraction de la limite d'élasticité de la classe de qualité considérée) telle que :

σσ σ

moymax min= +

2

b) Une contrainte de traction ondulée sinusoïdale telle que :

σσ σ

alt =−max min

2

Avec : R = Contrainte minimaleContrainte maximale

Effort minimumEffort maximumσ = = 0.1

Remarquons que le montage employé interdit les contraintes du type alternées. Pour ces essais, la contrainte moyenne a été fixée à : - La limite élastique minimale de la classe de qualité pour les quatre lots de pièces (donc quatre nuances d'acier). - 0.8*Re pour les deux lots de classe 12.9. 1-2-2 Caractéristiques dynamiques des boulons. La limite d'endurance des vis notée σAD vis est déterminée par la méthode du stair-case court ou "méthode de DIXON" par cinq ou six essais à rupture. La partie descendante de la courbe de

Chapitre 1.

32

Wöhler est déterminée par cinq ou six essais à rupture pour des niveaux d'efforts appliqués différents. Le tableau 1-2 récapitule les valeurs obtenues pour un diamètre nominal de 10 mm et une probabilité de rupture à 50 %. Classe de qualité Matériau σm (MPa) σAD vis (MPa) σAD vis m / R (%)

8.8 30C4

20MB4

Re (660)

52.5

62.5

6 7

12.9 42CD4 Re (1060) 0.8*Re (880)

39.2 52.5

3.3 4.4

12.9 30B3 Re (1060) 0.8*Re (880)

44.2 53.6

3.6 4.4

Tab. 1-2 : Limite de fatigue des vis [11].

Les deux courbes de Wöhler (fig. 1-10 et 1-11) illustrent les résultats expérimentaux sur les deux lots de classe 12.9.

Fig. 1-10 : Courbes de Wöhler - Vis 42CD4 - Classe de qualité 12.9.

Chapitre 1.

33

Fig. 1-11 : Courbes de Wöhler - Vis 30B3 - Classe de qualité 12.9.

1-2-3 Conclusions partielles. Nous constatons au vue de ces essais le très bon comportement mécanique (statique ou dynamique) des boulons au Bore comparativement aux boulons à alliages pour traitement thermique. En effet, quel que soit la contrainte moyenne appliquée et quel que soit la classe de qualité, les boulons au Bore ont des performances au moins égales aux boulons en acier allié. D'autre part, les vis de classe 8.8 révèlent une limite d'endurance supérieure aux vis de classe 12.9 s'expliquant par une moindre sensibilité à l'entaille. La nuance au Bore (classe 8.8) obtient un gain en performance dynamique de l'ordre de 19 % par rapport aux aciers à traitements thermiques, confirmant de ce fait l'intérêt qu'il faut porter aux alliage à base de Bore. Ces résultats ainsi que ceux repris en annexe 2, résumant les résultats dynamiques sur les vis, réalisés au CETIM depuis 1974, nous incitent à la prudence quant au niveau de serrage à infliger aux vis de classe élevée. En effet il semble intéressant d'aller relativement haut avec les classes de qualité 8.8 alors qu'il ne sera pas nécessaire de dépasser un niveau de serrage pouvant être critique pour certains matériaux de classe 12.9. Dans ce cas précis, le serrage dit à la limite élastique conduisant par son principe même à des niveaux de contrainte dépassant la limite élastique de la vis peut être défavorable à la tenue de l'assemblage.

Chapitre 1.

34

D'autre part le tableau 1-3 définis les valeurs limites admissibles pour les trois classes de qualité, obtenues à partir des essais (annexe I), en fonction du diamètre de la vis comparées aux valeurs proposées par la norme NFE 25-030 [58].

Dimensions des boulons

M4 à M8

M10 à M16

M18 à M30

25- 030

σD MPaNFE

b g 60

50

40

σD 3 106⋅c h b g MPa valeur mini

extrapolée de la courbe classe 8.8

73

66

55

σD 3 106⋅c h b g MPa valeur mini

extrapolée de la courbe classe 10.9

60

53

40

σD 3 106⋅c h b g MPa valeur mini

extrapolée de la courbe classe 12.9

54

49

40

Tab. 1-3 :Limite de fatigue en fonction du diamètre pour σm = ∗0 8. Re .

On peut constater : - Une assez bonne corrélation des valeurs données par la norme NFE 25-030 avec les essais expérimentaux (écart maximum de 20 %) - Une tenue en fatigue maximum obtenue pour les vis de classe 8.8 confirmant de ce fait les résultats des précédents essais (moindre effet de l'entaille). - Une augmentation de la limite de fatigue avec la diminution du diamètre nominal de la vis (conforme à la NFE 25-030) s'expliquant par une meilleure homogénéité de la pièce. - Des caractéristiques dynamiques pour les vis de classe 12.9 et 10.9 qui sont très voisines : le choix de la classe de qualité sera essentiellement lié aux caractéristiques statiques de la liaison. 1-3 Amélioration de la tenue en fatigue d'une vis. Il semble maintenant établi que la limite d'endurance d'une vis "conventionnelle" se situe aux

Chapitre 1.

35

alentours de la valeur communément admise de 50 MPa. Cependant la modification de certains paramètres va permettre des gains plus ou moins conséquents sur la tenue en dynamique de la liaison. Les travaux de THOMALA [51] nous renseignent sur les parties ou doivent se porter les modifications pour obtenir des améliorations (fig. 1-12).

Fig. 1-12 : Effet d'entaille sur une vis d'après [51].

Localisation de

l'entaille

1 2 3 4 5 6

Coefficient de forme

αK

3 à 5

≈ 1 1.

1

3 à 4

2 à 3

jusqu'à 10

Effet d'entaille en fatigue βK

2 à 4

1 à 1.1

1

≈ 2

1.5 à 2

5 à 8

Tab. 1-4 : Localisation des zones sensibles d'une vis [51].

Conformément aux travaux de TANAKA et HONGO [50], la liaison vis-écrou au premier filet supporte la plus forte concentration de contrainte. C'est donc en priorité dans cette partie que les efforts devront se porter. Le tableau ci-après résume les améliorations proposées par différents auteurs [56], [53], [14], [25], [47]. Remarquons toutefois que les différents facteurs de gain ne sont pas indépendants, donc non cumulatifs. D'autre part ces facteurs sont donnés à titre indicatif et sous toute réserve. Ils permettent néanmoins un classement hiérarchisé des différentes solutions. Nous donnons en annexe 3 le détail de quelques solutions et les résultats que l'on peut en attendre.

Chapitre 1.

36

Amélioration de la

vis Amélioration de

l'écrou Amélioration vis-

écrou Gain espéré sur σD

(pourcentage) Roulage après T.Th.

Vis élastique.

Liaison fût-filet (rayon, gorge à

rayon).

écrou élastique.

Ecrou de module d'élasticité < à celui

de la vis.

Hauteur d'écrou de 0.6*d à 1*d.

Pas conique de

l'écrou (base du cône vers la pièce ou

inverse sur la vis.

Ecrouissage du boulon.

Profil du filetage (augmentation du

rayon du filetage ou de l'angle du profil

asymétrique).

Pas de la vis < pas de l'écrou.

70 à 100

60

30

80

20 à 30

10 à 15

25

60 à 100

25

50

Tab. 1-5 : Gain espéré sur la tenue dynamique en fonction de l'amélioration proposée.

Chapitre 1.

37

1-4 Conclusions. Même si l'on sait que certains paramètres peuvent améliorer ou diminuer la limite de fatigue d'une vis, citons pour exemples : - Modification des matériaux. - Traitement de surface. - Mode de fabrication du filetage. - Conditions du milieu ambiant. - Jeu vis-écrou. - Nature de l'écrou. - ... Il n'en demeure pas moins que la tenue en fatigue d'une vis (40 à 50 MPa sont des valeurs couramment admises) est très faible en regard de sa tenue sous contrainte statique. Par exemple, une vis de classe 10.9 donnée pour une résistance élastique minimale sensiblement égale à 900 MPa, va avoir une limite de fatigue de l'ordre de 50 MPa. Cette disproportion dans les comportements mécaniques doit inciter le concepteur à la prudence notamment sur le choix de la classe de qualité. D'autre part, lorsqu'on aura à faire à une sollicitation dynamique, la contrainte alternée devra être calculée avec une précision suffisante, ce qui implique une bonne connaissance du comportement de l'assemblage, et la maîtrise de tous les paramètres, et particulièrement de la précharge. L'utilisation d'un modèle de calcul empirique entraînant des valeurs de précharge, ou trop faible (sous-serrage), ou trop forte (sur-serrage) pourra avoir à terme des conséquences désastreuses sur la tenue en fatigue de la liaison vissée. La relative faible valeur de limite d'endurance d'une vis ne laisse que peu de place à l'improvisation. Il est donc impératif de mettre au point des modèles de calculs performants permettant une détermination précise de la valeur de la contrainte alternée agissant sur la vis.

Chapitre 2.

41

2-1-4 Incertitudes sur la précontrainte. Deux causes principales sont mises en évidence : a) Dispersions dues à l'instrument de serrage sur le couple réellement appliqué, ainsi que les dispersions éventuelles dues à l'opérateur. On trouvera en annexe 2 les valeurs données par [48] qui récapitulent les précisions des différents outils de serrage utilisés dans le monde industriel.Ces erreurs sur le couple de serrage vont bien-sûr avoir des répercussions non négligeables sur la valeur de la précharge effectivement introduite. b) Les dispersions des valeurs des coefficients de frottement au niveau des filets et sous-tête : on donne en annexe 2 les valeurs indicatives du coefficient de frottement µ pour les états de surfaces et les types de lubrifications couramment employés, d'après [48]. Les deux causes principales de dispersion étant déterminées, il est facile de calculer la dispersion totale du moyen de serrage, par différenciation de l'expression (2-1). On obtient :

e QQ

CC

d r d rP d rC

t h m t h m

t h m

= = +⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆0 583 0 583

0 161 0 5832 2

2

. .. .

µ µ µ µµ µ

L'effort de précharge obtenu varie entre Q imin et Q imax compte tenu des dispersions sur le couple appliqué, sur les coefficients de frottements et sur les dimensions. Le coefficient de dispersion totale du moyen de serrage, noté α et égal au rapport de Q imax sur Q imin , s'exprime en fonction de eC et vaut (documentation AFNOR [58]) :

α = =+−

QQ

ee

i

i

C

C

max

min

11

Le tableau 2-1 regroupe les valeurs du coefficient α associé à des moyens et conditions de serrage donnés [16].

Chapitre 2.

42

α =QQ

i

i

max

min

e % - Moyens de contrôle. - Conditions d'assemblage.

4

± 60 %

- Clé à main ou à choc sans étalonnage. - Préparation des éléments assemblés et choix des boulons sans conditions particulières.

2.3

± 40 %

- Clé à choc avec adaptation de rigidité et étalonnage périodique. - Les conditions d'assemblage impliquent un respect minimum des recommandations pratiques.

1.5

± 20 %

- Clé dynamométriques (contrôle du couple de serrage). - Les éléments assemblés doivent présenter un bon état de surface, le choix des boulons et les conditions de lubrification doivent être maîtrisés. Un essai de qualification de l'assemblage est alors impératif (NFE 25-005).

Tab. 2-1 : Dispersion du serrage.

Nous pouvons donc constater que les incertitudes sur la valeur du coefficient de frottement et sur la valeur du couple fourni par l'outil de serrage sont toujours très importantes. C'est pourquoi le problème du serrage des vis est devenu le premier souci des utilisateurs de liaisons vissées. De nombreux procédés ont été imaginés ces dernières années. Nous avons présenté les plus pertinents en annexe 3. A l'évidence le procédé idéal reste à inventer. 2-1-5 Conclusion sur le serrage. L'amélioration de la précision du serrage est donc un des problèmes essentiel de la mise en oeuvre des assemblages boulonnés modernes. La recherche d'assemblages optimisés, tant au niveau de la masse, qu'au niveau de la durée de vie, a conduit de nombreuses entreprises à rechercher des outils de serrage de plus en plus précis. Néanmoins il ne faut pas oublier que la valeur minimale de la précharge à introduire dans la (ou les) vis composant l'assemblage pour en assurer la tenue, va être déterminée par différentes conditions (non décollement des pièces, stabilité de l'assemblage, durée de vie minimale en fatigue). C'est l'outil de serrage qui va fixer

Chapitre 2.

48

σλ

bT

s

Q FeAmax =

+ ⋅

σλ

ms

T C

s

QA

Fe FeA

= +⋅ −

⋅( )

2 (2-6)

σλ

aT C

s

Fe FeA

=⋅ +

⋅( )

2

2-2-3 Vérification de la tenue sous charge variable.

En Statique : On va calculer la valeur de la contrainte normale maximale équivalente et la comparer à 90 % de la valeur minimale de la limite élastique de la classe de qualité considérée ce qui assure que l'assemblage reste globalement dans le domaine élastique :

σλ

πeMM M

s

M

s

Q FeA

Cd

=+ ⋅F

HGIKJ + ⋅

⋅⋅

FHG

IKJ

LNMM

OQPP ≤ ⋅

2

13

2

3 16 0 9

12

. Remin (2-7)

En Fatigue : En calculant la contrainte alternée et en la comparant à la limite de fatigue :

σλ

σaM m

sN D

Fe FeA

K=⋅ −

⋅≤ ⋅

( )2

(2-8)

avec : KN = Coefficient de correction de tenue dynamique (fonction du nombre de cycles). σD = Limite de fatigue de la vis considérée. 2-2-4 Conclusion sur le comportement en fatigue de l'assemblage. Si l'on ne précontraint pas l'assemblage, l'intégralité de l'effort dynamique extérieur est repris par le boulon. Cet état de fait va être très préjudiciable pour la tenue dynamique de la liaison, compte tenue des faibles performances dynamiques d'un boulon (40 à 50 MPa). Il conviendra donc d'installer une précharge minimale afin d'éviter le décollement des faces en contact. D'autre part la contrainte alternée est directement proportionnelle à la rigidité en tension du boulon Kb et inversement proportionnelle à la somme des rigidités Kb et Kp (rigidité en compression des pièces). On a donc intérêt, dans le cas d'un chargement en fatigue, à avoir des

Chapitre 2.

49

boulons souples (c'est à dire de diamètre mini et de longueur suffisante) et des pièces rigides. Si les modèles de calcul des raideurs des boulons sont dans l'ensemble satisfaisants, il n'en est pas de même pour les pièces assemblées. C'est l'importance de ce paramètre pour la tenue de l'assemblage en fatigue qui nous a conduit dans la partie qui va suivre à développer l'étude des modèles de calcul de la rigidité en compression des pièces assemblées, puis à proposer un nouveau modèle. 2-3 Modèles de raideurs existants. La détermination de la raideur des pièces assemblées a fait l'objet de très nombreuses recherches [27][54][41]. Cependant dans un souci de clarté, nous allons nous limiter à rappeler les modèles de calculs les plus pertinents, et ceux qui ont été proposés récemment. 2-3-1 Modèle de WILEMAN [54] - (1991). La plupart des méthodes, pour la détermination de la rigidité des pièces, nécessite la bonne connaissance de la région comprimée autour du boulon [21][35]. La méthode par éléments finis permet de s'affranchir de cet inconvénient. GOULD et MIKIC ont appliqué cette méthode pour déterminer la zone de décollement des pièces à l'interface. Récemment ces travaux ont été poursuivis par WILEMAN pour le calcul de la rigidité des pièces assemblées [54]. Cette nouvelle approche est cependant soumise à certaines hypothèses :

a) L'assemblage est parfaitement axisymétrique : cette hypothèse est bien respectée dans la pratique, pour la majorité des assemblages. b) Les deux parties assemblées sont du même matériau, et il n'y a pas de glissement entre les pièces serrées au plan de joint : Cette condition est toujours satisfaite pour les assemblages de pièces de même épaisseur (et donc de déformées symétriques), mais elle n'est plus valable si l'assemblage est réalisé avec des pièces d'épaisseurs différentes. L'hypothèse sera alors respectée si le coefficient de frottement à l'interface des deux pièces est suffisant pour éviter le glissement. L'assemblage étudié est présenté figure 2-9.

Fig. 2-9 : Assemblage étudié par WILEMAN [54].

Chapitre 2.

50

Cette configuration de montage possède deux symétries évidentes, en conséquence l'étude par éléments finis pourra être réduite à un quart de la pièce totale. De plus, la symétrie de chargement va permettre une étude bi-dimensionnelle de la "structure", réduisant de ce fait les paramètres de calcul de façon considérable. Les conditions aux limites installées sont les suivantes : - Blocage des noeuds situés sur le plan de joint des pièces assemblées, suivant l'axe z, pour des raisons de continuité de matière (respect de la symétrie), le déplacement radial restant cependant possible. - Blocage des noeuds situés sur l'axe d'axisymétrie pour les mêmes raisons qu'énoncées précédemment. Remarquons tout de suite que le blocage des noeuds de l'interface ne saurait représenter le comportement réèl de la liaison. En effet, sous l'action du serrage, le décollement des pièces assemblées se produit à une certaine distance de l'axe du boulon [49]. Une modélisation simple effectuée sur CETIM CASTOR-2D [12] confirme ce phénomène (fig.2-10).

b) a) Fig. 2-10 : Modélisation du comportement de l'assemblage sous l'effet du serrage.

La précharge est introduite par contraction de la vis sous une diminution de température. WILEMAN a donc effectué une série d'essais, en se servant des éléments de contacts afin d'autoriser ce "baillement" des pièces. Un comparatif des deux méthodes (avec ou sans éléments contacts) pour la détermination de la rigidité des pièces assemblées lui fait conclure à la quasi-égalité des deux méthodes. En conséquence WILEMAN a choisi de bloquer la totalité des noeuds situés à l'interface. La modélisation de l'assemblage s'en trouve ainsi grandement

Chapitre 2.

51

simplifiée de même que le temps de calcul. De plus il fait l'hypothèse que la rigidité des pièces est indépendante de la vis (tête et corps de vis). Cette hypothèse permet le remplacement de la vis par une rondelle de dimensions équivalentes à celles de la tête de vis. L'application de l'effort est réalisé par l'introduction d'une pression constante sur la rondelle à partir du bord du trou, jusqu'au diamètre extérieur de celle-ci. La figure 2-11 présente le maillage de l'ensemble étudié (1976 noeuds et 1872 éléments).

a) b) Fig. 2-11 : Modélisation de WILEMAN [54].

a) Maillage. b) Isocontraintes de compression.

Notons le raffinement du maillage dans la zone à forte concentration de contrainte (contact rondelle-pièce serrée). Afin d'obtenir une déformée uniforme de la rondelle, WILEMAN fixe le module d'élasticité de la rondelle à mille fois le module d'élasticité de la pièce. Cette condition, d'extrême rigidité de la "rondelle", permet la détermination aisée de la rigidité de la pièce serrée, calculée comme le rapport de l'effort appliqué sur la "rondelle" et le déplacement de celle-ci. Si cette modélisation a l'avantage de permettre une définition et un calcul simple de la raideur, nous pouvons constater qu'elle ne correspond pas au chargement réel comme le montre la figure 2-12.

Fig. 2-12 : Comportement d'un poinçon déformable.

Chapitre 2.

52

WILEMAN a fait varier la géométrie, les matériaux et les chargements. Il a constaté que pour une géométrie et un matériau donné, il y avait proportionnalité du déplacement à la force appliquée. Il propose ainsi d'exprimer la rigidité Kp à partir de l'expression sans dimension.

⋅=⋅

Lpd

62914.0

e78952.0dEp

Kp (2-9)

Cette formulation qui ne tient pas compte de la dimension de la zone de contact (diamètre de la tête) et du diamètre des pièces ne nous semble pas convenable. 2-3-2 Modèle de N'GUYEN [36] - (1989). Comme précédemment la méthode de calcul de la rigidité de pièces assemblées par boulon est uniquement issue de résultats éléments finis. De plus le domaine d'application ne concerne que les pièces axisymétriques. La figure 2-13 illustre les dimensions principales de la liaison étudiée.

Fig. 2-13 : Paramètres définissant les pièces étudiées.

L'étude pourra être réalisée sur un quart de pièce (deux symétries). D'autre part un grand nombre de configurations est étudié afin d'explorer le domaine des assemblages de la mécanique actuelle. Pour ces essais, le diamètre du boulon varie entre 4 mm et 30 mm. Le rapport Dp/Da varie entre 1.25 et 5 et enfin le rapport Lp/d varie entre 1 et 10. Par ailleurs, N'GUYEN fait l'hypothèse, non justifiée, que la tête du boulon est généralement beaucoup plus rigide que les pièces assemblées. Cette remarque permet de considérer que la zone de contact entre la tête du boulon et les pièces assemblées reste plane après chargement, et n'induit que des déplacements parallèles autour de l'axe du boulon. C'est pourquoi le boulon est supprimé et remplacé par une pression constante partant du bord du trou jusqu'au diamètre extérieur d'appui de la tête de vis (la même approche a été utilisée analytiquement par FERNLUND [18]). La figure 2-14 montre la modélisation éléments finis utilisée.

Chapitre 2.

53

Fig. 2-14 : Modélisation éléments finis proposée par N'GUYEN [36].

La définition de la raideur des deux pièces assemblées est alors déduite du déplacement axial de la zone comprimée sous tête mesuré sur le bord du trou :

Kp Q

PM

=⋅2 δ

A partir d'un grand nombre de résultats, il propose :

Kp EpDa Dt

LpC

Dp Da Da LpDp Lp DtC C= ⋅ ⋅

−LNMM

OQPP + ⋅

− ⋅ + ⋅⋅ ⋅ −

π4

10 052 2

0 5 2 0 5 2

c h b g b g.. . (2-10)

Que l'on peut exprimer de la manière suivante en considérant le cylindre de section Ap et de longueur Lp comprimé uniformément :

Ap Da Dt CDp Da Da Lp

Dp Lp DtC C= ⋅ − + ⋅− ⋅ + ⋅

⋅ ⋅− −

π4

10 052 2

0 5 2 1 0 5 2c h b g b gb g

.. .

avec :

pour Dp Da C DaDp

C DaDp

< ⋅ = ⋅FHG

IKJ

=FHG

IKJ

R

S|||

T|||

3 1 1 45

2

1 22

1 22

..

.

et Pour Dp Da C

C DaDp

≥ ⋅ =

= −FHG

IKJ

R

S|||

T|||

3 1 0 367

2 0 61 22

.

..

(2-11)

Chapitre 2.

54

La figure 2-15 présente les résultats pour un boulon M6 (module de Young = 206 GPa) :

Fig. 2-15 : Comparaison du modèle N'GUYEN avec VDI 2230 [62].

2-3-3 Modèle de RASMUSSEN [41] - (1978). Ce modèle propose une formulation de la rigidité des pièces assemblées uniquement par un boulon. La géométrie servant de base à la modélisation est décrite figure 2-16.

Fig. 2-16 : Paramètres définissant les pièces [41].

Chapitre 2.

55

Le nombre important de variables (6) nécessaires pour décrire la structure ont conduit RASMUSSEN à rendre adimensionnel l'ensemble des paramètres. Le choix du paramètre "adimensionnant" s'est porté sur Da. En effet, c'est le diamètre d'appui de la tête du boulon qui va conditionner l'étendue de la zone comprimée des pièces, et donc influencer le comportement de la liaison. Nous posons :

Dp DpDa

Dt DtDa

Lp LpDa

k kDa

Ap ApDa

* * * * *= = = = = ; ; ; ; d = dDa

; *2

L'étude est effectuée avec des vis hexagonales standard (ISO) ayant un diamètre nominal d tel que 6 30< <d . De plus k* = 0.42, d* .= 0 63 et une valeur moyenne Dt* telle que Dt* .= 0 7.

Le but de cette étude est de déterminer la relation Ap Ap Lp Dp Dt* * * * *, ,= c h à l'aide d'une

simulation par éléments finis. L'axisymétrie du problème permet une étude sur un quart de pièce. La figure 2-17 présente le maillage choisi. Les éléments utilisés sont des triangles (2D) à approximation linéaire.

Fig. 2-17 : Modèle éléments finis de [41].

Le glissement possible de la tête de vis sur la pièce serrée impose la création d'une zone de contact. Pour des raisons de simplification, RASMUSSEN fait l'hypothèse que deux noeuds situés en vis à vis de la zone de contact n'ont aucun déplacement radial relatif. Comme nous l'avons vu dans les deux premières méthodes décrites, la difficulté consiste à caractériser les déplacements. Description de la méthode : Le boulon et la pièce sont déplacés d'une valeur relative égale à L qui va se répercuter en un déplacement sur le boulon, noté d1 , et un déplacement sur la pièce, noté d2 pour chaque noeud

de la zone de contact pièce-boulon.

Chapitre 2.

56

Les valeurs d et d1 2 sont représentées sur la figure 2-18.

Fig. 2-18 : Illustration des déplacements.

Par convention l'indice 1 sera associé à un noeud de la surface de contact appartenant au boulon. L'indice 2 sera associé à un noeud de la surface de contact appartenant à la pièce. L'équilibre de la structure permet d'écrire la relation (dans la zone de contact) :

P P1 2= −

avec : P1 = Vecteur charge pour les degrés de libertés sur la frontière du boulon (inconnu). P2 = Vecteur charge pour les degrés de libertés sur la frontière de la pièce.

De plus le déplacement relatif d d1 2− peut s'exprimer en fonction des souplesses boulon et

pièce, notées respectivement F F1 2 et . Soit donc :

F F P d d1 2 1 1 2+ ⋅ = −e j

Les matrices de souplesses F F1 2 et sont déterminées par applications successives d'un effort

unité sur chacun des noeuds de la zone de contact. RASMUSSEN distingue cependant deux cas (frottement infini dans la zone de contact, ou bien frottement nul). Connaissant maintenant la valeur de P1 , il est facile de remonter aux déplacements de la pièce et du boulon par les deux

équations suivantes :

d F P d F P1 1 1 2 2 2= ⋅ = ⋅ ⋅ et = -F P 1 1

Chapitre 2.

57

Le déplacement de la pièce retenu, est une valeur moyenne des déplacements des noeuds de la surface de contact, pondérés suivant le rayon du noeud considéré. Remarque : La superposition de ces déformations et efforts sur la frontière permet de déterminer les contraintes dans la pièce. La connaissance de la valeur "moyenne" du déplacement de la pièce d2 moy et la valeur "moyenne" de la charge dans le boulon P1 moy permet de déterminer la section équivalente Ap d'un cylindre soumis au même effort P1 moy et admettant un déplacement égal à d2 moy . La valeur

adimentionnelle Ap* est obtenue en divisant la section du cylindre équivalente par Da2. Le croquis ci-après illustre la méthode.

Fig. 2-19 : Illustration du calcul de la section équivalente [41].

RASMUSSEN propose la formule analytique suivante, englobant tous les résultats éléments finis. L' erreur maximum est de 3 % pour la majorité des cas en comparaison avec les résultats donnés par les éléments finis.

Ap4

1 Dt 12

Dp 1 tan 0.35 Lp 1 2 Lp 12 Dp Dt

* *2 *2 1* *2

*2 *2= ⋅ − + ⋅ − ⋅⋅ + + ⋅ −

⋅ −

LNMM

OQPP

−π c h c h c h (2-12)

La courbe ci-après illustre les résultats obtenus par élements finis pour Dt

* ,≈ 0 7 . Ces courbes sont tracées pour des hauteurs de pièces variables Lp

* ,= 0 5 à 10c h.

Chapitre 2.

58

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Dp*

Ap*

Lp*=0.5Lp*=1Lp*=2Lp*=3Lp*=5Lp*=10

Fig. 2-20 : Section équivalente réduite donnée par [41]. 2-3-4 Modèle VDI 2230 [27] - (1986). C'est sans aucun doute le modèle de calcul le plus employé dans les bureaux d'études de nos jours. Le calcul de la raideur des pièces assemblées s'effectue en considérant le modèle équivalent de section Ap soumis à une compression uniforme, de longueur Lp1 et Lp2, et de module d'élsticité Ep1 et Ep2 identiques aux pièces réelles (fig. 2-21).

Fig. 2-21 : Définition du modèle équivalent.

Chapitre 2.

59

Il vient alors : 1 1 1

1

2

2Kp ApLpEp

LpEp

= ⋅ +LNM

OQP

Ce modèle présente la particularité d'être issu uniquement d'essais expérimentaux. Le montage utilisé est présenté figure 2-22 [52].

Fig. 2-22 : Détermination de la rigidité des pièces dans le modèle VDI 2230 [52].

Les pièces utilisées sont répertoriées dans le tableau 2-2.

Dp Lp Da Dt 18 ; 25 ; 30 35 36 ; 40 ; 50 50 18 14

72 100 Matières des pièces

utilisées 42C4 et Fonte grise (GG20)

Tab. 2-2 : Dimensions des pièces essayées.

L'introduction de l'effort est effectué sur une machine de compression par l'intermédiaire d'un poinçon en acier très dur supposé indéformable. La mesure du déplacement est réalisée avec un capteur de déplacement de type inductif (référence W1TM) monté dans l'axe du trou de la pièce,

Chapitre 2.

60

avec des points d'ancrages de l'instrument de mesure différents selon l'épaisseur Lp des pièces testées (point a, b, c figure 2-22) ce qui impose une correction des mesures. La figure 2-23 illustre l'évolution du déplacement mesuré, noté fp en fonction de l'effort extérieur Fe, pour les deux matériaux utilisés et pour un cycle d'effort 0, Femaxi ,0b g .

Fig. 2-23 : Comportement des pièces lors de la mesure [52].

Cette courbe révèle une hystérésis plus importante pour la fonte que pour l'acier. Cet effet d'hystérésis peut s'expliquer par : - une pente plus faible de la courbe lors de la relaxation de l'effort extérieur causée par une déformation plastique de la zone de contact et un dépassement localisé de la contrainte maximum admissible. - L'impossibilité de déformation dans la zone de contact dûe au frottement.

La mesure sera faite pour un effort extérieur proche du maximum dans la partie descendante de la courbe. C'est en effet la configuration la plus proche des assemblages réels puisqu'il se produit de façon générale des relâchements ou relaxations de la liaison après application d'un effort extérieur. La rigidité sera obtenue par la relation :

Kp Fef

fFep

p= = soit Sp

Les règles VDI ont proposé plusieurs formulations au cours du temps. En 1977 à partir des travaux de FRITSCHE [21] elles proposent une première formulation qui est une approximation linéaire des résultats des mesures (fig. 2-23), puis en 1983 à partir des expériences décrites précédemment une nouvelle formulation est proposée [62], qui fait la distinction entre serrage

Chapitre 2.

61

par écrou et serrage par trou borgne. La dernière version de VDI 2230 (1986) [27] reprend l'intégralité des résultats de VDI 2230 (1983), mais en supprimant cette distinction, considérant le cas du serrage par écrou plus pénalisant, donc souhaitable. Les différentes expressions de Ap proposées sont les suivantes :

1° cas : Dp Da≤ Ap Da Dt= ⋅ −π4

2 2c h

2° cas : Da Dp Da Lp≤ ≤ + Ap Da Dt Da Dp Da x= ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ + −π π4 8

1 12 2 2c h b g b g

avec x Lp DaDp

=⋅

23 (2-13)

Remarque : Pour Da Dp Da< < ⋅1 5. , la relation reste valable pour des rapports Lpd

≤ 10

(d étant le diamètre nominal de la vis). 3° cas : Dp Da Lp> + , la rigidité de pièce reste constante même pour des diamètres de pièces croissants. Le calcul de la section équivalente sera effectué en prenant Dp Da Lp= + dans l'équation (2-13). Les recommandations VDI proposent également de traiter les pièces prismatiques en prenant pour Dp l'expression suivante : fig. 2-24.

Dp x y x y Da=+

≤ ⋅2

3 avec , (2-14)

2-3-5 Critiques des différents modèles existants. a) Modèle de WILEMAN [54]. Ce modèle possède l'avantage d'être simple et économique en temps de calcul. Néanmoins de nombreuses simplifications nuisent à la précision d'une telle modélisation. Citons :

- Le blocage des noeuds du plan de symétrie qui empêche le décollement des pièces serrées. Cette simplification va donner des valeurs de rigidités plus grandes que dans la réalité. - Le glissement de la tête du boulon n'est pas pris en compte : les valeurs de rigidité sont ainsi surestimées. - Le remplacement de la vis par une "rondelle" infiniment rigide n'est absolument pas conforme à la réalité physique.

Chapitre 2.

62

- Enfin, la prise en compte seulement de deux paramètres géométriques, alors qu'une description correcte en nécessite au moins cinq.

Ces deux derniers points constituent à notre avis des inexactitudes suffisantes pour rejeter cette modélisation. En effet l'indéformabilité de la "rondelle" n'est qu'un artifice permettant de déterminer facilement, et sans trop d'erreur le déplacement (parallèle) de la zone de contact. Dans la réalité, la déformée, non parallèle, de la zone de contact interdit une telle approche. De plus ce modèle n'inclut pas dans sa formulation le diamètre des pièces ni le diamètre de contact qui constituent deux paramètres essentiels de la rigidité équivalente. En conséquence, l'utilisation d'un tel modèle est fortement déconseillé, les résultats qu'il fournit ne pouvant être que faux. b) Modèle de N'GUYEN [36]. Ce modèle, contrairement au modèle de WILEMAN [54], prend en compte l'intégralité des paramètres décrivant la géométrie des pièces. Soit Dp L Dt Da, , ,p , et enfin d. Par ailleurs les deux modélisations demeurent très voisines, à la différence que l'action du boulon sur la pièce est remplacée par une répartition constante de la pression sur la zone d'appui de la vis. De nombreuses études [50][32] montrent que la répartition des contraintes sous tête est très loin d'être constante. La figure 2-24 issue des travaux de RASMUSSEN [41] nous montre l'allure de la répartition obtenue, que nous avons pu également vérifier.

Fig. 2-24 : Allure des pressions de contact sous tête d'après [41].

Une critique fondamentale de ce type de modèle est liée à l'absence de la vis constituant l'assemblage, or nous allons montrer que l'étude de la pièce ne doit pas être dissociée de l'étude du boulon. D'autre part, la non-conformité de ce modèle avec la réalité rend son utilisation sujet à

Chapitre 2.

63

interrogations. En effet, le problème reste de savoir où est réalisée la mesure de déplacement et à quoi elle correspond. c) Modèle de RASMUSSEN [41]. Ce modèle, pourtant ancien (1978), constitue à notre avis, la meilleure approche pour la détermination de la rigidité des pièces. La formulation proposée présente l'avantage de fournir une expression unique pour toutes les dimensions de pièces, et d'être de ce fait facilement programmable. La géométrie des pièces est entièrement définie et la vis est prise en compte, ce qui rend cette modélisation très proche de la réalité. Cependant la détermination de la rigidité est soumise à deux approximations : - Une approximation sur le déplacement moyen d2 : d2 moy dû au calcul d'une

valeur "milieu" sur cinq noeuds. - Une approximation sur la contrainte moyenne P1 : P1 moy dans la zone de contact

dûe au raffinement du maillage et au degré d'interpolation.

D'autre part l'hypothèse de départ émise par RASMUSSEN, concernant le déplacement radial des noeuds de la surface de contact, nul, nous parait très contestable. De plus le blocage des noeuds situés sur le plan de joint des pièces interdit leur décollement. Nous pensons que cette formulation, bien que relativement performante, ne reflète pas exactement la réalité. Rappelons que cette valeur de la raideur n'a fait l'objet d'aucune vérification expérimentale. d) Modèle VDI 2230 (1986) [27]. Ce modèle est le seul à être issu uniquement d'essais expérimentaux. La critique principale que nous pourrons porter sur ce modèle provient de la configuration du montage d'essais : le "poinçon" servant à l'introduction de l'effort et simulant la vis de l'assemblage, est comprimé, le rendant de ce fait quasiment indéformable. Il ne pourra donc en aucun cas prétendre simuler le comportement de la tête du boulon. En conséquence, la lecture du déplacement de la pièce mesuré dans l'axe du boulon ne peut pas refléter le comportement réel de la pièce. Nous conseillons donc aux concepteurs une prudence toute particulière quant à l'utilisation de ces expressions.

Chapitre 2.

64

2-3-6 Comparaison des différents modèles. Il nous a semblé intéressant de montrer la dispersion des résultats obtenus avec ces différents modèles pour des pièces ayant une longueur Lp ou (et) un diamètre Dp grand par rapport au diamètre Da de la zone de contact. Pour des raisons de clarté et de simplicité nous utiliserons la représentation adoptée par RASMUSSEN donnant des tracés en adimensionnel de la section équivalente en fonction du diamètre de la pièce. La figure 2-25 donne les valeurs de Ap en fonction de Dp∗ pour les modèles de raideurs présentés précédemment et pour Dt∗ ∗= =0 647 3. et Lp . Nous avons admis que le modèle de WILEMAN qui ne fait pas intervenir le diamètre extérieur des pièces était établi pour des Dp∗ > 4 . Comme nous allons le montrer par la suite, la formulation de RASMUSSEN est la plus proche de la réalité, et il apparait donc clairement que le modèle VDI est dangereux puisqu'il maximise la raideur des pièces et donc qu'il minimise la contrainte alternée calculée.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Dp*

Ap*

RasmussenVDI 1983VDI 1977N'GuyenWileman

Fig. 2-25 : Comparaison des différents modèles de raideurs existants pour Dt∗ = 0 647. et Lp∗ = 3. La grande disparité des résultats obtenus avec les différents modèles qui nous sont actuellement proposés, nous a conduit à étudier ce problème essentiel pour le comportement des assemblages, et à proposer une nouvelle méthode de calcul de la rigidité équivalente des pièces assemblées par un boulon, fondée sur des bases rigoureuses.

Chapitre 2.

65

2-4 Proposition d'une nouvelle modélisation. Comme nous avons pu le constater, la détermination des deux paramètres fondamentaux Kb et Kp, respectivement raideur du boulon, et raideur des pièces, est effectuée séparément dans la très grande majorité des modélisations. Cela part de l'idée simple que les pièces ou le boulon auraient des raideurs indépendantes l'une de l'autre. Or, il est facile d'imaginer que la raideur apparente de la vis n'est pas indépendante du diamètre du trou dans la pièce, et que celle de la pièce n'est pas indépendante de la manière dont sont introduits les efforts sous la tête de vis. On voit bien là, que ce ne sont pas des valeurs intrinsèques de la vis et de la pièce et qu'elles n'ont de sens que dans le cadre de l'assemblage. A partir de là, le vrai problème à résoudre est : Comment séparer ces deux raideurs apparentes pour pouvoir les utiliser dans le modèle de calcul ? 2-4-1 Modélisation en éléments finis de l'assemblage. Notre étude se limite au cas de pièces cylindriques ayant un trou concentrique par rapport au diamètre extérieur des pièces assemblées. Dans cette partie, nous nous limiterons au cas du serrage de deux pièces de même module, épaisseur et diamètre. La figure 2-26 présente l'assemblage étudié.

a) Modèle réel. b) Modèle éléments finis. Fig. 2-26 : Paramètres définissant l'assemblage étudié.

L'existence de deux symétries (plan de joint et axe de la vis) nous permet de limiter notre étude à un quart d'assemblage. La figure 2-26 illustre le passage du modèle réel au modèle éléments finis. L'étude en éléments finis sera donc effectuée avec le module axisymétrique (éléments type ELAX) du logiciel d'éléments finis MOSAIC V2.6 [59]. Le mailllage obtenu est présenté figure 2-27.

Chapitre 2.

66

Fig. 2-27 : Modélisation éléments finis.

1°) Conditions aux limites : a) Pour des raisons de continuité de matière, les noeuds situés sur l'axe d'axisymétrie sont bloqués radialement (suivant X) : cette condition est automatiquement prise en compte par le logiciel. b) La présence d'un plan de joint, plan de symétrie pour notre cas, impose le blocage des noeuds de la pièce situés sur ce même plan (suivant Y). 2°) Introduction d'une précharge dans la vis : Une des grandes difficultés de la modélisation des assemblages vissés concerne l'introduction de la précharge. Pour cela on dispose de deux possibilités : a) Chargement thermique. On peut installer une précharge en refroidissant la vis ou en amenant la pièce à une température plus élevée provoquant sa dilatation. Les noeuds inférieurs de la vis sont alors bloqués. Cette méthode semble donner des résultats corrects, mais elle ne représente pas tout à fait la réalité physique du phénomène, puisque dans les deux cas on induit des dilatations radiales, ce qui pose des problèmes à l'interface.

Chapitre 2.

67

b) Chargement mécanique. La mise en place d'un déplacement imposé aux noeuds inférieurs de la vis constitue à notre avis la meilleure solution pour simuler l'introduction de la précharge [72]. En effet, lors d'une opération de serrage, la mise sous tension du boulon est bien obtenue par un étirement de la vis. En conséquence, nous opterons pour cette mise en oeuvre simple de la précharge dans tous nos essais éléments finis. 3°) Remarques et modifications : a - Influence du rayon de raccordement sous la tête. La présence de l'arrondi sous la tête de vis sera modélisé afin de représenter de manière aussi fidèle que possible le comportement réel de la vis. Des essais éléments finis mettent en évidence l'importance du raccord sous la tête de vis. En effet, suivant l'importance du trou et pour un déplacement imposé, la différence de précharge obtenue varie de 1 à 4 %. Cet écart est d'autant plus marqué que le diamètre du trou est grand. En effet, la flexion de la tête de vis opérant au niveau du raccord sera d'autant plus grande que la rigidité de la tête de vis est faible (sans raccordement) et que la surface de contact vis-pièce est faible (diamètre de trou important). La figure 2-28 illustre la déformée de l'assemblage (vis sans raccordement) amplifiée par 100 sous un déplacement imposé de - 0.1 mm suivant -y.

Fig. 2-28 : Déformée de l'assemblage. Vis sans raccordement sous tête.

b - Influence du degré d'interpolation des éléments : Plusieurs modélisations ont été réalisées avec des éléments à approximation linéaire et avec des éléments à approximation quadratique. Nous avons constaté : - Un écart maximum entre les deux types d'interpolation de l'ordre de 1 % quel que soit le cas étudié.

Chapitre 2.

68

- Un rapport Nombre de noeuds (approximation quadratique)Nombre de noeuds (approximation linéaire)

≈ 3 pour un même

nombre d'éléments, conduisant au rapport TempsTemps

de calcul (quadratique) de calcul (linéaire)

4≈ à 5.

Pour notre exemple, le nombre de noeuds est passé de 980 (linéaire) à 2845 (quadratique). Nous pouvons donc conclure : L'utilisation des éléments à approximation quadratique donne des résultats, à priori plus précis que les éléments à approximation linéaire (écart maxi très faible cependant : 1 % environ), mais pour des temps de calculs 4 à 5 fois plus importants. Nous choisirons donc pour notre étude les éléments du type Q4 et T3 à degré d'approximation linéaire [59] avec adjonction d'un arrondi sous la tête de vis. La distorsion, possible, due au maillage, sera minimisée par l'utilisation d'éléments ayant une taille maximum de 0.5 mm par 0.5 mm. c - Décollement du plan de joint. Comme nous l'avons vu figure 2-10, le décollement, ou baillement des pièces en contact se produit à une certaine distance de l'axe du boulon [49]. FERNLUND [18] propose une méthode analytique de calcul de la répartition de la pression de contact à l'interface. La figure 2-29 donne l'allure de cette répartition de pression suivant le rayon R. Nous pouvons remarquer que la pression est maximale au bord du trou et vaut 0 35. ∗Pc , et qu'elle s'annule pour R a≈ ∗3 8. , rayon à partir duquel il y a décollement des pièces serrées.

Fig.2-29 : Répartition de pression à l'interface [18].

Chapitre 2.

69

Les travaux réalisés par ZIADA [55] confirment les résultats obtenus par FERNLUND [18] pour une pièce de géométrie voisine. Il remarque cependant que l'épaisseur des pièces assemblées intervient de façon importante sur la répartition des pressions de contact ainsi que sur la grandeur de la zone de contact. Ces résultats sont bien conformes à ceux obtenus par une méthode expérimentale développée par ITO [26]. L'ensemble de ces études nous montre à l'évidence que la zone de contact est variable suivant la configuration géométrique de l'assemblage. Il n'existe donc pas de relation précise reliant la zone de contact à la géométrie. Nous proposons donc deux méthodes permettant de palier ce manque. 1°) Première méthode : "manuelle". Cette méthode s'effectue en deux temps : - Premier temps : Blocage de tous les noeuds, sans distinction, situés sur le plan de joint dans la direction axiale. - Deuxième temps : Après calcul de l'ensemble, nous analysons les contraintes axiales σy sur tous les noeuds bloqués :

a) Si σy < 0 : Le noeud est comprimé, signifiant ainsi son non-décollement :

il restera donc bloqué. b) Si σy > 0 : Le noeud est tendu, signifiant ainsi le décollement de la pièce

à l'aplomb de ce noeud : il devra donc être laché. Cette procédure sera répétée jusqu'à obtention d'un état d'équilibre ⇒ La zone de contact est ainsi définie et le décollement des pièces devient possible. 2°) Deuxième méthode : Utilisation des éléments de contact. Le logiciel MOSAIC [59] permet l'utilisation d'éléments de contact unilatéraux (rigide dans le sens -y et souple dans le sens y). Ces éléments sont du type CTC2 [59] composés de deux noeuds. d - Comparaison des deux méthodes. La première méthode s'avère très efficace pour les pièces n'admettant aucun décollement du plan de joint (essentiellement pièces de petit diamètre). La deuxième méthode sera plutôt réservée aux pièces de grand diamètre, admettant un décollement partiel dans la zone de contact. Nous essaierons, dans tous les cas, d'utiliser la première méthode, beaucoup plus économique que la

Chapitre 2.

70

seconde en temps de calcul, et d'une mise en oeuvre beaucoup plus aisée. Notons enfin, que quel que soit la méthode utilisée, les résultats obtenus sont identiques. Remarque : Les deux méthodes n'incluent pas le frottement au plan de joint. Pour notre étude nous négligerons ce paramètre. En effet, nous considérerons que compte tenu des grands coefficients de frottements entre la tête et la pièce, il n'y a aucun glissement qui se produit à l'interface. Cette hypothèse, tout à fait contestable, ne modifie pas considérablement le comportement global du système. Des essais introduisant le frottement au contact tête pièce semblent le confirmer. e - Simulation du glissement sous tête. Dans le montage réel, il va se produire un glissement de la tête qui va être fonction essentiellement du coefficient de frottement. Nous étudierons le cas de l'adhérence parfaite µ = ∞a f et le cas du glissement parfait µ = 0a f . Le cas µ = Cte ≠ ≠ ∞0 eta f ne sera pas traité.

En effet, dans la zone de contact il est très difficile de connaitre la direction du glissement ainsi que les zones de glissement et d'adhérence. ANDRIAMAMPIANINA [4] décrit très clairement ce phénomène. a) Cas où µ = ∞ : L'adhérence parfaite sera réalisée en considérant la continuité du maillage entre la pièce et la vis. b) Cas où µ = 0 : Le glissement parfait pourra être introduit de deux façons : 1) Adjonction d'éléments contacts à deux noeuds (C2) [59] dans la zone de contact pièce-vis avec la condition µ = 0. 2) Adjonction d'un élément (très fin) dans la zone de contact pièce-vis ayant un comportement anisotrope. Pour ce type de matériau, la matrice de comportement liant contrainte et déformation par la relation σ εk p k p= ⋅D s'écrit :

D

D D D D D DD D

D DD D

D DD

=

L

N

MMMMMMM

O

Q

PPPPPPP

11 12 13 14 15 16

22 26

33 36

44 46

55 56

66

avec : ε

εεεεεε

θ

θ

θ

k p =

R

S

|||

T

|||

U

V

|||

W

|||

r

z

rz

z

r

(en axisymétrique)

Chapitre 2.

71

Nous fixerons D22

1010= , conférant l'extrême rigidité dans le sens axial [59], et tous les autres

termes égaux à 10 10− simulant le glissement parfait dans le sens radial, et permettant par la même occasion de s'affranchir des contraintes de cisaillement. Remarque : Il serait possible d'affecter une valeur plus importante au coefficient D11 qui

simulerait la résistance dûe aux forces de frottement, mais sans possibilité de quantifier la valeur correspondante de frottement introduit cas où = Cte avec 0 et µ µ µ≠ ≠ ∞a f. La figure 2-30 présente les déformées obtenues par les deux approches µ µ= ∞0 et =a f .

a) µ = ∞ . b) µ = 0.

Fig. 2-30 : Comportement avec des éléments de contact sous tête.

2-4-2 Simulations en éléments finis. Le but de cette étude est de déterminer une formulation unique de la rigidité des pièces assemblées par un boulon, englobant la majeure partie des pièces utilisées dans la mécanique moderne. Pour tous les essais, certaines caractéristiques géométriques du boulon restent inchangées. Notamment le diamètre nominal d = 10 mm, Da = 17 mm, et H = 7 mm(hauteur de tête), ce qui correspond aux dimensions normalisées d'une vis H. D'autre part les dimensions des pièces sont variables. Nous prendrons : a) 1 5≤ ≤∗Dp avec Dp∗ = 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.25, 2.5, 3.17, 3.53, 5. b) Lp = 27.2, 34, 42.5, 60, 80 correspondant à Lp∗ = 1.6, 2, 2.5, 3.53, 4.71. c) La dimension du trou de passage sera tirée de la norme NFEN 20-273, soit :

Chapitre 2.

72

Dt = 10 5. mm : série fine Dt = 11 mm : série moyenne Dt = 12 mm : série large La plage ainsi définie par ces trois paramètres couvre tous les cas de pièces courantes et a nécessité 150 cas de simulation. 2-4-2-1 Détermination de la rigidité des pièces assemblées. L'ensemble vis-pièce est soumis à une précharge simulée par l'introduction d'un déplacement imposé fixé pour tous nos essais à -0.1 mm.

a) Calcul de l'effort de précharge induit dans la vis.

VIS

PIECE

X

Y

3.5 mm

Lecture de σy

δ Fig. 2-30 c) : Mesure de la précharge.

La contrainte, essentiellement axiale, induite dans la vis, est calculée à partir de la moyenne des contraintes axiales σy des noeuds situés dans un plan y = 3.5 mm (plan fixé pour tous les

essais). Il est alors facile d'en déduire la précharge, en multipliant par la surface de la tige de d = 10 mm. A partir de plusieurs modélisations en éléments finis, nous vérifions que : - Pour une longueur de tige suffisante, la répartition des contraintes de tension est uniforme dans la vis. La figure 2-31 montre la répartition des contraintes axiales obtenues dans l'assemblage pour :

Chapitre 2.

73

d = 10 mm ; Dp mm ; Lp mm ; Dt mm= = =21 25 27 2 10 5. . . .

Fig. 2-31 : Répartition des contraintes σy dans l'assemblage.

- Pour plusieurs déplacements imposés, la raideur de l'ensemble est constante

F : pente de la courbe0

δ=F

HGIKJCte . La figure 2-32 illustre la linéarité du

phénomène (cas µ = ∞) pour : Dp = 21.25 mm, Da = 17 mm, Dt = 10.5 mm, Lp = 27.2 mm.

0.05 0.10 0.15 0.20 0.250

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

(mm)

Q (N)

δ

Fig. 2-32 : Courbe d'étalonnage de la précharge.

Chapitre 2.

74

Cette linéarité se conserve quelle que soit la géométrie testée. On peut donc en conclure que la raideur apparente de l'assemblage est indépendante du déplacement imposé δ . La raideur du demi-assemblage est alors donnée par :

K Q1 2/ assemblage = δ

Et en considérant les raideurs complètes de la vis et des pièces, on obtient :

δQ Kb Kp=

⋅+

⋅1

21

2 (2-15)

δ étant le déplacement imposé pour une demi-pièce (fixé à 0.1 mm). Nous obtenons donc une relation avec à priori deux inconnues Kb et Kp. Deux méthodes permettent de résoudre ce problème. A- Première méthode. 1°) La raideur Kb est calculée par le modèle VDI 2230. Cette approche consiste à considérer que le modèle VDI 2230 donne une évaluation correcte de la raideur Kb. Rappel : La raideur équivalente Kb du boulon représenté figure 2-33 qui assemble des pièces de longueur totale Lp est prise égale à celle du modèle équivalent considéré comme soumis à une tension uniforme [24][27].

Fig. 2-33 : Modélisation de la raideur du boulon.

Cette modélisation est facile à appliquer ; elle consiste à faire l'hypothèse que la tête de vis ou

Chapitre 2.

75

l'écrou (quelle que soit leur longueur ) interviennent comme une longueur supplémentaire égale à 0.4*d. Comme pour notre étude éléments finis, la vis possède un diamètre unique d. La raideur du boulon entier va s'écrire :

Kb Eb SbLp d

=⋅

+ ⋅0 8. (2-16)

avec : Eb:

:

.

module de Young du boulonSb section du boulon.

soit : Sb = d4

mm2

2π ⋅≈ 78 54

A partir de la relation (2-15) nous pouvons exprimer la raideur de la pièce :

Kp

Q Kb

= ⋅−

12 1δ (2-17)

et en déduire la section équivalente Ap et la section équivalente réduite Ap∗ :

Ap

Q Kb

LpEp

= ⋅−

F

HGGG

I

KJJJ⋅

12 1δ (2-18)

Ap

Q Kb

LpEp Da

∗ = ⋅−

F

HGGG

I

KJJJ⋅

⋅1

2 1 2δ (2-19)

avec : Ep module de Young de la pièce.Da diamètre d'appui de la tête de vis.

::

Les courbes présentées en Annexe 2 donne les sections réduites Ap∗ en fonction de Dp∗ pour trois valeurs de Lp∗ 1.6 - 2 - 2.5b g , et trois valeurs de Dt 10.5-11-12 mmb g. Ces courbes sont

comparées aux sections réduites obtenues par VDI 2230 (86). 2°) Conclusion sur la méthode. Cette nouvelle approche du calcul de la raideur constitue, nous le pensons, la meilleure façon d'appréhender le problème. Cette méthode s'affranchit d'une lecture hasardeuse du déplacement, et le comportement de l'assemblage est préservé par l'adjonction d'un élément simulant la vis.

Chapitre 2.

76

Toutefois il est bon de remarquer qu'une petite erreur sur la détermination de Kb peut entraîner des variations importantes de Kp. Malgré cela, nous pouvons nous contenter de cette approximation, si le diamètre du trou reste voisin de celui de la tige (par exemple Dt = 10.5 mm pour d = 10 mm), limitant ainsi les glissements et flexions de la tête, pouvant entraîner des non-linéarités. Mais ceci n'est plus possible pour les valeurs importantes de diamètre de trou de passage définies par la norme (Dt mm= 12 pour d = 10 mm). Pour palier ce problème, nous proposons la méthode dite du "double calcul". B - Deuxième méthode. 1°) Double calcul. Cette méthode est basée sur l'hypothèse, inhérente au code de calcul, de linéarité de la raideur, vis à vis du module de Young. Deux simulations successives vont alors être effectuées : - Une avec une pièce de moduleEp1. - L'autre avec une pièce de module Ep2 Ep Ep1 2≠b g Tout en conservant les mêmes géométries de pièces, le même boulon de même module de Young Eb, et le même déplacement imposé δ pour les deux modélisations. Le déplacement imposé δ , induit alors un effort F1 dans la pièce de module Ep1, et un effort F2 dans la pièce de module Ep2. Nous pouvons alors écrire :

δ

δ

= F2.Kb

F2.Kp

: pièce de module Ep

= F2.Kb

F2.Kp

: pièce de module Ep

1 1

11

2 2

22

+

+

R

S|||

T|||

(2-20)

De plus, pour une pièce de longueur Lp et de section équivalente Ap, nous avons l'expression des raideurs pour différents modules d'élasticité. Soit :

Kp Ep ApLp

Kp Ep ApLp

Kp Ep ApLp

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ; ; 1 1 2 2 (2-21)

De ces relations on déduit facilement : - La raideur d'une pièce de module Ep.

Chapitre 2.

77

Kp = F F Ep(F - F ) Ep

-Ep

1 2

1 2 2 1

⋅ ⋅⋅ ⋅

FHG

IKJ2

1 1δ

(2-22)

- L'expression de la section équivalente :

Ap = Lp F F(F - F ) Ep

- 1Ep

1 2

1 2 2 1

⋅ ⋅⋅ ⋅

FHG

IKJ2

1δ

ou: Ap = Lp F F(F - F ) Da Ep

- 1Ep

1 2

1 22

2 1

∗ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

FHG

IKJ2

1δ

(2-23)

- La raideur du boulon de module Eb :

Kb = F F2

(Ep - Ep )F Ep - F Ep )

1 2 1 2

2 1 2 2

⋅⋅

⋅⋅ ⋅δ (

(2-24)

2°) Conclusion sur la méthode. Cette méthode est à la fois la plus facile à mettre en oeuvre, mais aussi la plus précise, car la valeur de l'effort est mesurée sur le boulon, dans la tige où les gradients de contraintes sont les plus faibles. De plus, de la même façon que pour la méthode précédente, nous évitons une définition arbitraire du déplacement. Par conséquent nous retiendrons cette méthode pour le calcul de la raideur des pièces, même si elle nécessite deux simulations successives.. 3°) Essais et résultats. Toutes les modélisations éléments finis sont réalisées avec les configurations suivantes - Une simulation avec le boulon et la pièce en acier. Soit Eb Ep MPa= = 205000 et ν = 0 3. . - Une simulation avec le boulon en acier et la pièce en aluminium. Soit Eb = =205000 75000 MPa et Ep MPa et = 0.3ν . L'ensemble de ces modélisations nous permet de tracer toutes les courbes Ap f Dp∗ ∗= c h en

fonction des trois paramètres géométriques adimensionnels Dt Dp∗ ∗ ∗, , et Lp . A titre d'exemple nous donnons les courbes pour Dt∗ = 0 62. et µ = ∞ .

Chapitre 2.

78

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Dp*

Ap*

Lp = 27.2 mmLp = 34 mmLp = 42.5 mmLp = 60 mmLp = 80 mm

Nlle formule

Fig.2-34 : Section équivalente des pièces Ap∗ (éléments finis).

Tous les résultats sont regroupés dans l'annexe 4. Nous avons fait figurer les résultats obtenus pour µ = 0 (glissement parfait) et pour µ = ∞ (adhérence parfaite). Pour le cas µ = 0, nous n'avons traité que deux cas d'épaisseurs de pièces Lp = 34 et 60 mm, représentant une géométrie couramment utilisée, et deux diamètres de trou Dt = 10.5 mm et Dt = 11 mm , correspondant aux assemblages les plus courants. La figure 2-35 donne les résultats obtenus pour Lp = 34 mm, Dt mm= 10 5. par la méthode du double calcul pour les deux configurations µ = 0 et µ = ∞, ainsi que les résultats obtenus par RASMUSSEN [41] et VDI 2230 [27].

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Dp*

Ap*

E.FE.FVDI 2230 (1986)Rasmussen

(µ=0)(µ= infini)

Fig. 2-35 : Comparaison des différents modèles.

Chapitre 2.

79

A l'examen de ces courbes, nous constatons que nos résultats sont dans tous les cas compris entre ceux donnés par la méthode VDI 1986 et ceux donnés par la formulation de RASMUSSEN. Notons que pour les grands diamètres de pièces, où l'écart est maximal, ils sont proches de RASMUSSEN et loin de VDI, et que les courbes obtenues ont même allure que celles de RASMUSSEN. 2-4-2-2 Proposition d'une nouvelle formule de calcul des raideurs des pièces. Compte tenu des remarques précédentes, il nous semble judicieux de conserver la formulation donnée par RASMUSSEN et de rechercher les meilleurs coefficients possibles. D'autre part nous pouvons dire que la réalité se trouve entre les résultats obtenus avec la simulation µ = 0 (glissement total) et ceux donnés par la simulation µ = ∞ (adhérence complète). Il nous semble donc judicieux de rechercher une formulation dont les résultats sont les plus proches des valeurs moyennes. Nous retiendrons donc la formulation suivante :

Ap4

1 Dt Dp 1 tan 0.35 Lp 1 2Lp 12.04 Dp Dt

*2 *2 1* *2

*2 *2∗ −= ⋅ − + ⋅ − ⋅

+ + −⋅ −

LNMM

OQPP

π c h c h c h0 61. (2-25)

Le tableau 2-3 donne les écarts en pourcent relevés sur la section équivalente réduite entre les deux modélisations (µ = 0 et µ = ∞). Dp* 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 3.176 3.53 5

Lp=34 Dt=10.5 0.21 0.65 4.85 7.92 9.57 10.77 10.96 10.97 11.24 11.25

Lp=34 Dt=11 0.22 0.43 5.14 8.67 10.51 12.03 11.38 11.63 11.37 13.70

Lp=60 Dt=10.5 0.41 1.72 3.3 6.09 7.71 9.75 10.2 11.40 12.25 13.96

Nous constatons que les écarts maximaux sont de l'ordre de 12 % et ceci pour les cas de pièces de très grands diamètres. Nous pouvons espérer, avec notre formule, calculer la section équivalente avec une précision bien supérieure à 10 %, ce qui est excellent pour ce type de calcul. Conclusions. Cette étude permet la mise en place d'une formulation unique du calcul de la section équivalente réduite Ap∗ de pièces homogènes (même épaisseur, matériaux, et trou concentrique) assemblées par vis. Le grand nombre de simulations réalisées a permis l'exploration de la majeure partie des pièces employées dans les industries mécaniques. De plus, cette formule tient compte du

Chapitre 2.

80

frottement sous tête, ainsi que du baillement des pièces dû au serrage et aux dimensions des "éprouvettes". Cette formule est valable pour :

1 5 4 7≤ ≤ ≤ ≤∗ ∗Dp ; 1.6 Lp . Notons que toutes les courbes admettent une asymptote pour les grandes valeurs de Dp∗ . En effet il est logique de penser qu'à partir d'un certain diamètre la rigidité ne croit plus. C'est pourquoi la formulation proposée pourra être étendue à des valeurs de Dp∗ ≥ 5 sans commettre pour cela une erreur importante. 2-4-2-3 Correction de la raideur équivalente du boulon Kb. Nous avons montré que les raideurs apparentes des pièces et du boulon n'étaient pas indépendantes, notamment que la raideur Kb était influencée par la dimension du trou. Dans la mesure où l'on désire avoir plus de précision sur le calcul de Kb, nous proposons de conserver la modélisation VDI qui, tout en restant simple, traduit bien le phénomène physique, en lui introduisant un coefficient correcteur de longueur ψ, défini de la façon suivante :

Kb Eb SbLp d

=⋅+ ⋅ψ

avec : d : Diamètre nominal de la vis. (2-26)

Sb d=

⋅π 2

4

Eb : Module de Young du boulon. Lp : Epaisseur serrée.

La proposition du coefficient Ψ sera issue des résultats éléments finis adoptant la modélisation de l'adhérence parfaite (µ = ∞ et double calcul). A partir de la relation 2-26 il est facile de tirer le coefficient Ψ. Soit :

ψ =⋅

−FHG

IKJ ⋅

Eb SbKb

Lpd1 (2-27)

La raideur Kb est connue, et découle des résultats situés en annexe 4. Si nous supposons que la raideur du boulon est peu influencée par le diamètre de la pièce, alors il est possible de calculer un Kb moyen pour chaque Lp et pour chaque diamètre de trou fixés. Cette démarche est justifiée et valable si l'écart type sur les différentes raideurs Kb est très faible. Il pourra alors être calculé un coefficient correctif Ψ pour chaque Lp et Dt. Le tableau 2-4 nous renseigne sur : - La raideur moyenne du boulon (Kb moyen) sur tous les Dp*, pour Lp et Dt fixés. - La raideur obtenue selon VDI 2230.

Chapitre 2.

81

- Le coefficient correctif de longueur Ψ pour Dt et Lp fixés. - L'écart relevé entre les deux approches.

Dt Lp Kb moyen sur les Dp* écart type sur

Kb Kb VDI écart en % ψ moyen

10.5 27.2 458665.3 857.112 457405.18 0.275 0.79033 11 27.2 455150.1 931.767 457405.18 -0.495 0.81744 12 27.2 431184.8 16672.904 457405.18 -6.081 1.01405

10.5 34 383641.4 1339.34 383349.104 0.076 0.79680 11 34 381459 1023.311 383349.104 -0.495 0.82081 12 34 368234.9 543.566 383349.104 -4.105 0.97239

10.5 42.5 318988.8 867.947 318824.997 0.051 0.79741 11 42.5 317507.7 634.215 318824.997 -0.415 0.82095 12 42.5 308159 417.077 318824.997 -3.461 0.97479

10.5 60 236602.6 360.848 236774.446 -0.073 0.80494 11 60 235461.5 638.291 236774.446 -0.558 0.83792 12 60 234739.4 460.388 236774.446 -0.867 0.85895

10.5 80 182781.3 356.483 182962.072 -0.099 0.80870 11 80 182354.7 199.697 182962.072 -0.333 0.82931 12 80 181797 493.941 182962.072 -0.641 0.85640

Tab. 2-4 : Coefficient correcteur ψ en fonction de la géométrie des pièces assemblées.

Il en ressort : - Une très bonne coïncidence des résultats éléments finis avec la modélisation VDI 2230 pour des faibles trous de passage. La correction se portera plutôt sur les pièces ayant un trou de passage grand devant le diamètre nominal (Dt = 12 mm) : écart maximum ≈ 6 %. - Une quasi-constance du coefficient Ψ pour un Dt fixé, quel que soit Lp. Le tableau 2-5 réalise la moyenne des Ψ obtenus pour Dt fixé.

Dt/d ψ moyen Ecart type sur ψ 1.05 0.800 0.00725 1.1 0.825 0.00831 1.2 0.935 0.0728

Tab. 2-5 : Coefficient correcteur de longueur de vis.

Chapitre 2.

82

Remarquons le faible écart type quel que soit Dt. La figure 2-36 permet de trouver le coefficient correctif ψ pour la longueur équivalente de boulon.

1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14 1.16 1.18 1.20 1.220.78

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

Dt/d

ψ

Fig. 2-36 : Coefficient correcteur ψ en fonction du rapport Dt/d. Pour les diamètres de trou tels que Dt > 1.04.d la valeur de ψ est sensiblement égale à :

ψ = − ⋅ + ⋅FHGIKJ4 895 8 1 4

2

. . Dtd

Dtd

(2-28)

Cette formule, donnée à titre indicatif, montre bien l'influence du diamètre du trou sur le coefficient correctif ψ. Cependant des essais complémentaires seraient nécessaires pour affiner cette formule. D'autre part, nous rappelons que nous n'avons pas pris en compte le glissement de la tête de vis dans cette formulation et qu'il conviendrait de vérifier que ce paramètre est négligeable. 2-4-3 Vérification expérimentale. Comme nous l'avons vu précédemment, un assemblage boulonné est constitué de deux sous-ensembles indissociables : le boulon et la pièce. Par conséquent notre étude expérimentale devra s'attacher à respecter cette exigence. Elle va permettre ainsi la détermination d'une rigidité globale caractérisant l'assemblage. Le montage utilisé est présenté figure 2-37.

Chapitre 2.

83

Fig. 2-37 : Mesure de la raideur des pièces - Montage expérimental.

Description du montage La pièce testée (3) est comprimée par la pièce (2) simulant la vis (dimensions et matériaux identiques à une vis HM10 selon la NFE 27-311) et le bâti (1) est volontairement très rigide afin de limiter les déformations dues au montage. Remarque : Les pièces d'essais sont en AU4G et la vis en acier traité pour avoir le maximum de déformations. La détermination de la rigidité de l'assemblage nécessite la connaissance de deux paramètres : - Le déplacement relatif pièce -vis ∆L. - L'effort résultant F. Mesure de l'effort F. Le montage d'essai est placé dans les mors (hydrauliques) d'une machine de traction par l'intermédiaire de deux méplats ménagés sur la partie supérieure du bâti (1) et sur la vis (2). La

Chapitre 2.

84

mesure de l'effort sera faite par le capteur d'effort (à jauges) intégré à la machine de traction (précision : 0.5 % de la lecture). Mesure du déplacement. La mesure du déplacement relatif a fait l'objet de plusieurs modifications du montage. En effet, cette mesure est difficile à réaliser car elle est très petite (30 à 40 µm) et qu'il est de ce fait nécessaire de mesurer directement l'allongement relatif de la pièce et de la vis équivalente. Nous avons pour cela réalisé une étude préliminaire par éléments finis du montage afin de déterminer la position idéale de palpage. Elle se situe dans le cylindre défini par la surface d'appui de la vis dans le plan inférieur de la pièce. Trois trous parallèles à l'axe de la vis débouchent sur la pièce (1) et permettent par l'intermédiaire de la pièce (4) (à trois doigts) de palper la surface inférieure de la pièce testée. Notons qu'un soin tout particulier a été apporté à la réalisation des pièces constituant le montage (tolérances dimensionnelles et géométriques) notamment pour les pièces (1) (2) (3) (4) et (7). Le ressort (5) et la butée réglable (6) assurent le maintien en contact des doigts de la pièce (4) sur la pièce (3). De même la pièce (7) est maintenue contre un épaulement de la vis (2) grâce au ressort (8) et la butée réglable (9). Un extensomètre (réf : 2620-601 INSTRON, précision : 0.5 % de la lecture entre 1 % et 100 % de la pleine échelle) est placé sur deux méplats réalisés sur les pièces (4) et (7). Il permet la mesure directe de la somme de l'allongement δ1 de la tige de longueur L1 et du raccourcissement δ2 de la pièce.

Déroulement de l'essai. L'essai se déroule comme un essai de traction, en exerçant un effort sur la tige du boulon et sur la partie (supposée) indéformable du montage. La première montée en charge jusqu'à 10 kN, puis retour à zéro, sert de rattrapage des jeux et des alignements. La mesure ne débute qu'à la deuxième montée. Un asservissement de position (0.02 mm/min) est alors effectué jusqu'à 0.5 kN (rattrapage des jeux et alignement). Un détecteur de position transfère le processus en asservissement en charge (2 kN/min) jusqu'à l'effort limite de 10 kN (détecteur d'effort). Une table traçante reliée à la machine de traction nous donne en temps réel l'évolution de la charge en fonction du déplacement ∆L. La figure 2-38 illustre le cas : Dp = 25.5 mm ; Lp = 13.6 mm et Dt = 10.5 mm. Les essais réalisés sont regroupés en annexe 4. Nous avons fait varier les paramètres Dp, Lp, et Dt. Analyse : A la montée en charge, nous constatons une grande déformation sous faible charge correspondant aux tassements dus aux défauts géométriques, puis une variation sensiblement linéaire permettant de définir la raideur globale de l'ensemble (vis + pièce).

Chapitre 2.

85

10 20 30 40 50 60 70 80 900

2000

4000

6000

8000

10000

12000Effort (N)

Elements finisExperimental

∆L (µm)

Fig. 2-38 : Essais de détermination de la rigidité des pièces.

Les différentes incertitudes, sur la valeur des modules de Young, sur les mesures, n'ont pas permis de déterminer Kp avec suffisamment de précision. Nous avons dû, après correction due au fait que la longueur de la vis du montage est différente de celle du modèle éléments finis, nous contenter de comparer les raideurs globales issues directement de la mesure et de la simulation. Toutes les courbes expérimentales (Annexe 4) donnent une bonne corrélation calculs-mesures puisque les écarts maximaux sont de l'ordre de 15 %. Par ailleurs il a été constaté une très bonne reproductibilité des essais, même après démontage et remontage de l'ensemble. En tout état de cause la très bonne coïncidence au niveau des pentes des courbes (donc raideurs globales) dans la partie linéaire entre l'expérimentation et les éléments finis nous permet de valider la méthode utilisée par éléments finis pour déterminer la raideur globale de l'assemblage et par suite la raideur d'une pièce (Kp). 2-4-4 Influence de certains paramètres sur les raideurs. Nous avons montré que : Influence de la hauteur de la tête du boulon. Pour toutes les modélisations (éléments finis) réalisées précédemment la hauteur de tête était fixée à 7 mm (valeur normalisée pour un boulon HM10), mais l'on peut se demander quel serait le comportement de l'assemblage si la hauteur de tête était différente ? Nous avons pour cela,

Chapitre 2.

86

réalisé des modèles éléments finis supplémentaires, où la hauteur de tête H vaut successivement 9; 7; 5; 3.5; 2.5 mm soit H* = 0.529; 0.412; 0.294; 0.206; 0.147. D'autre part, tous ces essais adoptent la modélisation sans glissement sous la surface d'appui de la tête de vis, car l'objectif est uniquement de donner un aperçu de la variation des raideurs (soit donc Kb et Ap*) en fonction de H. Nous fixerons également, le diamètre de pièce à 34 mm (Dp* = 2) car il correspond sensiblement sur nos courbes Ap* = f (Dp*) au point de changement de pente (partie arrondie). La longueur de pièce Lp sera fixée également à 34 mm (Lp* = 2). Nous considérons que cette longueur constitue une valeur moyenne d'épaisseur de pièces pour un diamètre nominal de 10 mm. Le diamètre du trou de passage Dt demeure inchangé. Il prendra successivement les trois valeurs imposées par la norme NFEN 20-273 (soit 10.5 - 11 - 12 mm). La méthode du "double calcul" est utilisée pour déterminer la raideur Kb et la section équivalente réduite Ap*. Le déplacement imposé donné à la vis est fixé à 0,1 mm. Les courbes fig. 2-39 et 2-40 résument les résultats obtenus. Nous avons tracé l'évolution de la section équivalente réduite Ap∗ en fonction de H*, ainsi que l'évolution de la raideur Kb du boulon en

fonction de H HDa

* = (H : hauteur de tête et Da= diamètre d'appui de la tête de vis).

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.550.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

H*

Ap*

Dt=10.5 mmDt=11 mmDt=12 mm

Fig. 2-39 : Influence de la hauteur de la tête du boulon sur Kp.

Chapitre 2.

87

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55300

310

320

330

340

350

360

370

380

390

H*

Kb

Dt=10.5 mmDt=11 mmDt=12 mm

.103

N/mm

Fig. 2-40 : Influence de la hauteur de la tête du boulon sur Kb.

Nous constatons que pour des valeurs faibles de H* (tête peu épaisse) la raideur Kb du boulon s'effondre. Notons également, la relative importance du diamètre du trou de passage Dt sur la raideur du boulon. Néanmoins, pour des hauteurs de tête proche de la norme (H = 7 mm) il y a très peu de variation de Kb. Par ailleurs, l'adoption de hauteur de tête supérieure à celle préconisée par la norme (cas d'une tête H) ne modifie quasiment pas la raideur du boulon. Nous retrouvons, fort logiquement, le même comportement pour la section équivalente réduite Ap∗ à savoir la très faible influence de H dès lors que l'on se situe au voisinage de la hauteur normée. La formulation proposée au chapitre 2-4-2 sera donc correcte pour des hauteurs de tête supérieures ou égales à 7 mm (diamètre nominal = 10 mm) avec une faible erreur commise pour une faible variation de H autour de 7 mm. Nous conseillons pour notre cas de choisir une hauteur de tête supérieure ou égale à 5 mm entraînant des erreurs négligeables pour la détermination de Ap* par la nouvelle formulation. Influence du diamètre de la tête du boulon. Pour toutes nos simulations nous avons choisi un boulon à tête H (hexagonale) puisqu'il s'agit sans aucun doute de la forme de tête la plus employée. La norme prévoit un diamètre d'appui Da pour cette forme de tête (Da = 17 mm pour diamètre nominal = 10 mm selon NFE 27-311).

Chapitre 2.

88

Mais, pour des formes autres que la forme H, le diamètre d'appui Da peut être modifié. C'est pourquoi il nous a semblé intéressant de montrer l'influence du diamètre d'appui Da sur la rigidité Kb du boulon et sur la section équivalente réduite Ap*. Des essais éléments finis supplémentaires vont permettre cette étude. Nous fixerons pour cela la hauteur de tête à 7 mm et nous prendrons trois valeurs de Da. Soit Da = 17, 14.5, 20 mm. La hauteur de pièce est fixée à 34 mm et Dp = 34 mm. La méthode de détermination de Kb et Ap* est identique à celle utilisée précédemment (double calcul), ainsi que le déplacement imposé imprimé à la vis (0,1 mm). Néanmoins, le glissement de la tête sur la pièce devra être pris en compte. En effet, celui-ci est directement lié à la surface d'appui de la tête de vis. C'est pourquoi, nous ne pouvons pas le négliger. Il sera donc calculé un Ap* moyen égal à la moyenne des sections équivalentes réduites obtenues pour µ = ∞ (adhérence parfaite) et pour µ = 0 (glissement parfait). Il est intéressant de comparer les résultats issus de cette étude avec les résultats donnés par la nouvelle formulation (tableau 2-6).

Dt Da Ap*moy double calcul

Ap* nouv. formule

écart (%)

14.5 1.165 1.162 0.25 10.5 17 1.094 1.082 1.10

20 0.960 0.994 3.40 14.5 1.122 1.130 0.75

11 17 1.072 1.059 1.26 20 0.956 0.977 2.15 14.5 1.017 1.061 4.15

12 17 1.020 1.001 1.86 20 0.937 0.940 0.32

Tab. 2-6 : Influence du diamètre d'appui sur la raideur équivalente réduite.

Conclusions : L'écart relevé est faible dans tous les cas (< 5%), confirmant que la formule proposée reste valable et pourra être utilisée sans commettre d'erreur importante même si le diamètre d'appui varie notablement. Influence d'un trou dans le boulon. Nous allons, au travers de modélisations éléments finis, montrer l'influence que peut avoir un perçage dans le boulon, sur la raideur Kb de ce dernier. Ce cas se pose notamment dans les

Chapitre 2.

89

assemblages demandant une masse minimale, dans les vis de type Chc et dans certaines constructions nécessitant un perçage (bouchons, système hydraulique). La figure 2-41 définit les paramètres qui vont intervenir dans notre modélisation.

Fig. 2-41 : Paramétrage de l'assemblage. Notre montage, bien qu'axisymétrique, ne présente plus de symétrie au plan de joint. Toutefois nous ne modéliserons qu'un quart du montage, et nous tiendrons compte de cette absence de symétrie dans le calcul. Nous choisirons trois diamètres de perçage dt (2, 4, 6 mm) et pour chacun d'eux, nous prendrons plusieurs longueurs de trou lt (0, 3.5, 7, 10.5, 14, 19, 24). La figure 2-42 présente le maillage obtenu pour :

dt = 2mm, lt = 10.5 mm, Dp = 34 mm, Lp = 34 mm, Dt = 11 mm.

a) Maillage avec éléments de contact. b) Ensemble déformé. Fig. 2-42 : Modélisation de l'assemblage avec trou axial dans la vis.

d

Lp

lt

dt

H

Dt

Chapitre 2.

90

Nous adoptons la même méthode de recherche que précédemment, à savoir la méthode du double calcul. L'ensemble des résultats est regroupé dans les tableaux situés en annexe 5. Calcul de Kb. La méthode du double calcul va nous donner dans ce cas la rigidité d'un boulon percé aux deux extrémités (symétrie dans notre modélisation). Il faut donc corriger ce modèle en supprimant un trou d'une extrémité de boulon. La raideur du boulon percé est déterminée de la manière suivante :

1 12

12Kb Kb Kb

=⋅

+⋅' "

avec : 12 ⋅Kb' représentant la souplesse du demi-boulon comportant le perçage.

1

2 ⋅Kb" représentant la souplesse du demi-boulon sans perçage (connue par les

précédentes simulations).

12 ⋅Kb" représentant la souplesse du demi-boulon sans perçage (Kb"= Kb pour lt=0)

1Kb

représentant la souplesse du boulon étudié.

Remarque : La méthode du double calcul est assujettie à une lecture de contrainte, néanmoins, pour être valide, celle-ci doit être effectuée dans une partie de vis où la contrainte axiale de tension est constante. Dans le cas de la vis percée à partir d'une longueur de trou sensiblement égale à 14 mm, il n'est plus possible de retenir les valeurs obtenues dans le plan y = 3.5 mm. Nous nous apercevons que la zone uniforme n'est pas fixe en fonction du diamètre et de la longueur de trou. Cependant, celle-ci est toujours située dans la partie percée de la vis. La figure 2-42 b) nous renseigne sur la déformée du montage. Notons la diminution (faible) du diamètre du trou au niveau de la tête. De plus, l'ensemble des résultats (Annexe 5) montre la quasi insensibilité de la raideur de la pièce à la présence d'un trou dans la vis. Par contre, la raideur du boulon sera bien évidemment d'autant plus faible que le diamètre du trou et (ou) la profondeur de perçage sera importante. Rappelons que l'augmentation de la souplesse du boulon a un effet bénéfique sur la tenue dynamique de la liaison, c'est pourquoi, le perçage du boulon peut constituer une solution simple et efficace pour prévenir une rupture de l'assemblage. La liaison devra néanmoins respecter les critères de tenue statique et dynamique.

Chapitre 2.

91

Proposition d'une nouvelle formulation. A partir des résultats éléments finis, il est intéressant de proposer une formulation de Kb, proche de VDI 2230, tenant compte du trou. Nous proposons :

1Kb

4Eb

0.4 d

d² - dt² LH

Ld² - dt²

+ Lp - L + 0.4 dd²

1

2 2=⋅

⋅

⋅+

⋅L

N

MMM

O

Q

PPPπ (2-29)

avec : L1 = min (lt,H) L2 = max (0, lt-H)

Le terme correcteur L

H1 permet la continuité de la formule avec VDI, lorsque la longueur du trou

tend vers zéro. En effet, la rigidité pour lt tendant vers zéro est identique à celle trouvée avec VDI et ne dépend pas du diamètre du trou. La formule est divisée en trois parties : la partie du trou correspondant à la tête, la partie du trou située dans le corps du boulon et le reste du boulon plein. Les courbes suivantes comparent les résultats éléments finis et ceux trouvés par la nouvelle formule pour Dt = 10,5 mm.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

lt

Kb

E.F dt=2 mmE.F dt=4 mmE.F dt=6 mmNlle formule dt=2 mmNlle formule dt=4 mmNlle Formule dt=6 mm

.103

N/mm

Fig. 2-43 : Influence d'un trou dans le boulon sur Kb.

Chapitre 2.

92

On trouvera en annexe 5 les comparaisons pour Dt = 11 mm et Dt = 12 mm. L'erreur commise avec cette nouvelle formule est inférieure à 10 % quel que soit la configuration adoptée, ce qui semble tout à fait convenable. 2-5 Influence du niveau d'introduction de la charge. Pour présenter le comportement d'un assemblage boulonné chargé axialement, nous avons traité le cas d'un assemblage sollicité par un effort extérieur appliqué sous la tête de vis et sous l'écrou. Cependant, suivant la forme des pièces assemblées, la sollicitation sera introduite à des niveaux différents, plus ou moins proche de l'interface des deux pièces ou de la tête de vis.

Fig. 2-44 : Niveau d'introduction de la charge.

2-5-1 Facteur d'introduction de la charge. Nous pouvons représenter le cas général, par l'introduction de l'effort extérieur dans deux plans éloignés de x pour de pièces de longueur Lp comme représenté sur la figure 2-45.

Fig. 2-45 : Modèle équivalent de l'assemblage avec introduction de la charge dans deux plans éloignés de x.

Chapitre 2.

93

En écrivant la compatibilité des déplacements et l'équation d'équilibre, on trouve :

Fb Q xLp

KbKb Kp

Fe

Fp Q xLp

KbKb Kp

Fe

= + ⋅+

FHG

IKJ ⋅

= − − ⋅+

FHG

IKJ

LNM

OQP⋅1

(2-30)

Nous poserons :

γ γ= ≤ ≤x

Lp (0 1) appelé facteur d'introduction de la charge. (2-31)

λ γ= ⋅+

KbKb Kp

sera appelé facteur de charge de l'assemblage. (2-32)

Nous obtenons donc : Le supplément d'effort dans le boulon : ∆Fb Fb Q Fe= − = ⋅λ La diminution du serrage des pièces : ∆Fp Q Fp Fe= − = − ⋅1 λb g

On a donc ici un comportement identique à celui décrit en 2-1, et toutes les conclusions tirées dans cette partie de l'exposé restent valables, seule la valeur du facteur de charge λ a varié. Il est donc tout à fait certain que "l'introduction de la charge" qui dépend de la forme des pièces est un paramètre important du comportement de la liaison, et que son efficacité est très grande (0 < γ <1), supérieure à celle que l'on peut obtenir avec les raideurs. Nous allons donc, dans la partie qui va suivre, montrer tout d'abord l'existence de ce coefficient et proposer une détermination de celui-ci. Pour cela nous réaliserons plusieurs modélisations en éléments finis et une campagne d'essais conduite sur une géométrie fixée, validera notre étude. 2-5-2 Mise en évidence du facteur γ : étude éléments finis. La variation d'introduction de la charge sera obtenue par une entretoise à colerette variable conformément à la figure 2-46. L'axisymétrie du montage, ainsi que la symétrie à l'interface, autorise l'étude sur un quart du montage. Nous proposons le maillage suivant :

Chapitre 2.

94

Fig. 2-46 : Mise en évidence du facteur d'introduction de la charge γ.

Les éléments sont de la famille ELAX du type Q4 ou T3 (arrondi sous tête). La surface maximum de l'élément est fixée à 1 mm2. Par convention, la figure représentera l'entretoise avec

la collerette à (X / 2) mm (avec : 52

35≤ ≤X )

La procédure et les hypothèses de calcul sont identiques à celles utilisées précédemment, la pièce est en alliage léger (Ep = 75 GPa) et la vis en acier (Eb = 205 GPa). L'effort sera introduit par l'intermédiaire d'une pression constante sur le bas de la collerette. 1°) Influence de la précharge. Nous proposons la géométrie suivante pour notre étude :

φ 10φ 10.2

φ 35φ 45

10

5

40

7VIS

PIECE

Fig. 2-47 : Facteur d'introduction de la charge Etude pour une collerette à 10 mm.

Chapitre 2.

95

Remarque. La hauteur de pièce est fixée à 80 mm (Lp* = 4.71). Nous vérifions bien la linéarité du déplacement imposé avec la valeur de l'effort dans le boulon. Comparaison des résultats éléments finis et de la théorie (collerette à 10 mm, γ analyt. .= 0 313).

Déplt imposé Fe Fb ∆Fb (E.F) ∆Fb (analyt.) (mm) (N) (N) (N) (N) 0.1 0 26943.084 0 0 0.1 5000 27196.767 253.683 459.497 0.1 10000 27449.665 506.581 918.995 0.1 15000 27704.134 761.05 1378.492 0.1 20000 27942.895 999.811 1837.989

0.15 0 40415.018 0 0 0.15 5000 40667.916 252.898 459.497 0.15 10000 40920.815 505.797 918.995 0.15 15000 41176.069 761.051 1378.492 0.15 20000 41414.83 999.812 1837.989

0.2 0 53886.167 0 0 0.2 5000 54139.851 253.684 459.497 0.2 10000 54392.749 506.582 918.995 0.2 15000 54647.218 761.051 1378.492 0.2 20000 54885.979 999.812 1837.989

0.25 0 67358.102 0 0 0.25 5000 67611 252.898 459.497 0.25 10000 67863.899 505.797 918.995 0.25 15000 68119.153 761.051 1378.492 0.25 20000 68357.914 999.812 1837.989

Tab. 2-7 : Comparaison des suppléments d'efforts théoriques et éléments finis.

Nous constatons que la précharge n'a aucune influence sur le supplément d'effort supporté par la vis ; pour les autres positions de collerette nous fixerons donc le déplacement imposé donné à la vis à 0.2 mm. Tous les résultats pour cette géométrie sont donnés en annexe 6 (position de la collerette : 5 -10 -20 -28 -30 -33 -35 mm). La figure 2-48 montre la position respective des deux approches pour le cas de la collerette à 10 mm (δ = 0.2 mm).

Chapitre 2.

96

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 200000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Fe (N)

E.FAnalyt.

Fb (N)∆

Fig. 2-48 : Supplément d'effort pour une collerette à 10 mm. L'approche éléments finis confirme la linéarité du supplément d'effort vis à vis de l'effort extérieur. Néanmoins, quelle que soit la position de la collerette le supplément d'effort issu de la théorie est toujours bien supérieur au supplément d'effort donné par les éléments finis. En conséquence il est nécessaire de corriger le modèle théorique, visiblement surdimensionnant. 2°) Redéfinition du coefficient γ à partir des résultats éléments finis. Le coefficient γ est obtenu à partir de la formule générale théorique, qui donne l'effort dans le boulon en fonction de l'effort extérieur et la précontrainte. Nous avons donc :

γ =⋅ +

⋅∆Fb Kb Kp

Kb Feb g

Les raideurs Kb et Kp sont calculées avec la formule que nous avons établie. Pour notre étude nous avons pris :

d = 10 mm, Dp = 35 mm, Dt = 10.2 mm, Da = 17 mm, Lp = 80 mm, H = 7 mm. Eb = 205 GPa, Ep = 75 GPa.

Nous obtenons ainsi : Kb = 182962.072 N/mm. Kp = 503853.067 N/mm.

Il est maintenant possible de calculer le coefficient d'introduction de la charge γ à partir des

Chapitre 2.

97

résultats éléments finis. Nous avons récapitulé les résultats dans le tableau ci-après :

Position de la collerette (mm)

γ analytiquex

Lp= γ éléments finis

5 0.1875 0.1107 10 0.3125 0.1897 20 0.5625 0.3438 28 0.7625 0.4164 30 0.8125 0.4161 33 0.8875 0.4015 35 0.9375 0.3906

Tab. 2-8 : Comparaison entre γ analytique et γ E F. .

La figure 2-49 nous montre l'allure du nouveau γ ainsi calculé, en fonction de x / Lp.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x/Lp

E.FAnalyt.

γ

Fig. 2-49 : Comparatif éléments finis et théorie. Remarque : Le facteur d'introduction de la charge est indépendant de l'effort extérieur appliqué. De plus des essais éléments finis supplémentaires ont montrés que γ était indépendant du module de Young de la pièce. Ce coefficient existe donc bien et est unique. Il dépend uniquement de la géométrie des pièces et du niveau d'introduction de l'effort. Toutefois la variation de γ n'est pas linéaire comme dans la théorie, bien que la résultante de l'effort extérieur soit portée par l'axe. MASSOL [33] et KERZREHO [30] confirment ce phénomène.

Chapitre 2.

98

Pour le cas Lp* = 4.71, Dp* = 2.06 et Dt* = 0.6 nous proposons l'interpolation suivante :

γ = + ⋅FHG

IKJ + ⋅

FHG

IKJ − ⋅

FHG

IKJ0 02829 0 2657472 1 132856 1 073849

2 3

. . . .xLp

xLp

xLp

Le coefficient de corrélation de cette interpolation vaut 0.99963. 3°) Influence de la position d'introduction de l'effort. Nous sommes en droit de nous demander la provenance de telles distorsions entre la théorie et les éléments finis. Les travaux réalisés par MASSOL [33] montrent l'importance de la position radiale d'introduction de l'effort. Les schémas ci-après présentent les configurations étudiées.

X

Y Y

X

Y

X

FeFeFe

Cas A Cas B Cas C

Fig. 2-50 : Position de l'introduction de l'effort extérieur. Cas A : Modèle théorique. Cas B : Introduction de l'effort dans la pièce. Cas C : Introduction de l'effort sous la collerette. les résultats obtenus sont consignés sur la figure 2-51 avec : Dp* 2.06 et Lp* = 4.71. Il en ressort : - Une grande importance de la position radiale d'introduction de l'effort, notamment pour des valeurs importantes de γ. Néanmoins cette configuration ne trouve pratiquement jamais d'applications dans la réalité, elle ne devra donc pas être retenue.

Chapitre 2.

99

- La nécessité de corriger le coefficient γ = xLp

(théorie) dans les cas courants.

- L'importance de la flexion de la collerette, est sans nul doute la cause de la diminution de la valeur de γ.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x/Lp

Cas CCas ACas B

γ

Fig. 2-51 : Influence de la position d'introduction de l'effort. 4°) Influence du type de sollicitation. Précédemment nous avons considéré l'introduction de l'effort extérieur par une pression (compression) sous la collerette. Et nous avons vu que la position radiale était importante (fig. cas B), c'est pourquoi nous avons repris la même géométrie, mais en supprimant la collerette et en introduisant un effort ponctuel sur le diamètre extérieur de la pièce (fig. 2-52).

X

Y

Fe Effort ponctuel à un niveau x

x2

Fig. 2-52 : Introduction de l'effort extérieur sous la forme d'un effort ponctuel.

Chapitre 2.

100

la figure 2-53 représente un comparatif des résultats obtenus avec la collerette et pression et sans collerette avec un effort ponctuel.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x/Lp

Analytique.E.F avec col.E.F sans col.

γ

Fig. 2-53 : Influence du type de sollicitation.

Il semble donc établi que le type de sollicitation imprimé à la pièce (ponctuelle ou pression) ait très peu d'influence sur le coefficient γ. Toutefois dans un souci de conformité avec la réalité nous ne considèrerons que le cas C (fig. 2-51) avec application d'une pression constante sous la collerette, pour simuler l'application d'un effort extérieur. Les deux autres cas (Aet B fig. 2-51) n'étant pas applicables dans la réalité. 5°) Influence de la géométrie des pièces. Nous avons vu que le coefficient γ n'était fonction que du niveau d'introduction de l'effort et de la géométrie. Il est donc intéressant de montrer l'influence de la hauteur des pièces serrées (Lp) ainsi que de leur diamètre Dp sur le coefficient γ. a) Influence de la hauteur serrée Lp. Nous reprenons la même géométrie que celle étudiée précédemment mais avec une hauteur de pièce Lp = 40 mm. Soit Lp* = 2.35. La raideur du boulon et des pièces assemblées deviennent alors :

Kb = 335430.466 N/mm Kp = 661691.465 N/mm

Chapitre 2.

101

Nous obtenons donc, pour Dp* = 2.06, Lp* = 2.35 et Dt* = 0.6 :

Position de la collerette (X / 2) mm

γ théoriquex

Lp= γ éléments finis

2 0.225 0.0747 5 0.375 0.1167 10 0.625 0.1448 15 0.875 0.1121

Tab. 2-9 : Influence de la hauteur de pièce Lp.

b) Influence du diamètre de la pièce. Pour cela nous gardons la même géométrie qu'auparavant, mais nous portons Dp à 68 mm, soit Dp* = 4. La raideur de la pièce devient :

Kp = 738975.455 N/mm

alors que la raideur du boulon est inchangée. Soit :

Kb = 335430.466 N/mm Nous obtenons (pour Dp* = 4 et Lp* = 2.35) :

Position de la collerette (X / 2) mm

γ théoriquex

Lp= γ éléments finis

2 0.225 -0.04780 5 0.375 -0.05283 10 0.625 -0.05786 15 0.875 -0.06038

Tab. 2-10 : Influence du diamètre de la pièce.

La figure 2-54 récapitule l'ensemble des résultats obtenus. Celle-ci montre que le facteur d'introduction de la charge est fonction de la géométrie de la pièce. Notons que le paramètre Dp a une influence très importante sur la valeur du coefficient γ. En effet, plus le diamètre Dp est important et plus le coefficient γ est faible. De ce fait le supplément d'effort supporté par le boulon est d'autant plus faible que le diamètre Dp est grand. Cette remarque s'applique également pour la hauteur de pièce. En effet plus Lp est grand et plus le supplément d'effort dans le boulon est faible.

Chapitre 2.

102

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x/Lp

Dp*=4 et Lp*=2.35Dp*=2.06 et Lp*=2.35AnalytiqueDp*=2.06 et Lp*=4.71

γ

Fig. 2-54 : Comparatif de tous les résultats obtenus. 2-5-3 Validation expérimentale. La figure 2-55 reproduit le dispositif expérimental utilisé.

Fig. 2-55 : Montage expérimental.

Chapitre 2.

103

Description du montage : Ce montage, symétrique (comme les éléments finis) se compose de deux étriers guidés dans deux bagues, permettant l'introduction de l'effort. Un écrou assure le maintien en contact de ces différentes parties. Un tirant est fixé sur chaque étrier afin de permettre la prise du montage dans une "machine de traction manuelle"(cf. fig. 2-55). L'effort de traction devant être parfaitement axial, aucune excentration de celui-ci ne doit être toléré. En conséquence le défaut d'alignement sera récupéré par la mise en place de rotules sur les tirants. L'application de l'effort sera réalisé par la rotation d'une manivelle provoquant un déplacement axial de l'attache inférieure. La démultiplication du déplacement va permettre la mise en place d'un effort extérieur très précis. De plus, l'absence de génération hydraulique supprime tous les problèmes de vibrations et de stabilité de la mesure. La mesure sera réalisée par l'intermédiaire d'un anneau dynamométrique. Un démontage rapide de l'ensemble est obtenu par un écrou à encoche et méplat. Boulon et pièce utilisés. Boulon : M10 x 90, classe de qualité 8.8, Eb = 205 GPa. Le boulon est équipé de deux jauges uniaxiales diamétralement opposées (fig. 2-56).

εa ε b

Coupe

Référence jauge : type FLE-1-11 Facteur de jauge 2.15 Résistance 120 0 3± . Ω Colle à froid M200 (Vishay Micromesures)

Fig. 2-56 : Position des jauges extensométriques. Pièce : Dt = 10.2 mm, Dp = 35 mm (diamètre au niveau de la collerette = 45 mm), Lp = 80 mm. Nota : Un trou de 5 mm a été ménagé dans la bague afin de permettre le passage des fils des jauges de contraintes vers le pont de mesure. L'effort sera calculé à partir de la loi de Hooke. Tableau récapitulatif et graphe (cas de la collerette à 30 mm). Afin de pouvoir effectuer une comparaison avec le modèle éléments finis, nous avons réalisé une nouvelle simulation pour une valeur de précharge de 8509 N obtenue pour un déplacement

Chapitre 2.

104

imposé de 0.0316 mm, bien que nous ayons vu que la valeur de la précharge n'influe pas sur le supplément d'effort encaissé par la vis. Le tableau ci-après résume les valeurs obtenues.

Fe (N) Fb (N) Eléments finis

∆Fb (N) Eléments finis

Fb (N) Expérimental

∆Fb (N) Expérimental

0 8509.003 0 8533.351 0 490.5 8563.196 54.192 8581.653 48.301 1962 8726.558 217.555 8758.760 225.409

3433.5 8889.136 380.132 8968.068 434.717 4905 9052.499 543.495 9177.377 644.026

Tab. 2-11 : Comparaison des résultats éléments finis et expérimentaux.

Soit donc le graphe suivant :

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

200

400

600

800

1000

1200

Fe (N)

Eléments finisExpérimentalAnalytique

Fb (N)∆

Fig. 2-57 : Comparaison expérimental - théorie - élements finis. L'ensemble des résultats expérimentaux sont en annexe 6. 2-5-4 Conclusion. Toutes les méthodes utilisées (éléments finis, théorie, et expérimentale) montrent que le

Chapitre 2.

105

supplément d'effort supporté par la vis est une fonction linéaire de l'effort extérieur. Les résultats expérimentaux montrent cependant une très légère non-linéarité du phénomène pour des valeurs d'effort extérieur important. Nous pensons que cette non-linéarité est due à un léger défaut d'alignement de l'effort extérieur par rapport à l'axe du boulon, engendrant une très légère flexion de celui-ci. D'autre part les résultats éléments finis coïncident très bien avec l'expérimentation. En effet l'écart maximum relevé ne dépasse jamais les 15 %. Ceci permet la validation de notre méthode éléments finis et confirme le caractère surdimensionnant du modèle théorique. Le choix du coefficient γ devra être fait à partir d'abaques prenant en compte l'épaisseur des pièces serrées, le diamètre des pièces ainsi que le niveau d'introduction de la charge théorique (cf. fig. 2-54). Des travaux réalisés par SAWA [42] [43] [44] [34] proposent un facteur correctif pour le cas des assemblages de brides en T et pour les poutres, mais comme nous le verrons dans les chapitres suivants, ce n'est pas une bonne manière d'aborder le comportement de ces assemblages. DREGER [15] propose également un facteur correctif, issu des zones comprimées des pièces (cône de Rötcher : droites à 45°). Il considère que la zone comprimée des pièces (partie de longueur Lp - x) a une raideur plus faible que les zones qui sont en tension (partie de longueur x). Partant de cette idée, DREGER calcule les sections équivalentes de chaque section en prenant un diamètre de pièce approximé. Les résultats obtenus sont conformes à ceux que nous avons trouvés, notamment sur le comportement non-linéaire du coefficient γ. Néanmoins la coïncidence des résultats aux bornes extrêmes (0 et 1) sont en contradiction avec les résultats que nous avons trouvés. En effet pour le cas γ théorique = 1, l'approche éléments finis est très loin de cette valeur. C'est pourquoi nous pensons que les résultats proposés par DREGER ne devront pas être retenus. Dans le cas d'un calcul en fatigue, la précision du calcul est intimement liée à la connaissance du coefficient γ théorique. Le choix de ce coefficient n'est pas chose facile, et dépend de la géométrie de la pièce étudiée (nervures, ...). 2-6 Problème posé par l'empilage des pièces. Tous les modèles de calculs que nous avons décrit dans les paragraphes précédents, traitent des assemblages de pièces de même géométrie. Néanmoins ils ne traitent pas le cas des empilages de pièces de diamètres différents ni celui de pièces en matériaux différents. D'autre part la formulation proposée par la norme AFNOR [58] et par la directive VDI 2230 [27], concernant le calcul de la rigidité de pièces de modules de Young différents, ne tient pas compte de l'ordre d'empilage des pièces. L'exemple suivant, issus de travaux éléments finis, illustre ce propos : pour un même déplacement imposé de 0.1 mm on obtient deux efforts différents de précharge.

Chapitre 2.

106

Kp 1 Kp 2<

φ

φ

φ

17

10.5

10

10

10

10

10Acier

AcierAcier

Acier

AU4G

AU4G

AU4G

AU4G

Q E.F = 49306.119 N

φ 25.5

Q E.F = 46092.269 N

AcierAcier

Acier Acier

AU4G AU4G

AU4G AU4G

Fig. 2-58 : Ordre d'empilage des pièces - Essais éléments finis.

Les valeurs de précharges relevées, permettent de penser que la raideur obtenue pour la première configuration, est moins importante que celle obtenue pour la deuxième configuration. On ne peut donc pas écrire de façon rigoureuse :

1 1Kp Kpi

= ∑

si on calcule de la même façon les Kpi des différentes pièces. Cette constatation nous a conduit à développer un modèle analytique permettant de prendre en compte l'ordre d'empilage ainsi que la variation de diamètre. Dans un premier temps nous traiterons le cas d'un assemblage de deux pièces identiques (module de Young et géométrie). Nous étendrons ensuite notre étude au cas des empilages de pièces. Nous proposerons une méthode simple permettant de tenir compte de l'ordre d'empilage des pièces.

Chapitre 2.

107

2-6-1 Modèle analytique pour le cas d'un assemblage de deux pièces identiques.

Introduction. De nombreuses études sur le calcul de la rigidité des pièces assemblées sont basées sur la connaissance de la zone comprimée des pièces (cône de Rötcher) [21][45]. Il semble en effet logique d'adhérer à cette manière de procéder, puisque les parties non sollicitées ne vont pratiquement pas modifier la raideur des parties assemblées. La figure suivante montre que seule la partie comprimée va avoir une influence sur la valeur de la rigidité, la partie grisée ne participe quant à elle quasiment pas à sa détermination.

Zone comprimée

Zone non compriméeBoulon

Pièce

Fig. 2-59 : Visualisation des différentes zones.

Base du modèle Ce modèle est également basé sur la connaissance de la zone comprimée des pièces. Deux essais éléments finis, conformes à la modélisation proposée au paragraphe 2-4 illustrent ce propos (fig. 2-60). Nous y avons fait figurer la répartition des contraintes de compression à plusieurs plans différents, pour deux modules de Young (acier : Ep = 205 GPa, aluminium : Eb = 75 GPa). Les dimensions de la pièce sont données par : Dp = 34 mm, Lp = 40 mm, Dt = 10.5 mm. De nombreux travaux proposent des équations plus ou moins complexes définissant la répartition des contraintes σy dans la zone comprimée [18][55]. Nous nous proposons d'approximer celle-ci par une zone où σy Cte= et par une zone où σy varie linéairement (voir

fig. 2-61).

Chapitre 2.

108

(pièce et boulon en acier) (pièce en aluminium et boulon en acier)

Fig. 2-60 : Répartition des contraintes de compression dans les pièces.

α

Cône de compression

σz = 0( )Boulon

Modèle analytique

Modèle réel

Z

Fig. 2-61 : Présentation du modèle analytique.

Chapitre 2.

109

Mise en place du modèle analytique. L'écriture de la contrainte axiale de compression dans les différentes parties de la pièce, découle des hypothèses précédemment émises. Si de plus nous y adjoignons les conditions aux limites relatives à cette modélisation, il est possible de connaître la contrainte de compression dans tous les plans transversaux de la pièce. Par la suite, l'étude de l'équilibre d'un disque d'épaisseur dz, nous permet par intégrations successives, de connaître l'écrasement de la pièce dans tous les plans transversaux, pour la partie telle que rt < r < ra. La raideur sera donnée par le rapport de l'effort appliqué à l'assemblage à l'écrasement de la pièce (multiplié par deux pour la pièce complète), calculé pour la partie située sous la tête de vis. Le détail des calculs du modèle sont regroupés en annexe 7. Remarques sur l'angle α. L'écriture de ce modèle est fondé sur l'introduction d'un angle α constant, partant du diamètre d'appui extérieur de la vis. La précision du modèle est donc intimement liée à la bonne connaissance de cette valeur. La première idée est de s'inspirer des travaux réalisés par Rötscher qui propose un demi angle au sommet de 45°. Cette valeur est corrigée par SHIGLEY et MITCHELL et porté à 30°. ITO et AL. proposent à leur tour de tenir compte des caractéristiques des pièces. Nous nous apercevons ainsi, de l'extrême diversité des propositions autour de la valeur de l'angle α à choisir. De plus, même si la dernière proposition semble la meilleure, elle est mise en échec lorsque nous considérons des assemblages de matériaux différents. Méthode adoptée : Connaissant les expressions générales de la raideur et de la section équivalente déduites de la méthode de répartition des contraintes, nous allons chercher la valeur de l'angle α dans chaque cas, permettant d'obtenir les mêmes résultats que ceux trouvés en utilisant la méthode des éléments finis. Pour cela la formule finale de Ap* (2-25) va nous servir de référence. Il suffit de reinjecter les valeurs de rp*, lp*,rt* ainsi que la valeur de Ap* obtenues par la formule éléments finis, dans la formulation analytique, et de rechercher la valeur exacte de l'angle α correspondant à ces valeurs. Les courbes suivantes illustrent la valeur de l'angle α à choisir pour obtenir la coïncidence des résultats éléments finis et analytiques.

Chapitre 2.

110

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.025

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

Dp*

α

Lp=80 mmLp*=4.71

Lp=60 mmLp*=3.53

Lp=42.5 mmLp*=2.5

Lp=34 mmLp*=2Lp=27.2 mm

Lp*=1.6

VALEUR DE L'ANGLE POUR Dt = 10.5 mmα

Fig. 2-62 : Détermination de l'angle α en fonction de la géométrie -

Corrélation E.F et analytique. Conclusions. Ce modèle analytique simple, donne des résultats tout à fait convenables pour des pièces de géométries courantes (Dp* = 2, Lp* = 3) lorsque l'on prend la valeur préconisée par Rötcher, à savoir 45°. Par contre, pour les pièces usuelles admettant une hauteur Lp éloignée de la valeur moyenne, que l'on peut arbitrairement fixer à Lp* = 3, il ne donne des résultats convenables que pour des valeurs d'angle sensiblement différent de 45°. Cependant la valeur proposée par Rötcher, semble être une valeur moyenne que l'on peut retenir en première approximation, sans pour autant commettre des erreurs importantes. Notons que l'erreur commise est d'autant plus négligeable que le diamètre de pièce est important. Dans la pratique, le calcul de la raideur d'une pièce cylindrique, ayant un trou concentrique, devra être effectué avec les abaques fournies précédemment afin de limiter l'erreur commise sur l'angle α et donc sur la raideur. Il est à noter que cette valeur d'angle, correspond à l'angle à donner au modèle pour coïncider avec les résultats éléments finis, et qu'en aucun cas il ne correspond à la valeur réellement présente dans la liaison.

Chapitre 2.

111

2-6-2 Cas des assemblages de pièces de module de Young différents et (ou) d'épaisseurs différentes.

2-6-2-1 Application du modèle analytique. Nous nous proposons de déterminer la raideur d'un empilage de deux pièces de module de Young (et ou d'épaisseur) différents Ep1 et Ep2, comme représenté sur la figure 2-63.

Boulon

Pièce de module

Ep1

Pièce de module

Ep2

Lp 1

2

Lp 2

2

Z

X

Fig. 2-63 : Empilage de pièces de matériaux différents

La raideur de l'assemblage est donnée par la relation :

1 1 1

1 2Kp Kp Kp= +

Première méthode. Elle consiste à admettre que la souplesse est proportionnelle à la longueur des pièces : On a donc :

Sp Sp Sp LpEp Ap

LpEp Ap

LpEp Apeq

= + =⋅

+⋅

=⋅1 2

1

1

2

2

d'où l'on tire :

E Ep EpLp Ep Lp Ep

Lpeq =⋅

⋅ + ⋅⋅1 2

1 1 2 2

Cette formulation n'est qu'une approximation puisque la souplesse n'est pas proportionnelle à la longueur et que de ce fait, la raideur de l'empilage dépend également de l'ordre dans lequel sont empilées les pièces de différents modules.

Chapitre 2.

112

Deuxième méthode. Nous reprenons le modèle décrit dans le paragraphe 2-6-1. Toutefois quelques modifications sont apportées, pour respecter les différentes parties constituant l'assemblage. En effet les bornes d'intégrations doivent être modifiées pour tenir compte des deux demi-pièces composant le demi-assemblage. La coupure ou non, du cône par les pièces, nous conduit à distinguer quatre configurations possibles. Première configuration.

re(z)

αEp 1

Ep 2

Lp1

2

Lp2

2

Lp2

Z

X

Fig. 2-64 : Première configuration.

Dans ce cas, le cône ne coupe aucun des diamètres extérieurs des deux pièces. Raideur Kp1 de la pièce supérieure : Pour cette pièce, l'intégration ne s'effectue plus de 0 à Lp/2, mais de 0 à Lp1 / 2. Nous obtenons ainsi la raideur de la pièce 1 totale (2 fois Lp1 / 2) :

Kp = - Ep tan( ) 12 rt² - 3 ra²

6 ln Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²

3 ra - 12 rt² - 3 ra²3 ra + 12 rt² - 3 ra²

11

1

1

π ααα

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

LNM

OQP

Raideur Kp2 de la pièce inférieure : Pour celle-ci l'intégation doit s'effectuer de Lp1 / 2 à Lp/2, et nous devons calculer :

Chapitre 2.

113

δ δπ

γα β

γα β

(Lp / 2) - (Lp / 2) = 3 FEp z tan( ) + z tan( ) +

dz12

1

1

2

2Lp /2

Lp/2

1

⋅⋅ ⋅

+⋅

FHG

IKJ ⋅z

La raideur obtenue est donnée par :

Kp = - Ep tan( ) 12 rt² - 3 ra²

6 ln Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²

Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²

22

1

1

π ααα

αα

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

LNM

OQP

Or la raideur de la pièce entière est donnée par :

1Kp

= 1Kp

+ 1Kp1 2

Il vient :

Kp = - tan( ) 12 rt² - 3 ra²

6Ep

A + 1Ep

ln B1 2

π α⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅LNM

OQP

1 ln (2-33)

avec :

A = Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²

3 ra - 12 rt² - 3 ra²3 ra + 12 rt² - 3 ra²

1

1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

αα

B = Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²

Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²1

1⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

αα

αα

Deuxième configuration :

re(z)

z

Ep 1

Ep 2

Lp1

2

Lp2

2

Lp2

Z

X

α

1

Fig. 2-65 : Deuxième configuration.

Chapitre 2.

114

Le cône coupe le diamètre extérieur de la pièce inférieure. La raideur de la pièce supérieure reste inchangée, par contre celle de la pièce inférieure est modifiée. Raideur Kp 1 de la pièce supérieure :

Kp = - Ep tan( ) 12 rt² - 3 ra²

6 ln Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²

3 ra - 12 rt² - 3 ra²3 ra + 12 rt² - 3 ra²

11

1

1

π ααα

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

LNM

OQP

Raideur Kp 2 de la pièce inférieure : L'écrasement de la pièce se décompose en deux parties :

δ δ δ δ δ δ(z) - (Lp / 2) = (z) - (z ) + (z ) - (Lp / 2)1 1 1 1 Nous avons :

δ δπ

γα β

γα β

(z ) - (Lp / 2) = 3 FEp z tan( ) + z tan( ) +

dz1 12

1

1

2

2Lp /2

z

1

1⋅⋅ ⋅

+⋅

FHG

IKJ ⋅z

et

δ δπ

αα

(z) - (z ) = -FEp (rt² - rp²)

3 z tan( ) (rt ² - rp²) + (2 rp + ra - 3 ra rp²) - (2 rp + ra - 3 ra rp²)3 z tan( ) (rt ² - rp²) + 2 rp + ra - 3 ra rp²1

2

3 3 3 3

3 3z

z

1⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅z

La raideur Kp2 est donc égale à :

Kp = Ep-6

tan( ) 12 rt² - 3 ra²ln C - 2

(rt ² - rp²)Lp2

- z - 2 rp + ra - 3 ra rp²3 tan( ) (rt ² - rp²)

ln D2

2

1

3 3

π

α α

⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

avec :

C = 2 z tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²Lp tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²

Lp tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²2 z tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²

1

1

1

1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅αα

αα

D =3 Lp

2tan( ) (rt ² - rp²) + 2 rp + ra - 3 ra rp²

3 z tan( ) (rt² - rp²) + 2 rp + ra - 3 ra rp²

3 3

13 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

α

α

La raideur de la pièce entière devient donc :

Chapitre 2.

115

Kp = -6

Ep tan( ) 12 rt² - 3 ra²ln A + 6

Ep tan( ) 12 rt ² - 3 ra²ln C + 2

Ep rt² - rp²)Lp2

-z - 2 rp + ra - 3 ra rp²

rt² - rp²ln D

1 2 2

1

3 3

π

α α

α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅LNM

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

OQP

(

tan( ) ( )3

Troisième configuration.

re(z)

Ep2

αLp1

2

Lp2

2

Lp2

z1

Z

X

Ep1

Fig. 2-66 : Troisième configuration.

Le cône coupe maintenant le diamètre extérieur de la pièce supérieure. La raideur de cette pièce est donnée par celle d'une pièce seule correspondant à ce cas de figure. Pour la pièce inférieure, nous emploierons la même formule mais avec le premier terme du dénominateur nul. Raideur Kp 1 de la pièce supérieure : L'écrasement se décompose en deux parties :

δ δ δ δ δ δ(Lp / 2) - (0) = (Lp / 2) - ( ) + ( ) - (0)1 1 z z1 1 Nous reprenons le calcul effectué pour une pièce seule (cas z1 < z) en remplaçant Lp/2 par Lp1 / 2, et nous obtenons finalement :

Kp = Ep-6

tan( ) 12 rt² - 3 ra²ln F - 2

(rt² - rp²)Lp2

- z - 2 rp + ra - 3 ra rp²3 tan( ) (rt² - rp²)

ln G1

1

11

3 3

π

α α

⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

Chapitre 2.

116

avec :

F = 2 z tan( ) + 3 ra + 12 rt² - 3 ra²2 z tan( ) + 3 ra - 12 rt² - 3 ra²

3 ra - 12 rt² - 3 ra²3 ra + 12 rt² - 3 ra²

1

1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

αα

G =3 Lp

2tan( ) (rt² - rp²) + 2 rp + ra - 3 ra rp²

3 z tan( ) (rt ² - rp²) + 2 rp + ra - 3 ra rp²

1 3 3

13 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

α

α

Raideur Kp 2 de la pièce inférieure : Afin de tenir compte du cône de pression, nous conservons une décomposition en deux différences :

δ δ δ δ(Lp / 2) - (Lp / 2) + (Lp / 2) - (Lp / 2)1 1 1 La raideur est alors :

Kp = - Ep2

(rt² - rp²)Lp2

- Lp2

- 2 rp + ra - 3 ra rp²3 tan( ) (rt ² - rp²)

ln H2

2

13 3

π

α

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

avec :

H =3 Lp

2tan( ) (rt ² - rp²) + 2 rp + ra - 3 ra rp²

3 Lp2

tan( ) (rt ² - rp²) + 2 rp + ra - 3 ra rp²

3 3

1 3 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

α

α

D'où la raideur de la pièce entière :

Kp =-6

Ep tan( ) 12 rt² - 3 ra²ln F - 2

Ep (rt ² - rp²)Lp2

- z - 2 rp + ra - 3 ra rp²3 tan( ) (rt ² - rp²)

ln G

- 2

Ep (rt ² - rp²)Lp2

- Lp2

- 2 rp + ra - 3 ra rp²3 tan( ) (rt² - rp²)

ln H

1 1

11

3 3

2

13 3

π

α α

α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

2-6-2-2 Etude par éléments finis. Afin de vérifier les résultats obtenus par le modèle analytique, nous réalisons quelques modélisations éléments finis identiques en tout point à celles décrites au paragraphe 2-41. La seule différence réside dans le fait que nous avons utilisé des éléments de contacts entre toutes

Chapitre 2.

117

les interfaces rencontrées (tête boulon - pièce ; pièce 1 - pièce 2 ; interface (plan de symétrie)). La figure 2-67 montre la déformée obtenue pour le cas suivant : Partie supérieure en acier (Ep = 205 GPa) - Partie inférieure en aluminium (Ep = 75 GPa) Dp = 34 mm - Lp1 = 14.17 mm - Lp2 = 28.34 mm - Dt = 11 mm

Fig. 2-67 : Contraintes axiales dans l'assemblage sur partie déformée. Nous observons le décollement des deux pièces pour une valeur de rayon important, ainsi qu'un glissement des deux pièces l'une par rapport à l'autre. Remarque : Si nous considérons les deux pièces d'un matériau identique, et si nous calculons la raideur totale en utilisant la modélisation permettant le glissement, nous trouvons des résultats inférieurs de l'ordre de 5 % à ceux trouvés par essais, pour une pièce seule de même géométrie. Cet écart s'explique par la possibilité qu'ont les deux pièces de glisser l'une par rapport à l'autre au niveau de l'interface. Toutefois, il faut garder présent à l'esprit que la réalité du phénomène se situe entre les deux approches (glissement et adhérence parfaits). Pour trouver la raideur de chacunes des parties constituant l'assemblage, nous sommes amenés à faire plusieurs essais et à appliquer une méthode de calcul analogue à celle développée au paragraphe 2-4-2-1 (méthode dite du double calcul).

Chapitre 2.

118

La détermination des différentes raideurs, impose cependant la réalisation de trois essais avec le même déplacement imposé δ. La linéarité de la contrainte induite dans le boulon avec le déplacement imposé étant vérifiée, nous sommes autorisés à choisir une valeur arbitraire du déplacement imposé.

Eb

Parties 1 Parties 2(supérieures) (inférieures)

Fig. 2-68 : Assemblage de pièces de matériaux différents.

Pour fixer les idées nous effectuons nos trois simulations comme suit:

- Une simulation avec le boulon et les pièces en acier : Ep Ep = Eb1 2= = 205000 MPa. - Une simulation avec le boulon et la pièce supérieure en acier, la pièce inférieure étant en aluminium : Ep Eb1 = = 205000 MPa Ep'2 = 75000 MPa. - Une simulation avec le boulon et la pièce inférieure en acier, la pièce supérieure étant en aluminium : Ep Eb2 = = 205000 MPa Ep'1 = 75000 MPa. Premier essai : Ep Ep = Eb1 2= Le déplacement imposé donné à la vis, se décompose en un déplacement sur la pièce, ajouté à l'allongement du boulon. Nous pouvons donc écrire la relation :

Sp +Sp +Sb = 2F1 2

1

⋅δ (2-36)

Deuxième essai : Ep Eb1 = Ep'2

Soit : Sp + Sp' +Sb = 2F1 2

2

⋅δ (2-37)

Chapitre 2.

119

Troisième essai : Ep = Eb2 Ep'1

Soit : Sp' +Sp +Sb = 2F1 2

3

⋅δ (2-38)

La différence des équations (2-37) et (2-36) nous donne :

Sp' -Sp = 2F

- 2F

= 2 1F

- 1F2 2

2 1 2 1

⋅ ⋅⋅ ⋅

FHG

IKJ

δ δδ

Or on définit :

Kp = 1Sp

= Ap EpLp

Kp' = 1Sp'

= Ap Ep'Lp

22

2 2

2

22

2 2

2

⋅

⋅

R

S||

T||

On en déduit :

LpAp

1Ep'

- 1Ep

= 2 1F

- 1F

2

2 2 2 2 1

FHG

IKJ ⋅ ⋅

FHG

IKJδ

Soit encore :

Ap = Lp F F2 (F - F ) Ep'

- 1Ep2

2 1 2

1 2 2 2

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅FHG

IKJδ

1 (2-39)

De la même façon, la différence des équations (2.38) et (2-36) nous donne :

Sp' -Sp = 2F

- 2F

= 2 1F

- 1F1 1

3 1 3 1

⋅ ⋅⋅ ⋅

FHG

IKJ

δ δδ

De plus :

Kp = 1Sp

= Ap EpLp

Kp' = 1Sp'

= Ap Ep'Lp

11

1 1

1

11

1 1

1

⋅

⋅

R

S||

T||

Soit finalement :

Ap = Lp F F2 (F - F ) Ep'

- 1Ep1

1 1 3

1 3 1 1

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅FHG

IKJδ

1 (2-40)

Connaissant les valeurs de Ap et Ap1 2 , nous pouvons facilement déduire Kp et Kp1 2 à partir des relations :

Kp = Ap EpLp11 1

1

⋅ Kp = Ap EpLp22 2

2

⋅

Chapitre 2.

120

Campagne d'essai éléments finis. - Pour le diamètre Dp, nous fixons trois valeurs représentatives : 25.5, 34 et 60 mm, soit donc : Dp* = 1.5 - 2 - 3.53 - Pour la longueur totale Lp des pièces nous choisissons deux valeurs moyennes : 34 et 42.5 mm, soit donc Lp* = 2 - 2.5 - Le diamètre du trou est fixé à 11 mm (série moyenne). - Nous ferons une série d'essais avec Lp Lp1 22= ⋅ , puis avec Lp Lp2 12= ⋅ . - Nous ne traiterons que le cas où la pièce supérieure est en acier (Ep1 = 205000 MPa) et la pièce inférieure en aluminium (Ep2 = 75000 MPa). - Le déplacement imposé est fixé à 0.1 mm.. 2-6-2-3 Comparaison entre le modèle analytique et les modélisations éléments finis. Le tableau 2-12 regroupe les résultats analytiques obtenus sur les divers assemblages testés, en prenant comme angle, la valeur trouvée à partir des abaques proposées au paragraphe 2-6-1. Ces valeurs sont directement comparées aux résultats éléments finis utilisant la méthode du triple calcul, ainsi que la résolution (cas des empilages de pièces de modules différents) décrite au paragraphe 2-6-2-1. Nous noterons : erreur % =

−⋅

Kp KpKp

E F analyt

E F

. .

.100

Lp Dp Lp1 Lp2 Kp modèle

analytique Kp

essais E.F erreur en

% 25.5 11.33 22.67 763371 788562 3.19 25.5 22.67 11.33 1059215 1137938 6.92

34 34 11.33 22.67 904105 870432 -3.87 34 22.67 11.33 1322472 1356304 2.49 60 11.33 22.67 1052017 928399 -13.32 60 22.67 11.33 1482986 1450176 -2.26 25.5 14.17 28.33 654032 709578 7.83 25.5 28.33 14.17 913697 976586 6.44

42.5 34 14.17 28.33 838619 850624 1.41 34 28.33 14.17 1198627 1271072 5.70 60 14.17 28.33 991325 924669 -7.21 60 28.33 14.17 1426288 1421358 -0.35

Tab. 2-12 : Pièces extérieures acier - Intérieures alliage léger.

Toutes les valeurs sont en mm ou N/mm.

Chapitre 2.

121

Pour le cas où les pièces sous tête sont en aluminium, et les pièces entourant l'interface en acier, nous pouvons estimer avec une bonne précision les valeurs éléments finis à partir de la modélisation décrite dans le paragraphe 2-6-2-2. Le tableau 2-13 effectue la comparaison entre les valeurs analytiques et les valeurs éléments finis ainsi calculées.

Lp Dp Lp1 Lp2 Kp modèle analytique

Kp essais E.F

erreur en %

25.5 11.33 22.67 814456 819205 0.58 25.5 22.67 11.33 651801 662313 1.59

34 34 11.33 22.67 889667 862335 -3.17 34 22.67 11.33 736047 713617 -3.14 60 11.33 22.67 977784 886364 -10.31 60 22.67 11.33 793982 742009 -7.00 25.5 14.17 28.33 693365 706238 1.82 25.5 28.33 14.17 570651 583125 2.14

42.5 34 14.17 28.33 788023 764576 -3.07 34 28.33 14.17 665007 652127 -1.98 60 14.17 28.33 868216 794082 -9.34 60 28.33 14.17 732097 688786 -6.29

Tab. 2-13 : Pièces extérieures alliage léger - Intérieures acier.

Ces résultats montrent que : - Le modèle analytique tient compte de l'ordre d'empilage des pièces. Les résultats relevés montrent par ailleurs la très bonne corrélation de ce modèle avec l'expérimentation éléments finis. - la variation de raideur entre les deux configurations (suivant l'ordre d'empilage) est d'autant plus importante que la partie proche de la tête de vis (ou de l'écrou) est épaisse devant la hauteur de l'autre partie constituant l'assemblage. Notons que dans le cas de pièces de mêmes dimensions, la raideur obtenue pour la configuration ayant une partie proche de la tête, en acier, est toujours plus importante que l'autre configuration. En effet les déformations relevées sous la tête et sous l'écrou seront d'autant plus importantes que le matériaux de la pièce sera souple (aluminium vis à vis de l'acier). - L'erreur maximum relevé lors de ces essais est de 13.3 %, néanmoins la moyenne des erreurs se situe aux alentours de 5 %, soit une valeur très acceptable compte tenue des diverses approximations faites. Le modèle analytique ainsi développé donne des résultats tout à fait convenables et encourageant, même si la répartition

Chapitre 2.

122

des contraintes ne représente que grossièrement la réalité. Des auteurs comme FERNLUND en 1961, ou plus récemment, ZIADA et ABD EL LATIF en 1980, ont essayé de définir avec plus de précision la répartition de pression suivant le rayon mais aussi suivant la cote. A ce propos, nous pensons que la définition d'un champ de pression plus précis fait perdre l'avantage principal du modèle, qui est sa simplicité. D'autre part une meilleure connaissance de cette répartition n'est pas forcément synonyme de meilleure précision, le problème restant de savoir sur quel rayon mesurer le déplacement. 2-6-3 Raideur d'un empilage de pièces de diamètres différents. Nous nous proposons de calculer la raideur d'un empilage de quatre pièces, symétriques par rapport au plan I (fig. 2-69). La démarche de calcul est identique à celle décrite précédemment. Cependant, deux cas sont à distinguer : Le cas où la pièce supérieure a un plus grand diamètre que celui de la pièce inférieure, et le cas où la pièce inférieure à un diamètre supérieur à l'autre.

rp1 rp2< rp1 rp2>

rp1

rp2

I

Configuration A Configuration B

Fig. 2-69 : Deux cas symétriques d'empilage de pièces.

Les pièces constituant l'assemblage, étant dans les deux cas, disposées symétriquement, nous pourrons réduire notre étude à un demi-assemblage. La mise en place des équations, ainsi que la résolution des équations émanant de la configuration A, sont consignées en annexe 8. Les équations de départ nécessaires au calcul de la configuration B ont été placées en annexe 9.

Chapitre 2.

123

Nous montrons sur les figures suivantes les quatre dispositions possibles concernant la configuration A, suivant les diamètres et longueurs des différentes parties. Il est facile de remarquer que les cas n°3 et 4, ne diffèrent pas de celui des pièces de mêmes diamètres. En conséquence, la raideur de tels empilages sera calculée avec les mêmes équations (équation 2-34 pour le cas n°3 et équation 2-33 pour le cas n°4). Les cas n°1 et 2 font l'objet, quant à eux, du développement de calculs consignés en annexe 8.

Le cône coupe la pièce supérieure 1 :

existence de deux cônes de demi-angle au sommet α1 et α2.

α1

α 2

Pièce 1

Pièce 2

α1

α 2

Pièce 1

Pièce 2

Cas n°1 Cas n°2

Fig. 2-70 : Coupure de la pièce supérieure par le cône.

Le cône ne coupe pas la pièce supérieure 1 : existence d'un seul cône de demi-angle au sommet α.

α

Pièce 1

Pièce 2

α Pièce 1

Pièce 2

Cas n°3 Cas n°4

Chapitre 2.

124

Etude éléments finis. Toujours dans le but de vérifier le modèle analytique que nous venons de proposer, nous réalisons quelques simulations éléments finis. La modélisation adoptée est identique à celle proposée au paragraphe 2-41. Nous montrons sur la figure ci-après l'allure des isocontraintes de tension (ou compression) axiales sur la partie déformée.

Fig. 2-71 : Isocontraintes de tension (ou compression) dans l'assemblage.

Les tableaux suivants résument l'ensemble des résultats analytiques et éléments finis obtenus pour les trois types d'assemblages de pièces. Les détails de ces calculs sont consignés en annexe 8 :

Pièces 1 et 2 en acier - Pièces 1 et 2 en aluminium

DP1 DP2 LP1 LP2 Kp (acier) E.F

Kp (acier) analytique

Kp (alu.) E.F

Kp (alu.) analytique

erreur %

25.5 42.5 11.33 22.67 1540767 1525997 563695 558291 -0.96 25.5 42.5 14.17 28.33 1428071 1393150 522465 509689 -2.45 25.5 54 11.33 22.67 1551052 1525997 567459 558291 -1.62 25.5 54 14.17 28.33 1436390 1393150 525508 509689 -3.01 25.5 54 28.33 14.17 1391559 1362321 509107 498410 -2.10 25.5 54 17 17 1572877 1549824 575444 567009 -1.47 42.5 80 17 17 1696376 1817889 620626 665081 7.16 25.5 40 28.33 56.66 1059729 1002238 387706 366672 -5.43 25.5 30 28.33 56.66 925368 883783 338549 323335 -4.49 25.5 30 11.33 22.67 1504761 1489296 550522 544865 -1.03 25.5 34 11.33 22.67 1519599 1496745 555951 547589 -1.50

Tab. 2-14 : Comparatif éléments finis - analytique (piéces mêmes matériaux).

Chapitre 2.

125

Pièce 1 en aluminium - Pièce 2 en acier : Kp (Al-Ac) Pièce 2 en aluminium - Pièce 1 en acier : Kp (Ac-Al)

DP1 DP2 LP1 LP2 Kp (Al-Ac)

E.F Kp (Al-Ac) analytique

erreur %

Kp (Ac-Al) E.F

Kp(Ac-Al.)analytique

erreur%

25.5 42.5 11.33 22.67 819937 827338 0.90 830958 807890 -2.78 25.5 42.5 14.17 28.33 726696 733043 0.87 807653 760109 -5.89 25.5 54 11.33 22.67 822494 827338 0.59 839525 807890 -3.77 25.5 54 14.17 28.33 726566 733043 0.89 817813 760109 -7.06 25.5 54 28.33 14.17 577018 580087 0.53 1052861 983728 -6.57 25.5 54 17 17 712595 724879 1.72 1030669 971501 -5.74 42.5 80 17 17 756787 826653 9.23 1137149 1184881 4.20 25.5 40 28.33 56.66 509856 503118 -1.32 640379 575575 -10.1225.5 30 28.33 56.66 477045 471401 -1.18 515944 475528 -7.83 25.5 30 11.33 22.67 808871 812884 0.50 803391 783337 -2.50 25.5 34 11.33 22.67 813288 815098 0.22 814855 788982 -3.18

Tab. 2-15 : Comparatif éléments finis - analytique (pièces matériaux différents).

Toutes les valeurs sont en mm et N/mm. Remarque : La longueur des résultats des différentes intégrations, nous à conduit à effectuer l'ensemble des calculs avec le logiciel MAPLE. Il est à remarquer que les temps de calculs sont restés très faibles quel que soit la configuration étudiée. Conclusions. Ces tableaux montrent que : - Le modèle analytique donne des résultats très convenables quel que soit la géométrie étudiée, même si la modélisation utilisée n'est que grossièrement conforme à la réalité. - L'ordre d'empilage des pièces est pris en compte avec une bonne précision. Problème posé par l'excentration du serrage. La raideur calculée précédemment est issue d'une répartition de contraintes de compression symétrique dans la pièce. Celle-ci ne pourra être obtenue que si le centre de gravité de la

Chapitre 2.

126

surface de contact (interface) est confondu avec l'axe du trou. Néanmoins de très nombreux assemblages ne permettent pas de telles dispositions. Ainsi il apparait des contraintes de flexion non négligeables dans le boulon et la pièce, uniquement dans la phase de serrage. Nous montrons sur la figure suivante la répartition de contrainte obtenue par éléments finis pour un serrage excentré (effort extérieur nul).

Fig. 2-72 : Répartition des contraintes de compression dans la pièce pour un serrage excentré. Les essais expérimentaux réalisés sur la bride en chape (chapitre 4) nous permettent de tracer l'évolution du moment de flexion en fonction de l'effort extérieur. Nous montrons sur la figure 2-73, cette évolution, pour une précharge de 150 kN (voies 5,6 et 7 seulement).

10 20 30 40 50 60 70 80 900

50

100

150

200

250

300

Fe (kN)

MFb (kN.mm)

Fig. 2-73 : Allure du moment de flexion dans le boulon à effort extérieur nul, pour un serrage excentré.

Chapitre 2.

127

Cette courbe montre clairement que le moment de flexion initial (Fe = 0) n'est pas négligeable. D'un point de vue pratique, cette valeur n'est jamais nulle (défauts de parallélisme, géométrie...), toutefois cette valeur peut être ramenée sensiblement à zéro, uniquement en supprimant l'excentration du serrage. Il est dans ces conditions, difficile de définir une notion de raideur unique déduite de la compression des pièces. Il reste également à déterminer la façon dont devront être conduit les calculs pour tenir compte de cette composante supplémentaire. Dans l'état actuel des choses, personne ne propose de solutions à ce problème. Toutefois nous verrons au chapitre 4, que dans le cas des chargements excentrés, qui représentent bien évidemment les situations les plus courantes, les rigidités en flexion des pièces sont prépondérantes sur les raideurs locales en compression, ce qui permet d'utiliser des valeurs approchées des raideurs locales sans véritablement compromettre la précision du calcul.