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ENSAM Meknès Éléments et architectures des machines Assemblages boulonnés 2015/2016 A. Bamohammed

Assemblages boulonnés I. Introduction :

Les assemblages boulonnés sont sans aucun doute les systèmes de liaison les plus utilisés

en mécanique. Compte tenu de leur nombre et de leur importance dans la construction

mécanique, ils représentent un enjeu économique certain.

Ils permettent d’assembler d’une manière démontable des pièces entre elles et doivent

éviter tout glissement ou décollement de celles-ci au cours du fonctionnement. Ils doivent

assurer ces fonctions au moindre coût (étude, choix des vis, réalisation,…).

Ce sont des assemblages fortement sollicités en fatigue, qui assurent la liaison des pièces

essentielles d’un mécanisme ou d’une structure. Ils sont réalisés par des boulons ou des vis

ou des goujons (figure 1) HR (haute résistance) qui ont la particularité d’admettre des

valeurs de résistance à la rupture très élevées (Rm

>1000 MPa) alors que leur résistance en

fatigue est très faible (σa

≈ 50MPa). Ceci implique d’utiliser des modèles de calcul

suffisamment précis pour évaluer avec une bonne précision la contrainte alternée dans la

vis, lorsque les assemblages sont soumis à des efforts extérieurs d’intensités variables.

Lorsque les chargements sont axiaux ou très faiblement excentrés, le modèle linéaire

développé dans les règles VDI 2230 donne des résultats satisfaisants, lorsque les

chargements sont très excentrés on doit utiliser le modèle non linéaire développé par

GUILLOT. Pour les cas plus complexes il est nécessaire d’avoir recours à des

modélisations en éléments finis adaptées.

Dans tous les cas ces modélisations impliquent la connaissance précise de la raideur du

boulon et des pièces, ce qui n’est pas toujours facile à obtenir, lorsque la forme des pièces

est compliquée ou dans le cas d’empilages de pièces de dimensions et de matériaux

différents.

II. Éléments théoriques associés aux assemblages boulonnés :

1. Normalisation :

Les normes relatives aux éléments filetés sont publiées sous la référence E 25. Elles

définissent :

Les couples de dimensions (diamètre nominal et pas) pour la boulonnerie à pas fin et à

pas gros (pas normal);

La section résistante des filetages As : section équivalente. Cette section correspond à la

section d'un cylindre de résistance équivalente à celle de la partie filetée de la vis. Elle

donne également la même rigidité en traction. Cette donnée essentielle permet de passer,

Figure 1 : Trois cas d'assemblages filetés


au cours des essais réalisés sur la pièce filetée (ou au cours des calculs), des efforts aux

contraintes Elle se définit comme suit :

Les caractéristiques mécaniques des matériaux (dureté HB ou HR, résistance à la

rupture Rm, limite apparente d’élasticité Re ou Rp 0,2, allongement relatif) ;

La description de tests sur les produits ;

Les classes de qualité des composants (ensembles de caractéristiques requises) qui

"vont certifier" que les caractéristiques des éléments utilisés répondent bien aux

spécifications des essais de caractérisation.

2. Le filetage :

Les caractéristiques d’un filetage sont :

Diamètre nominal : D au sommet des filets pour la vis et d au fond des filets pour l’écrou.

Pour l’assemblage on a D = d ;

Pas : Le pas est normalisé (voir tableaux correspondants). On distingue : le pas gros ou

usuel, pour la boulonnerie classique et le pas fin pour appareil de mesure, écrou de

faible épaisseur, filetage sur tube mince ;

Sens de l’hélice : l’hélice peut être à droite ou à gauche ;

Profil du filetage : on distingue le profil métrique ISO ou les profils spéciaux (trapézoïdal,

rond, dissymétrique, profils pour gaz cylindriques ou coniques).

3. Couples de dimensions/pas et section résistante d’un filetage :

Diamètres caractéristiques d’un filetage

𝑨𝒔 =𝝅

𝟒𝒅𝒆𝒒

𝟐 =𝝅

𝟒(𝒅𝟐+𝒅𝟑

𝟐)𝟐 𝒆𝒕 𝒅𝒆𝒒 = 𝒅 − 𝟎,𝟗𝟑𝟖𝟐𝑷

d : diamètre nominal D1 : diamètre intérieur de l’écrou d2 = D2 : diamètre sur flancs d2 = d – 0,6495.P d3 : diamètre du noyau d3 = d – 1,2268.P r : rayon de filet P : pas

1-


4. Symbolisation des classes de qualité :

Vis : Les classes de qualité des vis et des goujons sont désignées par un symbole composé

de deux nombres séparés par un point ou tiret.

1er nombre = 𝑅𝑚

100=

𝑟é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑙𝑒 à 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝑀𝑃𝑎 )

100

2ème nombre = 10 𝑅𝑒

𝑅𝑚= 10 ×

𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑′é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡 é

𝑟é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐 𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 à 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛= 1er nombre × 2ème nombre × 10

Exemple : vis de classe 6-8 : Rm = 100 ∗ 6 = 600 𝑀𝑃𝑎 ; Re = 8 ∗600

10= 480 𝑀𝑃𝑎.

On remarque donc que la classe de qualité d’une vis n’est fonction que des caractéristiques

du métal constitutif.

Écrou : Pour l’écrou on ne dispose que d’un chiffre. Exemple : classe 6. Ce chiffre

correspond au 1/100 de la contrainte minimale (en MPa) exercée sur la vis sans

déformation notable de l’écrou lors de l’épreuve sur mandrin fileté.

Boulon : Un boulon de classe 10-9 doit être constitué :

D’une vis de classe 10-9 ;

D’un écrou de classe 10.

On choisit un écrou dont la contrainte d’épreuve est celle d’une vis de classe

immédiatement supérieure, ce qui fait qu’en pratique il n’est pas utile de vérifier sa

résistance.

5. Relations entre classe de qualité et caractéristiques mécaniques :

Pour les vis, goujons et tiges filetées (d’après norme NF EN ISO 898-1) :

Pour les écrous (d’après norme NF E 27-005) :


III. Dimensionnement des assemblages boulonnés :

Les méthodes de dimensionnement des assemblages boulonnés à choisir sont selon

deux cas :

Pas ou peu d’efforts et peu de sollicitations extérieures : surdimensionnement

systématique ;

Effort moyens ou importants, nécessité d’analyser :

- Détermination par analyse non optimisée – méthode A : ce sont les assemblages pour

lesquels on estime arbitrairement qu’un choix optimisé ne se justifie pas pour des raisons

économiques directes ou indirectes (coût de l’étude,…). On ne tient pas compte des effets

dynamiques. On peut résumer les étapes de détermination des assemblages non optimisés

par cette méthode A comme suit :

- Vérification fine – optimisation– Méthode B : ce sont les assemblages qui sont soumis à

des contraintes de sécurité ou (et) à de fortes sollicitations, à des contraintes de fatigues

importantes, ou qui appartiennent à un système ayant des contraintes de poids ou

d’encombrement et dans le cas de chargement faiblement excentré.

Dans le cas des efforts excentrés importants, calcul spécifique par la norme (modèle flexion

circulaire et poutre fléchie : modèle ne sera pas présenté ici) ou calcul par logiciels

spécifiques.

1. Dimensionnement des assemblages boulonnés non optimisés par la Méthode A :

Cette méthode, qui ne permet pas de déterminer un assemblage vissé optimisé, ne prend

pas en compte la résistance à la fatigue. Ce calcul permet seulement de vérifier la bonne

tenue de l’assemblage. L’absence d’optimisation, qui nécessite de prendre une marge de

sécurité pour pallier les incertitudes des estimations, conduit nécessairement à un

surdimensionnement des fixations et entraîne souvent des dimensions excessives et un

surcoût qui dans le cas d’assemblage de série peut être important.

Estimation des efforts extérieurs FE : effort extérieur de traction

TE : effort tangentiel

Estimation du nombre de vis Calcul de la précharge F0

Estimation de la classe de qualité et du diamètre d Estimation de (F0)max et (F0)min

Estimation du couple de serrage Cs

Vérification de la résistance mécanique (critère de VON MISES)

Vérification au matage

1

2

3

4


Étape 1 : Estimation du nombre de vis et calcul de la précharge

Le nombre de vis est prédéterminé en tenant compte des solutions existantes, de la

configuration des pièces à assembler, de leur géométrie, de l’expérience.

On suppose que les efforts se répartissent uniformément sur chaque vis :

- FE : effort extérieur de traction sur chaque vis

- TE : effort tangentiel sur chaque vis

On détermine la précharge F0 qui garantit le non décollement et le non glissement des

pièces assemblées : F0 > FE + TE/tan(φ) avec tan(φ) coefficient de frottement entre pièces

assemblées

Étape 2 : Estimation de la classe de qualité et du diamètre d

Le tableau donné en annexes (page 16) précise pour chaque classe pour un diamètre

nominal donné et dans quatre cas de précision de serrage :

- Le couple de serrage CS

- Les valeurs maximum et minimum de F0 que l’on peut obtenir.

Les coefficients de frottement moyen tan(μ) dans le filetage et sous la tête sont :

- tan(μ) = 0,10 Visserie phosphatée ou zinguée, lubrification adaptée de bonne

qualité.

- tan(μ) = 0,15 Visserie noire ou zinguée, lubrification sommaire (état de livraison).

- tan(μ) = 0,20 Visserie revêtue ou non, montage à sec.

Dans le cas d’un assemblage non optimisé il est probable que les conditions de pose soient

peu précises (C ou D).

Étape 3 : Vérification de la tenue mécanique (critère de VON MISES)

(σéq) ˂ 0,9*Re min avec Re min limite d’élasticité minimale de la classe de qualité du boulon et

σéq = 𝛔𝟐 + 𝟑𝜻𝟐 ; 𝛔 =𝑭

𝑨𝒔 ; 𝜻 =

𝟏𝟔 𝑪′

𝝅𝒅𝒆𝒒𝟑

et 𝑪′ = 𝑪𝒔 − 𝑪𝒇

Avec Cs : couple de serrage et Cf (couple de frottement sous tête) = F0 moy*rmoy*tan(μ)

rmoy : rayon moyen de la surface d’appui tête/pièce (tableau suivant) valeur moyenne

équivalente à (ρ1 + ρ2) / 2 ou ρmoy ≈ ρ = 2 / 3 * (ρ23 − ρ1

3) / (ρ2

2 − ρ1

2).

Caractéristiques des écrous H


Étape 4 : Vérification de la tenue au matage

On vérifie que la pression de contact sous tête (P) est inférieure à la pression de matage

pour le matériau le moins résistant (Padm : contrainte maximale admissible tableau ci-

dessous).

Critère : P ˂ Padm.

Avec P = (F0)max / Am et Am = π(De2 – Db

2)/4

De : diamètre extérieur d’appui sous tête ou sous écrou ou sous rondelle.

Db : diamètre du trou de passage de la vis.

Si la pression de contact est trop importante, il convient de modifier la forme de la tête ou

d’interposer des rondelles d’appui adaptées.

2. Dimensionnement des assemblages boulonnés optimisés par la Méthode B :

La démarche proposée est issue de la norme E 25-030. Le calcul suppose que la géométrie

est entièrement définie. Pour cela, le concepteur utilise l’expérience acquise, sa

connaissance des solutions existantes. Il prend en considération :

La place disponible et la géométrie des pièces autour de la vis;

Le nombre de pièces, leurs dimensions, les matériaux et les états de surface ;

La possibilité d’utiliser ou non le taraudage ;

L’importance de la série et les conditions de maintenance.

A partir de ces éléments il présélectionne :

Le nombre de vis et leur position ;

Un diamètre, un pas, une longueur filetée ;

Une forme de tête et un choix d’outil de serrage ;

Les dimensions des trous de passage des vis ;

Les conditions de montage (état des produits, lubrification, …) ;

Les moyens de serrage.

L’étude des efforts mis en jeux permet d’analyser et de quantifier :

La nature des sollicitations :


Tangentielles au plan de joint ;

Axiale par rapport à l’assemblage (avec ou sans déport par rapport à l’axe de la vis) ;

Composées.

Les modes de sollicitations :

Statique ;

Dynamiques.

Remarque : les calculs s’effectueront pour la vis la plus sollicitée.

Les étapes de détermination des assemblages boulonnés par la méthode B sont les

suivantes:

Étape 1 : Analyse des données nécessaires au calcul

a) Section résistante de la vis : 𝑨𝒔 =𝝅

𝟒𝒅𝒆𝒒

𝟐 𝒆𝒕 𝒅𝒆𝒒 = 𝒅 − 𝟎,𝟗𝟑𝟖𝟐𝑷

les tableaux 1 et 2 (page 2) donnent aussi les valeurs de As.

b) Surface d’appui sous tête ou sous écrou ou sous rondelle : Am = π/4(De2 – Db

2).

c) Influence de la raideur de l’assemblage : il faut assurer en permanence le contact entre

les pièces assemblées. On préconise des ratios entre la précharge et les efforts extérieurs.

Dans le cas d’étanchéité plane, il faut après application des charges que la pression de

contact reste suffisante. Il faut alors des boulons rigides et des pièces élastiques. Pour

diminuer les contraintes dans les vis il faut des boulons élastiques et des pièces rigides.

- Etat de contraintes dans la vis : Dans le cas général de sollicitations axiales

d’assemblages sans flexion, la vis est tendue par un effort FB et tordue par un moment de

torsion MB = C’ = F0 (0,16 P + 0,583.d2.tan(μ))

Dans le cas d’une sollicitation supplémentaire de flexion, la contrainte de flexion multipliée par son coefficient de concentration de contrainte viendra s’ajouter à la contrainte de traction. Le calcul de la contrainte équivalente resterait inchangé. Ce calcul, bien que parfaitement correct pour la partie filetée située loin des zones d’application des charges, ne permet pas d’avoir une idée exacte de la résistance de la vis.

Remarques :

La rupture d’une vis au serrage ou en utilisation se produit pratiquement toujours au niveau du premier filet en prise (Figure 2). Les autre cas de rupture constatés sont toujours dus à des anomalies de forme ou de type métallurgique qui auraient normalement dû entraîner

En un point A de la périphérie du noyau, on aura donc un état combiné de traction et de torsion : σA = Kt1.σ Avec Kt1 coefficient de concentration de contrainte en

traction et σ = 4 FB / (πdeq2) = effort de traction / section du

noyau. ζA = Kt2.ζ avec Kt2 coefficient de concentration de contrainte en torsion et ζ = 16 C’ / (π deq

3) = contrainte de torsion dans le noyau. L’application du critère de Von Mises permet d’obtenir la

valeur de contrainte normale équivalente σeq :

σeq = [ (Kt1.σ)2 + 3 (Kt2.ζ)2 ]1/2

critère σeq ≤ 0,9.Re min


l’élimination de l’élément fileté lors du contrôle de fabrication. C’est la conséquence de la répartition non uniforme de la charge entre les filets de l’écrou et de la vis. Dans le cas d’un écrou normal, le premier filet supporte environ 34% de la charge totale (Figure 3). Il est donc soumis à un état de contraintes complexe qui dépend de nombreux paramètres.

La répartition des efforts entre les filets est forcément influencée par le niveau d’introduction de la charge sur l’écrou. Ainsi, on obtiendra une diminution importante de la contrainte supportée pas les vis en utilisant des écrous suspendus ou des écrous de forme spéciale (Figure 4). On obtiendra alors également une forte amélioration de la tenue en fatigue de la vis en diminuant la valeur de la pointe de contrainte qui amorce la rupture.

- Résistance des boulons sous charge statique : Compte tenu des remarques

précédentes, il serait illusoire de réaliser un calcul prenant en compte tous les paramètres.

La vis sera considérée comme une tige cylindrique de section AS, les valeurs de

contraintes de références (valeurs limites) seront directement déduites d’essais de traction

réalisés sur la vis équipée de son écrou. De cette manière, l’ensemble des défauts de forme

et la non-homogénéité du matériau due au forgeage de la tige et au roulage des filets sont

globalement pris en compte au cours de l’essai.

Traction axiale : Lorsqu’un boulon est soumis à un effort de traction axiale, l’effort maximal

qu’il peut supporter sans se déformer notablement de façon permanente peut être calculé

de la façon suivante : FB max = 0,9 Re min.AS

Avec AS section résistante de la tige de la vis ; Re min limite élastique minimale de la classe

de qualité considérée.

Traction et torsion combinées : C’est le type de sollicitation à laquelle est soumis un

boulon mis sous tension avec un serrage à la clé. On calcule la contrainte équivalente, par

l’application du critère de Von Mises, sur la vis modélisée par une tige cylindrique de

Figure 2 : Répartition de la charge entre les

filets de l’écrou et de la vis

Figure 3 : Répartition de la charge entre les filets d’un écrou normal

Figure 4 : Répartition de la charge entre les filets de divers écrous


section AS, soumise à un effort normal FB et à un moment de torsion MB=C’. On obtient

ainsi : σeq = [σB 2 + 3.ζB

2]1/2

Avec σB = FB / AS et ζB = 16.C’/π.deq

3 (AS, C’ et deq déjà définis auparavant).

Comme précédemment, on peut dire que la contrainte normale équivalente maximale que

peut supporter le boulon sans se déformer notablement est égale à σeq max = 0.9 Re min.

Traction, torsion et flexion combinées : C’est pratiquement le cas de tous les

assemblages car il est très rare que les efforts soient appliqués suivant l’axe des boulons.

Le calcul est le même que précédemment mais il est souvent difficile d’évaluer le moment

de flexion dans la tige. Un essai a été mis au point pour s’assurer que la vis pourra subir

ces sollicitations supplémentaires (courantes) sans abaissement important de ses

performances. C’est l’essai de traction avec cale biaise défini par la norme NF E 27-00.

Dans cet essai, la vis doit satisfaire aux exigences minimales de résistance à la rupture de

sa classe de qualité, sa tête étant appuyée sur un plan incliné, ce qui introduit un fort

moment de flexion dans la tige au voisinage de la tête et doit entraîner une importante

déformation plastique. Une contrainte de flexion supplémentaire diminuera toujours la tenue

d’un boulon et on devra l’éviter, dans la mesure du possible, par un dessin judicieux des

pièces (voir tableaux en annexe, page 17, donnant les règles de conception des liaisons

par assemblages boulonnés).

- Rigidité de la vis : soit F0 l’effort de serrage initial (précharge). L’allongement de la vis

(boulon) dû à cet effort de serrage est : 𝜟𝑳𝑩 =𝟏

𝑲𝑩𝑭𝟎 avec 𝑲𝑩 rigidité du boulon. Pour

calculer la rigidité de la vis, on prend comme modèle un arbre épaulé, de module d’élasticité

longitudinale EB soumis à un effort de traction F0. Pour prendre en compte la rigidité totale

du boulon, l’influence de la rigidité de la tête et de la liaison filetée vis-écrou, on introduit

deux longueurs équivalentes supplémentaires égales à 0,4d où d est le diamètre nominal

du boulon (figure suivante) :

En écrivant que 𝜟𝑳𝑩 est la somme des allongements des deux parties du modèle, on

obtient : 𝟏

𝑲𝑩=

𝟏

𝑬𝑩[𝒍𝟏+𝟎,𝟒𝒅

𝑨+

𝒍𝟎+𝟎,𝟒𝒅

𝑨𝒔] avec 𝐴 =

𝜋𝑑2

4 et 𝐴𝑆 =

𝜋𝑑𝑒𝑞2

4

- Rigidité des pièces assemblées : l’étude statique permet d’écrire que la contraction des

éléments assemblés est : 𝜟𝑳𝑨 =𝟏

𝑲𝑨𝑭𝟎 avec 𝑲𝑨 rigidité des pièces assemblées. Pour

calculer la rigidité des pièces assemblées, on prend comme modèle un empilage de n

tronçons de section Sm, de longueur Lki, de module d’élasticité longitudinale Ei, associés

aux n pièces assemblées et soumis à une compression pure (figure page suivante). Sm est

donc une section moyenne équivalente du cône de distribution de la charge qui apparait

dans le tableau donné en annexe page 17, cône dont la petite base est de diamètre W =

De+Lk.


En écrivant que 𝜟𝑳𝑨 est la somme des contractions des pièces

assemblées, on obtient : 𝟏

𝑲𝑨=

𝟏

𝑺𝒎

𝑳𝒌𝒊

𝑬𝒊 .

𝑳𝒌𝒊 représente la hauteur (dans le sens de l’assemblage de la

ième pièce assemblée). 𝑬𝒊 est le module de Young de cette pièce.

L’expression de Sm dépend de la géométrie de l’assemblage on trouve ces valeurs dans le

tableau suivant :

𝑫é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒑𝒊è𝒄𝒆𝒔 𝒂𝒔𝒔𝒆𝒎𝒃𝒍é𝒆𝒔 (𝑺𝒎)

𝑫𝒂 ≤ 𝑫𝒆

𝑺𝒎 =𝝅

𝟒(𝑫𝒂

𝟐 −𝑫𝒃𝟐)

𝑫𝒆 < 𝑫𝒂 < 𝑫𝒆 + 𝑳𝑲

𝑺𝒎 =𝝅

𝟒 𝑫𝒆

𝟐 − 𝑫𝒃𝟐

+𝝅

𝟖𝑫𝒆 𝑫𝒂 − 𝑫𝒆 𝒙 + 𝟐 𝒙

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = (𝑳𝑲𝑫𝒆

𝑫𝒂𝟐

)𝟏

𝟑 𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒑𝒂𝒓 é𝒄𝒓𝒐𝒖

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = 𝑳𝑲

𝑫𝒂

𝟎,𝟐

𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒕𝒓𝒐𝒖 𝒃𝒐𝒓𝒈𝒏𝒆

𝑫𝒂 ≥ 𝑫𝒆 + 𝑳𝑲

𝑺𝒎 =𝝅

𝟒 𝑫𝒆

𝟐 − 𝑫𝒃𝟐

+𝝅

𝟒𝑫𝒆𝑳𝑲 𝒙 + 𝟐 𝒙

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = (𝑳𝑲𝑫𝒆

(𝑳𝑲+𝑫𝒆)𝟐

)𝟏

𝟑 𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒑𝒂𝒓 é𝒄𝒓𝒐𝒖

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = 𝑳𝑲

𝑳𝑲 + 𝑫𝒆

𝟎,𝟐

𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒕𝒓𝒐𝒖 𝒃𝒐𝒓𝒈𝒏𝒆

Remarque 1 : dans le cas où la surface de reprise des efforts est tronquée (figures

suivantes), on utilise la formule du cas n° 2 en prenant : 𝑫𝒂 =𝒂+𝒃

𝟐 avec (a et b) ˂ 3De.

Remarque 2 : on a vu dans les dispositions constructives à privilégier (annexe tableaux

règles de conception) que l’on devrait s’efforcer de rapprocher le plan d’application de la

charge du plan de joint des pièces à assembler. On utilise donc une longueur corrigée Ψ

qui est proportionnelle à Lk (Ψ = α.Lk) afin de prendre en compte les différents niveaux où

s’applique l’effort extérieur. On retrouvera et on utilisera cette distance Ψ dans le calcul du

rapport de rigidité λ.


- Rapport de rigidité λ : dans le cas général 𝝀 = 𝜶𝑲𝑩(𝟏+

𝒎

𝒏𝜹)

𝑲𝑨+𝑲𝑩(𝟏+𝜹)

Avec 𝜹 =𝒏𝟐𝑺𝒎

𝑰𝒙𝒙′ (figure ci-contre) ;

øW : diamètre estimé de la surface de reprise des efforts

(W=De+Lk min), Lk min étant l’épaisseur de la pièce la

moins épaisse parmi les pièces assemblées.

O : centre de la surface réelle de reprise des efforts (ici

centre de la surface grisée).

O1 : trace de l’axe de la vis.

m : distance de FE (effort extérieur) à O.

n : distance de O à O1 affectée du signe (+) si FE et F0

sont du même coté de l’axe x’ox, du signe (-) si FE et F0

sont de part et d’autre de l’axe x’ox.

Sm : section équivalente des pièces assemblées (voir

tableau définissant Sm).

Ixx’ : moment d’inertie par rapport à x’ox de la surface de

reprise des efforts. Le calcul de Ixx’ peut être obtenu à

l’aide de logiciels de CAO-DAO.

Remarque : dans le cas particulier où FE s’exerce dans l’axe de la vis (m = 0) et où la

surface de reprise des efforts n’est pas tronquée de manière dissymétrique (n = 0 et O ≡

O1) l’expression de λ se simplifie sensiblement : 𝝀 = 𝜶𝑲𝑩

𝑲𝑨+𝑲𝑩 . Pour les assemblages les

plus classiques on peut admettre que 𝚿 =𝟏

𝟐𝑳𝒌 (𝜶 =

𝟏

𝟐) on obtient alors : 𝝀 =

𝟏

𝟐

𝑲𝑩

𝑲𝑨+𝑲𝑩

Étape 2 : Calcul de la contrainte dynamique et vérification de la tenue de la vis

a) Cas de la sollicitation dynamique (FE dyn) exercée suivant l’axe de la vis et au niveau

du plan de joint tête de vis/pièce : dans ce cas 𝝀 =𝑲𝑩

𝑲𝑨+𝑲𝑩

Cas d’une charge extérieure dynamique (FE) de traction ondulée :

𝑭𝑩 𝒅𝒚𝒏 =𝑭𝑩 𝒎𝒂𝒙−𝑭𝑩 𝒎𝒊𝒏

𝟐=

𝝀(𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙−𝑭𝑬 𝒎𝒊𝒏)

𝟐= 𝝀 .𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏

Ce qui permet d’écrire : 𝛔𝐝 = 𝝀𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏

𝑨𝒔= 𝝀

(𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙−𝑭𝑬 𝒎𝒊𝒏)

𝟐𝑨𝒔

Cas d’un effort variable (FET) de traction et (FEC) de compression :

𝑭𝑩 𝒅𝒚𝒏 = 𝝀 .(𝑭𝑬 𝑻+𝑭𝑬𝑪)

𝟐 qui permet d’écrire que 𝛔𝐝 = 𝝀

(𝑭𝑬 𝑻+𝑭𝑬 𝑪)

𝟐𝑨𝒔

La contrainte dynamique 𝛔𝐝 doit rester inférieure à la contrainte dynamique admissible

𝛔𝐚 𝐦𝐚𝐱 (tableau ci-après) qui reste faible du fait d’une plastification en fond de filet de la vis.

Cette plastification se produit même dans le cas de charges statiques faibles. La contrainte

𝛔𝐚 𝐦𝐚𝐱 est indépendante de la classe de qualité.

Dimensions de la vis 𝛔𝐚 𝐦𝐚𝐱 en MPa

M4 à M8 60

M10 à M16 50

M18 à M30 40


b) Cas de la sollicitation dynamique (FE dyn) exercée parallèlement à l’axe de la vis :

Dans ce cas le calcul prend en compte les contraintes dues à la flexion. Par analogie avec

le résultat du cas précédent, on pose :

𝛔𝐝 = 𝝀[𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏

𝑨𝒔+

𝑴𝑩 𝒅𝒚𝒏.𝒅𝒆𝒒

𝟐𝑰𝒆𝒒]

Avec :

𝝀 : Rapport de rigidité précédemment calculé ;

𝑰𝒆𝒒 : Inertie en flexion de la partie filetée du boulon 𝑰𝒆𝒒 =𝝅𝒅𝒆𝒒

𝟒

𝟔𝟒 ;

𝑴𝑩 𝒅𝒚𝒏 : Partie du moment de flexion dynamique (dû à l’effort excentré supporté par le

boulon) 𝑴𝑩 𝒅𝒚𝒏 ≈𝑲𝑭𝑩

𝑲𝑭𝑨 𝟏 −

𝒏

𝒎𝝀 𝒎 .𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 ;

𝑲𝑭𝑩 : Rigidité en flexion de la vis ;

𝑲𝑭𝑨 : Rigidité en flexion des pièces assemblées ;

𝒎 : Distance de 𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 au centre O ;

𝒏 : Distance de O à O1 affectée du signe (+) si FE et F0 sont du même coté de l’axe x’ox,

du signe (-) si FE et F0 sont de part et d’autre de l’axe x’ox.

Par analogie avec le calcul de rigidité en traction :

𝟏

𝑲𝑭𝑩=

𝟏

𝑬𝑩[𝑳𝟏

𝑰𝟏+

𝑳𝟎

𝑰𝟎] avec 𝑰𝟏 =

𝝅𝒅𝟒

𝟔𝟒 et 𝑰𝟎 =

𝝅𝒅𝒆𝒒𝟒

𝟔𝟒= 𝑰𝒆𝒒 ;

𝟏

𝑲𝑭𝑨=

𝟏

𝑰𝒙𝒙′[𝑳𝒌𝟏

𝑬𝟏+

𝑳𝒌𝟐

𝑬𝟐+ ⋯ ] c-à-d

𝟏

𝑲𝑭𝑨=

𝟏

𝑰𝒙𝒙′

𝑳𝒌𝒊

𝑬𝒊

Avec 𝑬𝒊 : module de Young de la ième pièce assemblée ;

𝑳𝒌𝒊 : longueur dans le sens de l’assemblage de la ième pièce assemblée ;

𝑰𝒙𝒙′ : moment d’inertie par rapport à l’axe x’ox de la surface de reprise des efforts. Le

calcul de 𝑰𝒙𝒙′ peut être obtenu à l’aide de logiciels de CAO-DAO.

La vérification de la tenue dynamique de la vis est obtenue si 𝛔𝐝 est inférieure aux

valeurs admissibles (voir tableau p : 11) déjà définies dans le cas précédent : 𝛔𝐝 < 𝛔𝐚𝐝𝐦.

Étape 3 : Calcul de la tension minimale requise dans la vis

La relation qu’il convient d’utiliser pour le calcul de la tension minimale requise dans les

cas les plus courants s’écrit :

𝑻𝒓 =𝑻𝑬

𝒕𝒂𝒏𝝋+ 𝟏 − 𝝀 𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝑨𝒔 avec les efforts en N et 𝑨𝒔 en mm2.

Le premier terme représente l’effort pour éviter le glissement de l’assemblage. Le

deuxième terme représente l’effort pour éviter le soulèvement dû à l’effort axial. Le

troisième terme représente les effets de fluage ou supplémentaire dans le cas

d’étanchéité.

Dans le cas d’excentration importante, la norme propose d’autres relations spécifiques.

Étape 4 : Calcul de la contrainte maximale et choix de la classe de qualité

La précharge à appliquer à la vis est 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 = 𝑻𝒓.

Pratiquement il existe une grande incertitude sur la relation entre couple de serrage et

tension de la vis. Dans le cas général on définit donc une précharge maximale 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙

telle que : 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 = 𝜸𝑻𝒓 où 𝜸 est un coefficient d’incertitude sur le serrage, avec :

𝜸 =𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙

𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 .


En pratique on adopte les valeurs de 𝜸 (d’après NF E 25-30) données dans le tableau

suivant :

Le couple maximum sollicitant la vis dans le cas où la précharge est 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 s’écrit :

𝑪′ = 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙(𝟎,𝟏𝟔𝑷 + 𝟎,𝟓𝟖𝟑𝒅𝟐𝒕𝒂𝒏𝝁)

La contrainte de torsion a pour valeur : 𝜻𝒎𝒂𝒙 =𝟏𝟔.𝑪′𝒎𝒂𝒙

𝝅𝒅𝒆𝒒𝟑

L’effort maximum sur le boulon, dans le cas où la précharge est 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙, vaut :

𝑭𝑩𝒎𝒂𝒙 = 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 + 𝝀𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙

La contrainte de traction a pour valeur : 𝝈 =𝑭𝑩𝒎𝒂𝒙

𝑨𝒔

La contrainte équivalente (Von Mises) a donc pour expression :

𝝈𝒆𝒒 𝒎𝒂𝒙 = (𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙+𝝀𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙

𝑨𝒔)𝟐 + 𝟑𝜻𝟐 qui ne doit pas excéder la limite d’élasticité du matériau

constituant la vis (voir valeurs des caractéristiques mécaniques des vis et goujons

tableau 3 page 3).

Étape 5 : Calcul du couple de serrage

On a déjà vu à l’étape 4 que 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 = 𝑻𝒓 et 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 = 𝜸𝑻𝒓 . La tension initiale moyenne

peut donc s’écrire 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 =𝑻𝒓

𝟐(𝟏 + 𝜸) soit 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 = 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏

(𝟏+𝜸)

𝟐 .

Si l’on note (𝒕𝒂𝒏𝝁𝒇) le coefficient de frottement au niveau du filet et (𝒕𝒂𝒏𝝁𝒕) le coefficient

de frottement au niveau de la tête : 𝑪𝒔 = 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚(𝟎,𝟏𝟔𝑷 + 𝟎,𝟓𝟖𝟑𝒅𝟐𝒕𝒂𝒏𝝁𝒇 + 𝒓𝒎𝒕𝒂𝒏𝝁𝒕)

avec 𝒓𝒎 : rayon moyen de la surface d’appui tête/pièce.

Étape 6 : Vérification de la pression sous tête ou sous écrou ou sous rondelle

𝑷𝒂 =𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙+𝝀𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙

𝝅

𝟒(𝑫𝒆

𝟐−𝑫𝒃𝟐)

il faut que 𝑷𝒂 < 𝑷𝒂𝒅𝒎 (voir valeurs de 𝑷𝒂𝒅𝒎 tableau page 7).

3. Règles pratiques de conception des assemblages boulonnés :

Choix des éléments de fixation :

Il est conseillé d’utiliser des produits normalisés de préférence à pas gros ;

Le choix de l’entraînement de la vis (tête hexagonale, fente, empreinte, …) dépend

de divers paramètres : passage de l’outil, couple, type de montage, … ;

𝜸

𝜸

𝜸 𝜸


On préfère les écrous hexagonaux plutôt que les carrés (sauf cas particulier), à

hauteur normale ;

Dans le couple vis-écrou les normes prévoient que dans un assemblage serré

jusqu’à la rupture, la vis doit céder avant l’écrou : exemple d’association 8.8 pour la

vis 8 pour l’écrou ;

Pour le choix d’une rondelle (il n’y a pas de classe de qualité) on se bornera à choisir

une rondelle de dureté au moins égale à celle de la vis.

Dégagements pour outils :

Dans la géométrie des zones d’assemblage, il ne faut pas oublier la place pour les moyens

de montage et de démontage (systèmes mécaniques, manuels, …).

État de surface :

Il est déconseillé de rectifier les surfaces de contact. Une surface trop lisse ne permettant

pas de conserver un film lubrifiant éventuel au moment du serrage (augmentation de la

dispersion sur le coefficient de frottement, risque de grippage,…).

Longueur Filetée :

Pour obtenir une répartition optimale des contraintes, il est souhaitable de prévoir au

minimum 6 pas libres sous la surface de portée de l’écrou. L’extrémité du filetage doit en

général comporter 2 pas libres.

La longueur de filets en prise pour un taraudage est au moins égale à d (diamètre nominal

de la vis) : 1 x d dans l’acier ; 1,5 x d dans la fonte ; 2 x d dans l’aluminium et ses alliages.

Choix particuliers :

Dans le cas où les efforts sont assez importants, pour éviter un nombre trop grand de vis ou

des tailles trop importantes, il est recommandé d’éviter de solliciter les vis en cisaillement,


on préférera la transmission d’efforts par adhérence ou par l’intermédiaire d’obstacles

supplémentaires (goupilles, …).

4. Les procédés de serrage :

Serrer correctement est un facteur de sécurité et un problème économique (les éléments

surdimensionnés sont coûteux).

Quelques méthodes de serrage :

Serrage au couple

On serre jusqu'à l'obtention d'un couple résistant. C’est la méthode la plus utilisée, facile à

mettre en œuvre (manuelle par clé dynamométrique ou automatique par couplemètre dans

la chaîne de vissage).

La dispersion est élevée au niveau de la force de précontrainte (±𝟐𝟓%) car elle dépend du

coefficient de frottement, sur le filetage et sous la tête, qui est difficile à maîtriser.

Cette dispersion est mieux maîtrisée en utilisant une lubrification au niveau des filets grâce

à des vernis spéciaux mais qui ont pour inconvénient d'augmenter le prix de revient de

l'assemblage.

Serrage à l'angle

Il consiste à détecter la mise en place des pièces de l'assemblage en observant la montée

en couple, puis à visser d'un angle déterminé.

La valeur de l’angle est généralement déterminée expérimentalement sur une série de

boulons équipés de jauges pour obtenir une force de précontrainte.

La dispersion des résultats est faible, la difficulté réside en la détection de la montée en

couple qui sert de point départ pour le comptage de l'angle.

Ce type de procédé est essentiellement automatique.

Serrage à la limite d'élasticité

Cette méthode consiste à arrêter le vissage lorsque l'on atteint la limite élastique du

matériau. Elle peut être utilisé manuellement (par des clés spéciales) ou automatiquement.

Cette méthode à la propriété d'être de haute précision (7% d'erreur sur la précontrainte), il

n'y a pas de plastification de la vis.

Il faut parfaitement dimensionner l’assemblage et avoir un contrôle de qualité de la visserie.

On ne peut pas mettre de rondelle dont le glissement perturberait la mesure.

Les vis peuvent être réutilisées en toute sécurité sans risque de rupture.

Mesure par ultrason

On mesure l'allongement de la vis et son état de contrainte par la différence de temps de

trajet et son amortissement.

Le résultat est assez dépendant de l’état de surface de la tête du boulon, un parallélisme

entre les deux faces du boulon.

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