Thème art et nombre d'or
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Thème : Art et Nombre d’or I Rectangles de même forme On dit que deux quadrilatères sont de même forme si les deux triangles qui les composent sont deux à deux de même forme. Rappel du cours : Deux triangles sont de même forme si leurs angles sont deux à deux de même mesure 1) Démontrer que tout rectangle ABCD est formé de deux triangles isométriques ABD et DCB 2) En déduire que pour démontrer que ABCD et EFGH sont de même forme, il suffit de montrer que le triangles ABD et EHG le sont 3) Montrer alors que les deux rectangles ABCD et EFGH sont de même forme si et seulement si on a l L = l’ L’ II Nombre d’or : « La divine proportion » De nombreux peintres et architectes de la Renaissance italienne, en particulier Léonard de Vinci (1452-1519) ont évoqué l’existence d’un rectangle de proportions « idéales », vérifiant la propriété suivante : « Lorsqu ’on ôte au rectangle considéré un carré construit sur sa largeur, on obtient un nouveau rectangle plus petit, de même forme que le rectangle de départ » Autrement dit AEFD est un carré et ABCD,EBFC sont de même forme Posons AD=l, AB=L et = L l 1) En utilisant la partie I démontrer que l L = L-l l 2) En déduire que 1 =-1 3) Démontrer que est solution de l’équation x 2 -x-1=0 (1) 4) Vérifier que x 2 -x-1=(x- 1 2 ) 2 - 5 4 5) A l’aide de 4) résoudre l’équation (1) 6) En déduire que = 1+ 5 2 . Donner une valeur approché de à 10 -2 près est appelé nombre d’or, ABCD et EBCF sont des rectangles d’or
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Thème transversal sur l'art et les mathématiques, document réalisé en 2002-2003 pour des secondes histoire de l'art
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Thème : Art et Nombre d’or
I Rectangles de même forme
On dit que deux quadrilatères sont de même
forme si les deux triangles qui les
composent sont deux à deux de même forme.
Rappel du cours : Deux triangles sont de
même forme si leurs angles sont deux à deux
de même mesure
1) Démontrer que tout rectangle ABCD est formé de deux triangles isométriques ABD et DCB
2) En déduire que pour démontrer que ABCD et EFGH sont de même forme, il suffit de montrer que le triangles ABD et EHG le sont
3) Montrer alors que les deux rectangles ABCD et EFGH sont de même
forme si et seulement si on a l
L =
l’
L’
II Nombre d’or : « La divine proportion »
De nombreux peintres et architectes de la Renaissance italienne, en
particulier Léonard de Vinci (1452-1519) ont évoqué l’existence d’un
rectangle de proportions « idéales », vérifiant la propriété
suivante :
« Lorsqu ’on ôte au rectangle considéré un carré construit sur sa
largeur, on obtient un nouveau rectangle plus petit, de même forme que
le rectangle de départ »
Autrement dit AEFD est un carré et ABCD,EBFC sont de
même forme
Posons AD=l, AB=L et = L
l
1) En utilisant la partie I démontrer que l
L =
L-l
l
2) En déduire que 1
=-1
3) Démontrer que est solution de l’équation x2-x-1=0 (1)
4) Vérifier que x2-x-1=(x- 1
2 )
2- 5
4
5) A l’aide de 4) résoudre l’équation (1)
6) En déduire que = 1+ 5
2 . Donner une valeur approché de à 10
-2
près
est appelé nombre d’or, ABCD et EBCF sont des rectangles d’or
III Construction de rectangles d’or
Soit ABCD un carré de longueur 4 cm, O le milieu de [AB]
Le cercle C de centre O de rayon OC coupe la droite (AB) en F et E.
La perpendiculaire à (AB) en E coupe (DC) en G
La perpendiculaire à (AB) en F coupe (DC) en H
1) Démontrer que AE=BF=2(1+ 5)
cm
2) Démontrer que ADGE et FHCB sont des rectangles d’or
3) En déduire que FHDA et BCGE sont des rectangles d’or
IV Etude de « l’école d’Athènes » Raphaël 1511
1) Retrouver la figure construite à la partie III dans le tableau de Raphaël
2) A l’aide de vos connaissances sur la renaissance, l’histoire de
l’art et de la question 1) élaborer une critique du tableau de
Raphaël
OA B
D C
EF
H G
