Nombre d'or & modulor

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  • 1. Ralis par :Ralis par : BOUKHERCHA Yasmine 2emme anne GRGR : 05 Encadr par:Encadr par: Mme Boumansour R Mme Dahimene F. Mlle Cherchali N. ECOLE POLYTECHNIQUE DARCHITECTURE ET DURBANISME Anne universitaire : 2005/2006

2. Introduction I Historique du nombre dor : -Mythes et recherches II LE NOMBRE dOR - Ses proprits (algbriques et gomtriques) - Dans la nature - Dans les arts III LE NOMBRE DOR EN ARCHITECTURE: -Le Corbusier et le MODULOR : Le rationalisme . architecturale 3. De tout temps, lhomme a cherch a retrouv la symbiose de la nature dans ses crations, et a rechercher ardemment des normes qui lui assureraient lquilibre et lharmonie esthtique de ces produits. Tout ces efforts ont toujours converg vers un module, un nombre,aussi essentiel quil nest tonnant et mystrieux, quon appelle communment NOMBRE DOR 4. Recherches antrieures et mythes 5. L'apparition du nombre d'or remonte la prhistoire. Ayant appris diviser un cercle en 5 ou en 10, les hommes en vinrent au pentagone et au dcagone , et ds lors ils avaient sous les yeux le nombre d'or. 6. Il y a 10 000 ansIl y a 10 000 ans :: Premire manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros dcouvert sous la mer des Bahamas). 2800 av JC2800 av JC :: La pyramide de Kheops a des dimensions qui mettent en vidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or. V sicle avant J-C. (447-432 av. JC)V sicle avant J-C. (447-432 av. JC) : Le sculpteur grec Phidias lutilise pour dcorer le Parthnon Athnes, en particulier pour sculpter la statue d'Athna Parthnos . 7. III sicle avant J-C.III sicle avant J-C. : Euclide voque le partage d'un segment en "extrme et moyenne raison" dans le livre VI des Elments. 1498 :1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathmatiques, crit De divina proportione ("La divine proportion"). Au XIXme sicle :Au XIXme sicle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intresse non plus propos de gomtrie mais en ce qui concerne l'esthtique et l'architecture. Il cherche ce rapport, et le trouve (on trouve facilement ce qu'on cherche ...) dans beaucoup de monuments classiques. C'est lui qui introduit le ct mythique et mystique du nombre d'or. 8. Au dbut du XXme sicleAu dbut du XXme sicle : Matila Ghyka, diplomate roumain, s'appuie sur les travaux du philosophe allemand Zeising et du physicien allemand Gustav Theodor Fechner ; ses ouvrages L'esthtique des proportions dans la nature et dans les arts (1927) et Le Nombre d'or. insistent sur la prminence du nombre d'or et tablissent dfinitivement le mythe . Au cours du XXme sicleAu cours du XXme sicle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or. 1945 :1945 : Le Corbusier fait breveter son Modulor qui donne un systme de proportions entre les diffrentes parties du corps humain. 9. Vitruve, architecte romain 1er sicle avant notre re et qui a tudi les proportions du corps humain dclare quil y a section dor quand Il y a de la petite partie la grande, le mme rapport que la grande au tout. 10. Une droite est dite coupe en extrme et moyenne raison quand, comme elle est toute entire relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. Euclide, Elments, livre VI, 3me dfinition. Le partage en "extrme et moyenne raisonextrme et moyenne raison" d'un segment Euclide (365 - 300 av. J.C.) 11. Soit A, B, et C trois points sur une droite; si le point C est tel que : il est alors le point d'or ou section dore du segment AB. 12. Kepler, Johannes (1571- 1630), astronome et physicien allemand, clbre pour ces lois en astrophysique Kepler appela la proportion prcdente "divine proportion". Il en dtermina la valeur: Si x et 1 sont les longueurs des segments AC et CB respectivement. 13. Si x et 1 sont les longueurs des segments AC et CB respectivement. 2 solutions: 14. La solution positive est le nombre d'or; il est reprsent par la lettre grecque (phi); en hommage au sculpteur grec Phidias (490 430 av J.C) qui dcora le Parthnon Athnes = 1.618 Les 100 premires dcimales du nombre d'or sont : 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041 Le record de calcul des dcimales date de 1998 et a t ralis par Simon Plouffe : 10 000 000 dcimales (29 minutes de calcul). 15. Fibonacci (1175 - 1240) ,Lonardo Pisano, ou Lonard de Pise. Fibonacci vient de filius Bonacci qui veut dire fils de Bonacci.(Bonacci signifie chanceux , de bonne fortune) cest l'un des plus grands mathmaticiens du Moyen-ge. Il a introduit la numration dcimale et l'criture arabe des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre Liber abaci, les connaissances acquises en Algrie o travaillait son pre. La suite de Fibonacci et le nombre d'or 16. clbre problme de prolifration des lapins d au mathmaticien italien "Combien de couples de lapins obtiendrons-nous la fin de chaque mois si commenant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence ?" Au premier mois, il y aura 1 couple. Au deuxime, il y aura 1 couple. Au troisime mois, il y aura 2 couples. Et ainsi de suite pour obtenir la suite de Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;.... dont chaque terme est la somme des deux termes qui le prcdent. 1+1=2 1+2=3 2+3=5 5+3=8 etc. En prenant les rapports de deux nombres successifs de la suite, on constate que ces rapports se rapprochent du nombre dor 17. Au moyen ge, les btisseurs de cathdrales utilisaient une pige constitues de cinq tiges articules, correspondant chacune une unit de mesure de l'poque, relatives au corps humain 18. Pour passer d'une mesure la suivante, on peut constater que l'on multiplie par le nombre d'or , environ 1,618. 19. PROPRIETE S 20. Carr du nombre d'or Pour calculer le carr du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1 Inverse du nombre d'or Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui soustraire 1 : 21. Puissances du nombre d'or Les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci. Pour obtenir une puissance du nombre d'or, il suffit de connatre les deux puissances prcdentes et de les additionner, ce qui est exactement le procd de construction de la suite de Fibonacci ! 22. EN GEOMETRIE 23. Le rectangle dor On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut le nombre d'or. pointer l'un des deux angles opposs, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le ct du carr point. Si de ce rectangle, nous supprimons le carr de ct de longueur b, alors le rectangle restant est nouveau un rectangle d'or, puisque ses cts sont dans un rapport . nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits. Le trac d'un rectangle d'or se fait trs simplement l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un ct d'un carr, 24. Si on demande des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le rectangle sera (dans 77% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du rectangle d'or. Peut-tre le rectangle quelconque est-il le rectangle d'or ? 25. Triangles d'or Les triangles d'or sont des triangles isocles dont le rapport des cts est gal au nombre d'or. Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport ct / base vaut qui donnent des triangles aigus appels parfois triangles d'argent et ceux pour lesquels le rapport base / ct vaut . Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu fois plus petit. On retrouve ce mme phnomne dans un triangle d'or obtus. 26. Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu fois plus petit. On retrouve ce mme phnomne dans un triangle d'or obtus. 27. Spirale dor Pour construire une spirale dor, on construit un rectangle dor dans lequel on construit un grand carr de ct la largeur du rectangle. On ritre lopration dans le rectangle restant qui est un rectangle dor et ainsi de suite, Puis, on construit des quarts de cercle dans les carrs. 28. Le pentagone Le ct du pentagone toil est phi fois le ct du pentagone convexe. AB/AD=phi=1,618 (le nombre d'or) 29. Un simple noeud ralis avec une bande de papier, puis soigneusement aplati est un "noeud d'or" ; il suffit de replier une des extrmit de la bande pour obtenir un pentagramme complet Avec une bande assez longue on peut raliser cinq noeuds d'or rgulirement espacs. En recollant les extrmits on obtient ce bel anneau pentagonal qui est un ruban de Mbius : la bande n'a plus qu'une seule face et un seul bord ! noeud d'or un anneau d'orun anneau d'or 30. DANS LA NATURE 31. Dame Nature aussi utilise ce rapport pour assurer des croissances harmonieuses (fleurs, fruits, coquilles, cornes...) 32. En coupant une pomme ou une poire en deux dans le sens de son quateur, on y dcouvre les ppins disposs en toile 5 branches. Les boutons d'or ont 5 ptales, les marguerites ont gnralement 34, 55 ou 89 ptales. Ces nombres font partie de la suite de Fibonacci lie au nombre d'or La suite de Fibonacci intervient dans la nature. 33. La fleur de tournesol normale de 12 15 cm de diamtre possde en gnral 34 spirales tournant dans un sens et 55 dans l'autre. Des fleurs plus petites peuvent prsenter les combinaisons 21/34 ou 13/21 et des fleurs exceptionnellement dveloppes peuvent aller jusqu' 89/144. 34. Dans un ananas ou une pomme de pin les cailles s'organisent en deux ensembles de spirales. L'un qui tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse. 35. Le Nautile Le nautile est un coquillage dont l' intrieur prsente une spirale forme d'une douzaine de petites loges