TRAVAUX DIRIGSProgrammation linaire

Filire Sciences Economiques et GestionSemestre 5

Mohamed HACHIMI

Facult des Sciences Juridiques Economiques et Sociales dAgadir

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 1 / 16

www.fsjes-agadir.info

HamiToSticky Note

www.fsjes-agadir.info

Chapitre V

Dualit

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 2 / 16

www.fsjes-agadir.info

Dualit

Exercice 1

Formuler le problme dual de chacun des programmes linairessuivants :

(P1)

max z = 2x1 + 4x2 + 3x33x1 + 4x2 + 2x3 6 602x1 + x2 + 2x3 6 40x1 + 3x2 + 2x3 6 80

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0

(P2)

max z = 3x1 + x2 2x3x1 + 2x2 > 10

3x1 x2 + x3 = 7x1 + 3x3 6 8

x2 > 0, x3 > 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 3 / 16

Dualit

Exercice 1 (Suite)

(P3)

max z = 10x1 + 14x2x1 + x2 > 12x1 > 8

x2 6 6x1 > 0, x2 > 0

(P4)

max z = 400x1 + 350x2 + 450x32x1 3x2 + 2x3 6 1204x1 + 3x2 = 1603x1 2x2 + 4x3 > 100

x2 > 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 4 / 16

Dualit

Solution de lexercice 1

le problme dual (D1) de (P1) est :

(P1)

max z = 2x1 + 4x2 + 3x33x1 + 4x2 + 2x3 6 602x1 + x2 + 2x3 6 40x1 + 3x2 + 2x3 6 80

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0

(D1)

min v = 60y1 + 40y2 + 80y33y1 + 2y2 + y3 > 24y1 + y2 + 3y3 > 42y1 + 2y2 + 2y3 > 3

y1 > 0, y2 > 0, y3 > 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 5 / 16

Dualit

Solution de lexercice 1

le problme dual (D2) de (P2) est :

(P2)

max z = 3x1 + x2 2x3x1 + 2x2 > 10

3x1 x2 + x3 = 7x1 + 3x3 6 8

x2 > 0, x3 > 0

(D2)

min v = 10y1 + 7y2 + 8y3y1 + 3y2 + y3 = 3

2y1 y2 > 1y2 + 3y3 > 2

y1 6 0, y2 qcq, y3 > 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 6 / 16

Dualit

Solution de lexercice 1

le problme dual (D3) de (P3) est :

(P3)

max z = 10x1 + 14x2x1 + x2 > 12x1 > 8

x2 6 6x1 > 0, x2 > 0

(D3)

min v = 12y1 + 8y2 + 8y3y1 + y2 > 10y1 + y3 > 14

y1 6 0, y2 6 0, y3 > 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 7 / 16

Dualit

Solution de lexercice 1

le problme dual (D4) de (P4) est :

(P4)

max z = 400x1 + 350x2 + 450x32x1 3x2 + 2x3 6 1204x1 + 3x2 = 1603x1 2x2 + 4x3 > 100

x2 > 0

(D4)

min v = 120y1 + 160y2 + 100y32y1 + 4y2 + 3y3 = 400

3y1 + 3y2 2y3 > 3502y1 + 4y3 = 450

y1 > 0, y2 qcq, y3 6 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 8 / 16

Dualit

Exercice 2

Appliquer le thorme des carts complmentaires vue en courspour vrifier loptimalit de la solution propose.

max z = 7x1 + 6x2 + 5x3 2x4 + 3x5x1 + 3x2 + 5x3 2x4 + 2x5 6 4

4x1 + 2x2 2x3 + x4 + x5 6 32x1 + 4x2 + 4x3 2x4 + 5x5 6 53x1 + x2 + 2x3 x4 2x5 6 1

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0

Solution propose : (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 4/3, 2/3, 5/3, 0)

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 9 / 16

Dualit

Solution de lexercice 2

Le dual du problme pos est :

min v = 4y1 + 3y2 + 5y3 + y4y1 + 4y2 + 2y3 + 3y4 > 7

3y1 + 2y2 + 4y3 + y4 > 65y1 2y2 + 4y3 + 2y4 > 5

2y1 + y2 2y3 y4 > 22y1 + y2 + 5y3 2y4 > 3

y1 > 0, y2 > 0, y3 > 0, y4 > 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 10 / 16

Dualit

Solution de lexercice 2

La troisime contrainte du problme primal nest pas sature.Donc, la variable duale associe cette contrainte est nulle :y3 = 0.

Dautre part, les variables x2, x3 et x4 sont strictement positives.Ce qui implique que la deuxime, la troisime et la quatrimecontraintes duales sont satures.On obtient donc le systme suivant :

3y1 + 2y2 + 4y3 + y4 = 65y1 2y2 + 4y3 + 2y4 = 5

2y1 + y2 2y3 y4 = 2

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 11 / 16

Dualit

Solution de lexercice 2

Comme y3 = 0, le systme prcdent devient

3y1 + 2y2 + y4 = 65y1 2y2 + 2y4 = 5

2y1 + y2 y4 = 2

En rsolvant ce systme, on obtient :

y1 = 1, y2 = 1, y4 = 1 (y3 = 0)

Cette solution ne satisfait pas la dernire contrainte du problmedual. Elle nest donc pas ralisable et par suite la solution primalepropose nest pas optimale.

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 12 / 16

Dualit

Exercice 3

Appliquer le thorme des carts complmentaires vue en courspour vrifier loptimalit de la solution propose.

max z = 4x1 + 5x2 + x3 + 3x4 5x5 + 8x6x1 4x3 + 3x4 + x5 + x6 6 1

5x1 + 3x2 + x3 5x5 + 3x6 6 44x1 + 5x2 3x3 + 3x4 4x5 + x6 6 4

x2 + 2x4 + x5 5x6 6 5 2x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 + 2x6 6 7

2x1 3x2 + 2x3 x4 + 4x5 + 5x6 6 5x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0

Solution propose : (x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (0, 0, 5/2, 7/2, 0, 1/2)

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 13 / 16

Dualit

Solution de lexercice 3

Le dual du problme pos est :

min v = y1 + 4y2 + 4y3 + 5y4 + 7y5 + 5y6y1 + 5y2 + 4y3 2y5 + 2y6 > 4

3y2 + 5y3 y4 + y5 3y6 > 54y1 + y2 3y3 + y5 + 2y6 > 1

3y1 + 3y3 + 2y4 + y5 y6 > 3y1 5y2 4y3 + y4 + 2y5 + 4y6 > 5y1 + 3y2 + y3 5y4 + 2y5 + 5y6 > 8

y1 > 0, y2 > 0, y3 > 0, y4 > 0, y5 > 0, y6 > 0

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 14 / 16

Dualit

Solution de lexercice 3

La troisime, quatrime et sixime contraintes du problme pri-mal ne sont pas satures. Donc, les variables duales associes ces contraintes sont nulles : y3 = y4 = y6 = 0.Dautre part, les variables x3, x4 et x6 sont strictement positives.Ce qui implique que la troisime, la quatrime et la siximecontraintes duales sont satures.On obtient donc le systme suivant :

4y1 + y2 3y3 + y5 + 2y6 = 13y1 + 3y3 + 2y4 + y5 y6 = 3y1 + 3y2 + y3 5y4 + 2y5 + 5y6 = 8

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 15 / 16

Dualit

Solution de lexercice 3

Comme y3 = y4 = y6 = 0, le systme prcdent devient

4y1 + y2 + y5 = 13y1 + y5 = 3

y1 + 3y2 + 2y5 = 8

En rsolvant ce systme, on obtient :

y1 =12, y2 =

32, y5 =

32

(y3 = y4 = y6 = 0)

Cette solution satisfait toutes les contraintes du problme dual.Elle est donc ralisable et par suite la solution primale proposeest optimale.

Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 16 / 16

DualitDualit