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Exercices et corrigé automatique linéaire

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  • TD ASSERVISSEMENT

    M1 SPI - GMA

    Michel AGULLO Stphane SEGONDS

  • 1

    II.. TTRRAANNSSFFOORRMMAATTIIOONN DDEE LLAAPPLLAACCEE

    Exercice 1-1 : Dterminer la transforme de Laplace de la fonction )(tf dfinie ci-dessous :

    f(t)A

    t T 2T

    Exercice 1-2 : Soit la fonction tatf .)( = . Tracer et dterminer les transformes de Laplace des fonctions dfinies par :

    )().()()().()(

    )().()()().()(

    4

    3

    2

    1

    TtutftftuTtftf

    TtuTtftftutftf

    =

    =

    =

    =

    Exercice 1-3 : Dterminer les originaux )(tf des fonctions )( pF suivantes :

    a) ))(()( bpapKpF

    ++=

    b) )1()( ppKpF

    +=

    c) 4)2(24)(+

    =

    ppF

    d) )2()1(2)( 2

    2

    ++=

    ppppF

    e) 65

    12)( 2 ++= pppF

    f) 52

    12)( 2 ++= pppF

    Exercice 1-4 : Rsoudre, par application de la transformation de Laplace, les quations diffrentielles suivantes :

    a)

    =

    =+

    3)0(0)()(2

    x

    txdt

    tdx b)

    =

    =+

    0)0()(3)()(2

    x

    tutxdt

    tdx

  • 2

    IIII.. MMOODDEELLIISSAATTIIOONN DDEESS SSYYSSTTEEMMEESS MMEECCAANNIIQQUUEESS

    Exercice 2-1 : Un systme mcanique un degr de libert constitu dune masse m, dun ressort de raideur k et dun frottement visqueux de coefficient f est soumis une sollicitation f(t). On note x(t) le dplacement de la masse m par rapport sa position dquilibre.

    k

    fx(t)

    f(t)

    m

    a) Ecrire lquation diffrentielle du mouvement. b) On considre nulles les conditions initiales. En dduire la fonction de transfert du systme

    que lon exprimera sous la forme canonique suivante :

    20

    2

    0

    21)()()(

    ppK

    pFpXpH

    ++

    ==

    c) En dduire les expressions littrales en fonction de k, f et m : du gain statique K ;

    de la pulsation propre 0 ;

    du facteur damortissement . d) Donner lexpression de la fonction de transfert H(p) dans les cas suivants :

    la masse m est ngligeable ; le frottement visqueux f est nul ; le frottement visqueux f est gal au frottement critique ( = 1).

    Application numrique : k = 2 N.m-1 , f = 3 N.s.m-1 , m = 1 kg.

    e) Montrer que dans ce cas, H(p) peut se mettre sous la forme suivante. Calculer T1 et T2.

    )1)(1()()()(

    11 pTpTK

    pFpXpH

    ++==

    f) On se place dans le cas sollicitations libres ( 0)( =tf .) On suppose qu linstant 0=t , 0)0( =x et 1-m.s 1=(0)

    x .

    Ecrire lquation diffrentielle du mouvement. En dduire X(p). Dterminer et tracer x(t) en calculant [ ])(1 pXL .

  • 3

    g) On se place dans le cas sollicitations forces ( 0)( tf .) On suppose qu linstant 0=t , 0)0( =x et 1-m.s 0=(0)

    x . On applique alors la masse m une force f(t) = 4N.

    Ecrire lquation diffrentielle du mouvement. En dduire )()(

    pFpX

    .

    Dterminer et tracer la rponse x(t) en calculant [ ])(1 pXL .

    Exercice 2-2 : Etude simplifie de filtres mcaniques. On considre les deux filtres mcaniques reprsents Figure 1 et Figure 2 constitus dun ressort de raideur k et dun amortissement visqueux f.

    x(t) y(t)

    k f

    Figure 1

    x(t) y(t)

    kf

    Figure 2

    a) Dterminer leur fonction de transfert )()(

    pXpY

    . Montrer quelles peuvent respectivement se

    mettre sous la forme :

    pTpF

    .11)(1 += pT

    pTpF.1

    .)(2 +=

    b) Donner lexpression littrale de la constante de temps T en fonction de k et f. c) Donner lallure des rponses en frquence dans Bode et dans Black de ces deux systmes.

    En dduire leur type (passe-haut ou passe-bas) et leur bande passante -3dB. On souhaite mesurer un profil comportant un dfaut dondulation W et de rugosit R. Soient AW et AR les pas dondulation et de rugosit. Soit V la vitesse de dplacement de la pice.

    AW AR

    V

    Figure 3

    d) Dterminer, pour chaque type de filtre, le dfaut quil permet de mesurer ainsi que la vitesse de dplacement V de la pice permettant de lobserver.

  • 4

    IIIIII.. MMOODDEELLIISSAATTIIOONN DDEESS SSYYSSTTEEMMEESS EELLEECCTTRRIIQQUUEESS

    Les trois composants lmentaires dun circuit lectrique passif sont : le rsistor, caractris par sa rsistance lectrique R en Ohm () la self, ou bobine dinduction, caractrise par son inductance L en Henry (H) le condensateur, caractris par sa capacit C en Farad (F ou F)

    La relation entre la tension aux bornes de ces composants et le courant les traversant peut tre crite :

    soit sous forme diffrentielle ; soit sous forme complexe ;

    soit en utilisant la transforme de Laplace de la forme diffrentielle.

    Relations Impdance quivalente Composant Symbole

    Diffrentielle Laplace Complexe Laplace

    Rsistor u(t)

    i(t) R

    )(.)( tiRtu = )(.)( pIRpU = RZ = RZ =

    Self u(t)

    i(t) L

    dttdiLtu )(.)( = )(..)( pIpLpU = jLZ .= LpZ =

    Condensateur u(t)

    i(t) C

    = dtiCtu .

    1)( )(1)( pICppU = CjZ1

    =

    CpZ 1=

    En remplaant p par j, on obtient limpdance complexe dun composant. Cette forme nest valable quen courant alternatif ( )sin(.)( 0 titi = ). Par la transformation de Laplace, un composant quelconque peut tre schmatis comme illustr ci-contre avec pour relation : )(.)( pIZpU =

    U(p)

    I(p) Z

  • 5

    Dans le cas dassociation de composants en srie ou en parallle, on peut dterminer limpdance quivalente dun circuit en utilisant les relations suivantes :

    Montages Impdance quivalente

    en srie

    U(p)

    I(p) Z1 Z2

    U(p)

    I(p) Zeq

    21 ZZZeq +=

    en parallle

    U(p)

    I(p)Z1

    Z2

    U(p)

    I(p) Zeq

    21

    111ZZZeq

    +=

    Exercice 3-1 : Dterminer, pour chacun des trois circuits suivants, les fonctions de transfert

    )()()(

    pVepVspF = laide des schmas fonctionnels.

    Remarque : Dans le cas du troisime circuit, il est mis en place, entre les deux quadriples, un amplificateur oprationnel suppos idal dimpdance dentre infinie et de gain A.

    Z1

    Z2Ve(p) Vs(p)

    I(p)

    circuit 1

    Z1

    Z2Ve(p) U(p)

    I(p)Z3

    Z4 Vs(p)

    I2(p)I1(p)

    circuit 2

    Z1

    Z2Ve(p) U2(p)

    Z3

    Z4 Vs(p)

    I2(p)I1(p)

    U1(p) A

    circuit 3

  • 6

    Exercice 3-2 : On considre les circuits lectriques (quadriples passifs) reprsents ci-dessous.

    ve(t) vs(t)

    R

    C

    ve(t) vs(t)

    R

    C

    L

    a) Dterminer les fonctions de transfert )()()(

    pVepVspH = pour chacun de ces circuits en

    considrant nulles les conditions initiales. b) Dterminer lordre et la classe de ces systmes. c) Donner lexpression littrale de leurs paramtres caractristiques (Gain, constante de

    temps T, facteur damortissement , pulsation propre o.)

    Exercice 3-3 : On considre les circuits lectriques (quadriples passifs) reprsents ci-dessous.

    CR2

    R1

    vs(t)ve(t)

    C

    R2vs(t)ve(t)

    R1

    Circuit avance de phase Circuit retard de phase

    a) Dterminer la fonction de transfert du circuit avance de phase et montrer quelle peut se mettre sous la forme :

    pTpTaK

    pVpVpF

    e

    s

    .1..1

    )()()(

    +

    +== avec 1>a

    b) Dterminer la fonction de transfert du circuit retard de phase et montrer quelle peut se mettre sous la forme :

    pTbpTK

    pVepVspF

    ..1.1

    )()()(

    +

    +== avec 1>b

    Exercice 3-4 : Ltude porte sur une motorisation constitue dun moteur courant continu

    associ un rducteur de rapport 101 =n

    . On note Jm linertie de larbre moteur et Jc linertie

    de la charge en sortie du rducteur.

  • 7

    a) Montrer que ce dispositif peut tre reprsent par le schma ci-dessous avec Je linertie quivalente ramene sur larbre moteur. Dterminer, par application du thorme de lnergie cintique, lexpression de Je en fonction de Jm, Jc et n.

    MCC

    r

    n

    1

    f Je

    m

    Modlisation : on rappelle ci-dessous les quations caractristiques dun moteur courant continu :

    Equations lectriques :

    =

    ++=

    )(.)()()()()(

    tKete

    tedt

    tdiLtiRtu

    m

    Equations mcaniques :

    =

    =

    )(.)()()()(.

    tiKrtCm

    tftCmdt

    tdJe m

    m

    b) Dterminer les transformes de Laplace des ces quations. Elaborer le schma bloc et en dduire la fonction de transfert M(p) du moteur que lon crira sous la forme canonique suivante :

    2

    2

    21)()()(

    nn

    pp

    KpUp

    pM

    ++

    =

    =

    (1).

    c) En dduire la fonction de transfert )()()(

    pUppN = . Quel est son ordre, sa classe et son

    gain.

    On considre gnralement que la fonction de transfert dun moteur est de la forme :

    ).1).(.1()()()(

    pTpTK

    pUppM

    em ++=

    = (2) avec TeTm >> (soit mme TTT + )

    d) Sous cette hypothse, en comparant les quations (1) et (2), donner les expressions littrales de Te et Tm.

    e) Application numrique : on donne srdVKe //1,0= ANmKr /1,0= srdNmf //10.15,3 5=

    HL 310.1,0 = = 1R 2410.4,1 kgmJe =

    Calculer Te et Tm.

  • 8

    Exercice 3-5 : Etude simplifie dune servovalve lectro-hydraulique

    Une servovalve lectrohydraulique est un appareil qui convertit une grandeur lectrique (courant ou tension) en une grandeur hydraulique proportionnelle (dbit ou pression). Elles est constitue dun, deux ou trois tages suivant que le moteur couple lectrique pilote directement lorgane de puissance hydraulique (buse-palette), ou quil y a un, deux ou trois tages da