8/16/2019 Taller 1 Numérico

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Análisis Numérico.Taller 1(Método de Bisección).

Andrés Felipe Patiño López.20131167013

8 de mayo de 2016

Ejercicio 1.  Probar que si  xn  =n

k=1

1k

, la sucesión  xn  diverge pero la sucesión  xn − xn−1   converge.

Solución 1.   Veamos que  xn − xn−1 −→ 0

xn − xn−1 =n

k=1

1

k  +

n−1k=1

1

k

=  1

n +

n−1k=1

1

k −

n−1k=1

1

k

=  1

n

Por propiedad arquimediana de  R, para cada   > 0 existe  n ∈ N  tal que  n > 1, es decir:1

n  <

1

n −0 <

Aśı  xn − xn−1 −→ 0Veamos que  xn  no converge:

Sea   =   12

, y  n ∈ N  entonces:

|xn − x2n| =n

k=1

1

k −

2nk=1

1

k

=

2nk=n+1

1

k

=2n

k=n+1

1

k

≥2n

k=n+1

1

2n

=  n

2n

=  1

2 = 

De modo que la sucesión no es de cauchy y por tanto no converge.

Ejercicio 2.  Encuentre una aproximación correcta de √ 3 con una presición de 10−2

Solución 2.   Sea   f (x) =   x2 − 3, dado que 1   <  3   <   4, tenemos que: 1   < √ 3   <   2, ahora dado que   f   escontinua y en [1, 2] y  f (1)f (2) = −3 <  0, podemos aplicar el teorema de bolzano y el método de bisección.Para que el error sea menor que 10−4 se deben realizar 14 iteraciones.

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I n   an   bn   xn   f (an)   f (bn)   f (xn)   |bn − an|1 1 2 1.5 -2 1 -0.75   1

22 1.5 2 1.75 -0.75 1 0.0635   1

43 1.5 1.75 1.625 -0.75 0.0625 -0.3594   1

84 1.625 1.75 1.6875 -0.3594 0.0625 -0.1523   1165 1.6875 1.75 1.7188 -0.1523 0.0625 -0.0459   1326 1.7188 1.75 1.7344 -0.0459 0.0625 0.0081   1647 1.7188 1.7344 1.7266 -0.0459 0.0081 -0.0190   11288 1.7266 1.7344 1.7305 -0.0190 0.0081 -0.0055   12569 1.7305 1.7344 1.7324 -0.0055 0.0081 0.0013   151210 1.7305 1.7324 1.7214 -0.0055 0.0013 -0.0021   1102411 1.7314 1.7324 1.7319 -0.0021 0.0013 -0.0004   1

204812 1.7319 1.7324 1.7322 -0.0004 0.0013 -0.0004   1

409613 1.7319 1.7322 1.7321 -0.0004 0.0004 0.0000   1

819214 1.7319 1.7321 1.7320 -0.0004 0.0004 0.0000   1

16348

Aśı√ 

3 ≈ 1,7320 con un error absoluto menor a 10−4

Ejercicio 3.   Sea f (x) = (x−1)10, p  = 1, y pn = 1 +   1n . Demustre que |f ( pn)|  1,

pero que | p−

 pn|<

 10

−3

requiere que n >

 1000Solución 3.  Veamos que:

|f ( pn)| =

1 +  1

n − 1

10

=

1n10

=  1

n10

De modo que la sucesión   f ( pn) es estrictamente decreciente, es decir   f ( p2)   > f ( p3)   > ... > f ( pn)   >f ( pn+1)  > ..., además todos sus términos son positivos. Para n = 2 se tiene que

 |f ( p2)

| =   1

1024  <  10−3,

por lo tanto |f ( pn)|  1. Por otro lado

| p − pn| =1 − (1 +  1n )

=   1n    1000.

Ejercicio 4.  ¿Es posible usar el método de biseccón para encontrar los ceros de la función f (x) =   4x−7(x−2)2

sobre los intervalos: [1.2, 2.2] y [1.5, 2.5]?

Solución 4.

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Para el intervalo [1.2, 2.2] el método de biseccón funciona correctamente, dado que existe una únicadiscontinuidad en  x  = 2 y al realizar el promedio de los valores  an, bn  no se tendrá que  xn = 2, ası́:

I n   an   bn   xn   f (an)   f (bn)   f (xn)   |bn − an|1 1.2 2.2 1.7 3.44 45 -2.22   122 1.7 2.2 1.95 -2.22 45 320   1

43 1.7 1.95 1.83 -2.22 320 9.8   1

16

4 1.7 1.83 1.76 -2.22 9.8 0.89  1

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Para el intervalo [1.5, 2.5] surge un problema en la evaluación de la función ya que en la primera iteracióntenemos x1 = 2 y  f (2) es indeterminado. Esto no permite continuar con el método.

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