Sentido numérico
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Silvia Garca
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SENTIDONMERICO
ISBN de la coleccin: 978-607-7675-28-0ISBN: 978-607-7675-51-8
D.R. Instituto Nacional parala Evaluacin de la Educacin
Jos Ma. Velasco 101, Col. San Jos Insurgentes,Delegacin Benito Jurez, C.P. 03900, Mxico, D.F.
Coordinacin generalRebeca Reynoso Angulo
EditoraMara Norma Ordua Chvez
Correccin de estiloTeresa Ramrez Vadillo
Diseo y formacin
Martha Alfaro Aguilar
IlustracionesRoco Padilla
Esta publicacin estuvo a cargo de la Direccin General Adjunta.El contenido, la presentacin, as como la disposicin en conjuntoy de cada pgina de esta obra son propiedad del editor. Se autoriza sureproduccin parcial o total por cualquier sistema mecnico o electrnico
para fines no comerciales y citando la fuente de la siguiente manera:
Garca, Silvia (2014). Sentido numrico. Materiales paraApoyar la Prctica Educativa. Mxico: INEE.
Impreso y hecho en MxicoDistribucin gratuita. Prohibida su venta.
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Prlogo
Presentacin
Introduccin
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
Contenidos aritmticos de mayor dificultadPreescolar Tercero de primariaSexto de primariaTercero de secundariaRespuestas razonables y no razonables:aplicando el sentido numrico Preescolar Tercero de primaria
Sexto de primaria Tercero de secundaria
2. Qu es el sentido numrico?
Aritmtica y sentido numricoHacia el concepto del sentido numricoEl enfoque de resolucin de problemasy el desarrollo del sentido numrico
Aspectos del clculo relacionadoscon el sentido numrico
3. Estimacin
Reflexin sobre la prctica
4. Clculo mental
Reflexin sobre la prctica
5. Clculo escrito
Reflexin sobre la prctica
6. Uso de la calculadora
Reflexin sobre la prctica
7. Activar el sentido numrico
de los alumnos
Sistema decimal de numeracinLa recta numricaEstimacinClculo mentalClculo escritoUso de la calculadora
8. Juegos para desarrollar
el sentido numrico
Lotera con dadosLotera con las tablas de multiplicarUn juego con dados
Yo tengo quin tiene...?Cambiando la unidadEl laberintoGuerra de cartas con nmeros negativos
9. Algunas ideas para evaluar el sentido numrico
Bibliografa
ndice
7915
19
2223252830
333435
3637
454757
63
66
7180
8796
105119
127135
143
146151154158161165
173176177179180182186187
191
201
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Prlogo
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El Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin ( INEE) tiene como objetivo
generar y difundir informacin sobre distintos componentes del Sistema Educa-
tivo Nacional, a fin de que sea posible tomar decisiones que contribuyan a sumejora. Algunas de esas decisiones son de poltica educativa y otras se relacionan con
lo que sucede en las escuelas y en los salones de clase.
Desde su creacin, el INEEha producido gran cantidad de estudios para dar a co-nocer a pblicos diversos los resultados de sus evaluaciones. A mediados de 2007 dio
inicio a la elaboracin de materiales expresamente dirigidos a profesores y directivos
escolares. Para tal fin ha buscado la colaboracin de especialistas que, adems de unadecuado dominio de su disciplina, tengan conocimiento cercano del quehacer docente
en escuelas de educacin bsica. A ellos, se les ha invitado a desarrollar textos entorno a algunos de los problemas identificados en las evaluaciones aplicadas por el
Instituto, y as ofrecer a los maestros formas novedosas de reflexionar y atenderlos.Como parte del proceso de elaboracin, los textos son revisados por un ComitTcnico conformado por reconocidos expertos y por un Comit Didctico integrado por
profesores de educacin bsica que laboran en distintos tipos de escuelas pblicas;
estos ltimos prueban los materiales en sus aulas y, con base en sus resultados, hacenconsideraciones respecto de las fortalezas y debilidades de las propuestas, as como
sugerencias para enriquecerlas.
Con este nuevo ttulo de la subserie Materiales para Apoyar la Prctica Educativa(MAPE), denominado SENTIDONUMRICO, se brindan herramientas creativas para mejorar
la enseanza de las Matemticas en la educacin bsica, proponiendo formas nove-
dosas de apoyar el aprendizaje de los estudiantes. En esta ocasin se incluye un CDcon actividades y juegos que pueden ser adaptados a las necesidades del grupo y a
la intencin didctica de cada docente.
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Al poner estos textos a su alcance, el Instituto refrenda su conviccin de que laevaluacin puede contribuir efectivamente a mejorar la calidad educativa. Es nuestro
deseo que esta nueva publicacin sea de utilidad para los profesores y que en ellaencuentren retroalimentacin valiosa para ofrecer a los nios y jvenes mexicanos msy mejores oportunidades de aprendizaje.
Annette Santos del Real
Directora General de Difusin y Fomentoa la Cultura de la Evaluacin, INEE
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Presentacin
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SENTIDONUMRICOes el nombre del libro que tiene en sus manos. Forma parte de
la subserie Materiales para Apoyar la Prctica Educativa (MAPE), producida y
difundida por el Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE) conla finalidad de evaluar para mejorar.
La elaboracin y aplicacin de pruebas, as como el registro y la publicacin de re-
sultados de los Exmenes de la Calidad y el Logro Educativo (EXCALE) son etapas deun proceso que contina con un anlisis minucioso de los resultados a partir del cual
se investiga y se hacen propuestas didcticas concretas para desarrollarse en el saln de
clases. La edicin de este material forma parte de dicho proceso, que continuar cuandousted conozca la propuesta, la analice y la concrete en la prctica educativa a partir de
las necesidades de su grupo.Desde hace algunos aos se pretende que la manera en que se aborden los conte-
nidos aritmticos dentro del saln de clases sea a partir de la resolucin de problemas,pues no es lo mismo que los nios repitan hechos numricos aprendidos de memoria ysin sentido a que desarrollen competencias numricas que les permitan aplicarlos en di-
ferentes situaciones. De ah que este material est referido al desarrollo de una habilidad
para el manejo de los nmeros, que si bien se vincula directamente con los contenidosde la aritmtica, su objetivo va ms all de aprender tcnicas y procedimientos, pues
busca que los alumnos desarrollen una flexibilidad de pensamiento que les permita tran-
sitar por diferentes representaciones numricas.En este sentido, no slo es importante que los estudiantes conozcan hechos nu-
mricos, como saber que 5 x 10 = 50, sino que puedan ver 50 como la mitad de 100
o el doble de 25, y que desarrollen un pensamiento reversible, por ejemplo, que se dencuenta que si 16 x 30 = 480 entonces 480 16 = 30 y 480 30 = 16.
Eficiencia y eficacia numrica es parte de lo que se busca, y para ello la autora,
Silvia Garca, propone actividades concretas y da orientaciones precisas en trminos deldesarrollo de habilidades de pensamiento, como el clculo escrito, el clculo mental, la
estimacin y el uso de la calculadora. Cada actividad que presenta da pie a la reflexin
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y ampliacin, pues deja abierta la posibilidad de bajar o subir el nivel de complejidad deacuerdo con las necesidades del grupo y de proponer nuevas ideas para el desarrollo.
Actividades que invitan al uso de la calculadora sin ningn prejuicio, aceptando queen nuestro tiempo la tecnologa es esencial y por ello es necesario fomentar su usocomo herramienta de aprendizaje al estudiar regularidades y propiedades numricas,
entre otros temas.
Recuerde que se trata de una propuesta susceptible de ser ampliada y mejorada,por lo que podr participar aportando y compartiendo sus ideas con sus compaeros
de trabajo.
Adelante!
Mara Esther Amador Gmez
Directora del Club de RecreacinMatemtica Grand Apprenti
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Dnde est mi invitacin? pregunt Robert.
Creo que la he dejado en casa.
No importa le tranquiliz el anciano. Aqu entra
todo el que realmente quiere. Pero quin sabe
dnde est el paraso de los nmeros! Por eso
son los menos quienes lo encuentran.
Hans Magnus EnzensbergerEl diablo de los nmeros
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Introduccin
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En la antigua Grecia los pitagricos pensaban que todo era nmero y el matem-
tico Gauss opinaba que la aritmtica es la reina de las matemticas. Los pen-samientos anteriores son producto de la fascinacin que ejercen los nmeros
cuando realmente se les comprende, cuando tenemos la oportunidad de entrar, como
se menciona en el epgrafe, en su paraso. Es probable que para muchos de nuestrosalumnos estas ideas resulten muy alejadas de su experiencia, pero estar en el mundo
de los nmeros puede convertirse en una experiencia llena de satisfacciones y sor-
prendernos y deleitarnos con toda la belleza que encierra trabajar con ellos.
Leamos el siguiente fragmento de una clase de cuarto grado de primaria (Saucedoy Hermosillo, 2004).
Maestro:El animal ms grande que existe es la hembra adulta de la ballenaazul. Con sus 120 000 kilos pesa aproximadamente lo mismo que 20 elefantes o
30 hipoptamos o 40 rinocerontes. Luis Armando, cunto pesar un elefante?
Bueno, vamos a ver, Christian.Christian:100 kilos.
Maestro:Cmo le hiciste?
Christian:Hice una resta.Maestro:Qu cantidad quitaste?Christian:120 000 kilos a 20 elefantes.
Christian relacion bien los datos del problema? Una vez que decidi qu operacin
tena que realizar, la resolvi correctamente? Podramos decir que Christian tiene de-
sarrollado susentido numrico? Muchos de nosotros hemos vivido situaciones similares connuestros alumnos. Qu tanto influimos los maestros para que la aventura de aprender los
nmeros y sus relaciones sea o no una experiencia grata y significativa para los alumnos?
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A partir de 2006, en los programas oficiales de secundaria de Matemticas, apareceun eje denominado Sentido numrico y pensamiento algebraico, y desde 2009 lo en-
contramos tambin en educacin primaria. Qu es elsentido numrico? Se trata slode un cambio de etiqueta de los contenidos aritmticos o este cambio de nombre tieneimplicaciones disciplinarias y didcticas?
Los contenidos sobre los nmeros y las operaciones bsicas son de los que ms
trabajan los maestros, les dedican gran parte del tiempo en las clases de Matemti-cas. Y sin embargo, los resultados de los Exmenes para la Calidad y el Logro Educativo
(EXCALE) que aplica el INEErevelan que muchos de los estudiantes de los grados evalua-
dos presentan limitaciones y dificultades en la comprensin y el manejo de los nmeros.Asimismo, las actitudes de nuestros alumnos hacia el trabajo con los nmeros son, con
mucha frecuencia, negativas.
El principal propsito de este material es mostrar a los docentes que el desarrollo delsentido numrico puede dotar de significado a los conocimientos que los alumnos constru-
yen en sus clases de aritmtica y, con ello, que vivan con agrado el trabajo con los nmeros.Este libro est conformado por nueve captulos. En el primero se mencionan los
contenidos de aritmtica que, de acuerdo con los resultados de los EXCALE, resultan
difciles para los alumnos de preescolar, primaria y secundaria. Asimismo, se muestra lagran riqueza que tiene aplicar el sentido numrico al dar respuesta a reactivos de opcin
mltiple y la importancia de que los alumnos desarrollen la habilidad de identificar si la
respuesta que dan a un problema es o no razonable.En el segundo captulo se trata de dar respuesta a la pregunta qu es elsentido
numrico?, una interrogante que no es fcil de responder. En los apartados 3 a 6 se
presentan aspectos del clculo relacionados con el sentido numrico: estimacin,
clculo mental, clculo escrito y uso de la calculadora. Aunque las actividades deestos captulos estn dirigidas a los maestros, si se consideran pertinentes y se ha-
cen las adecuaciones necesarias, algunas de ellas se pueden aplicar a los alumnos.Estos cuatro captulos contienen una seccin que se ha denominado Reflexin sobre
la prctica, en la que se presentan situaciones escolares relacionadas con el sentido
numrico. Esta seccin se incluye porque se considera que el maestro es un profe-sional de la educacin y no un tcnico al que se le tiene que decir lo que debe hacer;
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Introduccin
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mediante la reflexin sobre la propia prctica y la de otros es que el maestro puedeconstruir nuevas ideas y explorar distintas maneras de real izar su prctica docente.
Los ltimos captulos sugieren actividades para trabajar con los alumnos, con ejem-plos que el maestro podr enriquecer a partir de su experiencia y conocimientos. Seincluyen ejercicios sobre el sistema decimal de numeracin porque se considera que su
conocimiento es bsico para desarrollar el sentido numrico con enteros y decimales;
sobre la recta numrica se presentan ejercicios porque constituye un valioso recursopara la comprensin de algunos contenidos relacionados con los nmeros. Tambin se
ofrecen actividades que promueven la habilidad de estimar o hacer clculos mentales
o escritos, sin dejar de lado una serie de tareas que requieren el uso de la calculadora.Y para mostrar que la matemtica recreativa tambin contribuye al desarrollo del sentido
numrico, en el captulo 8 encontrar varios juegos que permiten a los alumnos hacer
un uso flexible y creativo de los nmeros naturales, los decimales y las fracciones. Final-mente, se aportan algunas ideas para la evaluacin del sentido numrico. Para apoyar-
lo en la implementacin de la propuesta puede tener acceso a las actividades y losjuegos en versin electrnica en un formato que le permitir modificarlos para su adap-
tacin al grado y nivel en el que trabaja tanto en el CD que se incluye en este ejemplar
como en la pgina del INEE.Esperamos que este material sea una herramienta til en su quehacer docente para
lograr que sus alumnos vivan con agrado su ingreso al mundo de los nmeros.
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Aritmtica: resultadosde los EXCALE
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1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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Desde hace algunos aos las evaluaciones externas nacionales e internaciona-
les han estado presentes en el saln de clases de los distintos niveles educa-tivos. Entre las que se hacen a los alumnos de educacin bsica de nuestro
pas se encuentran los Exmenes de la Calidad y el Logro Educativo (EXCALE) que lleva
a cabo el Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE).Estas pruebas se aplican a muestras representativas de alumnos de educacin
bsica, por lo que, a diferencia de otras evaluaciones en las que los resultados se
dan por alumno, escuela o zona, los resultados de los EXCALEno se usan para hacersealamientos de carcter individual; su propsito es evaluar al Sistema Educativo
Nacional en su conjunto, para detectar, entre otras cosas, reas de conocimiento enlas que haya deficiencias.
A la fecha el INEEha aplicado exmenes de matemticas a alumnos de tercero
de preescolar, tercero y sexto de primaria y tercero de secundaria. En el caso depreescolar la muestra se elige entre alumnos que asisten a escuelas rurales pblicas,
urbanas pblicas, privadas y centros comunitarios; mientras que para primaria se
agregan a las anteriores las escuelas indgenas. En secundaria participan estudiantesde escuelas privadas, generales, tcnicas y telesecundarias.
Para las intenciones de este trabajo se analizaron los resultados que los EXCALEarro-
jaron sobre el aprendizaje de la aritmtica, lo que se refiere aNmeroen preescolar, a
Losnmeros, sus relaciones y sus operacionesen primaria y aAritmticaen secundaria.El referente principal para la elaboracin de los EXCALEson los programas oficiales
vigentes en el momento de su aplicacin. En el caso de las matemticas, los conteni-dos relacionados con aritmtica constituyen una pieza fundamental en los programas
oficiales de educacin bsica y, por lo tanto, en los reactivos que conforman los EXCALE.
La tabla siguiente resume las evaluaciones de matemticas que el INEEha aplicado, elnmero de alumnos evaluados y el porcentaje de reactivos que evalan directamente
los nmeros, sus relaciones y sus operaciones.
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Nivel Grado Ao de aplicacin Nmerode alumnosevaluados
Porcentaje dereactivosde aritmtica
Preescolar Tercero 2007 10 305 65
Primaria
Tercero2006 55 312 62.5
2010 70 434 60.82
Sexto2005 47 858 63.84
2009 11 999 48.75
Secundaria Tercero
2005 52 251 34.37
2008 80 525 44.48
Se observa que en preescolar y en tres de las cuatro aplicaciones de primaria loscontenidos aritmticos rebasan la mitad del examen. Y a pesar de que en secundaria el
porcentaje de reactivos de aritmtica representa menos de la mitad, es el rea con mayor
nmero de reactivos: por ejemplo, en la aplicacin de 2008, 44.8% del examen corres-pondi a Aritmtica, siendo el rea con mayor presencia, muy por encima de Geometra,
que represent 26.8%, y lgebra, que ocup 21.3%.
En este apartado se exponen los contenidos aritmticos que, de acuerdo con los
resultados de los EXCALE, tienen mayor dificultad de aprendizaje. Para cada grado y
nivel se presentan tablas de los contenidos que tienen los porcentajes de aciertos msbajos y se ofrecen ejemplos de los reactivos con los que fueron evaluados (INEE, http://
www.inee.edu.mx).
Tabla 1
Contenidos aritmticos de mayor dificultad
1 A it ti lt d d l E
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1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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Tabla 2
En el campo formativo Pensamiento matemticodel programa de preescolar se encuen-
tra el aspecto de Nmero, que abarc 65% de los reactivos del examen. Debido a quelos alumnos de esta edad an no saben leer ni escribir, en la aplicacin de la pruebase tomaron todas las medidas necesarias para asegurar que los alumnos no tuvieran
problemas para comprender la tarea que se les propona; una de estas medidas fue, por
supuesto, plantear las consignas de manera oral.El preescolar es el nivel que presenta menos dificultades. Un gran porcentaje de
los alumnos evaluados resolvi correctamente las tareas que les plantearon los EXCALE.
Por ejemplo, 98% de los nios cont en voz alta una coleccin menor a 21 elementossin equivocarse; 95% dijo en orden la serie numrica de uno en uno hasta el 30, y 88%
escribi en orden un tramo de la serie numrica menor a 30.
Los contenidos evaluados que resultaron ms difciles, se muestran en la siguien-te tabla.
Preescolar. Tercer grado (2007)
Contenido temtico Porcentaje de aciertos
Escribe nmeros que sabe en orden ascendente, sin equivocarse,empezando desde 1 y llegando a un rango entre 31 y 89
17
Utiliza los nmeros para representar cantidades mayores a 13,pero menores a 21
36
Distingue todos los nmeros de las letras en un texto 40
El contenido de mayor dificultad de todo el examen fue el conteo y su representa-
cin simblica de nmeros mayores a 31. A continuacin se presenta el reactivo ejemplo
para este contenido (recurdese que las indicaciones se dieron de manera oral).
Preescolar
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Se trata de un reactivo difcil para los pequeos debido a que involucra no slo saberla serie numrica en un rango mayor a 31, sino tambin su representacin simblica.
Aun as, 17% de los alumnos pudo escribir en orden y correctamente la serie numricahasta un nmero mayor a 31.
De los alumnos, 36% resolvi una tarea similar a la siguiente, en la que tenan que
contar colecciones de ms de 13 elementos.
Reactivo
Escribe en las lneas los nmeros que te sepas de manera ordenada,
sin saltarte ningn nmero, empezando desde el 1, como si estuvierascontando: 1, 2, 3 as, hasta el que te sepas.
En cada una de las rayas escribe cuntos pjaros hay en cada recuadro.
1
Reactivo
2
1 Aritmtica: resultados de los EXCALE
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1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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Se observa que este tipo de tareas exige dominar los principios del conteo:
Correspondencia uno a uno:decir un nmero por cada pajarito que se seala.Irrelevancia del orden:empezar por el pajarito que se elija y contar en la direc-cin deseada.
Orden estable:decir la serie numrica en orden: 1, 2, 3
Cardinalidad:saber que el ltimo nmero que se dice indica el nmero de pajari-tos que hay.
Este reactivo tambin implica controlar la coleccin para estar seguro de que no que-d un objeto sin contar, ni que se cont un objeto dos veces. Una forma de hacerlo es, por
ejemplo, ir tachando los objetos que ya se han contado; otra es siguiendo un orden.
Por ltimo, este reactivo tambin demanda que los nios sepan simbolizar el ltimonmero que dijeron al contar.
El programa de educacin primaria vigente en 2006 y 2010 estaba organizado en ejes
programticos, siendo el de mayor extensin el denominado Los nmeros, sus relacio-
nes y sus operaciones. Los alumnos de tercero de primaria resolvieron exitosamente
varias tareas de este eje. Por ejemplo, en la aplicacin de 2006, 81% pudo calcular una
suma de tres sumandos sin transformacin o escribir nmeros de tres cifras con ce-ros intermedios, mientras que poco menos de 80% resolvi ciertos tipos de problemas
aditivos. En la aplicacin de 2010, 80% logr identificar cmo se escribe un nmero de
cuatro cifras y resolver sumas con tres sumandos sin transformacin.
No obstante, tambin tuvieron dificultades para realizar algunas tareas. En las siguien-tes tablas se muestran los contenidos aritmticos de ms bajo porcentaje de aciertos.
Tercero de primaria
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Slo la quinta parte de los alumnos evaluados pudo resolver un reactivo en el quese tiene que descubrir el patrn que sigue una secuencia decreciente para identificar los
nmeros que la completan.1
1 En todos los reactivos presentados la respuesta correcta es el inciso A. As aparecen en el Explorador Excale delportal del INEE. En los Excale resueltos por los alumnos, los incisos de las respuestas correctas varan.
Primaria. Tercer grado (2006)Contenido temtico Porcentaje de aciertos
Generalizar e identificar constantes aditivas de una cifra ensecuencias numricas decrecientes
20
Identificar la equivalencia de fracciones 24
Identificar el problema que se puede resolver con una operacindada con nmeros de dos cifras
33
Tabla 3
Primaria. Tercer grado (2010)
Contenido temtico Porcentaje de aciertos
Identificar fracciones equivalentes 26
Generalizar e identificar constantes aditivas de una cifra en secuen-cias numricas decrecientes
30
Identificar fracciones a partir de su representacin grfica emplean-do modelos continuos
32
Tabla 4
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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Cabe preguntarse si la dificultad se deba a que este tipo de tareas probablemente
se trabajan poco en la escuela, pues el tema de patrones se ha introducido slo re-cientemente. Ms all de la dificultad aritmtica, que no es mucha, resolver bien estos
ejercicios supone entender de qu se tratan, lo cual no es obvio para los alumnos.
Aproximadamente la cuarta parte de los nios pudo resolver un reactivo comoel siguiente.
Qu nmeros van en las rayitas?
, 155, 145, , 125
A.165 y 135
B.160 y 140
C. 154 y 146
D.156 y 144
Tres amigos compraron pltanos. Daniela compr medio kilo, Luis comprdos cuartos de kilo y Pepe cuatro octavos de kilo.Quin compr menos cantidad de pltano?
A.Todos compraron lo mismo
B.Daniel
C. Pepe
D.Luis
Reactivo
3
Reactivo
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Puesto que en este grado se inicia el estudio de las fracciones, el reactivo que sepresent inclua medios, cuartos y octavos, que son las que algunas investigaciones
sealan como las de ms fcil comprensin para los nios: mitad, la mitad de la mitad(cuartos) y la mitad de los cuartos (octavos); tambin puede observarse que no seus la simbologa. Las fracciones constituyen uno de los contenidos que resultan ms
difciles de aprender y, como se ver ms adelante, esta dificultad persiste hasta tercer
grado de secundaria.
El programa vigente en las dos aplicaciones de losEXCALE
de sexto de primaria era elde 1993, que, como se mencion, inclua el eje Los nmeros, sus relaciones y sus
operaciones. El reactivo de este eje con mayor porcentaje de aciertos en la aplicacin
de sexto de primaria de 2005 fue ordenar nmeros naturales de cuatro cifras (83%).En la aplicacin de 2009 este contenido aument su porcentaje de aciertos a 89%.
Sin embargo, dado que se inicia la lectura de nmeros de cuatro cifras en tercero deprimaria, aunque aparentemente el porcentaje es alto, lo esperable sera que la totali-
dad de los alumnos de sexto grado pudiera resolver este tipo de tareas.
Por otro lado, a continuacin se enlistan los contenidos de este eje que resultaronde mayor complejidad para los estudiantes de sexto grado.
Primaria. Sexto grado (2005)
Contenido temtico Porcentaje de aciertosOrdenar fracciones menores a la unidad 25
Comparar nmeros decimales hasta centsimos 26
Convertir un decimal a su equivalente fraccionario 26
Resolver problemas que impliquen sumas de fracciones 26
Tabla 5
Sexto de primaria
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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Primaria. Sexto grado (2009)
Contenido temtico Porcentaje de aciertos
Ordenar de forma ascendente nmeros decimales hasta milsimos 18
Resolver problemas de fracciones que relacionan dos nmerosque representan la parte y el todo
18
Resolver problemas que implican una suma de fraccionesde diferente denominador (tercios y cuartos)
24
Resolver problemas que implican una suma de fraccionesde diferente denominador (medios y octavos)
26
Tabla 6
De lo que se lee en ambas tablas se concluye que los contenidos aritmticos de ma-yor dificultad se refieren a la comprensin y el manejo de los decimales y las fracciones.
En cuanto a decimales, slo la cuarta parte reconoce dos nmeros decimales querepresentan la misma cantidad.
En la siguiente tabla se muestra el peso de cinco pacientesde un doctor:
Quin pesa lo mismo que Isabel?
A.Claudia
B.Rosa
C.Teresa
D.Yolanda
Nombre Peso en Kg
Isabel 48.30Rosa 48.03
Claudia 48.3Teresa 48.003Yolanda 48.030
Reactivo
5
Sentido numrico
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Y tambin alrededor de la cuarta parte de los sustentantes resuelve problemas defracciones como el siguiente:
Los alumnos de sexto grado llevan cuatro aos estudiando las fracciones y tres
resolviendo tareas que involucran los llamados nmeros con punto. A pesar de lo
anterior, los resultados de los EXCALEmuestran que los estudiantes que terminan sueducacin primaria tienen grandes problemas con la resolucin de problemas que
implican el manejo de las fracciones comunes y los decimales.
Al momento de escribir este material el INEE ha realizado dos evaluaciones a alumnos
de tercero de secundaria, la primera en 2005 y la segunda en 2008. Al aplicar ambas el
programa vigente era el de 1993, que inclua la parte deAritmtica. Pese a los resultadosque pudieran esperarse por tratarse de un nivel en que los estudiantes inician estudios de
matemticas ms generales que la aritmtica (como el lgebra), los contenidos relacio-nados con nmeros y sus operaciones no resultaron sencillos para los sustentantes. Por
ejemplo, el reactivo de aritmtica con el ms alto porcentaje de aciertos en 2005 apenas
alcanz 61%, que fue la resolucin de problemas con el mximo comn divisor, en tantoque la resolucin de problemas con operaciones bsicas no lleg a 60%. En la aplica-
cin de 2008 hubo un aumento en el porcentaje de aciertos en las tareas de aritmtica:
De un listn que mide 35 de metro, Laura utiliz5
10de metro para hacer un moo. Cunto listn le sobr?
A. 110
de metro
B. 25
de metro
C.
8
5 de metro
D. 210
de metro
Tercero de secundaria
Reactivo
6
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
-
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31
93% de los alumnos evaluados resolvi correctamente problemas de operaciones bsi-cas con nmeros hasta centsimos y 79% resolvi sumas con transformacin cuando
los sumandos aparecen en forma desordenada.Las siguientes dos tablas muestran los contenidos de aritmtica que tuvieron ma-
yor dificultad. Cada tabla presenta cinco contenidos temticos que resultaron muy dif-
ciles para los estudiantes; algunos fueron resueltos por menos de 20% de los alumnos
que participaron en la evaluacin.
Secundaria. Tercer grado (2005)
Contenido temtico Porcentaje de aciertos
Resolver problemas que impliquen calcular raz cuadradahasta centsimos
12
Resolver problemas de equivalencia de fracciones de horaexpresadas con decimales a minutos
15
Resolver problemas que impliquen sumar, restar y comparar fracciones 21
Identificar fracciones equivalentes 22
Ordenar fracciones 23
Tabla 7
Secundaria. Tercer grado (2008)Contenido temtico Porcentaje de aciertos
Identificar en conjuntos de cantidades representados en tablas aquellosque mantienen una relacin inversamente proporcional entre s
4
Resolver problemas que impliquen calcular raz cuadrada hasta milsimos 14
Resolver problemas de equivalencia de fracciones de hora expresadascon decimales a minutos
15
Resolver problemas que impliquen sumar, restar o comparar fracciones 23
Tabla 8
Sentido numrico
-
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA32
Al igual que en sexto grado, se observa que las fracciones siguen siendo un conteni-do muy difcil para los estudiantes. Un problema como el siguiente slo lo pudo resolver
la cuarta parte de los alumnos que terminan la educacin secundaria, es decir, escolaresque llevan seis aos estudiando las fracciones comunes.
Un hombre gast su sueldo de la siguiente manera:1
5en el pago de su renta, 1
4en el pago de alimentos y 1
8
en pagos
de diversos servicios.
Qu fraccin del total de su sueldo le qued despus de realizar estos pagos?
A.
B.
C.
D.
Y menos de la cuarta parte identific fracciones equivalentes en un reactivo comoel siguiente:
Cul de los siguientes nmeros es equivalente a 117468
?
3
17
14
17
23
40
17
40
A.
B.
C.
D. 35168
3
4
1
4
4
Reactivo
7
Reactivo
8
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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33
Aparentemente este reactivo es difcil debido a que el numerador y el denominadorde la fraccin
117
468son nmeros relativamente grandes y no son decenas o centenas
cerradas (nmeros que terminan en ceros). Un anlisis hecho con ms detenimientomostrar que en realidad no se trata de un problema que implique hacer operacioneslaboriosas, aun cuando en la fraccin aparecen nmeros del orden de las centenas. Si lo
que se pide es un nmero equivalente a la fraccin 117468
, podemos ver que:
w Este nmero no equivale al que se muestra en la opcin D, pues es una fraccin
con el mismo denominador y el numerador 117 no es el mismo que 351.
wTampoco puede ser el nmero 4 de la opcin C porque 117 es menor que 468,por lo que se trata de una fraccin menor que la unidad.
wY como 117 es mucho menor que 468 no representa las tres cuartas partes.
w La opcin correcta debe ser A, lo cual puede comprobarse si se multiplica117 por 4.
El anlisis de las opciones incorrectas del reactivo anterior permite observar la impor-
tancia delsentido numricopara identificar respuestas no razonables a una operacin o
problema. Esto se tratar en el siguiente apartado.
Si se analizan los reactivos de opcin mltiple se toma conciencia de la gran riqueza
que implica desarrollar en los estudiantes su sentido numrico, pues uno de los muchos
beneficios que conlleva su desarrollo tiene que ver con la resolucin de reactivos de
opcin mltiple. No obstante, cabe subrayar que no es la nica razn ni, por supuesto,la ms importante. La intencin primordial es que los estudiantes sean competentes al
enfrentarse a problemas que impliquen el uso de los nmeros.A continuacin se presentan algunos reactivos de los EXCALEde los diferentes grados
y niveles y se analiza la manera en que pueden resolverse empleando el sentido num-
rico (INEE, http://www.inee.edu.mx). Los reactivos de opcin mltiple constituyen unaoportunidad de desarrollar la habilidad de identificar resultados no razonables para los
Respuestas razonables y no razonables:
aplicando el sentido numrico
Sentido numrico
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA34
problemas, lo que es, sin lugar a dudas, una herramienta importante al aplicar el sentidonumrico para resolver operaciones y problemas aritmticos.
Se sugiere que antes de leer lo que se expone de cada reactivo el lector lo resuel-va, para que las explicaciones dadas tengan ms sentido y sean comprendidas conmayor facilidad.
Considere el siguiente reactivo:
Poco menos de la mitad de los pequeos de tercero de preescolar a los que
se les aplic el examen pudo dar respuesta a este reactivo (46%). Es muy probableque los alumnos ms adelantados hayan trabajado con el nmero de vasos y de nias y
obtenido la diferencia (3 para 7 faltan 4), para despus buscar la tarjeta que tuviera ese
Siete nias quieren tomar agua, pero slo hay tres vasos. Cuntos vasosfaltan para que cada nia tenga un vaso?
Encierra en un crculo la tarjeta que tiene los vasos que faltan para que cadania tenga un vaso.
Preescolar
Reactivo
9
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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35
Miguel quiere regalar una bolsa con 15 canicas a cada uno de sus 8 primos.Miguel desea saber cuntas canicas necesita para llenar las bolsas, cul de
las siguientes operaciones debe resolver?
nmero de vasos. No obstante, hay otras maneras de resolverlo. Por ejemplo, poniendoen correspondencia uno a uno a las nias y los vasos que hay. Los alumnos que van
desarrollando su sentido numrico seguramente descartaron de manera inmediata lasopciones donde hay uno o dos vasos porque al repartir los tres vasos que hay entrelas nias se observa que quedan ms nias sin vaso de aqullas a las que ya se les
asign uno, por lo que el resultado no puede ser igual ni menor que 3. En este reactivo
54% de los nios eligi una respuesta poco razonable al problema.
Un reactivo interesante para analizar la presencia del sentido numrico en la resolucinde un problema, que fue contestado por 42% de los sustentantes, es el siguiente:
Tercero de primaria
A.15 8
B.8 15
C.15 + 8
D.15 - 8
Reactivo
10
Sentido numrico
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Cul es el resultado correcto al resolver la operacin1
5+1
2?
A.
B.
C.
D.
Se espera que los alumnos de este grado identifiquen plenamente los smbolos delas cuatro operaciones bsicas. El sentido numrico est presente de la siguiente manera:
w La prctica continua de la estimacin permite que los nios se den cuenta de quese requiere mucho ms de 15 canicas, pues Miguel dar esa misma cantidad a
cada uno de sus 8 primos.
w Las operaciones 15 8 y 15 - 8 arrojan un nmero menor que 15.w La operacin 15 + 8 apenas da 23, que no le alcanzara ni para dos primos.
El reactivo anterior tambin sirve para mostrar que si logramos que los alumnosdesarrollen su sentido numrico disminuir el nmero de ellos que, ante un problema,
se preguntees de suma?,es de resta?, pues si llegan a resolver bien la operacin que
ellos consideraban correcta, pero encuentran un resultado no razonable, buscarn pors mismos su error y se darn cuenta de que la operacin elegida no los conduce a un
resultado razonable. Es decir, el sentido numrico, expresado en la capacidad de estimarla magnitud de un resultado, proporciona una forma de controlar los resultados.
Slo 30% de los estudiantes de sexto grado resolvi correctamente un reactivo como
el siguiente:
Sexto de primaria
1
5+1
2=7
10
1
5+1
2=2
7
1
5+1
2=2
10
1
5+1
2=3
6
Reactivo
11
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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37
Juan mezcl1
2litro de agua con
1
3de litro de jugo de naranja.
Qu cantidad de mezcla obtuvo?
A.
B.
C.
D.
Es claro que se puede resolver con el algoritmo convencional de la suma de fraccio-nes, pero tambin se puede encontrar el resultado usando el sentido numrico, razonando
de otras maneras; una de ellas es la siguiente:
w Se est sumando1
2+1
5, por lo tanto, el resultado debe ser ms de un medio.
w Esta idea permite considerar poco razonables todos los distractores, pues 27
y 210
son cantidades menores que un medio y 36
es un medio.
De los alumnos que terminan su educacin primaria, 70% eligi un resultado poco
razonable al reactivo. Si nuestros estudiantes de educacin primaria desarrollaran susentido numrico, en muchos casos (no en todos) podran resolver reactivos como el
anterior sin necesidad de aplicar el algoritmo convencional para sumar dos fracciones
con diferente denominador, al identificar si las opciones que se presentan son o no res-puestas lgicas a lo que se pregunta.
Los estudiantes de tercero de secundaria no estn en mejores condiciones; incluso en los
egresados de este nivel la comprensin y el manejo que muestran de las fracciones siguesiendo motivo de preocupacin: slo 23% pudo resolver un reactivo como el siguiente:
Tercero de secundaria
5
6
2
5
1
6
5
5
Reactivo
12
Sentido numrico
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA38
Cul es el resultado de la siguiente operacin?
A.560
B.530
C.210
D.245
3516x
El problema implica sumar dos fracciones que podramos considerar muy fciles demanejar:
1
2y
1
3. Convirtiendo a sextos tendramos:
3
6y
2
6, que sumados dan
5
6. No
obstante, se puede razonar de la siguiente manera:
w El resultado debe ser ms de1
2litro, puesto que se est agregando una cantidad
a1
2litro; adems, debe ser menor que un litro porque
1
3es menor que
1
2, por lo
tanto, entre las dos cantidades de lquido no se completa un litro.w Sin hacer la suma de la cantidad de agua ms la de jugo de naranja se observa que
las opciones B y C no pueden ser la respuesta al problema porque son menores
que medio litro. Tambin la opcin D resulta ilgica porque es un litro exacto.
De nuevo se observa que un porcentaje muy alto (77%) de los estudiantes que
terminan su educacin secundaria eligen respuestas que no son razonables para elproblema planteado. Si bien el desarrollo del sentido numrico permite reconocer algu-
nas respuestas que no son razonables, no siempre es posible ni deseable resolver losreactivos haciendo uso slo de este tipo de razonamientos.
Consideremos el siguiente reactivo, que slo 37% de los alumnos de tercero de
primaria contest correctamente:
Reactivo
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1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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39
En este reactivo los estudiantes pueden notar que la respuesta debe ser mayor a350 porque se est multiplicando 35 por un nmero mayor que 10, pero aunque des-
carten dos opciones no podrn dar la respuesta correcta entre 560 y 530 haciendo usoslo de la estimacin; tendrn que resolver la operacin para elegir el resultado exacto.Con lo anterior no se pretende, de ninguna manera, promover la idea de que debemos
ensear a los estudiantes a responder reactivos de opcin mltiple a partir de la identifica-
cin de respuestas no razonables slo con el propsito de obtener buenos resultados enlos exmenes. Lo que se intenta mostrar es la importancia que tiene el sentido numrico
para resolver problemas tanto en el aula como en la vida cotidiana. Asimismo, identificar
respuestas no lgicas o poco razonables a una situacin problemtica constituye unahabilidad muy til para determinar la factibilidad del resultado tanto de los problemas es-
colares como de los de la vida cotidiana.
Sentido numrico
-
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA40
Explique cmo un alumno pone en juego su sentido numrico al contestar los siguientes
reactivos, identificando las respuestas que podra descartar por no ser factibles.
scar tena 4 trompos y su pap le regal 3. Encierra con un crculo elcuadro donde estn los trompos que ahora tiene scar.
1
ACTIVIDADESpara el maestro
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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41
2
Sebastin guard 196 canicas en un frasco. De todas las que guard
79 son negras y las dems son blancas.
Cuntas canicas son blancas?
a)117b) 127c)265d)275
Luis tiene 72 limones y los quiere poner en bolsitas con 8 limones cadauna, cuntas bolsitas necesita?
a) 9 bolsitasb)576 bolsitasc) 80 bolsitasd)8 bolsitas
3
Sentido numrico
-
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA42
4
5
En Mxico hay 2.6 millones de vendedores ambulantes.
Cuntos vendedores ambulantes representan la parte decimaldel nmero subrayado?
a)600 000b)0.6c)6.0d)6 000 000
Un boleto para el partido Pumas-Amrica cuesta $130.00.Cul ser su precio si se compra con 30% de descuento?
a)$91.00b)$39.00c)$30.00d)$100.00
1. Aritmtica: resultados de los EXCALE
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Qu es el sentidonumrico?
2
Sentido numrico
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2. Qu es el sentido numrico?
-
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47
La expresinsentido numricoaparece por primera vez en la bibliografa especia-lizada en la enseanza de las matemticas a finales de los aos ochenta y con
mayor fuerza en la dcada de los noventa. Antes de intentar conceptualizar este
trmino, reflexionemos cul es su relacin con la aritmtica.
Despus del breve recorrido del captulo 1, en el que, a partir de los resultados de losEXCALE, se mostraron algunas de las dificultades y errores en el aprendizaje de la aritm-
tica, se puede concluir que an hay carencias importantes en la comprensin, el uso ymanejo de los nmeros que se estudian a lo largo de la educacin bsica. Los factores
que han propiciado tal situacin son muchos y de distinta ndole; uno de ellos es la forma
en que se trabajan los contenidos aritmticos en el aula.En efecto, la manera en que los estudiantes viven la aritmtica dentro del saln de
clases propicia que construyan ciertas creencias y actitudes hacia ella. Por ejemplo, si,
guiados por el trabajo escolar, los alumnos creen que la aritmtica es un conjunto detcnicas que el maestro les debe explicar: cmo sumar, cmo restar, cmo multiplicar,
etctera, entonces su actitud ante ella ser pasiva, en espera de que el maestro les
indique cmo hacer las cosas, aunque no comprendan por qu las tienen que hacer
as. Si, por el contrario, se les deja en libertad de abordar los problemas haciendo usode sus conocimientos previos, entonces ellos mismos podrn proponer otras estrate-
gias, otras maneras de operar y manejar los nmeros, adems de construir conocimien-tos con significado.
Otra creencia que puede resultar un obstculo en el aprendizaje de la aritmtica
es que los alumnos piensen que en matemticas slo hay una manera de hacer lasoperaciones, que esa manera es la mejor. Entonces, al enfrentarse a un problema en
que identifiquen la operacin que lo resuelve, inmediatamente procedern a resolver
Aritmtica y sentido numrico
Sentido numrico
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA48
sta sin detenerse a pensar si hay un procedimiento ms prctico que el algoritmoconvencional que les ensearon.
Es claro que las creencias de los docentes tambin influyen en cmo se aborda la
aritmtica en el saln de clase. Por ejemplo, los maestros que piensen que lo importanteal resolver problemas aritmticos es que los estudiantes obtengan la respuesta correcta
en lugar de darle sentido a lo que aprenden, pondrn nfasis en la enseanza de algorit-
mos y tcnicas de manera mecnica, sin dar espacio a que sus alumnos comprendan loque hacen ni desarrollen su habilidad de interpretar los resultados que obtienen.
Parte de la problemtica detectada en los resultados de los EXCALEy en el anlisis
de los reactivos puede subsanarse si la enseanza de la aritmtica incluye, como parte
fundamental, el desarrollo del sentido numrico en los alumnos. Lo anterior no slo be-neficiara el aprendizaje de la aritmtica, pues el sentido numrico puede considerarse
de manera transversal: est presente en problemas del eje Forma, espacio y medidareferentes al clculo de permetros, reas y volmenes; en el eje Manejo de la infor-
macinen los clculos aritmticos para obtener medidas de tendencia central o dedispersin, y tambin al interpretar datos numricos en tablas y grficas; en lgebra,
por ejemplo, en el manejo de monomios, polinomios y en la resolucin de ecuaciones,
as como en el anlisis del comportamiento de las funciones. Se puede asegurar quesiempre que se tenga que resolver un problema que involucre nmeros se puede hacer
uso del sentido numrico.
Veamos tres ejemplos donde el sentido numrico est presente al resolver proble-mas aritmticos. El primero se refiere a una sustraccin con nmeros naturales,1en el
segundo se trabajan fracciones y en el tercero, decimales.
1 Los nmeros naturales son los que se usan para contar: 1, 2, 3, 4
2. Qu es el sentido numrico?
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49
Ral quiere llenar un lbum de 704 estampas. Si ya tiene 199, cuntas le faltan?
Para resolver este problema podemos restar 704-199 y para resolver esta ope-
racin con uno de los algoritmos convencionales se escriben los dos nmerosen forma vertical, cuidando que queden unidades con unidades, decenas con
decenas y centenas con centenas. Despus se procede a resolver la sustraccin,
por ejemplo:
Lo anterior parece demasiado sofisticado para una operacin que puede resol-
verse utilizando estrategias de clculo mental.
En la recta numrica esto podra bosquejarse de la siguiente manera:
0 704199 200
7 0 41 9 95 0 5
6 9 14
7 0 41 9 9
199para 200es 1,200para 704son 504.Sumamos1 + 504,el resultado es505.
Sentido numrico
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Otra manera de resolver la sustraccin anterior es haciendo uso de una propie-dad que indica que si sumamos el mismo nmero al minuendo y sustraendo el
resultado no se altera.
Tambin se puede resolver sumando 1 al 199 y, en lugar de restar 199, se resta 200
y despus se agrega 1 al resultado.
En los tres ltimos procedimientos observamos un uso flexible y creativo de losnmeros, de algunas propiedades y de las relaciones entre ellos. Y tambin se
observa que estos procedimientos, para el caso particular de 704-199, son mucho
ms prcticos que el algoritmo convencional.
Si a los dos nmeros quequeremos restar, 704y 199,les sumamos 1, obtenemos
705y 200.Resolvemos 705-200=505.
A 704 le quito 200 y quedan504, pero como slo le tena
que quitar 199, a 504le tengoque agregar 1. Queda 505.
2. Qu es el sentido numrico?
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51
Don Manuel tiene un terreno en el que utiliza las cuatro quintas partes para sembrar.
Si en la mitad de esas cuatro quintas partes siembra maz, qu parte del terreno
completo la ocupa con este cereal?
Este problema se puede resolver con la multiplicacin 124
5. El algoritmo conven-
cional para resolver multiplicaciones de fracciones es multiplicar numerador por
numerador y denominador por denominador.
Muchos de nuestros alumnos se aprenden de memoria y mecnicamente estealgoritmo sin comprender por qu se hace as.
Dado que el problema habla de la mitad de las cuatro quintas partes, es posible
no referirse a la multiplicacin de fracciones (1
24
5) y trabajar directamente con la
idea intuitiva1
2 de4
5 . A partir de esta interpretacin se puede calcular el resultadosin necesidad de aplicar el algoritmo de la multiplicacin, simplemente tomando la
mitad de la cantidad de quintos.
X
1
2
4
5 X1
2
4
5
X = 4
10= 2
5
12
de 45
es la mitadde 4
5, esto es 2
5.
Sentido numrico
4
-
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA52
Grficamente4
5se puede representar como:
Y la mitad es 25
.
Tambin se puede entender grficamente por qu, al aplicar el algoritmo conven-cional, 1
24
5da 4
10, tal como se muestra a continuacin.
A partir de los4
5del entero:
2. Qu es el sentido numrico?
1 4
-
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53
Se toma 12
de esos 45
, lo cual puede hacerse trazando una lnea horizontal sobrela superficie morada:
Cada uno de los pedacitos en que qued divido el entero es 110porque se de-ben contar los dos pedacitos blancos que tambin forman parte de la unidad.
Entonces, se observa que 12
de esos 45
son 4 pedacitos morados, es decir, 4dcimos. De ah que:
No todas las multiplicaciones de fracciones se pueden resolver sin recurrir al algo-ritmo convencional, depende de los nmeros involucrados. Lo importante aqu es
destacar que si los alumnos tienen claro lo que significa la operacin que resuelven y
comprenden las fracciones involucradas podrn, en muchos casos, prescindir de al-
goritmos convencionales y encontrar el resultado haciendo uso de esa comprensin.
X
1
2
4
5= 4
10
Sentido numrico
Lili ti 3 72 t d li t h P d 0 5
-
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Lilia tiene 3.72 metros de listn y va a hacer moos. Para cada moo ocupa 0.5
metros de listn. Cuntos moos puede hacer?
Este problema se puede resolver con la divisin 3.72 entre 0.5. En la aritmtica hayuna tcnica para resolver divisiones en las que ambos nmeros tienen punto decimal.
Esta tcnica consiste en correr el punto a la derecha el mismo nmero de lugares en
dividendo y divisor, de tal manera que este ltimo quede como un nmero entero.Despus se hace la divisin normalmente y se sube el punto a donde corresponda.
El algoritmo anterior funciona para todas las divisiones en las que el dividendo y el
divisor tienen punto decimal. Es probable que no comprendamos bien la razn de
algunos de sus pasos. Por ejemplo:
w Qu propiedad de las divisiones permite tachar el punto del divisor y recorrer
un lugar el punto del dividendo?w Por qu dividir 3.72 entre 0.5 equivale a dividir 37.2 entre 5?
w Por qu al hacer la divisin se sube el punto?
w Qu valor relativo tiene el 20, que es el penltimo residuo de la divisin?
Las respuestas respectivas a estas preguntas son:
w La propiedad en juego es: si dividendo y divisor se multiplican por el
mismo nmero el cociente no se altera.
w Porque aplicando la propiedad anterior, el dividendo y el divisor se multipli-caron por 10.
w Porque se empiezan a dividir los dcimos.
w 2 dcimos.
0.5 3.72 0.5 3.7.2 5 37.2 5 37.27.442 2
2 00
2. Qu es el sentido numrico?
En el desarrollo del sentido numrico se promueve que los alumnos adems de
-
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55
En el desarrollo del sentido numrico se promueve que los alumnos, adems deentender el procedimiento anterior, construyan otros procedimientos que, en algunos
casos, resulten ms prcticos y adecuados a ciertos contextos. Por ejemplo, para
este caso se puede buscar cuntas veces cabe 0.5 en 3.72.
Grficamente se observa:
Salen 7 moos y el pedazo que resta es poco menos de la mitad de medio metro.
Veamos otra forma de resolver la divisin en juego. Ya anteriormente se observ
que de 1 metro se obtienen 2 moos. Observe que el nmero de moos se obtienecon la divisin:
0.5 m
3.72 m
1 0.5 = 2
0.5 y 0.5 dan 1 metro. De cada metrose sacan 2 moos. De 2 metros,
4 moos; de 3 metros, 6 moos; de0.72 se saca 1 moo. Son 7 moos.
Y sobran 0.22 metros.
Sentido numrico
Cuntos moos de medio metro se obtienen si se tienen 2 metros de listn?
-
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA56
Cuntos moos de medio metro se obtienen si se tienen 2 metros de listn?,y si se tienen 3 metros?, 4 metros?, 10 metros?, 20 metros? Es muy probable
que ya se haya dado cuenta de que el resultado de dividir un nmero entre 0.5 es
el doble de ese nmero:
Entonces, cul es el resultado de 3.72 0.5?
Es el mismo resultado que se obtuvo al resolver la divisin usando el algoritmo
convencional para dividir nmeros con punto decimal.
2 0.5 = 43 0.5 = 6
4 0.5 = 8
10 0.5 = 2020 0.5 = 40
3 . 7 2
3 . 7 2+
7 . 4 4
3.72 0.5 debe ser eldoble de 3.72. Entonces
puedo sumar 3.72 + 3.72.
2. Qu es el sentido numrico?
Otra cuestin importante en el desarrollo del sentido numrico es saber interpretar
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Otra cuestin importante en el desarrollo del sentido numrico es saber interpretarel resultado obtenido. Qu significado tiene en esta operacin el nmero 7.44? Como
se mencion anteriormente, al resolver la divisin 3.72 entre 0.5 se encuentra cuntas
veces cabe el 0.5 en el 3.72. Como 7.44 es muy cercano a 7 12
, concluimos que 0.5cabe en 3.72, aproximadamente, 7 veces y media.
Los ejemplos anteriores muestran lo enriquecedor que resulta dar oportunidad de
usar el sentido numrico en la resolucin de problemas y lo que aporta al conocimientode los nmeros, sus relaciones y sus operaciones. Pero qu es elsentido numrico?
En el siguiente apartado se tratar de dar respuesta a esta pregunta.
Para la pregunta qu es el sentido numrico? no existe una respuesta nica, ni inme-
diata, ni sencilla. En la bibliografa sobre el tema se encuentran diferentes posturas apartir de la consideracin de que el sentido numrico es una habilidad, una intuicin,
comprensin, conocimiento o razonamiento acerca de los nmeros.2
Hacia el concepto del sentido numrico
2 Adaptado de Bernabe (2008).3 Citado por Bernabe (2008).
Intuicin
SENTIDONUMRICO
Habilidad
Comprensin Razonamiento
Capacidad
A continuacin se ofrecen algunas definiciones de sentido numrico que dan
diferentes autores.3
Sentido numrico
Habilidad y propensin para el uso de los nmeros y las operaciones enformas flexibles para hacer juicios cuantitativos y para desarrollar estrategiasHabilidad
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formas flexibles para hacer juicios cuantitativos y para desarrollar estrategiaseficientes con los nmeros y los mtodos cuantitativos (Mcintosh, Reysy Reys, 1997).
Es una buena intuicin acerca de los nmeros y de sus relaciones. Es noalgortmico, genera mltiples soluciones, as como una eficiente aplicacincon base en mltiples criterios (Van de Walle y Browman, 1993).
Capacidad de resolver diferentes problemas a partir del uso de estrategiasmltiples y seleccionar la ms adecuada para generar claridad en el trabajoque hace (Trafton y Hartman,1997).
Una comprensin de los nmeros y de sus mltiples relaciones, delreconocimiento relativo de las magnitudes de los mismos, de los efectos
de las operaciones y el desarrollo de referentes sobre cantidades y medidas(Sowder, 1988).
Razonar con cantidades a fin de poder captar la magnitud de los nmeros,comparar nmeros grandes, comprender los nmeros en diferentescontextos (Friel, 2000).
Hay autores que integran las ideas anteriores al considerar el sentido numrico
como comprensin y habilidad, o bien como conocimiento, habilidad e intuicin acercade los nmeros.
El sentido numrico se refiere a la comprensin general que tiene unapersona sobre los nmeros y las operaciones, junto con la habilidad parausar esta comprensin de forma flexible para hacer juicios matemticos y
para desarrollar estrategias numricas(Bruno, 2000).
El sentido numrico consiste en los conocimientos, las habilidades ylas intuiciones que una persona desarrolla acerca de los nmeros y susoperaciones, junto con la habilidad e inclinacin hacia el empleo delconocimiento numrico de manera flexible para formular proposicionesmatemticas, desarrollar estrategias tiles para manipular nmeros, realizaroperaciones y resolver problemas (Snchez, Hoyos y Lpez, 2011).
Comprensiny habilidad
Habilidad
Intuicin
Capacidad
Comprensin
Razonamiento
Conocimiento,habilidad
e intuicin
2. Qu es el sentido numrico?
Otros autores definen el sentido numrico a partir de la idea de red conceptual:
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p p
REDCONCEPTUAL
En trminos de estructura, se hace referencia a que el sentido numrico esuna red conceptual bien organizada, propia de cada individuo, por la cual escapaz de relacionar nmeros y propiedades de las operaciones para resolverproblemas de manera flexible y creativa (Castro, Castro y Rico, 2004).
La idea de sentido numrico se basa en la posesin por parte de losestudiantes de una red conceptual que relaciona los conceptos deagrupamiento y valor de posicin con la habilidad de usar las magnitudesabsolutas y relativas de los nmeros para:
Emitir juicios sobre la racionalidad de resultados producidos en problemas numricos.
La posibilidad de generar algoritmos no convencionales.
Relacionar los nmeros con las propiedades de las operaciones, etc. (Linares, 2001).
SENTIDONUMRICO
Permite emplear losnmeros con flexibilidady creatividad al resolver
operaciones o problemas.
Conjunto deconocimientos, intuiciones
y habilidades que unapersona desarrolla acerca
de los nmeros.
Es personal, cada individuodesarrolla su propia redconceptual formada a
partir de la comprensinque tiene de los nmeros.
Permite hacer juiciosmatemticos y desarrollar
estrategias numricaspropias.
No resulta sencillo resumir todas las ideas expuestas anteriormente; no obstante, el
siguiente diagrama es un intento de hacerlo.
Sentido numrico
Cmo lograr que los estudiantes tengan una red conceptual sobre los nmeros
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Sustraccin
En cambio, si las tareas propuestas logran que los estudiantes aprendan las rela-
ciones entre las operaciones pueden construir redes conceptuales como la siguiente:
lo ms amplia posible? Cuando en clase se trabaja la matemtica de manera fragmen-
tada, la red conceptual que los estudiantes construyen tambin est fragmentada. Por
ejemplo, si se ensean las operaciones bsicas sin relacionarlas entre s, los estudiantestienen una red conceptual como la siguiente:
Resolver la divisin es buscar cuntas veces cabe el divisoren el dividendo; se puede resolver sumando varias
veces el divisor
Son operacionesinversas
La multiplicacin puede
considerarse una sumade sumandos iguales
Son operacionesinversas
Una divisin puede resolversepor sustracciones sucesivas
Multiplicacin
Divisin
Adicin
Adicin
Sustraccin
Multiplicacin
Divisin
2. Qu es el sentido numrico?
Del mismo modo, a partir de la manera en que han trabajado en sus clases de
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aritmtica muchos alumnos conocen los nmeros naturales, los decimales y las
fracciones sin considerar las relaciones entre ellos.
NaturalesDecimales
Fracciones
Decimales
Los naturales, los decimales y las fracciones pertenecenal mismo conjunto numrico llamado: nmeros racionales
Naturales
Los decimales son unaextensin de los naturales
para nmeros menoresque la unidad
Los decimalespueden escribirsecomo fracciones con
denominador 10,100, 1000...
Hay fracciones decimalesy fracciones no decimales.
Las primeras puedenescribirse de manera
exacta usando la notacincon punto
Fracciones
Dividir un nmero naturalentre otro da lugar
a las fracciones
En cambio, una mayor comprensin de los nmeros permite que el alumnado en-
cuentre esas relaciones, construyendo redes conceptuales similares a la siguiente:
Sentido numrico
Cuando los alumnos ingresen a secundaria estudiarn los nmeros negativos y
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podrn seguir enriqueciendo esta red conceptual, ampliando sus conocimientos de
los nmeros naturales, los enteros y los racionales. Es importante elegir secuencias
didcticas adecuadas con el propsito de que los estudiantes tengan claridad dela relacin entre todos los conjuntos numricos y que formen una red conceptual
a partir de la cual comprendan que se trata de conjuntos de nmeros que estn
relacionados entre s pues unos son subconjuntos de otros. Un nmero puede sernatural, entero y racional al mismo tiempo. Esto se muestra en el siguiente diagrama.
Los nmeros racionales son todos aquellos que pueden escribirse como una fraccincuyo numerador y denominador son nmeros enteros y el denominador nunca puede
ser cero. Los nmeros enteros pueden ser positivos o negativos. Los nmeros natura-
les son los que se utilizan para contar.El 5 es nmero natural; tambin es un entero positivo y un nmero racional por-
que puede escribirse como una fraccin, por ejemplo 102
. En cambio, -5 no es un
nmero natural, sino un entero negativo y un racional porque puede escribirse comouna fraccin, por ejemplo 15
3. Mientras que 2.5 no es natural ni entero, pero s es un
racional porque se puede escribir como fraccin, por ejemplo25
10.
Nmeros naturales
Nmeros enteros
Nmeros racionales
2. Qu es el sentido numrico?
Con una enseanza de la aritmtica que considere como parte fundamental de ellal d ll d l id i b l l l i
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el desarrollo del sentido numrico se busca que los alumnos conozcan estas relacio-
nes entre los nmeros, sus propiedades y sus operaciones, lo que les ayudar a usar
los nmeros con flexibilidad y creatividad al enfrentarse a situaciones problemticas.El desarrollo del sentido numrico puede o no favorecerse en la escuela, depender
de muchos factores, siendo sin duda uno de los ms importantes el tipo de tareas que
el maestro proponga a los alumnos y la manera en que les invite a acercarse a ellas.Cmo promover en los alumnos el desarrollo de su sentido numrico? Favorece el
enfoque de resolucin de problemas el desarrollo del sentido numrico de los estudian-
tes? Sobre ello reflexionaremos a continuacin.
A partir de la reforma educativa de 1993 se da un nuevo impulso, desde una perspectiva
distinta, al aejo propsito de dar a la resolucin de problemas un papel destacado enel aprendizaje de las matemticas.
En este enfoque la resolucin de problemas no slo es el propsito de aprender ma-
temticas sino tambin el medio para hacerlo. Se promueve que los alumnos se enfrentena problemas utilizando procedimientos propios; no se trata de ensearles de entrada a
resolver el problema, sino que ellos construyan estrategias personales haciendo uso de
sus conocimientos previos.Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema,
por lo general encuentran al menos una forma de aproximarse al resultado. Esto, a su
vez, puede generar en el grupo una valiosa diversidad de procedimientos (SEP, 1995).
El enfoque de resolucin de problemas
y el desarrollo del sentido numrico
Sentido numrico
Aunque en los programas de la reforma de 1993 no aparece explcitamente la expre-i tid i d b l f d l i d bl
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sinsentido numrico, puede observarse que el enfoque de resolucin de problemas,
propuesto tanto en esos programas como en los actuales, favorece su desarrollo al dejar
que los alumnos resuelvan los problemas en completa autonoma, antes de ensearlesla herramienta matemtica que los resuelve de manera eficiente. Asimismo, el enfoque
destaca y valora la existencia de procedimientos alternativos al convencional.
Por ejemplo, en el problema:
Gaby tiene 8 canicas, juega y gana 5. Cuntas tiene ahora?
La herramienta matemtica ms eficiente para resolverlo es la suma 5 + 8; no obs-
tante, este problema puede ser resuelto por alumnos que sepan contar hasta el 13y que no hayan estudiado an la suma, incluso si no saben leer y escribir y se les
plantea de manera oral.
Don Ral mezcl 21
2 litros de pintura roja con 2
1
4 litros de pintura blanca.
Qu cantidad de lquido tiene en total la mezcla?
Si el problema se plantea cuando los alumnos han estudiado los medios y los cuar-
tos, aunque no se haya estudiado la suma de fracciones mixtas, y se deja en total
libertad de resolverlo, los estudiantes buscarn diferentes estrategias para obtenerel resultado. No es necesario haber estudiado cmo convertir una fraccin mixta
en impropia ni cmo sumar fracciones mixtas con algoritmos convencionales bus-
cando el comn denominador. Por ejemplo, pueden sumar los enteros y luego lasfracciones; como un medio es igual a dos cuartos, el resultado es:
+2 1 =+ 24
+ 14
3 34
Otro ejemplo es el siguiente problema con fracciones:
2. Qu es el sentido numrico?
Finalmente, un ejemplo con decimales:
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Si el dlar est a 13.20 pesos, cul es el precio en pesos de un producto que vale
14 dlares?
Ser indispensable saber multiplicar nmeros decimales para resolver este proble-
ma? La respuesta es no. Hay otras maneras de calcular lo que se pide; por ejemplo:
w De 10 dlares son $132.
w De 2 dlares son $26.40.
w De 4 dlares son $52.80.w De 14 dlares son $132 + $52.80 = $184.80.
El procedimiento alterno que se ha mostrado es posible porque, en este caso,
el multiplicador (nmero de dlares) es entero. Como ya se ha comentado, muchasveces los procedimientos alternos se aplican slo en algunos casos, pero esto no
les quita su valor. En resumen, son tiles pero no suficientes, y de ah se deduce la
importancia de conocer tambin los algoritmos convencionales que permiten resolvercualquier operacin sin importar los nmeros que se tienen que operar.
Otra caracterstica del enfoque de resolucin de problemas que favorece el desarrollo
del sentido numrico son las confrontaciones o puestas en comn que se sugiere hacerdespus de que los alumnos hayan resuelto un problema.
Que los alumnos conozcan las diferentes formas de solucin que encontraron
sus compaeros para un mismo problema tiene un gran valor didctico, ya que
les permite darse cuenta de que para resolver un problema existen varios cami-
nos, algunos ms largos y complicados que otros, pero lo importante es acercar-
se a la solucin. Les permite tambin percatarse de sus errores y favorece que
por s mismos valoren sus resultados (SEP, 1995).
Sentido numrico
No slo el hecho de ver que hay diferentes procedimientos para resolver la mismaoperacin o el mismo problema enriquece su sentido numrico tambin es enriquecedor
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operacin o el mismo problema enriquece su sentido numrico, tambin es enriquecedor
para su conocimiento de los nmeros tratar de comprender el procedimiento que siguie-
ron otros compaeros: cmo maneja los nmeros el otro compaero?, qu relacionesusa?, si no llega al resultado correcto qu error cometi?, etctera.
Ante un problema matemtico, una persona con sentido numrico decide si es suficien-
te con estimar el resultado o, en caso de que requiera el resultado exacto, si lo puede
calcular mentalmente, por escrito, usando la calculadora o combinando dos o msde estos recursos. El siguiente esquema resume lo anterior en una adaptacin a lo ex-
presado por Parra (1994):
Aspectos del clculo relacionados
con el sentido numrico
Clculo quese requiere
Respuestaaproximada
Respuestaexacta
Estimacin
Problema
Clculomental
Clculoescrito Calculadora
2. Qu es el sentido numrico?
Se espera que los alumnos, al resolver una operacin o un problema, hagan unaestimacin del resultado y adems que no siempre los resuelvan haciendo uso de los
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estimacin del resultado y, adems, que no siempre los resuelvan haciendo uso de los
algoritmos con clculo escrito, sino que tambin utilicen el clculo mental y, por qu
no?, la calculadora.En los siguientes captulos se abordarn estos cuatro aspectos del clculo relacio-
nados con el sentido numrico:
Estimacin ClculomentalClculoescrito
Uso de lacalculadora
Sentido numrico
ACTIVIDADESpara el maestro
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1
2
Escriba con sus propias palabras lo que entiende porsentido numrico.
Reflexione:a)Con la manera en que trabajo los nmeros, sus relaciones y
operaciones, promuevo el desarrollo del sentido numrico enlos alumnos?
b)Cunto he influido para que mis alumnos tengan o no actitudespositivas ante el trabajo con los nmeros?
Redacte un problema y una manera de resolverlo sin usar algoritmosconvencionales, utilizando el sentido numrico.
Identifique en un libro de texto de matemticas del nivel en el que trabaja.a)Una actividad que usted considere que, a partir de las preguntas que se plantean, desarrolla el sentido numrico.b)Argumente su eleccin.
3
4
2. Qu es el sentido numrico?
Pl t di i i l l d t
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Plantee una divisin y resulvala usando sumas o restas.
Considere el siguiente problema:
Una falda que cuesta $250 tiene un descuento de 25%.
Cunto cuesta la falda con el descuento?
a)Resuelva el problema de forma tradicional, usando el clculo deporcentajes con multiplicacin.
b)Resuelva el problema haciendo uso de su sentido numrico,calculando el porcentaje de una manera diferente.
En un libro de texto del nivel en el que trabaja (preescolar, primaria
o secundaria) identifique una actividad en la que se promueva:
a)La estimacin.b)El clculo mental.c)El clculo escrito.d)El uso de la calculadora.
En el mismo libro de texto de la actividad anterior haga unavaloracin rpida de a cul de los cuatro aspectos del clculorelacionados con el sentido numrico es al que se le dedicael mayor porcentaje de actividades.
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Sentido numrico
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3. Estimacin
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Estimacin
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Sentido numrico
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3. Estimacin
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La estimacin juega un papel primordial en el desarrollo del sentido numrico
porque, aunque se pida el resultado exacto, una prctica deseable y muy til eshacer antes una estimacin de ste, lo que permite comprobar si el resultado
que se obtuvo por clculo mental, escrito o con la calculadora es o no lgico. Adems,
como se ver en este captulo, el desarrollo de la habilidad de estimar implica el uso de
relaciones complejas entre los nmeros y sus operaciones.
Durante los Juegos Olmpicos de Londres 2012 un comentarista de televisin
mencion lo siguiente:
Hubo 4 000 millones de televidentes durante la carrera de los 100 metros, cuyo ga-
nador fue el jamaiquino Usain Bolt, con un tiempo de 9.63 segundos.
En el prrafo anterior aparecen tres cantidades, cules son exactas?, culesson estimaciones?
Estimar es obtener de manera mental y rpida un resultado aproximado cuandosea ms apropiado que realizar un clculo exacto (Flores, Reys y Reys, 1990)
Desde la reforma de 1993, las recomendaciones que se daban a los maestros en loslibros promovan el uso de la estimacin:
La estimacin de resultados es otro aspecto importante que se debe desarrollar;
con este fin, antes de resolver los problemas el maestro puede hacer preguntas para
que los alumnos busquen una primera aproximacin al resultado. Por ejemplo, si en
el problema se quitan 6 objetos a una coleccin de 15, puede preguntarles: que-
darn ms de 15 objetos? Creen que queden ms de seis objetos? Creen que el
resultado es mayor que diez? Estas interrogantes ayudan a los nios a comprender
las relaciones entre los datos del problema.
Sentido numrico
Con el tiempo la estimacin de resultados permite al alumno valorar si el que lobtuvo mediante procedimientos informales o convencionales es razonable, posible
o imposible (SEP 1995)
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o imposible (SEP, 1995).
De acuerdo con Segovia et al. (1989), las caractersticas de la estimacin son:
wValorar una cantidad o el resultado de una operacin.w El sujeto que debe hacer la valoracin tiene alguna informacin, referencia o
experiencia sobre la situacin que debe enjuiciar.
w La valoracin se realiza, por lo general, de forma mental.
w
Se hace con rapidez y empleando nmeros lo ms sencillos posibles.w El valor asignado no tiene que ser exacto, pero s adecuado para tomar decisiones.
w El valor asignado admite distintas aproximaciones, dependiendo de quin realicela valoracin.
Entre las razones para trabajar la estimacin en la clase de matemticas se en-
cuentran las siguientes:
w Se usa en aquellas situaciones reales para las que no se requiere un resultado
exacto sino aproximado para tomar decisiones.
w Enriquece la visin de las matemticas al comprobar que no siempre se requiereexactitud y precisin para dar un resultado, adems de que rompe con la idea
de que slo hay una manera de resolver las operaciones y los problemas.
w Mejora y desarrolla el sentido numrico al usar de manera flexible los nmeros.w Permite la construccin de estrategias propias y con ello desarrolla un conocimien-
to ms profundo de los nmeros, las relaciones entre ellos y las operaciones.w Es un apoyo invaluable en la resolucin de problemas. Al estimar primero el resul-tado, los alumnos atienden la relacin entre los datos del problema antes de en-
frascarse en las operaciones. Asimismo, permite valorar si el resultado obtenido
en una operacin o problema es o no razonable.
La estimacin tiene un amplio uso social. Al estimar no se espera que se den resul-
tados exactos, sino aproximados. Veamos algunos ejemplos.
3. Estimacin
Imagine que va al supermercado y compra 5 productos iguales que tienen un precio
de $19 cada uno; usted lleva $100. Sin hacer la operacin de 5 x 19 usted puede
saber si le alcanza con el dinero que lleva cmo lo puede hacer?
-
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saber si le alcanza con el dinero que lleva, cmo lo puede hacer?
El problema anterior es un ejemplo en el que se usa la estimacin, basta con saber
si este resultado es menor o mayor que 100. Una posible estrategia es la siguiente:
Observe que hay varios conocimientos implicados en este razonamiento; sesabe que:
w 5 x 20 son 100.w 19 es menor que 20.
w Si uno de los factores permanece igual y el otro disminuye,
el producto disminuye.
Ahora considere el siguiente problema: En un peridico deportivo se reporta quela asistencia a los ltimos cinco partidos de cierto equipo de futbol fue:
Partido 1 2 3 4 5Asistencia 32 654 31 375 28 466 27 299 29 572
5 x 20son 100; como 19es menor que 20. Entonces,5 x 19 debe ser menor que
100. S me alcanza!
Sentido numrico
Sin hacer operaciones escritas, podra usted decir cul fue, aproximadamente, laasistencia total de estos cinco partidos? Una manera de hacerlo es la siguiente:
-
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Veamos otro ejemplo.Considere que tiene que estimar rpidamente la suma de los
nmeros 3 258, 2 146 y 1 601. Una manera de hacerlo es:
En los ejemplos anteriores se puede ver que la estimacin implica conocimien-
tos de las propiedades de los nmeros y las operaciones; involucra comprender los
datos que se manejan y la relacin entre ellos, poner en juego conocimientos aritm-ticos y estrategias de solucin. Hacer estimaciones del resultado de problemas, de
operaciones o de medidas forma parte del desarrollo del sentido numrico.
Todas las cantidades soncercanas a 30 000, entonces
asistieron 5 x 30 000,aproximadamente, 150 000.
Sumo 3 000 + 2 000 + 1 000,esto es 6 000. Y 258 + 146 + 601
son como 1 000. El resultado es,aproximadamente, 7 000.
3. Estimacin
Si bien las estimaciones no exigen resultados exactos, esto no significa que sea sen-cillo hacerlas; como opinan algunos autores, la capacidad de hacerlas no siempre surge
de manera espontnea en las personas, su desarrollo requiere de instruccin escolar.
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de manera espontnea en las personas, su desarrollo requiere de instruccin escolar.
Para Reys (1995) existen diferentes maneras de hacer estimaciones; algunas deellas son:
Redondeo de cantidades. Las cantidades involucradas se redondean a n-meros que sean ms sencillos de manejar. Esto se hizo en el ejemplo de la
multiplicacin 5 x 19: el 19 se redonde a 20 y se calcul 5 x 20. En el caso
de las fracciones se puede redondear a fracciones ms sencillas de manejar;
por ejemplo, si se desea resolver
23
12
3
5 el resultado es aproximado a
1
2 , estoda 11
2, aproximadamente.
Sacar promedios aproximados.Se busca una cantidad que represente a losdatos, un promedio aproximado. Esto se hizo en el ejemplo de los asistentes a
los partidos de futbol: las cantidades se promediaron a 30 000. En el caso delas fracciones, un ejemplo es la suma 8
17+4
9+5
11+3
7, donde todas las fracciones son
prximas a1
2, por lo que un resultado aproximado de esta operacin es 2.
Considerar extremos. Se manejan los extremos de las cantidades y luego sehacen ajustes. Esto se hizo en el ejemplo de la suma que dio un resultado aproxi-
mado de 7 000.
En la prctica estas estrategias se pueden emplear simultneamente (a veces
incluso se confunden una con otra).
Muchas veces los nios intentan dar el resultado exacto; para llevarlos a estimarpuede ser til:
1.Darles poco tiempo para contestar (por ejemplo, que apunten el resultado y subanlas manos para cerciorarse de que no siguen escribiendo);
2.Realizar ejercicios en los que deben decir, a partir de varios rangos, en cul
caera el resultado; o bien, a partir de varios resultados, cul es el que creen quems se acerca. Puede ser prctico usar la calculadora despus para ver quin
se acerc ms.
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Describa dos situaciones en las que es suficiente una estimacinde las cantidades involucradas y dos situaciones en las que serequiere un resultado exacto.
Describa tres razones por las que usted considera que es importantetrabajar la estimacin en sus clases de matemticas.
Estime el resultado de las siguientes operaciones:
a)3 497 + 2 788 b)5 699 - 1 706 c)39 x 12 d)5 698 71
Sin hacer las operaciones, identifique aqullas cuyo resultado seamayor que 1.
e)1.005 + 2.004 f) 91.87 - 11.21 g) 4.8 x 2.9 h)0.167 0.99
i) 910
+7
8
j) 910
7
8k)
13
25x11
12
l) 117
200
99
a)1
2+1
3 b)
1
4+4
5 c)
7+
3
16 d )
1
10000+
999
1000
e)5
8+2
3f) 5
9+
4
12g) 4
5+
1
6h)
567
1000+1
2
1
2
3
4
3. Estimacin
Sin hacer las operaciones, ubique en la recta numrica el lugarque aproximadamente corresponde al resultado; utilice la letra
-
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6
que, aproximadamente, corresponde al resultado; utilice la letra
de cada operacin.
Estime el resultado de los siguientes diez ejercicios:1
a)4 5 b) 0.1 0.09 c)0.1 0.5 d)0.05 0.1
1
Esta actividad fue tomada de Corts, Backhoff y Organista (2005).
87 41992 76590 04581 97498 102
+
474 257 8 127 =
1213
+ 7
8=
486 x 0.24 =
1.
2.
3.
4.
Calcule el rea aproximada de unrectngulo de: 28 cm x 47 cm
Las concesiones de la serie mexicanade beisbol tuvieron ingresos por$ 21 319 908 00. Si dicha cantidadse divide en partes iguales entre los26 equipos, como cunto recibecada equipo?
7.
5.
Si 30% de los aficionados dela serie mexicana de beisbolcompran un refresco, comocuntos refescos se vendieron, si laasistencia fue de 54 215 personas?
6.
sta es una cuenta del mercado que
an no ha sido sumada, como cuntoes el total?79 + 44 + 130 + 34...
8.
Estima 15% de descuento para unachamarra que cuesta $28 000.00
9.
Qu respuesta es razonable?10.
10
4
9+
5
10=1
5
90
6
8+4
7=
8
15
8
15+
11
20= 1
1
12
Sentido numrico
REFLEXINsobre la prctica
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MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA80
A los alumnos de un grupo de quinto grado de primaria el profesor les propuso resolverel siguiente ejercicio:
Cuando los alumnos terminaron de resolverlo, el maestro realiz una puesta en comn.
El siguiente es un fragmento de dicha confrontacin:2
2 Maestro Gerardo Ramos Martnez.
ACTIVIDAD 1
3. Estimacin
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Maestro:A ver, Alex. A ustedes cunto les dio: ms, menos o igual?
Nios del equipo de Alex:Ms.Maestro:Por qu ms?
(Los nios del equipo de Alex hablan varios al mismo tiempo.)A ver, uno solo.
Jafet:Porque si sumamos un medio ms dos cuartos se hace un litro, ms el
otro cuarto.Maestro:A ver, otra vez. Por qu? Porque si sumamos cunto?
Jafet: Dos cuartos de los tres cuartos da un litro, y si sumamos el otro cuarto nos
queda ms de un litro.
Para el caso en el que hay3
4de agua y
3
4de jugo de limn un alumno comenta:
Alumno:Porque2
4forman
1
2, ms los otros
2
4del otro forman un litro y sobran
24 , que forman
12 , y