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Table des matièresTable des matières ..............................................................................................................1Propos introductif .................................................................................................................2La mortalité ..........................................................................................................................3

Tables de mortalité (ou tables de survie) .........................................................................3Présentation française ..................................................................................................3Les survivants...............................................................................................................3Les décès .....................................................................................................................4Le quotient de mortalité ................................................................................................4La probabilité de survie.................................................................................................5

L�espérance de vie...............................................................................................................6Première méthode............................................................................................................7

Calcul de eo ..................................................................................................................8Deuxième méthode ........................................................................................................10

Calcul de l�espérance de vie à la naissance : .............................................................11Calcul de l�espérance de vie à un âge quelconque x..................................................12

Technique si les classes sont égales ......................................................................12Technique si les classes sont inégales.......................................................................13

Technique si on ne calcule pas l�espérance de vie à la naissance et que la table estconstruite avec des classes inégales. .....................................................................14

Troisième méthode.........................................................................................................15Exemple de calculs quand on connaît l�espérance de vie : .....................................17

LE DIAGRAMME DE LEXIS ..............................................................................................18Le diagramme de Lexis ..................................................................................................19

Présentation générale.................................................................................................20Exemple de la mortalité ..............................................................................................21Exemple de la divortialité............................................................................................22Schéma général de signification des figures ..............................................................23Age atteint et âge révolu.............................................................................................24Exemple de signification sur la mortalité.....................................................................25

2

PPPRRROOOPPPOOOSSS IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCTTTIIIFFF

Démographie = "Etude quantitative des populations, de leur mouvement, de leurrenouvellement "

En démographie, la population est un groupe d�individus qui se trouvent sur un territoire =

population résidant sur un territoire.

Ex : la population française en démographie = population qui réside en France et

non pas population de nationalité française.

Plus concrètement, la démographie, c�est l�étude des phénomènes démographiquessachant qu�un phénomène démographique se manifeste par un événementdémographique.

Exemples : Evénement démographique - Phénomène démographique

naissance - Fécondité, Natalité

décès - Mortalité

mariage - Nuptialité

divorce - Divortialité

La démographie, c�est l�étude de tous ces phénomènes et des migrations aussi. Mais, par

extension, la démographie a une multiplicité d�objets.

Ex : l�étude de la natalité et de la fécondité amènent à se pencher sur les conditions de

mise en couple, mais aussi les comportements sexuels (homosexualité, prostitution).

L�étude de la mortalité donne lieu à des travaux sur l�alcoolisme, le suicide etc.

NB : organisme de référence = I.N.E.D ; Revue = Population

3

LLLAAA MMMOOORRRTTTAAALLLIIITTTÉÉÉ

TTTAAABBBLLLEEESSS DDDEEE MMMOOORRRTTTAAALLLIIITTTÉÉÉ (((OOOUUU TTTAAABBBLLLEEESSS DDDEEE SSSUUURRRVVVIIIEEE)))

Elles relèvent de calculs complexes et sont élaborées à partir de la mortalité sur les

années passées et de prévisions sur les années à venir.

Présentation française

Age x Sx d(x,x+1) 1qx 1px

0 S0 = 100 000 d(0,1) = 5 000 1q0 = 50 °/∞ 1p0 = 950 °/∞

1 S1 = 95 000 d(1,2) 1p1 1q1

2 S2 d(2,3) 1q2 1p2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x Sx d(x,x+1) 1qx 1px

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

99 S99 d(99,100) 1q99 1p99

S100 = 0

Les survivantsSx = nombre de survivants à l�âge x

Ex : S0 = nombre de survivants à l�âge 0 = nombre de survivants à la naissance = nombre

de naissances vivantes.

4

S1 = nombre de survivants à l�âge de 1 an = nombre d�individus ayant fêté leur premier

anniversaire

Les décèsd(x, x+1) : décès entre l�âge x et l�âge x+1

Plus généralement, d(x, x+a) = décès entre un âge x et un âge x+a.

d(x, x+a) = Sx - Sx+a

Ex : d(0,1) = S0 - S1

Pour comptabiliser le nombre de décès entre l�âge de 0 et l�âge de 1 an, il suffit de faire la

différence entre le nombre de naissances et le nombre de survivants qu�il nous reste à 1

an.

Ici, d(0,1) = S0 - S1

= 100 000 - 95 000= 5 000

Le quotient de mortalité

aqx = Quotient de mortalité entre l�âge x et l�âge x+a

Attention à la notation : 5q10 = quotient de mortalité entre l�âge de 10 ans et l�âge de 15

ans (10+5), et non pas quotient de mortalité entre 5 et 10 ans.

aqx = Probabilité de décéder entre l�âge x et l�âge x+a

Ex : 1q0 = quotient de mortalité entre 0 et 1an

= probabilité de décéder entre 0 et 1 an

aqx = d(x, x + a)

Sx

Ex : 1q0 = d(0,1)

S0

5

= 5 000

100 000 = 0,05 = 50 °/∞

Le quotient de mortalité s�exprime généralement pour 1 000.

1q0 = 50 °/∞Cela signifie qu�un individu a 50 « chances » sur 1 000 de décéder entre 0 et 1 an.

La probabilité de survie

apx = probabilité de survie entre l�âge x et l�âge x+a

Même notation que pour le quotient de mortalité

Ex : 1p5 = probabilité de survie entre 5 et 6 ans

La probabilité de survie est le complément du quotient de mortalité.

apx + aqx = 1

D�où, apx = 1 - aqx

= 1 - d(x, x + a)

Sx

= 1 - S S

Sx x+a

x

−

=1 - SS

x

x +

SSx+a

x

apx = SS

x+a

x

Ex : 1p0 = SS

1

0 =

95 000100 000

= 0,95 = 950 °/∞

Cela signifie qu�un individu a 950 chances sur 1 000 de survivre entre 0 et 1 an.

6

LLL���EEESSSPPPÉÉÉRRRAAANNNCCCEEE DDDEEE VVVIIIEEE

Notation : ex = espérance de vie à l�âge x

e0 = espérance de vie à la naissance

ex est une moyenne : c�est le nombre moyen d�années qui restent à vivre à unepersonne qui a atteint l�âge x

Difficulté : il n�existe pas de « formule magique » toute prête qui nous donne l�espérance

de vie à un âge quelconque x. En fait, la formule de l�espérance de vie dépend de la

présentation de la table de survie (des classes d�âges) et de l�âge x auquel on veut

calculer l�espérance de vie.

Concrètement, il existe 3 méthodes pour calculer l�espérance de vie.

7

PPPRRREEEMMMIIIÈÈÈRRREEE MMMÉÉÉTTTHHHOOODDDEEE

=méthode intuitive, expression littérale.

On sait que ex est une moyenne, donc la formule est du type : 1N

n xi i∑

Age x Sx d(x,x+1)0 S0 d(0,1)1 S1 d(1,2)2 S2 d(2,3)...

.

.

.

.

.

.x Sx d(x,x+1)...

.

.

.

.

.

.99 S99 d(99,100)

Dans le cas de l�espérance de vie :

N = somme des décès

ni = effectif de décès

xi = âge au décès

Mais, en réalité : 1N

n xi i∑ = âge moyen au décès.

Or, ex = nombre moyen d�années qui restent à vivre quand on a atteint l�âge x. Par

conséquent, il faut retrancher l�âge atteint.

ex = 1N

n xi i∑ - âge atteint

N et ni sont donnés par la table de mortalité.

8

xi est l�âge au décès. Par commodité, on considère généralement que des individus qui

décèdent entre un âge x et un âge x+a décèdent tous à l�âge x (x a)

2+ +

. xi est le centre de

classe : on considère que tout le monde meurt au milieu.

Ex : on considère que les individus qui décèdent entre 0 et 1 an décèdent à

02+ 1

= 0,5 an

Calcul de eo

On a :

ex = 1N

n xi i∑ - âge atteint

e0 = 1

d(0,99)n xi i∑ - 0

Or, d(0,99) = S0

e0 = 1S

n x0

i i∑

Dans le cas de la table de survie précédente :

e0 =1

100 000[0,5 d(0,1) + 1,5 d(1,2) + 2,5 d(2,3) + ... + (x + 0,5) d(x,x+1) + ... +

99,5 d (99,100)]

Cette méthode n�est en fait jamais utilisée pour calculer e0 (calculs trop lourds) ; elle sert

seulement pour des calculs ponctuels simples.

9

Exemple :

Age x Sx d(x,x+1)...

.

.

.

.

.

.97 1 000 30098 700 50099 200 200100 0 -

Calculer l�espérance de vie à 97 ans.

ex = 1N

n xi i∑ - âge atteint

e97 = 1N[97,5 d(97,98) + 98,5 d(98,99) + 99,5 d(99,100)] - âge atteint

e97 = 1

1 000 [97,5 x 300 + 98,5 x 500 + 99,5 x 200] - 97

e97 = 1,4 ans

Un individu qui a atteint 97 ans a encore 1,4 ans en moyenne à vivre (son âge moyen au

décès est de 97 + 1,4 = 98,4 ans).

10

DDDEEEUUUXXXIIIÈÈÈMMMEEE MMMÉÉÉTTTHHHOOODDDEEE

On ne s�intéresse qu�à ceux qui meurent.

C�est la meilleure méthode pour le calcul de l�espérance de vie à la naissance.

Soit la table de survie suivante :

Age x Sx d(x,x+1)0 S0 d(0,1)1 S1 d(1,2)2 S2 d(2,3)...

.

.

.

.

.

.x Sx d(x,x+1)...

.

.

.

.

.

.99 S99 d(99,100)

11

Calcul de l�espérance de vie à la naissance :

Pour calculer e0, on repart de la formule :

e0 = 1S

n x0

i i∑

On adopte la disposition de calcul suivante :

Age xi ni nixi nixi0

0,5 d(0,1) 0,5 . d(0,1) 0,5 . d(0,1)1

1,5 d(1,2) 1,5 . d(1,2) 0,5 . d(1,2) + 1. d(1,2)2

2,5 d(2,3) 2,5 . d(2,3) 0,5 . d(2,3) + 1. d(2,3) + 1. d(2,3)3

3,5 d(3,4) 3,5 . d(3,4) 0,5 . d(3,4) + 1. d(3,4) + 1. d(3,4) + 1. D(3,4)4

n xi i∑ = 0,5 S0 + 1. S1 + 1. S2 + 1. S3 .....

En effet : d(0,1) + d(1,2) + d(2,3) + ... + d(99,100) = S0

d(1,2) + d(2,3) + ... + d(99,100) = S1

d(2,3) + ... + d(99,100) = S2

ETC.

D�où, e0 = 1S

n x0

i i∑ = 0,5 S + S + S + ... + S

S0 1 2 99

0

e0 = 0,5 + S + S + ... + S

S1 2 99

0

12

Calcul de l�espérance de vie à un âge quelconque x si les classes sont égalesA partir de la formule de l�espérance de vie à la naissance, on peut déduire toutes les

formules d�espérance de vie à un âge x quelconque. Soit a l�intervalle entre l�âge x et l�âge

suivant (x + a), on utilise la formule :

ex = a2

+ suite de la formule à partir de S

Sx+a

x

Exemples :

Soit : e0 = 0,5 + S + S + ... + S

S1 2 99

0

La formule de e25 sera :

e25 = 0,5 + S + S + ... + S

S26 27 99

25

Soit des classes quinquennales et e0 = 2,5 + 5(S + S + ... + S

S5 10 95

0

)

La formule de e25 sera :

e25 = 2,5 + 5 30 95

25

( .... )S SS+ +

13

Technique si les classes sont inégalesAge des

survivantsEffectif dessurvivants

Centre declasse

Différenceentre lesbornes

S0 10000,5

S1 990 55,5

S10 980 19,525

S40 900 2550

S60 850 2070

S80 700 2090

S100 0

0

8060401010

)(20255,1955,0S

SSSSSe +++++=

e0 = 0,5+[[(5x990)+(19,5x980)+(25x900)+(20x(850+700))]/1000]

e0 =

14

Technique pour un âge quelconque et une table construite avec des classes inégales.

Age dessurvivants

Effectif dessurvivants

Différence entre le centrede classe et l�âge de

l�espérerance à calculer

Différenceentre lesbornes

S40 90050-40 = 10

S60 850 2070-40 = 30

S80 700 2090-40 = 50

S100 0

40

806040

)(2010S

SSe ++=

e40 = 10+[[20x(850+700)]/900]e40 =

15

TTTRRROOOIIISSSIIIÈÈÈMMMEEE MMMÉÉÉTTTHHHOOODDDEEE

On ne s�intéresse qu�à ceux qui survivent.On utilise alors la formule :

e Total des Années Vécues entre x et xSx

r

x

= , xr correspond à la fin de la table de mortalité.

On note :

e TAV x xSx

i r

x

=( , )

e TAV x xS

r0

0

0

=( , )

On calcule le TAV de la façon suivante :

Soit xi et xi+n deux âges quelconques :

TAV (xi,xi+n) = (nombre d�années vécues par ceux qui meurent entre xi et xi+n) + (nombre

d�années vécues par ceux qui survivent jusqu'à xi+n)

TAV (x, xi+n) = durée de vie moyenne * d(x, xi+n) + intervalle (x, xi+n)*Sxi+n

On considère que les individus qui décèdent le font au milieu de l�intervalle. Par ailleurs,

on sait que d(x, xi+n) = Sxi - Sxi+n. Par conséquent :

TAV (xi, xi+n) = intervalle( , )x xi i n+

2. (Sxi - Sxi+n) + intervalle (xi,xi+n)*Sy

16

Exemples :

TAV (x, x+1) = 0,5 (Sx - Sx+1) + 1. Sx+1 = 0,5 Sx + 0,5 Sx+1

TAV (x, x+5) = 2,5 (Sx - Sx+5) + 5 . Sx+5

Calcul de eo :

e TAV x xS

r0

0

0

=( , )

Soit une table de mortalité qui va d�une année en une année. On a la série des survivants

suivante : S0, S1, S2, .... , S99.

TAV (0,xr) = TAV (0,1) + TAV (1,2) + TAV (2,3) + .... + TAV (98,99)

TAV (0,1) = 0,5 (S0 - S1) + S1

TAV (1,2) = 0,5 (S1 - S2) + S2

TAV (2,3) = 0,5 (S2 - S3) + S3 etc.

En simplifiant de proche en proche, on trouve :

TAV (0, xr) = 0,5 S0 + S1 + S2 + S3 + .... + S99

D�où : e TAV x xS

r0

0

0

=( , ) =

0,5 S + S + S + ... + SS

0 1 2 99

0 = 0,5 +

S + S + ... + SS

1 2 99

0

Cette troisième méthode est utilisée pour des calculs intermédiaires et pour les exercices

où l�on déduit des espérances de vie d�autres espérances de vie.

17

Exemple de calculs quand on connaît l�espérance de vie :

On dispose des données suivantes :

S0 = 10 000

S1 = 9 600

e1 = 69,08 ans

Calculer l�espérance de vie à la naissance.

e TAV x xS

r0

0

0

=( , ) e

TAV x xS

r1

1

1

=( , )

Or, TAV (0,xr) = TAV (0,1) + TAV (1, xr)

TAV (1, xr) = e1. S1

TAV (0,1) = 0,5 (S0 - S1) + S1 = 0,5 (S0 + S1)

TAV (0, xr) = 0,5 (S0 + S1) + e1. S1

D�où : e0 = 0,5 (S + S ) + e .S

S0 1 1 1

0

e0 = 0,5 (10 000 + 9 600) + 69,08 x 9 600

10 000 = 67,3 ans

18

LLLEEE TTTEEEMMMPPPSSS EEETTT LLL���AAAGGGEEE

On a vu que la démographie pouvait se définir comme l�étude des phénomènesdémographiques, sachant qu�un phénomène démographique se manifeste par un

événement démographique.

Exemples d�événements démographiques :

- naissance

- décès

- mariage

- divorce

Les événements démographiques ont une particularité : ils sont toujours précédés d�un

autre événement démographique.

Exemples :

- on ne peut pas divorcer avant d�être marié

- on ne peut pas mourir avant d�être né

- on ne peut pas avoir un second enfant avant d�en avoir eu un premier, etc..

Un événement démographique est donc toujours précédé d�un événement antérieur. Ce

qui est intéressant, c�est de considérer la durée écoulée depuis cet événement antérieur.

En effet, cette durée est un facteur d�hétérogénéité.

Exemples :

La probabilité de décéder dépend de l�âge.

La probabilité de divorcer dépend de la durée du mariage.

Pour étudier un événement démographique dans une population homogène, il est

nécessaire de prendre une population ayant une même durée écoulée depuis l�événement

nécessairement antérieur. On étudie donc un phénomène démographique dans un même

groupe. On prend tous ceux qui ont vécu l�événement antérieur à une même date.

19

Une population ayant vécu l�événement antérieur à une même date est une cohorte.

Cas particuliers :

Une cohorte de personnes nées une même année = une générationUne cohorte de personnes mariées une même année = une promotion de mariage

LLLEEE DDDIIIAAAGGGRRRAAAMMMMMMEEE DDDEEE LLLEEEXXXIIISSS

En démographie, on repère un événement par 3 coordonnées :

- la date d�occurrence (date de survenue) de l�événement

- la durée écoulée depuis l�événement antérieur

- la cohorte dans laquelle il survient

20

Présentation générale

Sur un diagramme de Lexis, on groupe tous les points dans des figures, au lieu de faire

des points à chaque fois.

On peut par ailleurs inscrire des chiffres sur les segments. Ainsi :

a = constitution de la cohorte = nombre d�individus ayant connu l�événement antérieur sur

une période donnée.

b = nombre d�individus, à une date donnée, ayant connu l�événement antérieur entre 1 et

2 ans plus tôt.

c = nombre d�individus, sur une période donnée, ayant « fêté » le deuxième anniversaire

de l�événement antérieur.

Date de calendrier1 segment = 1 période1 point = 1 date exacte

Durées exactes

0

1

2

3

4

5

6

a

b

c

Date del�événement

Cohorte

Duréeévénementantérieur

21

Exemple de la mortalité

a = constitution de la génération = nombre d�individus nés entre le 1er janvier 1940 et le 1er

janvier 1941.

b = nombre d�individus, au 1er janvier 1942, âgés de 1 an exactement.

c = nombre d�individus, ayant « fêté » leur deuxième anniversaire entre le 1er janvier 1942

et le 1er janvier 1943.

a

b

c

Age exact

0

1

2

3

4

5

6

Age exact

Génération

Date du décès

Date de calendrier01/01/1940

01/01/1941

01/01/1942

01/01/1943

Généra-tion

22

Exemple de la divortialité

a = constitution de la promotion de mariage = on a 1 000 mariages qui se sont effectués

entre le 1er janvier 1940 et le 1er janvier 1941.

b = au 1er janvier 1942, on a 900 couples dont la durée de mariage se situe entre 1 et 2

ans.

c = 870 couples ont « fêté » leur deuxième anniversaire de mariage entre le 1er janvier

1942 et le 1er janvier 1943.

a=1000

b=900

c=870

0

1

2

3

4

5

6

Durée exacte du mariage

01/011940

01/011941

01/011942

01/011943

Dates de calendrier

Duréeexacte

dumariage

Promotionde

mariage

Date du divorce

Promo-tion

23

Schéma général de signification des figures

· Tous les événements dans un couloir vertical surviennent une année donnée, dans

toutes les cohortes possibles et selon toutes les durées depuis l�événement antérieur.

· Tous les événements dans un couloir horizontal concernent une seule durée depuis

l�événement antérieur, mais toutes les années et toutes les cohortes.

A = une année, une cohorte, mais deux durées en années révolues

B = une cohorte, une durée, mais deux années de calendrier

C = une durée, une année de calendrier, mais deux cohortes

D = une année, une duré en une cohorte

Durée exacte

Date de calendrier

A

B

C

D

24

Age atteint et âge révolu.

En démographie, il y a au moins deux façons de calculer l�âge.

- l�âge atteintCalculer l�âge en âge atteint, c�est utiliser un classement selon la génération. L�âge est

exprimé par la différence de millésime entre année de naissance et année civile en cours.

Il correspond à l�âge atteint dans l�année.

- l�âge révoluCalculer l�âge en années révolues, c�est considérer l�âge qu�a eu l�individu à son dernier

anniversaire.

Exemple :

Soit un individu né le 30 août 1906. Si il décède le 1er juillet 1921, on considèrera qu�il est

âgé de 15 ans (1921 - 1906) si l�on définit l�âge en âge atteint, et de 14 ans si l�on définit

l�âge en années révolues (en effet, au 1er juillet 1921, il n�a pas encore fêté son 15ème

anniversaire).

15 ans révolus

14 ans révolus

01/07/1921

25

Exemple de signification sur la mortalitéSur un diagramme de Lexis :

- les effectifs sont représentés sur des segments.

- les événements sont représentés dans des figures.

En France, en 1980, on dispose des données suivantes :

Effectifs au 1er janvier 1980

Age en années révolues Effectifs

0 750 910

1 728 885

Naissances

Année Naissances

1979 757 354

1980 800 376

Décès en 1980

Génération Age Décès

1980 0 6 810

1979 0 1 200

1979 1 344

1978 1 315

Placer ces données sur un diagramme de Lexis et compléter

26

793566

728885

750910

749366315344

1200

6810

728570

749710

80037675735401/01/1979

01/011980

01/011981

0

1

2

3

27

LLLEEESSS PPPYYYRRRAAAMMMIIIDDDEEESSS DDDEEESSS ÂÂÂGGGEEESSSLes pyramides des âges ne sont pas d�une autre nature que les histogrammes. Ellesnécessitent donc que l�on fasse particulièrement attention à l�étendue des classes.

LLLEEESSS TTTAAAUUUXXX EEENNN DDDEEEMMMOOOGGGRRRAAAPPPHHHIIIEEELe taux est un indice à base empirique.2 types de taux :1° ceux qui représentent la fréquence d'un évènement dans une population.2° ceux qui représentent le rapport entre une sous population et une population.

Calculer un taux c'est rapporter les événements considérés à l'effectif de la population quien est à l'origine.

Les évènements démographiques se produisent sur un intervalle de temps (année le plussouvent). Le problème des taux est souvent celui du dénominateur c'est à dire celui de la populationde référence.