Systemes mecaniques avec frottement :modeles et simulation

F. Cadoux, collab. V. Acary, C. Lemarechal et J. Malick

Inria Rhone-Alpes, equipe-projet Bipop

Seminaire Bipop-Casys13 Novembre 2008

Objectif

On considere un systeme mecanique avec . . .

• des contraintes unilaterales

• des frottements

• PAS d’impacts pour simplifier (chocs mous)

On veut :

• modeliser le frottement

• formuler le probleme (discretise)→ ecrire l’equation du mouvement

• simuler la dynamique→ resoudre l’equation du mouvement

Applications

• genie civil (materiaux granulaires, maconnerie non-cohesive)

• automobile (pneus, “crash-tests”)

• informatique graphique (cheveux . . . )

• robotique, . . .

Mecanique non-reguliere (1)

Situation plus compliquee qu’en mecanique lagrangienne !

pendule rigide pendule a fil inextensible

M ∈ {x : ‖x‖ = 1} M ∈ {x : ‖x‖ ≤ 1}

meca. lagrangienne meca. non-reguliere(sous-variete de R2) (union de sous-varietes)

Mecanique non-reguliere (2)

Non-regularite. . . :

• spatiale (→ detection de collision)

• temporelle (→ integration en temps par time-stepping)

• en loi (loi de frottement “multivaluee”)

Aujourd’hui, on considere la non-regularite en loi.

Vocabulaire, notations

En mecanique lagrangienne

θ

(x, y)

q := (θ, x, y)

• inconnues :• coordonnees generalisees q ∈ Rm

• vitesses generalisees v := q ∈ Rm

• equation du mouvement : M(q) v + f (t, q, v) = 0

• equation du mouvement discretisee (systeme lineaire) :

Mv + f = 0

Vocabulaire, notations

En mecanique non-reguliere :

(x, y)

q := (θ, x, y)θ

u r

• inconnues : q, q ∈ Rm et u, r ∈ Rnd (si n contacts)

• equation du mouvement discretisee :Mv + f = H>ru = Hv + w(u, r) ∈ S “de dimension d”

ou S represente les couples compatibles avec la loi de frottement.

Plan

1 Modeles de frottement

2 Formulations de la loi de Coulomb

3 Approche par complementarite

4 Illustration numerique

Plan

1 Modeles de frottement

2 Formulations de la loi de Coulomb

3 Approche par complementarite

4 Illustration numerique

Tribologie

“Tribologie” : science du frottement

• modele de frottement : couples (u, r) ∈ S admissibles

• differents modeles,

• capturant des phenomenes physiques differents

Trois exemples : frottement . . .

• visqueux

• de Tresca

• de Coulomb

Frottement visqueux

Pour α ∈ R+ fixe (parametre physique) : r = −αu.

• simple, facile a utiliser

• acceptable en general pour les fluides

• . . . mais pas pour les solides :ne capture pas le phenomene de seuil

• → jamais d’adherence

Frottement de Tresca

Pour θ ∈ R+ fixe (parametre physique) :

• soit (adherence) ‖rT‖ ≤ θ et uT = 0

• soit (glissement) ‖rT‖ = θ et uT oppose a rT

∃α ≥ 0 : rT = −αuT

• ne capture pas l’augmentation du frottement avec rN

rT

uT = 0

rT

uT

Frottement de Coulomb (1)

Pour µ ∈ R+ fixe (parametre physique) :

• soit (decollement) uN > 0 et r = 0

• soit (adherence) u = 0 et rT ≤ µrN

• soit (glissement) uN = 0, rT = µrN et rT oppose a uT

∃α ≥ 0 : rT = −αuT

Remarque : r appartient a un cone K = {r : rT ≤ µrN}.

r = 0 r ∈ ∂Kr ∈ K

uN > 0 u = 0 uN = 0

Frottement de Coulomb (2)

Avantages : capture . . .

• le phenomene de seuil

• l’augmentation du frottement avec rN

Inconvenients :

• µ “pas vraiment constant” en realite : µ↘ quand rN ↗• µ statique > µ dynamique

• plus precisement : µ↗ quand u ↘Neanmoins :

• souvent bon compromis realisme / simplicite

• → on utilise cette loi

Plan

1 Modeles de frottement

2 Formulations de la loi de Coulomb

3 Approche par complementarite

4 Illustration numerique

Formulation disjonctive

Problemes :

• pas tres pratique

• suggere de considerer 3n cas (si n contacts)→ cout exponentiel

• probablement une mauvaise idee si beaucoup de contacts

Reformulations :

• par potentiel convexe (?)

• fonctionnelle

• par ”argmin”

• par complementarite

Formulation par potentiel convexe

• loi multivaluee r ∈ f (u)

• peut-on la representer par un potentiel convexe ?

r ∈ ∂ψ(u)

• non ! (theoreme du a T. Rockafellar)

Formulation(s) fonctionnelle(s) (1)

Peut-on exprimer la loi de Coulomb comme f (u, r) = 0 ?

• oui ! Et il y a de nombreuses possibilites, par exemple :

u := u + µ‖uT‖e ∈ K ∗

r = PK (r − ρu) (ρ > 0)

• formule explicite pour PK (!!!)

K

u

r

u

r

K∗

e e

K

Formulation(s) fonctionnelle(s) (2)

En effet si r = PK (r − ρu) :

• soit (adherence) r ∈ int(K ) alors u = 0 donc u = 0

• soit (decollement) r = 0 alors −u ∈ K ◦ donc uN ≥ 0

• soit (glissement) r ∈ ∂K et u ∈ NK (r) donc uN = 0 et uT

oppose a rT

r = 0

u = 0

r

K K K

K◦

K◦

K◦

−u −u

r

Formulation(s) fonctionnelle(s) (3)

Avantages :

• se prete bien a l’algorithme de Newton (non-regulier)

• evaluations de f et ∇f peu couteuses

• convergence super-lineaire en pratique (malgre le caracterenon-regulier)

• reste utilisable si le probleme est non-lineaire

Inconvenients :

• convergence locale

• couteux en memoire

Formulation par un argmin (1)

On peut aussi exprimer la loi de Coulomb comme

(u, r) ∈ argmin φ(u, r)

• idee : pour une formulation fonctionnelle f (u, r) = 0, poser

φ(u, r) :=1

2‖f (u, r)‖2

• il existe des fonctions φ qui ne sont pas de cette forme

Formulation par un argmin (2)

Avantages :

• le probleme d’optimisation est “raisonnable”

• on beneficie de la stabilite des algorithmes de descente

• econome en memoire (quasi-Newton a memoire limitee . . . )

Inconvenients :

• minima locaux

• assez lent (apparemment)

Formulation par complementarite

Formulation tres compacte : K ∗ 3 u ⊥ r ∈ K .

• equivalent a la formulation disjonctive

• en effet . . .• soit r ∈ int(K ) et u = 0 donc u = 0• soit r = 0 et u ∈ K∗ donc uN ≥ 0• soit r ∈ ∂K et u ∈ ∂K∗ oppose a r donc uN = 0 et uT oppose

a rT

u

r

K∗

e

K

u := u + µ‖uT‖e ∈ K ∗

Conclusion (provisoire)

On sait exprimer la loi de Coulomb de quatre manieres

• formulation disjonctive : peu pratique

• formulation fonctionnelle : la plus utilisee (Alart-Curnier)

• formulation par argmin : peu utilise (De Saxce)

• formulation par complementarite : utilisee dans notreapproche revolutionnaire

Plan

1 Modeles de frottement

2 Formulations de la loi de Coulomb

3 Approche par complementarite

4 Illustration numerique

Probleme complet

On veut resoudre :Mv + f = H>r (a)

u = Hv + w + EDs (b)K ∗ 3 u ⊥ r ∈ K (c)

s i = ‖uiT‖, i = 1, . . . n (d)

ou (b) est la version matricielle de

u = u + µ‖uT‖e

u = Hv + w

Astuce

• (a,b,c) est equivalent a{min 1

2v>Mv + f >v (quadratique, strict. convexe)Hv + w + EDs ∈ K ∗ (contraintes coniques)

• et aussi a (par dualite)min 1

2 r>Wr + b>r (quadratique, convexe)r ∈ K (contraintes coniques)W = HM−1H>

b = −HM−1f + w + EDs

On sait resoudre numeriquement (QP si d = 2, SOCP sinon)

Probleme reduit

• il reste a resoudre (c)

s i = ‖uiT (s)‖, i = 1, . . . n

• c’est un probleme de point fixe

• en dimension n seulement

• iterations de point fixe : non convergent

• algorithme de Newton : tres efficace

Exemple : dimension d = 3, m = 150 degres de liberte, n = 100contacts

Iter. 1 2 3

critere 1.1 ∗ 103 4.8 ∗ 10−3 1.7 ∗ 10−10

Conclusion

Avantages :

• on exploite bien la structure (H, H>)

• algorithme de Newton en dimension plus petite que dansl’approche fonctionnelle

• pas de parametres de reglage mysterieux (ρ . . . )

• stabilite (Newton stabilise)

Inconvenients :

• chaque iteration est couteuse

• implementation delicate

Plan

1 Modeles de frottement

2 Formulations de la loi de Coulomb

3 Approche par complementarite

4 Illustration numerique

Exemple : billes 2D

On considere des billes (d = 2)

• rigides

• soumises a la gravite

• qui tombent dans une boıte

animation

Exemple : carre deformable 2D

On considere un carre (d = 2)

• discretise par elements finis

• loi de comportement elastique lineaire

• pose sur un plan horizontal avec frottement

• charge sur le cote gauche

animation

The end . . .

Plus de details dans :“An algorithm for Coulomb’s frictional contact”

a paraıtre dans Esaim Procs

Plus d’animations sur :http://www.inrialpes.fr/bipop/people/cadoux/software.html

Merci pour votre attention !