TERMINALE GENIE MECANIQUE STATIQUE AVEC FROTTEMENT.

TERMINALE GENIE MECANIQUE

STATIQUEAVEC FROTTEMENT

Dans les chapitres précédents, les actions mécaniques de contact ont été schématisées par des vecteurs (forces) perpendiculaires (ou normaux) aux surfaces de contact, les frottements étaient négligésfrottements étaient négligés..

1.INTRODUCTION1.INTRODUCTION

Cependant, dans un certain nombre de cas, la prise en compte du frottement est nécessaire, soit pour diminuer les effets (pertes d’énergie, amélioration du rendement, etc...), soit pour l’utiliser avec bénéfice (freins, embrayages, poulies-courroies, arc-boutement, etc...).

Cette schématisation amène des erreurs systématiques relativement faible dans la plupart des problèmes.

Les lois sur le frottement découlent de l’expérimentation de COULOMBl’expérimentation de COULOMB.

2.CONSTATATIONS2.CONSTATATIONS

2.1. Equilibre sur un plan horizontal,

00

11

d’un solide SS au repos

Solide SS isolé

11

B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}

● Action de pesanteur

GG

PP0 inconnue


2.1. Equilibre sur un plan horizontal,d’un solide SS au repos Solide SS

isolé11

B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}


GG

PP

● Action de contact

La répartition de l’action de contact est inconnue.

f0/1

On pose N = ∑ f0/1

AA

NN

D’où

{τ0/1} (A,R)

0

N

0 inconnue

3 inconnues

● direction● point d’application A● norme


2.1. Equilibre sur un plan horizontal,d’un solide SS au repos Solide SS

isolé11

(G,R)

0

P {τpes

}


GG

PP

● Action de contact AA

NN

{τ0/1

}(A,R)

0

N

0 inconnue

3 inconnues

Théorème 1:

● direction verticale

● norme =mgmg

0NP

● AA: intersection de la verticale passant par G G avec le plan de contact

NN


2.2. Solide 11 en équilibre stablestable (pas de mouvement)

00

11Solide SS isolé

11

B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}


GG

PP

Si on exerce un effort F horizontal de norme connuenorme connue sur 11, trois cas se présentent:

FF

0 inconnue

● Effort F {τ(F)

} (B,R)

0

F 0 inconnue

FFB



Solide SS isolé

11

B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}


GG

PP

0 inconnue

● Effort F {τ(F)

} (B,R)

0

F 0 inconnue

FFB

● Action de contact de 0/1

{τ0/1

} (A,R)

0

R

0/1

3 inconnues

● direction

● point d’application A● norme

RR0/10/1

A



Solide SS isolé

11(G,R)

0

P {τpes

}GG

PP

(B,R){τ(F)}

0

F

FFB

{τ0/1}(A,R)

0

R

0/1

P.F.S.P.F.S.: Système en équilibre sous l’action de trois glisseurs (théorème 2)● 0RFP 0/1

● 0)R(M)F(M)P(M 0/1III

(le dynamique formé par les trois résultantes est fermé) (les trois supports sont

coplanaires et concourants en un même point II)

PP

FF

RR0/10/1

A

I

RR0/10/1



Solide SS isolé

11

GG

PP

FFB

PP

FF

RR0/10/1

A

I

RR0/10/1

RR0/10/1 est incliné d’un angle est incliné d’un angle αα par rapport à la normale au plan de contact de 0-1, du coté opposé à la tendance au déplacement de 1 par rapport à 0

αα

αα

Tendance au mouvement

FF

Remarque : si F augmente,

RR0/10/1

augmente,

αααα

RR0/10/1

AA se déplace.


2.3. Solide 11 est à la limite du glissement: équilibre équilibre strictstrict (pas de mouvement)

Solide SS isolé

11

GG

PP

B

PP

I


FF

FF

RR0/10/1

RR0/10/1

A

Si on augmente F jusqu’à une valeur Flim,

(pour atteindre une valeur limite φo

appelé angle d’adhérence)

on constate que augmente

FFlim

FFlim

RR0/10/1

φφoo

φφoo

αααα

A

RR0/10/1

A

● 0RFP 0/1lim

● 0)R(M)F(M)P(M 0/1IlimII

Nous avons équilibre d’où:


2.3. Solide 11 est à la limite du glissement: équilibre équilibre strictstrict (pas de mouvement)

Solide SS isolé

11

GG

PP

B

PP

I


FFlim

FFlim

RR0/10/1

φφoo

φφoo

A

RR0/10/1

A

● 0RFP 0/1lim

● 0)R(M)F(M)P(M 0/1IlimII

Equilibre :

R0/1 est incliné d’un incliné d’un angle angle φφoo (angle d’adhérence)

φφoo est la limite est la limite supérieure d’inclinaison supérieure d’inclinaison de de RR0/10/1 par rapport à la normale au plan de contact de 0-1

On pose :

tan(tan(φφoo)) = f= foo

fo: coefficient d’adhérence


2.4. Solide 11 n’est plus en équilibren’est plus en équilibre: (mouvement par rapport à 0)

Solide SS isolé

11

GG

PP

B

PP

I

Mouvement

On exerce une force F supérieure à Flim,

FFlim

FF

FF

RR0/10/1

φφ

A

φφ

RR0/10/1

A0RFP 0/1

Nous n’avons plus équilibre d’où:

Le triangle des forces n’est plus fermé

R0/1 est incliné d’un angle incliné d’un angle φφ (angle de frottementfrottement)φφ reste constant lorsque F

augmente On pose :

tan(tan(φφ)) = f= f f: coefficient de frottement

φ est légèrement inférieur à φo, mais dans de très nombreux cas, on pose

φφ = = φφ00 et et ff = f= f00

3.MODELISATION DE L’ACTION DE CONTACT AVEC 3.MODELISATION DE L’ACTION DE CONTACT AVEC FROTTEMENTFROTTEMENT

11

PPRR0/10/1

A

RR0/10/1

αααα

GG

FF

{τ0/1

}(A,R)

0

Tn.N

0

R

0/10/10/1

NN0/10/1

TT0/10/1

NN0/10/1 >0 et et TT0/1 0/1 dans le plan dans le plan

tangenttangent● Si équilibre équilibre stablestable:

)tan(0/1

0/1

NT

avec α <φ

● Si équilibre strictéquilibre strict:

f )tan(0/1

0/1

NT

● Si mouvementmouvementf )tan(

0/1

0/1

NT

f: coefficient de frottement

f: coefficient d’adhérence

nn

4.LOIS DE COULOMB4.LOIS DE COULOMB

4.1. Solide 11 en équilibre stablestable (pas de mouvement :adhérence)

11

GG

RR0/10/1

A

NN0/10/1

TT0/10/1

nn

Tendance au mouvement La force d’adhérenceforce d’adhérence T0/1

s’oppose au mouvement éventuel de 1 par rapport à 0 R0/1 fait un angle α avec la normale n

R0/1 est contenu dans le cône d’adhérence (cône d’axe n et de demi-angle au sommet φ)

α

║T0/1 ║ << f.N0/1

αα << φ


4.2. Solide 11 en équilibre limitelimite ou équilibre équilibre strictstrict (pas de mouvement :adhérence)

11

GG

RR0/10/1

A

NN0/10/1

TT0/10/1

nn


La force d’adhérenceforce d’adhérence T0/1

s’oppose au mouvement éventuel de 1 par rapport à 0 R0/1 est situé sur le cône d’adhérence

φ

║T0/1 ║ == f.N0/1

αα == φ φ: angle d’adhérence

f: coefficient d’adhérence

f f == tan(tan(φ)


4.3. Le solide 11 glisseglisse : pas d’équilibre (mouvement :frottement)

11

GG

RR0/10/1

A

NN0/10/1

TT0/10/1

nn

Mouvement La force de frottementforce de frottement T0/1 est opposé au mouvement de 1 par rapport à 0 R0/1 est situé sur le cône de frottement

φ

║T0/1 ║ == f.N0/1

αα == φ φ: angle de frottement

f: coefficient de frottement

f f == tan(tan(φ)

5.COEFFICIENT DE FROTTEMENT5.COEFFICIENT DE FROTTEMENT

f dépend essentiellement:

● de la nature des matériaux en contact

● de leur état de surface (rugosité, sens des stries)

● de la présence ou non de lubrifiant

● de la vitesse relative de déplacement des surfaces de contact.

f ne dépend pas:

● de l’intensité des efforts exercés (poids des pièces)● de l’étendue des surfaces de contact (pression de contact)

Nature des matériaux en contact

Lubrification f

Acier sur acier Surfaces sèchesGraissage abondant

0,10,07

Acier sur fonte Surfaces sèchesSurfaces graissées

0,190,1

Acier sur bronze Surfaces sèchesGraissage abondant

0,110,05

Garniture de frein sur fonte Surfaces sèches 0,35 - 0,4

Pneu voiture sur route Route sècheRoute mouillée

0,6 - 0,70,35 - 0,6

5.INTERPRETATION DES RESULTATS5.INTERPRETATION DES RESULTATS

AA

φ

1er cas: Si on déduit des équations d'équilibre que:

R0 / 1est dans le cône (<)

R0 / 1 est incliné à gauche (par exemple)

║T0/1 ║ == tan(α).N0/1

Alors: il y a adhérence et tendance au déplacement vers la droite.

EQUILIBRE STABLEEQUILIBRE STABLE


AA

φ

2ème cas: Si on déduit des équations d'équilibre que:

R0 / 1est sur le cône (=)


║T0/1 ║ == tan(φ).N0/1

Alors: il y a équilibre strict et tendance au déplacement vers la droite.

EQUILIBRE STRICTEQUILIBRE STRICT


AA

φ

3ème cas: Si on déduit des équations d'équilibre que:

R0 / 1est en dehors du cône (>)


Alors: l’équilibre est impossible et il y a glissement vers la droite.

MOUVEMENTMOUVEMENT

Cône de Cône de frottementfrottement

IMPOSSIBLEIMPOSSIBLE

R0 / 1est sur le du cône de frottement (>)

TAPIS ROULANT INCLINETAPIS ROULANT INCLINE

A2 / 1

dans le repère R1 (G, )

x y z1 1 1, ,

Représenter cette action en A, point où le torseur associé aux actions de contact de 2/1 est réductible à un glisseur : {2/1} = { }A

2. Vérifier graphiquement que l'entraînement des pièces se fait sans glissement.3. Déterminer l'angle maximal d'inclinaison du tapis pour avoir un entraînement à la limite du glissement.

Un tapis roulant, incliné d'un angle = 10°, déplace à vitesse constante des pièces 1 de forme parallélépipédique de masse m = 10 kg.Le coefficient d'adhérence entre la pièce 1 et le tapis 2 est: f = 0,3.

1. Déterminer les composantes de la résultante des actions de contact

0;A2/1

Isolement de 1

B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes}


PP

0 inconnue

αα

(G,R1)

00

0cos

0sin

αmg

αmg

● Action de contact de 2/1

(A,R1)

0

A

2/1{τ2/1}3 inconnuesPoint A

DirectionIntensité

(A,R1)

00

0

0

2/1

2/1

Y

X

P.F.S. P.F.S. (théorème 1)

0PA2/1 Forces directement opposées

AA2/12/1

AA

10

Vérification du non glissement de 1

AA2/12/1

AA

3

3

φTriangle Triangle

d’adhérenced’adhérenceAA2/12/1se trouve à l’intérieur du triangle d’adhérence donc la pièce 1 ne glisse pas (elle est en équilibre stable).

AA2/12/1Pour avoir l’angle d’inclinaison maximal, il faut que se trouve sur le triangle d’adhérence (équilibre strict)donc αmax = φ

SOLIDE SUR UN PLAN INCLINESOLIDE SUR UN PLAN INCLINE

F

On désire déplacer un solide 1 de forme parallélépipédique et de masse m = 25 kg sur un plan incliné d'un angle = 15°, en exerçant un effort appliqué en A.Le coefficient de frottement entre la pièce 1 et le plan incliné 0 est: f = 0,2.On prendra g = 10 m/s².

1. Dans le cas où F est nul, le solide 1 est-il en équilibre? Justifier.

2. Déterminer l'effort F minimal pour déplacer le solide, ainsi que l'action de contact.

Isolement de 1B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}


0 inconnue

(G,R)

00

0cos

0sin

αmg

αmg

(B,R)

0

R

0/1{τ0/1

}

● Action de 0/1

3 inconnues

(B,R)

00

0

0

0/1

0/1

Y

X

Point BDirectionIntensité


0PR0/1 Forces directement opposées

R0/1

B

10 2φ Triangle de Triangle de

frottementfrottement

R0/1 est en dehors du triangle de frottement

Il n’y a pas d’équilibre

Isolement de 1B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}


0 inconnue

(G,R)

00

0cos

0sin

αmg

αmg

1 inconnue (norme)

● Action de contact (F)

(A,R)

00

00

0

F

(A,R)

0

F {τ(F)

}

(B,R)

0

R

0/1{τ0/1

}

● Action de 0/1

2 inconnues

(B,R)

00

0

0

0/1

0/1

Y

X

Point BIntensité

φ

B


I

φ

B

I

║R0/1 ║ == 246 N

║F ║ == 113 N

NPPPPF 1133,11tan.15cos15sin.tan.cossin.

NPPR 2463,11cos

15cos.

cos

cos.1/0

ECHELLE CONTRE UN MURECHELLE CONTRE UN MUR

Soit une échelle de 4,80 m posée contre un mur et inclinée de 35°.

Le coefficient d'adhérence entre l'échelle et le sol est : f1= tan 1 = 0,25.

Le contact en B est un contact ponctuel parfait de normale, l'horizontale.

Le poids de l'échelle et d'une personne est de 100 daN appliqué en G.

1. Isoler l’ensemble S={échelle + personne) et déterminer graphiquement si l'équilibre est possible lorsque la personne se trouve au milieu de l’échelle (voir figure). Justifier votre réponse.


B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}


0 inconnue

(G,R)

00

0

00

mg

P

y

x

(B,R)

0

B

M/E{τM/

E}

● Action de Mur/Echelle

1 inconnue (Intensité)(B,R)

00

00

0

M/EX

(A,R)

0

A

S/E{τS/

E}

● Action de Sol/Echelle

2 inconnues

(A,R)

00

0

0

M/E

M/E

Y

X

Direction ; IntensitéP.F.S. P.F.S. (théorème 3)

I

102,5

φ

Le support de l’action en A est en dehors du triangle d’adhérence donc pas d’équilibre


B.A.M.E.B.A.M.E.

(G,R)

0

P {τpes

}


0 inconnue

(G,R)

00

0

00

mg

P

y

x

(B,R)

0

B

M/E{τM/

E}

● Action de Mur/Echelle

1 inconnue (Intensité)(B,R)

00

00

0

M/EX

(A,R)

0

A

S/E{τS/

E}

● Action de Sol/Echelle

2 inconnues

(A,R)

00

0

0

M/E

M/E

Y

X

Direction ; IntensitéP.F.S. P.F.S. (théorème 3)

I

105,7

φ

Le support de l’action en A est à l’intérieur du triangle d’adhérence donc il y a EQUILIBRE


P

y

x

I

105,7

φ

Le support de l’action en A doit être sur le triangle d’adhérence pour avoir EQUILIBRE STRICT

P

║BM/E ║ == 35 daN

BM/E

AS/E

║AS/E ║ == 106 daN

G limite

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