Systèmes de traitement du signal - Sylvain...

Systèmes de traitement du signal

Sylvain TisserantPolytech Marseille – INFO – 2016

Systèmes de traitement du signal - S. Tisserant - 2016

Mes coordonnées

� Mel : [email protected]� Web :

� http://sylvain.tisserant.perso.luminy.univ-amu.fr� Supports de cours :

� Copie des transparents� Cours rédigé� Sujets des TDs et documentation

Polytech Marseille - INFO 2

Format du cours

� Cours avec TD d’illustration :� TD : Octave à installer sur vos machines

� Pour la semaine prochaine

� Sur ordinateur portable (travail en binôme)� Pas d’ordinateur, smartphone ou tablette en dehors des TDs

� Note sur la base des TDs :� Présence obligatoire� Appel et note multipliée par le taux de présence� Contrôle continu : TPs� Compte-rendu à rendre pour la semaine suivante par mail

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Signaux analogiques

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Signal : définition

� Signal ≡ Grandeur mesurable dépendant d’autres quantités : espace, temps, température, champ électromagnétique, etc.

� Dans ce cours :� Signal = fonction du temps� Expression mathématique, mais pas toujours� Souvent signal complexe (ℝ → ℂ)


Classification

� Signaux continus ou discrets� Signaux analogiques� Signaux quantifiés� Signaux échantillonnés� Signaux numériques

� Signaux périodiques

T = période si minimal


)t(s)Tt(saonRtquetelRT =+∈∀∈∃

Temps continu


Temps discret

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Classification (2)

� Signaux déterministes/aléatoires� Signal déterministe : évolution temporelle

parfaitement connue, pas d’incertitude� Signal aléatoire : soumis à des incertitudes qui

empêchent une prédiction parfaite (porteur d’information)


Puissance

� Exemple

u(t) = R i(t)p(t) = u(t) i(t)

RA B

u(t)

i(t)

)t(uR

)t(iR)t(i)t(u)t(p 22 1===


Puissance (2)

� Puissance instantanée

� Puissance d’interaction

� Puissance moyenne

2)t(x)t(Px =

)t(y)t(x)t(P *xy =

∫∫+

−

+==

2

2

22 11 /Tt

/TtSx

Tt

tx du)u(x

T)T,t(Poudu)u(x

T)T,t(P

∫−∞→

=2

2

21 /T

/TTx du)u(x

TlimP


Energie

� Définition

� Classification� Signaux à énergie finie (par ex. signaux transitoires)� Signaux à énergie infinie� Signaux à puissance moyenne finie non nulle (par ex.

certains signaux périodiques)

∫∞+

∞−= dt)t(xEx

2


Signaux analogiques utiles

� Echelon unité

><

=01

00

tpour

tpour)t(u


Signaux analogiques utiles (2)

� Impulsion de Dirac

1dt)t(

et

0t0)t(

=δ

≠∀=δ

∫∞+

∞−

)(fdt)t()t(fet)t()(f)t()t(f 00 =δδ=δ ∫∞+

∞−



� Signe

>=<−

=01

00

01

tpour

tpour

tpour

)tsgn(



� Porte unité

><<−

−<=Π

10

111

10

tpour

tpour

tpour

)t(



� Triangle unité

><<−

<<−+−<

=Λ

10

101

011

10

tpour

tpourt

tpourt

tpour

)t(



� Rampe unitaire

><

=0

00

tpourt

tpour)t(r


Analyse harmoniquedes signaux


Signal sinusoïdal

0>ϕ+ω= mm Savec)tcos(S)t(s


Signal sinusoïdal (2)

0>ϕ+ω= mm Savec)tcos(S)t(s

amplitude phase instantanée

phase à l’origine

21 2

0

22 mT

effS

dt)t(sT

S == ∫Valeur efficace :

Valeur moyenne : 01

0== ∫

Tdt)t(s

TS

[ ] [ ])(tcosS)t(cosS)t(s mm τω−ϕ+ω=ϕ+τ−ω=τ−

Amplitude : invariant par translation temporelle


Théorème de Fourier

� s(t) : fonction périodique de période T� Série trigonométrique :

[ ] fT

avec)tnsin(b)tncos(aa)t(sn

nn π=π=ωω+ω+= ∑∞+

=2

2

10

ω=ω=

=

∫∫

∫T

n

T

n

T

dt)tnsin()t(sT

betdt)tncos()t(sT

a

dt)t(sT

a

00

00

22

1


Parité

� Fonction paire : s(-t) = s(t)� Fonction impaire : s(-t) = -s(t)

� Parties paire et impaire

� Décomposition de Fourier

∑∞+

=ω+=⇒

10

nn )tncos(aa)t(spairs

∑∞+

=ω=⇒

1nn )tnsin(b)t(simpairs

[ ]

[ ]

−−=

−+=

)t(s)t(s)t(s

)t(s)t(s)t(s

i

p

2121


Invariance temporelle

� Translation temporelle :

avec

� Coefficients dépendent du choix de l’origine des temps. Interprétation physique impossible.

[ ]∑∞+

=ω+ω+=τ−

10

nnn )tnsin('b)tncos('aa)t(s

)ncos(b)nsin(a'b

)nsin(b)ncos(a'a

nnn

nnn

ωτ+ωτ=ωτ−ωτ=


Invariance temporelle (2)

� ∀ a et b réels :

avec

donc

et

)tcos(c)tsin(b)tcos(a ϕ+ω=ω+ω

2222

22

ba

bsinet

ba

acos,bac

+−=ϕ

+=ϕ+=

∑∞+

=ϕ+ω+=

10

nnn )tncos(ca)t(s

)a(signecosetacavec)tncos(c)t(sn

nn 00000

=ϕ=ϕ+ω=∑∞+

=


Spectre de Fourier

� Spectre d’amplitude {cn}n≥0

� Spectre de phase : {ϕn}n≥0

� La connaissance des deux spectres est indispensable

� Translation temporelle ≡ changement de phases, mais amplitudes inchangées

� Représentation graphique des spectres


Spectre de puissance

� Puissance moyenne d’un signal périodique

soit :

donc :

� Densité spectrale de puissance : {pn}n≥0

� Spectre de puissance :

∑∑∞+

=

∞+

=+=⇒ϕ+ω=

1

22

00 2n

n

nnn

ccP)tncos(c)t(s

220

2222

000

nnnn

nn

bacp,netcpavecpP

+==>∀==∑∞+

=

∑=

=n

kkn pP

0

2

0

21eff

TSdt)t(s

TP == ∫


Créneau rapport cyclique 1/2

−∈∀=

−∈∀=

−−∈∀=

240

44

420

T,

Tt)t(f

T,

TtA)t(f

T,

Tt)t(f


Créneau rapport cyclique 1/2 (2)

� Fonction paire :

+=π

−=

+=π

=

=

⇒

ππ

=

342

1420

22

knpournA

a

knpournA

a

pairnpoura

nsinnA

a

n

n

n

n

2211 4

4

2

20

ATTA

dtAT

dt)t(fT

a/T

/T

/T

/T==== ∫∫

−−

0=nb



� Spectre de Fourier (amplitude) :

⇒200A

ac ==

π=

=

impairnpourn

Ac

nulnonetpairnpourc

n

n

20

>∀=

>∀

ππ

==

00

02

220

nb

nnsinnA

aetA

a

n

n

nnnn abac =+= 22



� Spectre de Fourier (phase) :

⇒

=−=ϕ

π==ϕ

0

2

n

nn

n

nn

cb

)sin(

nsinca

)cos(

+=<

ππ=ϕ

+=>

π=ϕ

3402

1402

0

knsoitnsinpour

knsoitnsinpour

n

n



Spectre d’amplitude



Spectre de phase


Synthèse fréquentielle

Synthèse d’un créneauavec les deux premiersharmoniques non nuls


Synthèse fréquentielle (2)

Synthèse d’un créneauavec les sept premiersharmoniques non nuls


Série de Fourier à termes complexes


� Autre formulation du théorème de Fourier :

� En utilisant :

on retrouve la série à termes réels avec :

� Réciproquement :

∑∞+

−∞=

ω=n

tnjn ec)t(s ∫

ω−=T tnj

n dte)t(sT

c0

1

)sinj(cosZeZz j θ+θ== θ

avec

)bja(c nnn −=21

)cIm(bet)cRe(a,ca nnnn 2200 −===

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