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Introduction Etude du cas stationnaire Etude du cas non stationnaire SSA : une décomposition modale ? SSA glissante

Sur l’Analyse Spectrale Singulière (SSA)

Jinane Harmouche

Projet ASTRES

19 novembre

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Principaux enjeux

De combien deux fréquences pures doivent être espacées pour qu’elles soientséparables par la SSA ?

Qu’en est-il de la séparation entre une fréquence pure et un chirp ?

SSA : une technique de décomposition modale ?

Proposition : SSA glissante pour la séparation des composantes AM-FM

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Principe de la SSA

L’algorithme comporte deux étapes principales :

Décomposition : (paramètre de réglage : taille de fenêtre L)SVD d’une matrice de Hankel S dite "de trajectoire" déduite des échantillons dusignal (s1, s2, ..., sN ), N = K + L− 1

S =

s1 s2 . . . sKs2 s3 . . . sK+1...

......

...sL sL+1 . . . sK+L−1

S =

∑Li=1 Si avec Si = σi Ui VT

i , σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σL

Reconstruction : (procédure de Regroupement)(1) Moyennage sur les éléments anti-diagonaux des Si ⇒ Si

Si est la ième composante élémentaire,

(2) groupement des Si

⇒ groupe Ij : la jeme composante du signal yj =∑

i∈IjSi .

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Application à un signal ECG

0 10 20 30 40 50 60−2

−1

0

1

2

3

4

time (s)

FIGURE: Signal ECG, Fs = 128

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4 Spectre Singulier

FIGURE: Spectre singulier, L = 50.

Signal de 8000 valeurs⇒ matrice de trajectoire S (50× 7951)⇒ SVD (EVD de S ∗ ST )⇒ 50 triplets (σi,Ui,VT

i ), i = 1, ..., 50⇒ 50 composantes élémentaires

Spectre singulier⇒ 25 valeurs singulières non négligeables

Groupement des 25 composantes élémentaires ?

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Regroupement basé sur une matrice de similarité

correlation similarity matrix

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425123456789

10111213141516171819202122232425

FIGURE: Corrélation entre lescomposantes élémentaires

0 20 40 60−2

0

2

Hz

20 40 600

2

4

6

0 20 40 60−1

0

1

Hz

20 40 600

10

20

30

0 20 40 60−5

0

5

time (s)

Hz

time (s)20 40 60

0

20

40

FIGURE: Reconstruction de 3 composantesassociées à (σ1), (σ2, σ3), (σ4, ..., σ25)

Outil de regroupement automatique : la classification ascendante hiérarchiqueparamètre d’entrée : Nombre de composantes du signal

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Regroupement par classification hiérarchique ascendante

Exemple de séparation d’un signal de N = 300 échantillons composé d’une sinusoïde(λ = 0.03) et d’une sinusoïde modulée linéairement en fréquence (H = 0.8, λ1 = 0.06,δλ = 0.09), le RSB allant de 40 dB à −20 dB.

FIGURE: (a) le spectre singulier (b) le dendrogramme obtenu pour un nombre maximal de classesfixé à 2 (une couleur distincte par classe). (c) (d) les composantes obtenues. La qualité dereconstruction de la composante xi : oRSB = ‖xi‖2 / ‖xi − xi‖2

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Séparation de deux sinusoïdes

sn = cos(2πλ0n) + H cos(2πλ1n + φ), n = 1, ...,N (1)

λ0 = 0.1, λ1 ∈]0, 0.2], H ∈ [0.01, 100], φ =π

2.

N= 500 et L= 45. La SSA sur sn → deux composantes y0 et y1.

log10

(H)

λ 1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

?

H=1

FIGURE: Mesure de la qualité deséparation :1/2 ∗ (corr(x0, y0) + corr(x1, y1)), oùx0 = cos(2πλ0n) etx1 = H cos(2πλ1n + φ)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λ1

Cor

rela

tion

log10

(H)=0.3

log10

(H)=1.5

(0.078 , 1) (0.122 , 1)

2/L

FIGURE: Qualité de séparation en fonction de λ1

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Interprétation fréquentielle du spectre singulier :(s1, s2, ..., sK) ∈ RK → Transformée de Fourier : (s0, s1, ..., sK−1)

Sous la condition K � L, chaque valeur propre de la matrice de covariancenormalisée (C/K = SST/K) peut être approchée par la valeur moyenne d’une portionde la puissance spectrale de la série, dont la largeur est d’environ K/L 1 :

σ2i /K ≈

1l

il−1∑j=il−l

|sj|2, l =KL, i = 1, ..., L, (2)

Soient x0 et x1 deux sinusoides de fréquences normalisées λ0 et λ1 = λ0 + ∆λ.

La SSA évalue la valeur singulière associée à x0 indépendamment de x1 (etvice versa) si leurs fréquences sont espacées de plus de K/L échantillons⇒min(∆λ) = 1/L.

1. E. Bozzo, R. Carniel, and D. Fasino, “Relationship between Singular Spectrum Analysis and Fourier analysis :Theory and application to the monitoring of volcanic activity,” Computers and Mathematics with Applications, vol. 60,pp. 812–820, 2010

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L= 45 ; N ∈ {1000, 500, 200, 100}.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λ1

Cor

rela

tion

K/L=21.2 K/L=10 K/L=3.4 K/L=1.2

(0.078 , 1) (0.122 , 1)

2/L

FIGURE: Qualité de séparation en fonction de K/L, H = 2

Changement non abrupt de la qualité de séparation

Dégradation de séparation plus rapide quand K/L décroît

∃ des faibles variations hors de la zone délimitée pour K/L=1.2

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Séparation entre une sinusoïde et un chirp

Le modèle non stationnaire choisi est le suivant :

sn = cos(2πλ0n) + H cos(ϕ(n)), n = 1, ...,N (3)

avec ϕ(n) = 2π(λ1 n + (δλ/2N)n2

). (4)

λ1 = 0.11 et 0 ≤ δλ ≤ 0.2. Trois cas sont possibles :(1) λ0 < λ1, (2) λ1 ≤ λ0 ≤ λ1+δλ, (3) λ0 > λ1+δλ.N= 500, L= 45.

case 1δλ = H2 / L →δλ

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

case 2

δλ

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

case 3

log10

(H)

δλ

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

FIGURE: Corrélation moyenne entre les composantes du signal et celles reconstruites parclassification hiérarchique ascendante

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Séparation entre une sinusoïde et un chirp

Somme d’une sinusoïde et un chirp⇒

0 10 20 30 400

1

2

3

4Spectre Singulier

FIGURE: Courbe de transition =recouvrement des valeurs singulières.

La courbe de transition correspond à lasituation où le plateau, associé au chirp,atteint le niveau de la paire , associée àla sinusoïde, des valeurs singulières.

Interprétation du spectre singulier⇒ A un facteur L/K près, les valeurs propres

associées à la sinusoïde sont égales à 1/2

associées au chirp sont égales à (H2/2)/(Lδλ)

A l’égalité :12

=H2

2Lδλ⇒ δλ =

H2

L

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SSA : une décomposition modale ?

Soit le signal suivantx(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t)

où

x1(t) = sin(3(2π × 6t))x2(t) = 2 sin(3(2π × 46t + 21 sin(3πt)))x3(t) = sin(3(2π × 77t + 30 sin(3πt)))

Nx= 2048 valeurs uniformément échantillonnées sur [0, 1] sec. L= 200.spectrogram of x

freq

uenc

y (H

z)

time (s)0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

100

200

300

400

500

600

FIGURE: Spectrogram de x utilisant unefenêtre de kaiser de longueur Nx/6.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

0

1

y 1

spectrogram

Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

204060

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

y 2

Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

200

400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−5

0

5

time (s)

y 3

Hz

time (s)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

200

400

FIGURE: Décomposition automatique du signalen 3 components : x = y1 + y2 + y3.

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Le résultat est lié à la densité spectrale de l’énergie (DSE) du signal : les premièrecomposantes extraites par la SSA sont associées aux pics de la DSE.

0 10 20 30 40 500

100

200

300

400

500

600

Energy spectral density

amplitude (linear scale)

freq

uenc

y (H

z)

FIGURE: Densité spectrale de l’énergie de x

spectrogram of x

freq

uenc

y (H

z)

time (s)0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

100

200

300

400

500

600

FIGURE: Spectrogram de x utilisant unefenêtre de kaiser de longueur Nx/6.

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0 10 20 30 40 500

100

200

300

400

500

600

Energy spectral density

amplitude (linear scale)

freq

uenc

y (H

z)

FIGURE: Densité spectrale de l’énergie de x

spectrogram

Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.80

200400

Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.80

200400

time (s)

Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.80

200400

y3

y5

y1

y4

y2

FIGURE: Décomposition de x en 5composantes : x = y1 + y2 + y3 + y4 + y5.

0 50 100 150 2000

2

4

6

8

10

12x 10

4

Estimated singular spectrumSingular spectrum

FIGURE: Spectre singulier et son imageestimée par la DSE.

Pour la récupération des composantes FM : RE-GROUPEMENT SUPERVISE des composantesélémentaires NECESSAIRE

← Spectre singulier et son image estimée par la DSE

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SSA glissante : une décomposition modale

Problème de MELANGE DE MODES

Spectrogram of the 40th elementary component

time (s)

freq

uenc

y (H

z)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

250

300

350

400

FIGURE: 40ème composante élémentaire : mélange de x2 et x3

+ Problème de REGROUPEMENT SUPERVISE

Proposition : SSA glissante→ application de (SSA + classification hiérarchique) àune fenêtre de temps glissante sur le signal.paramètres d’entrée : nombre de composantes, taille de la fenêtre

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Algorithm de la SSA glissante

Paramètres d’entrées :

le signal, x, de longueur Nx

le nombre de composantes du signal, nc

la taille de la fenêtre glissante, N

le paramètre de la SSA, L

la longueur du pas de glissement, ∆

A la sortie : nc composantes de longueur Nx.

A chaque position k de la fenêtre :1 application de la SSA + classification hiérarchique2 connexion des sous composantes : les nc sous-composantes sont comparées à

celle obtenues à la position k − 1 (en calculant leur corrélation)3 les valeurs des sous composantes aux indices dans [N/2, N/2 + ∆− 1] sont

affectées aux composantes appropriées

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Exemple 1

x(t) = 2 sin(3(2π × 46t + 21 sin(3πt))) + sin(3(2π × 77t + 30 sin(3πt)))

Le résultat de la SSA glissante en fonction de la taille N de la fenêtre du temps :

FIGURE: Spectrogram des composantesreconstruites par SSA glissante :L = (N − 1)/2, le pas ∆ = 1

0 30 60 90 120 1500

5

10

15

20

25

sliding window length Nsi

gnal

−to

−no

ise

ratio

(dB

)

snr(x2, y

2 )

snr(x3,y

3 )

FIGURE: Rapport signal-sur-bruit calculé pour lescomposantes reconstruites :

snr(xi, yi) = 20 log10‖xi‖‖xi−yi‖

, où yi est associé à xi

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Exemple 2

z(t) = sin(2π × 30(t + 1/4)2) + 2 sin(2π × 50(t + 1/4)2)

Problème de la SSA classique : mélange de modes

FIGURE: Spectrogram de : z(t), 1ère et 4ème composantes élémentaires de la décomposition SSAclassique

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Exemple 2

Résultat de la SSA glissante :

FIGURE: Spectrogram des composantesobtenues par SSA glissante :L = (N − 1)/2, le pas ∆ = 1

0 30 60 90 120 1502

4

6

8

10

12

14

16

18

sliding window length N

sign

al−

to−

nois

e ra

tio (

dB)

snr(z2,y

2 )

snr(z1,y

1 )

FIGURE: Rapport signal-sur-bruit calculé pour lescomposantes reconstruites :

snr(zi, yi) = 20 log10‖zi‖‖zi−yi‖

, où yi est associé à zi

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∆ > 1 valeur

FIGURE: Spectrogram des composantesobtenues par SSA glissante : N = 71,L = (N − 1)/2

FIGURE: Spectrogram des composantesobtenues par SSA glissante : N = 121 ,L = (N − 1)/2

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Perspectives

? Nombre de composantes du signal

? Les composantes intermittentes

? Les applications de la SSA glissante

? ? ?

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