MECANIQUE GENERALE Chapitre IX : Mouvement stationnaire ...

MECANIQUE GENERALE

CHAPITRE IX : MOUVEMENT STATIONNAIRE,STABILITE

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueJ-P. BROSSARD

3, 4 et 5 GMC

Année de création : 1994

S O M M A I R E

1ÈRE PARTIE

LA NATURE DU PROBLEME

9.1.1 ETAT DE MOUVEMENT 675

9.1.2 STABILITE 677

A. Rappels sur la stabilité des équilibres 677

B. Stabilité des états de mouvement 677

1. Stabilité d'un état de mouvement selon Liapounov 6772. Stabilité assymptotique 6813. Stabilité orbitale 682

9.1.3 LES METHODES D'ÉTUDE UTILISEES 687

2ÈME PARTIE

ETUDE DES MOUVEMENTS STATIONNAMES À FONCTION DE ROUTH

9.2.1 HYPOTHESES - DEFINITIONS 688

A. Lagrangien du système 688

B. Le système comprend des variables cycliques et des 688variables po$itionnelles

C. Etat stationnaire d'un cyclique 689

9.2.2 PROPRIETES DES COORDONNEES CYCLIQUES 690

9.2.3 ELIMINATION DIRECTE DES COORDONNEES CYCLIQUES DES EQUATIONSDU MOUVEMENT 691

A. Forme de l'énergie cinétique 691

B. Elimination 4es coordonnées cycliques des équations dumouvement 693

1. Expression des vitesses cycliques en fonction des vi-tesses po^itionnelles 693

2. Elimination des vitesses cycliques des équations deLagrange. 595

3. Exemple : toupie symétrique. 696© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

9.2.4 FONCTION DE ROUTH 697

A. Définition de la fonction de Routh 697

B. Equation de Lagrange à l'aide de la fonction de Routh 699

9.2.5 CONDITIONS POUR AVOIR UN ETAT STATIONNAIRE DANS UN SYSTEMECYCLIQUE 701

9.2.6 ETUDE DE LA STABILITE 706

A. La quantité R -W est une constante du mouvement 706

B. Etude de la stabilité 707

C. Exemples 708

1. exemple 1 : étude de la stabilité du mouvement station-naire d'un point matériel soumis à une force attractiveen pi 708

2. exemple 2 : étude de la stabilité du pendule conique(position inclinée) 710

9.2.7 EQUATION DES PETITS MOUVEMENTS AUTOUR D'UN ETAT STATIONNAIRE 711

A. Méthode directe 711

B. Obtention des équations à partir de la fonction de Routhsimplifiée 713

C. Remarque sur la stabilité et les systèmes gyroscopiquesexemple : mise en équation du pendule de Wilson 715

3ÈME PARTIE

MÉTHODE GÉNÉRALE POUR L'ÉTUDE DE LA STABILITÉ

9.3.1 RECHERCHE DES ETATS STATIONNAIRES 719

Exemple : régulateur de watt asservi 721

9.3.2 LINEARISATION DES EQUATIONS 727

Exemple : régulateur de watt asservi (continuation)

9.3.3 STABILITE DU SYSTEME LINEAIRE ASSOCIE 731

A. Nature des solutions de l'équation caractéristique pouravoir un système stable 732

1. Cas de racines imaginaires 7322. Cas de racines réelles ^32


B. Critère de Routh 733

1. Procédé 7332. Comment se présente l'utilisation du critère 7343. Formules pour les équations de degré 2, 3,4 735

C. Exemple d'étude de stabilité d'un système mécanique : -~7régulateur de watt asservi (continuation)

D. Cas des racines multiples 738

9.3.4 VALIDITE DE LA LINEARISATION - THEOREME DE LIAPOUNOV 739

4ÈME PARTIE

QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX SUR LA STABILISATION

9.4.1 ROLE DU FROTTEMENT DANS LES SYSTEMES STATIQUEMENT INSTABLES. 740Théorème de Tait et Thomson

A. L'équation caractéristique ne peut avoir de racines pure-ment imaginaires 742

B. Si l'équilibre est instable statiquement, en l'absence deforces dissipâtives, il demeure instable lorsqu'on introduitdes forces. 744

9.4.2 STABILISATION GYROSCOPIQUE 750

A. Etude de la stabilité - Exemple 750

B. Conditions pour stabiliser gyroscopiquement un système sta-tiquement instable. 755

1. Stabilité et instabilité statiques 7562. Stabilisation gyroscopique 758

C. Insuffisance du modèle à liaisons parfaites pour étudierla stabilisation gyroscopique. 765


IÈRE P A R T I E

LA NATURE DU PROBLÈME


- 675 -

Nous avons déjà envisagé un problème de stabilité lors de notreétude sur les états d'équilibre. Grâce alors au théorème de LEJEUNE DIRICHLETnous avions pu obtenir une méthode globale - à priori - pour trouver les con-ditions de stabilité. Par méthode à priori nous entendons une méthode qui per-met de trouver les conditions sans avoir à écrire les équations et trouverleur solution. Dans ce qui suit nous allons envisager des problèmes formelle-ment comparables mais d'une résolution beaucoup plus complexe.

9.1.1. ETAT DE MOUVEMENT

Soit un système à n paramètres q ...q....q . On appelle état de

mouvement une solution connue du système différentiel formé par les équationsdu mouvement :

q^ = f t) pour V i

Exemple : Supposons que l'équation du mouvement à 1 paramètre soit2

xlf 4- Cl x = 0 (mouvement harmonique)

la solution est .X 0

x = XQ cos Œt + —— sin fit

C'est un état de mouvement correspondant aux conditions initiales

x = xopour t=0

x' = XÔ

Cas particuliers remarquables :

~ ilËSlîîIîlïEë' :

C'est une solution où tous les paramètres restent constants. Dansl'exemple précédent x = cte = xoest un état de mouvement (équilibre) corres-pondant aux conditions initiales

|xo = 0x'0=0


- 676 -

" Le_mouvement_stationnaire :

C'est un problème beaucoup plus général que le précédent mais aussibeaucoup plus complexe.. On appelle état stationnaire un état de mouvement pourlequel_ certains paramètres restent constants alors que pour df autres ce sontles vitesses qui restent constantes.

Exemple 1 .'Considérons un régulateur de watt repéré par les angles i|> et 0 .Il est particulièrement intéressant au point de vue pratique d'étudier les con-ditions pour avoir ^f = cte et 6 = cte (régulation).


- 677 -

Exemple 2 : Si lTon considère le mouvement à force centrale où le mobile estrepéré par r,6en coordonnées polaires, une catégorie particulièrement remar-

quable (orbite circulaire) demouvement est celle où

r = cte = r0

e f = cte - e!0

Les mouvements stationnaires serencontrent très fréquemment enmécanique au cours de l'étude dela marche des machines en régimepermanent.

9.1.2. STABILITE

A. Rappels sur la stabilité des équilibres

Rappelons la définition que nous avions alors donnée pour un systèmeà n paramètres.

Soit un système à n paramètres q ...q....q en équilibre dans la* * m

position : qj = q} , ... = q^ » • • • »<ln •

On dit que cette position est stable si àye positif, arbitrairementpetit on peut faire correspondre X tel Que

|q. ~ q. I < AInio ni 'pour t=0

|qf. I < A|M 10 '

entraîne

|q.| < e pour t>0

Autrement dit si les déplacements initiaux et les vitesses initiales sont suffi-samment petits on est assuré que "l'amplitude" du mouvement par rapport à la po-sition d'équilibre reste faible (aussi faible qu'on le désire).

B. Stabilité des états de mouvements

Dans le cas général la notion de stabilité se présente beaucoupmoins simplement et l'on peut se placer à plusieurs points de vue. Une des no-tions la plus employée est celle de stabilité au sens de LIAPOUNOV (nous l'avonsdéjà en fait utilisé en statique).

1• §£âkiIî£l«Ëlïï2-É£âi- ê-S2HYÊ5SS£.Sêl2S»tIé?2I 2Yi/ *\j ^

Soit q.(t), q'.(t) un état de mouvement correspondant aux con-f\j f\j 1

ditions initiales q. , q'. pour t O. Prenons de nouvelles conditions initiales

- 678 -

légèrement modifiées par rapport aux précédentes : q. , q f. . Il en résulte un

état de mouvement q.(t), q'.(t). On dit que l'état q.(t), q!.(t) est stable au

sens de LIAPOUNOV si a V e arbitrairement petit positif, on peut faire corres-pondre A tel que

|q. - q. I < A|Hio 10 '

|qf. - q'. I < A1 10 10 '

entraîne

|q.(t) - q.(t)| < s

pour t>0|q'.(t) - q'.(t)| < e

Autrement si les conditions initiales sont peu différentes on est assuré que lesmouvements qui en résultent sont eux-mêmes peu différents.

Remarque 1 : L'équilibre est un état de mouvement particulier tel que^ / N *qi(t) = cte = qi

q'iCt) = 0

% xqio = qi

S. = 0^10

On retrouve bien alors la condition donnée en statique : l'équilibre est stablesi

|qiol < A |q£(t) - q.*| < e

|q' iol < x I q ^ C O l < e

Remarquons encore à ce sujet que dans les hypothèses que nous avions envisagées

|q\ (t)| demeurait petit si |q.(t) - q. | l'était, ce qui fait que la condition

|q. (t)| < e ne figurait pas.

Remarque 2 : On emploie aussi très souvent le critère suivant qui est totalementéquivalent. Soit r l'expression

r -Vj, (qi(t) -S£(t)) + j, (q'. (t) -ï'.(t))

que nous pouvons aussi appeler "écart".

On dit que l'état de mouvement q-(t), q1. (t) est stable si à tout e

positif arbitrairement petit on peut faire correspondre A positif tel que

- 679 -

/ n L " "T n 7 Tr = \ £ (q. - q. ) + * (qf. - q'. ) < A0 i=l V4io 4ioy 1=1 4 10 H 10

entraîne

r<e pour t>0

L'équivalence résulte de l'équivalence des différentes distances dans un espaceà n dimensions. Nous aurions pu aussi employer l'expression

n _ n ^R = sill qi(t) ~ qi(t) • + i-1 l'i 'i

Précisons la signification des critères de stabilité par une repré-sentation tout à fait originale des mouvements dynamiques qui est d'un grandemploi en mécanique analytique et en mécanique non linéaire. Nous l'envisageronsici simplement à titre d'illustration sur un exemple.

x^i+ , , p^- i• ^ A A A A A ^ ^ A I ^.la longueur du ressort sans^^XVWWW-j -j-m [— ^X contrainte est HQ

*•»•

- l'équation du mouvement est

mxlf H- k (x-£ ) - 0o

- il y a une position d'équilibre :*

x = cte = x définie par

k(x*-£ ) - 0 d'oùo

x*= £O

comme il est évident

•jfe —- Posons x-x = x comme à l'habitude.

L'équation du mouvement est— 2— 2 kxff + fi x = 0 avec fi = —

m

La solution est —f

x = x cos fit + TT- sin fito fi

ou ^ ^ xf

x * x -H (x - x ) cos fit + —— sin fit

- Posons xf = y

à la place de l'équation différentielle du second ordre nous avonsle système du 1er ordre

xf = y

y ' + fi2 x - 0

- 680 -

L'état du système est parfaitement connu si nous avons position et vitesjsc'est-à-dire x et y ; on peut d£nc dire que dans l'espace à 2 dimensions x,yle point M de coordonnées x et y représente l'état du système. Le plan est appe-lé plan de phase et les trajectoires dans cet espace, trajectoires dynamiques(si nous avions n paramètres nous aurions un espace de phase à 2n dimensions).Nous reviendrons ultérieurement sur cette question.

Revenons à notre problème et cherchons les trajectoires dynamiques.Il y a fonction de force T = U + h. D'où

jmx'2 - - y k (x-£0)2 + h

Supposons que pour t=0 °I x' = y0 = 0

h = j k (x0 - x )

1 . -2= — k. x en posant

x = XQ ~ x (déplacement initial par rapport à la positiond'équilibre).

L'intégrale des forces vives s'écrit— 2 2 — 2 2 — 2y + fi x = fi x0 soit

-2 -2*— + y

2 = 1XQ fi X0

Dans le plan 0, x, y les trajectoires dynamiques sont des ellipses centrées àl'origine (a )


- 681 -

* —X = X •*• X

Un simple changement de coordonnées •_.— nous ramène au paramétrage

initial (figure b) . Revenons au problème de la signification de r et au critèrede stabilité

r = y le2 + y"2 r = |0 M| c'est la distance OM

2 2 i * «XQ + yo ro = |0 MO| c'est la distance 0 MO

ro = |*xol M0 étant la position du point figuratifpour t=0

On voit donc que le système est stable, ce qui est le cas de notre exemple.La distance OM reste aussi petite qu'on le désire. Elle est au plus égale au_grand axe, que l'on peut rendre aussi petit qu'on le délire en choisissant xosuffisamment faible (les demi-axes ayant pour valeur |XQ| et fi|xo|).

2- §£âkîiî£ê-âËISEl2£Î21iëLe système est dit asymptotiquement stable si outre les conditions

de la stabilité selon LIAPOUNOV on a

|q.(t) - q.(t)| + 0pour t-x»

IqVCt) - q^Ct)! + 0

Prenons par exemple le cas du système masse-ressort auquel on adjoint un dashpot

II y a fonction de force et fonction dissipation

u -- - jk (x - £0)2

d) = jb x'2

L'équation de Lagrange s'écrit

d 3T 3T dd> audF^ - -^ + à?" - â î - 0 S01t

mx" + bxf -H k (x - %) = 0


- 682 -

II y a position d'équilibre comme précédemment

x* - £0

Posons x = x - x l'équation s'écrit

mx" + bx"' + kx" = 0

on pourrait très facilement trouver la solution mais nous allons procéder beau-coup plus rapidement grâce à un théorème démontré lors de l'étude des fonctionsdissipations. On sait que

£ (T-U) = - 2 «j,

T-U = y mx''2 + |x2

T-U est toujours décroissant et tend donc vers zéro.Ce qui exige

|x| - 0__ ou x -* x|xf I + 0

Le système revient exactement à sa position d'équilibre alors que précédemmentil restait dans le voisinage.

3. §tabilite_orbitaie

Nous allons envisager un autre point de vue surtout pour bienmettre en évidence l'importance qu'il y a à préciser la nature de la stabilitéenvisagée. Par exemple un pendule simple n'a pas une oscillation stable au sensde Liapounov ce qui peut paraître surprenant !

" " " ^ h " * *0 - L'équation du mouvement est\ comme on sait

\f 6" + | sin 0 = 0

\ - II y a intégrale des forces/ **\ vivesI m 1\^S T = U+h. Soit

1 2 2.7 -- m£ 6' « mgfccos 6.+ hZ0 2

a) Supposons le pendule lâché à t=0 avec les conditions initiales

e = 00 * o^ 6n > 0 pour fixer les idées.8' - e'0 - o

L'intégrale des forces vives devient

e f = -| (cos e - cos 00)


- 683 -

Le mouvement est oscillatoire. Nous avons appris à calculer la période90

T = | de — avec Q =vf

xTT^ T1J Q \sin-j-- smT

En négligeant un terme du 4 ordre

t.2wvï (,.!£ )g \ 16 /

La période est fonction de l'amplitude. Nous allons voir la conséquence de cecisur la stabilité.

<\» *\;Posons 8 f = y

A la place de l'équation différentielle nous avons le système

y1 + -| sin 0 = 0

0' = y

Nous pouvons facilement trouver la trajectoire dynamique. L'intégrale des forcesvives s'écrit

2 2 g 7 > ^y = —r-2- (cos 0 - cos 0g)

y = - V" V (cos 0 - cos 00)J6

II faut prendre la détermination négative au départ soit

<\j /2 fi / *x> 'x»y •* - V"£ V (cos e - cos 00)^ ,— *\,

12. . . ^ / 2 g sin 039 Vnr •• / • •* / 'v* i>

y(cos 0 - cos 00)

-—r- « 0 pour 0 = 0 . La tangente est horizontale

9y-r*r -> °° pour 0 » 00 . La tangente est verticale.

La fonction est croissante dans l'intervalle [0,003 .On peut alors

facilement tracer la courbe dans cet intervalle en fixant quelques valeursnumériques et ensuite en complétant par symétrie.

Prenons g - 9,81

& = 1 m

00 - 30° soit 0,523 rad

L'allure de la trajectoire est la suivante (courbe (C) "état demouvement"). La courbe a été étudiée dans le cadrant (0 > 0, y <0) et complétépar symétrie.

- 685 -

La courbe a la forme d'une ellipse. Ceci n'est pas surprenant ;si nous avions en fait l'approximation des petits mouvements, nous aurions étéconduit à l'équation :

e" + 1 e = o~

ou e" + ft2 e = o

qui est celle d'un mouvement harmonique dont la trajectoire de phase est uneellipse comme nous l'avons montré.

La période et le temps mis pour revenir au même état de mouvement,c'est-à-dire au même point sur la courbe.

A titre indicatif la période est ici

rr( >«2\T = 2"Vï V'-nr/T = 2 (1 + 0,017)

T = 2,034 s

/J"T = 2 TT V_ = 2 s est la période du pendule lorsque l'amplitude

est très petite.

b) Envisageons maintenant un mouvement avec des conditions initiales 69 et 6'o

légèrement différentes (60 5e 6'o e!0 = 0)

(pour simplifier on modifie simplement la position initiale)

y - ~ Y-£& Vcos e - cos 60

3y _ \[î~% sin 630 " V £ » -—

ycos 0 - cos 60

Pour faire le représentation prenons 00 = 35°


- 686 -

0° cos 9 y

0 1 - 1,88460 = 35° soit 0,610 rad

5 0,996 - 1,863

10 °'984 - 1 » 7 " (y = - 4 , 2 9 v / c o s e -0 ,819)

15 0,965 - 1,692 . . . _, .formule valable pour l'intervalle

20 0,939 - 1,534 [0,35°]

25 0,906 - 1,306

30 0,866 0,960

35 0,819 0

La courbe est représentée sur le même graphique que l'état demouvement [courbe (C) mouvement perturbé].

( e°2 }La période est T = 2 \ 1 + -77- /\ 16 /

T - 2 (1 + 0,023)

La différence entre les deux périodes est

T - T = 2 x (0,023 •- 0,017)

- 0,012

c) Montrons maintenant comment la stabilité au sens de Liapounov n'est pasvérifiée.

Comme la période dépend de l'amplitude de façon croissante,enaugmentant l'amplitude, on augmente la période. Lorsque sur la trajectoiredynamique le point figuratif f est revenu à la position de départ, le pointfiguratif M n'y est pas encore parvenu. Il est en retard de 0,012 s. Il y aun décalage progressif. Le décalage est maximum lorsque nous sommes dans laposition suivante.


- 687 -

Revenons à notre problème de stabilité

ro = |M0Mol

> * -r =|M M|

f\j f\jMême si on prend |MoMo|très petit |M M| ne peut rester inférieur à e. Il nfy a

pas stabilité au sens de Liapounov.

Dans ce cas il faut donc trouver un critère qui s'accorde avec le bon sens com-mun. On définit alors la stabilité orbitale au sens de H. POINCARRE :

^ L'état de mouvement étant représenté dans l'espace de phase par la courbe(C) et l'état perturbé par la courbe (C) "on dit que le mouvement possède la

^stabilité orbitale si les points origines M$ et MQ étant choisis très voisins

^tout point de (C) est voisin d'un point de (C)".

En ce sens le mouvement pendulaire est stable.

Il y a encore d'autres définitions de la stabilité. Mais pour l'étudeenvisagée dans cette partie du cours, les points de vue que nous avons donnésseront largement suffisants. Nous nous attacherons uniquement à l'étude desétats stationnaires.

9.1.3. LES METHODES D'ETUDE UTILISEES

Les définitions de mouvement stationnaire et de stabilité étant don-nées, nous pouvons maintenant passer à l'étude concrète. Nous envisagerons deuxméthodes :

- une méthode à priori qui évite d'écrire les équations pour trouverles conditions de mouvement stationnaire et de stabilité. Elle est analogue parbeaucoup de points à celle que nous avons utilisée par les méthodes énergétiques(recherche de l'équilibre et de la stabilité à l'aide de la fonction U). Nousconstruirons une méthode qui joue le même rôle que U, mais son champ d'applica-tion sera plus limité.

- une méthode à posteriori : elle nécessite

. l'écriture complète des équations de la dynamique

. la recherche des conditions pour que les équations admettentcomme solution l'état stationnaire

. l'étude du mouvement voisin (on fait une linéarisation, c'est-à-dire une approximation au premier ordre)

. l'étude de la stabilité du système différentiel linéaire obtenu

. enfin la justification de la linéarisation.

Cette méthode est très générale et d'un emploi commode dans beau-coup de problèmes. C'est cette méthode que nous avons évoquée en statique parles théorèmes généraux pour trouver les conditions de stabilité.


2ÈME P A R T I E

ÉTUDE DES MOUVEMENTS STATIONNAIRES À FONCTION DE ROUTH


- 688 -

9.2.1. HYPOTHESES - DEFINITION

A. Lagrangien du système

Le système est supposé décrit à l'aide de n paramètres indépendantsq ...q. et l'on suppose qu'il existe pour ce système un lagrangien indépendantdu temps :

L = L(qJ...qi...qn, q'j...q'n)

Les équations de Lagrange s'écrivent donc :

A _JL 8L. .. o Vidt Sq'. BqV U Vl

B. Le système comprend des variables cycliques et des variables

positionnenes

C'est là une hypothèse nouvelle qui joue un très grand rôle dansla théorie.

Il arrive très souvent que dans un système les paramètres (ou coor-données généralisées) puissent être classés en deux catégories :

- certains paramètres q ...q....q figurent explicitement dans L ainsi quei i K.

leurs dérivées. De tels paramètres sont dits coordonnées positionneuses

ou "non ignorables".

— les autres paramètres q, ...q ... q ne figurent dans L que par leursK.T" i s ndérivées q' ...q' . Ces paramètres sont dits coordonnées cycliques ouK,"»" i n"ignoràbles".

Exemple 1; Mouvement à force centrale

T° =im[7"(p)]2

T° = |m (r*2 + r2 9'2)

U = - + cte

L = T° + U

L = jm (r'2 + r2 6|2)> |


- 689 --

0 ne figure pas dans L ; 6 est une coordonnée cyclique

r figure dans L ainsi que sa dérivée ; r est une coordonnée positionnelle.

Exemple 2: Toupie (mouvement autour d'un point fixe)

-fr-OC = £ Z

s

On repère l'orientation àl'aide des angles d'Eulerhabituels.

L = T° + U

T-,io;ï0«;

1 r 9 ? ?T° = y I A 6f + A ifrf sin 0

+ c (ij;1 cos e + cj)')2

(équations de Lagrange Cours)

U = - mg£ cos 0 + C

L = y A 6'2 + A i '2 sin26 + C ( ' cos e + <}>f)2 - mg£ cos 0 + C

0 et 0f figurent dans L on dit que 6 est une coordonnée positionnelle

ty et <j> ne figurent pas dans L mais ' et cj)' y figurent. On dira que ^ et <f> sontdes coordonnées cycliques.

Dans ce chapitre nous étudierons les états stationnaires et lastabilité des systèmes cycliques à lagrangien.

C. Etat stationnaire d'un système cyclique

Un état stationnaire d'un système cyclique est une solution dusystème différentiel telle que les coordonnées positionnelles restent constanteset telle que les vitesses cycliques restent constantes. Donc

qi = cte = qio yi i = 1,. .. ,k

q'f = cte = q' y s s = k+1. . .n^s n so v

- 690 -

9.2.2. PROPRIETE DES COORDONNES CYCLIQUES

Pour distinguer plus facilement les coordonnées cycliques des autres,nous les affecterons d'une croix

q : coordonnée cyclique k+l<s<ns

q. : coordonnée positionnelle l<i<k

Si une coordonnée est cyclique elle ne figure (d'après sa définition) dans Lque par sa dérivée. On a donc les équations suivantes :

d 3 L 9L .dt 3q'. -3q. " U X 1 > - " > K

i i

d 8L = s = k+l,...,ndt 9q'4 U

s

9LPosons p = -—î— p est appelé en mécanique analytique moment généralisé

ou encore impulsion généralisée

On peut donc énoncer le résultat suivant :

Les impulsions cycliques généralisées sont constantes au cours du mouvement.

jEïNous retrouvons là les intégrales premières linéaires étudiées dans

le cours sur les équations de Lagrange.

- 691 -

9.2.3. ELIMINATION DIRECTE DES COORDONNES CYCLIQUES DES EQUATIONS DU MOUVEMENT

On peut éliminer les coordonnées cycliques des équations du mou-vement correspondant aux variables positionnelles.

A. Forme de 1'énergie cinétique T

3L _ 8T

9C 9C

T ' T Jl J, aat <i <

Dans T il y a trois sortes de termes :

- des termes ne concernant que des vitesses positionnelles. Leur ensembleest une forme quadratique en vitesses positionnelles T9

- des termes ne contenant que des vitesses cycliques. Leur ensemble est

une forme quadratique en vitesses cycliques T

- des termes contenant des vitesses positionnelles et des vitesses cycli-ques. Leur ensemble est une forme bilinéaire des vitesses positionnelleset des vitesses cycliques : T

T - 4- a q f q!2 QT HQ ^T

. k n n nT = — I £ a d f a f + -- % 2 A n f n f

2 a-1 T-l ai qa qt 2 a-k+1 T=! aai qa qi

. k k k nT - 4 Zi Zi a q' qf + 4 Zi £ , a qf qf

2 a=l T=! QT a T 2 a=l T=k+l ai 4a HT

j n k n n+ 2 a=k+l T=! V qà qr + .1 a-ï+I r-k+l aai qâ qi

Le deuxième et le troisième termes sont identiques car on peut changer à volontéles indices muets comme d'ailleurs dans toutes les expressions et de plusa = aai TQ

1 • îiï, j£, aij "l'j * iï, ,.L "is "i <' *î J+l J., -„ <' <'T2 - 7 j, jï, -ij "i "j

- 692 -

m+ - 1 n £ + ' +'

2 " I Z , £ , asr qs qrs=k+l r=k+l

k n f

T. - .Z. Z _ a. q! q*1 i=l s=k+l is ni Ms

Exemple 1 : Soit un système à 5 paramètres contenant 3 variables positionnelleset deux variables cycliques

q , q2> q« positionnelles

q4, q5 cycliques

1 F q > i "*2i r , , . -»-1 -*-fi

T = 2 [ q i « ^2' ^3' q4 .' q5 J aij q 3

+ 'q4

+ '

J L q 5 _

Les a., sont fonction de q , q , q seulement

[ a l l 312 a l3] [ q ' l "

T2 = î [ q ' l ' q > 2 ' q>3 ] a!2 S22 S23 q 2

_ a !3 323 a33 J [ q 3 _

r i f 1 T +' 1T+ - ' V n+' &44 &45 ^T2 - 2 [ q 4 ' % I

J a45 a55 q5

V a l4 q'l q4 f + S15 q'l %' + a24 q*2 ql' + S25 q 2 qs'

+ S34 q3 ql' + a35 q?3 qs'

soit encore

V <' <a ,4 q'l + a24 q 2 + a34 q 3 } + *ï <*15 q'l + 325 q 2 + a35 q 3 }

- 693 -

Remarque : sous forme indicielle ceci s'écrit :

1 3 3

T_ = ~ .1. .2, a., q'. q'.2 2 i=l j = l ij H i Mj

T+ - ] Z l + ' +'T2 ' 2 s=4 r=4 ars qr qs

• 3 5

Tl= i=l s=4 ais q'iqs

B. Elimination des coordonnées cycliques des équations du mouvement

1 - Expression des vitesses cy^clicjues ên_f2S£ti2S-^ëS-YÎ£Ê^Sê2

E25Î i2SSËlIe s

Pour les coordonnées cycliques on a

BT—TT = g pour s = k+1.... naqs

9T ? +' y—H" = r-ï+I asr qr + i=l ais q i9qs

+ ion a donc le système d'équations linéaires en q

n +, k

r=k+l ars

qr = es " i=l ais q'i

ce qui peut s'écrire sous forme matricielle

Vl.fc-H Vl,n q* 8k+l " ai,k+l q'l~ '•• ~ .k+l qk

as,k+l as,n <' - es - ais 1', - ••- -\s l'k

_3n,k+l ••••' ann JK ] [ ** " 3Jn q'l ~-"" akn qk

+ »

Ce système de Kramer en q admet une solution car la matrice n'est pas singu-

lière. C'est la matrice de la forme quadratique définie T9.

- 694 -

Appelons cette matrice [A] . On peut écrire

+ , _ £

\+l ^k+l ~ 1=1 \+l,i q i•••

' f nA q* @ - £ a . q1.

.s s i=l si ^ i••

Vq 6 - .2, a . q'.n n 1=1 ni i

On a alors

r +• i r i-i r n iqk+i

ek+i ' i=i Vi.i qin

A 3 - .£ a . qf.s i=l si i

+ ' n

q 3 - .£, a . qT.n n 1= 1 ni M i

Désignons par b.. les éléments de la matrice inverse. On peut écrire :

~ + i i r i r i r i r k .iqk+l bk-H,k+l '"bk+l,n 3k+l bk+l ,k+l "• bk+l,n i=l Vl f i q i

+ , kq^ « b ... b 3 - b . _ ,_ . . .. b . z , a . q f .s s,k+l sn s s,k-«-l s,n i=l si i

k+ f ^ a q 1

q b ... b 3 b . , . . . b i=1 ni iii j L n»k+i nn J L n J L U9^-+^ n»n J I

On a donc sous forme ...indicielle

+ t n n ka = ^ b A- 2 K £ a • n f 'qs r=k^l Dsr Pr r-k+1 sr i-1 ais q i

-i-1les q sont donc des formes linéaires des qf..s n i


- 695 -

2. Elimination_des vitesses^c^cligues^des^eguations^de^Lagrange

Pour les coordonnées positionneIles nous avons

JL 3L 3L _ Qdt 3qf. 3q,

1 i

or l'énergie cinétique s'écrit

1 1 +f +f 4-fT = -r- a . q' q'. + — a q q + a qf q

2 aj a j 2 sr s r as a s

Nous avons remplacé dans la formule de T i par a car i a été pris comme indicedans la formule de Lagrange. Ceci est parfaitement légitime car c'est un indicemuet.

rh, 3L .31 . 8L _ 9T BUun a - - = .^ et — - — + —^ i H i Hi Mi Mi

C\T

a)- Calculons -—}—3q.

3L f . • .+ '^ t = a. . qf. + a. q (on prend a = i)9q • ij j is ns ^

+ 'Les a., ne contiennent que les coordonnées positionnelles. On peut éliminer q

ij spar la formule

+ f

q = b 3 - b a.q'.s sr r sr ri i

soit encore en changeant d'indice muet+ »

q = b 3 - b a . q ' .s sr Hr sr r j n j

^~ « a. , q'. + a. b g - a. b a . q'.9q iJ J is sr Mr is sr r j 4 j

expression qui contient seulement des coordonnées et des vitesses positionnelles.

Par suite — y ne contiendra plus que des q . , q'. , q". .u t dq • i î i

3Lb)- Calculons3q.

3L m 9T + 3U3qL ~ 9q£ 9q£

3L _ 1 9aaj , , 1 8asr +' +' +

3aas , +• 3 U

^[7-2 717^^ + 2 T q T qS

qr + TqT q<X ^s + ^qT

- 696 -

9aaiOn peut éliminer les q par la formule déjà utilisée. D'autre part -r—**- ,8 qi3a 9a ...

G T* f^ Q H TT

9 «- e£ _— ne contiennent que les coordonnées positionnelles.o o. o q. dq.Hi Hi Hi

3. Exemgle : Toupie symétrique

L = Y [ A0f2 + A sin26^f2 + C (ij;1 cos 0 + <f>f)2] - mg£ cos 0

Pour les coordonnées cycliques on a

9L 2—Y = A s in 0 i(;f + C cos 6 (i 1 cos 6+ <f)f) = gi|j intégrale premièreoU' - . ^

linéaire

3L-rjT- = C (ip1 cos 0 + (j)1) = gtj) intégrale première

linéaire

soit en ordonnant en i|;f et <f>f

2 2(A sin 0 + C cos 6) i^1 + C cos 0 <j>! * 6

C cos 0 if> ! •*• C < J> ' = B<|>

En employant ici les formules de Kramer

fty cos e6* C

*' - 1 ;

C (A sin26 + C cos20) - C2 cos20

f _ gi); - g(j? cos 0

A sin26

? ?A sin 0 + C cos 0 Q$

cos 0 g<|>*• = .

2AC sin 0

2 2f = (A sin 0 + C cos 0) B4>- C cos 0 gft

«P 2AC sin 0

Pour les coordonnées positionnelles on a

j3_ 3L _3L, _dt 301 "" 30 ~ °

- 697 -

-iL - A e '96' A B

r)I 2•Si- = A sin 0 cos 0 f - C ifrf sin 0. (*'. cos 0 + <f>') + mg£ sin 6ou

2A0" - A sin 0 GOS 0 ^ f + C i^1 sin 0 (^ f cos 0 + < j > T ) - mg£ sin 0 = 0

j.2 , (g» - 84 c°s 9)2 f cos 6 + * ' -MA2 sin4 6 C

A6- -1 <g* " g* C°S 6)2 COS 6 +

(g* " eV°S 6) g» cose- mg£ sin 6 • 0sin 6 A sin 6

A6" s- gtj» - g<j> cos 6 (g)/)- g<(» cos e) cos e - g<J> sin e mg«, sine =0A sin 6 L J L J

soit encore

A6" - (B* " B* cos e) <g*-g°»e- g») - mg£ sin e = oA sin 0

Remarquons que l'on peut remplacer cette dernière équation par une troisièmeintégrale première : l'intégrale des forces vives

T = U + h

9.2.4. FONCTION DE ROUTH

ROUTH a eu l'idée d'obtenir l'élimination des coordonnées cycliquesen employant au lieu du Lagrangien la fonction dite maintenant fonction de Routh.L'emploi de cette fonction donne directement les équations de Lagrange correspon-dant aux coordonnées positionnelles. Nous verrons que cette méthode est tout àfait comparable à celle qui permet de passer du Lagrangien à l'hamiltonien.

A. Définition de la fonction de Routh

Posons R = L - £ . p qs=k+l *s ns

+ 3Lavec Ps = W+ = es

n 3T +' n +'R = L - s=k+l -^ qs °U enc°re R = L ' s=k+l

3s qs8qs

- 698 -

+f

On a vu que l'on peut éliminer les q . Donc on peut écrires

R = R (q. , q'. , 6s)

On peut d'ailleurs préciser la forme de R

1 1 + » + » +f +f

R = - a. . qf. qf. + - a q q •+ a. qf. q - g q + U2 ij n i n j 2 sr nr s is n i Hs s s

+ f

On peut éliminer les q par la formules

+ 1

q = b B - b a . qf.ns sn n sn ni i

R = 4- a. . q'. q1. + 4- a (b g - b a . qf. ) ( b 6 - b a . q1. )2 ij H i H j 2 sr sn n sn ri M i mMn rn nj H j

+ a. q!. (b g - b a . q1. )is i sn n sn nj j

+ b a . g q1. - b 6 g + Usn ni s i sn n s

R « R2 + Rj + R + U avec

R^ : forme du second degré en qf. , homogène

R : forme du premier degré en q1. , homogène

Rn : forme indépendante des qf. , ne dépend que des q.

Cette remarque nous sera par la suite d'une grande utilité pour étudier lastabilité ; on posera

W « RQ + U •+ W = •W.(qi)


- 699 -•

B. Equations de Lagrange à l'aide de la fonction de Routh

On différencie les deux expressions de R :

« • j, 157 d«i * j, iSV dor L est une fonction des q. et q1. de la matrice suivante

L = L (q,...qk, q1, •-. q'k, q^,--. q ')

dL = .Z JL dq. + .Z - dq'. + Z -%- dq+ 'i=I 3q. i 1=1 9q?. i s=k+l . +' s4l 1 9qs

On a d'autre part d'après l'expression de définition de R

dR = dL - f , dp q+ - , Ef 3 dq+s=k+l s ns k-t-1 ^s ns

9LDonc en substituant dL dans cette dernière relation et en rappelant que g = • y-s 8<>.

dR • j, d"i * j, d'i - s-L %' d6snl ^ 1

on a donc

3L 8R - , i•3?:=3?7 -1-1.---.kHi Hi

9L 9R3q'. = 3q'. i«l,...,k

i i

ql " " s l,...,ns

En portant dans les équations de Lagrange correspondant aux coordonnées noncycliques, on a :

A 9R 3R n - i i ,dt qT" " .3q. " U i-l,...,k

i i

équations où les coordonnées cycliques sont éliminées.

- 700 -

Exemple : Fonction de Routh d'une toupie symétrique et équation du mouvement

en 0 (équation à paramètre principal)

On a vu que :

L = Y A0f2 + AiJ;'2 sin20 + C (ij;1 cos 6 + <f>')2 - mg£ cos 6

2B^ = Ai^f sin 0 •»• C cos 9 (i|;f cos 0 + < j > f )

64> = C (i|;f cos 6 + 4 > f )

f _ 6» - 64) cos 6v 2

A sin 0

2 2, f (A sin 0 + cos 0) 64) - C cose^V

•* = 2AC sin 0

R • L - ps <'

R = L - i|;f AiJ;1 sin-9 -*• C cos 6 (i|;f cos 0 + 4 > T )

- C (ij;1 cos 0 + 4 > ' f ) <( ) f

0 O 0

R = L - Ai|î sin 0 - C (i(;f cos 0 •*• 4 > f )

R » y A0 f 2 - A^f 2 sin20 - C (*f cos 0 + 4>f )2 - mg& cos 0

R . 1 [ A0Ï2 . A (g* • B^ cos 0)2 s.n2e_ C 2] .. mg, cos eL L A

z siVe cz J

Lféquation de Lagrange s'écrit alors

J_ 8R 1R = ndt 80' "" 90

JL. A8' -*- A JL. A0"30' AU dt 80' A

[ 2 22 (6i|;.- B4> cos 0) (64) sin 0) sin 0 . - 2 (6i|; - 64? cos 0) sin 0 cos 0

As in 4 6

-*• mg£ sin 0

- 701 -

2 23R (gifr " P4> cos 6) (+ g(j> sin 6 - gifr cos 6 + 34) cos 6) .' • - — -~ i l . . . . - _ T mgx/ s in u86 A s lire

_3R (W - gfl cos 6) (gi|> - ty cos 9) + gin Q

99 A sin36

d'où l'équation

A9<< + <g* - g* COS 6) <g* - g* COS 6) + mg£ sin6= 0A sin 6

Nous venons de voir l'intérêt de la fonction de Routh pour la mise en équationdes systèmes cycliques. Nous allons maintenant compléter cette étude en montrantcomment on peut l'utiliser pour la recherche des états stationnaires et l'étudede leur stabilité.

9.2.5. CONDITIONS POUR AVOIR UN ETAT STATIONNAIRE DANS UN SYSTEME CYCLIQUE

Les équations de Lagrange s'écrivent pour les coordonnées positionnel-les

JL 3L 9L . Qdt " aqi

$r -^H 1 H 1

3L . -f 'T—î— = a. . q . + a. q3q^ ij HJ is Hs

d 3L d f A „ d +' +'11

dt 1ÏT = dT aij q j + aiji j + dT ais qs + ais qs

mais les a.. sont fonction des coordonnées positionnelles

d 3a.. 3a.. 3a..

dF a i j= -3îf q 'i+--+^- "' +---+^f q'k

a. .= ~9q i iqa a = l . - - - . kHa

. 8a Sa. 9a.

^ais-77f "\ *-*l^ ''. *•••* T^ «'k

- 702 -

3a.d is . ,-TT a.. = -T q a = 1 ..... kdt is 3q • a » '

ot

Donc finalement

A _4_ . a.. qn. +ft. q+" + iiq' q'. + !!i2. q' q+'dt 3q'. ij 4 j is 4s 3qa

4a 4j 3qa 4a 4s

Si le mouvement est stationnaire, on a

q. = q. pour i=l,...,k -> q1. = 0 -> qff. = 0Hi Hio r 5 ' M i n i

+ f -f1 +fr

q = q pour s = k+l,...,n •> q = 0s so s

Donc finalement

d 3L n . t ,-T7- T~T- = ° P°ur 1=1,-..,kdt dq

La condition d'existence d'un mouvement stationnaire est donc :

(f)0-° i - - k

3LL'indice 0 signifiant que -r-— est pris avec sa valeur, à l'état initial

9q.-f1 +lf

c'est-à-dire en remplaçant q. , q'. , q , q parl i s s

q. = q.ni 10

q'i « 0

+ ' -h'

q = qs so

+"qs - 0

mais nous avons vu que

3L = 3R3q. " 3q.Mi ni

La condition d'existence du mouvement stationnaire est donc aussi

(f)o = ° i = k


- 703 -

Remarque : Nous avons vu que R = R + R + R .

Seul RO ne contient pas de vitesse q' .

JL - .îîi+ !fu!!o. + ju.9q£ 9q£

+ + + 9q£

/JL\ = /!!o\ + /JD.\I9^i|o Iv/o l^ijo

La condition pour obtenir un mouvement stationnaire est donc simplement en fait

compte tenu que W = RQ + U par définition

( r).0"° pour i = l )--- > k

Exemple 1 : Mouvement stationnaire dTun pendule conique


- 704 -

1. Çalcul_du_Lagran,gien_L

L = T + U

T° = 1 m ^(P) \ 2

V°(P) = V 'CP) + vj(p)-> ->•

= r 0 T X2 + r sin 0 ij;1 Y2

1 9 9 7 7 9T° = y m (r 9f + r sin 0 <J,fZ)

U = mgr cos 0

L = ~ m (r20f2 + r2 sin20 if;'2) + mgr cos 0

2- £âi£Hl-ÉÊ-Iâ_£°ScJ£îon â6-. 0^ 1

La coordonnée est cyclique

#•»mr2 sin20 ,(,' = g^ ^ ' = —

mr sin 0

La fonction de Routh est

R = L - 6 . i(jf en éliminant ty*

R = lm(r2e'2 + r

2sin2e e4 ) - B*2 + mgr cos 9

\ m r sin 0 / mr sin 0

R = - mr 0f —L- + mgr cos 02 mr sin 0

3 • l2Hâ£Î2S-. H-.S2HYê2JêS£

A 3R - là = ndt 30' ~ 90

mr26" - M! os 0 + mgr sin 0 m 0

mr sin 0

„ _ _^_ cos_e + & s.n =24 . 3rt rm r sin 0

- 705 -

4. Mouvement stationnaire : i|;f = cte 6 = cte = 0Q 1 0

— - 0 soit encore90

012 cos 60. ._ÊS + £sin 00 = 0

24 . 3ft r

m r sin 0

2 2mais 3i|; = mr sin ©Q-^'

24 .4m r sin 00 2

- cos 00 -j- - 3— *ô + f sin 60 dl°ùm r sin 00

cos 00 « — -7r *i2

Cette position n'existe que si

a 2 e—&— < \ soit , f > i

r 2 o r

Remarque : en prenant l'équation du mouvement et en faisant 0 = cte on obtientaussi la condition stationnaire

__|4 £££_§. +l sine= o24 «3,, rm r sin 0

La fonction de Routh permet de trouver directement cette condition sans avoir àécrire 1yéquation»

- 706 -

9.2.6. ETUDE DE LA STABILITE

A. Rp-W est une constante du mouvement (intégrale première)

Les équations de Lagrange avec R s'écrivent comme on a vu :

jd_ 3R 3R = Qdt BqV " 3q£

Nous allons faire une démonstration analogue à celle qui nous a conduit àl'intégrale de Painlevé. Multiplions les deux membres de l'équation et faisons

kla sommation. Il sera inutile de faire figurer . en employant la convention

de l'indice muet

t d 3R 3R f _qi dt 3qf. " 3q. qi " U

^ i 1

Calculons

JL » 3R = ' A. 3R , ti 9Rdt qi 3q'. qi dt 3q'. q i 3q'.H i i l'-

On a donc

d i 3R it 3R 9R . / 1 N

dF qi v~ " q i a?7 "a57 q i = ° (1)

3R f 9R2 , 3R1 f 3WMais -— qf . = -— q'. + -— q'. + -— q'.

3q. i Bq. i 3q. i 3q. in'i i i i

soit d'après le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes

c)R n? = ? i ? + pJ>q. q i 2 R2 Rl

D'autre part

dR _ 3R i + 3R iidt 3q. 4 i 3qf . 4 i

3Rce qui permet d'écrire le terme -—;— q". sous la forme

q i 1

3R lf _ dR _ 3R f

3qf . q i '" dt'" 3q. q ii Hi

-^<vvv-^- «-i

- 707 -

La formule (1) peut donc s'écrire

, d (R +W+R )

£(2R2 + v—^diH- = °

dT(R2-w> -°

R2 - W - h

Cette relation est tout à fait comparable à l'intégrale première des forcesvives. Les termes linéaires en vitesse ont disparu. On pourrait l'obtenir àpartir de l'intégrale des forces vives en éliminant les vitesses cycliques.

B. Etude de la stabilité

Supposons que la fonction de Routh ne présente pas de termes li-néaires en vitesse. R se présente sous la forme

R = R2 + W

on a en outre

T2 - W = h

T« étant une forme quadratique en vitesses positionnelles.

Nous sommes donc exactement dans les mêmes conditions que pourl'étude de l'équilibre et de la stabilité d'un système à fonction de force oùl'on a

L = T+ U

T - U = h

T2 joue le rôle que jouait l'énergie cinétique T, W joue le rôle de U.

On peut donc énoncer un théorème tout à fait analogue à celui de Lejeune-Dirichlet.Il suffit d'échanger les lettres dans la démonstration.

Si pour un système de valeurs de coordonnées positionnelles3 la fonctionW présente un maximum relatif isolê3 la position d'équilibre est stable.

Remarque 1 : La fonction W joue exactement le même rôle que la fonction U. Avecles hypothèses indiquées un problème de mouvement stationnaire est identique àun problème d'équilibre. Rien ne peut distinguer la fonction W de la fonction U.Ceci a conduit HERTZ à la théorie des "mouvements cachés". Exprimons ce dont ils'agit sue le cas du pendule conique :

Si on prend un observateur lié au repère (R ) cet observateur peut

considérer le repère (R.) comme galiléen à condition d'employer la fonction de

force : 2Uj = W « mgr cos 0 - 2

py

2 mr s in 0


- 708 -

i o 2Vérifions le T = j m£ 6'

L'équation de Lagrange s'écrit

j_ !!i !!i_ndt 86' 36 96

âT aîT ?d 1 2ût, 9T . d U l . . gijr CQ.S 6- ^ ^ r - m r e - ; ^ = 0 ; — = - mgr sin 6 + -% —j-

mr sin 6

on retrouve bien l'équation

mr2e"--|4 £ 2 « e + £ s i n e = 02 4 . 3A rm r sin 6

2On peut donc dire que le terme - y --~ ?p- est du à un mouvement "caché11

mr sin 6

(que nous connaissons ici). L'idée de Hertz était que toute fonction de forceétait due à un mouvement caché. Ce qui permet d'interpréter tous les éléments dela mécanique en terme de cinétique.

Remarque 2 : Lorsqu'il y a des termes linéaires le problème se présente defaçon différente. Nous verrons que l'on peut stabiliser des positions statique-ment instables par"effet gyroscopique". Nous verrons que les équations du mouve-ment voisin du mouvement stationnaire ont une forme caractéristique. Nous étu-dierons ceci dans le chapitre suivant.

C. Exemples

1. Exem£le 1 : Etude de la stabilité du mouvement stationnaired'un point matériel soumis à une force attractive

en — .n

. . ' ^ •>OP = r Xj

(XQ, Xj) -.9


- 709 -

a) Energie cinétique T°

i 9 ? ?TQ = -j m (r

1^ + r 6' )

b) Fonction de force U

F - - -H- XF0/P " rn Xl

-K ' '

La puissance développée par F , est

P- FQ/p . V°(P) avec

V°(P) - rf XQ + ref YQ

/ = - y — . S'il y a fonction de force on ar

dU y drai= - 7 ÏÏT solt

U V——r + cte, , v n J(n-1) r

c) Lagrangien

L-jm (r'2 + r26'2) + H y

2 (n-1) r^1

d) Fonctions de Routh R et RO

R - L - geef avec

60 =jj± = mr20' ^ 8' --Si-mr

..^.(l.2+44,+ L_ - J2Î^ 2 z x N n-1 2

m r (n-1) r mr

R. imr'2- -i- + L_^

2 2 m r2 (n-Dr11'1

e) Existence d'un mouvement stationnaire

r « cte 0 f = cte2

On a ici w « - ' iL^ + H2 m r2 (n-Dr11"1

jw - 1 ee2 . JL3r * m ' 3 " nr r


- 710 -

La condition d'existence d'un mouvement stationnaire est donc

0=1. BSÎ-_H_m r0

3 r0n

f) Stabilité du mouvement stationnaire

La fonction W doit être maximum dans la configuration initiale :

(4 ) < o\3rVo

82W _ 3_ ge2 + n.y

3 r 2 - - m r4 rn+l

Mais dans la position stationnaire

0 = 1 e§î-_Lm 3 n

ro roon a donc

/ 32W\ y , .,

(ï?)o~7*™La condition de stabilité s'écrit donc simplement

n < 3

2- Mîë Ië-2«i-S H ê-âê-.Iâ«Ë£âkîii£§«âli->EêSâi!iê«£2SÎ21iê

(position inclinée)

Nous avons vu que la fonction de Routh était

R = lmr26'2 -ji- g» + mgr cos Qr sin 0

a) Condition pour obtenir un mouvement stationnaire

e = e0 y = *!0

1 3^On a W = - •«— —2 '•y- + mgr cos 0

23W 1 &ty cos 0 . A10 = m • "T ~37 ~ m ^ r Sin0

r sin 0

Nous avons vu qu'il y a une position stationnaire inclinée donnée par

cos 00 = — -yr H

- 711 -

b) Etude de la stabilité

o o / o o3 W &$ - sin 0 - 3 sin 9 cos 8 Q—- = ±X_ . _ - m g r cos 030 mr sin 0

2 2 2 23 W BiT sin 0 + 3 cos 0 mo .—-. = - _£_. . _ mgr cos 030 mr sin 0

o / / o o o

( 2 \ m r sin 00 ty^ sin 00 + 3 cos 00— \ = _ ; -. mgr cos 030 / 0 mr sin 00

2 2sin 00 + 3 cos 0Q

= - nigr - mgr cos 00cos 0Q u

1 + 3 cos 00s - m gr

cos 00 p -.cose0=JE.

L ° r^ J

—z- ) est négatif, par suite la position stationnaire est stable lorsqu'elle30Z/0 . ' . '/ existe.

9.2.7. EQUATIONS DES PETITS MOUVEMENTS AUTOUR D'UN ETAT STATIONNAIRE

A. Méthode directe

Dans les équations correspondant aux coordonnées positionnelleson peut linéariser en posant :

î =îo +î * l'i'î * q».. -q«.^ 1 1

On conserve dans les équations seulement les termes du premier ordre en q., qf . .

Exemple : trouver le mouvement voisin de lfétat stationnaire correspondant à laposition inclinée du pendule conique.

Nous avons vu que lféquation du mouvement en 0 était

e" - £fî- £2î- + 1 sin e = om r sin 0 r

et que sa condition d'existence du mouvement stationnaire donnait pour la posi-tion inclinée, toujours stable

" GOS eo 6^2 g .

3 24 + 7 s i n 6 0 = 0sin 60 m r


- 712 -

Posons e = e 0 + 0" •* 0" = ?"

sin 0 = sin 69'+ cos 0g . 0 +...

.3 2cos 0 cos 0Q - sin 00 sin 0Q - 3 cos 0g sin 00 cos 00 ___ s _— + £ 0

sin 0 sin 00 sin 00

. 2 2cos 00 sin 00 + 3 cos 00 __

= ___ - _ e +...sin 00 sin 00

2a cos 0o 1 + 2 cos 0ocos e _ o _ ° 7 +

3 3 4 * *sin 0 sin 00 sin 00

soit pour l'équation en 0

9r O I2 1+2 cos 00 "l cos 00 0,2F " + RrT ^ + f cose 0 ë -—^ ^L + l s i n e 0 = oLm r sin 60 J sin 60 mr

Compte tenu de la position stationnaire

T Bit2 1+2 C°s2eO a 1e" + -T4 À + f cos eo F • °L m r sin 8g J

Mais en tenant compte à nouveau de la position stationnaire

e*2 g . Q Sin3e°-Py - - sin 00

m r r cos 00

en portant cette valeur dans le coefficient de 0

3_ r g 1+2 cos 00 sin 00 g n0" + — T sin 00 . + — cos 00 0 = 0

L r sin 00 cos 00 r -*

2_ g 1+3 cos 00 _0" + - 0 = 0

r cos 00

Equation de la forme

?" + Q2 ? = 0

Equation que nous avons trouvée dans la théorie des petits mouvements autourd'une position à équilibre stable . La solution est

_ _ ë'06 = 60 cos fit + -pr— sin 81.

db


- 713 -

On a trouve une équation correspondant à un mouvement stable : ce résultat étaitprévu à priori, la forme de l'équation le confirme.

B- Obtention des équations à partir de la fonction de Routh simplifiée

Nous allons montrer que l'on peut écrire directement les équationslinéarisée à condition d'employer une fonction R développement de R au deuxième

D

ordre en q. et qf. .Mi n i

On sait que R = R(q.,q'. ). Développons R par la formule de Taylor au voisinage de

la position stationnaire.

. m * r / M \ - , ! / s» "l -, . 1 (( x / 3R \ - , i ( 3R \ -.1\E • <«o * iï, )0 »i + i£, (wr)0 *'i * ÎT |[iï, (Wj0 1 + iH Jo'iJ)

le symbole H 11 signifiant puissance symbolique ; mais dans la position

(3R \T— 1 = 0aqi/ o

••»»+W.ïl'**( r)o" *K'îrfe7). r'*b£%)0 ïiï-j-.

L'équation de Lagrange d'indice i s'écrit

JL 9R 9Rdt 8q'. 3q. U

H i Hi

En employant la convention de l'indice muet :i

8R _ / 3R \ / 92R \ -, / 92R \

^Y " V^Y ;0 V^P^Jo q j l^T/o q^

-1 _3R_ - / 82R \ -„ + / 92R \ -,dt 8,.£ ^,..3,.. J0 ^ j (3?TW-J0

q j

3R - / 32R \- . / 82R \ -,9qi \9£li **j/0 J \9cli 9 ( î j /0 ^

- 714 -

/ 32R A -„ T/ 82R \ / 82R \ 1 -, / 32R i -l^'jJo '^[^T^Jo'l^r^jyoJ M^rJo q; = ov i

Posons donc

* - / 32R \ . b* - / a2* \ / 92R \ . r* - ( 92R \aij - VSTTSqyo ' i J ~ V » i i 3 i j / o \ 3 q i 9 q j / o ' ij " \8 i i8V (

les indices 0 et * ayant même signification, l'indice 0 étant surtout destiné àrappeler lfétat initial.

Les équations linéarisées s'écrivent donc :w ___ jig ,__, k —__

a., q". + b.. q'. + C.. q. = 0 i=l,...,k1J J ij J ij J

ce qui développé donne :

ati ^"i +"-+ a îk^k + bn ^'i +"-+ bîk^k + cn ^i + '-+ ctk \ = °

a!i ?i +-"+ alk ^k + bli ^'i +'"+ btk ^k + cn ^i + '-+ cîk \ ' °

<i "i +-"+ 4 ^k + bki + '"+ bkk ^k + cki V-- * <k \ ' °

Ce système peut s'écrire sous forme matricielle

r * * n i—ni r-,* , * i i—. 1 -r * ~* 1 i— "Ian a ik q i f b n bik « i cn cik qi• • • • • • • • •

+ * + * * - n• • « ~ » « « T » , • ~ U

• • • • • • • • •

."ki • • • ; • akkj Lqtkj [bki bkkj fk j cki • • • • • ckk [\_

Apparamment ce système ressemble à celui que nous avons trouvé dans l'étude despetits mouvements autour d'une position d'équilibre stable lorsqu'il y a fonctiondissipation. Mais il est de nature bien différente.

Remarquons tout d'abord que* «

aij = "ji

C*. - C*.iJ Ji

i* i*mais b. . = - b. .ij Ji

les b.. sont ici antisymêtriques par rapport aux indices.i>3

- 715 -

3kD'autre part la matrice des b.. ne correspond pas à une dissipation d'énergie.

En effet, nous sommes dans le cas d'un système de solides parfaits à liaisonsparfaites avec fonction de force. Donc :

T - U = h : l'énergie totale reste constante.

Par contre dans le cas de petits mouvements autour d'une position d'équilibrestable en présence de liaisons imparfaites donnant lieu à fonction dissipationnous avons :

— (T-U) = - 2 $ : l'énergie totale est décroissante

•sk —les termes en b.. q'. sont appelés termes gyroscopiques et les systèmes où ils

apparaissent systèmes gyroscopiques. On trouve en effet ces termes dans les équa-tions du mouvement des gyroscopes.

C. Remarque sur la stabilité et Tes systèmes gyroscopiques$ —-

On constate que les termes b.. qf. proviennent des termes linéaires

en vitesses dans la fonction de Routh. Or s'il en est ainsi nous ne pouvons pasemployer la fonction de Routh pour étudier la stabilité. Il nous faudra étudierla nature des solutions. Nous consacrerons une étude spéciale à ce problème.

Exemple : Mise en équation du pendule de Wilson.


- 716 -

1 • Ç§l£Hl-de_L

Nous avons déjà obtenu les résultats suivants :

T° = | Pin£2 a'2 + Aa'2 cos2g + B (y' - a1 sin g)2 + A3'2 1

jr P / 2 2 1 2

U = - mg£ cos a - y Vr + a - 2 arcos 3 - (a-r) + cte

Le Lagrangien est donc

L = y |Aaf2 cos2g -H m£2 a'2 + B (y1 - a1 sin B)2 + Agt2|

,-— 2 "1 o- mg£ cos a - — yr •*- .a - 2 arcos g - (a-r)

^ • S2S££Î2S«.Ëê. 2H£îî

La coordonnée y est cyclique, a et g positionnelles.

Î T- - B (y1 - a1 sin 6) - cte = 6Y

R-l-ï'^r

R - L - y' . BY

y' - a' sin @ = - ; y' = a' sin g + -13 D

o

R = 4- KA Cos2e + m£2) a'2 + Ag'2 + %]2 L B J

- gy a1 sin g + - - mgX, cos a

-| |"Vr2 + a2 - 2 arcos g -(a-r)]2

R . 1 F (A cos2$ + mJl2) a'2 + Ag'2 J - gy sin ga1

- mg£ cos a - y V f2 + a 2 arcos B - (a-r)J

R = R (a,g,a',Bf,6Y)

R comporte un terme linéaire en vitesse.

3- E°§i£i2SS_S£â£i2BBâiEê5 ^a = cte» ^ = cte^

3R , .9l - mg£ 8in_^

15. . - K Vr2+a2 - 2 arcos g - (a-r) argin g93 7 2 * 2 """~"~""~~"""

\/r +a - 2 arcos 3


- 717 -

On a immédiatement les solutions

a = 0 3=0 a = Tt 6 = 0

a = 0 3 = ÎT 3 = TT 3 = ff

4. Stabilité

On ne peut faire l'étude de la stabilité à lfaide de R. Il nousfaudra écrire les équations des petits mouvements et étudier la nature des solu-tions, ce que nous ferons au chapitre suivant.

5. Equation des petits mouvements autour de la position |— . | £ _ ïï

Nous calculerons d'abord la fonction de Routh simplifiée R eno

ne conservant que les termes du deuxième ordre.

Posons a = a 3 = + 3

(mais nous ne sommes pas assurés que cette approximation est valable à priori).

La seule difficulté est de développer le terme avec radical :

X = - | [Vr + a2 - 2 arcos 3 - (a-r)]2 = X(3)

X = X(0)+ .-30 ' +1 " 2" o * "•

on trouve alors

YM\ - o . ( &} - 2 Kar2

V 3 g U" ' ^ 3 6 2 4=0 ~ a + *

d'où après des calculs immédiats— -, 2 9

RS = T I (A + m£2) "'2 + J - 3Y î à' + mg£ - + 2a l

a* J2

Les équations des petits mouvements s'écrivent alors :

H 9R<? 3Rc;d _S _ _S = 0dt 9â- aâ

A !!§ _ _ Qdt 3l' 9Ï

On a immédiatement

(A •*• m£2) ô"" - 3y ÏÏf - mg£ ôT = 0

A ?' + 6Y âf - 2 K^r î = 0a "T* r

- 718 -

6 • ln_2H2i-£2SË±S£Ë-Iê-Ë£ê îIîSâ£Î2B-.SZI2S£2E±3yêSupposons tout d'abord que le rotor ne tourne pas. On a alors

les équations avec 3y = 0 :

2 — —(A + m£ ) a" - mg£ a = 0

A ë" - iS£Î s - 0

Equations de la forme

a" - tii2 ô" = 0

ï" - Q22 0" = 0

Pour l'équation en a la solution est :_ fijt -fl^ta = A e + A2 e

La solution est instable. Nous sommes dans le cas de la statique (recherche dela stabilité dfun équilibre) et nous aurions pu trouver à priori ce résultat àl'aide du théorème de Lejeune Dirichlet.

Faisons maintenant tourner le rotor : gy 0

Nous ne pouvons pas, pour le moment avec l'étude faite tirer une conclusion sur lanature des solutions. Nous montrerons bientôt comment on peut étudier la stabilitéd'un tel système. Dans ce problème déjà traité en exercice (th. généraux) nousavons vu que si le rotor tourne suffisamment vite on peut avoir un état station-naire stable. La position a = 0 ; 3 = TT qui statiquement est instable a été sta-bilisée en faisant tourner le rotor. On dit qu'elle est stabilisée gyroscopique-ment.


5ÈME P A R T I E

MÉTHODE GÉNÉRALE POUR L'ÉTUDE DE LA STABILITÉ


- 719 -

La méthode banale pour étudier la stabilité serait de chercher lasolution du système différentiel. La complexité des systèmes de la mécanique nousinterdit pratiquement cette voie d'accès. Une simplification importante du systè-me réel est obtenue en faisant un développement au premier ordre près des fonc-tions qui interviennent dans les équations. On dit que l'on a linéarisé les équa-tions. Le système simplifié obtenu est dit système linéaire associé (système dif-férentiel linéaire à coefficients constants). On étudie alors la stabilité de cedernier. Mais alors se pose le problème de savoir si nos conclusions sont vala-bles pour le système réel. On peut donc envisager l'étude de la stabilité sous laforme suivante

- Ecriture des équations du mouvement(Lagrange ou théorèmes généraux)

- Recherche de l'état stationnaire

- Linéarisation des équations

- Etude de la stabilité du système linéaire associéNous montrerons qu'il n'est pas nécessaire de chercher effectivementles solutions (critère de Routh)

- Justification de la linéarisation(Théorème de Liapounov)

Remarque : II est bien clair que cette méthode peut s'appliquer à l'étude de lastabilité des équilibres et de tous les états stationnaires. Mais nous voyonsqu'elle exige l'écriture des équations comme nous l'avions déjà signalé. C'estpourquoi nous l'avons appelé méthode à posteriori.

9.3.1. RECHERCHE DES ETATS STATIONNAIRES

Dans l'état stationnaire certains paramètres restent constants alorsque pour d'autres ce sont les vitesses qui -restent constantes. On cherche à quel-les conditions ces solutions vérifient les équations du mouvement. Les relationstrouvées sont les conditions pour avoir un état stationnaire. Nous avons maintesfois déjà pratiqué cette méthode au cours de problèmes résolus soit par les théo-rèmes généraux, soit par les équations de Lagrange.

Considérons par exemple un système à deux parmaètres q et q .

Les équations de Lagrange s'écrivent :

JL 8T 9Tdt Bq'j " 3qj = ^1


- 720 -

_d_ C)T c)Tdt dq'2 ~dq2 " 2

Supposons que T = 1 jan q|2 + 2 aJ2 q'r q«2 + a22 q'

2 1

all = all ( ql ) 5 a22 = a22(ql} ; a!2 = a!2(ql)

on a (chapitre VIII - Système à deux paramètres p.615)

M tt 1 âll i2, â!2 1 â22l i7. âll î t /-ian qï + a12 qg + j -^ q{

2+ [ - j J qi2+ U- qj q^ - Ql

it tt 1 Sa 7 9 »? â!9 1 âll i 2 , â92 ; f â12q\' + a22q'd +I^q^

2 + L^- lïqfj

qi +3^f ql qi =

Q et Q2 étant des fonctions de q , q^, q^ , q'2 •

Cherchons à quelle condition il existe un état stationnaire :

q1 = cte « q}

q!2 = cte = q'2*

on a immédiatement

q'j = 0 ^ q", - 0

q"2 = o

les équations deviennent en y portant ces solutions :

_i !!?i a,*2 _2 3qj q2 " Ql

0=Q 2

*La résolution de ces équations donne les relations qui doivent exister entre q ,

q' pour qu'il y ait un état stationnaire. Si- ces équations ont une solution le

rrouverr&nt stationnaire est alors possible. En général^ il y a une discussion sur

la possibilité du même genre que celles faites en statique lors de la recherche

des états d'équilibre.


- 721 -

Exemple : Régulateur de watt asservi

Le système est constitué de 8 solides (Sn)...(S ) disposés cotrane l'indique la

figure. Les solides (S ) et (S/) sont en mouvement autour d'axes orthogonaux et

concourants du solide (SQ). Les liaisons (S )./(SQ), (S )/(SQ), (S )/(S ),

(S5)/(S3), (S6)/(S3), (S5)/(S3), (S?)/(S6), (S7)/(S,) sont des liaisons rotoïdes

parfaites. La liaison (S~)/(S ) est une liaison verrou imparfaite.

A (SQ) on lie (RQ)

Zn vertical descendant porté par l'axe de la liaison (S.)/(S~).

->Xn direction de l'axe de la liaison (S,)/(Sn); sens arbitraire.

V'WA (Sj) on lie (Rj)

-»- -*•zo- zi-+

X1 arbitraire

Y, - Z, A ÎJ

On repère la rotation de (R )/(R ) par

* = (XQ, X,)

(On prendra garde au fait que la figurç est faite dans le cas particulier où

x0 = V'A et A' sont deux points de(R ) tels que

OjA = a Xj OjA' = - a X (a>0)

->•Le solide (S ) a un moment d'inertie négligeable par rapport à l'axe Z . Le

"*"solide (S ) est lié à (S ) par une liaison rotoïde d'axe (A, Y ). Il est consti-

tué d'une tige AG de longueur £ et de masse négligeable terminée par une massem •* "* "*"

ponctuelle de valeur y . A (S ) on lie le repère (R2) : (A, X2, Y2, Z«).

z -^Z2 a-> ->

I2'!1X2 = Î2 A Z2

On repère la rotation de (R2)/(R ) par

6 = (Zj, Z2)

->•

Le solide de (S..) est lié à (S.) par une liaison verrou imparfaite d'axe Z , la

liaison donne lieu à fonction de dissipation, le coefficient étant b. Soit 0«un point de l'axe. B et Bf sont deux points de (SQ) tels que 0QB = à X ,—*- -> j 3 10«B' = - a X . Le solide (S ) est une tige GB de longueur £, de masse négligeable

qui relie (S3> et (S2).© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 722 -

Au solide (S.) on lie le repère (R ) :

*4 = *o->Y. arbitraire4

- > • - > • - » •Z, = Xy A Y.4 4 4

On repère la rotation de (R,)/(RQ) par :

* - <v VUn galet lié à (S ) et un plateau lié à (S,) sont en contact de roulement sans

glissement en I. (En fait il s'agit de deux engrenages). Le moment d'inertie de->

(S.) par rapport à X, est !.. Les solides (S.) et (S7) sont identiques respecti-

vement a (S.) et (S ).

Un ressort de raideur K attaché à (S ) en D et à (S ) en 0 relie (S ) et (S ).

Lorsque 8 = 0 le ressort est sans contrainte.

Un moteur M applique à (S.) un torseur

V0

TM _*

STCM*o

Un récepteur R applique à (S.) un torseur

F = 0TR -?

CR=CR;O

On posera G + C = C et on admettra que C = C(6) .

' • î?ÎËË«Ë2-.£SHâ£Î2S_EâE-iâ«S§JEîî2âê-âê.LêSI§SÊê

a) Calcul de l'énergie cinétique T°

T° • T + T2 + T3

T! v = 0 si lfon néglige la masse de ce corps

To _ 1 /Z? \2T(2) - 2 m (V(G2) )

en négligeant le terme — 2 ^r ^2

" (G2) = ~ (A) + °2 A

V°(A) = a r Yj

- 723 -

H sin <j> 0

ÂG^ = 0 ; n°2 = 81

£ cos 6 R ijj ' R

£ 6' cos 6

a°2 A AG2 = £ if*' sin 6

- £9' sin ê R

£ 6'cos 6

V°(G2) = (a + £ sin 6) ij;'

- £ 6' sin 6L JR1

V°(G2) = £2 6 '2 + (a+£ sin 9)2 <J, '2

T°(2) = 7 f f*2 9 '2 + (a+Ji sin 6)2 *'2 1

a

T°(3) = j M V°2(B) Ô?= a

2 £ cos 0 _L JR

0

r oÎO(B> = °

- 2 £ sin 9 8' _

T(3) = î M * 4 ^ 6 '2 sin2e

^ « • î ^ * ' 2

Mais il y a roulement sans glissement en I->jV,(I) = 0 ce qui donne immédiatement

R4 <f>' - R2 = 0

Par suite de cette relation semi-holome T. peut s'exprimer en fonction de ij;1

T°4 « \ \ < îj ' *'2

R 2n "î1^'2 -ec I = I4 (^>

- 724 -

L'énergie cinétique totale est donc

T = -j m £2 0f2 + (a+£ sin 0)2 tyf2 + 4 M£2 6f2 sin 0 + I i^f2

T = j (m + 4 M sin20) £2 0f2 + I + m (a+£ sin0)2 ij;'2

b) Calcul de la puissance virtuelle développée par les actions mécaniques

A£ti22s_de_2Ësanteur yP

II y a fonction de force :

rr\çy ÇU = 2 Mg£ cos 0 + 2 =*£ cos 0 + cte

U = (2 M+m) g£ cos 0 + cte

(çffî = " (2 M+m) g£ sin 0 0 ' *

££Î22S-ËH-.£êSËort (pfi 9

II y a fonction de force

UR = - f (L-L0)2 + cte

L = 2 £ cos 0 - b pour 0 = 0 L = LQ

L 0 - - 2 i - b

TT 4 K£2 2R " " —2— ^ " COS ^

/OP* - - 4 K£2 (1 - cos 0) sine 0f*

X-TN*Actions du moteur et du récepteur M

„.„«.«« „— -™« — A. -.«. /

S=CM^o

Vy*o^-(CH* V*'*

é^-^vîj *•"


- 725 -

/D*Actions des liaisons C9/ ,

^ 4Elles donnent lieu à fonction dissipation

* = yb ( Vj)2

1 ? ? ?4> = Y 4 b£ sin 0 01

é?;--&••*(5/3* - - 4 b£2 sin2e e'.e1*'

La_£uis sance^virtue11e_totale^est_donc

(jb* = - (2 M+m) g£ s in0- 4 K£2 (1-cos 0) sin 0 - 4 b£2 sin20 0 f 0 f *

* < C M + V 5 [ *'*

De la forme générale

^* - Qe 6'* + (^ #•* avec

QQ = - (2 M+m) g£ sin0- 4 K£2 (1 - cos 0) sin 0 - 4 b£2 sin20 0f

a

% ' + (CM + V T^

c) Eguation_de_Lagrange oc( ) eto (6)

**f/i\ d 8T 9T no . : dF^T"9?= %

- = fi + m (a+A sin 6)2 J *'

A Jl. . |i + m (a+jt sin 6)2 U" + 2 m (a+Jl sin 9) A cos 6 ^ '6 'dt oip I J

II _ n84» ~ °

r 2! RiI + m (a+SL sin 6) U" + 2 ml (a+H sin 6) cos 9 i^'e' = (CM + CR) - (1)

- 726 -

C/?/0. d 8T 3T nc£(e) =JÏW- a?' Qe

rvm O O

•^T • (m + * M sin 6) JT6 'ou

:r- "^T = £2 (m + 4 M sin20) 6 + 8 M £2 sin 6 cos 0 0'2

dt ou

3T 2 2 2~ - 4 MA sin 0 cos 0, 0 f + m (a+H sin 0) £ cos 0 . i|;f

ou

£ m + 4 M sin20 0" - m (a+£ sin 0) £ c o s 0 ^ f 2 + 4 M£2 sin 0 cos 0 0 f 2

+ 4 b£ sin 0 0 f + (2 M+m) g£ sin 0 + 4 K£ (1 - cos 0) sin0 = 0

(2)

^ • lîâJÈ-,Ë£â£Î2SB§îrêLe régulateur est destiné à obtenir une vitesse de régime c'est-à-

dire à faire tourner la machine à une vitesse constante

i(;f = cte = o)

L'équation (1) donne

CM + CR = 0 (3)

ceci exige que l'angle 0 reste constant ; ce qui entraîne

0 = 0 + 0' = 0 -*• 0" = 0

L'équation (2) devient

- m (a-»-£ sin 0 ) £ cos 0* w + (2 M+m) g£ sin 0* + 4 K£ (1 - cos 0*) sin 0* = 0 (4)

Cette équation définit la configuration du système dans l'état stationnaire. Lescaractéristiques géométriques étant par exemple fixées elle donne la relation entre

*0^et 0 e Elle peut être résolue de différentes manières. Si elle a des solutionsl'état stationnaire existe. C'est ce que nous supposerons par la suite.


- 727 -

9.3.2. LINEARISATION DES EQUATIONS

• * —q. = q. + q. pour les paramètres qui demeurent constants dans

n l'état stationnaireOn pose ^f* —qf. = q . + qf. pour les vitesses qui demeurent constantes

On développe toutes les fonctions en q., qf. jusqu'au premier ordre. Ensuite on

conserve seulement les termes du premier ordre.

Reprenons notre système à deux paramètres en q , q

fqi = v + qPosons -

q 2 = q 2* + q2

r * 9an * -an = an + (-â?7) qi +-"

* (*aK^ -

a22 = a22 + (- -? qi + '-'

a!2=aÏ2+ (- f } ?1 + -"

h»

9 ail 9 ail * ^ll * --T1 = (-ÏÏT1 > + (—T- > «li +-"3ql 9ql 9q2 '

C

9a22 9a12On procède de même pour -r et -r

^Qj oQj

O »*kO ^ O

q2 = q2 + 2 q2 q?2 + q2

^

,2 f*2 0 t* -f2qi ^ q2 + 2 q2 q2

« 3Q, * _ 9Qi * _ 3Q, * _ 9Q9 *_

"l-'l*^ ql+(^> «2*(1^-> ''l*' » '2 +-"<

Q2 - Q* +...

b»

La première équation devient :

* -„ . * -„ 1 f /9a22 •? ( 9 a22 N - 1 , ,»2 0 ,* -, x

all q 1 + a!2 q2 - 2 L } + (77-} ql J ( q2 + 2 q2 q2 }

3Q * 8Q * 3 Q * 9 Q *= QÎ+^) qi + (34> ^2+(3Ï7> ^'l^âqf^^

- 728 -

En négligeant les termes du deuxième ordre dans les produits et en tenant comp-te de l'état stationnaire :

1 ^322 v* * 2 *- - ( —— ) (a1 ) = 02 ^ ôqj q2 ; qi

on a : 2

* -„ -L * "M 1 / S 322 x * , ,*v - , 5322 x* f * v -'all ql + 312 «2 ' 2 < T— ) (q2 > ql " ( • } (q2 } q2o-qj 9 q-t

ôQi * SQ, * ôQi * 9Qi *= ( _A >* -t + ( _! >%2 + ( _1 >* q, + ( _i )%,

aqj. 5q2 ôqj ôq2

Soit encore :

* * 5Q1 ("1 ô^oo . j, « 5Q.J .1ii i ""ii / •"• \ ""• M- / *-£\ t * \* _i_ / 1\ t

allqï + 312 q2 - ( —T } qî - 2 ( * } (q2 } + ( —T} J q;ôqj L dqi ôq2 2

2[ , 0 3 , , ^ ÔQ1 *1 _ ôQ1 _l ^^ • j. /• 1 ^ / l^ n-b ^rq^ + < s r } J q ' - ( ^ ) ^ = 0

L'équation en q« devient :

* - . . « ^a22v* * - * ^2v* - ô<^2 x* - ^2 x* -«12"ï + '2212 + < Sïf > 12 V = «2 + < 5ïf> "1 + ( Sïf } "2 + < âîf } "^

8Q2 *_+ ( s f ) "5

soit :

* - - ôQ? *_ 9Q? * ôQo *_ ÔQ? * _a12 ,« + a,, q.. - ( > qi-( ) q2 -. ( > ^ - ( ) q£ = 0 .

Exemple : reprenons le régulateur asservi :

* — _Posons 0 = 9 + 9 Yf = CD -f Y1

91= 91 y" = Y"

Qff= g»

sin0 = sin(9 + 9) =* sing -f cos9 9. * -. * * -

cos9 — cos(9 + 9; =* cos9 - sin9 9

Yf *• a)2 •*- 2tt)' ?f

S) + cR = c = c%(||)*9+...

«ii + S i - 0 * + * 5ti2££EiS2îî22.ÉS.5Çiï2 : on a • immédiatement :

- 729 -

f\ JL ju ^U

[ I + m(a + i sin 0 )] Y" + 2m4 (a 4* JÈsinQ ) cos0 u) I1

= [ < * + < ! i > * ê ] t;

Mais en tenant compte de lyétat stationnaire (équation 3) : G =0Dfautre part lorsque la vitesse augmente le réglage doit être tel que le cou-ple diminue, donc lorsque Q augmente C doit décroître. Ce qui revient à dire que

( )% °Finalement l'équation linéarisée en Y est donc :

[I + m (a 4- jfcsin2©*)] Y" + 2mj&(a + Jfcsin0*)cos0*u) 0' - ( || )* § = 0 (!')06

Linéarisation de X (Q) :

f \ 0 ^t — "9e ^t —- *k ^ç — O —& [m + 4Msin 9 ]0" - nu6(a + jfcsinQ + JLcosQ 9)(cos0 - sin0 0)(u) + 2 twï)

+. 4bX2sin20*ë' + (2M + m)gl sin©* + (2M + m)gjîcos0* 0

0 St ^t L ^t ^t

+ 4K£ (1 - cos6 + sinQ 0)(sin0 •+ cos0 0) = 0

2 2 * — * * 2 * * —H [m + 4Msin 0 ]0" - rn^Ça + Isin0 ) . cos-Q OD - 2o^m(a + £sin0 )cos0 Y1

2 * 2 * 2 —- nui [Acos 0 u) - (a + Jt sin0 a) ] 0

+ 4b£2sin20* 0f + (2M -f m)-gAsin6* + (2M + m)gjtcos0* 0

+ 4KX2(1 > cos9*)sin0* 4- 4O2 [sin2©* + cos0* - cos20*] ê = 0

Mais en tenant compte de l'état stationnaire (équation 4) les termes constants(soulignés) disparaissent.L'équation linéarisée ££(0) s'écrit alors :

A2 [m + 4Msin20*]0" -f 4bjK2sin20* 01

2 2 * * 2 *x 2 2 * *\ *+ { 4KA (sin 0 + cos0 - cos 0 ) - nufcm [Acos 0 - (a H- Asin0 )] sin©

-f (2M 4- m)g£cos0 } 0

*v '* —- 2uùJfcm (a 4- jÈsin© ) cos0 Y1 = 0 (2')

Nous pouvons encore utiliser l'équation 4 pour simplifier le coefficient de 0.Ceci est très important en pratique.

Désignons par G le coefficient de 0

2, 2 * * 2* 2 * * 2 *C = 4K£ (sin 0 + cos0 - cos 0 ) 4 - mJ&o) [(a H- Asin0 )sin© - JLcos Q ]

4- (2M 4- m)g£ cos©

- 730 -

Dfautre part nous avons lvéquation (4) :

* * 2 * 2 ' •* *-m(a + j£sin0 Hcos© eu + (2M 4- m)gjC sin© + 4KJÈ (1 - cos0 ) sin© = 0

Le coefficient C peut sfécrire s

G = 4K42sin20* + 4Kje2cos0*(l-cos0*) + (2M4m)g^ cos©*

2 *\ * 2 2 2 *-f nufcu) (a 4- 4sin0 ) sin0 - rrd u) cos 0

G = 4K42sin20* 4 cos0* [4Kj£2(l-cos0*) 4- (2M 4 m) gjfc]

2 *. * 2 2 2 *H- nuCoD (a -f- £sin0 )sin0 - m£ CJD cos 0

d'autre part (4) peut s'écrire :if ^ 9 V^ 9 ^

0 = - m (a + A sin 0 ) 4cos0 oo + sin© [4Kj6 (1 - cos0 ) 4- (2M + m) g£ ]

* 2 */Tr / ,2 *v , /ovr _i_ ^ a nuR (a -I- jfcsin0 )q) cos0on peut en tirer : 4iCC (1 - cos© ) + (2M + m)g£ = ——^ *—

sin0

C = 4KJ62 sin29 4- O)2 «A <a + X sin0^) cos20'r

sin 9

2 *\ * 2 2 *2•f inCoo (a -f JÎ sin Q ) sin 0 - m SL eu cos 0

G = 4KA2sin2e* + «2m£ [ (a + ^sine*)cos29* + (a + ^ sine*)sin9* . jjçosV]sin©

22 2 * t u nui 2* * 2 * 2* 3 * 2 *

C = 4K£ sin 0 •*• ^ [a cos 0 + JÎsin© cos 0 + asin 0 4- JÈsin 0 - jfccos 0 sin0sin©

G = 4K£2sin29* + * [' a + Jt sin39* ]sin0

Le coefficient C est positif ce qui n'apparaissait pas du tout dans l'expressionde départ.

Nous avons maintenant un système linéaire à coefficient constant de la forme

an ë" + al2 ?" + bn ë1 + b12 ?• + cn 9 + c12 ? = 0

321 9" + a22 " + b21 Q' + b22 ' + C21 Q + e22 = °

avec ici :

au = £2(m + 4M sin2 6*) a22 = + m(a + jesin29*)

a12 = 0 a21 = 0

- 731 -

bn = 4b42sin2e* b22 = 0•Jç tfç Jç mlç

b!2 = " 2 ^ A m^a + ^Sin9 )COS9 b2i

= 2a) A m(a + 4sin0 )cos0

cn = 4 K J£2sin20* + iSJSL^ [a + JÈsinG*] c22 = 0sinQ

«12 ' » «a - - ( H >*

9.3.3. STABILITE DU SYSTEME LINEAIRE ASSOCIE

La linéarisation nous conduit à un système linéaire, donc de laforme déjà rencontrée dans la théorie des petits mouvements avec fonctiondissipation (8 - 666) :

a., q+...+a±j qj+... + a.n^ +

bil qî + '" ij qj + "• + ain q' + " i = 1»"*'n

cil ql + —^ij qj + •- + cin qn = ° a.. = Cte

bij = Cte

c.. = CteOn pourrait le mettre sous la forme : « ^

qï qî qi—i * * r— — *

aij qj + bij qj + cij qj =0• • •

— JL -!Lqfî qf qHn Hn Hn*- J L J L

Mais cette fois le problème est bien différent. Nous n*avons pas de renseigne-ments généraux sur les b.. et les a..•

— r tOn pose q. = A. e (théorème des systèmes linéaires)

q! = A. r eJ J

-i. * 2 rtqf.! = A. r eJ J

en partant dans les équations on obtient le système linéaire en A. ••• A. •••An J


- 732 -

All>llr2 + bllr + Cll^ + — + Valjr2 + bljr + CljJ + — + Valnr2 + blnr

+ ClJ = °

« Va^r2 + bur + c^] + ... H- A^a^r2 + b..r + c..] + ... + Aja./ + b^r

+ CiJ = °

Vanlr2 + bnir + Cnl^ + — + Ajtanjr2 + V + Cnj^ + — + An^nnr2 + bnnr

+ c ] = 0nnj

Pour que ce système linéaire en A. admette une solution autre que la solutionbanale il faut et il suffit que son déterminant soit nul :

A = 0

C'est une équation de degré 2n en r. Elle est de la forme

2n , 2n-l , _V + a i r +.- + a2n = 0

Lorsque les racines sont simples la solution générale est de la forme :r. t r. t r0 t~" * l - i • * k , . . 2n

qj J! * +--+Ajk

e +^-'fAj2ne

A. Nature des solutions de l'équation caractéristique pour avoir unsystème stable

!• Cas de racines imaginiares»rkfc

rk = œk + i PU '- ij = A j k e

La racine imaginaire conjuguée s'écrit :

\ = • i pk - «ij = A jke r k t ^Dans la solution générale les solutions correspondant à ces deux racines ima-ginaires conjuguées s'ajoutent*

Nous avons vu que l'on peut écrire (672)

^k + ^jk = p j k e k cos%t + VPour que la solution reste bornée &. doit être négatif ou nul.

2« Cas de racines réelles.

VUne solution telle que q. = A., e avec r, réel ne peut corres-

pondre à un mouvement stable que si ^ J r, est négatif ou nul.

La condition nécessaire et suffisante de stabilité est donc que l'équation carac-téristique n'ait ni racine positive ni racine imaginaire à partie réelle positive.


- 733 -

II s'agit maintenant de trouver un critère commode pour trouver la nature dessolutions dès l'équation caractéristique.

B. Critère de Routh

Soit une équation de degré n. On peut toujours la mettre sous laforme :

ao ylï + al ^^ + •" + an-l y + an = °

avec a > 0

Plusieurs méthodes sont possibles pour étudier la nature des racines. Citonsles deux principales :

- la méthode de ROUTH- la méthode d'URWITZ

Nous utiliserons la méthode de ROUTH bien adaptée à la mécanique.

1. Procédé.

Voici comment on procède. On dresse le tableau dit tableau deROUTH.

a a^ a/ a , • • •o 2 4 6

a«. a « a - a^ • • •

V2 ' Va aia4 - Vs a ia6-aoa?

a3(ala2 " aoa3) a5<a!a2 - a

0a3) •"*

-al(ala4 - aoâ5} -al(ala6 - V7)

. . . . .... ..•• ..... •••

1 8

4 12

32 - 12 = +20 0

20 x 12 = 240 0

0

Exemple. Prenons 1féquation

y3 + 4 y2 + 8 y + 12 = 0

Le tableau s'écrit :

On constate que tous les éléments de la première colonne sont positifs. Lesystème est stable.

- 734 -

On continue le tableau jusqu'à ce qu'on obtienne un zéro à la fin de chaquecolonne. Le théorème de ROUTH s'énonce ainsi :

1°) Pour que l'équation proposée ait ses racines à partie réelle négati-ve il faut et il suffit que les éléments de la première colonne soient touspositifs»

2°) Si les éléments de la première colonne changent de signe le nombrede changements de signe donne le nombre de racines à parties réelles positives»

Remarque 1•On montre encore le résultat suivant :Le fait de diviser ou de multiplier une ligne par un même nombre posi-

tif ne change rien au résultat. Ceci est très important pour simplifier aufur et à mesure les résultats.

Remarque 2.Il arrive parfois que le critère de ROUTH tel que nous l'avons indiqué

tombe en défaut. C'est le cas par exemple où le premier terme d'une ligne outous les termes d'une ligne peuvent être nuls. Il existe plusieurs procédéspour lever la difficulté. Parfois dans un tel cas une étude directe permet delever la difficulté. C'est ce qui se passe dans les systèmes gyroscopiques .Nous avons déjà utilisé un tel procédé.

2. Comment se présente l'utilisation du critère de ROUTH .

a) L'équation est à coefficients numériques.

Le système est stable ou non. II n 'y a pas possibilité de modi-fier son état.Supposons par exemple qu'un système ait pour équation caractéristique

y4 + 6y3 + 16y2 + 26y + 15 = 0

1 16 15

& (3) ïfr (13) 0

48-13=3£ (7) 45-0=Z»Ç (9) 0

91-27=^ (1) o 0

9 0 0

0


- 735 -

b) Lféquation a des coefficients contenant des paramètres»

Cfest en général comme cela que se posent en mécanique lesproblèmes. Suivant la valeur que l'on donne à telle ou telle donnée, lesystème est stable ou non. La stabilité est conditionnelle.exemple : Supposons qu'un système ait pour équation caractéristique :

r4 + 6r3 4- llr2 + 6r + K = 0

1 11 K

• • Les conditions6 6 0 Les conditions de

Rt-aMIîté sont

66-6 = <$ (10) & (K) 0 ST. K> 0

ty-* UO-K) 0 soit K >°

0 < K < 10K (10-K) 0

0

3. Formules pour les équations de degré 2, 3, 4.

2a) Equation du second degré : a x - f a 1 x - f a 0 = 0— * v O L . •£,

a a0 Les conditions de stabilité sont donc :o 2 ^

ao > Tous les coefficients doiventa. 0 a. > 0 > être positifs.

a2 > 0ala2 °

0

3 2b) Equation du Sème degré s a x - f a x + a0x + a = 0

a a0 Les conditions de stabilité0 — — — — — . - sont donc :

«*a > 0

a a3 o1 J al > 0

a. >. 0 La a, -a a, 0 2 Ç

a3 > 0

a3(ala2-V3) ° ala2-aoa3> °.J

0

- 736 -

Tous les coefficients doivent être positifs et en outre on doit avoirla relation supplémentaire :

ana0 - a aQ > 01 2 o 34 3 2

c) Equation du 4ème degréi a x 4- a.x + a0x 4- a0x -f a, = 0. " O 1 £. J 4-

On a les conditions : a >0 (1)

*! >0 (2)

a l a 2 - a o a 3 > 0 2

(3)

a3(ala2 - aoa3) - ala4 > 0 (4)

Vl>3(ala2 - a^) - a^ ] >0 (5)Les relations (4) et (5) entraînent a, > 0

les relations (3) et (4) entraînent a^ > 0

mais a , a., a étant positifs on a a« >0

Avec les résultats précédents si (4) est vérifié (5) lfest ainsi que (3).Les conditions sont donc : <n

a > 0oa- > 0

a2 > 0

a > 0

a4 > 0

a3(ala2 - V3) - aîa4> ° -

Tous les coefficients doivent être positifs et en outre :

33(ala2 - aoa3) - aia4 >0

S2 a4

al 33 °

ala2 - aoa3 ala4 °

a3(ala2-a0a^-a\ak ° °

ala^a3(ala2-a0a^-a\a^ ° 0

0 0 0

- 737 -

C- Exemple d'étude de stabilité d'un système mécanique

Reprenons les équations du mouvement du régulateur asservi :m

'n 8" + bn 9' - b21 *' + cll 9 = °

". *22 *' + "21 ë' - < 1 >* ? 0 Tous les coefficients sont positifs sauf ( rr ) qui est négatif.

Posons 9 = Xx ert - ëf = X^ r ert - 9" =Xj_ r2 ert

Y = X2 ert - ?' = X2 r e

rt - ?" =X2 r2 ert

On obtient le système linéaire en X. et X«

[anr2-fb11r-f cu]Xl - r X2 = 0

[b21r - ( ff )*] Xx + a22 r2 X2 = 0

Pour que ce système admette une solution autre que la solution banale ilfaut et il suffit que le déterminant soit nul.

[an r2 + bnr + cn ] a22 r

2 + b21 [b21 r - ( | )* ] r = 0

r [.n.22 r3 + bn.22 r

2 + (cn.22 + b^^r - b^ ( || )* ] = 0

La solution r = 0 donne une solution constante, cela signifie que l'onpeut étudier le mouvement perturbé à partir de n'importe quelle positionde l'état permanent. Il reste donc à étudier la nature des solutions cor-respondant au crochet, c'est-à-dire à l'équation du Sème degré

ana22 r3 + bna22 r

2 + (cna22 + b )r - b'21 ( || )* =0

Equation de la forme :

3 2a r +. a.r + a0r 4- aQ = 0o 1 2 3

On constate que tous les coefficients sont positifs. Il reste donc commeseule condition de stabilité :

a-a0 - a a0> 0 soit1 £. O 3

blla22(alla22 + b21> + alla22 b21 ( 1 )*>0

soit encore

bll<cll-22 + b21> + allb21 (i)%°

avec ( |§ )* < 0ob

On voit que ceci s'écrit aussi :

H ^ f S C > * Sll b21bll>-(ôê)-- —2

C11S22 + b21

- 738 -

2 2 *or b-. = 4bj£ sin 0

b étant le coefficient dfamortissement visqueux.

Donc pour assurer la stabilité il suffit de prendre un amortissement suf-fisant» Mais il ne faut pas croire que le résultat est général en mécani-que.

La théorie de la stabilité est née pratiquement au sujet de la ré-gulation des turbines. On constatait que l'instabilité allait croissantavec l'amélioration technologique qui correspondant à une réduction dufrottement. Il fallait donc augmenter artificiellement l'amortissement.On peut également montrer que l'augmentation des masses et des inertiesdu fait de l'augmentation de la puissance des installations était défavora-ble à la stabilité.

D. Cas des racines multiples

Si les racines sont simples nous avons vu que la solution généralepour chaque paramètre était :

V V T2ntqj==Ajle +...+Ajfce +...+A.2ne

Si des racines sont multiples le problème en fait se complique. Supposonsque la racine r, soit une racine multiple d'ordre & :

r, = m multiple d'ordre &

D'après la théorie des systèmes différentiels on sait que la solutiondoit être cherchée sous la forme

r t r tq. =AjXe

l + ... +[Lo + Llt+ ... +1.^^^ emt . ... + A^e 2n

(les coefficients 1 , L2,..., l*a-l pouvant d'ailleurs être nuls. On connaîtdes conditions générales pour qu il en soit ainsi).

Ce qui peut faire changer nos conclusions c'est la présence de la so-lution particulière :

«jp = CLo + Llt + — + Vl t*~1 ]emt

1) Cas d'une racine multiple réelle.

La condition de stabilité était que m soit négatif. S'il en esttoujours ainsi q . -* 0 pour t -* œ f quel que soit le polynôme en t. Notre

conclusion n'est pas modifiée par rapport au cas d'une racine simple.

•2) Ç?E_él.ïîïLE-£ine-imaëiniare multiple.Rappelons qu'à toute racine imaginaire correspond une racine

imaginaire conjuguée. Supposons donc qu'il y ait a paires de racines ima-ginaires conjuguées.

rk = a + i (3

r^= a - i B


- 739 -

La solution se présente donc pour chaque paramètre q. sous la forme :

q. =A. i er i t+ ... + [L + L . t + ... + L 1tQf-1]e<a+ie) t

J J 1 O 1 cy — 1

• +lL' ' + L ' t + ... + L ' , ' e ( û f - i e ) t +- . . . + A 0 er2nt

o 1 o"-l 2n

C'est la solution particulière :

q. = [ L + L . t + . . . + L .t°-1 ] e<«+ie>tjp L o 1 a-1

+ [L« +L't + .... + !• . t0^1] e(Q/-lP)tL o 1 a-l

qui peut modifier nos conclusions. On peut l'écrire en passant aux lignestrigonométriques

q. = eat [M cos pt + NQ sin pt + t(M1cos pt + NI sin pt) + ...].

La conclusion sera maintenant toute différente suivant que a est négatif ounul,

* s* a < Q q • "* 0 pour t -» 0

la conclusion valable pour une racine simple n'est pas modifiée* si a = 0

les racines sont imaginaires pures.1,1 y a instabilité ou stabilité suivant que dans la solution particulièreq. il y a effectivement ou non des termes en t, car un terme tel que

tcos pt rend le système instable.Il faudra donc dans ce cas faire une étude plus complète.Nous pouvons résumer cette discussion ainsi :

Des racines multiples ne changent pas la stabilité lorsqu'elles sont à partieréelle négative. Elles peuvent rendre le système instable si elles sont àpartie réelle nulle.

9.3.4. VALIDITE DE LA LINEARISATION. THEORME DE LIAPOUNOV

Le problème est de savoir si la stabilité du système linéarisé associéentraîne la stabilité du système réel. La réponse est donnée par le théorè-me de LIAPOUNOV.

Théorème.Si toutes les racines de l'équation caractéristique du système linéa-

risé ont leur partie réelle négative, la position d'équilibre est stable.Si une au moins des racines de l'équation caractéristique du système linéa-risé a sa partie réelle positive, la position d'équilibre est instable.

Dans le cas ou aucune des racines n'a sa partie réelle positive et oul'une au moins a sa partie réelle nulle, on ne peut conclure directement. Ilfaut faire une étude spéciale. Cependant on peut montrer que dans ce cas lesystème réel est stable si l'on peut écrire l'intégrale des forces vives*

4ÉME P A R T I E

QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX SUR LA STABILISATION


- 740 -

Nous avons vu comment dfune manière générale on peut étudier la sta-bilité dfun système. Nous avons déjà rencontré des exemples où par unchoix convenable des éléments du système on pouvait stabiliser le mouve-ment. Nous allons essayer de chercher dans quelle condition on peut con-férer la stabilité à un système qui ne la possède pas. En fait nous allonssurtout mettre en garde contre certaines erreurs ou certaines illusions enparticulier en ce qui concerne le frottement.

9.4.1. ROLE DU FROTTEMENT DANS LES SYSTEMES STATIQUEMENT INSTABLES.

Lors de notre étude des petits mouvements autour d'une positiond'équilibre stable nous avions montré que l'édjonction d'actions dissipa-tives ne changeait pas la stabilité mais nous nfavions pas envisagé - fautede moyen adéquat dfétude - ce qui se passait si à un système en positiond'équilibre instable nous ajoutions des actions dissipatives. Les méthodesque nous venons d'élaborer vont nous fournir un outil pour compléter l'étudeentreprise alors. Nous allons démontrer un théorème important dû à TAIT etTHOMSON :

Théorème s Un système statiquement instable ne peut être stabilisé par l'ad-jonction d'actions dissipatives.

Considérons d'abord un système à n paramètres ayant une position d'é-quilibre q. = q.* . Le mouvement voisin s'étudie en posant

qi = qi*+^iOn sait que l'on peut écrire le système linéarisé des petits mouvements enemployant T et Us s

n n _ __T = |S S a q' q's 2

i=i j=1 1J * J

U = \ S 2 ( —à-2 ) q. q.i=l j=l ôq. ôq.

X J

En employant les coordonnées normales on peut écrire :

T = \ [ X'2 + ... + X!2 + ... + X'2 ]s c. j. î n

US = -|[ À1XÎ+ •" + ÀiXi+ — +Xn]

(on peut toujours diagonaliser deux formes quadratiques dont l'une est définiepositive).

2Si U est maxi c'est-à-dire si l'équilibre est stable X • =Q . •

C'est ce cas que nous avons longuement étudié dans la théorie des petitsmouvements autour d'une position d'équilibre stable.


- 741 -

Les équations s'écrivent :

Xï + °i Xi = °

* Envisageons le cas maintenant où U n'est pas maxi c'est-à-dire le casoù l'un au moins des X. est négatif, par exemple X-.

1 2h = - Qi

Comme on sait l'équilibre est instable. Les équations des petits mouvementss'écrivent :

x» -n'x1 = o•

•

•

< x' + xix± = o ••

•

i" + X X = 0n n n

* Le problème qui va nous préoccuper maintenant est de savoir si l'in-troduction de forces dissipatives de type visqueux peut donner la stabilitéà un tel système. La réponse est négative.

Supposons qu'il y ait maintenant fonction dissipation au sens RAYLEIGH.Pour étudier ce système linéarisé il suffit de prendre la forme linéariséede $

*s =ï 22bîj*!*j bij = cte


•«LÎÏi îïa +!*• 22 = odt ôx; - ôxs ax« - ôxs

Ce qui donne :

X'f + b-.X' H- ... 4- b.-JQ 4- ... + b- X' - afx, = 01 11 1 1K K In n 1 1

Xj+Vi+ ••• + bjKXK+ •••+bjnXn+ Xj Xi = °

Xn + ÏÏnlXi + — + bnKXK + ••'• + bnKXA + Xn Xn = °

C'est un système de même forme que nous avons écrit dans la théorie despetits mouvements. Les solutions sont de la forme :

XJ - A3 e"

L1équation caractéristique est de la forme :

2n , , ^a r + ... •+ a0 = 0o 2n

Nous allons préciser la nature des racines.

- 742 -

A. L'équation caractéristique ne peut avoir de racines purementimaginaires

Supposons qu'il y ait une racine imaginaire r. = i (3

il existe la racine imaginaire conjuguée r = - i B

La solution particulière correspondant à r. est donc :

i 8 tX. = A. e soit sous forme développée :j j

A i BtXl =A1 e

• • • • •

v A * Pt, X . = A j e

• • • •

Y - A «* P fcX = A en n

Les rapports des A. à l'un dfentre eux est parfaitement déterminé. On peutdonc écrire :

"Ai = B i f i ( r i >• A

j= B i f

j( r i )

A n = B l fn ( rl>

" X l l = A l f l ( r l > e i P t

X — A f (T W* P t* il "~ 1 1 1X = A f (r ^e^P tni Al nUi ;e

La solution particulière correspondant à r^ sera de même :

X 1 2 = A 2 £ l < V e ~ i f i t

X j 2 = A 2 f . ( r 2 ) e - i e t

X n 2 - Â 2 V '2> e ~ i e t

La solution particulière somme des solutions précédentes est :

X. = .X., H - X . ^ ^" j = 1 • • • n •

X. = A f .(r.)(cospt -h isinpt) + Ajf. (rp (cos pt - ising t)

X. = B..cospt.+ B.jSinpt ou encore

finalement la solution est sous forme développée s

- 743 -

Xl = BncosP t + B^sinpt

X. = B' cosp t 4- B.^sinpt

X = B -cosp t 4- B 2sinpt

Cette solution est un mouvement possible du système (il suffit de choisirdes conditions initiales convenables pour que les solutions particulièrescorrespondant aux autres racines soient nulles). Nous supposerons qu'ilen est ainsi.

Lorsqu1 il y a fonction dissipation nous savons que

-r- (T - U) = - 2 $ Calculons cette expression.

1 n 2T = f 2 X Î Z

j=l J

X j = " B j l P Sln pt + BJ2 P COS pt

2 2 2 2 2 2x] =8 [BjjSin pt + B 2cos pt - 2B.1B.2sinpt cosfit ]

2 B?l + B?2 B ^9 * B -1= g [ ^ 2 J Z H- ^ 2 .T1 cos2Bt - Bjl BJ2 sin2pt ]

T0 sera donc de la forme :D

TS = L 4- M cos2 pt -f N sin2 pt

Comme TS est positif on aura donc au cours du mouvement :

L > \/M2 4- N2

1 2 2U = - — [X-X. -f ... H- X_X ] pourra aussi se mettre sous une forme

comparable :

U = Lf -h M1 cos 2;p t 4- Nf sin 2'-p.tD

De même nous pourrons écrire :

$ s = L" •+ M11 cos 2p t + N" sin 2 g t avec

Ltt >\/Mff2 4- N"2

La relation de dissipation s1écrit donc :

- 2 P (M - M1) sin2p t -f 2 p (N - Nf) cos2pt = - 2 L" - 2M!Î cos 2p t

- 2Nff sin .2 pt


- 744 -

On aura alors Lft =0

La relation L">yM"2 + N"2 entraîne alors s

M" = 0

N" = 0

On devrait donc avoir $ = 0. Or ceci n'est pas par hypothèse. En consé-quence les racines ne peuvent être imaginaires pures. Elles sont donc dela forme r = a + i B •

B. Si l'équilibre est instable stattquement en l'absence de forcesdis dissipatives il demeure instable lorsqu'on introduit ces forces.

2Nous avons supposé \* = - CL

Nous allons montrer que toutes les racines de l'équation caractéristiquene peuvent être imaginaires à partie réelle négative.

Choisissons les conditions initiales telles que (U ) soit positif.C'est parfaitement possible car S °

Ug = - I o n2 x2 + ... + x. x2 + ...+ xn x2 ]

II suffit de prendre X. = 0 pour •¥• i sauf pour i = 1

1 2 2Uso - \ °î X10

comme |-(T - U) = - 2 $dt

T - U est décroissant donc :

T - U < T - Us s so so

Abandonnons le système sans vitesse initiale -» T =0so

T - U < - Us s o

Lorsque les racines de l'équation caractéristique sont imaginaires, noussavons que la solution générale du système linéaire est de la forme :

xj =V e k cos( *kt+Vrk =Œk "*" *"' k ®tant rac^ne e l'équation caractéristique.

Si toutes les racines étaient imaginaires à partie réelle négative :or, <, 0 pour V k ce qui entraîne :

X. = 0 pour "V- j et aussi

X! = 0 pour '•-*>• j.

- 745 -

Ce qui conduit à :

T - U -* 0s s1 2 2Ce qui est impossible car nous avons T - U < - — CL X

s s 2 1 o

T - U ne peut tendre vers zéro, car il reste toujours inférieur à un

nombre négatif.

En conséquence les racines de Inéquation caractéristique ne peuventtoutes être imaginaires à partie réelle négative.

Exemple : pendule simple.

Kv

~ ~* *0 * L'équation du pendule simple à liaisonparfaite est :

mJL 9" + mg sin0 -0

Les positions d'équilibre 6 = cte sontdonnées par :

(9 = o

s i n 0 = 0 -

1 9 = TT

V

Zo

| T - i m X 2 e ' 2

l u = mg i cosQ 4- Cte

Comme on sait par le théorème de LEJEUNE-DIRICHLET, la position 9=0est stable et la position 9 = -n instable. A titre d'exercice retrouvons cedernier résultat en étudiant le mouvement voisin. Posons 9 = TT + "5L'équation linéarisée s'écrit immédiatement

9" - f 9 =0

2 - nr9"- n 9 avec 9 •= \|f

V^

Posons 9 = A er . L'équation caractéristique s'écrit :

2 ^2r - n = 0Les racines sont :

r - ± n

Une des racines est positive. Il lui correspond la solution 9= A.e quiest instable ce que nous savions à priori.

* Introduisons maintenant une liaison avec frottement sur l'axe du pendule.

- 746 -

Supposons qu'elle donne lieu à fonction dissipation

$ =\ bef2

L'équation du mouvement est maintenant ;

d_ al âl + M M soitdt ôe1 " 09 ô9f " 09

2ml 9" + b e1 + mg A sin 0 = 0

6" + - 91 + f sin 9 =0n *• **mJL

On constate que les positions d'équilibre sont toujours données par :

sin 0=0

Elles demeurent inchangées.

Etudions_la stabilité de la position 0 = n en posant comme précédem-ment 0 = TT + 9L'équation linéarisée s'écrit :

ê" + - 5 e' - n2 ê = onue

Les solutions sont de la forme 0 = A e

L'équation caractéristique s'écrit :

r*.-*j,.0*.0mJL

Le critère de ROUTH nous indique que la position est instable, le coeffi-cient constant étant négatif on constate d'ailleurs que le frottement nepeut pas agir sur ce coefficient.

Remarque 1,

Le résultat démontré pour l'équilibre s'applique aux mouvements quandceux-ci sont identiques dans leur formulation à des équilibres. Ceci se pro-duit lorsque le fonction de ROUTH ne comporte pas de termes linéaires en vi-tesse positionnelles. Tout se passe» comme si l'on avait un problème d'équi-libre et de stabilité avec une fonction de force modifiée*


- 747 -


ï£(Y ) - al, = Cte = mr2 sin20 Y1O I

*<» - f r t i . -H- i l -°

|. - -2e- - SE i- - - V

r^T 2 2~-r = mr sin0 cosQ Y1

09

| = - mgr s in 9

2 2 2mr 0ff - mr sin 0 cos 0 Y1 + mgr sin 0 = 0

2 e0ff - sin 0 cosG Y1 + è sin 0 = 0

Le système admet les positions stationnaires

0 = Cte définie par j

2 e- sin 0 cos 0 Y1 + Ê sin 0 = 0

Y1 = Cte = Y1

o

La première relation donne :

sin 0 [ - - cos 0 Y|2 ] = 0

f Qo= °D'où les solutions sin 0 = 0 J

U-"

cos 0 = '& Y » si Y f > l o r o o r

La solution donnée par cos 0 = °- Y f a été étudiée à lfaide de la fonc-o r o

tion de ROUTH.

Etudions par exemple la position 0=0

Posons 0 = 0 + 0 -> 0f = 0f 0" = 0"

Yf= U)o + Yf

Linéarisons 1'équation -en 0. On a immédiatement s

0M - oo 0 + J- 0 = 0

0" + ( | - <j ) 0 = 0

- 748 -

L'équation caractéristique est :

r2 + < | _ u2) =0

9 9Si & - ct)o > 0 ou U>0 < £ l'état stationnaire est stable.

f\ O

Si & - CUQ < 0 ou CDo > & l'état stationnaire est instable.

Introduisons maintenant une liaison avec frottement telle que :

§ = \ b ef2

L'équation s'écrit maintenant en ajoutant —f au premier membre de l'équa-tion : ôe

2 2 2mr 0" - mr sin0 cos© Y1 -f b0f + mgrsinQ = 0 soit

0" -H - 2 9f - sin0 cos9 y* 2 + | sine = 0mr

Les positions stationnaires sont inchangées. Pour étudier la stabilité dela position 0= 0 posons comme précédemment 0 = 0 -f 0 . On a l'équation linéa-risée :

0" + - 2 êf + ( f. - (/ ) 0 = 0mr

L'équation caractéristique s'écrit :

r + —r-r +( & - u) ) = omr

R 2Si — - OD <0 (instabilité en l'absence de frottement), le frottement ne

peut modifier ce dernier terme et l'instabilité persiste.

Remarque 2.

Il existe pourtant des cas où le frottement permet de rendre stableun système qui ne l'est pas en absence de frottement ; ainsi en est-il parexemple du régulateur de WATT ou du système simulant le démarrage du skieur.Reprenons ce dernier exemple (6-82).

L'équation du mouvement s'écrit :

mx" -h [b ( || )vaV . mg ] x' -f k(x - XQ) - mg f (VQ) = 0o

Nous avons un état stationnaire x = x* défini par :f(vo)

** - xo + ag •-£-

En posant x = x* H- x nous avons l'équation des petits mouvements autourde 1'état stationnaire î

m£" -h [b H- mg ( || )v=v ] x ' -f k x =0o

Lféquation caractéristique sfécrit :

mr2.+ [b 4-mg (|| ) ] r + k = 0o

 - mg ( *_ ).. c'est-à-dire si le frottement est suffisant. Il yo

a donc bien eu stabilisation en ajoutant des actions dissipatives. Maisnous constatons que la stabilité nfétait pas dforigine statique.

Nous allons voir maintenant comment (théoriquement tout au moins)une instabilité dforigine statique peut être transformée en stabilité.

- 750 -

9.4.2. STABILISATION GYROSCOPIQUE

A. Etude de la stabilité. Exemple

Nous avons vu que pour les systèmes gyroscopiques le système linéaireassocié se présentait de la façon suivante :

r an ••• am i K i r bn •••• biki r «n rcn ••• ciki pn. . • • • • • •+ • + • = o

• • • • • • • • •JL • • — —aki ••• akk qk \i ••• bkk qk cki •" ckk qk

*• J L J L J L J L J L .a . . = a . .

°ij = CJi

bij = - bU

C'est cette dernière propriété qui est la caractéristique des systèmes gyros-copiques»

Par exemple le pendule de WILSON avait pour système linéarisé

2 — — —(A + m ) a" - g pf - mg i. a = 0

TKp2AP l i + P Yof

f"- 76 =0

Les jpoefficients de pf et af sont opposés. On dit que les paramètres

et B sont couplés gyroscopiquement,

Nous avons vu que si 8V= 0 le système est instable dans la positionQ. = o (3 = TT nous montrerons qufen prenant 8V (donc la vitesse de rotationdu volant) assez grand on peut avoir stabilité.On a B = B . r avec r = y1 - c*f sin B

Le système s1écrit avec la constante ro

(A -h m S, ) ^" - B r B1 - mg JL à = 0

A p" + B ro S« - |£ïïL. .p = 0

Cherchons les solutions sous la forme

- = X eXt p - Y eXt

En portant dans les équations on obtient le système linéaire en X et Y

2 2[(A + m j f c ) x - a i g j & ] X + B r - X ' Y = O

- B ro \ X + (AX2 - ^~- ) Y = 0


- 751 -

Pour que ce système admette une solution autre que la solution banaleson déterminant doit être nul

2 2[A + m J & ) X - m g J & B r X

= 0

A ï 2 2K a r2

- B ro x A x - TTT-* ' ••

soit2

A (A + m fa X4 - [ AmgJÈ + |a^ ^2 + A) _ ^2 -^ £ + 2 |_ ^2 = Q

Cfest une équation bicarrée de la forme :

ao + a2 x2 + a4 = °

Tous les termes de degré impair sont nuls (2ème ligne du tableau de ROUTH).Le critère de ROUTH ne peut s Appliquer. Mais on peut faire une étude di-recte sur l'équation bicarrée^

2 2Posons X = R. L'équation devient a R -f a0R + a, = 0

o 2 4

Soit R une racine. On peut l'écrire R = p e1®il lui correspond deux racines en X

X = V / T e 1 ( 3 / 2

X.= e i ( ! + " >

Pour qu!une racine X corresponde à une solution stable, elle doit êtreà partie réelle négative ou nulle. Son image se trouve dans la régionx < 0.

1er cas : M est dans un quadrant*

A une racine X ayant une image dans un quadrant quelconque non comprisles axes, correspond une racine X1 ayant son image dans le quadrant opposé.Donc si R a son image dans un quadrant (non compris les axes) une des racinesne convient pas.

Envisageons maintenant ce qui se passe lorsque R a son image sur lesaxes 2

La racine X ne convient pas La racine Xf ne convient pas

Dans tous les cas une des racines correspond à une solution particulièreinstable.


La racine X ne convient pas l J Les deux racines A et X1 correspon-J ^ dent à un mouvement stable.

On voit donc que pour qufon ait des solutions correspondant à un mouvementstable, lféquation en R.2 doit avoir des racines réelles et négatives. L!équa-tion en X a alors ses racines imaginaires pures.

Le problème maintenant est donc simplement de savoir à quelle condition l'é-quation du second degré a ses racines réelles et négatives. Le résultat estimmédiat :

Le déterminant doit être positif ou nul 6 0La somme doit être positive S < 0Le produit doit être positif P > 0

Reprenons lfexemple du pendule de Wilson :

2 26 = [ AmgA + ^f£- (mjK2 + a) - fiV]2 - 8mgAA(A + nuS2) - -r i a o r "T* a

- 754 -

2 1 2 2r A n j_ 2Kar , .2 , A v 2 2 , 0 v /_ .. A \l (nu£ + A>Kar n6 = [ Amgjfc + ——— (mjfc -f A) - B r 4- 2 \/2mgj£A y ^r ] x

ir ~T" à o ir *T" 3.

T A /t . 2Kar2 / «2 . .N T,2 2 ^ .L .. \ (ml2 + A)Kar2 -,[ Amg.e + —— (mA + A) - B rQ - 2 |2mg A 7- ]

On peut l'écrire sous la forme :

ô = { [ \cr+ \|pf4^2 + A) i2 - R2ro 3 . î c \ps~ - yl^i^2 + A)i2

- B2r2 }o J

posons i « j 2

CxCgT - V - (m*2 + A) ]2 [ V&" + Vf^C^2 + A) ]2

2 — V i 2 V • • " L ~ A

TI= _ _ . ; r 3 = _

4 , 2 2W 2 2.6 = B (rt - ro)(r3 - .rQ)

* a -L. 2Kar2 , ,2 , A s ^2 2Amgj6 H- ——— (ml + A) - B ro rT"a ob ^ . .

A + . m J t

posons : o

' AmgjJ 4-^t1- (m^2 + A)fc TL t ci

*2~ ~ ?

s --^-T-^z-^A + m X 2 2 °

2tngje Kar2

r + a

P est toujours positif. Il reste à étudier le signe de 6 et S. On constate quel'on a :

2 2 2rl < r2 < r3

2 2 2 2ro ° |l ]2 T3

S + + 0 -

ô + 0 - O H -

- 755 -

La condition de stabilité est donc :

2 2ro > r3

2 2 2r ~* yt — Q (Q vitesse de rotation du rotor)

On a donc finalement : f ,«_________.

> +^W2 + A)

B

Si le rotor tourne suffisamment vite, la position stationnaire o> = 0 |3 = rrest stable.

Dfune manière générale lorsqufon a un système gyroscopique à liaisonsparfaites, lféquation caractéristique a tous ses termes impairs nuls.

B- Conditions pour stabiliser gyroscopiquement un systèmestatiquement instable. Théorème de Tait et Thomson

Nous avons vu dans le cas du pendule de WILSON comment nous avons pustabiliser une position instable. Mais nous allons voir que ceci nfest pastoujours possible. Cfest ainsi qufil n'est pas possible de stabiliser lependule de WILSON dans la position = 0 J3 = 0 alors que nous avons vu quececi était possible dans la position a — 0 (3 = TT


- 756 -

Dans le premier cas il y avait deux instabilités, dans le second une seule.Nous allons montrer qufune position ne peut être stabilisée que si elle pos-sède un nombre pair d'instabilités.

1. Stabilité et instabilité statique.

Soit un système à deux paramètres à fonction de force et liaison parfai-tes ayant une position dféquilibre q.. = q1 q~ = q~ . Rappelons un certain

nombre de résultats.On sait que l'on peut écrire les équations des petits mouvements autour de la_position d'équilibre en employant dans les équations de LAGRANGE (q = q * + q ;

q2 = q2* + q2 )

TS = \ l>ll* q}2 + *22* q2 + 2 *12 qi q2

TT 1 r( Ô2U \* -2 < , Ô2U N* -2 f ô

2U x* - - ns = 5[(^I qi (^f q' + 2 W qiq^On sait que lfon peut diagonaliser simultanément les matrices de formes qua-dratiques de T et U . Dans la base propre la configuration du système estexprimée à lfaide des paramètres X et X . On sait que IVon peut écrire :

Ts = f [ XJ2 + X'2 ]

us = - | [ Xl x2 + x2 x

22 ]

a) Si lfon était dans le cas dfune position dféquilibre stable Uest maxi dans la position d'équilibre ce qui exige que U soit négatif dfoù

S2 2

Xj = Qj X2 ^ ^2

1 ? ? 7 7US = - I K Xl + Q2 X2 ^

Les équations du mouvement en paramètres normaux était :

'x'j1 + n2 Xj = 0

Xî» + Q2 X2 = 0

Cfest ce cas qui avait fait l'objet de la théorie des petits mouvements au-tour dfune position dféquilibre stable.

b) Si U n'est pas maxi dans la position dféquilibre deux cas peuventse présenter :

* U est minimum dans la position dféquilibre, ceci exige

- 757 -

2 2Xj = - QJ x2 = - n21 2 2 2 2

Ug = I [ Ol Xl + Q2 X2 ]

Les équations des petits mouvementssont :

" Xï ~ Ql Xl = °

AVM

2 - Q2 X2 = 0

Les équations confirment 1 Instabilité qui existait à priori.

* II n'y a ni maxi, ni mini pour U dans la position d'équilibre,c'est-à-dire que l'on a :

2 2\1 = Qr Xj = - Q1

ou

__ 2 _ 2\2 ~~ "" o "2 == 2

US = - I 1 X? - 4 X2 1OU

US = ' I [ ' nî Xl + 2 X2 ]


xy + nj xt = o xj - QJ xt = o

2 ou 2

X2 " Q2 X2 = ° X2 + Q2 X2 = °

L'équilibre est instable comme on le savait à priori. Dans tous les cas lesystème peut s'écrire en employant

Us = - | [Cl Q X^ + c2 Q2 X2 ] «! = ± 1 *2 = t 1

Précédemment nous nfavions pas envisagé lfétude du cas où U n'était pas maxi.En effet le système linéarisé ne présente aucun intérêt, sa validité cessantimmédiatement d'être assurée»

Nous allons voir que sous certaines conditions certaines de ces positions peu-vent être stabilisées en modifiant le système.


- 758 -

2. Stabilisation gyroscopique.

Ajoutons à notre système à deux paramètres q , q~ un autre solide dontle repérage exige un autre paramètre q (par exemple pour le pendule deWILSON lorsqufon introduit le rotor aux paramètres a et jg sfajoute le pa-ramètre y) • Choisissons en outre le système de manière que q~ soit cyclique.Nous appellerons ce dernier solide flgyrol!.

Pour mettre en équation nous emploierons la fonction de ROUTH que nousallons dfabord établir.

a) Fonction de ROUTH.

T - \ C «11 qî2 + a22 q22 + «33 q32 + 2a12qiq2 + 2a23q2q3 + 2a31q3

avec a^ = ai^î>^2)

U = U(ql5 q2)

Le paramètre q« est cyclique, dfoù :

- -= Bôq' '3

P = 233 q3 + 323 q2 + a!3 qî

, ^ " a!3 ql - a23 q23 =

a33

R = T + U - B q^

Exprimons R en fonction de q et q et de leurs dérivées

T = I q3 !>13qi + 2a23q2 + S33q3

+ I ["Hll2 + a22q22 + 2a12qiq2 3

1 P " a!3qî ' S23q2T = _ 13J 23,2 L 2ai3q, + 2a23q, +. (p _ a^ _

333

+ I C3!! 2 + a22q22 + 2a12qiq2


- 759 -

T = 21 (P - a23q2 * a13qi)2 + (P " ^ " a13qî>(a13qi + *23*P

+ | <ailqi2 + a22q22 + 2a12^2 >

T = 2a^ ^ - 2Ï^ (al3<i2 + a23q22) + ï (allqi2 + a22q22 + 2al2«i*2 >

a2 a2

T = 2^ ^ + I tUn -1Ç3^12+ <«22 - J )q22 + 2(^2 • } ]

T = 2a~ ^ + I(allqi2 + -22 s;' + 2 ffl2 qj q. ]

2 2313 323 a!3 a23

avec : Q = a^ - — ; «^ - a22 - — ; «^ = aJ2 - a^

1 .2 2 0 P ' a!3qî " a23q2

R - | [ «uq;2+ CV22q^ + 2ai2q. q« ] - P 12J + „

R = | [ «uqi2 + C*22q£

2+ 2a12qiq« ] f (a^q. + a^q.) + „ . | _|_

G1est lfintroduction des termes linéaires en vitesse qui va modifier dans cer-taines conditions le comportement du systerne.

b) Positions stationnaires (et non plus dféquilibre)•

Les positions stationnaires se calculent avec la fonction

1 B2

y = U - TT —'— en écrivant2 a33

|!L = 0 j |S- = oaqj Sq2

Si a_» est constant ces équations sont alors identiques à :•J 3

r- = ° ' rL = °ôqj ôq2

- 760 -

La position stationnaire est la même que la position d1équilibre.Nous supposerons donc que la condition a^« = Cte est toujours remplie parla su i te •

c) Système linéarisé.

Pour lfécrire nous allons employer la fonction de ROUTH simplifiée.On ne garde que les termes du second ordre dans R. Posons q. = q* 4- q.

W , — 1 1 1q2 = q2 + q2

Pour cela il faut prendre :

all = al* > a22 = a2*2 '> al2 = a!2

» ~ * * + t Ô*13 ï* ~ + f ÔSl3 ï* ~all - all + ( 7 } ql + ( ô ~ > q2

* , , Sa23 v* - , , Ôa23 ,* -a0_ = a-_ + ( ; q + ( ) q23 23 dqj Ml Ôq2

H2

Tr _ 1 r / BU x* -2 . , Ô2U v* -2 _,, 52U N* nUs - 2 [ ( -2 ) qt + ( -j > q2 + 2( 55-5-). q^ 104^ 0^2 1 Z

RS = I t«lî î2 + «22 22 + 2 «12 î 2 3

D ôa^ ôa^ _ __

+ 4 C( f ' + ' 5ïf '%2 ] qî

Q ôa9« _ ôa9«+ P r/ Z-Jv** ,/ ^.Jx** -i .-hJ— ( ^ ) q +( ) ^ t33 ôql Ôq2

+ ic<|£>*3 + <^>-ï^<5i^2>-51.;2]Pour simplifier nos calculs introduisons une simplification qui ne changerien à la théorie. Supposons (ce qui se produit en pratique très souvent)que a33 est grand par rapport aux autres coefficients, alors :

"* - »**ij ~ auEt la fonction de ROUTH sfécrit :

-'i I'S- î. '-ï.lïi CC ,Ô323 * - -i -CJ\7C -i .+ ô -} q2 ^ i; + u

- 761 -

T et U étant respectivement l'énergie cinétique simplifiée et la fonctionde force simplifiée du système à deux paramètres q et q. (en l'absence du"gyro"). l

Pour simplifier l'écriture du système nous pouvons employer les para-mètres normaux X , X.

» «• •» •» M •

q1 cv1 cVo X Les colonnes étantles vecteurs propresde la matrice

[T]"1 [U]

q2 Pj P2 X2V» «J I» J •• •

Alors on sait que l'on peut écrire :

Ts - | [X'2 + X'2] ; Us = - f [£l fi2 X2 + e2 Q2 X2 ]

Les autres termes de R constituent une forme bilinéaire en q , q^, q', q'.

Ils se transforment en une forme bilinéaire en X , X , X1, X'.

Désignons par F l'ensemble de ces termes. On peut donc écrire :

F = 4 t 8n Xl Xi + ^22 X2 X2 + §12 X1X2 + *2Î Vl ^

Les g.* étant des constantes. D'où :

Rs = | [X'2+ X22] + - [8l* XlX' + g2J X2X. + 8lJ XlX. + g2* X2XJ ]

- \ t el Ql Xl + e2 Q2 X2 3

Nous pouvons maintenant facilement écrire les équations des petits mouvements

d_ ^S ^S=0" dt ÔX« " ôXj

d 5RS SRS dt ÔX2 " ÔX2

ce qui donne immédiatement :

Xï + (g2* - X2 + el fll Xl = °

X2 - (8^ " S12> + "2 "2 = °


- 762 -

On constate bien que les coefficients de X* et X* sont opposés (termesgyroscopiques) .

Remarquons que si a~~ est grand devant les autres coefficients a., onn 3 3 3-J

aura : q' ** —•— = CD = Cte. Dfoù les équations :J a33

X'j'•+<!) (g2* - gl2 > X'2 + el Ql Xl = °

X2 - (g21 " g!2 } Xl * e2 Q2 X2 = °

que lfon peut écrire pour simplifier :

Xï + œ f!2 X2 + el Ql Xl = °

X2 " œ f!2 Xî + e2 Q2 X2 = °

d) Etude de la stabilité.

Les solutions sont de la forme :

X l = A i e r t

X2 » A2 ert

A. et Ap vérifient le système linéaire homogène

f 2 2' [ * + GJ QJL ] AI •+ o> f 2 r A2 = 0

" * f!2 T Al + [ + e2 Q2 ] A2 = °

L1équation caractéristique est :

2 2 2 2 2 2 2(r -f 6j nj )(r + e2 Q2 ) + uo f^2 r = 0

4 2 2 2 2 2 9 9r -f -(.€l nx + e2 Q2 + OD f12) r + 6l«2 fl^ Q2 = 0

Cfest une équation bicarrée comme on pouvait le prévoir. Calculons 6, S, P,pour connaître la nature des racines en r .

6 = (e J + e2Q^ 4- a)2 f22) - 4 ejCjflJ Q^

2 2 2 2 2 2 2 4 46 = (eini - €2Q2) + 2u) f

12^1 Cîj + e2 Q2> + oo f12

- 763 -

S-' Ynî- e2"2 - »2fÎ2

2 2P = ej e2 fit Û2

Trois cas peuvent se produire :

* e- = 1 e0 = 1 on se trouve dans le cas dfune position statique-

ment stable (U maxi).

26 > 0 Les racines en r sont réelles et négatives.

e == H-l Les racines en r sont imaginaires pures. Il y,1 a stabilité. La stabilité statique est conservée.

* 2 - L P > 0

* € - = - ! e2 = - 1 on se trouve dans le cas où U est minimum.

Lféquilibre est statiquement instable, mais nous allons voir qufil peutêtre dynamiquement stabilisé.

4 à 2 9 2 o o o oô = f12 uu - 2 f 12 (QJ + n2)u) + (q - npe =.- 1 ' 2.

-» < C'est un trinôme du second degré en u; . On peut écrire

c = - 2 ^ + "j 2 ^ - "j>2

S = f12 i> - 2 5 œ + 4 3i r rC f!2 f!2

Les racines sont :

2 nj + n^ Q n n2 + n2

«i = —2— - l^ ^r1 ' "3 = ^72-^ + ^^212 r!2 £12

6 sera positif à l'extérieur des racines.

La somme S est obtenue en faisant e1 = -1 e? = - 2

2 2 2 2S = Qj + Q2 - f 12 ^

Elle est négative si :

2 "? + Q2 2UO > _ = g^

f 2r!2

2Les trois valeurs caractéristiques de U) sont telles que :

2 2 2DUj < cu2 < cu_

- 764 -

La nature des racines va dépendre du signe de 6 et S

2 2 2002 ^1 ^2 ^3

6 + 0. - - 0

S + . o .-h

2 2Si 0) > uo 6 > 0

S < 0

2Les racines en r sont réelles et négatives.Les racines en r sont imaginaires pures, 1*équilibre est stable. C*est encela que réside la stabilisation gyroscopique.

Dans tous les autres cas il existera des racines en r à partie réellepositive et lféquilibre sera instable.

* e1 = + 1 e2 = " 1 °u el = " * €2 = 1

2 2Dans ces conditions P = - Q Q9

2Le produit étant négatif une des racines en r est positive. Il y aura donctoujours instabilité quel que soit la valeur de eu.

En conclusion on a vu qufon pouvait stabiliser gyroscopiquement un sys-tème statiquement instable à condition qufil y ait un nombre pair de degréd'instabilité- (U minimum). Mais sfil y a un nombre impair de degré dyinsta~bilité (ni maxi, ni mini) la stabilisation gyroscopique est impossible.

Cfest pourquoi par exemple dans le pendule de WILSON on aura les résultatssuivants :

& = 0 P =' TT est stable si r est suffisantoa = TT p = 0 est toujours stable

a = 0 -P = 0 est toujours instable

a = TF p = 0 est toujours instable

Le résultat que nous avons énoncé est général. Il constitue un théorème dûà TAIT et THOMSON.

- 765 -

C. Insuffisance du modèle à liaisons parfaites pour étudierla stabilisation gyroscopique

Nous allons montrer que les frottements de type visqueux sont déstabi-lisateurs. Nous insisterons sur cette question pour montrer que le frotte-ment nfest pas toujours un remède à la stabilisation. Cfest exactementl'inverse dans le cas qui nous préoccupe actuellement.

Supposons que le système donne lieu à fonction dissipation $. Pour écri-re les équations il suffit de prendre $ que nous pouvons exprimer à lfaide

des paramètres normaux au sens précédemment défini :

2 2b22 2b12 Xi X2

Les équations du mouvement s1 écrivent par exemple avec la méthode de LAGRANGE

d_dt

d_dt

al âîdt

La troisième équation ne changera pas et donnera lieu comme précédemment àintégrale première donc pour avoir le système linéaire issu de ces équationsil suffira dfajouter au premier membre des équations déjà écrites respecti-vement :

et

On aura donc les nouvelles équations :

Xï + bl Xl + (œ f!2 + b!2 } X2 + el Ql Xl =

X»

Les solutions sont encore de la forme :

Xl ~ Alrt rt

A1 et A« sont cette fois solution du système

[r + bj r + e Q ] Aj + r [ = 0


- 766 -

O O

r [ b12 - eu £12 ] A1 + [r + b22r 4- Q2 ] A2 = 0

Lféquation caractéristique s1écrit :

[r2 + bj* r + ex Q2 ][r2 + b2* r -h e2 fi

2 ] - r2 [b + u) fJ2 ]

tbl* ~ * f!2 ] = °

r4 + [bj* + b2*] r3 + [e 2 + Q2 4- b^ b,,* - b^2 + u>2 f^ ] r2

* [b!l e2 n2 + b-2* GI Q2 ]r + eie2 Q2 Q2 = 0

Nous avons cette fois une équation complète du 4ème degré de la forme :

4 3 2a r -f a.r -f a0r + a0r + a/ = 0o 1 2 3 4

Le critère de ROUTH indique que d'abord tous les coefficients doivent êtrepositifs et qu'en outre

a3(al34 - aoa3) * 312 a4 > °

Reprenons le cas où nous avions stabilisé le système statiquement instable :

«4 = - 1 e2 = - 2

L'équation s'écrit :

r4 + [bj* H- b2* ] r3 + [u)2 t\2 - nj - Q

2 + b^ b2* - b^jr2

-!>!* «2 + b22 "î ] r + Ql Q2 = °

quoi que nous fassions le coefficient de r est toujours négatif. Le systèmeest instable.

On voit donc que du fait du frottement la stabilité sera détruite. Enpratique il y a toujours frottement c'est pourquoi le pendule de WILSON nepeut fonctionner longtemps dans la position a =0 B ^ r u l l y a stabilitétemporaire.

Il est bien clair aussi que les positions qui étaient toujours instables(e = 1 c = -l ou e = - 1 €: = 1) ne voient pas leur état modifie : le

terme constant e^^ i est touJours négatif et n'est pas influencé parle frottement.

Par contre lorsque la position est statiquement stable, la stabilité n'estpas modifiée par la présence de force dissipative.

Les résultats que nous venons de montrer constituent un théorème dû àTAIT et THOMSON.


S 0 M M A I -R E

PROBLEME n° 1 Etude des positions stationnaires inclinées 1et de leur stabilité pour la toupie symétri-que .

PROBLEME n° 2 Etude simplifiée du shimmy d'une roue arti- 3culée.

PROBLEME n° 3 Variateur automatique donnant une vitesse de 10sortie constante. Etude de la stabilité.

PROBLEME n° 4 Pendule de Froude : instabilité due au frot- 20tement.

PROBLEME n° 5 Instabilité due au frottement de Coulomb. 24

PROBLEME n° 6 Etude de la stabilité des positions station- 29naires d'un véhicule spacial dans l'espaceterre-lune.

PROBLEME n° 7 Stabilisation dfun satellite artificiel sur 44orbite circulaire par gradient de gravité.

PROBLEME n° 8 Etude de la stabilité d'une toupie symétrique 57(ou d'un pendule gyroscopique) en état sta-tionnaire sur la verticale.


- 1 -

PROBLEME N° 1

ETUDE DES POSITIONS STATIONNAIRES INCLINEES

ET DE LEUR STABILITE POUR LA TOUPIE SYMETRIQUE.

Revoir chapitre 9 cours page : 700

I. CALCUL DE W = W(6, g^, B$)

Nous avons vu que la fonction R était

*°K^2-(v^re)2-st]-^-° . .La fonction W est W = - 1 ( A"s ^

Os6)2 - mgl cos6

II. ETUDE DES POSITIONS INCLINEES STATIONNAIRES

aw _ (g,h - gAcosexeé - Bihcose) ._ _ A s i n J 6 m g i Slny

Les positions stationnaires sont données en résolvant

- (fy - g* ggjj>(g* "•** COS6") + mgl sin60 = 0

ce qui nous fera connaître la relation entre 60, B , BA. Il y a souventintérêt alors à faire apparaître les conditions initiales données sur lesparamètres. Nous pouvons par exemple remplacer B^ mais conserver BA oules remplacer tous les deux.

Conservons par exemple B^• Nous avons

fty * A ij;1 sin20 + C cos0 (tyf cos0 + (f)1)

6 - C (*f cos0 + (j)1')

d'où B^ = Ai};1 sin20 + B^ cos0 on peut donc écrire

- A ifrn sin20D (BA - A. sin20Q cos0Q- cos200.Brh) , m&1 C1T,M „ n-AU « . À, .V . 9-t- + agi sine0 - 0

A ij 2 cos00 sin00 - B^ sln00 if + mgl sin00 = 0

soit encore

sin00 A.i|;52 cos00 - B^ *Q "*" mg1 = °

Les positions stationnaires inclinées sont données par l'équation :

A ipj2 cos00 - B^ *ft 4- mgl = 0


— O —

Cette équation peut être considérée comme une équation du second degréen ijj§. Elle a des solutions si son discriminant est positif :

3? - 4 mgl A cos 00 > 0

C'est la condition d'eorîstence du mouvement stationnaire. Il y a alorsdeux solutions : une précession lente et une précession rapide.

III. ETUDE DE LA STABILITE

Calculons la dérivée seconde de W

92W , 0 CB^3ACose-Q-)8I|j+-(3A-3i/jCoseo)3(h , 3cos0o (3dr36cos9.o) (3è"3i(;CoseQ)•jgr- = mglcosô A'sin"% A sinH60

,32W, = melcos0 _(BT j .~g^cos9Q)e i i l^(B^^6zo g ° À sinz"0o A sinH00 '

Mais dans cette position on a par ailleurs

- <g» " g(0 c o s eQ)<^ - g» coseQ) + mgi sin00 - 0A sinj 0Q o u

on peut donc écrire

«0, . mglcoseo - ^^y^l* . 1^ mgl Sin6o

(32w} = 4 x cose _ (gé - &([, cose^B^+^o^ - e . cos^eé

80 o A sïn 0Q

la condition de stabilité est donc finalement

4 mgi cos6o - <»» - P* co^gf* <S» - Bj cos^g^ < 0A. s m w*

+ -* + +Soit Rn : [0, X~ Y Z un repère galiléen, Z~ vertical ascendant. La toupie

(SK) est un solide de révolution articulé en 0 par une liaison sphérique parfaite.

A (SK) on lie (R^ : [o, XR ÎR îj.

Z porté par l'axe de révolutionK.

X arbitraireJx

\ = îKA]tK

On repère (Rl_)/(R_.) à lfaide des angles d'Euler habituels .$, 0, ^Le centre de gravité G est défini par OG = £Z , la masse de (S ) est m et la matrice

K Kd'inertie

_ A 0 0

T « 0 A 0

0 0 C1 \Etudier la possibilité d'un mouvement stationnaire correspondant à une position

inclinée de la toupie. Etudier la stabilité de ce mouvement (on utilisera la fonction

de Routh).

- 3 -

PROBLEME N° 2

ETUDE SIMPLIFIEE DU SHIMMY D'UNE ROUE ARTICULEE

E N 0 N C E

Le système est constitue, comme l'indique la figure, de cinqsolides (S0) , (S0), (Si), (S2), (83). (S0) est la route, (SQ) est un cha-riot animé par rapport à (SQ) d'une translation rectiligne et uniformeparallèle au sol, grâce à une liaison prismatique parfaite. La liaison(Si)/(S$) est une liaison prismatique parfaite, d'axe orthogonal à laprécédente, et parallèle au sol. En outre, (Si) et (8$) sont reliés parun ressort. La liaison (82)/(Si) est une liaison rotoîde parfaite, d'axeorthogonal aux axes des deux liaisons prismatiques. La liaison (83)7(82)est une liaison rotoide d'axe normal à l'axe de liaison rotoîde (82)7(81).(83) est une roue rigide de centre 63, de rayon R, qui roule sans glissersur (SQ) au point I.

A (SQ) on lie le repère (0, XQ, Y0, ZQ) supposé galiléen.

XQ porté par l'axe de la liaison (SQ)/(SQ)

fo vertical ascendant0 = ZQ A XQ

¥k %e f~ %* "~ * HT " *"?fr " fr-i

A (S0) on lie le repère (R0) : [0 , X0, Y0, ZQ]

0* 6 J.O,X0)Y~ — Y~M ~ £0& - ïo . .ZQ = ZQ

on a 00* = t V XQ V : constante algébrique

A (Si) on lie le repère (Ri) : [pi, Xi, YI , 1{]»fc

QI à l'intersection des axes des liaisons prismatiques (SI)/(SQ)+ et (S2)/(S!)Xi = X0

;ïi: -...ïo.Zl ~ Z0

on repère (RI)/(RQ) par y tel que 0 QI = y»Yi

A (S2) on lie le repère (R2) : \029 X2, Y2, Z21

Û2 dans le même plan horizontal que 03 6 à l'axe de la liaison(S2)/(Sa). On a OiÛ2 = dZ2

Î2 = %2l~7 - "7Z-2 - /•!

2 = Z2 2

on repère (R2)/(Ri) par 6 = (Xi, X2)


- 4 -

A (S3) on lie le repère (R3) : [o3, X3, Y3, Z3J

03 centre de la roue (S3)Î3 = \1b arbitraire

Î3 - *3 A 3

on repère la rotation de (S3)/(S2) par <J> = (X2, X3)

Les caractéristiques d'inertie des solides (Si), (82), (S3) sontles suivantes :

Masse Tenseur d'inertie

(S]) MI donnée pas nécessaire au problème

= F A2 -F2 -E.J1 ^ _^(82) M2 IG = -F'2 B2 -D2 Û2G2 = -a X2

2 L-E2 -D2 C2_R2

F A3 0 0 ~(S3) M3 I - -0 B3 0

3 L u 0 A3JRa

La raideur du ressort qui relie A6(Sg) et B6(Si) est K.

Mettre en équation le problème et discuter la stabilité en prenant : Mj = 0,M3 = 0 et en posant a = 1 - b

S O L U T I O N

I. MISE EN EQUATION PAR LA METHDDE DE LAGRANGE

A) relation de liaison

II y a roulement sans glissement en I

Vl(I) -- 0

V3(I) - V3(03) + 3 A 0 1 mais V3(03) - V2(03)

2(°3> " V2(02) -H 2 A Ô

Vl(02) - Vl(02) + V|(02)- y' ?0

+ V I0

on peut facilement exprimer ce vecteur dans (R2) à l'aide de la matricede passage

X2 = cose sinô 0 X0Y2 « -sine cose 0 Y0

__ Z2 J L ° ° l J L-Z0.

V cose + y' sine ~V2(02) * ~V sine + y' cose

_ , , RZ$2 A 0203 = 6' Z2 A(~1X2)

= - i e' ?2

_^ V cose + y' sineV2<°3) • ~v sine + y1 cose - l e 'L» JE2© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

— c: _

^3 - fi? + ^2 " Ve ? J KL- _JR2

f O 1 F °1 r ~ R < J > f ~^3 A Ojî = < (> ' A 0 = 0

— — R£ — R£ R-2

_^ F v cos0 + yf sinG - R <j)f ~¥3(1) = -V sin0 + y1 cose - l e 1

L » JE2D'où les relations r— - —,

V cose + y1 sine - R <j)T = 0 (1)-V sine + yf cose - 1 e f = 0 (2)

B) Energie cinétique du système formé de (Sl), (S2)s (S3)

T° = Tj + T2 + 13

* TI = JM^'CGi)]*

V G!) = v x0 -H y- YOTI = ~M! (v2 + yï2)

* T2 = JM2 [V°(G2)]2 +Ift5 TGQ^

_^ V cose -H y1 sineV°(C2) = -V sine + y! cose - aef

L » 4 .formule obtenue en remplaçant 1 par a dans la formule donnantV£(03)

.> = -v r- ^r A2 ~p2 -E2i r°^2 ÏQ 2 * L°»0>e'_l ~F2 B2 ~D2 0

""£2 ~°D2 Co e

T2 = -j M2 [y2 + y '2 - 2ay'6' cos6 + 2a V sin6 0 ' + a26'2J + -j C2 e '2

* T3 = {MS [v°(o3)]2 + J n 30 ï 0 . î !

-> = -> r- -, FA3 ° ° 1 F0 ~n! in "3 = CP» *', eD o B3 o *'3 L° ° AsJ L e ' _T3 = -j M3 [V

2 + y'2 - 21y'6' cos6 + 21V sine 0' + I2ef2j

+ 1 lB3 <^'2 + A3 6'

2J

finalement

- 6 -

T° = j (M3 + M2 H- M^V2 + (M3 + M2 + M-!)yf2 + (M2a

2 + M312 + C2+A3)e

t2

+ B3$.-f - 2(M2a + M3l)cos0 yf 0 f + 2(M2a + M31)V 0

f sin0

C) Puissance virtuelle développée par les actions mécaniques

Elle se réduit à celle développée par le ressort qui donne lieuà fonction de force U si l'on prend une transformation virtuelle compatible.

U = - 1 k(y - y0)2 + C

gjf = - k(y - y0> yf*

D) Ecriture des équations de Lagrange

Posons M3 + M2 + MI = M

M312 + M2a

2 + C2 + A3 = J

B3 = I

T = j [MV2 + Myt2 + jel2 4- l(j)f2 - 2(M2a + M3l)efyf

Cos6 + 2(Maa + MsDvO1 sine]

Les transformations virtuelles compatibles sont définies par

sin0 y'* - R <j>-f* = 0

cos0 y1* - 1 0f* = 0

Désignons par \i et X2 les multiplicateurs de Lagrange.

o£<*> : I t lr-F = S + Xl Sine + X 2 c o s e8T__ = M y' - (M2a + M3l)e' cos6

f^-pr • M 7" ~ (Maa + M3l)eM cosô + (M2a + M31)6'

2 sin6

5 1 - 0ay u

Qy = - k(y - y0)

My"_ (M2a + M3l)6"cose + (M2a + M3l)e'2sine - -k(y - y0 ) + X1 sine + X2 cos6

; (3)

è£«» •• Itlfr-lf • %-^'C\ T

|p- = Je1 - (Mga + M3l)y' cos0 + (l^a + M31)V sine

J rv rp

dt âp" = J0" " (M2a + M31)y" cose + %a + M3l)y '6 ' sine+ (M2a + M31)V cos6 6'

||- = + (M2a + MsDe'y1 sine + (M2a + M31)V cose 61

Je" - (M2a + M3l)y" COSQ = - X2 1 _ (4)

- 7 -

S6*>- kfr-ly - y*"i * " - - A! R| (5)

Pour résoudre le problème à 5 inconnues y, 0, <f>, AI, A2, nousavons 5 équations.

E) Transformation des équations de Lagrange

On conservera les paramètres y et 6.

À} = ~ — <)>" mais l'équation (1) donne

V v1

<f)T = — cos0 + ~— sinôK KV y" v! e'

<f>" = - •=• sin0 e' + — sine + *-=— coseK r KI V v" v'6 '\i .« - - (- - sine eT..+ •£- sine + £=— cose)K K K K

*i = + TJT sine 0 I - ir sin6 y f ! ~ ir co*e y ' 6 'K K K

L'équation (4) donne A2 = - efî + M2a . M3X .yn COS0

Portons ces deux valeurs de \i et \2 dans l'équation (3)

My" - (M2a + M3l)0fl cose + (M2a H- M3l)e

î2 sine = - k(y - y0)

4- II sin2e e f - ir sin2e yff - 4r cos0 sin6 yf e'K R K

- J cose 6" + M2a M31 cos2e y"

soit l'équation

(M - M2,a + "a1 C0s

2e + |zsin26)y" + (y - M2a - M3l)cos6 6"

+ (M2a + M3l)6l2 sin26+ ~^ cos6 sine y1 6' - jp V sin26 9' + k(y - y0) = 0

(6)

Pour trouver la solution du mouvement on a donc cette équation àlaquelle il faut joindre 1'équation (2)

y' cose - 16' - V sine = 0 (2)

IL ETAT STATIONNA IRE

Les équations du mouvement étant écrites, il est très facile detrouver les conditions pour avoir l'état stationnaire y = cte ; 0 = 0qui correspondent au problème pratique.

y = y -*• y' = 0 •> y" = 0

e = o -* e' = o •> efl = o

- 8 -

En portant ces résultats dans les équations on aura immédiatement

y* - y.0 = 0

L'équation (2) est toujours vérifiée. Remarquons que l'on ne peut avoird'état stationnaire avec 0 0 ou II. Remarquons également que l'équation(1) permet de déterminer <(>' dans l'état stationnaire :

on a en effet V - R <f> ' * = 0

III. STABILITE DU- MOUVEMENT VOISIN DE L'ETAT STATIONNAIRE

y = y + J

0 = 0 + 0 l e s équations ( 6 ) e t ( 2 ) deviennent alors

(M - M2.a * M31)7" + (y - M2a - M31)?" + k7 = 0

y' - i?f - v? = oon cherche la solution sous la forme

y = A ert -> y ' = A r ert + 7" = A r2 ert

0" = B e^t -> "0» = B r e^t + 9"» = B r2 ert

(M - M?a + H3l)A r2 * (i - M2a - M31)B r2 -H k A = 0

Ar - IBr - VB = 0

Soit le système linéaire en A et B

|(M - £L± i)r2 + kJA + (J . M2a . M3l)r2 B . 0

Ar - (1 r + V) B = 0

L'équation caractéristique est donc

[(M - !Î2£ J!al)r2 + kj (lr + v) + (J _ M2a _ M3l)r3 = o

[l(M - M2a l M^) + 1 - M2a - M3l]r3 + (M -

M2a * V r2 + kir + kV = 0

Soit encore en faisant la simplification demandée

(M212 - M2al + J - M2la)r

3 + (M21 - M2a)Vr2 + k!2r + klV = 0

posons a * .1 - b. On a d'autre part J = C2 + M2a2

J - C2 + M2(l2 + b2 - 21b)

(M212 - M21

2 + M2bl + C2 + M212 + M2b

2 - 2M2lb - M212 + M2bl)r

3

•»- (M2b)V r2 + k l2 r + k 1 V = 0

ce qui donne finalement

(C2 + M2b2)r3 + M2b V r

2 + k l2 r + k 1 V = 0

C'est une équation du troisième degré de la forme ag-r3 + a^r2 + a2r + a3 = 0D'après le critère de Routh, nous devons avoir

— Q —

a0 > 0ai > 0 . . ^ .£.-

A ce qui est toujours vérifiea2 "

a3 > 0

et ala2 " aOa3 > 0 soit

M2b.V.k l2 - k 1 V (G2 + M2b

2) > 0M2bl - (C2 + M2b

2) > 0M2b(l - b) - C.2 > 0

Posons C2 = M2p2 : p rayon de giration

b (1 - b) - p2 > 0 condition de stabilité


- 10 -

PROBLEME N° 3

VARIATEUR AUTOMATIQUE DONNANT UNE VITESSE DE SORTIE

CONSTANTE - ETUDE DE LA STABILITE

E N O N C E

Le système représenté est destiné à obtenir une vitesse de rota-tion du solide (82) constante. Les liaisons (Si)/.(So), (82)7(80), (Sit)/ ),(85)7(82), (S6)/(S5), (87)7(81,), (S6)/(S8), (S7)/(S8) sont des liaisonsrotoïdes parfaites. La liaison (83)7(89) est une liaison verrou parfaite ;la liaison (83)7(82) est une liaison prismatique dissipative. La composantede la force de frottement sur l'axe XQ est opposée à la vitesse relative ;le coefficient de proportionnalité"est b (b > 0). Les axes de liaison (82)7(S0), (S^/XSo) et (S3)/(S0) sont coplanaires.

Les axes des liaisons (82)7(89) et (83)7(89) sont parallèles etles axes desjliaisons (SI)/(SQ) et (83)7(89) sont orthogonaux. Sur lfaxe de(82) est monté un tambour qui est en contact avec un galet lié à (83). Cegalet est en contact avec un disque monté sur l'axe de (S}). (8 ), (85),vS6), (S7) sont quatre barres identiques, de longueur 1, formant un losangearticulé dont le plan est lié rigidement à (82). (89) et (819) pourront êtreassimilées à des masses ponctuelles placées en Gi+ et 65. (83) est un corpsde masse M, dont le moment d'inertie est négligeable par rapport à l'axe.

- le moment d'inertie de (Si) par rapport à son axe de rotation est Ij- le moemnt d'inertie de (82) par rapport à son axe de rotation est 12- le moment d'inertie de (83) par rapport à son axe de rotation est 13

et sa masse M3.

Le repère (0, $0, Y0, Z0) est un repère fixe dont l'axe u),X jesthorizontal. On repère le mouvement de (83)7(89) par

(Y0, Y3) = teB03 = - x Xg (x toujours > 0)

[B intersection des axes de (83) et (Si)]

On repère le mouvement de (82)7(89) par (Y9, Y£) = <j>2

On repère le mouvement de (8 )7(89) par (X9, Xj) = cj>i

Un câble, de masse négligeable, relie (Sft) et (83). Ce cable de-meure toujours tendu. Un ressort de raideur lq est interposé entre 0 et (Sg)et un autre ressort de raideur k2 est interposé entre (So) et (83). Leslongueurs libres de ces ressorts sont Loi et L02.

La rotation de -(84)/(Si) est repérée par C&2 , %) = 6 (X2 = X9)->• ->

(le losange se trouve dans le plan 0, X2, ¥2). La figure est faite dans lecas où $2 = 0.

- 1 1 -

On admettra que les contacts (Ss)/(S2) et (Si)/(Ss) sont réalisésde telle manière que _^

' V|(J) . Z0 - 0

Vs(I) . Z0 - - 0->

En outre, on admettra que.(83) peut se déplacer sur lTaxe XQ sansque ceci donne lieu à dissipation d'énergie. Autrement dit, on pourra consi-dérer que les liaisons en I et J sont parfaites.

A l'arbre (1) on applique le torseur [TJ] tel que

|l =0$l(P) - M^ P 6 (0,?0>

A l'arbre (2) on applique le torseur [T2] tel que

$ 2 - 0

S2(Q) - M2X^ Q 6 (02,Î0)

1. Ecrire la relation de liaison entre x et 0 (on désignera par C la cons-tante de cette liaison),

2. Ecrire les relations de liaison en I et J,Montrer que l'on a une relation semi holonome et une relation non holonome.Pour la suite du problème on conservera les paramètres <(>i, <f>2, 6 liés parla relation ~

i,(f>2, 6 et de leurs dérivées.

4. Calculer la puissance virtuelle développée par les actions mécaniques.

5. Ecrire les équations de Lagrange en employant un multiplicateur.CE(4>l), £(<f>2), 1(6)).

6. Eliminer le multiplicateur A et montrer que l'on peut obtenir deuxéquations différentielles ne contenant que 6 et <f>2 et leurs dérivées(on utilisera l'équation de liaison)

7. Montrer la possibilité d'un mouvement stationnaire.

<f>2 * W2 *e = cte - e

Ecrire l'équation qui donne la configuration pour le mouvement station-naire. On ne demande pas de résoudre. Ecrire la relation qui lie M*, M2et 6*dans la configuration stationnaire.

8. Ecrire le système différentiel régissant le mouvement voisin de l'étatstationnaire. On posera _

cj)2 = co2 + c(>2

e = e* + ?On admettra que lorsque les vitesses <J>| et c|>2 varient peu, Mj et M2 res-tent sensiblement constants.Ecrire la condition de stabilité du système.

- 12 -

S O L U T I O N

I. RELATION DE LIAISON ENTRE x ET 6

II suffit d'écrire.que la longueur du cable d'asservissement resteconstante ou encore que la distance 02B en suivant le cheminement du cablereste invariable

2 1 cos6 + 10 - x = Ci

ou encore 2 1 cos0- - x = C

II. RELATION DE ROULEMENT SANS GLISSEMENT EN I ET J

A. Roulement sans glissement en J

vf (J) . z0 = 0$|(j) = vf(j) - %(J)

V| (J) = ^2 A oP = <f>2 Xo A (-x X0 + R Y0)

^(J) = <J>£ R Z0

V^(J) - V^(03) + fi| A Ô^J ' - - x' |0 + *5 X0^(- a Y0)_^ = " x f XQ - a < f > 3 ZQ

vfCJ) = - x1 X0 - (a 4>J + R cf>£)Z 0

d'où la relation a$3 + R ^J = 0

relation semi holonome, car a et R sont des constantes. On pourra doncl'intégrer.

B. Roulement sans glissement en I

%!) . z0 - 0vi(i) - -v|(i) - vr(i)

V (I) - - x' X0 + a *§ Z0

VÎ(I) = ° A O î - .<H Y0 A(- x X0"\ = .+ *I x Z0

V^(I) = - x' X0 + (a (|)| - <fr.f x)Z0

d'où la relation a 4)3 - x ${ = 0

soit encore a - (2 1 cos0 - C) ${ = 0

Cette relation est non holonome

Remarque : Primitivement on avait pris comme paramètres .<j>i, (j>2» $3, 0, x.Il y a deux relations holonomes et une relation semi-holonome. On peut ré-duire à trois paramètres 4*1, <f>2, 6 . Mais en aucun cas on ne doit utiliserla dernière relation de liaison pour réduire à deux paramètres.

On peut facilement trouver la relation de liaison entre <J>] et <J>2en éliminant <J>3 des deux dernières relations

- R <(>£ - (2 1 cose - C)4)] = 0

soit encore *{ -H 2 , c - - 0

- 13 -

On conservera donc les deux dernières relations de liaison sous la forme

*â + | *â • - o

** + 2 i cose - c *i ' °

III. CALCUL DE L'ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME (expression en fonction de <H, <f>i> 6 ')

T° = If + T£ + TS + 2 T°o + Te

Tî - {il 4>i 2

T£ = I I2

T| = I I3 <j,]2 + 1 M3 x '2 x' = - 2 1 sine 6'

Tf - j (I3 «H2 + 4 M3 l2 sin26 6'2)

TS = { (13 |?^2 + 4 M3 l2 sin26 6 ' 2 )

TI'O = In. ^(G,)]2

V°(G4) - V2(G4) + V^G^)

V^G^) = 1 6' Y^ + 1 sine <|>i Zi»

v°(Gk) 2 = l2 e'2 + l2 s*,2 sin2e

T^ = {M[V°(A^

[V°(A)]2 = x '2 = 4 l2 sin26 6 '2

T? = -|li<H2 + (12 + Isfz- + 2m l2 sin26)<(.^2 + (2ml2 + 4(M3 + M)l2 sin2e)6'2

*on posera M3 + M = M3

IV. PUISSANCE VIRTUELLE DEVELOPPEE PAR LES ACTIONS MECANIQUES

A. Puissance virtuelle développée par les forces de pesanteur

@>l - 0

car le centre de gravité des deux boules a une cote constante (situésur l'axe de rotation du fait de la symétrie)

B. Puissance virtuelle développée par les actions des deux ressorts

On a une fonction de force IL,K

UR - - |L (Ll - L01)2 - |f <L2 - L02)

2 -H C

LI = 2 1 cose

L2 = 2 1 cose.- C

- 14 -

n = - 41 <21 cose ~ L01>2 ~ I2- <21 cose ~ C ~ L02>2 + cR 2. *, *L

@>i - if ..•C. Puissance virtuelle développée par les actions des deux torseurs

6P* - M! <H* + M2<H*c/soit encore dans une transformation virtuelle compatible

3 - (M2 - M, 2 ! Je , c) +i'

D. Puissance virtuelle développée par les actions de frottement du manchon(8) sur Tarbre (2)

Elles donnent lieu à une fonction de dissipation

$ = y b 4l2 sin26 6'2

^ï- -If6'*(jpl = - 4 b l2 sin26 6' 6'*

E. Puissance virtuelle développée par toutes les actions mécaniques

&* " (f?-Hr)e'* + M1<(,I* + M2

8UTT- = + 2 k1l(21 cos0 - L0i)sin0 + 2 k2l(21 cose - C ? L02)sin0O V

||r- 4 b i2 sin2e.e'd y

V. EQUATIONS DE LAGRANGE AVEC MULTIPLICATEURS

[d ,3T , 3T ft 1 .,* . fd /9T x 8 T "I ,* fd ,9T , 9T nlfll» _ n

(dt " T " J*1 L "W" HT " Q*2j*2 L ^ âê Qeje " °pour les seules vitesses virtuelles compatibles, c'est a dire vérifiant

4i* . 2 1 cof - c *i* = o

*1* + 2 i coâe - .c * ' = °

L(*l} dT I - Ji *ïL'équation en (f>i s'écrit à l'aide du multiplicateur X

il 4>if = M! + x

9T R^1(<f>2) : âtl = (J2 + Is p" + 2 m l2 sin26)<()i

- 15 -

o

•l-Oi L-) = (I2 + I3 ^2- + 2 m l2 sin2e)<j>2 ' + 4 m l2 sin6 cos.6 <f>2 6'dt o<P2 ^

8T—- = 0 L'équation en <f>2 s1 écrit donco<P? , ; . ; .

(I2 + i3 + 2 m l2 sin26)<fr2 + 4 m l2 sin0 cosG <f>£ 0' = M2 + A 2 x cose , c

MO) HT = (2 m l2 + 4 M* l2 sin20)0 f

0 u

d_^9T ) = (2 m l2 + 4 M* x2 sin2e)e.. + g M* X2 sinQ cosQ 6i2Qt O Q

•I? -. 4M* l2 sin6 cos6 6'2 + 2 m l2 sin6 cosG <>'2O U

1 /11. 3T , ' 8U - ndt^eî; "39 aef ae u

(2ml2 + AM^l2 sin20)6f! + AM^l2 sin6 cosG 0î2 + 4bl2 sin26 0f

- 2ml2 sin0 cos0 cf)i2 - 2 kil(21 cos0 - Loi)sin0 - 2k2l(21 cos0 - C - L02)sin0

= 0soit encore

(ml2 + 2M3l2sin20)0f! + 2M3l2sin0cos00lk2 + 2bl2sin200T - ml2sin0cos0<))^

- k!l(21cos0 - LOI)sin6 - k2l(21cos0 - C ~ L02)sin0 & 0

Pour résoudre le problème nous avons donc les équations

" Xi *ï = M! + x (l)

(I2 + I3 \ + 2ml2sin20)(() + 4ml2sin0 cos0 <)>£ 0f = M2 + X - • • • • (2)a ^ i c o s t / " ™ L »

(ml2+2M3l2sin20)0f! + 2Msl2sin0cos00t2 + 2bl2sin200f - kil(21 cos0 - L01)sin6

- m!2sin0cos0 $£ - k2l(21cos0 - C - Lo2)sin0 = 0 (3)

*i + 21 cose - c *i = ° ' (*>

VI. EQUATIONS EN 6 ET APRES ELIMINATION DU MULTIPLICATEUR

On a X " Ii 4>" - MI . Mais en dérivant l'équation de liaison on a

ii R i u 2 R 1 sin6 ,, „, n ' . ,^î + 2 i cose - c + (ncose-c)2 2 e = ° ce qul donne

A» - R „ _ 2 & 1 sine , ,*1 ~ 21 cose - C *2 (21 cose-C)2 *2 8

en portant dans l'équation donnant X

1 - R I.i 2R I, 1 sine , ,X 21 cose' - C *2 (21 cose-C) *2 6 MI

L'équation (2) s'écrit alors

(I2+I3 +2ml2sin2e) ' + 4ml2sinecose^e' = M2 -(21 ,C)2*S "(Scoie-ffi

0'**'

R M

21 cose - C x

- 16 -

soit après regroupement

f I3 2" + 2ml2sin20 21sin0(2mlcos04

= M2 -R

21 cos0 - C

L'équation en 6 demeure donc inchangée car elle ne contenait ni cj>f ni lemultiplicateur. Les équations pour la discussion seront donc

(m!2+ 2M*l2sin20)0f! + 2M*l2sin0cos00î2 + 2bl2sin200' - ml2sin0cos0cl>£

- k1l(21cos0 - L0i)sin0 - k2l(21cos0 - C - L02)sln0 = 0

(12 •R(21cogfl

= M2 -R

21 cos0 - C

VII MOUVEMENT STATIONNAIRE

*26'

0

0 = 0

Les équations deviennent

M2 -

- kil(21cos0*-Loi)sin0* - k2l(21cos0* - L02 -• C)sin0

R *

» 0

21 cos-6* - C

La première relation peut s'écrire

* *sin0*jjnl2cos0*u)2 + kil(21cos0* - L O I ) + k2l(21cos0 -

nous admettrons que la position 0 = 0 est impossible0 TT

La configuration de l'état stationnaire est donnée par0 * 2 * #

mlz cos 0 u)2 + k1l(21cos0 - LQI)+ k2l(21cos0 ~LQ2 *" C) = 0

soit cos0*(ml2o)2 + 2kil2 + 2k2l

2) - k^ LQI - k2l(LQ2 + G) = 0

..2kil + 2 k2l

z

Cette position n'existe que si

kT Lnl 1 + k? 1in

+ O ,. .2 k2l

2

c'est à dire

u? - k] L f ) V"Z

1 + k? 1m lz

'Lno + C) 2k im m

Nous supposerons par la suite que cette condition est remplie.


- 17 -

VIII PETITS MOUVEMENTS AUTOUR DE L'ETAT STATIONNAIRE

<j>2 = ^2 + ^2

e = e* + 0" ' 2 = o>2 + ? o>2 Ti

HT $K —•cos0 = cos0 - sin0 6

}£. ££ —sin0 = sin0 + cos6 0

L'équation de Lagrange en 0 s'écrit en ne conservant que les termes infé-rieurs au second ordre

(ml2 + 2M3l2sin20*)?fî+2bl2sin20^T--k1l(21cos0*-21sin0*?--Loi) (sin6*+cosfc*ê)

- k2l(21cos0* - 21sin9*ê" - C - L02>(sin0* + cos©^)

- m!2(sin0 + cos0 ¥) (cos0 - sin0 0)(o) + 2002 2) = 0

soit encore

(ml2 + 2Mfl2sin20*)0"ft + 2bl2sin20^f - ml2o)£ sin0*cos0* - 2ml2a)2sin0cos^

-ml2(ja|(cos20*-sin20*)¥-k1l(21cos0*-Loi)sin0*-k2l(21cos0*-Lo2-C)sin0*

+2k1l2sin20^+2k2l2sin20\-kil(2^ = 0

(ml2 + 2M3l2sin20*)0"ff + 2bl2 sin20* ¥' - m!2o)2 sin0* cos0*

+ 0 n-ml2o)£(cos20 -sin20 )+2(ki4-k2)l2sin20 -kil(21cos0*-Loi)cos0

- k2l(21cos0* - C - L02)cos0*J = 0

D'après la relation d'équilibre on a«V 0£ ^

kxl(21 cos0 - LOI) + k2l(21 cos0 - Lo2 - C) = - m l2 0)| cos0

Donc ^ ^ ^-kil(21cos0 -Loi)cos0 -k2l(21cos0 -L02~C)cos0 = + ml2o)2cos20

L'équation des petits mouvements en 0 peut donc s'écrire

(ml2+2Mfl2sin20*)?" + 2bl2sin20V .+

[jml2a)2(cos20* - sin20*)+ 2(k! + k2)l2sin20* + ml2o)2cos2^ . F5t îb —

~ 2ml2 oj2 sin0 cos0 (j>2 = 0

(ml2 + 2M3l2sin20*)F" + 2bl2sin20*?' + I2sin20[2(k1 -f k2) + m (D^]F^ A —~

- 2ml2o)2 sin0 cos6 ^^ = 0

Equation de Lagrange en (j>2

^2 = -M£ • + ^TJ (f>2 " * • • • •

j» CiKl -.-. "DMI - MI + ^ *1 Mi« "*1 + 21 cose - c *i • Q

•*I + 21 ccse*- c - o

- 18 -

M> - M* - $ ' 21 cosB^ - C **

M2 " 21cos9-C Ml = M* + jfa ** " 21coVe-C(M* ~ If}" 21cose*-C *"2)

d R _ 2 R I sin6d0 21cos0-C ~ (21 cose-C)2

R = R 2 R I sine* -21cos6-C 21cose*-C (21 cosS^C)2 8 *"

M R M**i!Î2.Ti F R - .. -2R1 sin6*^t/mj* 3M] R T.xM2 ~ 21COS6-C Ml = M2 + Hj^ ~L21cose*-C ^leos^H(Ml" 21cose*-c'i)2)

R ^ R * 9Mo — 3Mi R^ —M2 ~ 21C080-C Ml = M2 * 21cos6*-C MI + 3 J *2 + 8?T (21cos6*-C)2 ^

- 2 R 1 sine* * -(21 cose-C)2 MI 6

&t R y$mais à l'équilibre stationnaire M2 - o-i • a*_p MI = 0

M R M _ ,3M2 . R! 9MiN-r, 2Rlsing* M* -M2 ' 21cose-C Ml " (9?J +(21cose'l<-C)2- t2 "(21cos6 -C)2 MI 6

on pourra avoir en général une excellente approximation avec

8 MT 9Mo _9<j>i = ° 9<t»^ = U

M R M _ 2 R 1 sjne* * -M2 21cos6-C Ml - - (21coSe*-C)

2' MI 6

c'est ce que nous supposerons par la suite. L'équation de Lagrange en $2s'écrit donc

(I2 + I3 g + 2 ml2 sin2e* +—^-2)pd

+ 21.ine" (2mlcose* + .?1 R^1 J)M| ?' = - /9

2R1 "î 9

(21cos0t-C)d/ ^ (21cos6 -C)z

Comme *i*+ 21cose^-C «" = °¥fc *

si <f>2 > 0 ceci entraîne -<^{ < 0

(21 cos0 - C = x > 0)

- 19 -

IX DISCUSSION DE LA STABILITE

On à à discuter le système linéaire

fr * T R2 NT»t . 2 R2 Ij, 1 7-, 2 R 1- sin6* M* T _ n(l2 + Zl (21cos6-C) 2 +(21cos0 -C)3 " * (21cos9 -C)* MI 6 " °

(ml2+2Mfl2sin2e*)F" + 2bl2sin26*?f + I23in26*[>2(k1-i-k2.)+muj]? -

- 2 ml2 0)2 sin0 cos6 2 " °

Le système peut s'écrire

A ê"" + B0~f -f C F•- D *"i- = 0

E $2 + F ?f + G ? - 0

Tous les coefficients étant positifs.

Posons ? - X ert -» F1 « X r ert ?lf = X r1 ert

;jT2 « y ert -^ <H>f = Y raert

on obtient le système linéaire en X et Y

(Ar2 -i- Br + C)X - DY = 0

(G ^ Fr)X -*- r E Y = 0

L'équation caractéristique sfécrit AEr3 + BEr2 -H (EC + FD)r + DG •« 0comme tous les coefficients A, E, C, D, E, Ff G sont positifs la conditionde stabilité s'écrit simplement

BE(EC -«- FD) - DG AE > 0B(EC 4- FD) - A D G > 0

B > A D GB EC -H FD

II faut donc que le coefficient b soit suffisant, c'est à dire le frottementsuffisant. La relation de stabilité permet également d'étudier commentles différentes caractéristiques agissent sur la stabilité.

- 20 -

PROBLEME N° 4

PENDULE DE FROUDE : INSTABILITE DUE AU FROTTEMENT

E N O N C E

Le pendule de Froude met particulièrement bien en évidence lesproblèmes d'instabilité lorsqu'il y a frottement. Le pendule (S2) est montésur un arbre tournant (S ) entrainé par un moteur à vitesse constante;

A (Si) on lie (R x ) : [0, XL Y! , zj

YI = Y0->-

Xi arbitraire

Zi = Xx A Y{

on repère ( R j O / C R o ) par <j> = (Z0 , Z x )

A (S2) on lie (R2) : [p, X2, \9 Î2]

Y2 = Y0

Z2 porté par la tige du pendule-»• - * * » - > •X2 = Y2 A Z2

on repère (R2)/(R0) par 6 = (Z0, Z2)

On suppose au cours de l'essai <f>' = cte =tu. On constate que sous cer-taines conditions le pendule prend un mouvement o&cillatoire à grandeamplitude. On trouve ce phénomène sur les manivelles de machine outil enposition libre. Son origine réside dans la nature du frottement.

Le moment de la liaison (Si)/(S2) est M^2 = C.YQC étant une fonction de la vitesse angulaire relative du mouvement de(S2)/(Si)

C = C(ft) avec Q = $! - 6 f -^ ' = cte » <(>f

L'allure de la courbe est la suivante :

On la trace en faisant un essaiavec 0 f = 0 c))1 = n»

£C'est positif si $' est positif.

On demande :

- de mettre en équation par les théorèmes généraux- de montrer l'existence d'un état stationnaire- de linéariser l'équation du mouvement- d'étudier la stabilité

- 21 -

S O L U T I O N

I. MISE EN EQUATION PAR LES THEOREMES GENERAUX

Appliquons le théorème du moment dynamique en 0 au solide (82)

î°(0) = ÔG A P + Mi2(0)

~6°(0) = ml 2 6" Y0

_^ [~ 1 sin6 1 (" 0 1 |~ 0O G A P = 0 A 0 = -mgl sin6

_1 cos0J0 |_mgJ0 L 0 J0

MI2 = ce*1 - e')Y0

en projection sur l'axe (0, YQ) ml2 9" = - mgl sinô + C(<j)' - 6')équation que l'on peut mettre sous la forme

6" f £ sine = -L- C(<J>' -6') (1)1 mlz

II. EXISTENCE D'UN ETAT STATIONNA'IRE

fcCherchons s'il existe un état stationnaire ô = cte = 6

0 = cte -> 0 f = 0 -> eff = 0

L'équation (1) donne | : —f sine - {r C(cO' ) (2)

*Cette relation (2) donne l'angle 0 que fait le pendule avec la verticalepour une vitesse de rotation donnée.

III. LINEARISATION DE L'EQUATION DU MOUVEMENT

Posons 0 = 0 -»• 0" ; 0 ' = 0"1 ; 0 " = 0""* * —

sin0 ^ sin0 H- cos6 0

C(cf>' -0') = C* - (|p)* P+ ...

)K ^ yçC signifiant la valeur de C pour <(>'=<()'

J)CN# . .,.. ^ n , pi C , ,*\—7) signifiant la valeur de "—-ff pour $ = <j>90 30

avec des unités convenables

«•- &•l'équation devient

- 22 -

?" + f- (sin6* + cos6*ë) » -L- [c* - (|£)* "ë'] soit

1 mi ou J

p. + i (|c}* ?, + i cose* •§• + f- sine* --Le* = oml ou 1 I mi

compte tenu de l'état stationnaire (équation 2) les termes constantsdisparaissent

?" + TS? <&>* ?' + fcose*ë = o

équation de la forme a¥fl + b¥T + c"0" = 0

Mais le problème est bien différent de celui des oscillations amorties dupendule. Ici le coefficient â& 0' n'est pas systématiquement positif.

IV. ETUDE DE LA STABILITE DU MOUVEMENT

La solution est de la forme 0 = A ert. Dfoù l'équation carac-tëristique

r + S W . r + 1 cos6 ' °

L'application du critère de Roirth donne tout de suite les conditions destabilité. La stabilité dépend du coefficient de r

3C *^* ^ù$ > ® tous les coefficients sont positifs.

Le système est stable

position stable

le coefficient de 0f est négatif.Le système est instable

position instable

- 23 -

C. On peut donc régionner la courbe en zone de stabilité et zoned'instabilité


- 24 -

PROBLEME N° 5

INSTABILITE DUE AU FROTTEMENT DE COULOMB

ENONCE |

Pour étudier le phénomène d'instabilité constaté lors de l'avance lente

d'une table de machine-outil ou lors du démarrage d'un skieur, on utilise le systè-

me suivant (Figure 1).- > • - > - > -> +

Soit (RQ) un repère galiléen : (0, X , YQ, ZQ). Le plan (0, XQ, ZQ) est

horizontal. Le solide (S ) est animé par rapport à (S-) d'un mouvement de transla-

tion horizontal de direction (0, Xn). La vitesse de translation est constante-> -> uV^ = V Xn (Vn - cte, Vn > 0). Le solide (S ) est animé lui aussi d'un mouvement

de translation de direction (0, Xn). La liaison (S )/(S ) est assurée par un res-

sort de raideur K et un amortisseur de caractéristique b monté en parallèle avec le

ressort. On pose 0 0 = - x X (x > 0). La liaison (S )/(S0) est une liaison pris-

matique avec frottement du type de Coulomb. On rappelle que lorsque deux solides

(S.) et (S ) glissent en translation l'un par rapport à l'autre, le coefficient dei K.

frottement f varie avec la vitesse relative v de (S )/(S. ), v étant définie par2 K l

i 2(V ) « v . L'allure de la variation est donnée par la figure 2.

le

1°) Mettre en équation le problème.

2°) Montrer que le système admet une position stationnaire x = x = cte.

Déterminer x .

3°) Etudier les petits mouvements autour de la position stationnaire.

4°) Trouver les conditions de stabilité.

Montrer qu'au départ si b=0, le système est toujours instable.

N.B. On admettra que pour tout le problème |xf| < Vn.

- 25 -

SOLUTION

I - MISE EN EQUATION DU PROBLEME

1-1 Analyse des actions mécaniques appliquées au solide (S ) :

1-1-1 Action du ressort :

~°î°?FR/2 = - k (1 - 1Q) J_4R/2 ° ivJlÔjÔ I = 1 = x ;~Ô~ 2 - - x X , = - x XQ

fR/2 = k (X-X0} *0

1-1-2 Action de 1'amortisseur :

*A/2--yX> b>'°

%(V=d7 °i°2• - x> *o

donc ?A/2 - b x' XQ

1-1-3 Action à distance :

Le poids de (S ) appliqué en G

f 2 - - mg ÎQ

I-J-4 Action du sol sur (S )iLi

L'action du sol sur (S ) est équivalente à un vecteur glissant unique

HF = Y02 02

L° E°Les composantes Xn? et Y sont liées par les lois de Coulomb. Lorsqu'il

y a glissement de (S.) sur le sol, on a

|v | = f | Y I f = f ( Â f 0 >!A02 I ' 02" ^ 2J

et X - opposée à la vitesse de glissement V£ d'un point du solide (S ) (Transla-

tion) .


- 26 -

Calculons ^2 (°?^ :

->n -M -K)Vï (V = V2(°2) + VV

V[ (02) = - x' XQ

V? <°2> = V0 *0 V0 > °

donc

V° (02) = (V0-x') XQ

Puisqu'on admet que |xf|< V on a

v° (02) > o

De plus comme Y 2 est directement opposée au poids Y > 0

on peut donc écrireX02 ' - f Y02

De plus on peut écrire

f - £ (V0-x')=f(V0)-x'(|ij 4x<2(4) *-.V v=VQ \9v

2/ v=VQ

f = f (V ) - x' |1° \9v/ v=VQ

On a donc finalement

^.ff^-fëJ^Jv,Y02.0 J RL . R0

1-2 Application des théorèmes généraux

Le théorème de la somme géométrique nous permet d'écrire

?R/2 + ?A/2 + ?02 + ?2 = m ?°W

o o K"x7|3°<w .'fe ) =fc o . o

. o J L o _Ro Ro/

1-2-1 En projection sur X- :

k (x-x0) + bx' - f(V0) - (|i) x' Y » - m x" (1)

|_ V=VOJ

- 27 -

1-2-2 En projection SUT Y~ :

YQ2 - mg = 0 (2)

1-2-3 Elimination :

(2) permet d'exprimer Y et de remplacer dans (1)

k (x-x ) + b x1 - f (Vn) - (|£) x1 mg = - m x"u u Wv-y

soit encore

m x" + b + (Ir) më x' + k<x-*ft> - mgf (Vn) = 0v^'V^V U U

II - RECHERCHE D'UNE POSITION STATIONNAIRE x*

S'il existe cette position on aura

x = x* + xf = 0 xf! = 0

et elle devra vérifier l'équation du mouvement

k (X*-XQ) - mgf(V0) = 0

- m g f ( V )x = xo + —1

III - PETITS MOUVEMENTS AUTOUR DE LA POSITION STATIONNAIRE

3~1 Posons : x = x + x ,x est une petite variation de x autour de x

x' = x'

x" = x"

L'équation du mouvement s'écrit donc

m x" + b + (|) mg x' + k (x*-xn) + kx - mgf (Vn) - 0\av/v=V

Mais si l'on tient compte de l'état stationnaire on obtient

m xlf + ' ' b + Œg (~) x' + kx - 0

L v y"°"ojEquation qui régit les petits mouvements autour de l'état stationnaire.

- 28 -

IV - ETUDE DE LA STABILITE

On cherche des solutions de la forme x = A ert ce qui conduità l'équation caractéristique

mr2 + jb + mg (-ff)] r + k = 0

J\ £

D'après la loi de variation de f = f (v) on sait que (—) . = - aavec a > 0, L'équation caractéristique peut donc v v~v°s'écrire

m r2 + (b - mga)r + k = 0

La condition de stabilité est que tous les coefficients soient positifs,

b - mga > 0

II faut qu'il y ait un frottement visqueux suffisant.

V - ETUDE DU CAS PARTICULIER 0%U IL Y A UNE RACINE DOUBLE

Supposons que la condition précédente soit remplie mais qu'il yait une racine double (elle sera nécessairement réelle et négative). Cher-chons la condition

6 = (b - mga)2 - 4 k m

0 = (b - mga)2 - 4 k m On aura donc b - mga = 2 v^cm

b = mga +2\/kmr

La racine double est donc r * - m^a2m

r - -/€/ m

/£tII y aura donc une solution de la forme x = (Aj + A2t)ev m

on aura x -> 0 pour t •* <» dans tous les cas. Par suite la sta-bilité est assurée.

- 29 -

PROBLEME N° 6

ETUDE DE LA STABILITE DES POSITIONS STATIONNAIRES

D'UN VEHICULE SPACIAL DANS L 1 ESPACE TERRE-LUNE.

E N O N C E

On admet que pendant l'expérience spaciale le centre d'inertiedu système terre-lune se déplace peu et qufainsi un repère issu de G, centred'inertie du système terre-lune, et dont les axes sont pointés vers desétoiles fixes, est un repère Galiléen (pour l'expérience en cours). On ad-mettra que les deux astres terre et lune restent dans un plan du repère ga-lileen. On prend comme repère (G, Xg, Yg, Zg) un repère tel que le plan(G, Xg, Yg) soit le plan du mouvement (figure 1).

- » • - > • - >Au système terre-lune on joint le repère RI : (G, Xi , Y! , Z\)

•*• TLXi = I j» I T et L désignant les centres de la terre et de la lune

î - 3L\ Zg?x = îj A \

On repère le mouvement de (R1)/(Rg) par ip = (Xg, Xj)

La trajectoire de la lune autour de la terre étant quasiment cir-culaire, il résulte que les distances TL, GL, GT sont très peu variables(l'excentricité de la trajectoire elliptique est e =0,055). On admettradans tout le problème qu'elles sont constantes.

On pose GÎ = XT Xj ML masse de la lune

GL = XL A} Mj masse de la terre

TL = D Xi

On pose* 8D distance terre lune : 3,84 . 10 m

ML masse de la lune : 0,0123 M T= 7,37 . 1022 Kg

à titre indicatif ^ masse de la terre : 5>97 • 1()24 KêMO - Mrji + ML masse de l'ensemble terre lune :

1 MT,. y = 82745 " M?

1) Calculer x^ et XL en fonction de D et y.

2) On suppose dans un premier temps que la terre et la lune sont seuleset que la seule action agissant sur la lune est l'action de gravita-tion de la terre.


- 30 -

En appliquant le théorème de la somme géométrique à la lunemontrer qu'avec lfhypothèse faite (distances invariables) on a lesrelations

if;' = a) = cte

a)2 XL = K(1DJ en posant K = k MQ

(2)

k étant la constante d'attraction universelle : 6,67.10^(M.K.S.A.)

3) On lance un véhicule spacial de masse m dans la région terre-lune(figure 2) et l'on suppose vu les masses en jeu que ce véhicule neperturbe absolument pas le mouvement de la terre et de la lune. Onrepère le mouvement du véhicule P par :

GP = (x, y, z)R

En .utilisant les équations de Lagrange, montrez que les équationsdu mouvement P s'écrivent :

" x" - u2x - 2u>y ' = - fj ( 1 - P) (x - XT) - p- (x - XL)•*• Li

y" - io2y + 2o)X' = - ^3- ( 1 - y)y - ^- yrT rLII &• / 1 \ JX

z = - rT O - ^)z - 73T zL rT rL

avec rT = |TP| rL = |LP|

4) Montrer que l'on peut écrire une intégrale première quadratique.

5) Quelle relation doivent vérifier x, y, z pour qu'ils correspondent à unetrajectoire ?

6) Montrez que le véhicule admet dans (R*) des positions stationnaires*

x = cte = xy = cte = y# P = Pz = cte = z

On peut classer ces positions en deux groupes :HT

. un premier groupe où le satellite P est sur l'axe TL (y = 0)

. un deuxième groupe où le satellite est situé hors de l'axe (y**V 0).On désigne par P* et PS les positions correspondantes. Montrez en

particulier que P et #5 sont les sommets de triangles équilatéraux debase TL (figure 3) (on utilisera la relation 2 donnée).

*7) Montrez que le mouvement voisin de la position stationnaire P^ est défini

par les équations :

x!I - 2 u>y ' - |ta2 x- - | ( l - 2y) /3 o>2 y - 0

y" -H 2o)x' - | (l -2u) /3 ça2 x - |- a)2 y = 0 (3)

z"fl + uj2 z" = 0jjj.

8) Etudiez la stabilité de la position P^.


- 31 -

SOLUTION

I. CALCUL DE XL ET xj EN FONCTION DE D ET y

Le centre d'inertie G est défini par

Hj, GT + ML GL = 0

MT XT + ML XL = 0 (*)d'autre part > > >

IL = TG + GL

DXi = - XT Xi + XL Xi

D = - XT + XL (2)

MLLes équations (1) et (2) donnent XT = - D jj— j-

XT = - D . y I (3)en portant dans (2) , ; . ' «

XL = D (1 - y) (4)

II. RELATION DEFINISSANT LE MOUVEMENT DE L'ENSEMBLE TERRE-LUNE EN SUPPOSANT LESDISTANCES INVARIABLES

Appliquons à la lune le théorème de la somme géométrique

fT/L = *L ' CL)

Jg(L) = J^L) + jf(L) + 2 nf A V^L)

J1 (L) = x£ Xi

+ F-XL *'2"jf(D - XL *"

L ° JR12 Sf A V1 (L) = 2 * ' Zi A x£ Xl - 2 * ' XL Yi

-> FXL ~ XL *'2Jg(L) = XL *" + 2 *' XL

Lo JR1

F - k MT. ' ML XTFT/L " D 2 ' X1

On a donc les équations jrS^L = XL' - XL ^'

0 = XL *" + 2 *' XL

Si D (distance terre-lune) est constante on a, d'après (4) XL = cteXL = cte -»• x£ = 0 -»• XL' = 0


- 32 -

La deuxième équation donne 4>ff = 0 •+• ipf = cte = ^ (5)En portant ces valeurs dans la première équation

2 k MTXL . o)z = ~~H-

mais MX = MO - ML

MT - MO (i-^)

Mj. • - M0 (1 - y)

2 K (l - y) 1 (^XL . uz = —g? (6>

III. EQUATIONS DU MOUVEMENT DU SATELLITE DANS L'ESPACE TERRE-LUNE

II y a finition de force pour les forces agissant sur le satelliteOn pourra donc écrire les équations de Lagrange

d_ 9T_. H 1H » odt C3x i ; 3x ~ 3x

d_ .31 v 3£ ^IJ _ ndt (-^yr) 3y ~ 3y

d_ (3T_. _ 11 _ 1£ = 0dt ^z'^ ~ 3z 3z

A. Calcul de T^

Tg . ^ m [yg(P)]2

^g(P) = ^i(p) + ^f(p)

f x > "^l(p) . y »z ' -U1 r r- -i0 ~ x - uy^f (P) = ^ f A G ? = 0 A ' y = iox

L u J D L ZJR L ° _j DRl Rl ^Rl

Fx1 - uyVS(P) y' + wx

LZ ' J.,T8 = — m [xl2 + y f 2 •+ z f 2 + o)2(x2 + y2) - 2 ojyx1 + 2 o)xy[]


- 33 -

B. Calcul de la fonction de force U

II s'agit de la fonction de force de gravitation due à la terreet à la lune.

- k m MT k m MLrT + rL

mais MT = Mo ( 1 -y) ML = MQ y

rT = |T?| ' ^ rL = |L? |

rj = / (x - XT)Z + y2 + zz

rL = / (x - XL)Z + yz + zz

kmMn kmMn uU (1 - y) + - —

ri rL

C. Equations de Lagrange

5 (x> : 9T , , ,<*~ -§p- - m (x' - uy)

d 8T / il t \dTâ^ = m (x -wy >

A m

— = m (o)2x +• CD y1)

12. » ^U 9rT , 9U 9rT.3x "" 3rT 3x 3rL 3x

3U 1•^ = - tan MO (1 - P)

3rx = x^ - XT " x - XT3x /(x -..XT)Z -H yz + zz rT

3U 3rx , x, / , N x ' - XT___! = - k m M o ( l - u ) —^

de même 3U 3rr 1 w x - XT_ . -L = -km M0 y -I^L

3U f , ,, N x - XT , x - X T I ,,^ - | _ - k m ( l - y ) -^I-kmy-^Lj Mfl

d'où l'équation, après simplification par m

x" - 2 a, y' - (o2 x = - K (l - y) i-IgS. - K y 3 1 (7)rT rL

te?(Y) : f£r = m (y' + a>x)

^HT = m (y" + a,x')

r\ fp

— = (a)2 y - o)xf) m-

- 34 -

i£ - au 9rT + 3U- lEL9y "" 3rT 3y 3rL 3y

aTT V V-— = - K m ( l - p ) j 3 - - K m y f s -oy TT rL

y" + 2 uix' - u)2 y = - K (1 - y) -£ - K y -£ (8>rT rL

^(z): !F< > - -.-|£ = - K m (1 - y) -T - K m y - J

rT L

z" - - K ( J - y ) | T - K p ^ T (9)T L

IV. INTEGRALE PREMIERE QUADRATIQUE

On peut écrire l'intégrale première de Painlevé T2 - T0 = U + h

T2 = jm (x'2 + y'2 + z'2)

T0 = -j m a)2 (x2 + y2)

L'intégrale de Painlevé s'écrit donc

1 (x,2 + y,2 + z-2) _ 1 U2(X2 + y2) = ^ ( i - y ) + M y + hz * ^T L

soit l xn 9yx '2 + y t 2 + Z i 2 = £K ( j _ y) + fl y + ^2 (X2 + y2) + 2h (10)

rT rL

le premier membre est toujours positif,d où

V2 = tu2 (x2 + y2) + — (1 - y) + SE + C (11)rT L

V. RELATION QUI EST VERIFIEE PAR x, y, z

Le second membre de l'équation (10) doit être positif ; d'où

(x2 + y2) + — (1 - y) + 2K — + C > 0 (12)rT rL

Cette relation permet de régionner le plan. Dans certaines régions, lestrajectoires sont possibles, dans d'autres elles ne le sont pas.

- 35 -

VI. POSITIONS D'EQUILIBRE DANS L'ESPACE TERRE LUNE

Les positions d'équilibre sont définies par :

x « cte = x* -> x' = 0 -* x" = 0y = cte = y -*• yf = 0 -> y" = 0z = cte = z* •* z' = 0 -* zn = 0

En portant ces valeurs dans les équations du mouvement* *

o)2x* -K(l -y) X 3 XT - K y X 3 XT. = 0 (13)rT rL* *

u2y* - K<I - M) Jr- K P Jr - o (14)rT rL

* *+ K(l - y) £3- + K y 77 = 0 (15)

T L

On peut transformer le système* *

? * ,r / , \ x ~ XT X - XT _co^x - K (1 ~ y) —-3 L - K M —73—L = °

T L

y* p - K ( i -y ) 73- - K P TT~| - oL- T LJ

-* K (. i H. + fy = 0rT L

La dernière équation donne comme seule seolution : z = 0

II reste donc à résoudre le système

a2 x* - K (1 - y) X r3 XT - K y X* «j - 0 (16)T L

y* U2 - K (1 -P ) ±y - K y 73-1 = 0 (17)-1- T LJ

avec du fait que z = 0 r^ = (x - x )2 + y2

r2 » (x - XL)Z + y 2

A. Premier groupe de solution : y = 0

La deuxième équation (17) est vérifiée pour y « 0. Les positionsd'équilibre sont situées sur l'axe terre lune. Il faut préciser la positionde ces points sur cet axe.

Jt vV

L'équation (16) devient avec rT « x - XT ; rL = x - x

û)Zx* - K(l -'y) ^ ] „ - K^ -—-L _ = o(x* - XT)

Z ^ (x - XL)Z

- 36 -

avec u) = 0,23 rad/jour

y = 82745

Pour résoudre cette équation on peut tracer les courbes

9 *Y! = o)z x

Y2 - *(1 -y) (x. 1^+K-y (/I-XL).

&

On trouve trois points d'intersection : X = - 1,005 Dx = 0,837 Dx = 1,135 D

B. Deuxième groupe de solution y* 0

L'équation (17) peut aussi être vérifiée si

U)2 - K(l - y) ' - K y ' = 0 (18)rT rL

L'équation (16) peut s'écrire

X* L2 - K(l - y) * - K y ' 1 -K(l-p)^-Ky% = 0L T LJ T L

compte tenu de la relation précédente cette équation devient

(1 - M)-3 + P 7 - 0rT rL

soit (£1)3 = -l S avec x . _ D y•Lj H -<W 1

XL = D(l -y)

(II) 3 , j soit r =

rL L

La relation (18) s'écrit a)2 = (19)rT

or la relation (6) donne XL o>2 - ——rz——

mais XL = D (1 - y)

û>2= |r (20)

(19) et (20) donnent donc D = r « TL

On trouve donc deux configurations d'équilibre

VII. EQUATION DU MOUVEMENT VOISIN DE LA POSITION P*

Ecrivons les équations sous la forme

x" - 2u>y' - L2X- K(l - W ) i-Ijîl. - K y ^-V^l = 0T L .J

y" + 2u>x' - L2y - K(l - p) Jy - Ky Jj 1 = 0L T L J

z" - |~- K( l - y ) |T- Ky fg-1 = 0L T L J

Ces équations sont donc de la forme : x" - 2o>y' - X(x, y, z) = 0y" + 2ojx' - Y(x, y, z) = 0z" - Z(x, y , z ) = 0

A. Linéarisation des équations (x), (y), (z)* — * — * —

Posons x = x +x y = y +y z = z +z

Ceci entraîne x'=x' y'=y' z'=z'x" = x" y" = y" z" = 7"

II faut développer X, Y, Z au voisinage de la position d'équilibre


- 38 -

1. Linéarisation de«C(x)

X = X* + (|V x + (| )* y + (| )* I + terme de 2nd ordred x d y d z

X = 0 (d'après l'équation 16)

3X ? / t v 9 xX - XT\ 3 /x - XT \3ÏÏ = <* - K ( 1 - p) âî (-H-11) " K y aï (~ïT^

JL JL

x - XT x - XTr| = L(X - XT)Z + yz + z^J3 / z

8 .X-XTN _ Rx-xT)2* y2+22l3/2 ~ 3/2 (X-XT) RX-XT)2+ y2+ z2!1/2 2(x-xT)ax Tl" ~- l_(x-xT) + y- + z j *

= ~2 (x - xT)2 + y2 +g5 _ -2 (x - xy)2 + y2 + z2

[(x - XT) + y^ + z jW* ?|

X -.XL _ X - X Tr£ L(x - XL) + y2 + z^J37"

H ' n ù -i f2LZ*Lï - -2 (x - xjj2 + y2 + z2 _ -2 (x - xT,)2 + y2 + z2

a ou 3x (. ^j—; - |_(X_ XL)^ + y^ + z^'^ ~ rj

* a donc g . ^ - K ( i - ») -^ - T^ ^2 * '2 - IM ^fe^JHLafJL JL

* *On a rT = rL = D

y * . ,4v* - XL * XTx - _L

* » D(l - y) - D px 2

x* = f (1 - 2p)

* D * DX ~ XT = 2 X ~ XL = ~ 2

- D2. + 3 2 . £f. + 1 D2

(«)• . 0>* - K( l - y) -2 i— - K. -2 *—3X D5 D5

..3X,* ,.,2 1 K . o K(...) .« ' -- . -y ma^s a,2 = -y

,3X,* 3 2(9x-} = 4 "

- 39 -

3X _ _ , , x 3 • x - xTs „ 3 xx — XT v_ . - K(l - y) - (-^—) - K y (-^)

â| C2-^) - - U - *T> [U - *T)2 * y2 + z2]-*/2 - | 2y,, „ (x - XT)Y

" ~ [<* - *T)Z + y* + z^J s /2

de même j)_ ,x ~ XL\ _ o (x - X L ) y /3y ^~~^ J ~ j_(x - X T ) Z + yz + z^J ° ^

JL i-i

3x - + -3Kn - u^ (x - xT)y (x - XL)y97 + JM1 y; i_(X - XT)Z + y^ + Z Z J D / ^ JKPL(x-x

L)z+y ^^J5^

D ^ D _ £ . £| D

(||>* = 3KC1 - y) i^-2- + 3Di " 2 *5 2 = f K( l - 2u)

(||)- = | ( , - 2 y) /3 . 2

g . _K 0 . , ) | . (2L-X )-K y |_ (3L-L )

1 Li

- + TK(\ - u1 . ^K " yft 2 i T i « M I Ttfu. ^X " XI.') ^ i i «.M- + 3KU ^^[_(x-xT)2 + y* + z^J5/2 + 3KP[(x-xL)2+y1+z2J5/i

(|f)* = 0 (z* = 0)

au second ordre près

X - -| a)2 x •»• | (1 - 2y) /3 a)2 y

L'équation o^(x) linéarisée est donc

x f f - 2o)"yf - |- co2x - |- ( 1 - 2y) /3 o)2y = 0

2. Linéarisation de oC (y)

* 9Y.» - .3Y,* - .3Y.* -Y - Y -H (-) x + (^) y + (^) z

en négligeant les termes du second ordre

« - -KC-»)!:^ - K.fe^1 JLi

- 40 -

îj = ]_(x - xTK + y* + z^=/ +

£<&•- * | y E (^ - V2 + y2 + s2]'5/2- 2 (x - XT)

_JL (_y_) = - 3 y •(*•- XT)8x rT [(x - xT)2 + y2 + z2P/2

_1 (Z_) - - 3 y (* - XL)9X *L [(x -X L ) 2 + y2 + 22j5/2

£ - + 3 K ( 1 - P ) y (X " XT) - - t 3 K y y (X " XL)

9x [(x - xT)2 + y2 + z2J5/2 [(x - xT)2 + y2 + z^ 5/2

. , _. _ 8Xexpression identique a TT-dy

(||)* = | (1 - 2y) Sî *>*

f ' «^KC l -My fy fe -W^r f )1 ij

_3 , y, Rx - xT)2 + y2 + z2l3/2 - 3/2 y f(x - xT)2 + y2 + z2]1/2 2y3y ^f [ix - XT)Z + y^ + z^j3

(x - XT)2 + y2 + z2 -3 y2

|_(x - XT)Z + yz + zz_P/*

= (x ~ xT)2 - 2y2 + z2

|_(x - XT)Z + yz •+' z^J0/^

-i t y) = (x - xT)2 - 2y2 + z2

8y Vf kx - x ' ) z + 'y* + zzj =5/2

Li JL

£L - - K d y), (X"XTJ2 " ?y2 +.z!;. - ru. (X"XL)/ " 2f + **:, + o > 2

9y K U y;L(x-xT)^ + y^ + .z*_]:>/* KM|_(x-xt)^ + y^ + z^Jb /2 * "

£i 2.3.D2 D^ 2.3.D2

(|I)* . -K (, - P) 4 " 4 -K P 4 " 4 + U*

Sy D5 D5

- I D2

= -K _i + U2D5

.9Y.* 5 K 2 9 2

V = + 4 D ^ + U ) = 4 1 0

- 41 -

|| . . KO-^^-K,^

âf Çj> - y - 1 E(* - V2 + y2 + z 2. 2z

- - 3 y z |_(x - XT)Z + yz + zzj=/^

de même

3z (rj5 = " 3 y Z |_(x - XL)Z •+ yz + z J D/2

# 3Y •*on a donc immédiatement comme z = 0 (-T—). = 0

dZQ û _

D !où Y = ~ (1 - 2y) v/3 co2 x + j a)2 y

L'équation linéarisée oC! (y) est donc :

y" + 2 a) x1 - - (1 - 2y) /3 co2 x - ^ co2 y" = 0

3. Linéarisation deoC(z)

Z . Z* + (!£)•*•-•+ (5i)* y + (|i)* 7 au second ordre prèsox o y o z

Z* - 0

II , - K O - „) |_ (_|, - K „ |_ ( ,

3 Z * #immédiatement (T—) = 0 (z = 0)

dX

II . - r ( , - M ) | y ^ ) - k u | y < ^ )

(f)" - 0

|| , - K ( , - „, |_ fe, - K „ |- , )JL L

J_ z , (x - xT)2 + y2 H- z2_- 2z2

8z ~ l_(x - XT)^ + y^ + z^J 0 ' ^

9 /z ^ (x - xL)2 + y2 ~ 2z2

9z ~ L<x - XT>^ + ^ + ZH3 /^

9Z - vn , (x-xT)2+y2 - 2z2 (x-xT)2 + y2 ~ 2z^— - - K-Cl-u;^x_^^+ya+z2js/2- ^Ux-^y^ + y^ + z^= '^

D i + 3 ? i §i + |D23Z.* _ _ * / , _ „ } ^ 4 _ Ku

4 4 = - 2-- ^ - K ° y)

D5 KP D5 D^

,3Z.* 2(^) = - (O2

- 42 -

Z = u)2 z au second ordre près

L'équation linéarisée *%x(z) est donc zl! + u)2z = 0

VIII. ETUDE DE LA STABILITE A L'AIDE DU CRITERE DE ROUTH

On a donc le système linéaire

x" - 2 a) y1 - | a)2 x - | (1 - 2y) /3 u>2 y = 0

Q Qy f f + 2 a) x f - j- (1 - 2y) /3 u>2 x - -| ou2 y = 0

z" -H co2 r = oLa dernière équation es _ indépendante des deux premières et cor-

respond à un mouvement stable en z. Il reste donc à examiner la stabilité dusystème formé par les deux premières équations.

Posons x" = A ert x"1 = A r ert x"11 = A r2 ert

y = B e" y1 = B r .e*t y*' = B r2 ert

A r2 - 2 a) B r - -| a)2 A - «I (1 - 2y) /3 co2 B = 0

B r2 + 2 a) r A - | ( 1 - 2y) /3 a)2 A - -| a)2 B = 0

Ce système peut s'écrire

(r2 - | o)2)A - [2 a) r + |( 1 - 2y) /3 o)2J B » 0

[2 a) r - -|(1 - 2y) /3 eu2] A + (r2 - ~ ca2)B = 0

Pour que ce système admette une solution autre que la solution banale, ilfaut et il suffit que son déterminant soit nul

A = (r2 - |o)2)(r2 - |o)2) + [2cor + |(l«2y)/3o)2J [2o)r - |( l-2y)/3o)2] = 0

A = rk -H (- 42 - |ù)2 + 4o)2)r2 + - (l-2y)2 = 0H H I O 1 D

rt + 2 + 27^_ y (, _ y) = 0

avec y - 1

L'équation est une équation bicarrée

6 = ai1* [l - 27 y (1 T P>]

S = - a)2

P = | p ( 1 - y)


- 43 -

Compte tenu de la valeur de y ô > 0S < 0P > 0

r\

Les racines en rz sont réelles et négatives. Les racines en r sont ima-ginaires pures. Le système est stable.

- 44 -

PROBLEME N° 7

STABILISATION D'UN SATELLITE ARTIFICIEL SUR ORBITE

CIRCULAIRE PAR GRADIENT DE GRAVITE

ENONCE

Le centre d'inertie G d'un satellite artificiel^S)décrit dans le repère

galilëen Rn une orbite circulaire de centre : le centre de la terre 0 et de rayon(j

VREPERAGE DU SATELLITE

r * * * iSoit R le repère galilëen I 0, X , Y , Z .Le plan de l'orbite du centre

du satellite est le plan (0 Z , X ).

Repérage du centre G du satellite : ».-* or -* -> - > - * - >

Soit RQ un repère tel que ZQ - ; YQ = YQ ; XQ ~ YQ A ZQ.

+0 -»•On repère la position de G par (Z , Zft)= a on suppose a' = ça = cte

(orbite circulaire).

REPERAGE ANGULAIRE DU SATELLITE_ + + + + + +Au satellite (S) on lie le repère R : I G, Xg, Y , Zg Xg, Y , Z sont

portés par les axes principaux d'inertie de(S).

On repère la position de R~ par rapport à RO par les angles i|>, 6, <)> qui ne

sont pas les angles d'Euler classiques ; fy0 et c() sont définis ainsi :-* ->- ->• -»•

Le plan(G, YC^Z ) couple le plan (G,Xn Y ) suivant une droite support du_ ) . o b U U ^ ^ ^ - ^ - ^

vecteur unitaire Y ; on construit le repère R. tel que Z=Zn et X=Y AZ ; on

repère la rotation de R. par rapport à Rn par i^=^Xn,X ).1 vJ v J l ' ^ ^ - ^ - ^ - ^ - ^ ^ .

on construit le repère R2 tel que Y =Y , X2=X , Z2=X2AY ,

on repère la rotation de R2 par rapport à R par 6 = (X ,X2>.

"*" "*" . /"*" "*" \On passe de R0 à Rc par une rotation d'axe X0=XC définie par ((> =\Y , Y ;

Z b Z b Z b

1°) Matrices de changement de composantes

x.l fx i "1 k

Soit W un vecteur de composantes y. et y1 K.

_ZiJRi L2^

- 45 -

Ecrire les matrices de changement de composantes quand on fait

i = 0 k = 1

i = 1 k = 2

i = 2 k = s

i = 0 k = 2

i = 0 k = s

2°) Chaque particule de matrice de masse dm entourant le point M défini par"* FxlGM = y est soumise a une force attractive

z R ~* K ~*S dF = OM dm (K étant une constante)

|OM|

Déterminer en G le vecteur moment résultant M(G) des forces attractives. La ma-

•in o o -trice I est connue 1 = 0 I 0 0 . On pourra supposer |GMJ comme

G G 2.2.0 ° I34L JRg

un infiniment petit du 1er ordre devant r~.

3°) Etude du mouvement du satellite autour du centre dfinertie G par appli-

cation du théorème du moment dynamique en G.

a) Déterminer les positions d'équilibre dans R~ (i(f=0>0 « 0 9 cj) = 0)

b) Ecrire le système différentiel régissant les petits mouvements

autour de la position stationnaire ty = 0,6 = 0»<f> = 0*T22 "Sac) On pose a = =

11

x T22 - Tll

b =

33

Déterminer les relations entre a et b pour qu'il y ait stabilité.

Interpréter les résultats dans le plan des a, b.

- 46 -

SOLUTION

I - MATRICES DE CHANGEMENT DE COMPOSANTES : ANGLES D'EULER SPECIAUX

X cos^ sinijj 0 X~ X^ cosifr -sinij; 0 X-

Y. = -simj> cosi^ 0 Y Y « sinij; cost|; 0 Y

Z j 0 0 1 ZQ ZQ 0 0 1 Z j

"X 1 "Vcose 0 sinel f x " . f^l "cosô ° -sin6 X

Y j . . - 0 1 ° Y2 Y2 = ° * ° Yl

Z —sin6 0 cos0 Z Z^ sinO 0 cosG Z

xoi r ] ° ° FX i FX 1 r i ° o "i FXO2 s s 2

Y0 = 0 cos<() -sin<() Y Y 0 cosc() sine Y0z s s 2

Z? 0 sin<fr coscf) Z Z 0 -sin<j> cosc)) Z9^ S S 2.

XQ cosif/ cos8 - sin^ cosij; sin6 X?

YQ = sin^ cos0 cosij; sin^ sin0 Y

ZQ - sin6 0 cose Z

X^ cosif; cos6 sinip cose -sine Xn

Y2 - sinij; cos^ 0 YQ

Z« cos^ sine siwlf sine cose Zn

XQ cosi|; cose -sinij; cos<J) +cosi|; sine sin<f> sin^ sin<|) + cosi|; sine coscj) X

YQ « sini|; cose cosip cos<j> +sini(; sine sincf> -cos^ sin^ + siity sine coS(j> Y

ZQ - sine cose sin<{) cose cos$ Z

X cosi/; cose sinty cose - sine |Xns 0

Y = -sinij; cos<j) + cosip sine sin(|) cosi/j coscj) + siinf; sine sin<J> cose sin<() Y

Z sinij; situ}» •+• cosi|^ sine cos4> -cosij; sin(j> + sini/; sine cos<(> cose cos$- Zn

- 47 -

II - DETERMINATION DU MOMENT EN G DES FORCES ATTRACTIVES' /* fc. '*

M = - K / GM A °M , dmtG>

rJ*BB IÔMI 3

X

GM = y OM = OG + GM = rQZ + GM

lzJ*s

^>--KJ^"wdmM€S

Exprimons |OM|3 = | r _ Z + GM|3

— 3 T -+ 2~1 3/2 — 7 — -*Nous pouvons écrire |OM| = [JOM| j avec |OM,| = OM.OM

_ _ =[roV^]' [V0 + ^]

|OM|2 = rQ2 + 2 rQ ZQ . ~GM + |ÔÎ)2 ^ _^

! -»i 2 2 -»• —» 9 F Zn.GM-i|oM| 2 . r 0

2 + 2 r 0 ? 0 . G l î = r 0

2 [ , + 2-f_]

,-*,3 3 F 2 ^n • GM]3 / 2 r 31_ . ^-,i«i3-y^'+-V-J -ro3['+-v-]

- G M A Ô G K / . _ ^ _ ^ 3 Z..GMM(G) = " K / ,-^,3 dm " ô- / (GM A OG) ( 1 ii ) dm

^ J |OM|J r3J rOMes ° Mes

îL,- - -^ /"GM A o7dm -i- /" (GMA^, ^ ^ J ~>W 3 y 3 J r0) ZQ . GM dm or OG - rQZ0

M6S U MéS

^TG = + K ^ _ A / * G M d m + AGMAZQ) (ZQ.GM) dmrn -' ro ^0 M€S M6S

Le premier terme est nul car G est centre d'inertie.

ïr ZQ A/* G .(Z0.G ) dmrO ~Ti€S

->

Calcul des composantes de M^

- sinG_>. -+ —+>Z = cose sin<f> Z0.GM = - x sine + y cos0 sin<() •*• z cos6 coscj)

COS0 COSCJ) ^L J Rs

- 48 -

- sin 6 x z cos0 sincf) - y cos6 coscj)

Zn A GM = cos0 sin<j> A y = x cosG coscj) + z sinG

cos0 cos<f) _ z -y sin0 - x cos0 sin<f> pL j RS L JRS L JKs

\Ç - xz sin0 cos0 sincj) + z^ cos 0 coscf) sincj) + xy sin0 cos0 cos<f>• 9 9 9 9 2 2 — 1I - y cos 0 sin<f> coscf) - yz cos 0cos cj> + zy cos 0 sin 4jdm

/"» . f r __ ^ 2 2 2Zn A]GM(Z .GM)dm = 1 - x sin0 cos0 cos<(> + xy cos 0 sin<t> cos(f) + xz cos 0 cos $u «•/ u 1 2 2 1

MeS J I- xz sin 0 + yz sin0 cos0 sincf) + z cos0 sin0 coscf) dm

2 2 2/"Txy sin 0• - y sin0 cos0 sincf) - zy sin0 cos0 coscf) + x sin0 cos0I 2 2 2 1J rsincf) - xy cos 0 sin <J> - xz cos 0 sincj) coscf) j dm

—* —* — t r rMais les axes X0 Y 2> sont principaux d f inertie /xy dm = 0 Ixz dm = 0

/yz dm = 0

r 2 2 2 . ^I (z -y ) cos 0 coscj) sincf) dm

—* /—» -> —* r 2 2Z AI GM (ZQ.GM) dm = I (z -x ) sin0 cos0 coscj) dm

vj-^q /* O 9

I (x -y ) sin0 cos0 sincf) dmy J RsOr I.j 1 - J(j2+z2) dm I22 = J(*2+z2) dm 1 = Ax2+y2) dm

MeS M€S M£S

"" 2 ""(I22 "

I33) cos e COS(1) sin<fr

M^ 3 K (I ~ ' I Q Q ) sin^ cos0 coscj)(G) * " ~ 3

rO (I00 - I t 1 ) sin0 cos0 sincj) '22 11 JRg

Remarque : L'orbite est circulaire (af = a) » constante) : elle est parcourue à/*Kvitesse constante VQ - r - /— ; Qn en _K_ = 2,

V ro

"" 2 ""(I22 - I33> cos 0 coscj) sincf)

M(GÎ " ^ w ^11" "S^ s^"n ô cose coscf)

(I22 " I1 j ) sin e cose sin* R

» ^

- 49 -

III - ETUDE DU MOUVEMENT DU SATELLITE AUTOUR DU CENTRE D'INERTIE G

On applique le théorème du moment dynamique dans le repère R (galiléeno

par hypothèse)

Ôg(G) = M(G)^_ Çf

Recherche de <58(G) - dg U fG)

dt

?(G) = NEs [f li] ES"l,, 0 0

avec 1 = 0 loo 0G ^^

° ° '"J ,L J Rs

«s ' °s + fli + n? + n?

fl| - *' Xg + . 0 ' Y2 + ^'- Z j + a' YQ

<)>' 0 - sin 6 sin^ cos6

gŒS = 0 + 6 ' cosif1 + 'l'' cosô sin<f> + w cosi// cos<j) + sin^ sin6 sin<t>

0 -sin<ti „ cosQ cos<|) D -cos'J' sin<f> + sin^ sin0 cos<)>. JRs L J Rs L J s L

Rs

<() f - -ij;1 sin0 + a)sini(; cos6

g£c = 61 cos<() + i^1 cos6 sincj) + a)(cos^ cos(j) •*• sini^ sinG sincf) )

«^

-0f sin<f) + i^1 cosô cos<|> + a) ••(- cosip sincj) + sinif; sin0 cos cj>)L J Rs

!| C^1 " ^ f sln0 + u> sin^ cos 8)g

y (G) * I^2 (6 f coscf) + ip1 cos0 sine}) + a)(cosi|> cosc}) 4- sinif^ sin0 sin <(>))

I (-6'f sincj) + ij> f cos0 coscj) + ca(- cosif; sinc|) + sin^ sin0 cos (}>))»5«5 jK-r»

M «J O

Le théorème du moment dynamique peut s'écrire :

^ S -* -* -M(G) - ~ y8 (G) -H «| A y8 (G)

- 50 -

3-1 Montrer l'existence d'un mouvement stationnaire

Si <f> = constante, 6 = constante, ip = constante c|>' = ' = 6' = 0

<))» . ,p" = e" = 0

c il YG^dans cette hypothèse d —^—— = 0

at

a) sin ip cos 0Or

nouvelle forme de Œ^ = co (cosij; cos<J> + sini/; sin6 sin c)>)£>a) (-costp sincj) + sinif; sin0 cos <j>)

J- J RS__^ IH^ sîn^ cos0

y vG) = ^-oo00 (cosi(^ coscf) + sinif; sin0 sin(())

I^«a) (-cos^ sin<() + sinij; sin0 coscj))pA. JRS

- 2 . . . "l00 ^^^ ~ ^"72^ (cos^ coscj) + sinij; sin0 sin (j>) (-cosij; sincf) +. sini/; sin0 coscj)) \

Qg A yi£)= .a) (I - I ) (- cosi|> sincj) + sinip sin0 coscj)) sinif; cos02

a) (I22 " I f . i ) sin^ cos0 (cos^ coscj) + sin^ sin0 sin -6 's in (f>)

La relation à l'équilibre s'écrit donc :

2 2 2- 3o) (I22""I33^ cos 6 cos<'> s^n<'> * w 'Î33<"'I22^ ^cos^ cos<') + s^"ni'; s^ne s^11^)

(- cosi^ sincj) + sintp sin0 cos <j>)

2 2- 3o> (I

11"I33)

sin6 cos6 COS4> * w În""I33^ C""008^ si11* + sinl^ sine c°s *)

(sin^ cos 0)

2 2- 3w (I22"IH^ s^n6 cos0 s^n<f) = w Î22"I11^ (s^n^ cos0) (cosif> coscj) + sin^ sin0 sin4>)

2+ 3 cos 0 coscj) sincj) = (cos^ coscj) + sin^ sin0 sincj)) (-cost/> sincj) + sin^ sin0 cos<j>)

- 3 sin0 cos0 cos<j) » (-cosi/^ sincj) + sini// sin0 coscf)) . sin^ cos0

- 3 sin0 cos0 sincf) » (cos^ coscj) + sinif; sin0 sin cj)) sin^ cos0

On vérifie que 1^=0 , cf>=0 , 0=0 sont solutions des équations

Par suite, la position ifr =0 , cj)=0, 0=0 est une position d'équilibre stationnaire.

- 51 -

3-2 Etude des petits mouvements n r _«

* - j v = v • _* ^' + u*" — I11 c?1 + «7)

Posons <f> •= £ < ) ) ' = £' fig = 6' + co ygG = I00 (?' + u>)e = e e' = e' - - 2 2 _ _

*' - «* R I,, (*' - oxf.)|_ J KS L 33 4 Rg

(?" + a)?') In ^' + ai? I (Tf +-u?)

6g(G) = ?" I22 + ?' + a) A IÎ2 (?' + u)

_(?' - ) i33 J L?? - w* J RÇ LSa (?> - LO b S

dS + «f A )

In (f1 + oii') + (I33-I22) (?' + <o) (?' - w?)

<5g(G) = I22 "ê" + dn-I33) ('i'1 - «I) (?' + o>?)

I33 (?' - u?1) + (I22~In) (^' + (ï' + u)

RS

I,, (?' + u?1) + (I33-I22

) u^' ~ "

«8 (G) = I22 ?"

I33 (?" - M?') + (I22-I,,)^ (?' + "?)JRS

, r^-^) ï"M (G) » - 3 o> ( Iii~ I

33 ) 9

L ° JEsI,, (?" + »*•) + (I33-I22) «(?' - o)^) = - 3 oj2 (I22-I33) ?

I22?" - - 3 « 2 (I i rI33)ë

I33 (?" - a)?') + (I22-I,1) « (?' + »"*)•- 0

(1) In ?" - 4 to2 <I33-I22) ? + o> (I,,+I33-I22) "*' - 0

(2) I22 ?" + 3 a)2 dn-I33) ? = 0

(3) I33 ?' + a,2 (I22-In) ? - . (I33+In-I22) ?' = 0

~ 52 -

Système différentiel du deuxième ordre à coefficient constant._ o

L'équation (2) est découplée I22 "§"" + 3 u ^n"1^ " = 0

pour qu'elle soit stable il faut que3 "2 (Ii.rI33)

Z22soit positif

Vi-'aaV0

(1) et (3) forment un système couplé.

In T" - 4 .2 (I33-I22M + co (In+I33-I22) ?' - 0

i33r + "2 (i22-in) *--(i33+in-i22)?' = 0

?» - 4 u,2 [^33^22 ] ? + w H + b^l ^ = 011 J L in J

?. + «2 [v^i] ?. u r, + Liii] ?, = oL 33 L 33 J

Si on pose a = l3- b = n.11 33

—. 9 —. _4> f ! + 4 a^ 4> + w. (l-a) ^' = 0

1F" + u>2b ? - a) (1-b) "?' = 0

Solution du système différentiel

posons ^ = A e

T = B e r t

r 2 2Br + 4 au B + w (l-a)rA = 0

.Ar2 + o)2b A - a) (l-b)rB - 0

A (-l-a)'û* + B (r2 + 4 a^2) . 0

.A (r2+o>2b) - B (l-b)wr = 0

Le système est linéaire en A et B;pour avoir une solution autre que la solution

banale A=0 B=0 (qui correspondrait à l'équilibre) on doit avoir A=0

A = (l-a) (1-b) o)2r2 + (r2 + 4 ao)2) (r2 + o)2b) = 0


- 53 -

4 T 2 2 2l 2 4r + • a) (1-a) (1-b) + 4 ao> + bw J r + 4 abco = 0

Les solutions en r doivent vérifier cette équation bicarrée. Pour avoir des petits

mouvements autour des positions stationnaires (mouvements stables) les solutions2

en r doivent être imaginaires pures. Les solutions en r de l'équation bicarrée

doivent donc être négatives et réelles.2 . . ^

Les racines en r doivent exister, leur produit être positif, leur somme négative.

r4 + ça2 (1 + 3a + ab) r2 + 4 abo)4 = 0

2 4 2 4* Les racines en r existent u> (1 + 3a + ab) - 16 abo) > 0

(1 + 3a + ab)2 - 16 ab > 0

4* Le produit des racines est positif 4 abo) > 0

ab > 0

2* La somme des racines est négative - -a) (1 + 3a + ab) < 0

1 + 3a + ab > 0

2En regroupant f(l + 3a + ab) - 16 ab 0

ab £ 0

1 + 3a + ab > 0

à ces trois conditions on doit ajouter celle correspondant au petit mouvement en 6

^rta*0 1^» '

. Z"1!! I22"I33or b = —= a = —=^3 11

, , I22~IirI33 , I22"IH"I33b_] = a-1 = _

33 11

= •=— donc il faut ajouter aux 3 conditions laa-1 I33

condition supplémentaire -TT ' . "et""* 1

- 54 -

(1 + 3a + ab)2 - 16 ab £ 0

ab > 0

1 + 3a + ab £ 0

s»-Conditions supplémentaires dues au fait que a et b sont construits à partir des

moments d'inertie f ? ?In - J(y +z ) dm

f 2 2I22 J (x +z ) '**

f 2 2I33 = J(X *y } dm

I11+I22 = p*2*?2) dm + f2 z2dm = X33 + f2 z2(im

positif

î^âs I +^7 i > 0 U a > 0

^srti I + ^T- > O i + b > °î*^^ 1 +-2I^> 0 j - a > 0

i + l } 22 > o i-b > o33

soit -l<a<l

-Kb<l

En regroupant tous les résultats

-l<a<l

-Kb<l

(1 + 3a + ab)2 - 16 ab > 0

ab ^ 0

l + 3a + ab > 0

i->, 1a-1ce qui peut se traduire dans le plan des a,b.

"1<a<1 (1) l + - 3 . + à b > 0 ( 5 )- l<b<l (2) 2v . ( 1 - + 3a + ab) - 16 ab ^ 0 (6)abÔ (3)

s*1 <«>© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

(1) et (2) délimitent le plan des

a,b au carré de coté 2 de centre 0.

Les points possibles étant à l'inté-

rieur du carré hachuré //

(3) ab>0 il reste a>0

b>0

a<0

b<0

On élimine 2 parts des 4 du carré

initial : hachures^

(4) £ 1 a<l est toujours <0a-1

On peut donc écrire b-1 < a-1

b < a . La zone frontière étant la

droite b=a. On élimine 2 triangles

hachures ||

(5) 1 + 3a + ab > 0

Etudions la frontière 1 + 3a + ab = 0 b = -3a

C'est une hyperbole équilatère d'asymptote b=-3 a=0 recoupant l'axe des a en un

point b=0 a = - -r-

une branche de l'hyperbole recoupe

la droite b=a en 2 points tels que

l+3a+a2 = 0 .a - - 3 5

- 3 + 5 . ,a = compris dans

_. l'intervalle 0-1-3 - V5

a = extérieur à -1

La zone à éliminer est hachurée(—)

En reportant sur la figure générale

(6) (1 -H 3a + ab)2 > 16 ab

ab est positif (3)

l+3a+ab est positif

(6) peut s'écrire (l+3a+ab-4v5>) (l+3a+ab+4^ïb) 0

nous sommes ramenés à étudier le signe de (l+3a+ab-4 \ b)

(l+3a+ab+4v£b)-

- 56 -

Signe_de__(i+3a+ab)_-_4_V^b

Cherchons l'égalité à 0 l+3a+ab-4 v£b = 0

l+3a+( b - 2)2 - 4 = 0

(vSb - 2)2 = 3 (1-a)

1-a est toujours positif on peut donc écrire

\/ab - 2 = - \/3 (1-a)

\/âb = 2 - \/3 (1-a)

Or (1-a) est compris entre 0 et 2 3(l-a) compris entre 0 et 6

La solution \/ab = 2 + \/3(l+a) est impossible |a| < 1 rT

3+ ib| < 1

a peut varier dans 2 zones 1 et 0 et — et -1

- a entre 1 et 0 0 < (1-a) < 1

0 < 3(l-a)< 3 m K 0 < /3(l-a) </3

2 - \/3(l-a) 2- V^ < l/ab < 2i i

a=0 b» a=l b=4

Dans la zone décrite l+Sa+ab-^^ab ne peut pas s'annuler et reste toujours positif.

Dans la zone décrite l+3a+ab+4VSb ne peut pas s'annuler et reste toujours positif.

2Si 0 < a < 1 (l+3a+ab) est toujours > 16 ab

3+1/5- a compris entre r— et -.1 entre -0,38 et -1

on peut vérifier que l+3a+ab-4âb ne peut s'annuler et reste toujours négatif,

et que l+3a+ab+4 /ab ne peut s'annuler et reste toujours positif2

dans cet intervalle (l+3a+ab) est < 16 ab. La partie correspondante est à éliminer

(hachures \\)

- 57 -

PROBLEME N° 8

ETUDE DE LA STABILITE D'UNE TOUPIE SYMETRIQUE

(OU D'UN PENDULE GYROSCOPIQUE EN ETAT STATIONNAIRE SUR LA VERTICALE)

E N O N C E

La toupie (S) est une toupie symétrique, elle possède un pointfixe 0 dans le support (Sg). A (SQ on^lie le repère (Rg) : (0, ÎQ » 0 » o)et à (S) le repère (Rs) : (0, Xs, Ys, Zs) tel que

0, Zs porté par l'axe de révolution dynamiquecfest à dire que dans ce système dfaxes

= r A o 6"IQ - ' 0 A 0

0 0 Cj-* + • RsOG «'1 Zs

Comme on veut étudier le mouvement autour de la verticale on em-£loi£ les angles d'Euler spéciaux définis comme l'indique la figure. Le planXs, Ys coupe le plan YO, Zo suivant une droite que l'on oriente par Yj. Onconstruit le repère (Rj) de la manière suivante

? - 3AI - *0îi = îj A tj

on repère (R^/CRo) par a « (Z0, Zi)

On construit le repère (R2) tel que-* -*>Y! = Y2-> -»•Z2 - Zs->• - » • - * •X2 - Y2 A Z2

on repère (R2)/(Ri) par 6 •» (Zj, Z2)

Enfin on repère (RS)/(R2) par y « (X2, Xs)

Si l'on veut étudier le pendule gyroscopique on fait le schémasuivant.


QUESTIONS

l/ Ecrire les équations du mouvement valables pour la toupie et pour lependule gyroscopique.

a = 02/ Montrer qu'il existe une position stationnaire ~ _

3/ Ecrire l'équation des petits mouvements autour de l'état stationnaire.

4/ Trouver les conditions pour que cette position stationnaire soit stable»

5/ Trouver la solution lorsque la position est stable dans le cas de latoupie.


- 59 -

I. MISE EN EQUATION

Etablissons au préalable les matrices de changement de base. Ona immédiatement :

" XQ 1 pi 0 0 " f X i l f x l " l f cosg ° s in3~i rx 2 ~Yo = 0 cosa -sina YI YI = 0 1 0 ¥2

_ ZQ _ _ 0 sina cosa_ Zi _ • _ ^ i _ _-sin3 0 cos3_ __Z 2

X2 cosy -siny 0 Xs

Y2 = siny COSY 0 Ys

_ Z 2 J L ° ° * J L zs _

Pour mettre en équation nous emploierons la méthode de Lagrange.On a un système de solides parfaits à liaisons parfaites ; en outre il y afonction de force pour les forces données (pesanteur)

A. Calcul de l'énergie cinétique

T* = 1 fij I0 3°

s - 1 + 2 + 8Î

s - Y' Z2 + 6f Y2 + a' XX

cos g a1 cos 3Xx - 0 QS = 6:f

sin 3 Y1 + a1 sin 3_2 2

T° « 1 [A af2 cos23 •*• A 3f2 + C(Y' + a1 sin32

B. Fonction de force

U = + e M g Z Q + cte e = - 1 si la verticale est ascendantee = + 1 si la verticale est descendante

ÔG = 1 Z2

^ f sin 3 "Z2 = 0

cos 3L J1

_^ P I o ° irsing"Z2 = 0 cosa -sina 0

0 sina cosa cos3

-> sin3Z2 = - sina cos3 •> ZQ - 1 cosa cos3

cosa cos30

La fonction de force est donc U = e M g 1 cosa cos3 + cte

En exprimant ainsi la fonction de force nous pourrons étudierpar exemple avec les mêmes équations la toupie ou le pendule gyroscopique.


- 60 -

C. Equation de Lagrange

&M> £ - - {=-«3T• r - été = r0

C (y1 + a' sin!3) = r0

10. , d ,31 y 3T 3U _ no£(a) : dt w> " JZ " as" ~ u

|lr = A a' cos26 + C (y1 + a' sing) sing9a'

4-~r " A a" cos2e - 2Aa'6' singcosB + C r0 cosg 3'dt 9 a

T- - °3a3TJ-s— = - e M g 1 sina cos3dCX

A cos23 a11 - 2 A ar g f sing cosg + C ro cosg g f + e M g 1 sina cosg = 0

<££(e) : dt (ïgr) " W" îg = °

at(H^ ' Ae"|~ =-Aaf2 singcosg + C(yf + afsing)af cosgdp|£ = • - e M g i Cosa sing

A gff 4 A af2 sing cosg - C r0 a1 cosg + e M g 1 cosa sing = 0

finalement nous avons donc le système

C(Y"? + a1 sing) « r0 (1)

A cos2g a" - 2A af g f singcosg + C r0 cosg gf + e M g 1 sina cosg = 0 (2)

A g" t A af2 sing cosg - C r0 a1 cosg + e M g 1 cosa sing = 0 (3)

II. ETAT STATIONNAIRE a = 0 0 = 0

a » cte -> a1 = 0 -> a" » 0g » cte -> gf = 0 -> g" = 0

Lféquation (1) donne C y1 * cte = CyJ11 (2) ff e M g 1 sina cosg = 011 (3) " e M g 1 cosa sing = 0

La solution vérifie les équations (2) et (3)

- 61 -

III . MOUVEMENT VOISIN

Posons a = 0 + à" -> a 1 = ôT1 •> a" = oT"

6 = 0 + 6" + 6 ! = ÏÏf + S" = 6""

Les équations linéarisées s'écrivent immédiatement

C y! = rg •* y1 = cte

A cT" + C r0 ÏÏf + e M g 1 a" = 0

A ?" - C r a"1 + e M g 1 J = 0

Nous avons un système gyroscopique. Les équations nous permettent d'étudierle cas de la toupie et du pendule gyroscopique

A a" + C r0 3 f - M g 1 a = 0 A a" + C r0 61 + M g 1 a = 0

A.ïlf - C r0 a1 - M g 1 ? = 0 A ïfl - C r0 ^f + M g 1 J « 0

La toupie est statiquement instable, le pendule gyroscopique statiquementstable.

IV- ETUDE DE LA STABILITE

Cherchons la solution sous la forme

et" = X ext ? = Y ext

a1 = X X ext Ifl = A2 X ext

îf = X Y ext ÏÏ11 = X2 Y ext

X et Y vérifient le système linéaire

(A X2 + ô M g 1)X + C r0 X Y = 0

- C r0 X X + (A X2 + e M g 1)Y = 0


- 62 -

Pour que ce système admette une solution autre que la solution banale, ilfaut et il suffit que son déterminant soit nul

(A A2 + G M g 1)(A A2 + e M g 1) + C2 rg A2 - 0

A2 A4 + (2 e A M g 1 + C2 rg)A2 + M2 g2 l2 - 0

C'est une équation bicarrée. Pour que le système soit stable, il faut et11 suffit que les racines en A2 soit réelles et négatives. Calculons ledéterminant, la somme et le produit

6 = (2 e A M g 1 + C2 rg)2 - 4 A2 M2 g2 l2

6 - Cvr<î + 4 e: A M g 1 C2 rg

c _ C 2 r g + 2 e A M g l5 " A2

_ M2 g2 l2

P ~ A2

A- si 6 = 1 pendule gyroscopique ou toupie renversée6 > o s < o p > oLes racines en A2 sont réelles et négativesLes racines en r sont imaginaires puresLa position stationnaire est stable.

B* S1' £ = *1 toupie verticale dresséeP est toujours positif

6 - Ck rft - 4 M g 1 A C2 rg = C2 rg (C2 rg - 4 M g 1 A)c ~ C2 rg - 2 A M g 1S *_, ~A—

Si C2 rg > 4 M g 1 A 6 > 0S < 0

Et il y a encore stabilité.Si la toupie tourne suffisamment vite elle peut tenir sur la pointe,

V. EQUATION DU MOUVEMENT LORSQUE LE SYSTEME EST STABLE

Les racines en A2 sont

12 - -(C2 rg + 2 e A M g l ) ± /C^ rg + 4 e A M g 1 Cz rg'A 2 Az

,2 -(C2 r§ -f 2 c A M g 1) + C rn /Cz rft + 4 e A M g l

A j - «^^

A? = - ^p- [c2 rg + 2 e A M g 1 - C r0 /Cz r$ + 4 e À M g l]

- 63 -

or (.C r0 - /Cz r^ + 4 e A M g l)2 = C2 rg + C2 r2. + 4 e A M g 1

- 2 C r0 Cz rfj + 4 e A M g 1

= 2 (C2 r2, + 2 e A M g 1 - C r0 /Cz rf; + 4 e A M g 1)

donc X2 = - -L- (C r0 - / Cz r^ + 4 e A M g l)2

•A.

A2. = - ~r (C2 r2 + 2 e A M g 1 + Cr0 /Cz rz + 4 e A M g 1)

or (C r0 + /Czr(j + A eAMgl)2 = C2r§ + C2rfj + 4 eAMgl + 2 Cr0 /C

zr^ + 4eAMgl

donc Ag - - (C r0 + / Cz rg + 4 e A M g l)2

Nous avons donc les racines en X

•Al ,2 = ± 2! (C r0 - /Cz rg + 4 e M g 1 A)

A3,4 = ± 2! (C r° + / C'r + 4 e M g 1 A)

Pour la toupie, nous avons

Al,2 " ± |Â (C r-0 ~ C^ rg - 4 M g 1 A)

A3,4 " ± «2J (C r0 + / C^ r - 4 M g 1 A)

Posons fij = ~ (C r0 - /Cz r'g" - 4 M g 1 A )

"2 = ii(c r ° + /cz r^ " 4 M 8 1 A )

A! = i JÎJ A3^. = i ÎÎ2

A2 = - i QI A^ = - i ^2

La solution se présente sous la forme

à = Xj eAlt + x2 eA2t + x3 e

X3t + X e X4t

•g = YI eXlt + Y2 eX2t + Y3 e

X3t + Y4 e X4t

YLes rapports -=2. sont parfaitement déterminés car Xp et Yp vérifient lesystème homogeSe

(A X2- M g 1)X + C r0 X Y = 0

- C r0 X X + (A X2 - M g 1)Y = 0

lorsqu'on y remplace X par Xp


- 64 -

lE A *£• - M g 1Xp C r0 Ap

IL » - - A fli - M g 1Xi C ro i ŒI

IL = • A af + M g iXi " 1 C r0 «i

12 - + i A flf + M g 1X2 C r0 ŒI

II - - i A ni + M g iX3 C r0 ^2

II - + • A fij + M g 1X4

L C r0 ^2

Calculons les rapports

A a? + Mgl m jg(C r° - / TrTlir7) + Mgl

C r° Ql C r° ÎÂ (C r° " rg - 4 Mgl A)

1 (C rn - /C* riî - 4 Mgl A)2 + 4 Mgl A2 C r0 C r0 - ^C

2 rg - 4 Mgl A'

A -flf_ + Mgl _C r0 «i

A flg + Mgl = JÂ (C rp ^ /C^ r^ - 4 Mgl A)^ + Mgl

C r° "2 C rO il <C rO + /Cz rg - 4 MglA)

1 (G rn + /C^•rfi - 4 Mgl A)2 + 4 Mgl A2 C IQ C r0 + v'C2 r^ - 4 Mgl A'

= 1

Yi Y2 Y3 . Yui. s - i • —«t. = 1 ; —i = - i : —*• ; = iXi X2 ' X3 X4

On peut donc écrire

à = Xl e1"^ + X2 e'1"^ + X3 e ^2' t X, e^^^

J = -i Xl e1"^ + i X2 e'10^ - i X3 eifl2t + £ Xl+ e'^^t

ou en passant aux lignes trigonométriques

a" » (Xj + X2)cos<^1t - i(X2 - X^sin^jt

+ (X3 + Xtf)cosfi2t • " i(X4 - X3)sin^2t

"g = i(X2 - X^cosftjt -H (Xj + X2)sin^!t

+ (X4 - X3)cosQ2t + (X3 + X^)sin^2t

- 65 -

Posons Xi + X£ = Zi cos 4>i Xs + X^ = Z£ cos(()2

X2 - Xi = -i Zi sin<|>i Xif - X3 = -i 2,2 sin<j>2

'a = Zi cos(^it + < j > i ) + Z2 cos(^2t + <j ) i )

ÏÏ = Zx sin(^it + cf)^ + Z2 sin(^2t + ^2)

^l> Z2, <f>i, $2 se déterminent grâce aux conditions initiales.

MECANIQUE GENERALE Chapitre IX : Mouvement stationnaire ...

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