Sur la convergence des séries de Fourier : théorème de ...

MOSTAFA MACHE

Sur la convergence des séries de Fourier théorème de Car leson

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval

dans le cadre du programme de maîtrise en mathématiques pour l 'obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL

QUÉBEC

2009

©Mostafa Mache, 2009

Résumé

La convergence d 'une série de Fourier est toujours un t hème d 'actualité. Notre sujet

d 'étude porte sur la convergence presque p artout de la série de Fourier d 'une fonction·

de carré sommable, démont rée par L. Carleson en 1966 en ut ilisant une décomposit ion

de cette fonction. C. Feffermann , en 1973, utilise la décomposition de l 'opérateur de

Carleson. Puis, dans la deuxième moit ié des années 1990, C. Thiele et M. T . Lacey

reprennent cette décomposit ion en s 'appuyant sur la st ructure du plan t emps-fréquence.

C 'est dans cett e opt ique qu 'on va discuter de ce suj et , en tirant profit de la géométrie

du plan temps-fréquence et de l 'analyse des paquets d 'ondes .

Avant-propos

J 'aimerais remercier mon directeur de recherche M. Thomas Ransford , professeur au

département de mathématiques et de statistique à l 'Université Laval , pour ses conseils

pertinents , sa disponibilité et son soutien. Par l'occasion même, je remercie les autres

enseignants que rai côtoyés tout au long de mes études, mes collègues étudiants avec

qui j 'ai partagé des moments de travail sérieux ou de joie. Sans soutien financier ou

documentation mis à ma disposition, ce travail n 'aurait jamais vu le jour.

Je profite de cette occasion pour remercier mes parents Amina et Ahmed qui ont

tout sacrifié pour m 'instruire, mes frères et soeurs et plus particulièrement Smaïl et

Bouazza qui m'ont beaucoup encouragé tout au long de ma vie.

l\!Ion dernier remerciement est à ma femme Julie et mes deux filles Lamia et Safi a

de leur présence qui illumine mon chemin.

Table des matières

Résumé

Avant-Pr opos

Table d es matières

Table des figures

1 Introduction

1.1 Histoire .

1.2 P réliminaires

2 Outils d e l'analyse de paquet d'ondes

3 Décomposition de l'opérateur de Carleson

4 Les Lemmes Principaux

5 Preuves des lemmes

5.1 Lernme de la densité

5. 2 Lemme de la t aille

5.3 Lemme de l 'arbre ..

6 Généralisations et problèmes ouverts

A Analyse de Fourier

Bibliogr aphie

ii

iii

iv

v

1

1

3

6

13

18

24

24

26

29

39

4 2

Table des figures

2.1 Différents ratios fréquence/temps d 'une tuile Il

2.2 A llure d e Ç3 12

4.1 Deux tuiles telles que s < s' 18 4.2 Un arbre+ 20 4.3 Illustration du fait que size( 5') < 2 22

5.1 La densité d 'une tuile . 24

5.2 Disjonction des ensembles N - 1 (w s ) n 1s 25

5.3 Disjonction fort e entre deux arbres. 2'7 . {

5.4 Illustration de la fon ction T 34

Chapitre 1

Introd uction

1.1 Histoire

Représenter une fonction -f définie sur un intervalle de longueur 21f de IR par une

série trigonornétrique de la forme

00

f(x) = L (ak cos(kx) + bk sin(kx)) , k = O

apparaît, naturellement, lorsqu'on veut utiliser la méthode de séparation des variables

pour résoudre une équation aux dérivées partielles.

Chronologiquement, Daniell Bernoulli (1753) a été le premier à approcher ul~e fonc

tion f par une série trigonométrique afin de résoudre l'équation de la corde

voir aussi [2, p.140]. Ensuite , Fourier (1800) a étudié le problème de la diffusion de la

chaleur en utilisant les séries de Fourier (publié dans [8]).

Notons la Nème somme partielle symétrique de la série de Fourier de f par

N

SNf(x) = L Î(k)eikx,

k=-N

où ---- 1 l 7r -f(k) = - f( x )e- tkXdx .

21f -7r

Chapitre 1. Introduction

Notre premier espoir de représenter f par sa série de Fourier est de savoir si

limN~CXJ SNf(x) existe pour chaque x, ensuite si cette limite est égale à f( x) .

2

Dirichlet (1829) a apporté une réponse posit ive en affirmant que si une fonction f est

bornée, continue par morceaux et a un nombre fini de minima et maxima, alors

En 1870, Heine prouve que la série de Fourier d 'une fonction 2n-périodique, CCXJ-par

morceaux converge uniformément dans chaque intervalle sans point de discont inuité. Et

avec moins de condit ions, Jordan (1 881) montre qu 'une fonction f à variation bornée a une série de Fourier qui converge simplement vers ~ (f (x+) + f (x - )) . Il faut noter

qu 'on ne peut pas t ouj ours retrouver f cornme limite simple de sa série de Fourier

puisque Du Bois-Reymond (1876) donne le premier exemple d 'une fon~ction continue

dont la série de Fourier diverge en un point. Cela a poussé Féjer (1908) à ut iliser les

t echniques de sommabilité en approchant une fonction f E .cP (IR) , en norme /:,P, avec

sa moyenne de Césaro an(f , x) = n~l I:~=o Skf( x ). Puis vers 1913, Lusin conj ecture la convergence simple de la série de Fourier d 'une fonction f E .c2(1r). Cette dernière

conj ecture n 'est pas vraie dans le cas .cl (1r) , puisque Kolmogorov (1923) donne un

exemple d 'une fonction f E .cl (1r) avec une série de Fourier divergente part out . Ce fut

Carleson qui prouva la conjecture de Lusin en 1966 ; puis , en 1967 Hunt généralise pour

le cas 1 < p < 00.

Plusieurs variations de la preuve de Carleson sont apparues . C . Fefferrnann [6] a

suggéré la décomposition de l'opérat eur de Carleson et l 'utilisation du plan temps

fréquence. J. A. De Reyna [4] utilise la fonction maximale de Hardy-Lit tlewood et la

t ransformée de Hilbert . Nous nous concentrons sur la preuve donnée par NI. Lacey et

C. Thiele qui est basée sur les idées de C. Fefferman avec de nouveaux outils.

Dans cet exposé, on va parler plutôt de la transformée de Fourier d 'une fonction

f E .c2 (IR) , au lieu de la série de Fourier de f E L 2 (1r) . À noter que pour 1r , on a

l 'inclusion .cP(1r) c .cl (1r) pour tout p > 1. Ceci implique que la transformée de Fourier

d 'une fonction f E .cP(1r) a la rnême définition classique que dans .cl (1r) , tandis que

sur IR , on a .cP(IR) ct. .cl (IR) , ce qui nous oblige à définir la transformée de Fourier de

f E .cP (IR) par d 'autres procédés (par exemple, densité de LI (IR) n .c2 (IR) dans .c2 (IR) ) .

Chapitre 1. Introduction 3

1.2 Préliminaires

Définissons l 'esp ace de Schwartz par

S(IR) == {f E COO (IR) : sup IxQ 8fJ f( x) 1 < 00, Va {3 E N}, où N == {O, 1, 2 ... }. xE~

Considérons la transformée de Fourier

f E S(IR).

Pour de t elles fonctions, on a la formule d 'inversion

1 lN /'0. . f( x ) == lim - f(ç) etÇXdç , N---too 21r - N

x E IR. (l.1 )

Pour la preuve de (1..1), voir [17, p.170] ou (Annexe A) . Une autre preuve dans [9 , p.68]

utilise l 'opérat eur SN : f ~ SN(f) , où SN f( x ) == 2~ J!'N l(~) eiçxd~ .

Voici le théorème de Carleson.

Théorème 1.1. Soit f E .c2 (IR) . Alors SN f( x ) ~ f( x ), p.p.

La formule d 'inversion (1.1) p eut S i écrire aussi

f( x ) == lim ~ j 'N J(~)eiÇX d~ , p.p. N ---t00 27r . - 00

(1. 2)

En effet , soit f E S(IR). Alors on peut écrire f == f l + f 2) où supp h c [0 , oq) et supp ]; ç (-00, 0] . Donc

De même

p.p.

En addit ionnant les deux derniers men1bres de droite , on t rouve

1 lN /'o. • .

- f(~) e1,ÇX d~ ~ f( x ) p .p. 21r -N

Posons

1 lN /'0. • F :== {f E .c2 (IR) : lim - f (ç ) etÇX d~ == f( x ) p .p .}. N---too 27r -00

(1.3)


Pour mont rer que F == {:2(IR) , ce qui est le but du théorème de Carleson , il suffit de

mont rer que F est fermé dans {:2(IR). En effet , S(IR) c F ç {:2(IR) . Or S(IR) est dense

dans {:2(IR) , donc F est aussi dense dans {:2(IR) , et le fait que F soit fermé impliquerait que F == {:2(IR).

Pour mont rer que F est fermé dans {:2 (IR), on considère l ' op"érateur de Carleson

défini par

(1 .4)

On va adopter les conventions suivantes : A ;:s B veut dire que A ::; kB où k est une constante absolue. Aussi A ~ B veut dire que A :s B et B :S A . Enfin , 1 ... 1

désignera la valeur absolue ou la mesure d 'un ensemble selon le contexte.

On a la proposition suivante :

Proposition 1.2. Supposons que l Jopérateur de Carleson satisfasse

). > o. (1.5)

Alors l Jensemble F est f er'mé daris {:2 (IR).

Remarques. - Rappelons que la constante C, implicite dans ;S , est universelle.

Dans l 'est imé (1.5), elle est indépendante de f. - L 'estimé (1. 5) veut dire que l 'opérateur de Carleson C est de type faible (2,2) .

Preuve de la proposition .l .il . Soit f E {:2(IR). On va lTIOntrer que

1

1 jN ---- . 1 Lf(x) :== lim sup f( x ) - - f(ç) etxE.dç == 0, N --700 2n . - 00

p.p.

Pour cela, il suffit de montrer que pour t out E > 0, on a I{Lf > E}I ;S E. Comme

C~ (Il{) est dense dans {:2 (IR) , alors il exist e 9 E C~ (IR) telle que Iif - gl1 2 :s; E ~. P ar

l 'inégalité de Chebyshev , il suit que 1 {I f - 9 1 > E} 1 :s; E. Notons que 9 vérifie la formule

d 'inversion(l. l ) , car C~ (IR) c S(IR). D 'aut re part ,

If (x ) - 2~ J: !(ç)eiXÇdçl < If(x) - g(x)1 + Ig(x) - 217r l: g(ç)eixçdçl

+ I~ j N (1(1;) _ g(ç» eiXçdçl 2n -00

En passant à .la lim sup N --7 00 ' cett e dernière inégalité devient

Lf :::; If - gl + C(f - g) ,

car

(1.6)


et

Puis, p ar (1.5 ) ,

L 'inégalité (1.6) implique que

{L f > E} ç: {If - gl > E/2} U {C (f ~ g) > t/2} ,

I{Lf > E}I < 1{lf - gl > E/2}1 + I{CU - g) > E/2}1 < E/2 + E/ 2 = E.

D

Le travail de Carleson est de prouver l 'estimé (1.5) , et le t héorème de Carleson

(Théorèm e 1. 1) peut être énoncé de façon équivalente :

Théorème 1.3. L ) estimé (.1. 5) est , valide) et par suite (1, ,'2) est vraie pour tout

f E .c2 (ffi:).

La preuve du t héorèrne se fait en trois étapes:

1. Décomposition appropriée de l 'opérateur de Carleson.

2. Introduction de trois lemmes que l'on combine pour prouver le théorème.

3. Les preuves des trois lemmes.

Chapitre 2

Outils de l'analyse de paquet

d'ondes

La transformée de Fourier est , à const ante multiplicative près, un opérat eur unitaire

de .c2 (IR). Ceci est une façon équivalente d 'énoncer le théorème de P arseval dans .c2 (IR).

Proposition 2.1. Pour toutes j ,g E .c2 (IR) ) on a (j ,g) = c(Î, g) ) avec c = 1/21r .

On a besoin de quelques définitions de la-t héorie des distributions pour introduire

le lemme qui suivra.

Définition' 2.1 (Convergence dans C~(IR)). Soit X un ouVert de IR, (tpn ) une suite et

tp un élément de C~ (IR). On dit que rpn -+ rp dans C~ (IR) si :

1. 3K compact de X t el que supp rpn ç; K , Vn .

2. Va (multi-indice) , 8arpn -+ Barp, uniformément sur X.

Définition 2.2 (Espace des distribut ions) . Soit X un ouvert de IR. Une distribution

sur X est une fonctionnelle linéaire, u : C~(X) -+ C, qui est séquentiellem ent continue,

dans le sens que : rpn -+ rp dans C~ (X) implique (u , rpn ) -+ (u , rp ) (u(tp ) = (u , rp )). La

famille des distribut ions sur X est not ée par D'( X ). C'est un espace vectoriel.

Définition 2.3 (Distribut ion ten1pérée) . L 'espace S' (IR) des distributions tempérées

est l 'espace vectoriel de toutes les fonctionnelles linéaires , u : S (IR) -+ CC qui sont

séquentiellement continues .

Lemme 2.2. S i vIn opérateur T de .c2 (IR) comJm ute avec les translaüons) alors

T (j ) = 1jJ * j ) où 1jJ est une distribution tempérée . En plus) Tf = ;{; Î .

Chapitre 2. Outils de Fanalyse de paquet d 'on des 7

Preuve du lem m e. Soit 1jJ E D'(IR) et f E C~ (IR) , on défini t

(1jJ * f)( x ) :== 1jJ (Txl) , (2. 1 )

où Txf(y) == f( x - y) et l( x ) == f(- x ). Définissons aussi

1jJ (f) :== (Tl) (0). (2 .2).

Soit (fn)n une suite dans S(lE.) avec fn ~ 0 dans S(lE.) . Alors l n ~ 0 dans S(lE.) car

l'opérateur f ~ 1 est continue de S (lE.) -t S (lE.). Et puisque T est cont inue sur 1:,2 (lE.) et S(lE. ) c 1:,2 (lE.) , on déduit que (Tln) (o) ~ O. Ceci prouve la cont inuité de 1jJ sur

S(lE.) , i. e. 1jJ E S'(lE.). Comme T commute avec les t ranslations , on a

'ix E lE. , (2.3)

d 'où

Montrons , m aintenant , que Tf == (1jJ * fY'= '9Î, voir [17, p.179] pour plus de dét ails .

Admettons que 1jJ * f E S' (lE.). Alors , elle admet une transformée de Fourier définie par:

pour cp E D(lE.) avec supp cp == K , on a

(1/J * f t( cp ) . - (1/J * f) ( <p ) = l (1/J * f) ( x ) cp ( - x ) dx

L 1/; [cp( - X)Txr] dx = 1/J [L cp ( - x ) Tx]dx ] = 1/J [(j * cp r ] ~ [(f * cp)j = ~[ÎSÔ] = Î~(ép) .

Donc Tf == (1jJ * fY'= f~.

Définition 2.4. Soit f : lE. ~ lE. une fonction . On défini t les opérateurs:

- Translation: Try f( x ) :== f( x - y) , - Modulation: Modç f( x ) :== eixç f( x ), - Dilatation: Dil~:== À - l/p f( x / À) , 0 < p :::; 00 , À > O.

On défini t la transformée de Fourier d 'un opérateur comme suit.

Définition 2.5. Pour u E S'(lE.) , nous définissons sa t r ansformée de Fourier

fi : S (lE.) -t C , par : (fi, cp ) == (u , ~) , cp E S (lE. ) .

D

Propriété 2.3. Les transformées de Fourier des opérateurs ci-dessus se calculent comme

suit :

Chapitre 2. Outils de l'analyse de paquet d ion des 8

Preuve . On va mont rer juste la première, les autres se démont rent de la même façon .

o

Propriété 2.4. Soit C l 'opérateur de Carleson, défin i en (1.4) . Alors, pour tout y , ç E IR}

et tout À > 0,

Tr y 0 C == C 0 Tr y; Di! i 0 C == C 0 Dili ; C 0 Mo d~ == C.

En d 'autres mots, l 'opérateur C commute avec les translations et les dilatations, et reste

invariant par rapport aux modulations.

Preuve. Nous avons

(Try 0 C)f(x )

et

(DilioC)f( x )

Finalement,

C 0 Mod~ f( x ) s~p 1 L: ~f(z) eiXZ dz l = s~ 1 J: Trç j( z )eiXZ dz l

. s~p 1 L: l( z - E,) eiXZ dz l = ~~ 1 J: Î(u) eix(u+Odul

sup 1 jM Î(u)eiXUdu l = C f( x ). 1\1 -00

Définition 2.6. On définit l'opérat eur P_ : L:2 (IR) ---7 L:2 (IR) par

P- f( x) := t oo Î(Oeixf.dE,.

o

(2 .4)

Cl1apitre 2. Outils de l 'analyse de paquet d'ondes 9

On remarque que P_ est la proj ection sur l 'axe négatif des fr équences.

'Conséquence 2.5.

. (2. 5)

Voici une caractérisation de l 'opérat eur p_ :

Propriété 2.6. À constante multiplicative près) p_ est l 'unique opérateur borné de

[:2(~) qui:

(a) commute avec les translations)

(b) commute avec les dilatations)

(c) a pour noyau, les fonctions f avec supp Î ç ~+.

Preuve. D 'abord P_ satisfait (a) , (b) et (c). En effet , pour (a)

De même pour (b),

Finalement , (c) est évident.

l= Q(E,)eiXE,dE, = l= Mod_y Î(E,) eiXE,dE,

l= Î(E,) e- iYE, eiXE,dE, = l= Î(E,) ei(x-y)E,dE,

P-f( x - y) == Try P-f( x ).

10 ----- 1° - 00 Dil~ g(ç) eiXÇdç == -00 Dilî/À g(ç)eiXÇdç

À 1/2l= g( ÀE,) eiXE,dE"

À -1 / 2 P_g(x j À) = À -1/2l= g(E,) eiE,xf>.dE,

,\1/2]° g(ç) eiXç/À dç == ,\1/2]° g('\ z )eiXz dz . -00 ,\ - 00

Soit, maintenant, T un opérateur borné de [:2 (~) qui satisfait ( a) , (b) et (c). Alors ,

d 'après le lemme 2.2, T est donné par Tf == 1jJ * f avec 1jJ une distribution. Cet opérateur

est caractérisé dans la variable fréquence par Tf .== T 1, où T est une fonction b ornée.

On a la caract érisation car T f E S' (~) et

S'(~) ----7 S'(~) ,

g ~ g

Chapitre 2. Outils de l'analyse de paquet d 'ondes 10

est un isomorphisme. La condition (b) implique T(Ç-) == T(ç/lçl), pour tout ç -=1- 0, car

--- ---T 0 Dil~ f == Dil~ oT f =} T 0 Dil~ j(ç) == Dil~ oT f(~)

=} T(Ç-)À 1jp Î(ç-.À) == À1jPT(Ç.À)Î(ç.À)

=} T(Ç-) == T(Ç-.À).

Ensuite, une fonction f est dans le noyau de T veut dire que Tf == 0, ceci implique

Tf == 0 ou encore TÎ == O. Par suite, suPPÎ ç N(T) où N(T):== {x: T(X) == O}. Donc, (c) entraine que T est nulle sur [0 ,(0), constante et non-nulle sur (-00,0]. Ainsi , Test

un multiple de P_. D

On se donne une constante C > O. Une fonction cp est dite adaptée à l'intervalle

I == [a , b) s'il existe un entier N tel que

où c(I) est le centre et III la longueur de l 'intervalle 1, la constante C pouvant varier

selon le contexte de cp. Remarquons que si cp E S (IR), alors

est une fonction adaptée à l'intervalle I.

Soient I et ]' deux intervalles avec deux longueurs presque égales. Supposons que

leurs centres soient éloignés d'une distance de l'ordre de leurs longueurs. Alors une

fonction cp est adaptée à 1 ;un de ces deux intervalles si et seulement si elle l 'est aussi

pour l'autre.

De, là l 'intérêt de remplacer 1 j ensernble continu de tous les intervalles de IR par un

sous-ensemble discret, en l 'occurence D défini ci-dessous.

Définition, 2.7 (INTERVALLES DYADIQUES ET TUILES). Notons l 'ensemble des in

tervalles dyadiques par D := {[.12k, Cj + 1 )2k) ; j, k E Z}. Une tuile est un rectangle

s E D x D , avec aire égale à 1. On écrit s == I x w, où lest l'intervalle-temps, et w

l'iI).tervalle-fréquence. On note par T l 'ensemble de toutes les tuiles du plan.

Remarques . • D est stable par les dilatations de facteur 2n, nEZ.

• Comn1e l'aire d'une tuile est égale à 1, le ratio fréquence/temps peut être arbitraire

(voir figure 2.1).

• Le choix d'une aire égale à 1 est motivé par le principe d 'incertitude de la transformée

de Fourier : plus on localise x, moins on localise ç; et vice versa.

• Deux intervalles dyadiques non disjoints sont ou bien égaux, ou bien l'un est inclus dans l'autre.

Chapitre 2. Ou tils de l'analyse de paquet d 'ondes Il

!: : ]

FIGURE 2.1 - Différents ratios fréquencejtenlps d 'une tuile

Notations. w étant défini comme avant:

1. w+ (resp. w_) désigne la moitié droite (resp. gauche) de w.

2. Au rect angle s = Is x W s correspondent les deux rectangles s± = Is x W s±.

Not ons que la notion de fonction adaptée à un intervalle 1 n 'est p as invariante p ar

modulation . On doit , donc, concevoir une théorie invariante sous modulation , en l 'occu

rence un p aquet d 'ondes . On appelle !fJs un paquet d 'ondes adapté à la tuile s = 1 x w

si !fJs est supportée dans w et e-ixc(w) rps (x ) est adaptée à 1. R,em arquons que la restric

t ion sur le support de rps d 'être inclus dans w se compense par le choix libre d 'un w

avec Iwl = 111 - 1, t andis que la définition d 'une fonction adaptée à un intervalle 1 nous

permet de considérer les intervalles dyadiques voisins.

Enfin , si les tuiles s et s' sont disjointes, alors rps et rps' sont "presque ort hogonales".

À la lumière de cela, introduisons des fonctions fort ut iles pour la suite de l 'exposé.

Notation. Fixons rp E SOR), avec 1[-1/ 9,1 /9] :S cp :::; 1[- 1/8,1/8]' À la t uile s, associons

(2.6)

où c( J) désigne le centre de l 'intervalle J.

Chapitre 2. Outils de l'analyse de paquet (fond es

[j ..... u .. u i ...

- 1 o 1

F IGURE 2.2 - Allure de rp

Or 1[- 1/ 9,1 /9] ::; rp ::; 1 [-1/8,1 /8], d 'où supp rp ç [-1/8, 1/8] et par suite

su pp <p C [e(ws - ) - 8 1~s l ' e(ws _ ) + 8 1~s l] [e(ws -) - ~I ws- I , e(ws-) + ~I ws- I] ç;; W s-·

12

De plus , sUPP 4?s est localisé autour de l s, car 4?s (x ) == Ils l - 1/2eixc(ws-)4? ( XI~~rs) ) . Bref,

dans le plan temps-fréquence, le support de 4? est essent iellement autour de l s x ws- .

Dans les chapit res qui suivront , on fera souvent appel au lemme suivant.

Lemme 2.7. Soient ?/JI , ?/JI' deux fonctions adaptées aux intervalles 1, l' et supposons

que 111 ::; 11'1· Alors

1(",uJ,,,,ur)1 ::; ClII 1/

2 In- 1/2 [1 + le(I) 1~lle(II)lrN (2.7)

Preuve . Si 1 c( 1) ,- c( l') 1 ::; 11'1 , alor~ on ut ilise l 'inégalité de RaIder

1(?/J1,1/)1')1 ::; 111/)11 11 11 1/)1'11 00 ::; Cl lI1 /2 11'1-1/2 .

Supposons 1 c( J) - c(l') 1 > 11'1 . Soit c le point milieu ent re c( 1) et c( 1') . Sans perte de

généralit é, on peut supposer que c(I ) ::; c(I'). On décornpose

En appliquant l 'inégalité de Rülder à nouveau , on aura

Comme

Ic - c (l)1 == le - e(l')1 == le(J) - c(J')1/2

et 111 < IJ'I , le premier terme domine le deuxième terme pour N ~ 2, ce qui prouve

l 'estÏlné du lemme 2.7. 0

Chapitre 3

Décomposition de l'opérateur de

Carleson

Notre but est de concevoir une décomposition de la projection P_ en utilisant les

tuiles. Rappelons que T désigne l 'ensemble de toutes les tuiles du plan. Pour un choix

ç de IR , soit

Qçj := ~ 1ws+(ç)(j , CPs)<Ps. (3.1 ) sET

À noter que ç peut être à l 'intérieur ou au bord d 'une chaine infinie d 'intervalles dya

diques. En plus , pour un ç donné , seulement certaines tuiles contribuent à la somme

(3.1 ). Ces tuiles sont déterminées par l 'expansion de ç en base 2.

Voici les principales propriétés de Qç . .

Proposition 3.1. Pour tout ç) Qç est un opérateur borné de L:2 (IR) avec borne in

dépendant e de ç) il est semi-défini posit~f et son noyau contient les fonctions j avec

supp l ç [ç , (0). De plus) pour tout kEN,

D e plus)

où

Qç,k:= ~ l w s+(ç)(j , CPs)CPs. sET

Ils 1 S2k

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Preuve. Soit {w (1'1) : 1'1 E Z } r ensemble des intervalles dyadiques tels que ç E w (1'1) +,

Chapitre 3. Décomposition de l'opérateur de Carleson 14

ordonnés en croissance

... C w(71,) C w(n + 1) c ...

Soit T(n) := {s ET: W S = w(n)}, et

Q(n) I:= L (l , VJs)VJs . sET(n)

Ici, on a décomposé Qf" selon les 71, tels que ~ E w(n) et à chaque 71, correspondent

plusieurs s, avec Ws = w(71,), qui définissent Q (n)'

Les intervalles w(71,)- sont disjoints en n, car si 71, < m et ç E w(n)+ , w(m)+, alors

w(71,) C w(m)+, et par suite w(71,) - nw(m)-= 0. Or supp~ ç w(s)-, donc les Q (n)

sont orthogonaux en n. En effet, si 71, t- 71,', alors

(Q,(n),Q(n')) = L (l, VJs)(I,VJt)(VJs, VJt). sET(n) tET(n')

Puisque VJs, VJt E S(~) c 1:2 (IR) , alors par le théorème de Plancherel (VJs, <Pt)

2~ (9s, ((Jt ), et comIne supp VJs ç w(s)- = w(71,)-, supp VJt ç w(t)- = w(71,/)- et

w(n) - n w(71,/)- == 0, on déduit que (9s, [Pt) = O. P ar suite (Q(n), Q(n')) = O.

Pour montrer que Qf" est borné, Il suffit de montrer que Q(n) est uniformément borné

en 71,. En effet, 1:2 = ( ~Hn) EB M où Hn = span { VJs : s E T(n)} , on a Hn ..l Hm si

m #- 71,. Si 1 E 1:2, alors 1 = Ln Pnl + g , avec Pn : 1:2 --7 Hn la projection orthogonale

sur Hn· Comme Qf,,1 = Ln Qnl = Ln Qn(Pnl) , si les Qn sont uniformément bornés ,

alors il existe C > 0 telle que IIQnll s C. On déduit que

n n

vu que Im(Qn) C Hn et 11111 2 = Ln II Pnll1 2 + Ilg112. Et on déduit que Qf" est borné.

Remarquons que les opérateurs Q(n) et Q(nf) diffèrent par des modulations et dila

tations qui préservent la norme 1:2 (par exemple Il Modf" 1112 = 111112)' Donc , il suffit de

considérer la borne, en norme 1:2, d'un Q(n) avec 11s1 = 1 pour tout s E T(n), car si VJs

est à décroissance rapide, le lemme 2.7 nous dit que

Pour s fixé et vu que 11s1

mEZ.

1 (~S> ~s,) 1 :s [ dist(Js,!s') r4 (3.5)

1 Is' 1 l , les tuiI'es s' sont distantes de s par un entier

Chapitre 3. Décomposition de l'op érateur de Carleson 15

Donc dist (ls , Is') = m i. e. Is' = Is + m, d 'où

L L (j , <P s) ( <P s, <P s' ) ( <P s' , j) sET(n) s'ET(n)

L L IU,~s)U,~s') I [ dist(Is,!s,)r4

< r-....J

sET(n) s'ET (n)

:s L L lU, ~s)(f, ~ (Is+m) xw (n))I~ mEZ sET(n) . m

:s sup{ L IU,~s)(f,~(1s+m)xw(n) )I} L ~ m EZ sET (n) m EZ m

L I(j, <Ps )1 2. <

r-....J

sET(n)

Or

lU, ~sW :s J INI~sldx, car, par l 'inégalité de Cauchy-Schwarz ,

Donc

L IU,~sW:S J Ifl2 L 1 ~ ,ldx :S IIfllH s~p L l ~s (x)I):S IIfll ~ · sET(n) sET(n) sET(n)

Par suite les Q(n) sont urliforrnérnent bornés en n, et enfin Qç est borné.

D 'aut re part , si supp Î ç [Ç- , 00) et ét ant donné que supp <Ps ç ws-, on déduit que

(j , <Ps ) = (Î, <Ps ) = 0, par suite Qçj = O. Donc, le noyau de Qç contient les fonctions j

t elles que supp Î ç [~ , 00).

et

L 'opérat eur Qç est semi-défini positif, parce que

Pour montrer (3.2), on a

(Qç.ff) = L l(f ,<Ps )12 2 O.

sET çEws +

Dil~k Qçj(x ) = 2-kj2 Qçj( x 2- k) = 2-kj2 L l ws + (Ç-)(j , ((Js )({Js (x 2- k), sET

sET

2- k/2 L l ws+ (~2-k )(j( . 2- k ) , <Ps (. ))<Ps(x) . sET

Cllapitre 3. Décomposition de l'opérateur de Carleson 16

Les deux quant ités sont égales car pour un k fixé,

Pour montrer (3.3) , il suffit de voir que

o

On retourne à l 'opérateur de Carleson . Dans sa preuve, C. Feffermann [6] a suggéré

de linéariser le supremum. Pour cela, on considère la fonction mesurable N : IR ~ IR

qui à chaque x associe N( x ), là où le supremum est atteint dans (1.4). Donc , il suffit

de borner la norme de l 'opérat eur P_ ModN( x) ' Ainsi CJ(x ) == P_ ModN (x) ' Posons

CN J( x ) == L l ws+(N( x ))(J,(jJs )(jJs (X). (3.6) sE T

On a le lemme principal suivant .

Lemme 3.2. Il existe une constante universelle (implicite dans ;S) telle que, pour toutes

les fo nctions m esurables N : IR ~ IR, on a l 'estimé

(3.7)

La démonstration du lemme :3.2 s'obtient en combinant les estimés rencont rés dans

les t rois lemmes qui suivront dans le chapitre 4.

Conséquence Importante :

P ar la convexité de la norme .[2,00, on aura le même estimé (3.7) pour P_ ModN(x), ce

qui prouve l'estimé (1.5) et par suite la proposition 1.2.

Remarques Importantes . • pour montrer (3.7) , il suffit de mont rer

(3.8)

avec E de mesure finie. Pour voir cela , on prend E == {C N J > À} . • P ar la linéarité de eN, on peut supposer IIJ lb == 1, et par l 'invariance de CN vis-à-vis

des dilatations Dil~k, on p eut supposer que ~ < lEI ~ l.

L ___________ _

Chapitre 3. Décomposition de l 'op érateur de Carleson 17

Posons rPs = (lws + 0 N) <ps . Avec les remarques précédentes , on peut dire que pour

prouver (3.8) , il suffit de montrer que

L 1 (j , <Ps ) (cPs, l E ) 1 ;S 1. (3.9) s ET

Rem arquons que les t ermes apparaissant dans l'estimé (3.9) sont strictement posit ifs .

Donc , on peut considérer un sous-ensemble fini de t uiles dans T , et l 'est imé (3.9) doit

être compris dans cet esprit. P ar suite, les sommes qu 'on va considérer sont toutes finies

et les procédures itératives vont l 'être aussi.

.Chapitre 4

Les Lemmes Principaux

On a besoin de quelques concepts pour la suite de l 'exposé. Définissons un ordre

partiel sur T.

Définition 4.1. Soit S, s' deux tuiles. On a s < s' si 1s C 1s' et W s :) W s" Une t uile s

est dite maximale si elle l'est pour l'ordre partiel <.

1 .. 1

s

FIGURE 4.1 - Deux tuiles telles que s < s'

Remarque. Deux tuiles sont incomparables par < si elles sont disjointes .

On définit ensuite la not ion d'arbre.

Définition 4.2. Soit S un ensemble de tuiles , et soit T un sous ensemble de S.

Alors T est dit un arbre dans S s'il existe une t uile T = f T X LJT, appelé sommet de l 'arbre T , telle que s < T pour tout sE T.

Chapitre 4. Les Lemmes Principaux 19

Remarques . • Un sommet d 'un arbre n 'est pas forcément unique .

• Un sommet peut ne pas appartenir à l 'arbre .

• Un sommet d 'un arbre spécifie la localisation de la variable t emps des t uiles s de

l 'arbre car Is C IT . Pour la variable fréquence, WT est vu comme origine car WT C Ws.

La largeur IT sert à "mesurer" l 'arbre T , tandis que pour "mesurer " un ensemble

de t uiles, on a besoin de la défini t ion suivante.

Définition 4.3. Soit S un enserrible de t uiles . On dit que S a un compte au plus A , et

on écrit count (S) < A si S == U T , où chaque T est un arbre de S , a est l 'ensemble T E a

des arbres dans S et L: IIT I < A. T Ea

On va définir la notion de densité. Pour cela, fixons X(x ) :== (1 + Ixl) -K , où r\; est

une const ante t rès grande dont la valeur exacte n 'a pas une grande importance.

Définition 4.4 (densité). Soit S défini comme avant . On définit les quantit és sui

vantes :

(4 .1 )

dense(s ) :== sup r XIs,dx, s<s' } N - l (w s ' )

(4 .2)

dense ( S) :== sup ( dense( s)) , sES

SÇT. (4 .3)

R appelons que la fonction mesurable N : IR. ---7 IR. associe à chaque x la valeur N (x), là où le supremum est atteint dans (1.4). Rem arquons que la façon la plus naturelle de

définir la densité d 'une tuile est dense(s ) == IIsl-l.IN- 1 (ws) n Isi. Ensuite , le supremum

dans (4.2) ne devient clair que lors de la preuve du lemme de l 'arbre.

On va énoncer les principaux lemmes.

Lemme 4.1 (lemme de la densité). Tout S fin i (S c T) est une réunion de S heavy

et Slight; où 1

dense( Slight) < - dense( S) , 2

count (Sheavy ) ;'S [dense(S) rI (4.4)

(4.5)

Ce lemme admet une variante (le lemme qui suivra) qui est liée à la notion d ' or

t hogonalité et d 'arbre. Cette dernière doit êt re raffinée dans le sens de la définit ion qui suit .


Définition 4.5. Un arbre T avec sommet fT x WT est appelé un arbre+ si

et un arbre- si

FIGURE 4.2 - Un arbre+

Remarques . • Chaque arbre est une réunion d'un arbre+ et d 'un arbre- .

• Si T est un arbre+, alors les rectangles {fs x W s- : sET} sont deux à deux disjoints.

Définition 4.6. Soit T un arbre. On définit la quantité ~(T) par

[ll(T)f:= L IU,~s)12;S llfll~ (4.6) sE T

Le dernier estimé est vu dans la preuve de la proposition 3.1 . Cette dernière définition

motive une autre.

Définition 4.7 (taille). La taille de S est définie par

size(S):== sup{lfTI-l/2~(T) : T ç S~ Test un arbre+}. (4.7)


Lemme 4.2 (lemme de la taille). Tout S est une réunion de Sbig et Ssmall J où

et

1 size( Ssmall) < - size( S) )

2

Lemme 4.3 (lemme de l'arbre). Pour tout arbre T J

L 1 (j, CPs) (CPS) lE) 1 ;S IITI size(T) dense(T). sET

En admettant ces trois lemmes, on conclut la preuve de (3 .9) comme suit:

On a dense(T) < 2, pour un r\; 2:: 2 . En effet,

Vs E T,

(4.8)

(4.9)

( 4.10)

On prend un sous-ensemble fini S de T. Alors , évidemment, size(S) < 00. Si size(S) < 2,

on passe à la prochaine étape. Sinon, on itère le lemrne 4.2 pour obtenir une collection

Sn de sous-ensembles de S, n > 0, avec

Pour voir cela, on procéde itérativement.

Initialisation:

(4.11 )

( 4.12)

Remarquons que 2 < size( S) < 00 implique qu'il existe N E N tel que size( S) < 2N.

Avec le lernme 4.2, S == St:nall U S{1g. On pose alors SN == SCfg. Le rnêrne lemrne nous

informe que count(SN);S [size(S)] - 2;S 2-2N .

Mise à jour:

On applique le même lemme sur St:nall à la place de S , on trouve St:nall == S!~~l US{;[g-l .

O S · SN-l d' ' n pose: N-l == big , ou

Fin:

{ size(SN- l) ::;; size(S;:;"wll) < 2N- 1

,

count(SN-l) ;S 2-2(N-l).

On itère le processus jusqu'à N == 1.


. }' I GURE 4.3 - Illustration du fait que size( S') < 2

À la fin , on a un enselnble de tuiles S' = S \ U S n, dont la t aille et la densité sont infén >O

rieurs à 2. Il suffit de remarquer que S' c T et dense(T) < 2 impliquent dense ( S') < 2,

ensuite size( S') < 2.

En appliquant les lemmes 4. 1 et 4.2 itérativement , on arrive à des estimés (4.5) et

(4. 9) du même ordre, i. e. la densité est "presque" le carré de la t aille.

Effectivement , pour un nEZ, on a

{ dense(S') < 22n

,

size( S') < 2n.

Si 22(n-l ) < dense(S') , on applique le lemme 4.1 pour avoir S' = S'Zight US'heavY l ensuite

on remplace

{S' par S'light ,

S n par S n U S' heavy .

Alors 2 2n- 3 < dense( S') < 22n - 1 . Si dense ( S') < 2 2n-2 , c'est fini . Sinon , on applique

à nouveau le même lemme pour obtenir cet estimé. Maintenant , si 2n- 1 < size( S'), on


applique le lemme 4.2 pour avoir S' = S' small U S' big, ensuite on remplace

{S' par S' small,

Sn par S n U S'big'

Alors size( S') < 2n-l. Comme conséquence, on arrive à décomposer S en collection des

Sn qui satisfont (4.11 ),(4. 12) et

( 4.13)

(4.13) vientdu fait que size(Sn) < 2n et dense(Sn) ~ [size(Sn)]2.

On va utiliser les estimés (4.10) à (4.13) pour finaliser la preuve de (3.9). Sn s écrit

comme réunion d'arbres: Sn = U T, ces arbres satisfont l'estimé (4. 12).

On aura alors

L 1(1, C{Js )(cPs , lE)1 sE S n

< 2n min(2 , 22n) L IITI :s 2n min(2 , 22n )2- 2n

TETrl

En somrnant sur les nEZ, on aboutit à

LI (1, C{Js) (cPs, lE) 1 :s 1 sET

car L min(2-n , 2n) = 4. Cette dernière n 'est autre que (3.9) , en prenant S à la place nEZ

de T où S est la partie finie de T qui contribue à la sornme (3.9).

Chapitre 5

Preuves des lemmes

5.1 Lemme de la densité

Posons b = dense(S). Suivant [19 , p.8], supposons que la densité ait la défini t ion

"siIn ple" suivante :

(5.1)

~N(X)

- - - - - -FIGURE 5.1 - La densité d 'une tuile

La collection S heavy est une réunion d 'arbres, donc pour la connaître il suffit de

connaître les sommet s de ces arbres .

Notation . Tops désigne les sommets 5 des arbres de S tels que dense ( s ) > %' et qui

sont m aximaux pour la relation d 'ordre part iel (( <".

Conséque nces 5 .1. 1. L J arbre associé à un certain s E Top s est l ) ensemble des

tuiles de S qui sont inférieurs à s.

Chapitre 5. 'Preuves des lemmes 25

2. Les tuiles dans . Tops sont deux à deux incomparables par rapport à l 'ordre partiel

(( < ") et par suit e ce sont des rectangles deux à d f}, uX disjoints dans le plan t emps

fréquence. Par conséquent} les ensembles N - 1 (w s ) n 15 sont aussi deux à deux

disjoints (voir la figure 5. 2,)} et chacun de ces ensembles a une m esure au m oins

égale à %I]sl car il suffit d'appliquer (5.1).

: : : .-:-_.-: ----:" :-._-:, : • ~ , • • ; • i ",/ i . ' .. : ~ : : : .: : : ;. :

• * :: : ! : : : .: : : J. ". 1. • f • • f ~ • •

... , ·t • . , , • • •• l •• f •

• 1 :: , . · .. , . , . , .

FIGURE 5.2 - Disjonction des ensenlbles N - 1 (ws) n ls

3 . Un e autre façon de voir l 'estimé (4.5) du lemme de la densité est d )écrire

L IIs l:S <5- 1. (5.2)

sE Tops

L )estimé (5.2) vient du fait que

car I: IN-1 (w s ) n ]sl ::; lEI < 00. Pour se libérer de la définition simple qu )on sE Tops

a donné à la densité dans (5. 1)) on va utiliser une autre démonstration. Pour un

entier k ~ 0 et une constante ((petit e}) c) considérons Sk r ensemble des s E Tops

pour lesquels

(5.3)

Remarquons que pour chaque s E Tops ) avec k suffisamment petite} il existe ka

t el que s E Sko' Donc} pour montrer (5.,î ) il suffit de prouver que

L I]sl :s 2- k 8- 1. (5.4)

sE Sk

Fixons k } soit S~ le sous ensemble de S k form é des tuiles qui satisfont les deux

conditions :

{

.{2k l s x Ws : s E S~Jsont deux à deux disjoints ,

• si s E S k et s' E S~ avec (2k l s x Ws) n (2 k l s , x ws') ~ 0 alors IIsl ::; 1]5,1·

Chapitre 5. Preuves des lemmes

Comme les tuiles dans Sk sont in comparables) on utilise (5.3) pour conclure

5.2 Lemme de la taille

Soi t a = size ( S ) . On va construire une collecti on d ' ar bres T E Tzarg e , avec

Sbig = U T et T ET larg e

L IITI;S a - 2.

T ETlarg e

26

(5 .5)

La sélection des arbres T E Tz arge se fait conjointement avec la construction des arbres+ :

T+ E Tlarge+, cette dernière jouera un rôle important dans la vérification de (5. 5) . On

fera cette construction de façon récursive.

1. Initialisation: On pose s stock = S , Tlarge = 0 et Tlarge+ = 0. Tant que s ize (S stoCk) > a /2 , on choisit un arbre+ : T+ ç s stock t el que

(5.6)

En plus , le sommet IT+ x WT+ de T+ doit être maximal, pour l 'ordre partiel "< ", par rapport à tous les arbres qui satisfont (5.6), puis c( WT +) doit être minimal

par rapport à l 'ordre usuel de IR. Considérons T l 'arbre maximal, au sens de l 'in

clusion , dans s stock avec le même sommet IT+ x WT+ .

2. Mise à jour: On met àjour s stock = s stock""'T , Tlarge = Tl arge UT et Tz arge+ = Tzarge+ UT+.

3. Fin: Le processus est fini , car S est fini.

À la fin , on pose S small := s stock où S small est celui rencont ré dans le lemme 4.2 .

Il reste à montrer (5.5) , qui est une relation d 'orthogonalité "faible". Le cas le plus délicat

est lorsque ( C{Js, C{Js') #- O. En se rappelant de l 'expression de C{J s, ceci peut arriver quand

W s = W s" Ce cas 'peut être t raité direct ement comme dans la preuve de la proposition ~1.1. Sinon , on a par exemple W s - ~ W s' _ . La part ie cent rale de la preuve s 'explique par

Chapitre 5. Preuves des lemmes 27

l'aspect géométrique du plan temps-fréquence démêlé lors de la construction des arbres

T + E Tzarg e+'

Supposons qu 'on a deux arbres T -j T' E Ttarg e+ et deux tuiles 5 E T et s' E T' tels

que W s- C W s'-, alors 1s' n 1T = 0. Voir la figure 5.3.

L'arbreT

~-- ~--------~-~---- --- r---------... ~

ru s-

Une tuile s' de rarbre Tt

FIGURE 5.3 - Disjonction forte entre deux arbres.

Cette dernière relation est dite "disjonction forte " entre T et T'. C'est une condition

plus forte que le simple fait que les ensembles UsET 1s x W s - , T E TZarge+, soient dis

joints dans T. Pour voir cette disjonction forte , remarquons que W s - ~ W s'- implique

W s ~ W s ' - , et par suite WT C W s ~ W s' - ' D'où WT' est au dessus de WT. Par notre

construction récursive, T est construit en premier avant Tf. Si l'on suppose 1s' n 1T i= 0, alors l'un de ces deux intervalles doit être inclus dans l'autre. Dans ce cas , 1S1 C 1T ,

mais WT C W s', et ceci veut dire que s' E T. Or Test 'soustrait de sstock avant T'

et 5' E T', ceci est une contradiction.

On va utiliser la condition de disjonction forte et le critère de sélection (5.6) pour dé

duire (S.S). Posons S' := U T et F: = L (I, 'Ps )'Ps . L'opérateur Â : f t-----t (I, 'Ps )'Ps T ETlorge- sES'


est auto-adjoint car (f , Ag) = (g , AJ) , pour tout J, g E S(IR ). Alors

sE S ' TETlarge+ sET

TETlarg e+

Or, par l 'inégalité de Cauchy-Schwarz,

Donc, on complétera la preuve en mont rant que

On a

sES'

s,s' ES' ws=:"';s ' "

Pour le t erme A, on a

voir lemme 2.7 ou [20, p.6], or

et par conséquent

IIFII ~ ;:S (52 L: IITI·

v

A

TE T large+

s,s' ES'

~s~Ws'

1 L: ( )4 < 00, n+1

v

B

1

(n + 1)4'

Pour le t erme B , il suffit de prouver que pour chaque arbre T , on a

L: L I(f, CPs )(CPs CPs' ) (cp , f) 1 :s (J2/IT/' sET s'ES'

ws ~ws '

28

(5 .7)

(5.8)

Chapitre 5 . . Preuves des lemmes 29

On pose S( s):= {s' E S' \ T : Ws- ~ WSI_ }' On va utiliser la disjonction forte deux

fois pour dire que si s ET et s' E S(s) alors Is' nIT = 0, car sinon s' E T. Ensuite,

si s' , sI! E S( s ) avec par exernple Ws- C Ws'- C Ws"- , alors ISI n Is" = 0, car sinon les

tuiles s' et sI! vont appartenir au même arbre, ce dernier n 'est pas un arbre+ .

Considérons la tuile s' comme un arbre T o avec un seul élément. La défini t ion de la

t aille 4.7 nous donne

(5.9) .

Comme Ws C Ws' , alors 11s 1 2:: 11s'I et I s, l s' sont disjoints car s ET et s' tj T . On a,

aussi , l 'est imé suivant

(5 .10)

voir [20 , 6] ou lemme 2.7. En tenant compte de (;5.9) et (5.10) , le premier membre de

(5.8) est borné comme suit:

2: 2: 1 (f , cp s) ( cp s, cp s' ) ( cp s' , f) 1 < (j22: '2: IIsl.IIs/l x Is (c(Is')) sET S'ES(s) sET S'ES(s)

< (j22:1 1slj XIs(x )dx sET S'\T

< (j2 2: Iisi { .XIs(x )dX sET l(lT) c

< (j211TI·

On a tenu cornpte du fait que XIs(x ) = Trc(Is) Dil;s X(x ), X(x ) = (1 + Ix l) - V et

1 I s' 1 XI s ( C ( I s' )):::; { XI s ( X ) dx :::; j' XI s ( X ) dx . lIs' S'\T

Ce qui prouve (5.5), et par suite le lemme 4.2 .

5.3 Lemme de l'arbre

On commence avec quelques remarques concernant une fonction maximale, à savoir

(5 .11)

Cet opérateur est borné dans .c2 (JR). En effet , pour chaque I E D , considérons l 'en

semble E (J ) ç l , sur lequel le supremum dans (5.11) est atteint . Les ensembles

{E(I ): 1 E D} sont deux à deux disjoints. '


Définissons l opérateur

(5.1 2) l EV

On va montrer que II A I1 2 est borné par une constante indépendante des ensembles E(I ). Soit j ~ o. Alors

l EV l EV

L l E(I) \ J, L l E( J ) ( X I , X J) ) == L l E(I ) ( X I , XJ ) (j , l E(J)) l EV J EV I ,JEV

< 2 L L l E(I) \ XI, XJ) \lE(J) l f) ;S L l E(I) {J , XI ) == A J. l EV IJI:::;I I I l EV

Le dernier ;S vient du fait que

donc

L ( X l i X J)l E( J ) ~ X I ,

IJI :::; III

IIA * II ~ sup (A* j ,A*f) == sup (f ,AA*f) 11 1112=1 111112=1

< sup II AA* 1112;S sup II A jll 2 == II AI12 . 111112=1 Ilf112=1

Et comme II A* 1I 2 == II ·AI1 2, on déduit que II A* 1I 2 ;S 1.

On a un raffinement de (5.11) . On considère ..1 une partition de IR. en intervalles

dyadiques. Pour chaque J E ..1 , associons G(J) c J avec IG(J)I ~ 61JI et 0 < 6 < 1

fixé. Considérons

(5.13)

alors (5. 14)

car

L IG(J)I sup I(f, x I)1 2 JE.:! I ~ J

< 6 L 111 sup l(f, XIW = 6 L l1J sup l(f, XIW J Ej T ~J J E.:! J I ~ J

6 L 1 sup 1J I(f, XIW .s 6 L 1 sup III (f, Xl )1 2

J E.:! J I ~J J E.:! J I ~J

< 6 L r sup1I I(f,XIW = 6 L r IMiI 2(x)dx JE.:! J J J JE.:! J )

;S 6I1 f ll~ ·


Le dernier ;S vient du fait que M est bornée dans L:2 (IR) [18].

Maintenant, on va commencer la partie principale de la preuve.

Soit 8 == dense(T) , a == size(T). Pour ch aque s, faisons un choix de signe Cs E {-1 + 1} t el que

~ 1 (j , ({Js ) (cPs, l E ) 1

sET sET

1 ~ (I, 'Ps }csif;sdx . E sET

(5 .15)

Soit J une partition de IR en intervalles dyadiques maximaux pour l 'inclusion , et t els

que 3J 1J fs pour tout s ET et t out J E J. Remarquons que si IJI ::; IITI , alors

J C 3fT . Et si IJI 2:: IITI , alors dist (J, IT) 2: IJI. Pour voir cette dernière, il suffit de

prendre dist( J, IT) 2:: 1 JI·

L'intégrale (5. 15) s 'écrit

~ (1 ~ Es (I , 'Ps )if;sdx ) = ~ (1 {~ Es (I, 'Ps) if;s + ~ Es (I, 'Ps )if;s }dx ) JEJ EnJ sET JEJ EnJ sET sET

Ils 1::::: IJI IIsl>IJI

v v

A B

Pour que B soit non nul , il faut que J C 3IT, car sinon J ct. 3IT. Il sui t que IJI > IITI ,

mais IIT I 2: IIsl et donc IJI > IIsl, par suite {s : IIsl > IJI} == 0.

Pour contrôler A , fixons un entier n 2:: 0 et considérons seulement les tuiles sE T

pour lesquelles Ilsl == 2-n IJI. Notons que dist(Is, J) 2: IJI car dist (Is, l) 2: clll, où

c == infsET { dist (Is, J)/IJI}.

On a aussi

(5 .16)


En effet, par la définition de CJ , on a I(I, CPs )1 ~ CJIIsI1/2. De plus

{ 1 cP si dx ~ 1 N - 1 ( W s) n 1 si max 1 cp si ,

JJnE J

car supp cPs ç IN- 1(ws)nIsl et par la définition "simple 'de 6 on a IN- 1(ws)nIsl S 61Isl, ensuite

1 1< II 1-1/2 1 (x - C(Is)) 1 < II 1-1/2 (dist(Is J)) - 10 mF CPs - s IDJX cp IIsl - s IIs l

puisque cp E S(IR.) implique Icp(x )1 ~ (1 + Ix l)-l0. En sommant (5.16) selon IIsl == 2- n IJI, on aura

En effet, si J ç 3IT alors IJI S IITI , et

On a tenu compte du fait que IJI S IITI, IIsl s IITI et dist(Is, J) 2: dist(IT , J). Sinon,

J Cl3IT et alors IJI2: IITI· On a aussi dist(Is,J) 2: dist(IT , J) 2: IJI? IJI, donc

ce qui donne

En conséquence

Bref,

(5.16) ~ CJ62-n min (IJI , IITI(IITI-1 dist(IT , J))-10).

Puis en son1mant selon n 2: 0 et J E :1, on aura A ;S CJ6IITI· Effectivement,

L L CJ62- n min (IJI , IITI(IITI-1 dist(IT , J))-10) == JE3 n20

L CJ{)min (IJI , IITI(IITI- 1 dist(IT , J)) - 10) == L ( ... ) + L ( ... );S CJ6IITI, JE3 JE3 JE3

IJ I:::; IITI IJI > IITI

car la somme ~ JE3 est finie , tandis que pour 1 JI > IITI, on a IJI :::;I IT I

dist(IT l J)) ~ 1 JI 2: lIT 1·


Pour borner B , on prend

G(J)=Jn( U N - 1(ws+)).

Alors

s ET 115 1::>:111

IG(J)I ;S 61JI·

33

( 5.17)

(5.18)

Pour mont rer (5 .18), on considère J' le prochain intervalle dyadique contenant J , i.e.

le "parent" de J. Alors 3J' doit contenir un certain 1"" car le principe de maximallité

pour J est brisé par J'. Soit s" une tuile t elle que l s' C l sll, 11sll 1 = IJI et W T C WS" ,

alors s' < s" . Par la définition de la densité (définition 4.4 ), on aura

Or , W T C W s et WT C W .,II entraînent W s n WS" =1- 0. Comme 11s1 2: IJ I 2: 11sll l, les s ET dans (517) vérifient W s C WS" . On a aussi N - 1(ws+) C N - 1(ws) C N - 1(wslI), ùonc

G(J ) ç N - 1 (wslI) . En conséquence, avec la définition de la densité,

Ceci n 'est aut re que (5 18).

Distinguons deux cas selon le signe de l'arbre. Si T est un arbre- , ceci veut dire que

les tniles {ls x ws+ : SE T} sont deux à deux disjointes . Dans l'intégrale qui défini t B , on intègre selon les x E J n E et t els que x E U sET N - 1 (w s+), d 'où

P ar conséquent

Comme

l's121.J1

x E J n U N - 1 (w s+) = G(J). sET

IIsl2V I

B ~ IG(J)I·II L: (l, <,os)<Psl loo· sET

IIsl21JI

L: 1(I,<,os)<Psl ~ (L:I(I,<,os)1 2f /2(L: lrPsI 2f/2 ~ (J l h l- l /2 (L:I <ps I 2r /2 , sET sET sET sE T

l/sI 21.J1

on déduit que

Or

Il L: 1(1': <,os) rPslll oo ;S (J.

sET Il sl21JI

IG(l)1 ,S 611 1,


donc B ;S balJI · En sommant sur les J tels que J C 3IT , on trouve B ;S ba lfT/' Maintenant , le cas le plus import ant , si T est un arbre+ alors les t uiles {fs x W s - : S ET} sont deux à deux disjointes. Posons

alors

F :== Mod_c(wT) L Es(J, <Ps)<Ps, sET

Il F II 2 == sup 1 (F, j) 1 ~ sup L 1 (J , <Ps) 12 .

11 / 112=1 11 / 11 2=1 sE T

Or , d 'après la définition de la taille 4.7,

L 1 (j , CPs ) 1 2 ::; a/lhl,

sE T

donc

IIFII2 ;S aVlhl· Posons T( X) == sup {IIsl : s ET; N(x) E ws+}.

't(x)

x

,.-----..;;;....;.N(x)

F IGURE 5.4 - Illustration de la fon ction T

En se rappelant que cPs (x) == l ws+(N(x)). <ps (x), on remarque que pour tout J et t out x E J , on a

sE T T(x)2I I s I2 IJI

(5.19)


Notons que le m embre droite de (5.19) est une troncat ure de la somm e qui définit F . Pour T > 0 et J E 3 , p osons

FT,J :== M od L Es {J , '{Js ) '{J s' sE T

T21 Isl2 111

D 'abord , suppFT, J ç [ ~7IJI-1 , ~lT-1 ]. En effet , sUPP <Ps ç [c(ws - )- 81~sl' c (ws- )+ 81 ~sl], d 'où

1 1 supp FT,] ç;; s~ [C(Ws-) - C(WT) - 811sl' c(ws - ) - C(WT) + 811sll·

T2 1Isl21 JI

D 'une p art , C(WT) - c(ws- ) ~ Iw;- I + Iws+ 1 == ~ Iws l donne c(ws- ) - C(WT) ~ - ~Iws l et par suitec(ws-)- C(WT)- 8 1 ~s l ~ 811: 1 ~ 8,JI. D 'autre part, C(WT) -C(W s-) ~ Iw;- I+ lw2

T1

implique

Ensuite, d ans la définition de '{J, on peut choisir 116 < a , b < 1 t els que

FT,J == (Dil~ l l l '{J - Dil~T '{J ) * F. On conclut que

Vx E J,

où M8 est défini d ans (5.1 :3 ). On aura alors

L J EJ

IJI :S 3abl'T 1

;S !UG(J) M6F( x )dx ;S 1 U G(J)1 1/

211 1VhF I12

111 :S 31ITI IJI :S3IIT I

On a t enu compt e du fait que

Chapitre 6

Généralisations et problèmes ouverts

Le théorème de Carleson a des formes équivalentes dans le c'as des groupes ~ , 1f et Z.

La preuve originale de Carleson est sur 1f. Celle de Fefferrpann traîte le cas ~, Màté[16]

l 'élargit à Z , où l 'opérateur de Carleson s'écrit

iTk

C-gf(j) := supsup 1 I: f(j - k);-I T N O<lkl <N

Il Y a plusieurs extensions du théorème de Carleson aux dimensions supérieures. On

définit la transforrnée de Fourier dans le plan par

Un opérateur maximal "intuitif" est

où west un rectangle arbitraire avec centre à l 'origine. Or , C. Fefferrnann [7] a prouvé

que ce n 'est pas un bon choix.

Théorème 6.1. Il existe une fonction f bornée) à support compact et telle que Rf = 00

sur un ensemble de m esure non nulle.

On peut considérer, par contre, l 'opérateur T qui est défini sur le disque unité par

T f( x ):= ( Î(ç) eiÇ,xdç. J1çl <1

C. Feffermann a prouvé que T est borné sur LP(~P) s( et seulement si p = 2. D autres

questions restent ouvertes.

Chapitre 6. Généralisations et problèrnes ouverts

Définition 6.1. Soit J : IR2 ~ IR ( ou C) une fonction mesurable. On dit que

f E W.c 2 (IR2) s 'il existe une cnstante C > 0 telle que pour tout t > 0 on a

C2

I{ x : If( x) 1 > t}1 ::; t2.

Conjecture 6.1. Est-il vrai que l 'opérateur

sup 1 r Î(ç)eiÇXdçl r > O JI~ I<r

est borné de .c2 (IR2) dans W.c2 (IR2

) ?

37

Rappel. Un opérateur T est dit borné de .c2 (IR2) dans W.c2 (IR2

) s'il vérifie un estimé

du type (1.5).

Conjecture 6.2. Est-il vrai que l 'opérateur

Revenons à la dimension l. On s 'intéresse à améliorer le resultat de Carleson au

voisinage de .cl. Soit 1r = [0, 1] le cercle unité et définissons la somme partielle de

Fourier d 'une fonction J par

SNf(x) = L j(n)e27rir>.X , Î(n) = t f( x )e-inxdx .

Inl::;N

N. Antonov [1] a prouvé le théorème suivant.

Théorèrne 6.2. Pour tout J E L(log L) (lOg3 L) (li) i la série de Fourier de J converge

vers J presque partout.

Dans le sens négatif, le contre-exemple de l<olmogorov , d 'une fonction intégrable

avec sa série de Fourier divergente, adrnet une généralisation qui est due à Korner [13]

Théorème 6.3. Pour tout 'ljJ (x) = o(log log X)i il existe une fonction J : [0 , 21r] ~ IR

dont la série de Fourier est divergente et telle que

/Ifl 'lj! (f)dx < 00.

G. H. Hardy a montré que pour une fonction intégrable J, on a SnJ = o(log n) p.p.

et il s'est demandé si c'était le meilleur résultat possible. Cette question est, encore

ouverte. Dans le sens négatif, on a le théorème suivant dû à S. Konyagin [10 , Il]

Chapitre 6. Généralisations et problèm es ouverts 38

Théorème 6.4. Pour tout 1jJ(x) = o( lO~~~X ) J il existe une fon ction f E .L:1 (1r) telle que

Une aut re question soulevée par E. M. Stein concerne les intégrales à oscillation avec

une phase polynômiale.

Conjecture 6.3. Pour tout ent ier d j la fonction m aximale

Cdf( x );= sup 1 J eiP(y) f( x _ y ) dy 1

. d eg (P )=d Y

est un opérat eur borné de LP vers lui même.

Le cas d = 1 correspond à l 'opérat eur de Carleson.

Annexe A

Analyse de Fourier

On résume ici quelques notions de base de l 'analyse de Fourier tirées de [17] et [2].

Théorème A.l (D'INVERSION). Si 1 E S(~)J alors

Prell,ve : Pour l, 9 E L 1 (IR), on applique le théorème de Fubini à l iintégrale double

pour avoir l'égalité

l Î(y)g(y)dy = l f( x)g(x)dx (A.1)

Soit, maintenant, 9, cjJ E S(~) et I(x) = cjJ(x/ À), À > O. Du Inême coup gi cjJ, 1 E Ll(~).

Avec (j\.l ) et le fait que Î( t) = À~( Àt), on trouve

l ).,J()\t)g(t)dt = l rjJ(x/ ).,)g(x)dx,

(A.2) .

Quand À ---f 00 , g( u/ À) ---f g(O) et cjJ ( u/ À) ---f cjJ(O). Donc, pour À assez grand i g( u/ À)

et cjJ (X/À) sont bornés. Or S(IR) C Ll(~) i donc g, ~ E Ll(~) , et on peut appliquer le

théorème de la convergence dominée aux deux membres de CA. 2) pour trouver

g(O) l J(u)du = rjJ (O) l g(x)dx. (A.3)

Annexe A. Analyse de Fourier

En prenant cp ( x ) = e- x2 /2 dans (A .. . 3) et sachant que cp( 0) = 2~ IJR ~(u )du, on aura

g(O) = ~ r g( x )dx, 27r JJR

qui équivaut à

i. e.

T_tg(O) = ~ r rC;g(x )dx , 27r JJR

1 i . g(t) = - e'Ltxg( x) dx . 27r JR

40

o

Théorème A.2 (DE PLANCHEREL). Soit f une fon ction de .[2 (IR). Pour A > 0, consi

dérons cPA f( x ) = k I~A f(t) e-ixtdt. Alors cpA f converge dans .c2 (JR) , quand A ---7 00,

vers une fon ction f que l 'on appelle la transform ée de Fourier de f. L 'application

f r----+ f est une isométrie de L:2 (1R). Si de plus, f E L: 1 (1R) , alors f coïncide avec la

transformée de Fourier usuelle.

Critères de Convergence pour une série de Fourier :

• On a n 1 j'7r

Snf( x ) = L f(j) eijX = - Dn(x - t)f(t)dt ,

. 27r - 7r J=-n

avec

f(j) = ~ j'7r f(t) e-ijtdt , 27r -7r

D. (t) = ~ eijt = sin[(n + 1/2)t] n j~n sin(t/2) '

où f(j) est le coefficient de Fourier de f et Dn est le noyau de Dirichlet.

Théorème A.3 (TEST DE DINI). Si f E L:1 [-7r , 1f] et Io7r I f(x+t) +f(~- t) ~ 2f(x ) l dt < 00,

alors Snf( x ) -7 f( x ) quand n -7 00.

Théorème A.4 (TEST DE JORDAN). Si f E L:1 [-7r,7r] est de variation bornée dans

'un intervalle ouvert l contenant x, alors Snf( x ) -7 ~(f(x+) + f( x -)) quand n -7 00.

Techniques de sommabilité :

• On définit la moyenne de Césaro par

1 n 1 j7r O"nf(x ) := - L SnJ( x ) = - Fn(x - t)f(t)dt ,

n + 1 j = O 27r -7r

où

Fn(t) = _1_ t Dn(t) = t (1 -_IJ_", ) eijt

n + 1 j = O j =-n n + 1

est le noyau de Féjer.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Annex e A. Analyse de Fourier 41

Théorème A.5. Soit (Kn) un noyau sommable, f : JR -----7 C continue et 2n-périodique.

Alors Kn * f( x ) converge uniform èm ent vers f( x) . E n plus, pour 1 ~ p < 00 et

f E LP[-n , n) , on a limn~bo IIKn * f - fl/ p == O .

• On défini t le noyau de Poisson par

~ 1 °1 Or 1 - r2

Pr ( t) : == L r J e ~J == , 0 < r < l. j =-oo 1 - 2r cos (t ) + r 2 -

Proposition A.5. Si f E L P[-n, 7r] avec 1 ~ P < 00 , ou p == 00 et f est continue avec

f( -n) == f(7r) , alors limr~ l - I/Pr * f - f l/ p == o.

Théorème A.7 (FATOU). Si f E Ll [-7r ,7r], alors, pour presque tout x E [-7r j 7r], on

a limr~ 1 - Pr * f ( x ) == f ( x ) et limn an f ( x ) == f ( x ) .

Bibliographie

[1] Ant onov N. , Yu, (1995). Convergence of Fourier series . P roceedings of the XX

Workshop on Function Th eory, vol. 2, 1996, pp. 187-196.

[2] Bachman G. , Narici L . and Beckenstein E. , (2000). Fourier and wavelet analysis ,

Springer-Verlag, New York.

[3] Carleson L. , (1966) . On convergence and growt h of part ial sumas of Fourier series. ·

A cta. Math. , 116, 135-157.

[4] De Reyna J.A., (2002). Pointwise convergence of Fourier series. A nn. of Math. ,

Springer-Verlag, New York.

[5] Duoandikoetxea J. , (2001). Fourier Analysis. A m erican M athematical Society.

[6] Feffermann C. , (1973). Pointwise convergence of Fourier series . Ann. of Math. ,

98 (n02) , 551-571.

[7] Feffermann C. , (1971) . On the divergence of mult iple Fourier series . B ull. Amer.

M ath. S oc., 77, 191-195.

[8] Fourier J. , (1822). Théorie analytique de la chaleur.

[9] Katznelson Y. , (2004). An int roduction t o harmonie analysis. Cambridge Univer

sity Press , Cambridge, U.K.

[10] Konyagin S. V. , (2000). On the divergence everywhere of trigonometric Fourier

series . Math. Sb. , 191 , 103-126.

[11] Konyagin S. V. , (1999). On t he di~ergence of t rigonometric Fourier series . C. R. A cad. S ei. Paris S ér. 1 M ath, 329, 693-697.

[12] Korner T.W. , (1 992). Fourier Analysis. Cambridge University P ress , Cambridge,

U.K.

[1 3] Korner T. W ., (1 981) . Everywhere divergent Fourier series. Colloq. Math., 45, 103-118.

BIBLIOGRAPHIE 43

[14] Lacey M., (2004). Carleson 's theorem Proof, Complements, Variations. Publ.

Math. , 48(n02) , 251-307.

[15] Lacey M. , Thiele C., (2000). A proof of boundedness of t he Carleson operator.

Math. R es. Lett. 7, n 0 4, 361-370.

[16] Màté A. , (1967). Convergence of Fourier series of square integrable functions. Mat .

,Lapok18 , 195-242.'

[17] Rudin W. (1973). Functional Analysis. Mc Graw-:-Hill Book Company, New York.

[18] Stein E.M. , (1993). Harmonie Analysis. Princeton University Press .

[19] Thiele C. , (2000),(http :j jwww.math .ucla.eduj thielejlecturenotesjelescoria12.pdf).

[20] Thiele C. , (2006). Wave Packet Analysis. CBMS(Conference Board of the Mathematical Sciences) , nO: 105.

Sur la convergence des séries de Fourier : théorème de ...

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