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7/24/2019 structure groupe.pdf

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Structure de groupe

On suppose construits les ensembles usuels N, Z, Q, R et C avec les quatre oprationsclassiques. Nous reviendrons plus loin sur les constructions de Z partir de N, de Q partir

deZ,deR partir de Q et de C partir de R.Ltude prliminaire de lalgbre linaire a ncessit lutilisation des notions de groupe, an-neau et corps sans une tude trs approfondie.

On se propose dans ce chapitre et les deux suivants dtudier plus en dtail ces structuresalgbriques de base.

Les rsultats de base en algbre linaire sont supposs acquis.Les espaces de matrices (relles ou complexes) ainsi que les espaces de fonctions polynomiales

( coefficients rels ou complexes) nous seront utiles pour illustrer certaines notions.Nous supposerons galement acquises les notions basiques darithmtique (division eucli-

dienne, pgcd,ppcm,...). Pour a, bentiers relatifs, on note respectivement a bet a blepgcdet le ppcm de a etb.

20.1 Loi de composition interne

Dfinition 20.1 On appelle loi de composition interne sur un ensemble non vide G touteapplication dfinie surG G et valeurs dansG.

Si est loi de composition interne sur G, on notera souvent :

(a, b)G2, a b= (a, b) .

Il sera parfois commode de noter une telle loi sous la forme additive (a, b)a +b ou sousla forme multiplicative (a, b)a bou plus simplement (a, b)ab.

On notera (G, ) lensemble non vide G muni de la loi de composition interne .

Exemple 20.1 Laddition et la multiplication usuelles sont des lois de composition interne surN, Z, Q, R etC.

Exemple 20.2 SiEest un ensemble non vide etP(E) lensemble de toutes les parties deE,les applications :

(A, B)A B, (A, B)A B, (A, B)A B= (A B) \ (A B)sont des lois de composition interne surP(E) ( est loprateur de diffrence symtrique).

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378 Structure de groupe

Exemple 20.3 SiEest un ensemble non vide etF(E) lensemble de toutes les applicationsdeEdansE,alors lapplication de composition(f, g)fgest une loi de composition internesurF(E) .

Exemple 20.4 Dans lensemble

Mn(R) des matrices carres dordren coefficients rels les

oprations usuelles daddition(A, B)A + B et de multiplication(A, B)AB sont des loisde composition interne.

Exemple 20.5 Dans lensemble GLn(R) des matrices carres dordre n coefficients relsinversibles laddition nest pas une loi interne (siA est inversible, il en est de mme deB =Aet la sommeA+B = 0 ne lest pas) et la multiplication est une loi interne.

Dfinition 20.2 SoitG un ensemble non vide muni dune loi de composition interne(a, b)a b . On dit que :

1. cette loi est associative si :

(a,b,c)G3, (a b) c= a (b c)

2. cette loi est commutative si :

(a, b)G2, a b= b a

3. e est un lment neutre pour cette loi si :

aG, a e= e a= a

4. un lmenta deG est dit rgulier (ou simplifiable) si :

(b, c)G2,

a b= a cb = c,b a= c ab = c.

Remarque 20.1 Dire quun lmenta G est rgulier gauche [resp. droite] signifie quelapplicationga g [resp. gg a] est injective.

Si est une loi de composition interne associative sur G, on crira a b c pour (a b) cou a (b c) .

De manire plus gnrale, toujours dans le cas dune loi associative, on peut effectuer les

oprations a1 a2 ano lesaj sont des lments de G, ce que lon noteran

j=1

aj dans le cas

dune loi multiplicative oun

j=1

aj dans le cas dune loi additive. Ce produit (ou cette somme)

est donc dfini par a1G et supposantn1j=1

aj construit pour n2,on a :

nj=1

aj =n1j=1

aj an

le parenthsage tant sans importance du fait de lassociativit.

Pourn = 0,il sera commode de notern

j=1

aj = 1(oun

j=1

aj = 0dans le cas dune loi additive).


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Loi de composition interne 379

Dans le cas o tous les aj sont gaux un mme lment a, ce produit est not an et on dit

que cest la puissancen-ime dea. On retiendra que ces lments de G sont donc dfinis par larelation de rcurrence :

a0 = 1

n

N, an+1 =an a

Dans le cas o la loi est note additivement, on note pluttna au lieu de an.On vrifie facilement que an am = am an = an+m [resp. (na) + (ma) = (ma) + (na) =

(n+ m) apour une loi additive] pour tous n, mdansN (voir le thorme 20.9).

Exemple 20.6 Les oprations usuelles daddition et de multiplication sont commutatives etassociatives sur G = N, Z, Q, R ouC. 0 est un lment neutre pour laddition et 1 est unlment neutre pour la multiplication pour chacun de ces ensembles. Tous les lments de Gsont simplifiables pour laddition et tous les lments deG = G \ {0} sont simplifiables pourla multiplication.

Exemple 20.7 Si E est un ensemble non vide, les oprations et sont commutatives etassociatives surP(E) . Lensemble vide est un lment neutre pour etE est un lmentneutre pour lintersection.Exemple 20.8 SiEest un ensemble non vide la composition des applications est associativeet non commutative dansF(E) . Lidentit est un lment neutre pour cette loi.Exemple 20.9 DansMn(R) laddition est associative et commutative et la multiplication estassociative et non commutative.

Exercice 20.1 Montrer que le produit vectoriel est une loi de composition interne non asso-ciative surR3.

Solution 20.1 On rappelle que ce produit vectoriel est la loi interne dfinie par : xyz

xy

z

= yz yzxz xz

xy xy

.En dsignant par

, , k la base canonique deR3, on a :

k

= =k ,

j

k =0 k =0.

Cette loi nest donc pas associative.Commeuv =v u , cette loi nest pas commutative (il existe des vecteurs tels quev u=0).Thorme 20.1 Soit(G, ) un ensemble non vide muni dune loi de composition interne. SiG admet un lment neutre, alors ce dernier est unique.

Dmonstration. Soient e, e deux lments neutres. On a alors e = e e puisque e estneutre ete =e e puisque e est neutre, ce qui implique e= e.

Dfinition 20.3 Soit (G, ) un ensemble non vide muni dune loi de composition interne etadmettant un lment neutree. On dit quun lmenta deG est inversible sil existe un lmenta dansG tel quea a =a a = e. On dit alors quea est un inverse (ou un symtrique) dea dansG.


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Thorme 20.2 Soit(G, ) un ensemble non vide muni dune loi de composition interne as-sociative et admettant un lment neutree. SiaG admet un inverse dansG, alors ce dernierest unique.

Dmonstration. Supposons que a

G admette deux inverses a et a. On a alors :

a a a = (a a) a =e a =a

puisque la loi est associative et a est inverse de aet :

a a a =a (a a) =a e= a

puisque a est inverse de a,ce qui implique a =a.

Remarque 20.2 Pour une loi non associative, lunicit du symtrique nest pas assure. Parexemple dans lensembleG={0, 1, 1} muni de la loi dfinie par la table :

0 1 10 0 1 11 1 0 01 1 0 0

0 est neutre et1 1 = 1(1) = 0.En cas dexistence, on notera a1 un inverse de adans(G, ) , la loi tant associative.Dans le cas dune loi de composition interne note de faon additive, on notera plutt a

un inverse de aet on lappellera oppos.

Exemple 20.10 Dans(N, +) seul0 a un oppos et dans(N, ) seul1 a un inverse.Exemple 20.11 Dans (Z, +) tout lment admet un oppos et dans (Z, ) les seuls lmentsinversibles sont1 et1.Exemple 20.12 Dans (R [x] , +) tout lment admet un oppos et dans (R [x] , ) les seulslments inversibles sont les polynmes constants non nuls.

Exemple 20.13 Le cours dalgbre linaire nous dit que lensemble des lments inversibles de(Mn(R) , ) estGLn(R) .

20.2 Groupes

Dfinition 20.4 Un groupe est un ensemble non videG muni dune loi de composition interne possdant les proprits suivantes :

la loi est associative ;il existe un lment neutree pour la loi ;tout lment deG admet un symtrique.Si de plus la loi est commutative, on dit que le groupeG est commutatif ou ablien.

En gnral, sil ny pas de confusion possible, on dira tout simplement que Gest un groupepour (G, ) est un groupe et on notera ab ou a+ b le rsultat de lopration a b. Avec lapremire notation, on dit que G est un groupe multiplicatif et on notera 1 llment neutre,a1 le symtrique dun lmenta de G et avec la seconde notation, on dit que G est un groupeadditif et on notera 0 llment neutre,ale symtrique quon appelle oppos.


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Groupes 381

Exemple 20.14 Les ensemblesZ, Q, R etC munis de laddition usuelle sont des groupesabliens.

Exemple 20.15 LensembleN muni de laddition usuelle nest pas un groupe du fait quunlment non nul deN na pas doppos dansN (lquationa + x= 0 aveca

= 0 dansN na pas

de solution dansN).

Exemple 20.16 Les ensemblesQ, R etC munis de la multiplication usuelle sont des groupesabliens.

Exemple 20.17 LensembleZ muni de la multiplication usuelle nest pas un groupe du faitquun lment deZ\{1, 0, 1} na pas dinverse dansZ (lquationax= 1aveca Z\{1, 0, 1}na pas de solution dansZ).

Exemple 20.18 Si E est un ensemble non vide, lensembleP(E) est alors un groupe pourlopration de diffrence symtrique : (A, B)A B = (A B) \ (A B) .Exemple 20.19 SiEest un ensemble non vide, lensemble des bijections deEdans lui mmemuni de la composition des applications est un groupe (en gnral non ablien). Ce groupe estle groupe des permutations deE, il est notS(E) ouS (E) .

Exemple 20.20 LensembleMn(R) des matrices carres dordren coefficients rels est ungroupe additif, mais non multiplicatif.

Exemple 20.21 LensembleGLn(R) des matrices carres dordren coefficients rels et in-versibles est un groupe multiplicatif, mais non additif.

Thorme 20.3 Dans un groupe(G, ) tout lment est simplifiable.

Dmonstration. Soient a, b, c dans G. Si a b=a c, on a alors a1 a b= a1 a c,soitb= c. De mme si b a= c a, alors b a a1 =c a a1,soitb= c.

Exercice 20.2 Montrer que si (G, ) est un groupe, alors pour tout a G, la translation gauchega:xa x [resp. droiteda : xx a] est une bijection deG dinversega1 [resp.da1].

Solution 20.2 Lgalit ga(x) = ga(y) quivaut a

x = a

y et multipliant gauche para1, on en dduit quex= y. Lapplicationga est donc injective.PouryG, lquationga(x) =y quivaut a x= y,ce qui entranex = a1y. Lapplicationga est donc surjective.En fait comme, pour touty G, lquationga(x) = y a pour unique solutionx= a1 y, ondduit immdiatement quega est bijective dinversega1.

Exercice 20.3 Montrer que si(G, )est un groupe etEun ensemble non vide, alors lensembleGE des applications deEdansG muni de la loi dfinie par :

(f, g)GE GE,xE, (f g) (x) =f(x) g (x)

est un groupe et que ce groupe est commutatif siG lest.


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Solution 20.3 Pourf , gdansGE, fgest bien une application deEdansG, donc un lmentdeGE.Lapplication1 :xe est le neutre pour cette loi.Sif GE, lapplicationf :x(f(x))1 est linverse def.Pourf, g, h dansGE etx

E, on a :

(f (g h)) (x) =f(x) (g h) (x) =f(x) (g (x) h (x))= (f(x) g (x)) h (x) = (f g) (x) h (x)= ((f g) h) (x)

et doncf (g h) = (f g) h.LensembleGE muni de la loi est donc un groupe.SiG est commutatif, on a alors pourf, g dansGE et toutxE, (f g) (x) =f(x) g (x) =g (x) f(x) = (g f) (x) , ce qui revient dire que f g = gf. Le groupe

GE,

est donc

commutatif siG lest.

Exercice 20.4 SoientG, Hdeux groupes multiplicatifs. Montrer que le produit directG Hmuni de la loi :

((a1, a2) , (b1, b2))(a1, a2) (b1, b2) = (a1b1, a2b2)est un groupe.

Solution 20.4 Laisse au lecteur.

De manire plus gnrale, si H1, , Hn sont des groupes multiplicatifs, alors le produitdirectH1

Hn muni de la loi :

((a1, , an) , (b1, , bn))(a1b1, , anbn)

est un groupe et ce groupe est commutatif si, et seulement si, tous les Hi le sont.Si (G, ) est un groupe tel que G ait un nombre fini n1 dlments, on dira alors que G

est un groupe fini dordre (ou de cardinal) n. Pour un tel groupe fini dordre petit, on peutdresser sa table de composition. Cette table est appele table de Pythagore.

Exercice 20.5 Montrer que lensemble G ={e,a,b,c} muni de la loi dfinie par la tablesuivante :

e a b c

e e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

est un groupe commutatif (a best situ lintersection de la ligne deaet de la colonne deb).Ce groupe est le groupe de Klein. Une reprsentation gomtrique est donne par lensemble{Id,x, y, z} , oId est lidentit de lespaceR3 etx, y, z sont les symtries orthogonalespar rapport aux trois axes Ox, Oy et Oz, en munissant cet ensemble de la composition desapplications.

Solution 20.5 Laisse au lecteur.


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Groupes 383

Exercice 20.6 La table suivante :

e a b c de e a b c da a e d b c

b b c e d ac c d a e bd d b c a e

dfinit-elle un groupe ?

Solution 20.6 La loi nest pas associative puisque : a (b c) =a d= c(a b) c= d c= a=c

Exercice 20.7 Soit(G, ) un ensemble non vide muni dune loi de composition interne asso-ciative, admettant un lment neutree gauche, cest--dire que :

aG, e a= a

et telle que tout lment deG admette un symtrique gauche, cest--dire que :

aG,a G|a a= e.

Montrer alors que(G, ) est un groupe (e est alors le neutre de(G, )eta le symtrique dea).

Solution 20.7 Soienta G eta G tel que a a = e. En dsignant par a un inverse gauche dea, on a :

a a =a a a a =a (a a) a =a a =e,

ce qui signifie quea est aussi un inverse droite dea. Et avec :

a e= a (a a) = (a a) a= e a= a,

on dduit quee est aussi un neutre droite. En dfinitive, e est un lment neutre dans(G, )eta est le symtrique dea. Avec lassociativit de,il en rsulte que(G, ) est un groupe.

Lexercice prcdent nous dit que pour une loi associative la vrification de lexistence dunneutre gauche et dun inverse gauche est suffisante pour affirmer quon a une structure degroupe.

Exercice 20.8 Montrer que lensembleG= ]1, 1[ muni de la loi dfinie par :

x y = x+y

1 +xy

est un groupe commutatif.


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Solution 20.8 Pourx, y dans ]1, 1[ , on a|xy|< 1, donc1 + xy >0 etx y est bien dfini.De plus avec :

(x+y)2 (1 +xy)2 =x2 +y2 1 x2y2= x2 1 1 y2


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Groupes 385

Thorme 20.4 Soit(G, ) un groupe. Pour tousa, bdansG,on a(a1)1

=a et(a b)1 =b1 a1.

Dmonstration. La premire galit se dduit immdiatement de la dfinition de a1 et ladeuxime rsulte de :

b1 a1 a b= b1 e b= b1 b= e

Plus gnralement, on vrifie facilement par rcurrence sur p2 que si a1, , ap sont deslments dun groupe G,on a alors :

(a1 ap)1 =a1p a11 .Exercice 20.10 SoitGun groupe multiplicatif dlment neutre1.Montrer que si on aa2 = 1pour touta dansG, alorsG est commutatif.

Solution 20.10 Pour a, b dans G, deabab = (ab)2 = 1, on dduit que a (abab) b = ab, soit

a2bab2 =ab ou encoreba= ab.

Exercice 20.11 SoitG un groupe multiplicatif dlment neutre1.

1. Montrer queG est commutatif si, et seulement si, on a(ab)2 =a2b2 pour tousa, bdansG(ce qui revient dire que lapplicationaa2 est un morphisme de groupes, cette notiontant dfinie au paragraphe 20.7).

2. Montrer que G est commutatif si, et seulement si, on a (ab)1 = a1b1 pour tousa, bdansG (ce qui revient dire que lapplicationaa1 est un morphisme de groupes).

Solution 20.11

1. Dans le cas oG est commutatif, on a pour tousa, b dansG :

(ab)2 =abab= aabb= a2b2.

Rciproquement, si(ab)2 =a2b2 pour tousa, b dansG,deabab= (ab)2 =a2b2 =aabb,ondduit par simplification gauche para et droite parb queba= ab.On peut retrouver le rsultat de lexercice prcdent avec ce rsultat. Sia2 = 1 pour touta dansG, on a alors pour tousa, b dansG, (ab)2 = 1 =a2b2 etG est commutatif.

2. Dans le cas oG est commutatif, on a pour tousa, b dansG :

a1b1ab= a1b1ba= 1

donca1b1 = (ab)1 .

Rciproquement, si(ab)1 =a1b1 pour tousa, b dansG, on a alorsab=

(ab)11

=

(a1b1)1

=ba etG est commutatif.

Dans (GLn(R) , ) qui est non commutatif, on a en gnral (AB)n = AnBn pour n 2dans N. Par exemple, pour A =

1 23 4

et B =

1 10 1

, on a (AB)2 =

10 2424 58

et

A2B2 = 7 24

15 52 .On peut aussi remarquer que les lments deMn(R) ne sont pas tous simplifiables pour leproduit. Par exemple, pourA =

1 00 0

etB =

0 01 0

,on aAB = 0 =A 0avecB= 0.


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20.3 Sous-groupes

Dfinition 20.5 Soit(G, ) un groupe. Un sous-groupe deGest un sous-ensembleH deG telque :

Hest non vide;

pour tousa, b dansH, a b1 est dansH.

Le rsultat qui suit nous donne une dfinition quivalente de la notion de sous-groupe.

Thorme 20.5 Soit(G, ) un groupe. Un sous-ensembleHdeG est sous-groupe si, et seule-ment si :

Hcontient llment neutree deG ; Hest stable pour la loi, cest--dire que :

(a, b)H2, a bH

Hest stable par passage linverse, cest--dire que :

aH, a1 H.

Dmonstration. SoitHun sous-groupe de G.PouraH, on ae = a a1 H, a1 =e a1 Het pourbH, a b= a (b1)1 H.Rciproquement siH contiente, il est non vide et sil est stable par multiplication et passage

linverse, on a poura, b dansH, b1 H et a b1 H.On vrifie facilement quun sous-groupe Hdun groupe G est lui mme un groupe et H est

commutatif siG lest.

Exemple 20.22 Si (G, ) est un groupe dlment neutre e, alors H ={e} et G sont dessous-groupes deG. On dit que ce sont les sous-groupes triviaux deG.

Exemple 20.23 Lensemble des nombres complexes de module gal 1 (le cercle unit) estun sous-groupe du groupe multiplicatifC.

Exemple 20.24 Pour tout entiern1,lensemblen ={z C \ zn = 1}des racinesn-mesde lunit est un sous-groupe de.

Exemple 20.25 Pour tout entier natureln, lensemblenZ =

{q

n

|q

Z

}des multiples den

est un sous groupe de(Z, +) .En ralit ce sont les seuls, comme le montre le thorme suivantqui est une consquence du thorme de division euclidienne dansZ (thorme 23.1).

Thorme 20.6 SiG est un sous-groupe de(Z, +) , il existe alors un unique entier naturelntel que

G= nZ = {qn|q Z}Cet entiern est le plus petit lment deG N.

Dmonstration. Si G={0} , on a G= 0Z.Si G

=

{0

}, il existe dans G un entier a non nul et comme G est un sous-groupe de (Z, +)

a est aussi dans G et lun des entiers a oua est dans G+ = G N. Lensemble G+ estdonc une partie non vide deN et en consquence admet un plus petit lment n1.Commen G et G est un groupe additif, on a nZ G. Dautre part, pour tout m G, la division


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Sous-groupes 387

euclidienne parn donne m= qn+r avec r = m nqG+ et rn 1,ce qui impose r= 0par dfinition de n.On a donc GnZetG= nZ.

Lunicit provient du fait que nZ = mZ si, et seulement si, n =m et pour n, m positifs,on a ncessairementn= m.

Nous verrons avec le chapitre sur les anneaux, que le rsultat prcdent peut se traduire endisant que lanneauZ est principal et il a de nombreuses applications.

La notion de sous-groupe est commode pour montrer quun ensemble est un groupe : on peutessayer de le voir comme sous-groupe dun groupe connu, ce qui vite de prouver lassociativit.Les exercices qui suivent illustrent cette ide.

Exercice 20.12 Soit i dansC tel quei2 =1. Montrer queG={1, 1, i, i} est un groupemultiplicatif.

Solution 20.12 On montre que cest un sous-groupe deC, ce qui se dduit de la table demultiplication :

1

1 i

i

1 1 1 i i1 1 1 i i

i i i 1 1i i i 1 1

Exercice 20.13 Montrer que lensemble Tn(R) des matrices carres dordre n coefficientsrels triangulaires suprieures termes diagonaux non nuls est un groupe multiplicatif.

Solution 20.13 On a Tn(R) GLn(R) puisque le dterminant dune matrice triangulaireest gal au produit de ces termes diagonaux. La matrice identit In est dans Tn(R) et pourA, B dansTn(R) de diagonales respectives(1,

, n) et(1,

, n) , linverse deB est une

matrice triangulaire de diagonale 11

, , 1n

et le produitAB1 est une matrice triangulairede diagonale

11

, ,nn

,cest donc un lment deTn(R) .En dfinitive,Tn(R)est un sous-

groupe deGLn(R) .

Exercice 20.14 Montrer que lensembleT Un(R) des matrices carres dordren coefficientsrels triangulaires suprieures termes diagonaux tous gaux 1 est un groupe multiplicatif (legroupe des matrices triangulaires unipotentes).

Solution 20.14 On procde comme pour lexercice prcdent.

Exercice 20.15 Montrer que lensembleSLn(R) des matrices carres relles dordren de d-terminant gal 1 est un sous-groupe deGLn(R) .

Solution 20.15 Comme les matrices deSLn(R) ont un dterminant non nul, elles sont in-versibles. On a doncSLn(R)GLn(R) .La matrice identit In est dans SLn(R) et pour A, B dans SLn(R) , on a det(AB1) =det(A)

det(B)= 1, doncAB1 SLn(R) .

Exercice 20.16 Montrer que lensembleO+2 (R) des matrices de rotation dfini par :

O+2 (R) = R = cos() sin()sin() cos () | Rest un groupe multiplicatif commutatif.


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Solution 20.16 On vrifie que cest un sous-groupe du groupe multiplicatifSL2(R) .Pour tout rel,on adet (R) = 1,doncRSL2(R) .On vrifie facilement queRR =In,ce qui signifie queR1 =R.On aIn = R0 O+2 (R) et pourR1 , R2 dansO+2 (R) , R1R1

2

=R12 O+2 (R) .Donc

O+

2 (R) est un sous-groupe deSL

2(R) .

AvecR1R2 =R1+2, on dduit queO+2 (R) est commutatif.Exercice 20.17 LensembleO2 (R) des matrices de rflexion dfini par :

O2 (R) =

S =

cos() sin ()sin() cos()

| R

est-il un groupe multiplicatif ? Que dire du produit de deux rflexions ?

Solution 20.17 Pour tout rel, on adet(R) =1= 0, doncO2 (R)GL2(R) .CommeIn /

O2 (R) , cet ensemble nest pas un sous-groupe deGL2(R) .

Pour1, 2 dansR, on a :

S1S2 =

cos(1) sin (1)sin(1) cos(1)

cos(2) sin (2)sin(2) cos(2)

=

cos 1cos 2+ sin 1sin 2 cos 1sin 2 cos 2sin 1 cos 1sin 2+ cos 2sin 1 cos 1cos 2+ sin 1sin 2

=

cos(1 2) sin(1 2)sin(1 2) cos (1 2)

=R12 O+2 (R)

cest--dire que le produit de deux rflexions est une rotation.

Exercice 20.18 Montrer que lensembleGdes matrices relles de la formeM(a,b)= a b

b a

aveca2 =b2 est un groupe multiplicatif. Est-il commutatif.Solution 20.18 On vrifie que cest un sous-groupe du groupe multiplicatifGL2(R) .On a In = M(1,0) G et pour tous relsa,b, on adet

M(a,b)

= a2 b2 = 0, doncM(a,b)

GL2(R) , linverse deM(a,b) tant :

M1(a,b) = 1

a2 b2

a bb a

=M a

a2b2, ba2b2

G.

PourM(a1,b1), M(a2,b2) dansG, on a :

M(a1,b1)M(a2,b2)=M(a1a2+b1b2,a1b2+a2b1)GDoncG est un sous-groupe deGL2(R) .Avec

M(a1,b1)M(a2,b2)= M(a1a2+b1b2,a1b2+a2b1)

=M(a2a1+b2b1,a2b1+a1b2)=M(a2,b2)M(a1,b1)

on dduit que ce groupe est commutatif.

Exercice 20.19 Lensemble des matrices carres dordren coefficients rels symtriques etinversibles est-il un groupe multiplicatif ?


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Sous-groupes 389

Solution 20.19 Le produit de deux matrices symtriques ntant pas ncessairement sym-

trique, la rponse est ngative. Par exemple, pour A =

a bb c

et A =

a b

b c

, on a

AA = aa +bb ab +bc

ba +cb bb +cc et en gnral, ba +cb = ab +bc. En effet lgalit revient

b (a c) =b (a c) qui nest pas ralise poura= c, b= 0 eta =c.

Exercice 20.20 Montrer que pour tout groupe(G, ) et tout lmenta deG, le centralisateurdea form des lmentsZa deG qui commutent aveca, soit :

Za={bG|a b= b a}

est un sous-groupe deG.

Solution 20.20 On aZa= puisqueeZa. Pourb, c dansZa, on a :

(b c) a= b (c a) =b (a c)

= (b a) c= (a b) c= a (b c)

cest--dire queb cZa.Pourb dansZa, dea b= b a, on dduit que

b1 a= b1 a b b1 =b1 b a b1 =a b1

cest--dire queb1 Za.En dfinitive, Za est un sous-groupe deG.

Dans le cas oG est commutatif, on aZa=G pour toutaG.Exercice 20.21 Montrer que pour tout groupe(G, ) ,le centre (ou commutateur) Z(G) deGform des lments deG qui commutent tous les autres lments deG, soit :

Z(G) ={aG| bG, a b= b a}

est un sous-groupe deG.

Solution 20.21 On a Z(G)= puisque e Z(G) . Pour a, b dans Z(G) , on a pour toutcG : a b1 c= a c1 b1 =a b c11

= (a c) b1 =c

a b1

cest--dire quea b1 Z(G) .En dfinitive, Z(G) est un sous-groupe deG.On peut remarquer queZ(G) =G si, et seulement si, G est commutatif.

Exercice 20.22 Dterminer les centres des groupes multiplicatifsGLn(R) etSLn(R) .

Solution 20.22 Le centre deGLn(R) est form des homothties de rapport non nul.SoitA= ((aij))1i,jn dans le centre deGLn(R) , cest--dire commutant avec toutes les ma-trices inversibles. En dsignant par(Eij)1i,jnla base canonique deMn(R) ,on aA (In+ Eij) =


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(In+ Eij) A pour tous i= j compris entre 1 et n, ce qui quivaut AEij = EijA pour tousi=j. En dsignant par(ei)1in la base canonique deRn, on a :

AEijej =Aei =

n

k=1akiek

EijAej =Eij nk=1

akjek =ajjei .

pour tousi=j et lgalitAEij =EijA imposeaki = 0 pourk {1, , n} {i} etaii=ajj .Cest--dire que A = In avec R. Rciproquement ces matrices dhomothties sont biendans le centre deGLn(R) .Comme les matrices In +Eij (pour i= j compris entre 1 et n) sont aussi dans SLn(R) ,le raisonnement prcdent nous montre que le centre de SLn(R) est{In} pour n impair et{In, In} pourn pair.

Exercice 20.23 SoitHune partie finie non vide dun groupe (G, ) . Montrer queH est unsous-groupe deG si, et seulement si, il est stable pour la multiplication.

Solution 20.23 Il est clair que la condition est ncessaire.Supposons queH soit fini et stable pour la multiplication. Il sagit alors de montrer que pourtoutaH, linversea1 est aussi dansH.La translation gauchega : x a x est une bijection deG et commeH est stable pour lamultiplication, cette translation est injective deHdansHet donc bijective puisqueHest fini.Il existe doncxHtel quea x= a, ce qui entranex= e (en multipliant gauche para1).On a donceHet il existexH tel quea x= e, ce qui entranex= a1 eta1 H.

Exercice 20.24 Soient H, K deux sous-groupes dun groupe multiplicatif G. On dfinit lessous-ensemblesHK etKH deG par :

HK={hk|(h, k)H K} , KH={kh|(k, h)K H} .

Montrer que :(HKest un sous-groupe deG)(HK=K H)

Solution 20.24 Supposons queHK soit un sous-groupe deG.SigH K, alorsg1 est aussi dansHKpuisqueHKest un groupe, il existe donc(h, k) dansH

K tel queg1 = hk etg = (g1)

1= k1h1

KH (H etK sont des groupes). On a

doncHKK H.SigK H, il existe alors(h, k) dansH K tel queg= kh etg1 =h1k1 H Ket commeHK est un groupe, il en rsulte que g = (g1)

1 HK. On a donc KH HK et lgalitHK=K H.Rciproquement supposons queHK=K H.On a1 = 1 1H K.Sig1 = h1k1 etg2 = h2k2 sont dansHK avech1, h2 dansH etk1, k2 dansK, alorsg1g

12 =

h1k1k12 h

12 avech1 H, k1k12 K (Kest un groupe), donch1

k1k

12

HK = KH et ilexiste(k3, h3)K H tel queh1

k1k

12

= k3h3, ce qui donneg1g

12 =k3

h3h

12

KH =

HK. On a donc prouv queHKest un sous-groupe deG.

Dans le cas oG est commutatif, on a toujoursHK=K H etHKest un sous-groupe deG siH etK le sont.


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Sous-groupes 391

Exercice 20.25 SoientG un groupe fini, H, Kdeux sous-groupes deG et lapplication :

: H K HK(h, k) hk

1. Montrer que pour toutg

H K, on a :

card

1 (g)

= card (H K)2. En dduire que :

card(H)card(K) = card (HK)card(H K)puis que :

(HKest un sous-groupe deG)(HKK H)(HK=K H)Solution 20.25

1. Soitg=h1k1

H K. Lgalitg =hk avec(h, k)

H

Kquivaut h1k1 =hk, ce qui

entraneh = h1k1k1 = h1g avecg = k1k1 = h11 h H K etk = h1h1k1 = g1k1.On a donc1 (g) {(h1g, g1k1)|gH K} .Rciproquement si(h, k) = (h1g, g1k1)avecgH K, on a alors(h, k)H K ethk= h1gg1k1=g. Donc :

1 (g) =

h1g, g1k1

|gH Ketcard(1 (g)) = card (H K) .

2. En crivant quon a la partition :

H K=

gHK

1 (g)

on dduit que :

card(H)card(K) = card (H K) =gHK

card

1 (g)

=gHK

card(H K)

= card (HK)card(H K)

Il en rsulte quecard(HK) = card (KH) =card(H)card(K)

card(H K) .3. On en dduit que(HKK H)(HK=K H)et lexercice prcdent permet de conclure.

Exercice 20.26 Soienta, b deux lments dun groupe multiplicatifG tels que(ab)1 = a1b

et(ba)1 =b1a. Montrer que(a2)1 =b2 =a2 eta4 =b4 = 1.Donner un exemple non trivial (i. e. aveca etb distincts de1) dune telle situation.

Solution 20.26 De b1a1 = (ab)1 = a1b, on dduit aprs multiplication gauche et droite para queab1 =ba et :

b2a2 =b (ba) a= b

ab1

a= (ba)

b1a

= (ba) (ba)1 = 1,

ce qui signifie que(a2)1

=b2.On en dduit que :

b4 =b2b2 = a21 b2 = a12 b2 =a1 a1b b=a1 (ab)1 b=

a1b1

a1b

= (ba)1

a1b

=

b1a

a1b

= 1


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et de(a2)1

=b2, on dduit quea2b2 = 1, donca2b4 =b2, soita2 =b2 eta4 = 1.Les conditions (ab)1 = a1b et (ba)1 = b1a reviennent dire que b1a1 = a1b, soitb= ab1a1 eta1b1 =b1a, soita= ba1b1. Dans le cas oa etb commutent, cel donneb = b1 et a = a1, soit a2 = b2 = 1. Il suffit donc de prendre deux lments dordre 2 quicommutent.

On peut considrer, par exemple, le groupe de KleinG ={Id,x, y, y}(isomorphe Z2Z

2),ox, y, y dsignent les symtries orthogonales par rapport aux axes dans lespace euclidienR3.

20.4 Sous-groupe engendr par une partie dun groupe

Thorme 20.7 Soit(G, )un groupe. Lintersection dune famille quelconque(Hi)iIde sous-groupes deG est un sous-groupe deG.

Dmonstration. Soit H =iI

Hi. Comme llment neutre e est dans tous les Hi, il est

aussi dans H et H=. Si a, b sont dans H, ils sont alors dans tous les Hi, donc a b1 Hipour toutiI ,ce qui signifie quea b1 H. On a donc montr que Hun sous-groupe deG.

Remarque 20.3 La runion dune famille de sous-groupes deG nest pas ncessairement unsous-groupe. Par exemple2Zet3Zsont des sous groupes de(Z, +) ,mais la runionHne lestpas puisque2 et3 sont dansHalors que2 + 3 = 5 /H.

Exercice 20.27 Soient H, K deux sous-groupes dun groupe G. Montrer que H

K est unsous-groupe deG si, et seulement si, HK ouKH.

Solution 20.27 SiH K ouK H, on a alorsH K = K ou H K = H et cest unsous-groupe deG.Rciproquement, supposons queHKsoit un sous-groupe deG. SiHKcest termin, sinonil existegH\ K. Pour toutkKH K, gk est dansH K (cest un groupe) etgk nepeut tre dansK (sinong= (gk) k1 K, ce qui nest pas), doncgkHetk = g1 (gk)H.On a doncKH.

Corollaire 20.1 SiXest une partie dun groupe(G, ) ,lintersection de tous les sous-groupes

deG qui contiennentXest un sous-groupe deG.

Dmonstration. Lensemble des sous-groupes deG qui contiennentXest non vide puisqueG en fait partie et le thorme prcdent nous dit que lintersection de tous ces sous-groupesest un sous-groupe de G.

Dfinition 20.6 SiXest une partie dun groupe(G, ) , le sous-groupe deG engendr parXest lintersection de tous les sous-groupes deG qui contiennentX.

On noteX le sous-groupe de G engendr par Xet ce sous-groupeX est le plus petit(pour lordre de linclusion) des sous-groupes de G qui contiennentX.

Dans le cas o Xest lensemble vide, on aX={e} .

Dfinition 20.7 SiXest une partie dun groupe(G, ) ,on dit queXengendreG siG =X .


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Groupes monognes 393

Thorme 20.8 Soient(G, ) un groupe etX, Y deux parties deG.

1. On aX X et lgalit est ralise si, et seulement siXest un sous-groupe deG.2. SiXY, on a alorsX Y .3. En notant, pourXnon vide, X1 lensemble form des symtriques des lments deX,

soitX1 ={x1 |xX} , les lments deX sont de la formex1 xn on Net lesxk sont dansX X1 pour toutk compris entre1 etn.

Dmonstration. Les points1.et 2.se dduisent immdiatement des dfinitions.Pour le point 3.on montre tout dabord que lensemble :

H=

x1 xn|nN et xkX X1 pour 1kn

est un sous-groupe de G.Pourx1X, on ae = x1 x11 Het pourx = x1 xn, y= y1 ym dansH,on a :

x y1 =x1 xn y1m y11 H

Donc Hest bien un sous-groupe de G.Comme XH, il nous suffit de monter que Hest contenu dans tout sous-groupe de Gqui

contientX. SiKest un tel sous-groupe, tout produitx1 xnde Hest un produit dlmentsde X X1 K, donc dans K, ce qui prouve que HK. On a donc bienX= H.

Remarque 20.4 Le point 3. du thorme prcdent nous dit aussi queX = X1 =X X1 .

20.5 Groupes monognes

Pour ce paragraphe, on se donne un groupe multiplicatif(G, ) .Si X est une partie de G forme dun nombre fini dlments, x1, , xn, on note alors

X=x1, , xn .Pourn= 1,on dit quex1 est un sous-groupe monogne de G.

Dfinition 20.8 On dit queG est un groupe monogne sil existex1 G tel queG =x1 .Si de plus, G est fini, on dit alors quil est cyclique (ce terme sera justifi aprs avoir dfini lanotion dordre dun lment dun groupe).

Pour tout a G nous avons dj dfini les puissances entires positives de a (paragraphe20.1). Dans un groupe, on dfinit les puissances entires, positives ou ngatives, de aG par :

a0 = 1n N, an+1 =anan N, an = (an)1

On peut remarquer que pourn N,on a aussi an = (a1)n ,ce qui rsulte de :

a1n

an =a1

a1a

a= 1

En notation additive, an est not napour n Z.


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Thorme 20.9 Poura dansG etn, m dansZ, on a :

anam =an+m

et pourbG qui commute aveca, on a :(ab)n =anbn =bnan

Dmonstration. On montre tout dabord le rsultat pour n, mdansN par rcurrence surm0 n fix. Le rsultat est vident pour m= 0 et le supposant acquis pour m0, on a :

anam+1 =anama= an+ma= an+m+1.

On en dduit que pour n, m dans N,on a :

an

am

=

an

1

am

1

=

am

an

1

=

am

+n

1

=

an

+m

1

=anm

cest--dire que le rsultat est valable pour n0 et m0.Pourn, m dans N tels que nm on a :

anm

am

=an an

am

1=anam

=anm

et pournm, on a :

anm

=

amn

1=

am

an1

=anam

donc le rsultat est valable pourn

0 et m

0.

On procde de manire analogue pour n0 etm0.En dfinitive, cest valable pour tous n, m dansZ.En supposant que a et b commutent, on montre par rcurrence sur n0 que (ab)n =anbn

etabn+1 =bn+1a.Cest clair pour n= 0 et supposant le rsultat acquis pour n0, on a :(ab)n+1 = (ab)n ab= anbnab= anbnba

=anbn+1a= anabn+1 =an+1bn+1.

Et avec ab= ba, on dduit que (ab)n = (ba)n =bnan.Ensuite, pourn 0, on a :

(ab)n

= (ab)n1 = anbn1 = bnan1 =anbn =bnanet le rsultat est valable pour n0.

On vu que la relation (ab)n = anbn est fausse si a et b ne commutent pas, des exemplessimples tant donns dans GL2(R) .

Thorme 20.10 Pour toutaG, le sous-groupe deG engendr para est :a={an |n Z}

Dmonstration. En notant H ={

an

|n

Z}

, on a{

a}

H, 1 = a0

H et pour n, m

dans Z, an (am)1 = anm H, donc Hest un sous-groupe de G qui contient{a} et cest leplus petit du fait que pour tout sous-groupe Kde G qui contient{a} ,on a an Kpour toutn Z,ce qui implique HK. On a donc bien H=a .


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Groupes monognes 395

Exercice 20.28 SoitG un groupe. Montrer que pour toutn-uplet (x1, , xn) dlments deG qui commutent deux deux (avecn1), on a :

x1, , xn=

n

k=1xkk |(1, , n) Zn

Solution 20.28 En notantX ={x1, , xn} , on aX1 =

x11 , , x1n

et comme lesxkcommutent, on dduit que :

x1, , xn=mk=1

yk|m N etykX X1 pour1km

=

nk=1

xkk |(1, , n) Zn

(xkxj = xjxk entrane x1j xkxjx

1j = x

1j xjxkx

1j , soit x

1j xk = xkx

1j et les lments de

X X1 commutent).Pour une loi de groupe note additivement, on a, dans le cas o G est commutatif :

x1, , xn=

nk=1

kxk|(1, , n) Zn

Par exemple pour le groupe additifG= Z,on a :

x1, , xn=n

k=1xkZ =Z

o N estpgcd de x1, , xn.Cette notion est tudie au paragraphe 23.4.2.Exercice 20.29 Montrer quun groupe G engendr par deux lments a et b qui commutentest commutatif.

Solution 20.29 Comme ab = ba, on a G =a, b = ab |(, ) Z2 et ce groupe estcommutatif.

Exercice 20.30 Soit X ={r1, , rn} une partie finie deQ et G =X le sous groupe de(Q, +) engendr parX. Montrer queG est monogne.

Solution 20.30 En dsignant par le ppcm des dnominateurs de r1, , rn, il existe desentiers relatifsa1, , an tels querk= ak

pour toutk compris entre1 etnet en dsignant par

lepgcd dea1, , an, on a :

G=

nk=1

kak

|(1, , n) Zn

=

nk=1

kbk|(1, , n) Zn

ob1, , bnsont des entiers relatifs premiers entre eux dans leur ensemble. On a doncG =

Z,

ce qui signifie queG est monogne engendr par

.


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20.6 Groupes finis. Thorme de Lagrange

Pour ce paragraphe, on se donne un groupe multiplicatif(G, ) .

Thorme 20.11 Pour tout sous-groupeH deG, la relation dfinie surG par :

x yx1yH

est une relation dquivalence.

Dmonstration. Pour tout xG, on a x1x= 1H, donc est rflexive.Si x, y dans G sont tels que x1y H, on a alors (x1y)1 =y1xH, ce qui signifie que

y x.Cette relation est donc symtrique.Six, y,zdans G sont tels que x1yH et y1zH, on a alors x1z= (x1y) (y1z)H,

ce qui signifie que x z. Cette relation est donc transitive.Avec les notations du thorme prcdent, on note, pour tout g

G, gla classe dquivalence

de g et on dit que g est la classe gauche modulo Hde g .On a, pour gG :

hgg hk = g1hH kH|h = gkhgH

soitg= gH.Lensemble de toutes ces classes dquivalence est not G/H et on lappelle lensemble des

classes gauche modulo H.On a donc :

G/H={g|gG}={gH|gG} .Lapplication :

: G G/Hg g=gH

est surjective. On dit que cest la surjection canonique de G surG/H.Dans le cas o Gest le groupe additifZ tout sous-groupe de G est de la forme nZo n est

un entier naturel et cette construction aboutit au groupe Z

nZdes classes rsiduelles modulo n

(ces groupes seront tudis plus en dtails au chapitre 25).

Dfinition 20.9 SiG est un groupe ayant un nombre fini dlments son cardinal est appel

lordre deG.

Thorme 20.12 (Lagrange) SoientG un groupe fini dordren2 etHun sous-groupe deG.

1. Les classes gauche modulo H forment une partition deG.

2. Pour toutgG on acard(g) = card (H) .3. Lordre du sous-groupeHdivise lordre du groupeG.

Dmonstration.


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Groupes finis. Thorme de Lagrange 397

1. Comme G est fini, il en est de mme de G/H.Notons :

G/H={g1, , gp}

o 1

p

n etgj

=gk,pour1

j

=k

p. Pour toutg

G, il existe un unique indice

j tel que g=gj et ggj. On a donc G= pj=1

gj. Dire que g est dans gj gk signifie queg est quivalent modulo H gj et gk et donc par transitivit gj et gk sont quivalent, cequi revient dire que gj = gk. Les classes gauche modulo H forment donc bien unepartition de G.

2. Pour g G, lapplication hgh est injective (dans un groupe tout lment est simpli-fiable) et en restriction Helle ralise une bijection de H sur gH=g . Il en rsulte queg est de mme cardinal que H.

3. Avec la partitionG =p

j=1gj etcard(gj) = card (H)pour toutj, on dduit quecard(G) =

p card(H) et card(H) divise card(G) .

Le cardinal p de lensemble G/H est not [G: H] et on lappelle lindice de H dans G. Lethorme de Lagrange peut aussi se traduire par :

[G: H] = card (G/H) = card(G)

card(H).

Exercice 20.31 Montrer quun groupe fini dordrep un nombre premier est cyclique (et donccommutatif).

Solution 20.31 SiG est dordrep2 premier, il a au moins deux lments et il existea= 1dansG. Le sous-groupe cycliquea deG est alors dordre un diviseur depsuprieur ou gal 2, il est donc gal p etG=a est cyclique.

Exercice 20.32 SoientG un groupe etH, Kdeux sous-groupes distincts deG dordre un mmenombre premierp2. Montrer queH K={1} .

Solution 20.32 H Kest un sous groupe deH, il est donc dordre1 oup.Sil est dordrep,il est gal H etH=H K K entraneH=K, puisque ces deux ensembles ont le mmenombre dlments. On a donc, pourH

=K, p= 1 etH

K=

{1}

.

Exercice 20.33 Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe de H.Montrer que si lindice deK dansG est fini, alors lindice deHdansG et celui deKdansHsont aussi finis et on a :

[G: K] = [G: H] [H :K]

Solution 20.33 On note respectivement(giH)iI et(hjK)jJles classes gauches modulo HdansG et modulo KdansHdeux deux distinctes.Nous allons alors montrer que la famille des classes gauches modulo K dansG deux deuxdistinctes est (gihjK)(i,j)IJ. Dans le cas o [G: K] est fini, il ny a quun nombre fini de

telles classes, ce qui impose queI etJsont finis et on a :

[G: K] = card (I J) = card (I)card(J) = [G: H] [H :K]


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Montrons le rsultat annonc.Sig est un lment deG, il existe un unique indiceiItel quegH=giHet il existehH telqueg = gih. De mme il existe un unique indicejJ tel quehK=hjK eth scrith= hjkavec k K, ce qui donne g = gihjk gihjK et gK = gihjK. Les classes gauche dans GmoduloKsont donc lesgihjK pour(i, j)

I

J.Il reste montrer que ces classes sont deux

deux distinctes.Si(i, j)et(i, j)dansIJsont tels quegihjK=gihjK,il existekKtel quegihj =gihjketgi = gi

hjkh

1j

avechjkh

1j H, ce qui imposegiH = giH et i = i. Il en rsulte que

hj =hjk ethjK=hjK, qui quivaut j =j.

20.7 Morphismes de groupes

On dsigne par (G, ) et (H, ) deux groupes et on note respectivement e et 1 les lmentsneutres de (G, ) et(H, ) .

Dfinition 20.10 On dit que est un morphisme de groupes de G dans H si est uneapplication deG dansH telle que : :

(a, b)G2, (a b) = (a) (b) .

Dans le cas o est de plus bijective, on dit que est un isomorphisme du groupeG sur legroupeH.Dans le cas oH = G, on dit que est un endomorphisme du groupe (G, ) et que cest unautomorphisme du groupe(G, ) si est de plus bijective.

SiG etHsont deux groupes isomorphes, on notera G H.

Thorme 20.13 SoientG, H, K trois groupes, un morphisme de groupes deG dansH et un morphisme de groupes deH dansK. Lapplication est un morphisme de groupes deG dansK.Si est un automorphisme deG, alors1 est galement un automorphisme deG.

Dmonstration. En notant les lois de chacun des groupes sous forme multiplicative, on apour tout (a, b)G2 :

(

) (a

b) = ( (a

b)) = ( (a)

(b))

= ( (a)) ( (b)) = (a) (b) .

Si est un automorphisme de G,on a alors pour tous a, b dans G, en notanta = 1 (a) ,b= 1 (b) :

1 (a b) =1 ( (a) (b)) =1 ( (a b))

=a b= 1 (a) 1 (b)

ce qui signifie que 1 est un morphisme de groupe. Et on sait dj quil est bijectif, cest doncun automorphisme de G

On dduit du thorme prcdent que lensemble (Aut (G) , ) des automorphismes de Gdans lui mme est un sous-groupe du groupe symtrique (S(G) , ) form des bijections (oupermutations) de G.


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Morphismes de groupes 399

Exemple 20.26 La fonction exponentielle est un isomorphisme de groupes de(R, +)sur(R+,, ) .

Exemple 20.27 La fonction logarithme nprien est un isomorphisme de groupes de(R+,, )sur(R, +) .

Exemple 20.28 Lapplication tr : A = ((aij))1i,jn ni=1

aii qui associe une matrice sa

trace est un morphisme du groupe additif(Mn(R) , +) dans(R, +) .

Exemple 20.29 Lapplicationdet : A det(A) qui associe une matrice son dterminantest un morphisme du groupe multiplicatif(GLn(R) , ) dans(R, ) .

Thorme 20.14 Si est un morphisme de groupes deG dansH, on alors :

1. (e) = 1 ;

2. pour touta

G, (a)1 = (a1) .

Dmonstration.

1. Pour tout aG, on a : (a) = (a e) = (a) (e)

et multipliant par (a)1 ,on obtient 1 = (e) .

2. Pour tout aG, on a :

1 = (e) =

a a1

= (a) a1et multipliant par (a)

1

,on obtient (a)1

= (a1

) .

Dfinition 20.11 Soit un morphisme de groupes deG dansH.

1. Le noyau de est lensemble :

ker() ={xG| (x) = 1} .

2. Limage de est lensemble :

Im () ={ (x)|xG} .Thorme 20.15 Si est un morphisme de groupes deG dansH, alors :

1. ker() est un sous-groupe deG.

2. est injectif si, et seulement si, ker() ={e} .3. Im () est un sous-groupe deH.

4. est surjectif si, et seulement si, Im () =H.

5. Pour tout sous-groupeG deG, (G) est un sous-groupe deH.

6. Pour tout sous-groupeH deH, 1 (H) est un sous-groupe deG.

Dmonstration.


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1. On a ker ()= puisque eker () ( (e) = 1) et pourx, y dans ker() :

x y1

= (x) y1 = (x) (y)1 = 1

cest--dire que x y1 ker() et ker () est un sous-groupe de G.2. Si est injectif, on a alors :

xker() , (x) = 1 = (e)x = eet donc ker() ={e} .Rciproquement siker() ={e} ,pour x, y dansG tels que (x) = (y) ,on a :

1 = (x)1 (x) = x1 (y) = x1 ydonc x1 yker() et x1 y = e, ce qui quivaut x= y.

3. On a Im ()=

puisque (e)

Im () et pour (x) , (y) dans Im () avec x, y dans

G: (x) (y)1 = (x) y1 = x y1 Im ()

etIm () est un sous-groupe de H.

4. Cest la dfinition de la surjectivit.

5. On a eG, donc 1 = (e) (G) et pour a = (a) , b = (b) dans (G) avec a, bdans G, on a :

a (b)1

= (a) ( (b))1 = (a)

b1

= a b1

(G)

PrenantG =G, on retrouve le fait que Im () est un sous-groupe de H.

6. On a 1 = (e)H,donc e1 (H) et pour a, bdans1 (H) , on a :

a b1

= (a)

b1

= (a) ( (b))1 H

donc a b1 1 (H) .PrenantH ={1} ,on retrouve le fait que ker() est un sous-groupe de G.

Exemple 20.30 Lapplication : R = cos() sin()sin() cos () est un morphisme degroupes de(R, +) dans(SL2(R) , ) et son imageIm () =O+2 (R) est un sous-groupe commu-tatif de(SL2(R) , ) (exercice 20.16).

Exercice 20.34

1. Soient(G, ) un groupe, Eun ensemble non vide etf :GEune application bijective.Montrer que lensembleEmuni de la loi dfinie par :

x y = f

f1 (x) f1 (y)

est un groupe isomorphe (G, ) (on dit quon a transport la structure de groupe deGsurE).

2. Retrouver les rsultats des exercices 20.8 et 20.9.


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3. Montrer que pour tout entiern1 impair lapplication(x, y)x y= nxn +yn dfiniune structure de groupe commutatif surR.

Solution 20.34

1. La fonctionftant bijective deG surE lapplicationdfini bien une loi interne surE.Pour toutxE,on axf(1) =f(1)x= x etxf(f1 (x))1 =f(f1 (x))1x=f(1) doncf(1) est neutre et tout lment deE est inversible.Enfin pourx, y,z dansE, on a :

x (y z) =f

f1 (x) f1 (y z)=f

f1 (x) f1 (y) f1 (z)

et :

(x y) z=ff1 (x y) f1 (z)=ff1 (x) f1 (y) f1 (z)ce qui montre que est associative.Avecf1 (x y) = f1 (x) f1 (y) , on dduit quef1 est un morphisme de groupes de(E, ) sur(G, ) etfest un morphisme de groupes de(G, ) sur(E, ) .on dit quon a transport la structure de groupe de(G, ) surEpar la bijectionf.

2. Les exercices 20.8 et 20.9 sont des exemples de telle situation avec le groupe (R, +) ,

f(x) = th (x) =ex exex + ex

pourx R qui ralise une bijection deR sur ]1, 1[ avec pourbijection rciproqueargth etf(x) = arctan (x) pourx

R qui ralise une bijection deR

sur 2

,2 avec pour bijection rciproquetan . Dans le premier cas, on a :

x y= f

f1 (x) + f1 (y)

= th(argth(x) + argth (y))

= th(argth(x)) + th (argth (y))

1 + th (argth (x))th(argth(y))=

x+ y

1 +xy

et dans le second, on a :

x y =ff1 (x) +f1 (y)= arctan(tan(x) + tan (y))

3. Lapplication f : x nx est bijective deR surR pour n impair, son inverse tantlapplicationxxn et on a :

x y = n

xn +yn =f

f1 (x) + f1 (y)

Exercice 20.35 SoitG un groupe multiplicatif.

1. Montrer que pour toutaG, lapplicationfa : xaxa1 est un automorphisme deG.On dit quefa est un automorphisme intrieur deG.

2. Montrer que lapplicationf :afa est un morphisme de groupes deG dansAut(G) etque lensembleInt(G)des automorphismes intrieurs deGest un sous-groupe deAut (G) .

3. Dterminer le noyau def.


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4. Dterminer ce noyau dans le cas oG= GLn(R) .

5. Vrifier que si on prend pour dfinition dautomorphisme intrieur les applications ga :xa1xa, lapplicationaga nest pas ncessairement un morphisme de groupes.

Solution 20.35

1. Pourx, y dansG, on a :

fa(xy) =axya1 =

axa1

aya1

=fa(x) fa(y)

ce qui signifie quefaest un endomorphisme deG. PouryG, lgality = fa(x)quivautx= a1ya = fa1(y) , ce qui revient dire quefa est bijective dinversef

1a =fa1.

2. On vient de voir que lapplication f est une application du groupe G dans le groupe(Aut (G) , ) .Poura, b dansG etx dansG, on a :

fab(x) =abx (ab)1 =a bxb1 a1 = (fa fb) (x)doncf(ab) =fab=fafbetfest un morphisme de groupes. DoncI nt (G)qui est limagedefest un sous-groupe deAut(G) .

3. Le noyau de fest form des a G tels quefa = IdG, cest--dire desa G tels queaxa1 = x pour toutx G, ce qui quivaut ax = xa pour tout x G. Le noyau estdonc le commutateur (ou le centre) Z(G) deG.

4. Pour G = GLn(R) , ce noyau est form des homothties de rapport non nul. Soit A =((aij))1i,jn dans le centre deGLn(R) , cest--dire commutant avec toutes les matricesinversibles. En dsignant par(Eij)1i,jnla base canonique de

Mn(R) ,on aA (In+Eij) =

(In+Eij) A pour tousi, j compris entre1 etn, ce qui quivaut AEij =EijA pour tousi,j. En dsignant par(ei)1in la base canonique deR

n, on a :

AEijej =Aei=nk=1

akiek =EijAej =Eij

nk=1

akjek

=ajjei.

Donc aki = 0 pour k {1, , n} {i} et aii = ajj . Cest--dire que A = In avecR.Rciproquement ces matrices dhomothties sont bien dans le centre deGLn(R) .

5. Si on prend pour dfinition dautomorphisme intrieurs les applicationsga :xa1xa,on agab=gb

ga

=ga

gb en gnral eta

ga nest pas un morphisme de groupes.

Par exemple pour le groupe multiplicatif G = GL2(R) , soient A = 0 1

1 0

et B =

0 12 0

. On a A1 = A, B1 =

0 1

2

1 0

et pour tout matrice M =

a bc d

GL2(R) , on a :

A1M=

c da b

, B1M=

c2

d2

a b

de sorte que :

gA(M) =A1MA= AM A=

d cb a

et :

gB(M) =B1M B=

d c

2

2b a


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ce qui donne :

gA gB(M) =

a 2bc2

d

=gB gA(M) =

a b

2

2c d

en gnral.

Exercice 20.36 Dterminer tous les endomorphismes du groupe additifZ puis tous les auto-morphismes de ce groupe.

Solution 20.36 Soit un endomorphisme du groupe additifZ.En notantn = (1) ,on vrifiefacilement par rcurrence que pour tout entierk N on a (k) =nk et avec (k) = (k) ,on dduit que cette galit est valable sur toutZ. Lendomorphisme est donc de la forme : knk. Rciproquement de telles applications dfinissent bien des endomorphismes deZ.On a donc :

End (Z) ={

: k

nk|

nZ} Z

Si: knk est un automorphisme deZ, son inverse est aussi de la forme1 :kmk etlgalit1 (k) =k pour toutk Zscritmnk= k pour toutk Z, ce qui est ralise si,et seulement si, n= m =1. On a donc :

Aut(Z) ={Id, Id} Z2Z

(les groupe Z

nZsont dfinis au chapitre 25).

Exercice 20.37

1. Montrer que sifest un endomorphisme du groupe additifR, alors :

aR,r Q, f(ra) =rf(a) .

2. Montrer que les seuls endomorphismes du groupe additifR qui sont monotones sont leshomothties (i. e. les applicationsxx, o est une constante relle).

Solution 20.37 Un endomorphisme du groupe additifR est une application f : R R quivrifie lquation fonctionnelle de Cauchy :

(x, y) R2, f(x+y) =f(x) +f(y) . (20.1)1. En prenant (x, y) = ( 0, 0) dans (20.1) , on obtient f (0) = 2f(0) , ce qui quivaut

f(0) = 0 (un morphisme de groupes transforme le neutre en neutre).En prenant (x, y) = (x, x) dans (20.1) , on obtient f(x) +f(x) = 0. On a doncf(x) =f(x)pour toutxR,cest--dire que la fonctionfest impaire (un morphismede groupes transforme loppos en oppos).De(20.1) on dduit par rcurrence que pour touta R on a :

n N, f(na) =nf(a) .

En effet, le rsultat est vrai pourn= 0 et le supposant vrai pourn0, on a :f((n+ 1) a) =f(na) +f(a) =nf(a) +f(a) = (n+ 1) f(a) ,


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il est donc vrai pour toutn N.En crivant, pour tout n N\ {0} , que f(a) = f

n

a

n

= nf

an

, on dduit que

f

a

n=

1

nf(a)pour touta Ret toutnN\ {0} .Il en rsulte que pour tout rationnel

positifr=

p

q, avecp N etq N \ {0} , on a :

f(ra) =f

p

a

q

=pf

a

q

=

p

qf(a) =rf(a) .

Enfin avec limparit de f, on dduit que ce dernier rsultat est encore vrai pour lesrationnels ngatifs. On a doncf(ra) =rf(a) pour touta R et toutr Q.

2. Soitfun endomorphisme croissant du groupe additifR.En particulier, on a= f(1)f(0) = 0.En dsignant, pourxR, par(rn)nN et(sn)nN des suites dapproximations dcimalespar dfaut et par excs de ce rel, on a pour toutnN :

rn = f(rn)f(x)f(sn) =snet faisant tendren vers linfini, on en dduit quef(x) =x.On procde de manire analogue pourf dcroissante.

Exercice 20.38 Soient G, H deux sous-groupes du groupe additifR et un morphisme degroupes croissant deG versH. On suppose queG nest pas rduit {0} .

1. Montrer que lensembleG R+, est non vide.2. Montrer que sil existea dansG R

+,

tel que (a) = 0, alors est le morphisme nul.3. On suppose que pour toutx dansG R+,, on a (x)= 0.

(a) Montrer que (x)> 0 pour toutx dansG R+,.(b) Montrer que la fonctionx (x)

x est constante surG R+,.

(c) En dduire quil existe un rel positif tel que (x) =x pour toutx dansG.

Solution 20.38 SiG={0} alors (0) = 0.1. SiG nest pas rduit

{0

}, alors lensembleG

R+, est non vide du fait que pour tout

x non nul dansG,x est aussi dansG.2. Supposons quil existea dansG R+, tel que (a) = 0. Pour toutx dansG R+, on

peut trouver un entier natureln tel quex < na (R est archimdien) et avec la croissancede, on dduit que :

0 (x) (na) =n (a) = 0,cest--dire que est nul sur G R+,. Avec (x) = (x) pour toutx dansG, ondduit que est le morphisme nul.

3.

(a) Si pour toutx dansGR+,, on a (x)

= 0, avec la croissance de on dduit que

(x)> 0 pour toutx dansG R+,.


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Sous-groupes distingus, groupes quotients 405

(b) Supposons quil existe a= b dans G R+, tels ab= (a)

(b). On peut supposer que

a

b

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