SÉQUENCE 2 - Overblogdata.over-blog-kiwi.com/0/56/36/40/201304/ob_12c824_al4...— 40 Cned,...

— © Cned, mathématiques 5e, 200840

cc Séquence 2 SÉQUENCE 2Séance 1

Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise les acquis de la 6e1) ® 6 élèves® 81 élèves˛ 8 élèves® 9 élèves

2) ® 29 ans® 7 ans® 8 ans˛ je ne sais pas

3) ® 7 ans ® 19 ans ˛ 17 ans ® 15 ans

4) ® 36 rameurs ˛ 42 rameurs ® 13 rameurs ® 42 rameurs

5) ® 49˛ 35® 294® 6

6) ® 49® 35˛ 294® 6

7) ® 49® 35® 294˛ 6

8) ˛ 49® 35® 294® 6

1)

On cherche combien de fois il y a 9 en 72.

On effectue donc la division 72 : 9.

72 : 9 = 8.

2)

Cette question est un piège : aucune donnée de l’énoncé ne permet de calculer l’âge du capitaine du bateau.

3)

La sœur de Myriam a 5 ans de plus que Myriam qui a 12 ans : elle a donc 12 + 5 soit 17 ans.

4)

Six bateaux de 7 rameurs comportent au total 6 x 7 soit 42 rameurs.

5)

La différence de 42 et de 7 est le résultat de la soustraction 42 – 7 soit 35.

6) Le produit de 42 et de 7 est le résultat de la multiplication 42 x 7 soit 294.

7) Le quotient de 42 par 7 est le résultat de la division 42 : 7 soit 6.

8) La somme de 42 et de 7 est le résultat de l’addition 42 + 7 soit 49.

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© Cned, mathématiques 5e, 2008 — 41

ccSéquence 2Exercice 11)Je calcule : 14,16 – 3,6014,16 – 3,60 = 10,56

Je calcule en ligne : 10,56 + 7,4010,56 + 7,40 = 17,96Tous les fichiers du dossier d’Eloïse occupent 17,96 Mo.2)Elle calcule d’abord 3,60 + 7,40. Elle trouve 11.Elle effectue ensuite 14,16 moins le résultat précédent. Elle trouve 3,16.Eloïse trouve-t-elle le même résultat que celui que tu as trouvé à la question 1 ? NON3)Ta calculatrice affiche comme résultat : 17,96.

4)Eloïse s’est-elle trompée lorsqu’elle a fait son calcul de tête ? OUIEloïse n’a pas effectué les calculs de la gauche vers la droite. Elle n’aurait pas dû commencer par calculer 3,60 + 7,40.

1) On commence par calculer la place qu’occupent les fichiers après la suppression du morceau qui occupait 3,60 Mo. On effectue donc 14,16 – 3,60.

On calcule le nombre de Mo du dossier une fois qu’Eloïse a placé les trois photos. On effectue donc : 10,56 + 7,40.Le nombre de Mo qu’occupent tous les fichiers du dossier est donc 17,96 Mo.2)Si on effectue les calculs dans l’ordre proposé par cette deuxième question, on ne trouve pas le même résultat que celui trouvé dans la 1ère question !Il y a donc un problème quelque part...3)On tape sur une calculatrice la séquence de touches suivante :14,16 3,60 7,40 La calculatrice affiche 17,96. On retrouve le résultat de la question 1.Nous nous sommes trompés dans la question 2. Pourquoi donc ?4)Dans une expression sans parenthèse contenant uniquement des additions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, dans l’ordre d’écriture.Il faut donc faire attention lorsqu’on calcule des successions d’opérations.

Exercice 2

A =

A

A

7 8 4 9 1 5 3 5

12 7 1 5 3 5

, , , ,

, , ,

+ − +

= − +

=

1 24 34

1 24 34

11,2 + 3 5,A 14,7==

B

B 32,75

B

= − − +

+

45 05 12 3 0 3 5 9

0 3 5 9

, , , ,

, ,

1 24 34

1 244 344

== 32,45 +5 9,B 38,35==

C

C

= − + + +

= + + +

736 18 9 5 4

718 9 5 4

124 34

C 736==

Les commentaires du professeur :On effectue les calculs de gauche à droite, dans l’ordre d’écriture, comme on vient de l’apprendre.Il ne fallait surtout pas calculer 1,5 + 3,5 pour calculer A, ou calculer 0,3 + 5,9 pour calculer B.



cc Séquence 2Exercice 31)Le problème 1 est à relier à l’expression : C = 48,4 – 5,2 – 3,4 – 8,7 .Le problème 2 est à relier à l’expression : B = 48,4 – 5,2 – 3,4 + 8,7 .Le problème 3 est à relier à l’expression : A = 48,4 – 5,2 + 3,4 + 8,7 .2)• Je résous le problème 1 : • Je résous le problème 2 : • Je résous le problème 3 :

C =

48 4 5 2 3 4 8 7

43 2 3 4 8 7

, , , ,

, , ,

− − −

= − −

=

1 24 34

1 244 344

C

C 39,8 − 8 7,C 31,1==

B =

48 4 5 2 3 4 8 7

43 2 3 4 8 7

, , , ,

, , ,

− − +

= − +

=

1 24 34

1 244 344

B

B 39,8 + 8 7,B 48,5==

A =

48 4 5 2 3 4 8 7

43 2 3 4 8 7

, , , ,

, , ,

− + +

= + +

=

1 24 34

1 244 344

A

A 46,6 + 8 7,A 55,3==

Il reste 31,1 € à Alice. Le dernier jour, il a fait 48,5°. Sur l’ensemble des quatre heures, la limace a avancé de 55,3 cm.

Exercice 41)A = 38,3 – 26,7 + 14,92)

A =

38 3 26 7 14 9

11 6 14 9

, , ,

, ,

− +

= +

1 24 34

A

A 26,5==

Il reste 26,5 L d’essence dans le réservoir.

1) On a choisi de nommer l’expression A, mais ce choix est purement arbitraire : on aurait très bien pu la nommer B, C ou D, etc.2)On applique la règle de priorité de calcul.Il ne fallait surtout pas commencer par calculer :

26,7 + 14, 9.On n’oublie pas que, lorsqu’on résout un problème, on écrit une conclusion.

Exercice 51) Une bassine contient 7,8 L d’eau. On enlève 2,2 L d’eau de cette bassine puis 1,8 L d’eau. Combien de litres d’eau la bassine contient-elle alors ?2)

C =

5,6

7 8 2 2 1 8

1 8

, , ,

,

− −

= −

1 24 34

C

C 3,8==

La bassine contient alors 3,8 L d’eau.

1) Il y a une infinité de problèmes possibles qui correspondent à l’expression C. On aurait également pu écrire par exemple cet autre problème :Un coureur court à 7,8 km/h puis il diminue sa vitesse de 2,2 km/h. Il diminue ensuite sa vitesse de 1,8 km/h. A quelle vitesse court-il finalement ?On fait bien attention à suivre la règle de priorité.Il ne fallait surtout pas calculer 2,2 – 1,8.On n’oublie pas de terminer la résolution du problème par une phrase de conclusion.

Exercice 6

A

A 13,5

= + − +

= − +

5 6 7 9 14 9

14 9

, ,1 24 34

On ne peut pas effectuer la soustraction 13,5 – 14 car 13,5 est plus petit que 14.On ne peut donc pas calculer A.

En effectuant le calcul de l’expression A, on est amené à calculer 13,5 – 14.Ce calcul est impossible : tu ne peux donc pas calculer l’expression A.Conclusion :Certaines expressions sont impossibles à calculer !



ccSéquence 2Séance 2Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Exercice 71)Je calcule en ligne 3 x 2,5.3 x 2,5 = 7,5Je calcule en ligne 1,32 + 7,5.1,32 + 7,5 = 8,82Les quatre photos occupent 8,82 Mo.

2)Elle trouve 4,32.Elle multiplie le résultat précédent par 2,5 à l’aide de sa calculatrice. Elle trouve 10,8.Eloïse trouve-t-elle le même résultat que celui que tu as trouvé à la question 1 ? non3) La calculatrice affiche 8,82.4) Le bon résultat est 8,82 Mo (résultat trouvé aux questions 1 et 3) car dans une expression sans parenthèse, on effectue d’abord les multiplications et les divisions.Les quatre photos occupent donc moins de 10 Mo : Eloïse peut donc les mettre en ligne.

1)

On commence par calculer la place qu’occupent les trois photos de 2,5 Mo. On effectue 3 x 2,5.

On ajoute ensuite la place qu’occupe la photo de 1,32 Mo.

On effectue pour cela 1,32 + 7,5.

Le nombre de Mo qu’occupent toutes les photos est 8,82 Mo.

2)

Si on effectue les calculs dans l’ordre proposé par cette deuxième question, on ne trouve pas le même résultat que celui trouvé dans la 1ère question !

Il y a donc un problème quelque part...

On tape sur une calculatrice la séquence de touches suivante :

1,32 3 2,5

La calculatrice affiche 8,82.

On retrouve le résultat de la question 1.

Nous nous sommes trompés dans la question 2.

Dans une expression sans parenthèse, on effectue d’abord les multiplications et les divisions.



cc Séquence 2Exercice 8• Expression A145 – 45 x 3 est la différence de deux termes : 145 et 45 x 3.

A = 145

145

− ×

= −

45 3

135

{

A

A 10==

• Expression B320 : 16 + 4 est la somme de deux termes : 320 : 16 et 4.

B = 320 :16124 34

+

= +

4

20 4B

B 24==

• Expression C0,7 x 14 – 4 x 1,5 est la différence de deux termes : 0,7 x 14 et 4 x 1,5.

C = 0,7 14 4 1,5× − ×

= −

124 34{

C 9 8 6,

C 3,8==

Expression A

Cette expression est bien une différence.

Erreur fréquente : calculer 145 – 45 et multiplier le résultat par 3. Ceci est une erreur car on ne respecte pas la règle de priorité 2.

Calculer 145 – 45 et multiplier le résultat par 3 revient à calculer le produit de 145 – 45 et de 3. On verra dans une séance prochaine que ce produit se note à l’aide d’une parenthèse : (145 – 45) x 3.

Expression B

Cette expression est bien une somme.

Erreur fréquente : Diviser 320 par le résultat de 16 + 4.

Ceci est une erreur car on ne respecte pas la règle de priorité 2.

Diviser 320 par le résultat de 16 + 4 revient à calculer le quotient de 320 par 16 + 4. On verra dans une séance prochaine que ce quotient se note à l’aide d’une parenthèse : 320 : (16 + 4).

Expression C

Cette expression est bien une différence.

Conclusion : lorsqu’on veut calculer une expression qui contient des additions, soustractions et multiplications, on commence par regarder où se situent les signes « + » et « - ». On regarde ensuite chacun des termes et on calcule ceux qui sont des produits.

Exercice 91)Le problème 1 est à relier à l’expression : D = 12 – 12 : 4 + 3Le problème 2 est à relier à l’expression : A = 12 + 3 x 4 Le problème 3 est à relier à l’expression : C = 12 – 12 : 3 + 4Le problème 4 est à relier à l’expression : B = 12 – 3 : 42) problème 1 problème 2 problème 3 problème 4D = 12 – 12 : 4 + 3 = 12 – 3 + 3 A = 12 + 3 x 4 C = 12 – 12 : 3 + 4 = 12 – 4 + 4 B = 12 – 3 : 4D = 9 + 3 = 12 A = 12 + 12 = 24 C = 8 + 4 = 12 B = 12 – 0,75 = 11,25

Les commentaires du professeur :

Pour chacun des quatre cas, il fallait faire attention de bien respecter la règle de priorité 2.



ccSéquence 2Exercice 10

D = 5 6 8 0 2 0 8 6 72 10 4 5

0 7 0 2 4 8 7 2

, , ,

, , , ,

: :

D

{123

{ {

1 24 34

− + × + + ×

= − + + + 220

0 5 4 8 7 2 20D = + + +, , ,D 32,5==

Cette expression est relativement compliquée à calculer !

On commence par regarder où se situent les signes « + » et « - ».

D = 5 6 8 0 2 0 8 6 72 102 3 4

, , ,: :e terme e terme e ter

123 { 123-- ++ ++×mme e terme

123 {++ 4 55

×1er terme

On voit alors que cette expression est constituée de 5 termes. Le 1er et le 4ème sont des quotients, le 3ème et le 5ème des produits.

On commence donc par calculer les produits et les quotients (règle de priorité 2).

Il ne nous reste plus alors qu’une expression contenant des additions et des soustractions : on applique alors la règle de priorité 1.

Exercice 111)Le nombre de chapitre qui comportent neuf ou sept pages d’exercices est 1 + 8 soit 9.Le nombre de chapitres qui comportent six pages est : 13 – 9 = 4Appelons l’expression que l’on cherche A.

A = 9 + 8 7 4× + ×8

746

6chapitres de

pages d exerciceschapitres depa'

{gges d exercices'

{

2)A = 9 + 8 7 4

A = 9 + 56 + 24

A =

× + ×{ {

6

89

Le nombre de pages d’exercices du livre est 89.

1) On commence par calculer le nombre de chapitres qui ne comportent que 6 pages, car cette donnée nous manque pour écrire l’expression recherchée.

On choisit arbitrairement de nommer cette expression A, mais on aurait pu choisir une autre lettre.

Pour calculer cette expression, on fait bien attention : il faut commencer par appliquer la règle de priorité 2.

On n’oublie pas de conclure par une phrase de conclusion.

Exercice 121)Appelons S l’expression traduisant ce problème :S = 0 25 120

0 25

,

,

×

contenuedans gdesoda

1 24 34 ++ ×1 5 26 5, ,quantité de sucre en gcontenuedansun pain

auchocolat et ddemi

124 34quantité de sucre en g

2)S =

S =

0 25 120 1 5 26 5

30 39,75

, , ,× + ×

+

1 24 34 124 34

S 69,75==

1)

On pense toujours à bien expliquer ce que l’on fait.

On se rappelle qu’un pain au chocolat et demi s’écrit 1,5 pain au chocolat.

2)

On applique la règle de priorité 2.

On se souvient que calculer 0,25 x 120 revient à calculer le quart de 120. Ce calcul se fait facilement puisque

120 : 4 = 30.

Pour calculer 1,5 x 26,5 on pose la multiplication dans un cahier de brouillon.

On vérifie ensuite à l’aide d’une calculatrice : on retrouve ce même résultat.



cc Séquence 2 Séance 3Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Exercice 13

A

A

= +

= +

2 37

2

2 3 3 5

,

, ,

{

A 5,8==

B 4,2

7

B 0,6

= −

= −

{

0 09

0 09

,

,

B = 0,51

C 3,6

6

C 0,6 + 2

= + ×

=

{

123

0 4 5,

C 2,6==

D 6,3

7

7,2

8

D 0,9 0,9

= −

= −

{ {

D = 0

• On sait que : 72

= 7 2: .

L’expression A s’écrit également : A = +2 3 7 2, :

On applique alors la règle de priorité n° 2.

• On sait que : 4,27

= 4 2 7, : .

L’expression B s’écrit également : B = −4 2 7 0 09, : ,

On applique la règle de priorité n° 2.

• L’expression C s’écrit également : C = − ×3 6 6 0 4 5, : ,

On applique là encore la règle de priorité n° 2.

• L’expression D s’écrit également : D = −6 3 7 7 2 8, : , :

On applique là encore la règle de priorité n° 2.

Exercice 141)Un petit fichier occupe 23,5 : 5 soit 4,7 Mo.Le 1er mèl, soit deux petits fichiers, occupe donc 2 x 4,7 soit 9,4 Mo.Le 2ème mèl, soit trois petits fichiers, occupe donc 3 x 4,7 soit 14,1 Mo.Les deux mèls vont donc occuper chacun moins de 15 Mo. Eloïse va donc pouvoir les envoyer.2)Elle trouve 15.Elle divise 23,5 par le résultat précédent à l’aide de sa calculatrice. Il s’affiche 1.566666667Eloïse ne trouve pas le même résultat que celui trouvé lors de la question 1.3) La calculatrice affiche : 14,1.

4) Le résultat correct du calcul de l’expression 23,5 : 5 x 3 est 14,1.On a commis une erreur en la calculant dans la question 2 car on n’a pas effectué les calculs de la gauche vers la droite.

1) On commence par calculer le nombre de Mo qu’occupe un « petit fichier ». Il est ensuite facile de calculer le nombre de Mo qu’occupent deux puis trois fichiers.

On trouve pour chacun des deux mels moins de 15 Mo.

2)

Si l’on effectue les calculs comme demandé, on ne trouve pas 14,1 c’est-à-dire le nombre que l’on a trouvé dans la question précédente.

Il y a donc un problème quelque part ...

3) On tape sur une calculatrice la séquence de touches suivantes :

23,5 5 3

On retrouve le résultat de la question 1. Nous nous sommes trompés dans la question 2.

4)

Dans une expression contenant uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, dans l’ordre d’écriture.



ccSéquence 2Exercice 151)A = 4 500 : 9 : 50B = 24 x 60 x 60C = 0,72 : 9 x 4D = 4,5 x 0,4 : 9

2)Problème 1

A

A

=

=

4 500 9 50

500 50

: :

:

124 34

A 10==10 m3 d’eau servent à arroser chaque jardin.Problème 2

B

B

= × ×

= ×

24 60 60

1 440 60

123

B 86 400==Il y a donc 86 400 secondes dans une journée.

Problème 3 C

C

= ×

= ×

0 72 9 4

0 08 4

, :

,

123

C 0,32==

On obtient un morceau de tissu de 0,32 m de longueur.Problème 4 D

D

= ×

=

4 5 0 4 9

1 8 9

, , :

, :

124 34

D 0,2==0,2 m2 représente le neuvième de l’aire d’un rectangle de 4,5 cm sur 0,4 cm.

1)

Pour le problème 2, on aurait très bien pu écrire :

B = 60 x 60 x 24 ou B = 60 x 24 x 60.

On sait d’après le cours de 6e que cela revient au même.

Pour le problème 4, on aurait très bien pu écrire :

D = × ×( )19

4 5 0 4, , . On verra par la suite ce

type de calculs utilisant des parenthèses.

2)• Problème 1 :On utilise la règle de priorité 3 : on commence par calculer 4 500 : 9.Erreur fréquente : il ne fallait surtout pas calculer en premier 9 : 50.

• Problème 2 :On utilise la règle de priorité 2 : on commence par calculer 24 x 60. Cependant, quand il n’y a que des multiplications, on peut quand même effectuer les calculs dans n’importe quel ordre (par exemple : 60 x 60 = 3 600 et 24 x 3 600 = 86 400.

Attention : Ce n’est pas vrai quand il y a des multiplications et au moins une division.• Problème 3 :On utilise la règle de priorité 3 : on commence par calculer 0,72 : 9.Erreur fréquente : il ne fallait surtout pas calculer en premier 9 x 4.

• Problème 4 :On utilise la règle de priorité 3 : on commence par calculer 4,5 x 0,4.

Exercice 161)Cette expression est une somme.2)Les deux termes de cette somme sont 9 et 27 : 9 : 3.3)A

A

A

= +

= +

= +

9 27 9 3

9 3 3

9 1

: :

:

124 34

{

A 10==

1) On commence par repérer où se trouvent les signes « + » (ou « - »).D = +9 27 9 3

124 34 1 24 34

: :

3) On applique la règle de priorité 2 :Dans une expression sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et les divisons. On commence donc par calculer 27 : 9 : 3.Pour calculer 27 : 9 : 3, on applique la règle de priorité 3 : on commence par calculer 27 : 9. On trouve 3.On calcule ensuite 3 : 3. On trouve 1.On termine alors le calcul.



cc Séquence 2Exercice 17B

B

B

= × − × +

= − × +

= − +

5 3 2 4 0 8 3 7

16 5 3 7

16 15 7

, : ,123 1 24 34

{

B 8==

On applique la règle de priorité 2 : on commence par calculer les deux termes 5 x 3,2 et 4 : 0,8 x 3.

Pour calculer 4 : 0,8 x 3, on applique la règle 3 : on commence par calculer 4 : 0,8.

Erreur fréquente : il ne fallait surtout pas calculer en premier 0,8 x 3.

Exercice 181)L = 4 x 60 + 300 : 6 x 5 + 500 : 2 + 750 : 3

2)

L

L

L

= × + × + +

= + × + +

4 60 300 6 5 500 2 750 3

240 50 5 250 250

{1 24 34 123 123

{

: : :

== + + +240 250 250 250L 990==

La masse de la pâte de Ludivine est 990 g.3)Il y a à peu près autant d’œufs que de farine, de sucre, et de beurre. Ce gâteau s’appelle un quatre-quarts.

1)L est en fait une somme de 4 termes :4 x 60 Á masse des œufs300 : 6 x 5 Á masse masse du beurre500 : 2 Á masse du sucre750 : 3 Á masse de la farine(unité de masse : le gramme)

On pouvait également intervertir tous les termes, cela revenait également au même. Par exemple, on aurait pu écrire :L = 300 : 6 x 5 + 4 x 60 + 500 : 2 + 750 : 3.

On aurait également pu écrire 13

750× au lieu de 750 : 3.2) On commence par appliquer la règle de priorité 2. On calcule donc chacun des quatre termes.Pour calculer 300 : 6 x 5 , on applique la règle 3 : on commence par calculer 300 : 6.Erreur fréquente : il ne fallait surtout pas calculer en premier 6 x 5.On termine alors le calcul.On écrit une phrase de conclusion.

3) Il y a en fait à peu près 240 g d’œufs, et 250 g de farine, de sucre, et de beurre.On appelle le gâteau quatre-quarts car il est constitué de 4 ingrédients en proportions à peu près égales.




Exercice 191) A est une différence dont les termes sont :145 et 45 x 3 : 5B est une différence dont les termes sont :280 : 14 et 4 : 5 x 12C est une somme dont les termes sont :8,1 : 9 : 3 et 7 x 0,3

2)

• A 145

: 5

A 145 : 5

A 145 27

5

135

A 118==

•

• C : 3

C : 3 2,1

: 9

0,9

8 1 3, ,

CC 0,3 2,1

C 2,4==

1)

On n’oublie pas de commencer par regarder où se trouvent les signes « + » et « -».

A = − ×1451

45 3 5

2er terme eterme{ 124 34:

B = − ×280 14 4 5 12

2

: :

eterme124 34 1231er terme

C = + ×8 1 9 3 7 0 32

, : : ,

eterme123 {

1er terme

2)

• A est une expression sans parenthèse, on effectue d’abord les multiplications et les divisions soit : 45 x 3 : 5 (règle de priorité 2)

L’expression 45 x 3 : 5 se calcule de la gauche vers la droite car elle ne contient que des divisions et des multiplications (règle de priorité 3).

On obtient à la 2e ligne une expression sans parenthèse donc on effectue d’abord la division 135 : 5 (Règle de priorité 2).

Erreur fréquente : Il ne fallait pas calculer 145 – 4.

• B est une expression sans parenthèse, on effectue d’abord les multiplications et les divisions soient

280 : 14 et 4 : 5 x 12 (règle de priorité 2)

L’expression 4 : 5 x 12 se calcule de la gauche vers la droite car elle ne contient que des divisions et des multiplications (règle de priorité 3).

On obtient à la 2e ligne une expression sans parenthèse donc on effectue d’abord la multiplication 0,8 x 12 (règle de priorité 2)

Erreur fréquente : Il ne fallait pas calculer 20 – 0,8.

• Calcul de C

Erreur fréquente : Il ne fallait pas calculer 3 + 7.



cc Séquence 2Exercice 20a) 180 42 (règle de priorité 2)

b) 9

c) 2 18 (règle de priorité 3)

d) 70 82 (règle de priorité 2)

e) 3

a) On doit effectuer d’abord la multiplication 4 x 9. On obtient 36, auquel on ajoute 6. On obtient donc 42.


b) On applique la règle de priorité 1 : on effectue le calcul de la gauche vers la droite.


c) On applique la règle de priorité 3 : on effectue le calcul de la gauche vers la droite.

Erreur fréquente : Il ne fallait pas calculer 6 x 3.

d) On doit effectuer d’abord la multiplication 7 x 12. On obtient 84, auquel on soustrait 2. On obtient donc 82.

Erreur fréquente : Il ne fallait pas calculer 12 – 2.

e) On applique la règle de priorité 3 : on effectue le calcul de la gauche vers la droite.

Erreur fréquente : Il ne fallait pas calculer 9 : 3.

Exercice 21a) A = 12 x 50 x 0,14 + 6 x 100 x 0,36 – 5

b) A

A

= × × + × × −

= × + ×

12 50 0 14 6 100 0 36 5

600 0 14 6 36

, ,

,

1 244 344

1 24 34 1223

1 244 344

−

= + −

= −

5

5

5

A

A

84 216

300

A = 295

1 244 344

Le montant de sa commande est 295 €.

a) On aurait pu également écrire d’autres expressions, comme par exemple :A = 6 x 100 x 0,36 + 50 x 12 x 0,14 – 5.b)On applique la règle de priorité 2 : on commence par calculer les produits.

On n’oublie pas d’écrire une phrase de conclusion : cet exercice est un problème.



ccSéquence 2Exercice 221)A = 4 x 7,25 + 6 x 7,25A = 29 + 43,5A = 72,5Le prix total que vont payer Léopoldine et Aziz est 72,5 �.

2)Je ne trouve pas d’expression B qui soit sous la forme d’un produit.

3)C = 4 + 6 x 7,25 C = 4 + 43,5C = 47,5

1)

Problème 1

On pouvait proposer une autre réponse.

À eux deux, Léopoldine et Aziz vont acheter 10 CD à 7,25 € l’unité. Le prix total en euros qu’ils vont payer et donc : 7,25 x 10 = 72,5.

Problème 2

On peut également écrire A d’autres façons comme par exemple :

A = 4 x 7,25 + 6 x 7,25, ou bien encore :

A = 7,25 x 4 + 7,25 x 6.

2)

Cette question est une question piège. Il faudrait en fait pour pouvoir y répondre que l’on puisse donner la priorité au calcul de 4 + 6 avant d’effectuer sa multiplication par 7,25. On va voir par la suite que pour cela, on écrit des parenthèses de la façon suivante :

(4 + 6) x 7,25

Cette expression se calcule alors de la façon suivante :

(4 + 6) x 7,25 = 10 x 7,25 = 72,5

En fait B = (4 + 6) x 7,25.

3)

L’expression C ressemble à l’expression B, mais sans les parenthèses. On voit en effectuant son calcul que l’on obtient pas le même résultat. Les parenthèses ont en effet un rôle déterminant dans le calcul d’une expression.

Exercice 23a) b) A

A 82

= − +

= +

89 71 8

8

123

A 26==

B

B 79

= − +( )

= −

89 71 8

89

124 34

B 10 ==

C : 3

C 72 : 3

= ×

=

8 9{

C 24==

D : 3

D 3

= × ( )

= ×

8 9

8

123

D 24==

c) d) E : 12 : 4

E 5 : 4

=

=

60123

E 1,25==

F : 12 : 4

F : 3

= ( )

=

60

60

124 34

F 20==

G : 8

G 6

= −

= −

48 4

4

{

G 2==

H :

H : 4

= −( )

=

48 8 4

48

123

H 12==

e)I

I 47,7

= × −

= −

5 3 9 6

6

,123

I 41,7==

J

J 3

= × −( )

= ×

5 3 9 6

5 3

,

,

123

J 15,9==




Exercice 241) Problème 1D = (3 + 6 + 4) x 80 et H = 3 x 80 + 6 x 80 + 4 x 80.Problème 2G = (4 + 3 + 5) : 80Problème 3A = 80 x 3 + 6 x 4, F = 6 x 4 + 80 x 3 et M = (80 x 3) + (6 x 4).Problème 4E = 80 – 3 x 4 x 6 L = 80 – (6 x 3 x 4) 2) Problème 1 D = (3 + 6 + 4) x 80 = 13 x 80 = 1 040Le volume de la cuve est 1 040 L.Problème 2G = (4 + 3 + 5) : 80 = 12 : 80 = 0,15 0,15 kg = 150 g.La masse moyenne de viande mangée par chaque invité est 150 g.Problème 3A = 80 x 3 + 6 x 4 = 240 + 24 = 264.Le coût de cette fête est 264 €.Problème 4E = 80 – 3 x 4 x 6 = 80 – 12 x 6 = 80 – 72 = 8Le temps nécessaire à Marc pour finir sa fiche est 8 minutes.

1)

Problème 1

(3 + 6 + 4) représente le nombre de litres s’écoulant des trois robinets en une minute.

En 80 minutes, on obtient donc (3 + 6 + 4) x 80.

3 x 80 ; 6 x 80 et 4 x 80 représentent le nombre de litres s’écoulant respectivement du premier, du deuxième et du troisième robinet en 80 minutes.

Au total, on obtient donc 3 x 80 + 6 x 80 + 4 x 80 litres.

Problème 2

(4 + 3 + 5) représente le nombre de kg de viande au total.

(4 + 3 + 5) : 80 représente donc la masse d’une portion.

Problème 3

Les parenthèses de l’expression (80 x 3) + (6 x 4) sont inutiles car pour calculer 80 x 3 + 6 x 4, on effectue d’abord les multiplications.

Problème 4

Les parenthèses de l’expression 80 – (6 x 3 x 4) sont inutiles.

2) On peut, pour chaque problème, calculer avec n’importe laquelle des expressions trouvées. On obtient alors le même résultat.

Exercice 25La phrase « 7 plus 8 multiplié par 2,78 » est ambiguë : on ne sait pas s’il faut calculer :7 + 8 x 2,78 ou (7 + 8) x 2,78

7 + 8 x 2,78 = 7 + 22,24 = 29,24(7 + 8) x 2,78 = 15 x 2,78 = 41,7Loanne a compris qu’il fallait calculer l’expression A = 7 + 8 x 2,78.Valentin a compris qu’il fallait calculer l’expression B = (7 + 8) x 2,78.Loanne et Valentin n’ont pas commis d’erreur, c’est juste que la formulation « 7 plus 8 multiplié par 2,78 » n’est pas précise.

On se rend compte dans cet exercice qu’il faut être précis lorsque l’on énonce des calculs.

Loanne a calculé la somme de 7 et du produit de 8 par 2,78.

Valentin a calculé le produit de la somme de 7 et de 8 par 2,78.

Clémentine, pour être précise, aurait donc dû employer l’une ou l’autre de ces phrases.

Conclusion : en mathématiques, il faut utiliser un vocabulaire précis et adapté.



ccSéquence 2Exercice 26A = 12 + 1,2 x 5

B = 12 x (1,2 + 5)

C = 12 – 1,2 x 5

D = 12 x 1,2 + 5

E = 47 x (25 – 9)

F = 47 x 25 + 9

G = 47 x (25 – 9)

Il faut lire attentivement les phrases et traduire les mots « somme », « différence » et « produit » en opération :

somme Ë addition

différence Ë soustraction

produit Ë multiplication

Dans les expressions A et C et D, il est inutile de mettre 1,2 x 5 et 12 x 1,2 entre parenthèses car si on calcule les expressions A, C et D, on doit appliquer la règle de priorité 2 : on effectue d’abord les multiplications.

Exercice 27a)

A

A

A

= − × −

= − −

= −

21 6 3 3

21 18 3

3 3

{

124 34

A 0==

b)

B ( )

B 0

B 0

= − × −= − ×= −

21 6 3 3

21 6

21

B 21==

c)

C ( )

C

C

= − × −= × −= −

21 6 3 3

15 3 3

45 3

C 42==

d)

D ( )

D ( )

D

= − × −= − −= −

21 6 3 3

21 18 3

21 15

D 6==

a) On utilise la priorité de la multiplication (règle de priorité 2).

b) On cherche à obtenir 21. On fait des essais : on cherche à placer les parenthèses de façon à ce qu’elles soient utiles. En fait, il n’ y a que trois possibilités :

• 21 – 6 x (3 – 3)

• (21 – 6) x 3 – 3

• 21 – (6 x 3 – 3)

les autres façons de placer des parenthèses donnent des parenthèses inutiles, comme par exemple :

21 – (6 x 3) – 3 ou encore (21 – 6 x 3) – 3 .

Ensuite, si l’on calcule chacune des trois expressions, on trouve :

21 – 6 x (3 – 3) = 21

(21 – 6) x 3 – 3 = 42

21 – (6 x 3 – 3) = 6

On trouve donc B = 21 – 6 x (3 – 3),

c) d) D’après ce qui précède, on a : C = (21 – 6) x 3 – 3,

D = 21 – (6 x 3 – 3).

Exercice 28a) (27 + 9) : 3

b) 27 : (9 – 3)

c) 27 – 9 : 3

d) 27 : 9 + 3

Dans les cas c) et d), il est inutile d’écrire des parenthèses.

D’après la règle de priorité 2, pour calculer 27 – 9 : 3 et 27 : 9 + 3, on effectue d’abord les divisions.



cc Séquence 2Exercice 29

A = +( )× − +( )× −( )( )×12 7 3 2 1 3 1 5 0 3 5, , ,

Je calcule A :

A

A

A

= × − ×( )×= × − ×( )×= −

+( ) +( ) −( )12 7 2 1 3 1 5 0 319 5 1 1 2

3 5

3 5

57 6 1

, , ,

, ,

, 22 5

5

( )×= ×A 50,88

A 254,4==

L’expression A est compliquée. Détaillons un peu comment nous l’avons obtenue :

• On ajoute 12 à 7 : 12 + 7

• On multiplie le résultat par 3 : (12 + 7) x 3

Il ne fallait pas écrire 12 + 7 x 3 car c’est bien 19 et non 7 que l’on doit multiplier par 3.

• On retranche au résultat le produit de la somme de 2,1 et 3 par la différence de 1,5 et de 0,3 :

(12 + 7) x 3 – (2,1 + 3) x (1,5 – 0,3)

• On multiplie le résultat obtenu par 5.

((12 + 7) x 3 – (2,1 + 3) x (1,5 – 0,3)) x 5

(Il faut donc ajouter des parenthèses, sinon, on ne multiplierait que :

(2,1 + 3) x (1,5 – 0,3) par 5).

On applique les règles de priorité :

On commence par calculer le contenu de la première parenthèse, soit (12 + 7) x 3 – (2,1 + 3) x (1,5 – 0,3).

On commence alors à nouveau par calculer le contenu de chacune des parenthèses.




Exercice 30A est la somme de 28 et du produit de 15 par 9.

B est le produit de la somme de 28 et 15 par 9.

C est le produit de 28 par la différence de 15 et 9.

D est la différence du produit de 28 par 15 et 9.

E est le quotient de la somme de 45 et 9 par 6.

F est la différence de 45 et du quotient de 9 par 6.

28 + 15 x 9 est une somme dont les termes sont 28 et 15 x 9.

(28 + 15) x 9 est un produit dont les facteurs sont (28 + 15) et 9.

28 x (15 – 9) est un produit dont les facteurs sont 28 et (15 – 9).

28 x 15 – 9 est une différence dont les termes sont 28 x 15 et 9.

(45 + 9) : 6 est un quotient dont les termes sont (45 + 9) et 6.

45 – 9 : 6 est une différence dont les termes sont 45 et 9 : 6.

Exercice 31

10 × (10 + 10 + 10) • • 210

(10 + 10) × (10 + 10) • • 20

(10 + (10 × 10)) : 10 • • 11

10 + 10 × (10 + 10) • • 300

(10 : 10) × (10 + 10) • • 400

Les commentaires du professeur :On applique avec précaution les règles de priorité :10 × (10 + 10 + 10) = 10 × 30 = 300(10 + 10) × (10 + 10) = 20 × 20 = 400(10 + (10 × 10)) : 10 = (10 + 100) : 10 = 110 : 10 = 1110 + 10 × (10 + 10) = 10 + 10 × 20 = 10 + 200 = 210(10 : 10) × (10 + 10) = 1 × 20 = 20Remarque : Lorsque des parenthèses sont à l’intérieur d’autres parenthèses, les plus extérieures sont souvent remplacées par des crochets. Ainsi, (10 + (10 x 10)) : 10 peut se noter [10 + (10 x 10)] : 10.

Exercice 32

1) 30 176 : 92 + 532 x 174

2) 100 000 est un ordre de grandeur du résultat.

3)

On ne peut pas calculer mentalement 30 176 : 92 ni 532 x 174 donc on ne peut pas calculer 30 176 : 92 + 532 x 174 en ligne, on est obligé d’utiliser la calculatrice.

30 176 : 92 + 532 x 174 = 92 896

2) 30 000 est un ordre de grandeur de 30 176. 100 est un ordre de grandeur de 92.

30 000 : 100 soit 300 est donc un ordre de grandeur de 30 176 : 92.

500 est un ordre de grandeur de 532, 174 un ordre de grandeur de 200 donc :

500 x 200 soit 100 000 est un ordre de grandeur 532 x 174.

100 000 est un ordre de grandeur de 30 176 : 92 + 532 x 174 car un ordre de grandeur de 100 000 + 300 est 100 000.

3) On tape sur une calculatrice :

30 176 92 532 174

La calculatrice affiche 92896.



cc Séquence 2Exercice 33B = 23 + (87 x 48) D = (87 – 48) + 23 F = (78 : 3) : 5 G = 78 – (3 : 5)

Les commentaires du professeur :Pour A :Lorsqu’on calcule l’expression 48 x 23 + 87 , on calcule d’abord 48 x 23.Lorsqu’on calcule l’expression 48 x (23 + 87) , on calcule d’abord 23 + 87.Les parenthèses ne sont donc pas inutiles.Pour B :Lorsqu’on calcule 23 + (87 x 48) ou 23 + 87 x 48, on commence de toute façon par calculer 87 x 48.Les parenthèses sont donc inutiles.Pour C :Lorsqu’on calcule l’expression 87 – (48 + 23), on calcule d’abord 48 + 23.Lorsqu’on calcule l’expression 87 – 48 + 23 , on calcule d’abord 87 – 48.Les parenthèses ne sont donc pas inutiles.Pour D :Lorsqu’on calcule 87 – 48 + 23 ou ( 87 – 48 ) + 23 , on commence de toute façon par calculer 87 – 48.Les parenthèses sont donc inutiles.Pour E :Lorsqu’on calcule l’expression 78 – 3 : 5, on calcule d’abord 3 : 5.Lorsqu’on calcule l’expression (78 – 3) : 5, on calcule d’abord 78 – 3.Les parenthèses ne sont donc pas inutiles.Pour F :Lorsqu’on calcule (78 : 3) : 5 ou 78 : 3 : 5, on commence de toute façon par calculer 78 : 3.Les parenthèses sont donc inutiles.Pour G :Lorsqu’on calcule l’expression 78 – (3 : 5), on calcule d’abord 3 : 5.Lorsqu’on calcule l’expression 78 – 3 : 5 , on calcule d’abord 3 : 5.Les parenthèses sont donc inutiles.

Exercice 34

2,5 + 4 + 3,5 = 6,5 + 3,5 = 10

2,5 + 4 – 3,5 = 6,5 – 3,5 = 3

2,5 x (4 + 3,5) = 2,5 x 7,5 = 18,75

2,5 x 4 + 3,5 = 10 + 3,5 = 13,5

2,5 x (4 – 3,5) = 2,5 x 1,5 = 3,75

2,5 x 4 – 3,5 = 10 – 3,5 = 6,5

On peut chercher à écrire toutes les expressions possibles, puis en les calculant (si c’est possible), regarder celles respectivement égales à 10 ; 3 ; 18,75 ; 13,5 ; 3,75 ; 6,5.Remarque : il est impossible de calculer certaines expressions, comme par exemple :2,5 – 4 + 3,5 ou 2,5 – (4 + 3,5).

Exercice 35

A = 4 x [25 – (1,75 + 6,25) x 2]

A = 4 x [25 – (1,75 + 6,25) x 2]

A = 4 x [25 – 8 x 2]

A = 4 x [25 – 16]

A = 4 x 9

A = 36

On peut également écrire :A = 4 x (25 – (1,75 + 6,25) x 2).En effet, un crochet signifie la même chose qu’une parenthèse. On l’utilise seulement pour que l’expression soit plus lisible.




Exercice 36

1)

94 + 82,5 : 3 82,5 : 3 + 94

94 +82,5

3

82,53

+ 94

2)

94 82 5 3 94 27 5 121 5+ = + =, , , :123

La place dégagée par Eloïse sur le disque dur est 121,5 Mo.

1)

Prendre le tiers d’une quantité, c’est diviser cette quantité par 3.

L’expression cherchée est une somme dont

les termes sont 94 et 82,5 : 3 (que l’on peut

également écrire 82,5

3).

On peut donc écrire l’expression cherchée :

94 + 82,5 : 3 ou 94 +82,5

3D’autre part, dans une somme, on peut changer l’ordre des termes. On peut donc également écrire l’expression cherchée :

82,53

+ 94 ou 82,5 : 3 + 94

2) On applique la règle de priorité 2.

Exercice 37

• A

A

= +

= +

63

10

4 2

7

6 3 0 6

{ {

,

, ,

A 6,9==

• B

B 2 + 0,06

= × +

=

0 4 50 36

6,

,123

{

B = 2,06

• C

C

C

= × +

= × +( )= ×

3 25 6

7

3 2 0 8

3 2 8

( ),

,

,

{

C = 8,4

A peut également s’écrire de la façon suivante :

A = 63 : 10 + 4,2 : 7

On applique alors la règle de priorité 2.

B peut également s’écrire de la façon suivante :

B = 0,4 x 5 + 0,36 : 6


C peut également s’écrire de la façon suivante :

C = 3 x (2 + 0,8)





• D est la différence de 14 et du quotient de 45 et de 9.

D

D

= −

= −

1445

9

14 5

{

D = 9

• E est le produit de 5 par le quotient de 56 par 7.

E

E

= ×

= ×

556

7

5 8

{

E = 40

• F est la différence du quotient de 78 par 2 et du quotient de 29 par 2.

F

F = 39 14,5

= −

−

78

2

29

2{ {

F = 24,5

• La différence de 14 et du quotient de 45 et de 9 peut s’écrire également de la façon suivante :

14 – 45 : 9

• Le produit de 5 par le quotient de 56 par 7 s’écrit également :

5 x (56 : 7)

• La différence du quotient de 78 par 2 et du quotient de 29 par 2 s’écrit également :78 : 2 – 29 : 2

Exercice 39

• A

A

= +

= +

2148

6

21 8

{

A = 29

• B

B

= +

= +

21

648

3 5 48

{

,

B = 51,5

• C ( ) := + = +21 486

21 48 6

C est le quotient de la somme de 21 et de 48 par 6.

C ( ) : := + = =21 48 6 69 6 11,5

• A est la somme dont les termes sont 21 et 48 : 6 Lorsqu’on calcule A, on commence par calculer 48 : 6 d’après la règle de priorité 2.

• B est la somme dont les termes sont 21 : 6 et 48.Lorsqu’on calcule B, on commence par calculer 21 : 6.

• Qu’en est-il de C ?Le numérateur est 21 + 48, donc il faut diviser toute l’expression 21 + 48 par 6, et pas uniquement 21, ou encore uniquement 48.Pour écrire C avec le symbole « : », on doit donc écrire une parenthèse :

(21 + 48) : 6On calcule ensuite en utilisant la règle de priorité 4.




A = −

= −=

46 25

746 25 7

21 7

A ( :

:

)

A

A = 3

B = +−

= + −=

34 8

56 4134 8 56 41

42 15

B

B

( ) : ( )

:

B = 2,8

C = ×−×

4 7 6

15 5

,

C = (4,7 6) : (15– 5)

C = 28,2 :10

C = 2,82

Les commentaires du professeur :On applique dans chacun des cas la règle 5.

Exercice 41

1)

L’indice pondéral de Luc est : L63

1,8 1,8==

× .

L’indice pondéral d’Aline est : A =75

1,6 1,6× .

L’indice pondéral de Pierre est : P =85

1,83 1,83× .

2)

L =×

=631 8 1 8

63

3 24, , , L ≈19 4,

L’indice pondéral de Luc est environ égal à 19,4. Comme 24 < 20, cet indice est insuffisant.

A =×

=751 6 1 6

75

2 56, , , A ≈ 29 3,

L’indice pondéral d’Aline est environ égal à 29,3. Comme 24 < 29,3 cet indice est trop élevé.

P =×

=851 83 1 83

85

3 3489, , , P ≈ 25 4,

L’indice pondéral de Pierre est environ égal à 25,4. Comme 25 < 25,4 cet indice est trop élevé.

1)On pouvait écrire également :L = 63 : (1,8 x 1,8)A = 75 : (1,6 x 1,6)P = 86 : (1,83 x 1,83)Dans chacun des trois cas, si on utilisait le symbole « : » il fallait obligatoirement écrire des parenthèses.Erreur fréquente : Il ne fallait pas écrire, par exemple pour L,L = 63 : 1,8 x 1,8 (d’après la règle de priorité 3).

2) On est obligé de faire les calculs au fur et à mesure à la calculatrice.Pour l’expression L, on tape sur une calculatrice :63 1,8 1,8 La calculatrice affiche : 19.44444444

Pour l’expression A, on tape sur une calculatrice :75 1,6 1,6 La calculatrice affiche : 29.296875

Pour l’expression P, on tape sur une calculatrice :85 1,83 1,83 La calculatrice affiche : 25.38146854




Exercice 42

A

A

= −

=

28 15

1013

10A = 1,3

B

B

=×

=

28

0 4 1028

4

,

B = 7

C

C

= +−

=

10 5

10 515

5C = 3

D

D

= ×+

=

9 5

10 545

15D = 3

Les commentaires du professeur :On applique dans chacun des cas la règle 5.

Exercice 43

1)

A = 3 67525

,

B =

8 811,

4

Les commentaires du professeur :

A = 3,6 :7525

est un quotient. Ainsi : 3,6 : 7525

= A =3,67525

3,67525

La barre qui sépare le numérateur du dénominateur, doit être entre les traits du signe égal. On l’écrit souvent un peu plus longue.

S’il n’y avait pas de signe =, on place cette barre sur la ligne sur laquelle on écrit habituellement.

B =8,811

4: est également un quotient. Ainsi : 8,811

: 4 = B = 4

8,8114

8,811

Remarque :

Il faut bien faire attention à bien écrire les deux expressions. Pour les différencier :

• on peut écrire la barre de fraction qui définit le quotient un peu plus grande

• on doit placer la barre de fraction qui définit le quotient à la hauteur du signe « = ».

2)

A = 3,6 : (75 : 25) = 3,6 : 3 = 1,2

B = (8,8 : 11) : 4 = 0,8 : 4 = 0,2

Exercice 44

1)

numérateur de A : 9015

dénominateur de A : 3

numérateur de B : 90

dénominateur de B : 153

2)

A = (90 : 15) : 3 = 6 : 3 = 2

B = 90 : (15 : 3) = 90 : 5 = 18

On regarde la barre de fraction qui se trouve en face du signe égal.

A est le quotient de 9015

par 3.

B est le quotient de 90 par 153

.

On n’oublie pas d’écrire des parenthèses lorsqu’on exprime B sans barre de fraction.

Erreur fréquente : il ne fallait pas écrire B = 90 : 15 : 3.

Pour A, on peut écrire A = (90 : 15) : 3, mais aussi A = 90 : 15 : 3 d’après la règle de priorité 3.

Pour calculer A et B, on utilise ensuite les règles de priorité 4 et 3.

On remarque que les nombres A et B ne sont pas égaux.




est le quotient de 72

par 4.

724

= (7 : 2) : 4 = 3,5 : 4 = 0,875

724

est le quotient de 7 par 24

724

= 7 : (2 : 4 ) = 7 : 0,5 = 14

C’est le placement des écritures

724

et 724

par rapport à la ligne d’écriture qui permet de les différencier.Les commentaires du professeur :

On regarde la barre de fraction qui se trouve au niveau de la ligne d’écriture.

On lit :

l’expression

724

: il est question ici du quotient de 72

par 4.

l’expression 724

: il est question ici du quotient de 7 par 24

.

Exercice 46

A

A

=

= += += +

3 6

3 6 5 4 10

3 6 5 0 4

3 6 12 5

,

, : ( : )

, : ,

, ,

+54

10

A

A

A = 16,1

B

B = 3 + (5 : 4) :10

B = 3 + 1,25 :10

B = 3 + 0,125

= 3 +

54

10

B = 3,125

On fait attention à bien lire l’expression 54

10

.

Vu sa position par rapport au signe +, on sait que cette expression est égale à 5 : (4 : 10).

On fait attention à bien lire l’expression

54

10 .

Vu sa position par rapport au signe +, on sait que cette expression est égale à (5 : 4) : 10.




Je calcule les expressions E et F :

E

E

=

=

7,5+

1+1+1+1+1

2

9 5

5

,

E = 1,9

F

F

F

= +

=

==

6 13232 3

19232 3

19 23 2 3

19 10

,

,

: ( : , )

:F

F = 1,9

Les expressions E et F sont égales.Les commentaires du professeur :On calcule les expressions E et F. On fait attention à bien lire l’expression F : c’est le quotient de 6 + 13 par le quotient

232,3

.On pouvait utiliser une meilleure méthode !En fait, on n’avait même pas besoin de calculer complètement E et F :

E =7,5+2

1+1+1+1+19,55

= et F =19232,3

1910

=

Or on sait que si l’on multiplie par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire, on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.9,55

9,55

1910

=××

=22

les fractions 9,55

et 1910

sont donc égales.

De façon générale :Il faut bien retenir qu’une méthode, pour prouver que deux expressions sont égales, est de transformer chacune des expressions séparément.




Exercice 48

A

A :

= × − − ×

= × − − ×( )= − −= −= −

8 955 3 5

88 9 55 3 5 8

72 55 15 8

72 40 8

72 5

A

A

A

( ) :

:

AA = 67

B

B =

B =

=+

−

+

−

+( ) −( )=

585

4 475

58

54 4

7

5

5 8 5 4 4 7 5

,

: ,

: : , :

B 5 1 6 4 4 1 4

6 6 3

+( ) −( )=

, : , ,

, :B

B = 2,2

C

C

C

C

C

= × + ×

= × + ×( )( )= × +( )( )= × ( )=

361 5 16

9

36 1 5 16 9

36 1 80 9

36 81 9

3

:

:

:

66 9×C = 324

n Calcul de A

• On pense à utiliser la règle de priorité 5 : le numérateur est en fait entre parenthèses.

Erreur fréquente : il ne fallait pas écrire :

A = 8 x 9 – 55 – 3 x 5 : 8

• On pouvait aussi effectuer le calcul sans passer par l’écriture “:” en écrivant :

A = 8 955-15

8× −

puis A = 8 9

408

× −

puis A = 8 9 5× −

n Calcul de B

• On pense à utiliser la règle de priorité 5 : le numérateur et le dénominateur sont en fait entre parenthèses.

• On pouvait aussi effectuer le calcul sans passer par l’écriture “:” en écrivant :

B =5+1,64,4-1,4

puis

B =6,63

n Calcul de C

• C est le produit dont les facteurs sont 36 et 1+5 16

9× .

On écrit donc C sous la forme :

« C 36 numérateur dénominateur= ( )× : »Le numérateur est 1 + 5 x 16 donc on écrit à nouveau des parenthèses :

C 36 1+5 16):9= ×( )× (

On pouvait aussi effectuer le calcul sans passer par l’écriture “:” en écrivant :

C = 361+80

9×

C = 36819

×

C = 36 9×




1)

T = 10104 - 32

18×

2)

T = 10 x (104 – 32) : 18

T = 10 x 72 : 18

T = 720 : 18

T = 40

La température de 104 °F correspond à 40 °C.

1)Le plus dur dans cet exercice est de réussir à bien écrire l’expression T. Pour cela, il faut bien lire l’énoncé :T est le produit de 10 par un autre nombre, il s’écrit donc : T = 10 x ?

L’autre nombre est le quotient par 18 de

104 – 32, soit 104-32

18 .

T est donc égale à : 10104-32

18×

2)On pouvait également effectuer le calcul sans passer par l’écriture « : »:

T = 107218

×

puis : T = 10 × 4



ccSéquence 2Je m’évalue1) ® 81® 61˛ 43® 99

2) ® 50 x 11˛ 43 + 77® (43 + 7) x 11˛ 43 + 11 x 7

3) ® 280 Mo® 72 Mo® 37 Mo˛ 16 Mo

4) ® 80® 0,8® 16˛ 20

5) ® une somme® une différence˛ un produit® un quotient

6) ® une somme˛ une différence® un produit® un quotient

7) ® 45 – 23 : 4

® 45

423−

˛ (45 – 23) : 4

® 4523

4−

8) ® 8˛ 80® 0,8® 800

1) On applique la règle de priorité 1.Si tu n’as pas compris, revois la séance 1.


3) L’expression que l’on doit calculer est :44 – 4 x 7

On applique la règle de priorité 2.Si tu n’as pas compris, revois la séance 2.

4) On effectue les calculs de la gauche vers la droite (règle de priorité 3).Si tu n’as pas compris, revois la séance 3.

5) Comme il y a des parenthèses autour de 12 – 5, l’expression est un produit dont les facteurs sont 45 et 12 – 5.Si tu n’as pas compris, revois la séance 4.

6) L’expression est une différence dont les termes sont 45 x 12 et 5.Si tu n’as pas compris, revois la séance 4.


8) On calcule l’expression 81

10

.81

10

80,1

80= =

Si tu n’as pas compris, revois le « je retiens » de la séance 8.



cc Séquence 29) ˛ 0,5® 12,5

˛ 2 55,

® 10

0 8,10) ˛ 102

813

--

® 7

˛ 75

® 102 81

3

−

9) On calcule l’expression 1045

= 2,5

donc

1045

2,55

0,5= =

Si tu n’as pas compris, revois le « je retiens » de la séance 8.

10) La différence de 102 et du quotient de 81

par 3 est égale à 102 -813

, soit 102 – 27

c’est-à-dire 75.


© Cned, Mathématiques 5e, 2008 — 67

ccSéquence 3SÉQUENCE 3Séance 1

Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise les acquis de la 6e1) ¨ ¨

¨ (d)

Z Z ˛

2) ¨ 4¨ 3˛ 2¨ 1

3) ¨ 1 axe de symétrie ˛ 2 axes de symétrie ¨ aucun axe de symétrie ¨ 4 axes de symétrie

4) ¨ aucun axe de symétrie ˛ 2 axes de symétrie ¨ 3 axes de symétrie ¨ 4 axes de symétrie

1)

Les seules deux figures qui se superposent exactement si on plie le long de la droite (d) sont celles de la dernière proposition.

2) Voici les deux erreurs commises par le dessinateur :

3)

Un segment admet deux axes de symétrie : sa médiatrice et la droite qui passe par ses extrémités.

4)

Un rectangle admet deux axes de symétrie : les médiatrices de deux côtés consécutifs.

Erreur fréquente : les diagonales d’un rectangle qui n’est pas un carré ne sont pas des axes de symétrie ! (vérifie par pliage !)


— © Cned, Mathématiques 5e, 200868

cc Séquence 3Exercice 1• Delphine se trompe parce qu’on ne peut pas trouver de droite qui soit un axe de symétrie : on ne peut pas, par pliage le long d’une droite, faire se superposer exactement les deux figures F 1 et F 2 .• Vincent a donc raison.• Jihanne a tort : il est vrai que par deux pliages, on peut faire coïncider les deux figures. Cependant, il faudrait pouvoir faire coïncider les deux figures en un pliage. Les deux figures ne sont pas symétriques par rapport à une droite.

Les commentaires du professeur :On cherche un axe selon lequel plier le papier calque, de telle sorte que les deux figures coïncident.• Si les deux figures étaient symétriques par rapport à une droite, l’ axe de la symétrie serait la médiatrice de deux points « symétriques », par exemple les points E et E’. On a représenté la médiatrice (Δ) du segment [EE’] sur la figure.

F1

F2

On plie ensuite le long de cette droite, mais les figures ne coïncident pas. Delphine a donc tort et Vincent a raison. • Si comme Jihanne, on plie à nouveau le calque, mais cette fois par rapport à une autre droite représentée en pointillés sur la figure ci-dessous, cette fois, les figures coïncident. Les deux figures ne sont pas symétriques par rapport à une droite car on n’a pu les faire coïncider en un seul pliage.

F1

F2

Important :En fait, nous allons voir que ces deux figures ne sont pas symétriques par rapport à une droite, mais par rapport à « autre chose ».



ccSéquence 3Exercice 21)

2)a) La figure initiale et la figure sur calque sont-elles symétriques par rapport à la droite qui prolonge les deux flèches ? NONb) Les deux figures sont « symétriques par rapport au point O ».

1) Il faut effectuer cette manipulation avec beaucoup de soin et de précision : obtenir l’exacte superposition des demi-droites qui permettent de contrôler qu’on a bien fait un demi-tour et ne pas décaler le trou du calque fait par la pointe du compas, et le point O.Remarque : un demi-tour correspond à un angle de 180 °.

2)a) On constate que, visiblement, la figure initiale et la figure bleue ne sont pas symétriques par rapport à la droite qui prolonge les deux flèches. Il suffit pour cela d’imaginer un pliage de la figure globale le long de cette droite : les figures ne se superposeront pas !b) Voilà ! On vient de découvrir par l’expérience ce qu’est la symétrie centrale ! Jihanne avait bien pressenti dans l’exercice précédent qu’il y avait une symétrie mais qu’elle n’était pas axiale. Le point O s’appelle le centre de la symétrie.Maintenant que tu connais les deux symétries, il ne faudra pas les confondre !




Figure 1

F1

F2

Figure 2 Figure 3

Delphine a raison : les deux formes de la figure 1 sont symétriques par rapport au point O.Vincent a raison : les deux feuilles ne sont pas symétriques par rapport au point O. Jihanne a tort : Les deux gouttes ne sont pas symétriques par rapport au point O.



ccSéquence 3Exercice 4 On effectue cet exercice sans utiliser de papier

calque. On peut pour s’aider utiliser la règle de la façon suivante :On commence par construire le symétrique par rapport à O d’un des « coins » de la figure. On fait donc effectuer à ce point « un demi-tour par rapport au point O ».

On fait de même avec un « deuxième coin », puis on peut commencer à « relier » les points obtenus.On fait de même avec les autres sommets.

On peut procéder de la même manière pour l’autre figure.On peut également utiliser une autre méthode pour laquelle il suffit de compter des carreaux. Elle est décrite dans le « je comprends la méthode » qui suit dans le cours.




Les commentaires du professeur :Dans le dernier cas, la figure et son symétrique sont confondus (ils coïncident exactement). On dit que la figure admet un centre de symétrie.




Exercice 61)a) Par rapport à O, le symétrique de A est A’, celui de B est B’, celui de C est C’ et celui de D est D’.b) Les points D, O et D’ semblent-ils alignés ? OUIQuel point semble être le milieu de [DD’] ? OQuel point semble être le milieu de [CC’] ? O2)Il semble que si M’ est le symétrique de M par rapport à O, alors O est le milieu de [MM’].

1) a) On peut vérifier avec un calque que A et A’ sont symétriques, ainsi que B et B’, C et C’ et D et D’.b)• On peut à l’aide d’une règle, constater que les points D, O et D’ semblent alignés.On mesure DO. On trouve 2,4 cm.On mesure D’O. On trouve 2,4 cm.Le point O semble être le milieu du segment [DD’].• On constate la même chose pour O, C et C’.

• On pourrait faire encore la même constatation avec A, A’ et O, ou encore avec B, B’ et O.2) Cette conjecture est en fait vraie. On admettra à partir de maintenant que : « dire que le point A’ est le symétrique du point A par rapport au point O signifie que O est le milieu du segment [AA’] »

Exercice 71)

2)Je place deux points A et M. Je trace la droite (AM).Avec mon compas, je reporte la distance AM, à partir du point A, sur la droite (AM) mais pas sur la demi-droite [AM). Je trace un arc de cercle.Le point M est le point d’intersection de cet arc de cercle et de la droite (AM).

1)

2) Pour reporter la longueur AM, on n’utilise pas la règle graduée parce que la lecture peut manquer de précision, surtout si c’est une mesure qui ne « tombe pas juste ». On prend l’écartement des deux « branches » du compas qui correspond à la distance AM.

Revois, au besoin le paragraphe « Je comprends la méthode » du livret 1 de sixième, séquence 1, séance 10.

Le point A doit être le milieu du segment [MM’] donc il faut placer M’ sur la droite (AM) mais « de l’autre côté » par rapport au point A c’est-à-dire sur l’autre demi-droite d’origine A : c’est la demi-droite opposée à la demi-droite [AM).



cc Séquence 3Exercice 8figure 1

figure 2

figure 3

Sur chaque figure de cette colonne, un point faux a été placé et nommé « F ». C’ est celui qu’on a peut-être construit par erreur.figure 1

Erreur fréquente :Le point faux F est le symétrique du point K par rapport au point M. Ce n’est pas ce qu’on veut construire puisqu’on cherche le symétrique du point M par rapport au point K. figure 2

Rappel : Les phrases suivantes ont la même signification :• « M’ est le symétrique de M par rapport au point K » • « M est le symétrique de M’ par rapport au point K » • « M et M’ sont symétriques par rapport au point K »On cherche ici le point M’.Erreur fréquente :Le point faux F est ici le symétrique de K par rapport à M’ alors qu’on cherche le symétrique de M’ par rapport à K !M est sur la demi-droite [MK) de telle sorte que K soit le milieu de [MM’].figure 3

On cherche ici le point M’.Erreur fréquente :Il ne fallait pas imaginer que M’ était confondu avec le point F.

En effet, M’ doit être sur [MK) mais il faut aussi avoir KM = KM’.

Le point K de concours des médianes du triangle équilatéral TRM n’est pas le milieu de la médiane [MF] : KM ≠ KF.Les deux segments en couleur [MK] et [KM’] ont la même longueur ainsi que le montre le codage en bleu.




On fait bien attention à ne pas confondre les méthodes de construction du symétrique d’un point par rapport à une droite, et celle du symétrique d’un point par rapport à un autre point.La méthode de construction du symétrique d’un point par rapport à un autre point est détaillée dans cette leçon.La méthode de construction du symétrique d’un point par rapport à une droite est détaillée dans le livret 1 de 6ème, séquence 5, séance 2.

Exercice 10Le symétrique du point A par rapport au point B est le point C. Le symétrique du point D par rapport au point F est le point H. Le symétrique du point K par rapport au point D est le point L.Le symétrique du point K par rapport à la droite (d’) est le point L.Le symétrique du point M par rapport au point L est le point D. Le symétrique du point M par rapport à la droite (d) est le point M. Le symétrique du point H par rapport au point E est le point B.



cc Séquence 3Exercice 111)

2) Les points A et B sont symétriques par rapport au point K. Par définition, K est donc le milieu du segment [AB]. J’en déduis que KA = KB.3) La longueur KA est le rayon du cercle Ω. Comme la distance KB est égale à ce rayon, d’après la définition du cercle, je peux affirmer que le point B est sur le cercle Ω.4) De la même façon que précédemment, on a :KC = KD. Le point D est donc sur le cercle Ω.5) Le centre de symétrie du cercle Ω est son centre K.

1) Pour construire B, on applique la méthode étudiée dans cette séance. Comme KA = KB, l’arc de cercle que l’on trace se confond avec le cercle. Le point B est en fait le point d’intersection de la droite (AK) et du cercle Ω : nous allons le démontrer dans les questions suivantes.

2) On utilise la définition d’un point symétrique par une symétrie centrale.

3) Le cercle Ω de centre K et de rayon 3,2 cm est l’ensemble de tous les points qui sont situés à 3,2 cm du point K. Par conséquent, si un point est à 3,2 cm de K, il est alors sur le cercle Ω.

5) Je nomme M un point quelconque du cercle Ω et je nomme M’ son symétrique par rapport au point K. Le milieu du segment [MM’] est K, par définition. J’en déduis que KM = KM’. La distance KM est le rayon du cercle Ω. La distance KM’ est donc aussi le rayon du cercle Ω. Cela signifie que M’ est aussi un point du cercle Ω.Le symétrique du cercle Ω par rapport à son centre K est le cercle Ω lui-même. Le centre de symétrie du cercle Ω est donc son centre K.




Exercice 12

• Delphine a raison : si je compare les distances AB et A’B’ à l’aide d’un compas, on dirait que ces longueurs sont égales.• Vincent a raison : si je compare les distances AC et A’C’ à l’aide d’un compas, on dirait que ces longueurs sont égales.• Jihanne a raison : si je compare les distances BC et B’C’ à l’aide d’un compas, on dirait que ces longueurs sont égales. Il me semble que la distance entre deux points est la même que celle entre leurs symétriques par rapport à un même point.

Les commentaires du professeur :Pour comparer, par exemple, les longueurs AB et A’B’, on peut utiliser une règle graduée, ou bien (et c’est une meilleure solution) utiliser le compas.• Si on utilise le compas : On prend AB comme écartement.On reporte cet écartement à partir du point A’. On se rend alors compte que : A’B’ = AB.• Si on utilise une règle graduée : on mesure AB et A’B’. On trouve : AB = 3 cm. A’B’ = 3 cm.on mesure AC et A’C’. On trouve : AC = 4,5 cm. A’C’ = 4,5 cm.on mesure BC et B’C’. On trouve : BC = 5 cm. B’C’ = 5 cm.• On constate donc que : A’B’ = AB A’C’ = AC B’C’ = BCJihanne va plus loin que ses camarades dans sa réflexion : elle suppose que ce qui est vrai pour ces trois points reste vrai pour n’importe quels points et leurs symétriques par une symétrie centrale. Elle a raison : on ne démontrera pas que la distance entre deux points est égale à la distance qu’il y a entre leurs symétriques par rapport à un même point, mais on admettra cette propriété qui est vraie … et on la retiendra bien !



cc Séquence 3Exercice 131) 2)

Les points A’, M’ et B’ semblent alignés.

Les commentaires du professeur :2) Les points A’, M’ et B’ semblent alignés. Nous allons démontrer dans l’exercice suivant que le symétrique de n’importe quel point d’un segment est sur le symétrique de ce segment.



ccSéquence 3Exercice 141) a) b), 2) a) et c)

1)c) Les points K et K’ sont symétriques par rapport au point A,Les points L et L’ sont symétriques par rapport au point A. D’après la propriété de conservation des distances de la symétrie centrale :

K’L’ = KL.2)b) Le point M est sur le segment [KL] donc, on a : KL = KM + ML.d) Les points K’ , M’ et L’ sont les symétriques respectifs des points K , M et L par rapport à A.D’après la propriété de conservation des distances de la symétrie centrale, on a :K’L’ = KL K’M’ = KM M’L’ = ML.D’où : K’M’ + M’L’ = KM + ML K’M’ + M’L’ = KL (d’après le b)K’M’ + M’L’ = K’L’ (d’après l’égalité : K’L’ = KL)On a : K’M’ + M’L’ = K’L’ .On peut conclure que : M’ ∈ [K’L’].

1) a) b) Voici la figure que l’on obtient :

2) b)On utilise une propriété étudiée à la séquence 1 : « Si U ∈ [XY] alors XU + UY = XY ».d) On utilise encore la conservation des distances par une symétrie centrale. Dans la somme K’M’ + M’L’ on remplace K’M’ par KM puis M’L’ par ML.On remplace KM + ML par KL car d’après le b) : KM + ML = KL.On remplace KL par K’L’ car : KL = K’L’.On utilise la propriété suivante étudiée à la séquence 1 : « Si XU + UY = XY alors U ∈ [XY].



cc Séquence 3Exercice 151) cas 1

cas 2 cas 3

I

I'

2) Dans chacun des cas, le symétrique du milieu du segment semble être le milieu de son segment symétrique.

Les commentaires du professeur :En fait, cette conjecture est toujours vraie, à savoir : « Le symétrique par rapport à un point du milieu d’un segment est le milieu du segment symétrique ».Voici la démonstration de cette propriété, essaie de la lire et de la comprendre :Considérons le segment [AB] de milieu M et son symétrique [A’B’] par rapport à O. M est le milieu de [AB] donc MA = MB.• Par rapport à O : M a pour symétrique M’, A a pour symétrique A’. La symétrie centrale conserve les longueurs, on a donc : MA = M’A’.• Par rapport à O : M a pour symétrique M’, B a pour symétrique B’. La symétrie centrale conserve les longueurs, on a donc : MB = M’B’.• On a : M’A’ = MA M’B’ = MB et MA = MB donc M’A’ = M’B’.• Le point M’ est le symétrique du point M. M est sur [AB]. M’ est donc sur [A’B’]. De plus : M’A’ = M’B’. Le point M’ est donc le milieu du segment [A’B’].On a donc démontré que le symétrique par rapport à un point du milieu d’un segment est le milieu du segment symétrique.



ccSéquence 3Exercice 161)

O

A

A'

BB'

C

C'

DD'

E

E'

2)

K

Les commentaires du professeur :Pour construire le symétrique de chacune de ces deux figures, il suffit de remarquer que chacune d’elle est constituée d’un certain nombre de segments. La figure de la question 1 est constituée par exemple des segments [AB], [BC], [CD], [DE] et [BD]. Il suffit de construire les symétriques de chacun de ces segments.Pour la figure 1, on peut commencer par exemple par construire [A’B’] le symétrique de [AB] par rapport à O. Ensuite, on peut construire [B’C’], symétrique de [BC], sachant que l’on a déjà construit le point B’. On continue ainsi de suite.On fait de même pour la figure de la question 2.

Exercice 171)2)

E D

D3

F

35 ° 45 °D1

F1

E2

F2

E3

Les commentaires du professeur :1) On a déjà vu ce type de construction de triangle dans la séquence 1.2) a) On construit en fait le symétrique de [EF], [FD] et [ED] par rapport à E. E est son propre symétrique. On peut nommer D1 et F1 les symétriques respectifs de D et F par rapport à E. Le symétrique du triangle EFD par rapport à E est le triangle EF1D1.On fait de même pour les questions b) et c).




Exercice 181) 2)

O

A'

C'B'

(∆)A B C

2)• Delphine a raison.3)

O

A'

C'B'

(∆)A B

M

NC

(∆')

Je constate que le point N dont M est le symétrique, par rapport à O, semble appartenir à la droite (Δ). 4)a) On dirait que le symétrique par rapport à O de n’importe quel point de la droite (Δ) est sur la droite (Δ’).b) On dirait que n’importe quel point de la droite (Δ’) est le symétrique, par rapport à O, d’un point de la droite (Δ).

1) 2) On trace d’abord les droites (AO) , … ou les demi-droites [AO) , … on pique la pointe du compas sur O une seule fois et on fait pivoter le compas : piquer plusieurs fois risque d’agrandir le trou sur la feuille.

O

A'

C'B'

(∆)A B C

• Delphine a raison, donc Vincent s’est trompé.• Jihanne affirme que A’ et B’ sont alignés. Elle a raison mais deux points sont toujours alignés ! Par deux points distincts il passe toujours une droite et cette droite est unique. Par contre, elle se trompe quand elle affirme que A’ et B’ sont les deux seuls points alignés !3) On cherche le point N dont le symétrique par rapport à O est M. Cela signifie que N est le symétrique de M par rapport à O. On construit N : il semble être sur la droite (Δ).4) On constate qu’il semble que les symétriques par rapport à un point O de trois points alignés sont encore alignés. On va admettre que ce résultat est toujours vrai.On admet la propriété suivante : « le symétrique d’une droite par une symétrie centrale est une droite » .



ccSéquence 3Exercice 191)Figure 1

K

A

A'

B

B'

(d)

(d')

Figure 2

K

(d)

(d')

E

F

E'

F'

Figure 3K(d) (d')

GH H'G'

2) Pour la figure 3, je constate que la droite (d) et son symétrique (d’) , par rapport à K, sont deux droites confondues.

1) Figure 1

On construit les symétriques respectifs A’ et B’ de A et de B par rapport à K. Le symétrique (d’) de la droite (d), par rapport à K, est la droite (A’B’). Conseil : choisir deux points assez éloignés l’un de l’autre pour plus de précision dans le tracé.Attention !Il faut être vigilant en reportant les longueurs.Il faut les reporter sur la « bonne » droite.

Figure 2Il suffit de choisir deux points distincts sur la droite (d) , par exemple E et F puis de construire leurs symétriques respectifs E’ et F’ par rapport à K. Ensuite, on trace la droite (E’F’) : c’est la droite (d’).Figure 3

K(d) (d')

H H'GG'

On choisit deux points de la droite, par exemple G et H. On construit leurs symétriques respectifs G’ et H’ par rapport à K. On trace la droite (G’H’) : c’est la droite (d’).2) On constate que les points G’ et H’ sont également sur la droite (d).




M

M'

(d)

(d')

1) Le symétrique de la droite (d) par rapport à M est une droite que j’appelle (d’).Les droites (d) et (d’) semblent être parallèles.2) Le symétrique du point M par rapport à (d) est un point que j’appelle M’ (Voir la figure).

Les commentaires du professeur :On fait attention à ne pas confondre les deux consignes.1) On cherche le symétrique de quoi ? de la droite (d). Par rapport à quoi ? Par rapport au point M. On doit donc trouver une droite que l’on peut appeler (d’).On applique la méthode décrite dans le « je comprends la méthode précédent ».

M(d)

(d')

B'B

A

A'

2) On cherche le symétrique de quoi ? Du point M. Par rapport à quoi ? Par rapport à la droite (d). On doit donc trouver un point : M’.

M(d)

(d')

A

A'

BB'

M'

On utilise la méthode apprise en sixième pour construire le symétrique d’un point par rapport à une droite : livret de sixième, séquence 5, séance 6.



ccSéquence 3Exercice 211) a) et b)

AA'

B'

B

O

(d)

(d')

2)a) Par rapport à O, les symétriques respectifs de A et de B sont A’ et B’ : O est donc le milieu de [AA’] et de [BB’]. Les diagonales [AA’] et [BB’] du quadrilatère AB’A’B ont le même milieu O. b) [AA’] a pour milieu O donc AA’ = 2 × OA. [BB’] a pour milieu O donc BB’ = 2 × OB Le triangle AOB est isocèle en O donc OA = OB.On a donc AA’ = BB’. Les diagonales du quadrilatère AB’A’B ont la même longueur.c) Comme les diagonales du quadrilatère AB’A’B ont le même milieu et la même longueur, je peux affirmer que le quadrilatère AB’A’B est un rectangle.Je sais que si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles : je peux donc affirmer que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.Comme : A ∈ (d), B ∈ (d), A’ ∈ (d’) et B’ ∈ (d’) on déduit que : (d) // (d’).

Les commentaires du professeur :1)a) b)

O

(d)

(d')

A

B

O

(d)

(d')

A

B

O

(d)

(d')

A'

B'

Tracé du symétrique (d’) de (d) On place un point A n’importe où sur la On construit A’ et B’.par rapport au point O. droite (d). Pour cela, on reporte la longueur OA Pour que le triangle AOB soit isocèle à partir du point O sur la demi-droite en O, on doit avoir : OA = OB. [AO). On obtient A’. On prend OA comme écartement. On fait de même avec OB à partir du On trace un arc de cercle de centre O (avec point O sur la demi-droite [BO). cet écartement) qui coupe la droite (d) en B. On obtient B’.2)On utilise ici deux propriétés étudiées en sixième (séquence 7) : • « Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et la même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle. »• « Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles. »



cc Séquence 3Exercice 22x

x'

y

y'

R

R'

O

Le symétrique de la demi-droite [Rx) par rapport à O est la demi-droite [R’y’). En effet c’est la demi-droite d’origine R’, symétrique de R par rapport à O, qui est parallèle à [Rx), et qui se trouve « dans le bon sens ».

On a admis dans l’avant-dernier « Je retiens » que le symétrique d’une demi-droite par rapport à un point est une demi-droite.Remarque : [Rx) et son symétrique [R’y’) par rapport à O ne sont pas situées d’un même côté de (RR’).

Exercice 23

A

O

A'

(d)(d')

Le symétrique (d’) d’une droite (d) par une symétrie centrale est une droite parallèle à (d). Comme A’ est le symétrique de A par rapport à O, (d’) est la droite parallèle à (d) qui passe par A’.On sait alors comment tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point à l’aide d’une règle non graduée et d’une équerre (Revois éventuellement dans ton cours de sixième le «Je comprends la méthode» qui suit l’exercice 50 de la séquence 1).

Exercice 24

B

B'

A'O

Cx

yC'

x'y'

Les commentaires du professeur :On peut commencer par construire les point B’ et C’, symétriques respectifs de B et Cpar rapport à O. Comment peut-on ensuite construire le point A’, symétrique du point Apar rapport à O sans savoir où se trouve le point A ?On remarque qu’une partie du segment [CA] est tracée. Le symétrique de (Cx)est la droite (C’x’) passant par C’ qui est parallèle à (Cx).On trace donc la droite (C’x’) à l’aide d’une équerre et d’une règle non graduée.A ∈ (Cx) donc A’ ∈ (C’x’)On trace ensuite la droite (B’y’), parallèle à (By) passant par B’.A ∈ (By) donc A’ ∈ (B’y’)A’ est donc le point d’intersection de (C’x’) et de (B’y’).




Exercice 251)

O

O'

S

W

A

A'

E'D'

C'

B'

B

C

D

E

2) Les points A’ , B’ , C’ , D’ , E’ semblent se trouver sur le même cercle de centre O’.3) a) Comme A’ , B’ , C’ , D’ , E’ et O’ sont les symétriques respectifs de A , B , C , D , E et O par rapport à S, d’après la propriété de conservation des distances de la symétrie centrale :O’A’ = OA , O’B’ = OB , O’C’ = OC , O’D’ = OD et O’E’ = OE.Puisque A , B , C , D et E sont sur Ω, je déduis que : OA = OB = OC = OD = OE = 3 cm.Je peux donc affirmer que : O’A’ = O’B’ = O’C’ = O’D’ = O’E’ = 3 cmb) D’après la définition d’un cercle, je peux affirmer que les points A’ , B’ , C’ , D’ et E’ sont sur le cercle de centre O’ et de rayon 3 cm.

Les commentaires du professeur :1) Une fois qu’on a construit le cercle Ω et le point S n’importe où (mais à 5 cm de O), on trace les demi-droites [AS), [BS), [CS), [DS) et [ES).Conseil : On pique, ensuite, une seule fois la pointe du compas sur S et on prend la distance SA pour la reporter immédiatement sur [AS) mais « à l’opposé de A » , puis on refait pivoter le compas pour prendre la distance BS et la reporter sur [BS) mais « à l’opposé de B » , etc …3) a) On utilise la propriété de conservation des distances de la symétrie centrale, étudiée à la séance 3.b) Cela signifie que le symétrique de chaque point de Ω est sur le cercle dont le centre est O’ et dont le rayon est également 3 cm.




B

R

R'

C 1

C '1

CS

S'C 3

C '3A

O

O'

C 2

C '2

Les commentaires du professeur :On détaille par exemple la construction du symétrique du cercle C 2 par rapport à A.On commence par tracer le symétrique O’ du point O par rapport à A.

On sait ensuite que le symétrique du cercleC 2 est un cercle de centre O’ et de mêmerayon que C 2 . On prend donc commeécartement de compas le rayon de C 2 .On trace ensuite le cercle de centre O’ aveccet écartement de compas.

A

O

O'

C 2

A

O

O'

C 2




O

R

Les commentaires du professeur :On détaille par exemple la première construction. La première figure est constituée d’un segment etde deux cercles. On peut commencer par construire le symétrique du segment.On peut ensuite construire le symétrique d’un des deux cercles (par exemple celui de C 1)On construit alors le symétrique de son centre (1ère figure ci-dessous).Le symétrique C ’1 de C 1 a pour centre le symétrique de O1 et a le même rayon que C 1.On peut donc tracer C ’1 (2ème figure ci-dessous).On fait ensuite de même pour l’autre cercle.

PC 1

C 2A

B

B'

A'

O1

O1

O'1

P

B'

A'

A

B C

C 1

2

O

O

1

2

P

AB

B'

A'

O1

O2

O'1

O'2

C 2

C'1

C'2

C 1

P

O1

C 1

C 2

C ' 1

O2

O'1

AB

A'B'



cc Séquence 3Exercice 28R

N

N'

MM'

C

C ''

Les commentaires du professeur :On cherche à construire M’ à l’aide d’une règle non graduée. On sait que M,R et M’ sont alignés donc M’ est sur la droite (MR).M est sur C donc M’ est sur le cercle C ’. M’ est donc un des deux pointsd’intersection de la droite (MR) et de C ’. La droite (MR) coupe également le cercle C en un autre point : appelons-le X.Le symétrique X’ de X et M’ sont les deux points d’intersection de (MR)et de C ’. On voit alors où se place X’ et où se place M’.On applique le même raisonnement pour construire le point N’ :N’ est sur la droite (NR) et sur le cercle C .

Exercice 29

Les commentaires du professeur :On cherche à construire le symétrique de la figure noire à l’aide d’unerègle non graduée. On peut commencer par construire le symétriquedu segment [A1A2]. On construit le symétrique de A1. Pour cela, ontrace la droite (A1O). Le point A’1 est sur cette droite et il est tel que :A1O = A’1O. C’est donc l’autre point d’intersection du cercle Ω1 et de(A1O). On fait de même pour le symétrique de A2 et le symétrique de A3.On peut ensuite construire le symétrique de l’arc noir du cercle Ω2délimité par A2 et A3. Le symétrique de cet arc est l’arc bleu du cercle Ω2délimité par A’2 et A’3. On continue ainsi de suite.

RM X

X' M'C

C ''

A1

A'1

A2

A'2

O

A2

A'2

A'3

A3




Exercice 30A

C

C'

B

B'

A'

G

G'

O

x

y

y'

x'

a) Consigne : Complète : Mesure : Conjecture :Construis les Le symétrique de BAC∑ = 49° Si deux angle

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