Sommaire de la séquence 9 -...

Sommaire de la séquence 9

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je.découvre.la.signification.de.“plus.petit.ou.égal.à”.et.de.“plus.grand.ou.égal.à”. . . . . . . . . . . .

Séance 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Je.découvre.une.nouvelle.façon.de.comparer.des.nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Je.découvre.les.encadrements.et.leurs.représentations.graphiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Je.découvre.une.propriété.liant.les.inégalités.et.l’addition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Je.découvre.une.propriété.liant.les.inégalités.et.la.multiplication.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Je.découvre.une.propriété.liant.les.inégalités.et.la.multiplication.-suite- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J’effectue.des.exercices.de.synthèse... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 8J’effectue.des.exercices.de.synthèse.-suite-... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 9 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J’effectue.des.exercices.de.synthèse.-fin-... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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©Cned-2009

ObjectifsË Apprendre.une.nouvelle.méthode.permettant.de.comparer.des.nombres

ËConnaître.les.opérations.sur.les.inégalités

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© Cned – Académie en ligne

Cned, Mathématiques 4e – 187

Séquence 9

SEANCE 1 Je découvre la signification de « plus petit ou égal à » et de « plus grand ou égal à »

Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la SEQUENCE 9 sur la page précédente. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices, écris en haut : « SEQUENCE 9 : ORDRE » Effectue ensuite le test ci-dessous en cochant directement sur le livret la ou les bonnes réponses. Une fois le test terminé, reporte-toi à son corrigé et lis attentivement les réponses sans négliger les commentaires. JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5e 1- Dans quel cas ci-dessous les nombres :

a = – 7,5 b = – 8 c = 0,3 sont rangés en ordre croissant ?

a < b < c

b < a < c

c < a < b

c < b < a

2- Parmi les nombres suivants, quel(s) est (sont) le (les) nombre(s) x tel(s) que : – 4,83 < x < – 4,8 – 4,819

4,82

– 4,821

– 4,83

3- Une seule de ces affirmations est vraie. Trouve-la !

3 142 10 3 14

2 10 3 14

2 10

4- Les fractions supérieures à 1 sont :

43

815815

1 9991 997

34

5- On a : b = 7,2 – 8,91 On peut donc dire que :

b est un nombre négatif. b = 1,71 b < 0 b = – 1,71

6- Parmi les énoncés suivants, certains sont faux. Trouve-les ! De deux nombres positifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro. De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. De deux nombres de signes contraires, le plus petit est le négatif. Le nombre zéro est plus petit que n’importe quel nombre négatif.

7- Si : x > 4 alors : x > 5 x < 18 x = 4 x > 3

8- Il est possible que : x < 7 et 9 > x x < – 5 et x > – 2 x > – 4 et x < 0 x < 2 et –2 < x

– Cned, Mathématiques 4e 188

Séquence 9

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant. *EXERCICE 1 Tu répondras à chacune des questions suivantes en utilisant des symboles mathématiques. ● Dans une classe de 4ème, il y a 27 élèves. On désigne par n le nombre de devoirs qu’un professeur de la classe aura à corriger lors d’une évaluation. Que peux-tu dire de n ? ● En France une personne peut voter à partir de 18 ans. On désigne par x l’âge d’une personne. Que peux-tu dire de x ? Effectue l’exercice suivant directement dans ton livret. EXERCICE 2 1- En utilisant la droite graduée ci-dessous, complète les phrases suivantes à l’aide de « < », « > », « = », « bleue », ou « noire ».

5,08 ……… – 3 donc 5,08 est l’abscisse d’un point de la demi-droite …………………….. .

– 4,7 ……… – 3 donc – 4,7 est l’abscisse d’un point de la demi-droite …………………….. .

2,8 ……… – 3 donc 2,8 est l’abscisse d’un point de la demi-droite …………………….. .



– 2,999 ……… – 3 donc – 2,999 est l’abscisse d’un point de la demi-droite ………………….. .


2- Que peux-tu dire de l’abscisse d’un point de la demi-droite bleue ? Que peux-tu dire de l’abscisse d’un point de la demi-droite noire ? …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. JE RETIENS INEGALITES Significations des symboles a b signifie « a plus grand que b », on dit encore « a strictement plus grand que b ». a ≤ b signifie « a plus petit ou égal à b ». On dit aussi : « a inférieur ou égal à b ». a ≥ b signifie « a plus grand ou égal à b ». On dit aussi : « a supérieur ou égal à b ». Remarque : a b sont appelées « inégalités strictes ». a ≤ b et a ≥ b sont appelées « inégalités larges ».

Séquence 9

Représentation graphique d’une inégalité Si on place sur une droite graduée tous les points dont l’abscisse vérifie la même inégalité on obtient une demi-droite. Cette demi-droite est appelée représentation graphique de l’inégalité. Exemples : x < – 3

x > 70

x ≥ – 5,8

23

x

Remarque : il faut faire attention au sens du crochet : Si le crochet est tourné vers la demi-droite coloriée (ou hachurée), l’inégalité est large. Si le crochet n’est pas tourné vers la demi-droite coloriée (ou hachurée), l’inégalité est stricte. Effectue l’exercice suivant directement dans ton livret. EXERCICE 3 Associe à chaque représentation graphique l’inégalité correspondante.

Séquence 9

EXERCICE 4 1- Représente graphiquement les inégalités suivantes :

a) x ≤ 0 b) x > 1 c) 3 ≥ x d) 25

x

2- Trouve dans chacun des cas suivants une inégalité dont la demi-droite bleue est la représentation graphique.

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. JE RETIENS Pour tout nombre décimal x, l’inégalité : x < 0 signifie : x est strictement négatif. x > 0 signifie : x est strictement positif. x ≤ 0 signifie : x est négatif. x ≥ 0 signifie : x est positif.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°7. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.

SEANCE 2 Je découvre une nouvelle façon de comparer des nombres

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant. **EXERCICE 5

Problème : Lequel des deux nombres π et 104 34833 215

est le plus grand ?

1- Essaie 5 minutes de répondre au problème énoncé ci-dessus. 2- a) Détermine des valeurs approchées précises de ces nombres à l’aide d’une calculatrice. b) Ces nombres sont-ils égaux ?

c) Effectue le calcul π – 104 34833 215

à l’aide d’une calculatrice. Trouves-tu 0 ?

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices, sauf la question 1 à laquelle tu répondras directement sur le livret.

Séquence 9

EXERCICE 6 1- Complète le tableau suivant (tu peux t’aider d’un tableur) :

a b a – b signe de a – b « a b » 5 8 ……. ……. …….

4,2 – 9,7 ……. ……. …….

2 – 6 ……. ……. …….

– 3 4 ……. ……. …….

10 3 ……. ……. …….

– 7 – 2 ……. ……. ……. 2- Observe les deux dernières colonnes, quel semble être le lien entre elles ? 3- Ali remarque : « je me rappelle avoir vu en 5ème que si a > b alors a – b est la distance de deux points et on sait qu’une distance est positive ». Que penses-tu de cette remarque, de quels points s’agit-il ? Noémie demande : « et si a < b, la distance est b – a, que dire alors de a – b ? » Que penses-tu de la remarque de Noémie ? Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant. *EXERCICE 7 1- Sur une droite graduée, place les points A, B et C d’abscisses respectives – 3 ; – 7 et 2. Calcule les distances AB et AC. 2- Sur la même droite, place un point M d’abscisse x. Exprime en fonction de x la distance AM en distinguant deux cas : ● M est sur la demi-droite [AC), ● M est sur la demi-droite [AB). Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. JE RETIENS COMPARAISON DE DEUX NOMBRES RELATIFS a et b sont deux nombres relatifs. ● Si a b alors a – b > 0 ● Si a – b > 0 alors a > b ● Si a ≤ b alors a – b ≤ 0 ● Si a – b ≤ 0 alors a ≤ b ● Si a ≥ b alors a – b ≥ 0 ● Si a – b ≥ 0 alors a ≥ b Exemples : ● Si x < – 7 alors x – (– 7) < 0 c’est-à-dire : x + 7 < 0 ● Si y – 3,49 ≥ 0 alors y ≥ 3,49 ● La calculatrice indique que : π – 31 416 10– 4 < 0 donc : π < 31 416 10– 4 Effectue les deux exercices suivants directement dans ton livret.

Séquence 9

EXERCICE 8 Associe les expressions ayant la même signification.

x + 7 > 0 ● ● x < – 7

x – 7 < 0 ● ● x > 7

x – 7 > 0 ● ● x > – 7

x + 7 < 0 ● ● x ≤ – 9

x – 9 ≥ 0 ● ● x < 7

x + 9 ≤ 0 ● ● x ≥ 9

*EXERCICE 9 Complète pour que les énoncés suivants soient vrais : a) Si : x – 2 ≤ 0 alors x ≤ ……………… b) Si : x + 4 > 0 alors x > ………………

c) Si : 54

a alors 54

a ……………

d) Si : a + 3 ≥ 0 alors a ………………. e) Si : x ≤ 7,9 alors x – 7,9 ………….. Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. EXERCICE 10 Compare les nombres x et y dans les cas suivants : a) x – y = 8,9 b) x – y = 0 c) x – y = –10–4 d) x – y = 2–3 *EXERCICE 11 Compare les nombres suivants.

a) – 3,21 et –3,201 b) 32

et 11780

c) 7 3– 2 et 4

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA METHODE ● Comparer – 3,78 et – 3,779 Je peux déterminer le signe de la différence, mais le plus simple est d’appliquer les règles de comparaison de deux nombres décimaux. 77 < 78 donc 3,779 < 3 ,78. On a donc : –3,78 < –3,779

● Comparer 37

et 514

Je peux déterminer le signe de la différence, mais le plus simple est d’écrire les fractions à l’aide d’un même dénominateur. 3 3 67 7

2142

. 6 > 5 donc : 6 5

14 14 . On a donc : 3 5

7 14

● Comparer 7 3– 2 et 4

Je peux chercher une valeur approchée de chacun des nombres à l’aide d’une calculatrice puis comparer les deux valeurs approchées obtenues. Je peux aussi chercher directement le signe de la différence à l’aide d’une calculatrice.

On tape 7 3– 2 – 4 . La calculatrice affiche – 0,0076…

Le résultat est négatif. On a donc 7 3– 2 < 4 .


Séquence 9

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant. EXERCICE 12

Problème : Lequel des deux nombres π et 104 34833 215

est le plus grand ?

Réponds au problème énoncé ci-dessus. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°8. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.

SEANCE 3 Je découvre les encadrements et leurs représentations graphiques

Prends ton cahier d’exercices. Réfléchis 5 min au problème suivant puis lis la remarque d’Ali, réfléchis encore 5min. Lis ensuite les remarques de Noémie, Hugo et Lindsay, enfin réponds aux questions. *EXERCICE 13 Voici dans le tableau ci-dessous les trois premières notes sur 20 de Noémie, Lindsay et Hugo.

Noémie Lindsay Hugo

devoir 1 17,5 6 12

devoir 2 18,5 14,5 8

devoir 3 18 8,5 14

Ali, Lindsay, Noémie et Hugo attendent la note du quatrième et dernier devoir pour calculer leur moyenne. Lindsay voudrait bien 13 de moyenne ce trimestre. « Ce serait amusant, dit-elle, d’avoir tous la même moyenne ! Quelle note nous faudrait-il à chacun pour arriver exactement à 13 de moyenne ? Comment faire pour trouver cette note ? » ● Remarque d’Ali : « Il suffit de calculer la différence du produit de 4 par 13 et de la somme des trois notes déjà connues ».

● Remarque de Hugo : « J’ai trouvé ! Si j’ai 18, ma moyenne sera 13 ! ».

● Remarque de Lindsay : « J’ai calculé 4 13 – (6 + 14,5 + 8,5) ce qui a fait 4 13 – 6 – 14,5 – 8,5 donc ma note doit être 4 7 – 14,5 – 8,5 ; il suffit donc que j’aie 5 ». ● Remarque de Noémie : « Je ne comprends rien, je ne trouve pas ! La formule d’Ali ne doit pas être la bonne ». 1- Hugo a raison.Vérifie-le en calculant directement sa moyenne sans utiliser la formule d’Ali. 2- Lindsay a tort. Vérifie-le en calculant directement sa moyenne sans utiliser la formule d’Ali. 3- a) On désigne par a, b et c les trois premières notes et par x la note cherchée. Ecris en fonction de a, b, c et x la moyenne du trimestre. b) Montre que si cette moyenne vaut 13 alors la formule trouvée par Ali est exacte. c) Fais les calculs pour Lindsay et Noémie. Comment expliquer ces résultats ?


Séquence 9

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. JE RETIENS ENCADREMENTS Si x > a et x < b on écrit : a < x < b Cette écriture est appelée un « encadrement » de x. Exemples : ● Pour dire que le nombre x est à la fois supérieur à –1 et inférieur à 2, on écrit : – 1 < x < 2. La représentation graphique est la partie commune des représentations graphiques des deux inégalités x > – 1 et x < 2.

x > – 1 est représentée en gris – 1 < x < 2 est représenté en bleu clair x < 2 est représentée en bleu L’amplitude de cet encadrement est la longueur du segment qui a pour extrémités les points d’abscisses – 1 et 2, c’est-à-dire 2 – (–1) soit 3. ● Pour dire que le nombre n est à la fois supérieur ou égal à 2,5 et inférieur ou égal à 2,6 on écrit : 2,5 ≤ n ≤ 2,6 L’amplitude de cet encadrement est la longueur du segment qui a pour extrémités les points d’abscisses 2,5 et 2,6 c’est-à-dire 2,6 – 2,5 soit 0,1. Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants. EXERCICE 14 1- Représente graphiquement les encadrements suivants :

a) – 3 < x < 3 b) – 1 ≤ y ≤ 1 c) 1010

z d) 3,581 ≤ t < 3,591

2- Précise pour chacun d’eux son amplitude EXERCICE 15 Pour chacun des encadrements de l’exercice précédent : ● trouve un nombre qui répond à la question, ● place sur la représentation graphique le point qui a ce nombre-là pour abscisse, ● vérifie que le point appartient au segment.

a) – 3 < x < 3 b) – 1 ≤ y ≤ 1 c) 1010

z d) 3,581 ≤ t < 3,591


Séquence 9

EXERCICE 16 Trouve de quel encadrement de x, chacun des segments ci-dessous, est la représentation graphique.

Effectue l’exercice suivant directement dans ton livret. EXERCICE 17 Voici un tableau définissant les différentes catégories, en fonction du poids, pour les combats de boxe hommes aux jeux olympiques. Complète-le à l’aide d’inégalités ou d’encadrements qui définissent chaque catégorie. Le poids est exprimé en kg et désigné par la lettre p.

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant. *EXERCICE 18 Traduis à l’aide d’un encadrement les phrases suivantes : ● a est la mesure en degrés d’un angle aigu. ● b est la mesure en degrés d’un angle obtus. ● c est la mesure en degrés d’un angle d’un triangle rectangle. ● AC est la longueur, en cm, de la base d’un triangle ABC isocèle en B tel que AB = 6 cm. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°9. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.

SEANCE 4 Je découvre une propriété liant les inégalités et l’addition

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant. EXERCICE 19 Ce matin Quentin avait 23 € puis il a dépensé 7 € et Manon avait 17 € ; à ce moment-là qui avait le plus d’argent ? A midi chacun reçoit 4 €, qui a alors le plus ? Effectue les deux exercices suivants directement dans ton livret.

mi mouche mouche coq plume légers super

légers mi

moyens moyens mi lourds lourds super

lourds

moins de 48 51 54 57 60 64 69 75 81 91 91 ou

plus

………..

………..

………..

………..

………..

………..

………..

………..

………..

………..

………..


Séquence 9

EXERCICE 20 1- Complète le tableau suivant : (tu peux utiliser un tableur )

a b comparaison de a et b c a + c b + c comparaison de

a + c et b + c 5 8 ……. 15 ……. ……. …….

4,2 – 9,7 ……. 3 ……. ……. …….

2 – 6 ……. – 5 ……. ……. …….

– 3 4 ……. – 1 ……. ……. …….

10 3 ……. – 4 ……. ……. ……. 3- Que remarques-tu dans les colonnes « comparaison » ? Que peux-tu conjecturer ? …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… *EXERCICE 21 Tu vas démontrer la propriété suivante : « Pour tous les nombres relatifs a, b et c : si a < b alors a + c < b + c » 1- On suppose a < b. Quel est le signe de a – b ? Simplifie l’écriture de (a + c) – (b + c). 2- Recopie et complète : si a < b alors a – b ………........................................

Comme (a + c) – (b + c) = ………........................................

On en déduit que : (a + c) – (b + c) < ……..

D’où : a + c …….. b + c

*EXERCICE 22 En faisant un raisonnement analogue à celui de l’exercice précédent, démontre la propriété suivante : « Pour tous les nombres relatifs a, b et c : si a < b alors a – c < b – c » Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété : Pour tous les nombres relatifs a, b et c : ● Si a », « ≤ » et « ≥ ». Exemples : Si m b alors m + 6,1 ≥ b + 6,1. Si x > 3 alors x + 5 > 3 + 5 donc : x + 5 > 8. Si a – 2 ≤ – 9 alors a – 2 + 2 ≤ – 9 + 2 donc : a ≤ – 7.

Séquence 9

Remarque : Ces propriétés peuvent s’énoncer : « les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b », « les nombres a – c et b – c sont rangés dans le même ordre que a et b ». Effectue les deux exercices suivants directement dans ton livret. EXERCICE 23 a et b sont des nombres relatifs tels que : a ≥ b. Complète les phrases suivantes avec « ≤ » ou « ≥ ».

a + 5 ………….. b + 5 a – 4,2 ………….. b – 215

– 3 + a ………….. b – 3 b + 9 ………….. a + 9

EXERCICE 24 x est un nombre relatif tel que x > – 4. Complète les phrases suivantes. a) x + 7 > – 4 + ……. donc x + 7 > …….. b) 3 + x > …….……. donc 3 + x ..…….. c) x – 0,9 > …..……. donc x – 0,9 ……… d) x + 4 > …………. donc x + 4 ……… Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants. *EXERCICE 25 Sans faire de calcul, compare les nombres x et y dans les cas suivants :

a) x = 277

et 237

y b) 4113

x et 4 73

y c) 5x et 7y

*EXERCICE 26 1- Démontre que si : a < x < b alors : a + c < x + c < b + c. Tu peux décomposer l’encadrement en deux inégalités. 2- Démontre que si : a < x < b alors : a – c < x – c < b – c. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété : Pour tous les nombres relatifs a, b et c : ● Si a < x », « ≤ » et « ≥ ». On peut dire encore que : « si x est encadré par a et b alors : ● x + c est encadré par a + c et b + c et ● x – c par a – c et b – c. Exemples Si – 5 < x < – 3 alors – 5 + 6 < x + 6 < – 3 + 6 donc : 1 < x + 6 < 3. Si 4,58 ≤ y ≤ 4,59 alors 4,58 – 5 ≤ y – 5 ≤ 4,59 – 5 donc – 0,42 ≤ y – 5 ≤ –0,41. Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants.

Séquence 9

EXERCICE 27 A partir de l’encadrement ci-contre de π : 3,141 5 < π < 3,141 6 Ecris un encadrement des nombres : a) π + 1 b) π – 2,14 c) π – 3,5 EXERCICE 28 Hugo se pèse avec son chien dans les bras. L’aiguille de la balance indique un poids entre 68,6 kg et 68,7 kg. Sans le chien, l’aiguille indique exactement 59 kg. Ecris un encadrement du poids du chien d’Hugo. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°10. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.

SEANCE 5 Je découvre une propriété liant les inégalités et la multiplication

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 29 1- Les chambres de Lindsay et de Noémie sont des rectangles. Celle de Lindsay fait 3,80 m de long et celle de Noémie fait 4 m. Lindsay dit à Noémie : « ma chambre est plus petite que la tienne ! » Noémie répond : «Elle est moins longue mais pas forcément moins grande ! » Qu’en penses-tu ? 2- Après avoir mesuré la largeur de chacune des chambres, Lindsay et Noémie constatent que les deux chambres ont pour largeur 3 m. Compare les aires de ces deux chambres. Qui a la plus petite ?

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret. EXERCICE 30 1- Complète le tableau suivant (c est un nombre strictement positif).

a b comparaison de a et b c ac bc comparaison

de ac et bc 2 5 ……. 0,1 ……. ……. …….

– 2 – 5 ……. 2 ……. ……. ……. – 3 7 ……. 7 ……. ……. ……. 8 1 ……. 10 ……. ……. ……. 3 – 6 ……. 4 ……. ……. …….

2- Que remarques-tu dans les colonnes de comparaison ? Que peux-tu conjecturer ?

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.

Séquence 9

EXERCICE 31 Calcule – 4m et – 4n sachant que m = – 5,2 et n = 3. Compare m et n d’une part, – 4 m et – 4 n d’autre part. Que constates-tu ?

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret. EXERCICE 32 1. Complète le tableau suivant (c est un nombre strictement négatif).

a b comparaison de a et b c ac bc comparaison

de ac et bc 2 5 ……. – 0,1 ……. ……. …….

– 2 – 5 ……. – 2 ……. ……. ……. – 3 7 ……. – 7 ……. ……. ……. 8 1 ……. – 10 ……. ……. ……. 3 – 6 ……. – 4 ……. ……. …….

2- Que remarques-tu dans les colonnes de comparaison ? Que peux-tu conjecturer ?

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. *EXERCICE 33 On cherche à démontrer que : « si a 0 alors a c < b c ». 1- On suppose a < b, donne alors le signe de a – b, puis le signe du produit de a – b par c. 2- Développe l’expression : (a – b) c. 3- En utilisant les réponses des questions précédentes, recopie et complète : a < b donc a – b est ………………… or c est ………………… donc (a – b) c est ………………… Comme (a – b) c = ……………………… on en déduit que ac – bc est ………………… D’où : ac – bc < …….. Donc : ac……….bc. Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Séquence 9

*EXERCICE 34 On cherche à démontrer que : « si a b c ». En utilisant un raisonnement analogue à celui de l’exercice précédent, recopie et complète : a …….. Donc : ac……….bc. Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret. EXERCICE 35 1- Sur la droite graduée ci-dessous, place les points A et N d’abscisses respectives – 2 et 0,5 puis les points A’ et N’ d’abscisses respectives 3 (– 2) et 3 0,5.

Comment sont placés les points A’ et N’ par rapport aux points A et N ? Calcule AN et A’N’, que remarques-tu ? 2- Sur la droite graduée ci-dessous, place les points E et D d’abscisses respectives – 4 et – 5 puis les points E’ et D’ d’abscisses respectives – 2 (– 4) et – 2 (– 5).

Comment sont placés les points E’ et D’ par rapport aux points E et D ? Calcule ED et E’D’, que remarques-tu ? Lis attentivement et recopie sur ton cahier de cours. JE RETIENS Propriétés : ● Pour tous les nombres relatifs a et b et pour tout nombre c positif :

Si a b c Ces propriétés restent vraies pour les autres symboles « < », « ≤ » et « ≥ ». Exemples : Si m ≥ b alors 5 m 5 b On a multiplié par 5 qui est positif donc l’ordre est conservé. Si y > 3 alors – 4y < – 4 3 donc – 4y < – 12 On a multiplié par – 4 qui est négatif donc l’ordre est inversé. Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Séquence 9

EXERCICE 36 On sait que s ≥ t. Recopie et complète par « ≥ » ou « ≤ ». Justifie ta réponse. 4s ……. 4t –2s ……. –2t

3s …….

3t

34

s ……. 34

t

EXERCICE 37 On sait que a > – 4. Complète et justifie ta réponse. 3a ………. 3 (– 4) donc 3a ……….

– 5a……… – 5 (– 4) donc – 5a ……….

9a …………… donc

9a ……….

– a …………… donc – a ……….


SEANCE 6 Je découvre une propriété liant les inégalités et la multiplication –suite–

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 38 Quentin a remarqué que si l’on compare deux nombres décimaux négatifs, on les range dans l’ordre inverse de leurs distances à zéro. Il donne comme exemple – 6 > – 8 car – 6 est plus près de zéro que – 8 c'est-à-dire 6 < 8. Il se demande s’il y a un rapport avec la propriété de la multiplication par un négatif. 1- Vérifie, sur cet exemple, que Quentin a raison. 2- Que représentent – 6 et – 8 pour les nombres 6 et 8 ? 3- Montre que pour tous les nombres relatifs a et b : si a – b. Enonce une propriété.

Séquence 9

Lis attentivement puis recopie sur ton cahier de cours. JE RETIENS Ordre et opposés Pour tous les nombres relatifs a et b : si a – b. Cette propriété reste vraie pour les autres inégalités « < », « ≤ » et « ≥ ». Exemples : Si y > 5 alors – y < – 5 Si a < – 8 alors – a > 8 Si – x ≥ – 3 alors x ≤ 3 Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret. EXERCICE 39 Sur la droite graduée ci-dessous, place les points A ; E ; F ; I ; L ; R et T d’abscisses respectives 2 ; – 5 ; 7,5 ; 6 ; – 1 ; – 7 et 3 ; puis les points A’ ; E’ ; F’; I’; L’ ; R’ et T’ d’abscisses respectives les opposés de 2 ; – 5 ; 7,5 ; 6 ; – 1 ; – 7 et 3.

1- Comment sont placés les points A’ ; E’ ; F’; I’; L’ ; R’ et T’ par rapport aux points A ; E ; F ; I ; L ; R et T ? 2- Si on appelle O le point d’abscisse 0, que peux-tu dire des points A et A’ ; des points E et E’ ; des points F et F’, … ? Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. *EXERCICE 40 Démontre que : si a < x 0 alors ca < c x < cb. Lis attentivement et recopie sur ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété : Pour tous les nombres relatifs a et b et pour tout nombre positif c :

Si a < x < b alors ac < xc < bc On peut dire encore que si x est encadré par a et b alors xc est encadré par ac et bc. Cette propriété reste vraie pour ≤. Exemple : Si – 5 < x < – 3 alors 6 (– 5) < 6x < 6 (– 3) donc – 30 < 6 x < – 18. Remarque : l’amplitude de l’encadrement de x est 2, celle de 6x est 12 soit 6 fois plus. Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Séquence 9

*EXERCICE 41 1- A partir de l’encadrement suivant de π : 3,1415 < π < 3,1416 écris un encadrement des nombres :

100 π 2 π 32

2- Calcule l’amplitude de chacun des encadrements trouvés à la question 1 et compare le résultat avec l’amplitude de l’encadrement donné pour π. Que remarques-tu ? Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 42 Cet exercice est la suite de l’exercice 29. La chambre d’Ali a pour longueur 3,9 m et une largeur comprise entre 2,9 m et 3 m. Donne un encadrement de son aire. Peux-tu dire que la grandeur de la chambre d’Ali « est comprise entre » celle de la chambre de Lindsay et celle de Noémie ? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche.

SEANCE 7

J’effectue des exercices de synthèse Effectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 43 a) Compare 103 et 107 b) Compare 106 et 10–4 c) Compare 10–5 et 10–2 EXERCICE 44

A l’aide de la calculatrice, trouve la troncature et l’arrondi au millième du nombre 5423

.

Ecris un encadrement de 5423

à l’aide de nombres ayant trois chiffres après la virgule, et dont

l’amplitude est 0,001. EXERCICE 45 La troncature au centième d’un nombre a est 41,53. a) Donne toutes les valeurs possibles pour le chiffre des millièmes. b) Ecris un encadrement au centième du nombre a.

Séquence 9

EXERCICE 46 L’arrondi au dixième d’un nombre b est 6,4. Donne toutes les valeurs possibles pour l’écriture avec deux chiffres après la virgule de b. Ecris un encadrement au dixième du nombre b. EXERCICE 47 Ecris un encadrement (le plus précis possible) des nombres x, y et z sachant que la troncature au millième de x est 49,432 ; l’arrondi au centième de y est 601,19 et l’arrondi au dixième de z est 8. Pour chacun d’eux précise son amplitude. Tu peux t’aider d’une représentation graphique. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°3. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche.

SEANCE 8 J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices. *EXERCICE 48 Compare les nombres a et b dans les cas suivants :

1- a = 25 1

3 5

et b =21 1

3 5

2- a =

12

4

48 1010

et b = 3,15 10–15

3- a = 5π – 4 et b = – 3π – 4 4- a = 2 913

et b = 313

EXERCICE 49 On sait que : – 2,1 < x < – 2,09. 1- Donne un encadrement de 3 x + 7. 2- Donne un encadrement de –5 x puis de –5 x + 3. *EXERCICE 50 Ecris une inégalité vérifiée par x et dont un membre est égal à x dans chacun des cas suivants. 1- 5x + 6 ≤ 76 2- –7 x – 3 > 18

3- –10 x +103 ≥ 103 + 5 4- 6 2 35 7

x

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.


Séquence 9

EXERCICE 51 Dans le repère ci-dessous hachure : ● en bleu la partie du plan contenant tous les points dont l’abscisse x vérifie : – 1 ≤ x ≤ 3. ● en gris la partie du plan contenant tous les points dont l’ordonnée vérifie : 2,5 ≤ y ≤ 4. A quels points correspond la partie du plan à la fois hachurée en gris et en bleu ?

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 52 La figure ci-contre représente deux chemins pour aller du point M au point N. L’un est bleu, l’autre en pointillés noirs. Détermine le plus court.


Séquence 9


SEANCE 9 J’effectue des exercices de synthèse –suite–

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices. **EXERCICE 53 Montre que : 1- Si x > 1 alors x2 > x 2- Si x ≥ 3 alors x2 ≥ 9 3- Si x ≤ – 4 alors x2 ≥ 16 4- Si 2 < y < 3 alors 4 < y2 < 9 EXERCICE 54 Pour mesurer la température on peut utiliser, entre autres, les degrés Celsius (°C) ou les degrés Fahrenheit (°F). Pour passer d’une température en degrés Celsius à celle qui lui correspond en degrés Fahrenheit on multiplie la température en degrés Celsius par 1,8 et on ajoute 32. 1- La température à l’intérieur d’un réfrigérateur est comprise entre 3 °C et 5 °C. Donne un encadrement de cette température en degrés Fahrenheit. 2- Pour un produit surgelé la température ne doit pas dépasser – 18 °C. Donne, en degrés Fahrenheit, la température maximale pour un produit surgelé. Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement, puis entoure en rouge les bonnes réponses.

Séquence 9

1- L’inégalité x ≥ 4 est vraie pour : – 7 6 0 4

2. L’inégalité x < – 2 est vraie pour : – 3 – 2 0 2

3- Si z ≥ 3 alors : 3 – z ≥ 0 z – 3 ≥ 0 z – 3 ≤ 0 3 – z ≤ 0

4- On a : 8 5 19 6 18 donc :

8 59 6

8 59 6

8 59 6

8 59 6

5- Soient A = 1,3 108 et B = 12 107 B < A A ≠ B A – 2 alors : x > 4 x > – 8 8 > – x

7- Si y ≤ 4 alors : – 3y ≤ –12 – 3y ≥ –12 3y = 12 3y ≤ 12

8- Si m < n alors : m + π < n + v m – π < n – π

1 17 7

n m

– 23 m < – 23 n

9- L’arrondi au millième de x est 0,634 donc : 0,6345 ≤ x < 0,6350 0,6335 ≤ x < 0,6345 0,6344 ≤ x < 0,6345

10- On sait que : 7,317 < y < 7,324. L’arrondi au dixième de y est 7,3 L’arrondi au centième de y est 7,32 La troncature au dixième de y est 7,3 La troncature au centième de y est 7,31

Sommaire de la séquence 9 -...

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