Sommaire de la séquence 5bruno.lpbayard.free.fr/MATHS/ARCHIVES-cned/CNED 5eme... · 2016. 5....

Sommaire de la séquence 5

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Je revois et j’enrichis mon vocabulaire sur les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Je découvre et j’étudie les angles alternes-internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Je découvre et j’étudie les angles correspondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124Je calcule la somme des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127J’étudie des triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Je prouve que deux droites sont parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136J’effectue des exercices de synthèse - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138J’effectue des exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

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Objectifs Savoir reconnaître des couples d’angles particuliers .

être capable, à partir de raisonnement sur les angles, de démontrer que deux droites sont parallèles .

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© Cned, Mathématiques 5e — 111

Séquence 5séance 1 —

Séance 1Je revois et j’enrichis mon vocabulaire sur les angles

Avant d’effectuer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 5.

Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

je révise les acquis de la 6e 1- Les angles x yO∑ et yO'∑z ont-ils un

côté commun ?

x

y

z

O

O'

O’ ∈ [Oy)

® oui® non

2- BAC∑ est-il aigu ?

A

B

C

® oui® non

3- Quelle est la mesure de z yO∑ ?

O

x

y

z

37 °

® 53°.® 63°® 73°® 143°

4- Quelle est la mesure de FOG∑ ?

OH

G

E

55 °42 °

F

E, O, H sont alignés

® 83°® 93°® 113°® 123°

Prends ton cahier d’exercices. Sur une nouvelle page, note « SÉQUENCE 5 : ANGLES ».

Effectue ensuite l’exercice suivant.


Exercice 1

1- Trace deux angles :

• ayant un côté commun

• situés de part et d’autre de ce côté commun.

2- Te souviens-tu comment, dans le cours de 6ème, on désigne deux tels angles ?

Prends ton cahier de cours. Sur une nouvelle page, note « SÉQUENCE 5 : ANGLES ».

À la suite, recopie l’encadré « Je retiens » suivant.

e retiens Vocabulaire deS angleSangles adjacents

SU

T

Odéfinition : Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Ci-contre, TOU∑ et UOS∑ sont adjacents.

j

Prends ton cahier d’exercices puis fais l’exercice suivant.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, les angles nommés sont-ils adjacents ?

a)v wO∑ etv xO∑

Ov

w

xb)xAC∑etACz∑

A

C z

x

c)m nK∑ etn lK∑

l

m

n

K

d)w xA∑ ety zA∑

z

y

x

w

A

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Séquence 5 — séance 1

— © Cned, Mathématiques 5e112


Exercice 3

Voici huit cartes :carte 1

34°

56°

carte 2

115°

65°

carte 3

71°

19°

carte 4

122°

58°

carte 5 carte 6

74°

106°

carte 7

37°

143°

carte 8

44° 46°

1- Répartis ces huit cartes en deux familles :

famille 1 : carte 1 - ......................................................................................................

famille 2 : .....................................................................................................................

2- Quel est le point commun de toutes les cartes de la famille 1 ?

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

3- Quel est le point commun de toutes les cartes de la famille 2 ?

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

Lis attentivement l’encadré suivant puis note-le sur ton cahier de cours.

e retiens angles complémentairesdéfinition : Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90°.

u

s

t

v

AB

48°

42°Exemple : u vA∑ et s tB∂ ci-contre

angles supplémentaires

M Q

112°68°k

p

r

ldéfinition : Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°. Exemple : k lM∑ et p rQ∑ ci-contre

j






Effectue les deux exercices qui suivent sur ton livret.

Exercice 4

Complète les phrases suivantes :a) Si Aµ et Bµ sont complémentaires et Aµ = 27° alors Bµ = .....................................................

b) Si Aµ et Bµ sont supplémentaires et Bµ = 136° alors Aµ = .....................................................

c) Si Aµ = 68° et Bµ = 22° alors Aµ et Bµ sont ........................................................................

d) Si Aµ = 38° et Bµ = 142° alors Aµ et Bµ sont .........................................................................

Exercice 5

Cite :a) deux angles adjacents complémentaires :

.....................................................................................................................................

b) deux angles adjacents supplémentaires :

.....................................................................................................................................

c) deux angles égaux : B

CA

x

y

z ..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

d) deux angles complémentaires non adjacents :

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

e) deux angles supplémentaires non adjacents :

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants.

Exercice 6

Un angle x yO∑ et un angle y zO∑ sont adjacents et complémentaires.

La différence entre la mesure de x yO∑ et celle de y zO∑ est égale à 38°.a) Calcule les mesures de y zO∑ et x yO∑ .

b) Représente x yO∑ et y zO∑ .




Exercice 7Un angle x yO∑ et un angle y zO∑ sont adjacents et supplémentaires.

La mesure en degrés de y zO∑ est le quadruple de celle de x yO∑ .

a) Calcule les mesures de x yO∑ et y zO∑ .

b) Représente x yO∑ et y zO∑ .

Lis attentivement l’encadré suivant puis note-le dans ton cahier de cours.

e retiens angles opposés par le sommet

O

x

x'

y'

y

définition : Deux angles opposés par le sommet sont deux angles• qui ont le même sommet• dont les côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Exemple : x yO∑ et x' y'O∑ ci-contre.

j

Effectue l’exercice qui suit sur ton livret.

Exercice 8

Précise, dans chacun des cas suivants, si les angles indiqués sont opposés par le sommet.

a) x yO∑ et x' y'O∑

O

x

x'

y'

y

b) x yO∑ et x' y'O∑

OO'

x

x'

y'

yc) x yO∑ et x' y'O∑

O

x

x'

y'

y

O ∈ (xx’) O ∈ (yy’)

d) x yO∑ et x' y'O∑

O

x x'

y'y

148°

148°

31°

oui non oui non oui non oui non

Voici maintenant une activité que tu vas effectuer tout au long de cette séquence. Elle s’intitule : « Alex Privif » (ce qui se lit en allant assez vite « à l’esprit vif ») «Alex Privif » est le nom d’un garçon surdoué !

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.


Exercice 9 Alex Privif1- Trace deux droites (xx’) et (yy’) sécantes en O.

2- Alex Privif, en voyant ta figure, dit : « Les angles x yO∑ et x' y'O∑ sont égaux ! Il suffit pour le prouver de penser à une symétrie centrale ! ». Que penses-tu de ce que dit Alex ?

Prends ton cahier de cours. Passe 10 lignes (tu combleras cet espace vide un peu plus tard dans le cours), puis recopie le paragraphe ci-dessous.

e retiens ProPriétéS deS angleSPropriété : Si deux angles sont opposés par le sommet,

O

x

x' y'

y

alors ils ont la même mesure.Ci contre, on a : x yO∑ = x' y'O∑ .

j

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 10

O

x

y

u

s

z

t

48°

57°

On considère la figure à main levée ci-contre.

Les droites (yt), (xs) et (uz) sont concourantes en O.

Dans chaque cas, cite l’angle opposé par le sommet et donne sa mesure.

a) z sO∑

b) x zO∑

c) x tO∑

Exercice 11

Trace deux angles opposés par le sommet complémentaires.

Tu feras toutes les figures de l’exercice suivant sur ton livret mais tu rédigeras tes réponses sur ton cahier d’exercices.




Exercice 12

1- Les rebonds d’une boule de billard sur les bords d’une table se font toujours en respectant des égalités d’angles, comme indiqué sur la figure ci-contre.

Représente les trois prochains rebonds de la boule.

R

A

S

B

2- En voyant la table de billard ci-contre, on est amené à se poser la question suivante :

En quel point de [RS] doit rebondir la boule qui est en A, pour aller heurter celle qui est en B ?

Nous allons réfléchir à cette question.

a) Complète : R

M ?

A

S

B

Trouver un point M de [RS] qui réponde à la question posée, c’est trouver un point M de [RS] pour lequel les angles AMR∑ et BMS∑.

...................................................

b) Trace sur la figure précédente le symétrique A’ de A par rapport à (RS).

Compare les angles AMR∑ et RMA'∑ .

c) Compte tenu de ce qui précède, saurais-tu trouver un point de [RS] solution du problème ?




Séance 2Je découvre et j’étudie les angles alternes-internes

Lis attentivement l’encadré ci-dessous. Prends ensuite ton cahier de cours, et reporte-toi au début de l’espace vide de 10 lignes que tu as laissé. Recopie ensuite à cet endroit le paragraphe ci-dessous (mise à part la remarque).

e retiens angles alternes-internesdéfinition : Une droite (∆) coupe deux droites (d) et (d’) en définissant des angles alternes-internes. (d)(∆)

(d')« internes » car les deux angles se trouvent « entre » les droites (d) et (d’), c’est-à-dire dans la zone bleue.

« alternes » car les deux angles se trouvent de part et d’autre de (∆).

remarque : (d)

(d')

(∆)Les deux angles ci-contre sont également alternes-internes :

j

Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 13Sur quelle(s) figure(s) sont représentés des angles alternes-internes ?a) b) c) d)

Exercice 14Sur chaque figure code un deuxième angle de façon à mettre en évidence deux angles alternes-internes.a) b) c) d)






Exercice 15

xx'

yy'

z

z'

A

B

On considère la figure ci-contre. Les droites (xx’) et (yy’) sont parallèles. Colorie d’une même couleur les angles alternes-internes. Quelle conjecture peux-tu émettre ?

Exercice 16Cet exercice est la suite du précédent. On reprend la même figure.Appelle I le milieu de [AB].

1- a) Quelles sont les images des demi-droites [Ax) et [AB) par la symétrie de centre I ?b) Explique pourquoi on a : xAB∑ = y'BA∑.

2- De façon analogue à ce qui précède, explique pourquoi on a : x'AB∑ = yBA∑.

3- Quelle propriété as-tu démontrée ?

Lis attentivement l’encadré ci-dessous puis recopie-le à la suite, dans le paragraphe : « PROPRIÉTÉS DES ANGLES ».

e retiens (d)

(∆)

(d')

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes ont même mesure.

j

Fais les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 17 x

y

y'x'

A

B

136°

Sur la figure ci-contre, les droites (xx’) et (yy’) sont parallèles.

Détermine la mesure des angles suivants :

a) yBA∑ b) BAx∑ c) BAx'∑

Exercice 18

A

BC

D

E

Sur la figure ci-contre, • les droites (CB) et (ED) sont parallèles,

• on a : A ∈ (CD) et A ∈ (EB)

Compare les angles des triangles ABC et AED.



Exercice 19 A

B

x

y

On considère la figure ci-contre où (Ax) et (By) sont parallèles.1- Trace au compas la bissectrice de xAB∑. Elle coupe (By)

en C.

2- Montre que : CAB∑ = ACB∑. Aide : Pour prouver que deux angles sont égaux, on peut essayer

de prouver qu’il sont égaux à un même troisième.

3- Clara affirme que : BA = BC. Qu’en penses-tu ?

Exercice 20 Alex Privif

AO

x

y

z t

58°

64°

Sur la figure ci-contre, les droites (Az) et (Ox) sont parallèles.Alex Privif dit que [At) est la bissectrice de z yA∑ . Qu’en penses-tu ?

A ∈ [Oy)

Exercice 21 A

B

C

34°

29°

x

y y'

x'Calcule ABC∑ sachant que (xx’) et (yy’) sont parallèles.

A ∈ (xx’) C ∈ (yy’)

Pour terminer, je te propose de faire l’exercice suivant qui te permettra de comprendre comment, au IIIème siècle avant Jésus-Christ, le Grec Eratosthène, un des hommes les plus érudits de l’Antiquité, réussit à donner une bonne approximation du périmètre de la Terre (Eratosthène était à la fois mathématicien, astronome, philosophe…).

Exercice 22

rayons du (parallèles)

O

A

BC

S

7,2 °

A : AlexandrieS : Syènelongueur de AS : 5 000 stades

Eratosthène observa les rayons du soleil à midi, le jour du solstice d’été (un 21 juin), dans deux villes situées sur le même méridien distantes de 5 000 stades : Syène et Alexandrie (1 stade ≈ 157 mètres).Ce jour-là, à Syène, les rayons du soleil éclairaient le fond des puits : ils étaient à la verticale du lieu.




Au même moment, à Alexandrie, ils faisaient un angle d’environ 7,2° avec un bâton planté à la verticale.1- Détermine AOS∑ .

2- a) Quelles sont les mesures des angles représentés en bleu ci-dessous ?

angle 1 angle 2 angle 3

b) Complète les pointillés :

360 = ………….. x 7,2 tu peux utiliser ta calculatrice

3- Connaissant la longueur de l’arc ASª et l’angle AOS∑ , saurais-tu calculer le périmètre de la Terre

a) en stades ?

b) en km ?

Séance 3Je découvre et j’étudie les angles correspondants

Lis attentivement l’encadré ci-dessous. Reporte-toi à la fin de l’espace vide laissé dans la partie « VOCABULAIRE DES ANGLES », et plus précisément juste après la notion d’angle alternes-internes. Recopie à cet endroit le paragraphe ci-dessous (ne recopie pas la remarque).

e retiens angles correspondantsdéfinition : Une droite (Δ) coupe deux droites (d) et (d’)

(d)(∆)

(d')

en définissant des angles correspondants.exemple : les deux angles marqués en bleu ci-contre

exemples : (d)(∆)

(d')

(d)(∆)

(d')

(d)(∆)

(d')

Une droite (Δ) coupant deux droites (d) et (d’) définit également trois autres couples d’angles correspondants.

j

Effectue les deux exercices ci-dessous directement sur ton livret.




Exercice 23

Sur quelle(s) figure(s) sont représentés des angles correspondants ?

a) b) c) d)

Exercice 24

Sur chaque figure code un deuxième angle de façon à mettre en évidence deux angles correspondants.

a) b) c) d)

Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 25

xz

z'

y y'

x'A

B

On considère la figure ci-contre. Les droites (xx’) et (yy’) sont parallèles.

Colorie d’une même couleur les angles correspondants. Quelle conjecture peux-tu émettre ?

Exercice 26

xz

z'

y y'

x'A

B

Cet exercice est la suite du précédent.

Les droites (xx’) et (yy’) sont parallèles.

Essaie de prouver que les angles correspondants xAB∑ et y zB '∑ vérifient : xAB∑ = y zB '∑ .

Aide : Essaie de prouver que les angles xAB∑ et y zB '∑ sont égaux à un même troisième.

Lis attentivement l’encadré ci-dessous puis recopie-le à la suite, dans la partie « PROPRIÉTÉS DES ANGLES ».

e retiens (d)

(∆) (d')Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants ont même mesure.

j





Exercice 27 A

B C48° 32°

M NOn suppose que (MN) et (BC) sont parallèles.

Détermine :

a) AMN∑ b) MNC∑

Exercice 28

A

B C

s

t x

y

t'

s'

55°

On considère la figure à main levée ci-contre.

Les droites (ss’) et (tt’) sont parallèles.[Ay) est la bissectrice de x sA '∑ .Détermine les mesures des angles suivants :

a) x sA '∑ b) xBC∑

Exercice 29

120°

50°

1

2

4

35

6

x

y

z

z'

y'

x'

s'

st

t'

A

B

Donne la mesure de chacun des angles 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 sachant que les droites (xx’), (yy’) et (zz’) sont parallèles.

Exercice 30

A

B C

x

z

76° 76°

On sait que : A ∈ [Bx) et (Az) // (BC).Fanelle dit que [Az) est la bissectrice de xAC∑. Qu’en penses-tu ?

Exercice 31 Alex privif

A

B

x

y

y'

x'

On considère la figure ci-contre.

On a : (Ax) // (By) et (Ax’) // (By’)Penses-tu comme Alex Privif que les angles x xA '∑ et y yB '∑ ont la même mesure ?



Séance 4Je calcule la somme des angles d’un triangle

Effectue l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 32

1- Dans chacun des cas suivants, mesure les angles des triangles donnés, puis calcule leur somme.

a)

A

B

C

valeur approchée de Aµ + Bµ + Cµ : ……

b) E

F

G

valeur approchée de Eµ + F$ + Gµ : ……

c)

I J

K

valeur approchée de I$ + J$ + Kµ : ……

d) L

M

N

valeur approchée de L

〈

+ Mµ + Nµ : ……

2- Que remarques-tu concernant la somme des mesures des angles des triangles ci-dessus ?

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................



— © Cned, Mathématiques 5e, 2008124



Exercice 33 A

BC

1- Trace la droite qui passe par A et qui est parallèle à (BC). Appelle-la (xy). Tu placeras x à gauche de ta feuille.

2- Compare : a) ABC∑ et xAB∑ b) ACB∑ et CAy∑.

3- Calcule ABC∑ + BAC∑ + ACB∑ en t’aidant de ce qui précède.

4- Quelle propriété peux-tu énoncer ?

Note ce qui suit sur ton cahier de cours après l’avoir lu.

e retiens Somme des angles d’un triangle A

B

C

Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

Aµ + Bµ + Cµ = 180°

j

Cette propriété permet de calculer la mesure d’un angle d’un triangle connaissant les deux autres.

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens-le.

je comprends la méthode calculer la mesure de BAC∑

A

B

C

52°65°

Je vois que l’on connaît les mesures de deux angles d’un triangle. Je sais que la somme des mesures des angles est égale à 180°. Je rédige alors la réponse de la façon suivante :La somme des mesures des angles du triangle ABC est égale à 180°. On a donc : BAC∑ = 180° – (52° + 65°) soit : BAC∑ = 180° – 117°c’est-à-dire : BAC∑ = 63°.

Effectue les sept exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 34

1- Trace en vraie grandeur un triangle KLM tel que :

• KL = 4,3 cm • MLK∑ = 116° • MLK∑ = 31°

2- Quelle semble être la nature du triangle KLM ? Essaie de répondre à cette question.




Exercice 35 S V

W XT U48°

56°

On considère les figures à main levée ci-contre. a) Calcule les mesures inconnues des angles

du triangle STU.

b) Calcule les mesures des angles à la base du triangle isocèle VWX.

Exercice 36 A

B C

2 x3 x

x

Sur la figure à main levée ci-contre, x désigne la mesure en degrés de ACB∑. 1- Calcule x.2- Quelle est la nature du triangle ABC ?

Exercice 37

Construis en vraie grandeur :a) un triangle ABC tel que : AC = 4 cm Aµ = 34° Bµ = 63°

b) un triangle KLM isocèle de sommet principal K tel que : LM = 3 cm et Kµ = 28°.

Exercice 38

A B

C

DE

44°

52°

Sur la figure ci-contre, les droites (AB) et (ED) sont parallèles.

Calcule la mesure de ACB∑.

Exercice 39

A

B

70°x

x'

y'y

1- Calcule ABy'∑.

2- Trace (au compas)

a) la bissectrice de BAx'∑

b) la bissectrice de ABy'∑.

3- Les deux bissectrices se coupent en C.

4- Quelle question es-tu amené(e) à te poser concernant les droites (AC) et (BC) ? Essaie d’y répondre.





O

R

47°

86°

Il était tracé ci-contre un triangle ORL et un arc de cercle de centre O passant par R. Malheureusement, Coline a fait une grosse tache d’encre sur la figure.

Sans faire de tracés, Alex Privif dit que L appartient à l’arc de cercle de centre O. Comment peut-il le savoir ?

Séance 5J’étudie des triangles particuliers


Exercice 41

A

B

C

On considère la figure à main levée ci-contre. 1- Calcule Bµ + Cµ .

2- Complète les pointillés par l’un des mots de la liste suivante : adjacents – supplémentaires – complémentaires

Bµ et Cµ sont ........................................................................

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit :

e retiens triangleS ParticulierS

A

B

C

triangles rectanglesPropriété : Si un triangle est rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires.

Bµ + Cµ = 90

j

Dorénavant, lorsque dans un triangle rectangle, on te demandera de calculer la mesure d’un angle aigu connaissant la mesure de l’autre, il faudra penser à utiliser cette propriété. Il est plus rapide dans ce cas de procéder ainsi, plutôt que d’utiliser la propriété : « La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180° ».

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants.





Exercice 42

A

B Hx

C

1- Calcule aussi simplement que possible BAH∑ et ACB∑ pour x = 43°. Que remarques-tu ?

2- Même travail que précédemment pour x = 39°.3- Quelle question es-tu amené(e) à te poser ? Essaie d’y répondre.

Exercice 43 A

B

C' B'H

C

48°

ABC est isocèle en A.

Calcule la mesure des angles du triangle BHC.

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Tu effectueras cependant la construction suivante sur ton livret.

Exercice 44

Construis un point C sur (xy) tel que ACB∑ = 55°. Justifie ta construction.

A

B

x

y

Y a-t-il une seule réponse possible ? Sinon, donne-les toutes.



Exercice 45

Un triangle rectangle en A peut-il être isocèle en A ? en B ? en C ?

Exercice 46

1- Trace à main levée un triangle rectangle isocèle en A.

2- Calcule la mesure des angles Bµ et Cµ .

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit.

e retiens triangles rectangles isocèlesPropriété : Si un triangle est rectangle isocèle alors chacun de ses angles

AC

B

aigus mesure 45°.

Bµ + Cµ = 45°

j


Exercice 47

CB

A

DOn considère la figure à main levée ci-contre. 1- Que représente [CA) pour BCD∑ ?

2- Calcule BCD∑ .

3- Quelle propriété ont les côtés [AB] et [CD] du quadrilatère ABCD ?

Exercice 48

1- Trace un triangle équilatéral ABC.

2- Calcule la mesure de ses angles.

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit.

e retiens triangles équilatérauxPropriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles

C

B

A

mesure 60°.

Aµ = Bµ = Cµ = 60°

j





Exercice 49 A

C

B

D

E

28°

3,5 cm1- Construis en vraie grandeur la figure représentée à main levée

ci-contre.

2- Les points A, C, E sont-ils alignés ?

Exercice 50 Alex Privif A

O

Alex Privif affirme qu’il sait tracer le symétrique de A par rapport à O en utilisant uniquement son compas.

Il explique :

A

O

L

A

B

O

L

A

B

C

O

L

A

B

C

A'

O

L

Je trace un arc L de centre O, qui passe par A.Dans toute la suite de la construction, je conserve le même écartement de com--pas.

Je trace un arc de centre A, qui coupe l’arc L en B,

puis un arc de centre B, qui coupe L en C.

Enfin, je trace un arc de centre C, qui coupe L en A’.J’affirme que A’ est le symétrique de A par rapport à O.

C’est vrai, A’ semble être le symétrique de A par rapport à O… Saurais-tu dire si la méthode d’Alex est correcte ?

Aide : Quelle est la nature du triangle AOB ?

Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles ont la même mesure. Inversement, on peut se demander si la propriété suivante est vraie :

« Si les trois angles d’un triangle ont la même mesure alors le triangle est équilatéral » .

Le but de l’exercice suivant est d’apporter une réponse à cette question. Effectue-le sur ton cahier d’exercices.

Exercice 511- Trace à main levée un triangle ABC tel que : Aµ = Bµ = Cµ .

2- Compare :

a) AB et AC b) AB et BC

3- Déduis du 2- la nature du triangle ABC.




Prends ton cahier de cours et note à la suite ce qui suit.

e retiens Propriété : Si les trois angles d’un triangle ont la même mesure alors le triangle est équilatéral.

j

Fais l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 521- Trace un triangle équilatéral ABC tel que AB = 5 cm.

2- Place un point I sur [AB]. La parallèle à (BC) qui passe par I coupe (AC) en J.

a) Détermine la mesure des angles du triangle AIJ.

b) Quelle est la nature du triangle AIJ ?

Séance 6Je prouve que deux droites sont parallèles

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Tu feras cependant la construction directement sur ton livret.

Exercice 53

A

B

x

41°

a) Trace ci-contre la demi-droite [By) telle que :• d’une part, ABy∑ = 41°

• d’autre part, les demi-droites [Ax) et [By) soient de part et d’autre de (AB).

b) Que peut-on dire des angles xAB∑ et ABy∑ ?

c) Quelle conjecture peux-tu émettre ?

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Tu feras cependant la construction directement sur ton livret.




Exercice 54

A

B

x

y

On considère la figure à main levée ci-contre, dans laquelle les angles alternes-internes yBA∑ et BAx∑ sont égaux. 1- Trace à main levée la droite qui passe par B et qui est

perpendiculaire à (Ax). Elle coupe (Ax) en H. Place H. 2- À quoi est égale la somme des mesures des angles BAx∑ et ABH∑ ?

3- Que peux-tu déduire du 2- concernant les angles yBA∑ et ABH∑ ?

4- Compte tenu de ce qui précède, que peux-tu dire des droites

a) (By) et (BH) ?b) (Ax) et (By) ?

Prends ton cahier de cours, puis note l’encadré suivant après l’avoir lu.

e retiens

Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

j

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

je comprends la méthode

F

K

G

E

(d) (d')démontrer que les droites (d) et (d’) sont parallèles

1- Je vois que les deux droites (d) et (d’) sont coupées par une sécante définissant deux angles alternes-internes GEF∑ et EF K∑ de même mesure.

2- Je pense alors à utiliser la propriété :

« Si deux droites coupées par une sécante forment deux an--gles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles ».

3- Je rédige ensuite la démonstra--tion :

Les angles GEF∑ et EFK∑ sont alternes-internes. Ils ont de plus la même mesure d’après les codages. On en déduit que les droites (d) et (d’) sont parallèles.

Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 55

56°

56°

A B

CD

La figure ci-contre représente un tabouret pliant. Le dessus du tabouret est-il parallèle au sol ?





Exercice 56 E

F G

H

23°24°

Les côtés [EF] et [HG] du quadrilatère EFGH ci-contre sont-ils parallèles ?

Exercice 57 JI

L K

124°

38°

114°

Juline dit que IJKL a deux côtés opposés parallèles.

Arthur dit qu’elle se trompe. Qu’en penses-tu ?

Tu répondras aux questions de l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices, à l’exception de la première à laquelle tu répondras directement sur ton livret.

Exercice 58 A

B

81°

x

z

a) Trace ci-contre la demi-droite [By) telle que :• d’une part, les demi-droites [Ax) et [By) soient

d’un même côté de (AB)

• d’autre part, y zB∑ = 81°.

b) Dans quelle position sont les angles xAB∑ et y zB∑ déterminés par les droites (Ax) et (By) avec la sécante commune (AB) ?

c) Quelle semble être la position relative des droites (Ax) et (By) ?d) Quelle conjecture fais-tu ?


Exercice 59

A

B

x

y

z

z'y'

x'On considère la figure ci-contre sur laquelle les angles correspondants zA x '∑ et AB y '∑ sont égaux.

a) Compare xAB∑ et AB y '∑ .

b) Quelle est la position relative des droites (xx’) et (yy’) ?

Prends ton cahier de cours, puis note l’encadré suivant après l’avoir lu.

e retiens

Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

j

Effectue les quatre exercices suivants sur ton cahier d’exercices.



Exercice 60

A

B

x

y y'

x'84˚

96˚ zLes droites (Ax) et (By) sont-elles parallèles ?

Exercice 61

A

B y

z

x77°

76°a) Calcule xAB∑.

b) Les droites (xx’) et (yy’) sont-elles parallèles ?

Exercice 62 Alex Privif A

BC

DE

83°

63°

34°

Alex Privif affirme que les droites (CB) et (ED) sont parallèles.

Es-tu d’accord avec lui ?

Exercice 63

A

B

D68°

113°

112°

s

u v

v'u'

t

s'

t'

a) Les droites (ss’) et (tt’) sont-elles parallèles ?b) Même question que précédemment concernant les droites

(uu’) et (vv’).

Séance 7J’effectue des exercices de synthèse

Effectue tous les exercices de cette séance sur ton cahier d’exercices.




Exercice 64

AB

xy

zz'

y' x'

Sur la figure ci-contre, les droites (xx’) et (yy’) sont parallèles.

Est-il vrai que les angles y zA∑ et z' x'B∑ sont égaux ?


AO

B

CD

E

Alex Privif dit que sur une figure en vraie grandeur les points A, O et E sont alignés. Qu’en penses-tu ?

Exercice 66

A

O

B

C

D

E

F

3,4

cm124°

28°

A, B, C sont les symétriques respectifs de D, E, F par rapport à O.1- a) Détermine les mesures d’angles inconnues du triangle ABC.

b) Quelle est la nature du triangle ABC ?

2- Détermine AC.

Exercice 67

AB

I

C

D

38°

52°Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

I ∈ [AC] I ∈ [BD]




Exercice 68

A

B C

x

2x

Détermine x, sachant que x désigne la mesure en degrés de BAC∑ .

Exercice 69 A

B HC

48° 34°

3,5

cm

Construis en vraie grandeur le triangle ABC ci-contre.

H ∈ [BC]

Exercice 70Vrai ou faux ?

1- Un triangle qui a deux angles de 60° est équilatéral.

2- Un triangle isocèle qui a un angle de 60° est équilatéral.

Attention ! Il y a deux cas de figure.

Séance 8J’effectue des exercices de synthèse – fin –

Effectue tous les exercices de cette séance sur ton cahier d’exercices.

Exercice 71

Vrai ou faux ?

a) Un triangle isocèle qui a un angle de 45° est rectangle.

b) Un triangle rectangle qui a un angle de 45° est isocèle.





94°47°

A

CBs

x

z

t

yAlex affirme que [As) est la bissectrice de BAz∑.

Qu’en penses-tu ?

(xy) // (zt)

Exercice 73 A

HB

D

C

E

Les droites (AH) et (DE) sont-elles perpendiculaires ?

Exercice 74 A

B

D

C

E

53°

154°

78°

??

?

?

Calcule les quatre mesures d’angles inconnues.

D ∈ [AB] E ∈ [AC]

Exercice 75

A

BC

34°u

x

Les droites (BC) et (Au) sont parallèles.

Détermine la mesure de x uA∑ .

A ∈ [Cx)





Exercice 76 A B

D EC

34° 27°

Trace en vraie grandeur la figure ci-contre, sachant que les points D, C, E sont alignés.

Les droites (AD) et (BE) sont-elles parallèles ?

Séance 9J’effectue des exercices de révision

Fais l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 77

94°87°

A

B

C

D

Le quadrilatère ABCD représenté à main levée ci-contre a-t-il deux côtés opposés parallèles ?

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices, à part la figure que tu construiras sur ce livret.

Exercice 78

La figure ci-dessous représente un morceau de papier sur lequel figure une partie d’un angle x yO∑ . Sans faire de tracé en dehors du morceau de papier, trouve une valeur approchée de la mesure en degrés de x yO∑ .

x

y



Fais les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 79a) Trace trois quadrilatères de ton choix.

b) Pour chacun d’eux,

• mesure soigneusement les quatre angles,

• fais la somme des mesures obtenues.

c) Quelle question es-tu amené(e) à te poser ? Essaie d’y répondre

Aide : trace une diagonale du quadrilatère dont tu veux calculer la somme des mesures des angles.

L’exercice suivant est à faire s’il te reste du temps. C’est de plus un exercice difficile (voire très difficile). Tu peux si tu le souhaites effectuer d’abord la rubrique « Je m’évalue » et finir ensuite par l’exercice 80.

Exercice 80 Défi

1- Trace :

• un carré ABCD,

• le point E, à l’intérieur du carré, tel que EDC soit un triangle équilatéral,

• le point F, à l’extérieur du carré, tel que BCF soit un triangle équilatéral.

Les points A, E et F sont-ils alignés ?

Aide : Voir si A, E et F sont alignés c’est voir si on a : AEF∑ = ……………….

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les 10 questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.





je m’évalue1- Les angles y zO∑ et y' z'O∑ sont :

124°

56°O

y

y'

z'

z

®adjacents® complémentaires® supplémentaires® opposés par le sommet

2- Les angles Bµ et Cµ du triangle ABC sont :

A

B

C

®complémentaires® supplémentaires®aigus®obtus

3- L’angle BAH∑ mesure :

A

BC

H

AB = AC = BC

® 15°® 30°®45°®60°

4- Le triangle EFG représenté est :

E

FG53°

37°

® quelconque®isocèle en F®isocèle en G®rectangle en E

5- L’angle KL M∑ mesure : K

L M

38°

®142°®76°®71°®38°



je m’évalue (suite) Dans les questions 6- et 7-, on se réfère à la figure ci-dessous.

1 2

4

56

78

3

6- Deux angles alternes-internes sont par exemple :

®1 et 7®1 et 5® 1 et 3®3 et 5

7- Deux angles correspondants sont par exemple :

®2 et 8®6 et 8® 3 et 7®4 et 6

8-

A

B

s

s'

t'

t

72°

x

z'

(ss’) // (tt’)On a :

®x = 73°®x = 72°® x = 108°®On ne peut conclure à quoi est égal x.

9- A

B

s

s'

t'

t

120°

x

(ss’) // (tt’)On a :

®x = 60°®x = 120°®x = 130°®On ne peut conclure à quoi est égal x.

10- Compte tenu du codage de la figure, A

BC

s

s'u

u'

t't

51°51°

52°

®on peut conclure que (ss’) et (tt’) sont parallèles.®on peut conclure que (ss’) et (tt’) ne sont pas parallèles.®on peut conclure que (AB) et (Cu) sont parallèles.®on peut conclure que (AB) et (Cu) ne sont pas parallèles.



Sommaire de la séquence 5bruno.lpbayard.free.fr/MATHS/ARCHIVES-cned/CNED 5eme... · 2016. 5....

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