Slides Machines 2

8/3/2019 Slides Machines 2

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MachinesMécaniques etTurbomachines

Chapitre 2

Etude générale :compression dufluide

Compressiondes gaz

Pompes etventilateurscentrifuges

Compresseurscentrifuges etaxiaux

Machines Mécaniques et TurbomachinesCours de Semestre 8

Chapitre 2

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Machines génératrices

1 Etude générale : compression du fluide

2 Compression des gaz

3 Pompes et ventilateurs centrifuges

4 Compresseurs centrifuges et axiaux

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Contenu du cours





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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Introduction

L’énergie mécanique apportée au fluide par la machine est généralement

transformée en énergie cinétique (1

2C

2) et en énergie potentielle (

p

ρ + gz ).

Pour l’étude des pompes (fluide incompressible) servant à transvaser un liquide d’unréservoir amont vers un réservoir aval, l’énergie mécanique sert à vaincre lesdifférences de niveau voire de pression.

Dans ce cas, l’énergie potentielle est largement plus désirée.

Pour l’étude des compresseurs (fluide compressible) servant à gonfler un réservoiraval, l’énergie cinétique du fluide est utilisée d’autant plus que l’on néglige les effetsde pesanteur sur un fluide compressible.

Compression des liquidesLe transfert d’énergie dans un écoulement met en évidence une énergie mécanique et uneénergie thermique qui est d’ailleurs très souvent négligée car la chaleur dégagée par lesfrottements visqueux est très faible.

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Bilan énergétiques

Bilan des travaux

Le travail net de transvasement peut se mettre sous la forme :

W T 1→2=

2

1

dp

ρ=

p 2 − p 1

ρ

Le travail indiqué a pour expression : W i 1

→2

= W n 1

→2

−W f 1

→2

d’où :

W i 1→2=

p 2 − p 1

ρ+

1

2(C

22 − C

21 ) + g (z 2 − z 1)−W f 1→2

Pour les liquides, on fera très souvent les bilans énergétiques en hauteur de fluide,c’est à dire en travail rapporté au Newton. On définit ainsi :

H n =

W n 1

→2

g : la hauteur nette en J /N ou en m

H th =W i 1→2

g : la hauteur théorique de fluide.

On peut alors écrire :

H th =1

2g (C

22 − C

21 ) + (C

2e 2− C

2e 1

)− (W 22 −W

21 )

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Bilan énergétiques

Machines génératrices

Machines génératrices⇒ travaux nets et indiqués positifs.

Couple exercé par la roue sur le fluide : M z = q m (r 2C gir 2 − r 1C gir 1 )Puissance théorique reçue par le fluide : ℘ = q m (C e 2 C gir 2 − C e 1 C gir 1 )

La hauteur théorique de fluide n’est pas l’énergie totalement reçue par le fluide entrel’entrée et la sortie de la machine.

H th = H n + Σpertes internes

Rendements

Rendement global d’une pompe est défini par :

ηgl =

q m W n 1

→2

℘a =

ρgq v H n

℘a

où ℘a est la puissance sur l’arbre. ℘a = M z a ωr

Rendement interne (rendement hydraulique ou manométrique) :

ηint =H n

H th

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Compressiondes gaz



Réseaux de pompage

H

H ref

a

H g

z

z s

e

On retrouve généralement sur un réseaude pompage une conduite d’aspiration etune conduite de refoulement.

On définit ainsi une hauteur netted’aspiration et une hauteur derefoulement nommées respectivement

H a et H ref .

La somme de ces deux hauteurs et desdimensions de la machine est la hauteurgéométrique (dans un repère centré surla pompe) :

H g = H a + H ref + z s

−z e

où z s et z e sont les côtes d’entrée et desortie de la machine.

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Compressiondes gaz



Réseaux de pompage

Espace libre

H

H ref

a

H g

z

z s

e

Hu = Hg

Espace fermé

H

H ref

a

H g

z

z s

e

H u = H g +p aval − p amont

ρg 8 / 8 5

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Compressiondes gaz



Réseaux de pompage

Pertes de charge

Si on fait maintenant intervenir les pertes entre l’amont et l’aval de la pompe, on obtient :

H u = H n − (ϕamont →e + ϕs →aval )

Hauteur résistanteDans un réseau de pompage, la pompe doit fournir au fluide une énergie égale à lahauteur nette.

Cette hauteur est également appelée hauteur résistante H r du réseau. On a alors :

H r = H n = H u + ϕamont →e + ϕs →aval

avec : H u = H g système libreH u = H g + p aval −p amont

ρg système sous pression

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Compressiondes gaz



Cavitation d’une pompe

Conséquences de la cavitation d’une pompe

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Charge nette à l’aspiration

Zone de cavitation

La cavitation d’une pompe se produit dans la zone où la dépression est maximale.Théorème de Bernoulli entre l’entrée (1) et le point M de dépression maximale.

p M − p 1

ρ+ g (z M − z 1) +

1

2(C

2M − C

21 ) = −ϕ1→M + W n 1→M

qui peut se mettre sous la forme :

p M − p sv

ρg =

p 1 − p sv

ρg − (z M − z 1)− 1

2g (C

2M − C

21 )− ϕ1→M

avec p sv : tension de vapeur saturante

La pompe ne cavitera pas si p M > p sv :

p 1 − p sv

ρg +

C 21

2g charge nette à laspiration

>C 2M

2g + z M − z 1 + ϕ1→M

charge minimale à laspiration

Charge nette à l’aspiration : N .P .S .H disponible (Net Positive Suction Head)

Charge minimale à l’aspiration : N .

P .

S .

H requis

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Exercice d’application

Circuit hydraulique

φ =300mm

=0.04λ3m

75m

amont

aval

conduites

longueur (L)

longueur (l) pompe 4 étages série

P athm = 1bar P sv = 0, 0317bar ∑ ϕ = k .q 2v q v = 1000m

3/h

Au point de fonctionnement, chaque étage fournit une hauteur nette de H n = 21.6m pourun NPSH r = 4m .

1 Tracer la caractéristique résistante du réseau.

2 Calculer la longueur développée du réseau.

3 Déterminer la longueur l maxi de la conduite amont autorisée.

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Contenu du cours





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Bilans énergétiques

Travail net

W n 1→2=

2

1

dp

ρ+

1

2(C

22 − C

21 ) + ¨ ¨ g ∆z

la variation d’énergie potentielle est négligée pour les gaz.Travail indiqué

W i 1→2= W n 1→2

−W f 1→2

Travail sur l’arbre

W a 1→2 = W i 1→2 −W m 1→2

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Rendements

Rendement global

Le rendement est donné par la relation :

ηgl =q m W n 1→2

℘a

où ℘a est la puissance sur l’arbre dont l’expression est en négligeant les fuites :

℘a = q m W a 1→2 .

ηgl =W n 1→2

W a 1→2

=

2

1

dp

ρ + 1

2(C 22 − C 21 )

W a 1→2

Le calcul du rendement est très difficile à effectuer car le travail net et notamment la

partie liée au travail de transvasement ( 21

dp

ρ ) est peu évidente à calculer.Le lien entre p et ρ n’est pas évaluable en transformation réelle : On sera alorsamené à calculer des rendements pour des évolutions types :

Evolution adiabatique réversible (SQ)

Evolution isotherme réversible (Θ)

Evolution polytropique (k )

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Evolution adiabatique réversible

Definition

Evolution associée aux compressions et aux détentes dans les turbomachinescaractérisée par Q e 1→2

= Q f 1→2= 0

Q e 1→2représente le travail mécanique dissipé en chaleur

Q f 1→

2représente le travail visqueux dissipé en chaleur.

Travail de compression

W SQ 1→2= −

2

1

pdv = U 2 − U 1

Travail de transvasement :

W T SQ 1→2= 2

1

vdp = H 2 − H 1

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Rendements dans la compression

Rendement global :

ηgl =

W n 1

→2

W a 1→2 = 2

1

dp

ρ SQ + 1

2(C

22 − C

21 )

W a 1→2

Rendement interne :

ηi SQ =

2

1

dp

ρ

SQ + 1

2(C 22 − C 21 )

W i 1→2

avec W i 1→2= H 2 − H 1 + 1

2(C 22 − C 21 )− $ $ $ Q e 1→2

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E l i di b i é ibl

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Compressiondes gaz




Rendements dans la compression

On peut négliger la variation d’énergie cinétique qui est généralement faible, et onaboutit à une valeur approchée par excès du rendement adiabatique :

ηi SQ =

2

1

dp

ρ

S 112Q

H 2

−H 1

=∆H SQ

∆H

Ces rendements sont des valeurs aprochées des rendements des compresseurs etdes turbines. Ces rendements peuvent naturellement être calculés sur chacun desétages de la turbine.

Nota : Si le fluide mis en jeu lors de la compression ou de la détente peut êtreconsidéré comme parfait (pv = rT = Cte ), on aura alors :

ηi SQ = T 2 − T 1

T 2 − T 1en compression

ηi SQ =

T 2 − T 1

T 2 − T 1en détente

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E l ti i th é ibl

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Evolution isotherme réversible

Definition

L’évolution isotherme réversible (Θ) est une évolution théorique où :

T = Cte

Q f 1→1= 0

On utilise cette évolution pour l’étude :

des compression refroidies

des détentes réchauffées.

Par définition :

W Θ1→2= −

2

1

pdv = U 2 − U 1 − Q e 1→1

W T Θ1→2= 2

1

vdp = H 2 − H 1 − Q e 1→1

avec Q e 1→1= T (S 2 − S 1) et S i représentant l’entropie du fluide.

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E l ti i th é ibl

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Evolution isotherme réversible

Définition du rendement global

Si le fluide mis en jeu lors de la compression ou de la détente peut être considérécomme parfait (pv = rT = Cte ), on aura alors U 2 = U 1 et H 2 = H 1 soit :

v =rT

p et W T

Θ1→2

= 2

1

vdp = rT 2

1

dp

p

d’où :

W Θ1→2= W T Θ1→2

= −Q e 1→1= rT ln

p 2

p 1= rT ln

v 1

v 2

On a alors le rendment global donné par :

ηgl Θ=

W T 1→2 + ∆E c

W a 1→2

=rT ln p 2

p 1 + 12 (C 22 − C 21 )

W a 1→2

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Evolution polytropique

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Compressiondes gaz




Definition

L’évolution polytropique est une évolution théorique réversible caractérisée par :

pv k = Cte

Q f 1→1= 0

Q e 1→1= H 2 − H 1 −W k 1→2

= 0.

On a alors pour cette évolution :

W k 1→2 = − 2

1

pdv = r k − 1

(T 2 − T 1)

W T k 1→2=

2

1

vdp =rk

k − 1(T 2 − T 1)

avec Q e 1

→1

= H 2

−H 1

−W k 1

→2

.

L’évolution k est associée à une évolution réelle, les deux évolutions ayant lesmêmes points de départ et d’arrivée, on introduit alors la notion de coefficient k pourl’évolution polytropique associée :

k − 1

k =

lnT 2T 1

lnp 2p 1

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Définition du rendement global

On définit alors le rendement global lors de l’évolution k par :

ηgl k =

W T k 1→2 + ∆E c

W a 1→2

= 21

dp

ρ k +

1

2 (C 22 − C 21 )W a 1→2

=k −1

k

γ−1

γ

Ce rendement obtenu en associant à l’évolution k une évolution SQ est déterminé enfaisant les mêmes hypothèses qu’au paragraphe précédent, c’est à dire enconsidérant que la variation d’énergie cinétique est négligeable.

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Pompage des compresseurs

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Compressiondes gaz



Pompage des compresseurs

Definition

Le pompage est un phénomène de fonctionnement instable qui concerne nonseulement le compresseur mais également l’ensemble de la machine.

Si la pression du circuit aval de la machine devient supérieure à la pression derefoulement du compresseur, la détente des gaz s’effectue non seulement vers

l’arière, mais également vers l’avant.Dans ce cas, le débit de matière devient nul, la pression chute alors brutalement et lecompresseur débite à nouveau jusqu’à ce que la condition initiale soit retrouvée.

C’est un phénomène cyclique.

Le phénomène de pompage des compresseurs se manifeste lorsque le débit de lamachine descend en dessous d’une certaine valeur en fonction de la vitesse derotation.

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Causes du pompage d’un compresseur

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Compressiondes gaz



Causes du pompage d un compresseur

Dans l’utilisation normale, un moteur est conçu pour fonctionner sans pompage dansson domaine d’utilisation.

Les causes classiques de pompages peuvent être liées à :

Un pompage provenant du circuit amont : Entrée d’air obstruée, compresseur

endommagéUn pompage provenant du circuit aval : Réduction de la section de sortie, chambre ou

turbine endommagées

Accélération trop brutale ou surcharge d’un moteur

Pour éviter le pompage d’un compresseur, il faut le faire travailler en régime stable,c’est à dire trouver le bon compromis entre la caractéristique du compresseur et lacaractéristique du circuit de fluide.

Ce phénomène de pompage se retrouvera dans le cas des turbomoteurs etturboréacteurs.

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Contenu du cours

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Compressiondes gaz



Contenu du cours





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Pompes et ventilateurs centrifuges

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Pompes et ventilateurs centrifuges

Definition

Les pompes et ventilateurs centrifuges sont composés de différents éléments entrel’aspiration (e) et la sortie (s).

On retrouve les éléments suivants :

L’entrée e : aspiration

La roue mobile : rotation à la vitesse angulaire ωr

Le diffuseur : réduit la vitesse en sortie de roue

La volute : canalise le fluide vers la sortie s .

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Rôle du diffuseur sur l’écoulement

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Chapitre 2


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Rôle du diffuseur sur l écoulement

Definition

Dans une machine génératrice, l’organe fixe est situé après l’organe mobile.Dans une pompe centrifuge on a alors une arrivée axiale du fluide sans perturbation

soit un angle α1 = π 2

ce qui implique que C gir 1 = 0.

On peut alors tracer le diagramme des vitesses entre l’entrée (1) et la sortie (2) del’organe mobile

W

W

C

Ce

Ce

1

1

2

2

2b2

b1

1C

H th =C e 2

C gir 2

g et q v = π D 1b 1C m 1 = π D 2b 2C m 2 .

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Chapitre 2


Compressiondes gaz




Definition

Le fluide sort donc de la roue avec une vitesse −→C 2 = −→C e 2 +−→W 2 .

On retrouve cette vitesse à l’entrée (2) du diffuseur où le fluide va être transformé jusqu’à la sortie (3).

De par la construction des pompes centrifuges, on a toujours D 3 > D 2 et b 3 ≥ b 2.

La conservation du débit dans la pompe permet d’écrire entre l’entrée (2) et la sortie

(3) du diffuseur la relation :

q v = π D 3b 3C m 3 = π D 2b 2C m 2

On en déduit alors que la vitesse de sortie C m 3 est inférieure à la vitesse d’entréedans le diffuseur C m 2 .

Le diffuseur a donc un rôle de réducteur de vitesse, ce qui se traduit par une

augmentation de la pression du fluide.

Remarque

Si le diffuseur ne comporte pas d’aubages, on aura r 2C gir 2 = r 3C gir 3 ce qui montreégalement la réduction de vitesse dans le diffuseur.

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Compressiondes gaz




Evolution des pressions dans la pompe

En prenant comme valeurs des pressions dans la pompe :

p s pression d’aspirationp 1 pression à l’entrée de la roue

p 2 pression à la sortie de la roue et en entrée du diffuseurp 3 pression en sortie de diffuseur

En appliquant le théorème de Bernoulli entre les différents points, on obtient :

∆p

ρ+ ∆E c = W n a →b

− ϕa →b

en négligeant ∆E p .

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Evolution des pressions dans le compresseur




Chapitre 2


Compressiondes gaz



p p

point0 1 2 3

p

p2

3

p0

p1

pression

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Introduction des pertes

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



p

Evolution des pressions dans la pompe avec les pertes

Entre 0 et 1

p ∗1

ρg =

p 0

ρg − C 21

2g − ϕ0→1 =

p 1

ρg − ϕ0→1

<0

⇒ p ∗1 > p 1

Entre 1 et 2p ∗2

ρg =

p 2

ρg − ϕ1→2

<0

⇒ p ∗2 > p 2

Entre 2 et 3

p ∗3 ρg

= p 3

ρg − ϕ2→3

<0

⇒ p ∗3 > p 3

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Evolution des pressions dans le compresseur

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



point0 1 2 3

ϕ 2 3

ϕ1 2

ϕ0 1

p

p2

3

p0

p1

Courbe théorique

Courbe réelle

pression

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Influence de l’angle β2

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



g β2

On étudie 3 roues mobiles pour lesquelles seul l’angle β2 est changé

a b c

On peut alors tracer les diagrammes des vitesses en sortie de roue à partir de−→C 2 =

−→C e 2 +

−→W 2 .

Dans le cas d’une roue mobile radiale sans perturbation de l’écoulement par unorgane fixe : C gir 1 = 0, C gir 2 = C e 2 + W 2 cos β2.

La hauteur théorique de fluide en sortie vaut alors :

H th ∞ =C e 2 C gir 2

g =

1

g

C

2e 2

+ C e 2 W 2 cos β2

avec H th ∞ : hauteur théorique idéale, C e 2 = Cte et C

a gir 2> C

b gir 2> C

c gir 2

.

Ainsi H th ∞ augmente avec l’inclinaison vers l’avant des pales ( β2 <π 2

).

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



β

Influence sur l’écoulement dans le rotor

Les trajectoires relatives du fluide vont automatiquement être influencées parl’orientation des aubes.

Il apparaît que pour les orientations β2 <π 2

la déviation du fluide est plusimportante entre l’entrée et la sortie.

Ceci se traduit par une augmentation des pertes dans l’aubage lorsque les aubes

sont orientées vers l’avant.

Influence sur l’écoulement dans le rotor

En considérant les pertes sous la forme :

ϕ = λ

l

D

1

2g q v

S 2

= λ

l

D

1

2g C

2

on remarque que ϕ si C donc si β2 Donc les pertes augmentent lorsque les aubes sont orientées vers l’avant.

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



β

Influence sur l’écoulement

C

donc si β2

+ grande variation d’énergie cinétique

moins d’augmentation de pression dans la roue

du diffuseur pour de la pression de sortie

de la volute pour canaliser le fluide

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Influence sur la qualité de l’énergie fournie

Les diagrammes de vitesses que nous avons tracé montrent que−→C 2 est plus élevée

lorsque β2 <π 2

. L’influence de l’énergie cinétique est donc plus importante dans

l’énergie fournie (p 2 ρ + C 22

2).

Il faudra alors un diffuseur et une volute plus important pour réduire cette vitesse etpar là même accroître la pression à la sortie (rôle principal des pompes centrifuges).

L’évolution des pression nous permet de dire que nous étudions une roue à“réaction”.

L’introduction d’un degré de réaction permettra alors de quantifier la qualité del’énergie.

Ce degré de réaction est le rapport entre le travail de transvasement et le travail net :

σ =W T 1→2

W n 1→2

=

p 2−p 1 ρ

W n 1→2

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Influence sur la qualité de l’énergie fournie

On a également un degré de réaction théorique idéal σ th ∞ tel que :

σ th ∞ =p 2 − p 1

ρgH th ∞

avec

H th =p 2 − p 1

ρg +

C 22 − C

21

2g + (z 2 − z 1)

=0 (machine théorique)

soit :

σ th ∞ = 1−C 22

−C 21

2gH th = 1−C 22

−C 21

2C e 2 C gir 2

Les roues mobiles avec des aubes inclinées vers l’avant ont un degré de réactionplus faible.

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Remarques

Dans la pratique, on a fréquemment C m 1 = C m 2 , par suite :σ th ∞ = 1− C gir 2

2C e 2

µR ∞ =gH th ∞

C 2e 2

=C gir 2

C e 2

soit finalement :

σ th ∞ = 1− µR ∞

2

Dans le cas où β2 = π 2

, on a alors :

C gir 2 = C e 2 ⇒ σ th ∞ = 0, 5

µR ∞ = 1

Pour toutes ces raisons, on tendra à choisir des roues mobiles avec les aubesinclinées vers l’arrière ( β2 >

π 2

)

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Caractéristiques théoriques idéales

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Evolution de la hauteur théorique idéale en fonction du débit

Le but est d’écrire une relation du type :

H th = f (q v )

A partir des relations :

C m 2 = W 2 sin β2 et q v = π D 2b 2C m 2

on écrit alors :

H th ∞(q v ) =C e 2 C gir 2

g

avec :

C gir 2 = C e 2 + W 2 cos( β2) = C e 2 +

C m 2

tan( β2) = C e 2 +

q v

π D 2b 2 tan( β2)

soit :

H th ∞(q v ) =C e 2

g

C e 2 +

q v

π D 2b 2 tan β2

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Evolution de la hauteur théorique idéale en fonction du débit

Pour une vitesse de rotation ωr donnée, on a C e 2 = Cte , alors H th ∞ est une fonction

linéaire de q v dont la pente dépend de l’angle β2 et dont l’ordonnée à l’origine estC

2e 2

g

comme indiqué ci dessous :

π

2β<

π

2β>

π

2β=

H th

qv

Ce2

g

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Evolution de la puissance théorique idéale en fonction du débit

℘th ∞ = q m W n 1→2= ρgq v H th ∞ = ρC e 2

q v C e 2 + q

2

v

π D 2b 2 tan β2

π

2β<

π

2β>

π

2β=

P th

q v

On peut ainsi voir que pour obtenir un accroissement de débit ∆q v , l’accroissementde puissance ∆℘th ∞ sera plus faible pour les aubes courbées vers l’arrière.

Cette remarque est un nouvel avantage pour les aubes courbées vers l’arrière parrapport aux aubes courbées vers l’avant.

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Influence du nombre d’aubes

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Nous avons mis en évidence au chapitre 1 les limitations de la théorie d’Euler.

L’angle de sortie réel des filets fluides n’est pas β2 mais un angle β2 dévié de 5◦ à10◦

.

La hauteur théoriquement disponible en sortie de roue est plus faible que celledéfinie par la théorie d’Euler.

On appellera H th la valeur moyenne de cette hauteur pour les filets fluides.

Introduction d’un coefficient de glissement ε tel que :

ε =C gir 2

C gir 2∞

=H th

H th ∞

Le coefficient de glissement ε dépend du nombre d’aubes, de leur forme et de l’angle β2.

Si le débit n’est pas trop faible, on peut admettre que ε est indépendant du débit et

vaut pour les pompes courantes de 0,7 à 0,8.

De l’écriture de ε on tire :

H th = εH th ∞ = εC e 2

C e 2 + q v

π D 2 b 2 tan β2

℘th = ε℘th ∞ = ερC e 2 q v C e 2 + q 2v

π D 2b 2 tan β244/85

Pertes d’énergie et conditions de fonctionnement

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



L’écoulement, les transferts d’énergie et les transformations d’énergie ne peuvent

s’effectuer sans perte énergétique.Dans chaque machine, il existe un point de fonctionnement optimal correspondant àun débit volumique q v déterminé, où ces pertes sont minimales et de ce fait, lerendement optimal.

Ce point pour lequel la distribution des pressions statiques autour de la roue est àpeu près uniforme est très voisin de celui pour lequel il y a entrée sans choc, lequelcorrespond au débit volumique d’adaptation q

v a

.

Par ailleurs en fonctionnement réel, on constate que la roue peut créer unepré-rotation du fluide du fait d’une action en amont de l’aire d’aspiration.

Cette pré-rotation est en général positive pour les faibles débit, soit dans le mêmesens que le sens de rotation de la roue, négative pour les forts débits.

Ceci peut alors se superposer aux problèmes de cavitation que nous avons énoncésauparavant.

Lors de la conception d’une machine, il faut considérer l’ensemble roue-diffuseursachant que cet ensemble se comportera convenablement au point optimal defonctionnement.

En dehors de ce point, les pertes augmentent rapidement et des décollementspeuvent se produire dans les aubes.

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Pertes d’énergie et conditions de fonctionnement

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Différentes pertes rencontrées

Les différentes pertes que l’on rencontre sont :

Les pertes hydrauliques : Chocs, tourbillons, frottement du liquide dans son passage à

travers la machine

Les pertes par frottement du disque : Frottement de la roue sur le liquide qui l’entoure

Les pertes volumétriques : Fuites ou courts-circuits de liquide à travers les jeux existant

entre les organes fixes et mobiles de la machine

Les pertes mécaniques : Paliers, roulements et frottements aux étoupes.

vq

puissance

perdue

pertes hydrauliques

pertes volumétriques

pertes mécaniques

Pour une pompe donnée, la puissance fournie par le moteur d’entraînement est la sommede la puissance nette et des différentes puissances perdues en valeur absolue.

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Les pertes hydrauliques

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Pertes de charge

Elles dépendent du nombre de Reynolds et de la rugosité de la conduite :

ϕ =1

4

λP e

S

l C 2∞

2g

avec :

λ coefficient de perte unitaire

S section moyenne de passage

P e périmètre mouillé

l longueur du canal

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Les pertes hydrauliques

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Pertes par choc

Elles résultent d’un problème de direction des vitesses entre la sortie de la roue et l’entréedans le diffuseur :

ϕc = K c

(−→C −−→C )2

2g = K c

C 2c

2g

avec :

K c coefficient géométrique de la roue−→C vitesse absolue théorique−→

C vitesse absolue réelle−→C c composante de choc

La vitesse de sortie de roue est en fonctionnement normal tangente au profil dudiffuseur.

Le choc est dû à une variation de la direction de cette vitesse qui vient alors“percuter” le profil du diffuseur.

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Les pertes volumétriques

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Definition

Le jeu fonctionnel entre l’organe mobile et le corps de la machine génère un débit de fluide

nommé q .

Q

qQ

Q

+q

La conservation du débit Q entre l’entrée et la sortie de la roue fait que la roue doit donner

de l’énergie au débit Q + q pour palier la fuite (q = f (p 1, p 2)).

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Les pertes mécaniques

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Definition

Les pertes mécaniques sont principalement dues aux frottements que l’on retrouveentre toutes les pièces en mouvement relatif les unes par rapport aux autres.

On inclut dans les pertes mécaniques les pertes par frottement du disque.

En effet, le film de fluide compris entre la roue et le corps de la machine est soumis àun champ de vitesse.

On a alors dissipation d’énergie par frottement visqueux entre les parois.

Cette énergie peut se mettre sous la forme :

W p = k ρC 3e r

2

avec k qui dépend à la fois de la largeur du canal entre la roue et le corps et du rayonde la roue.

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Rendements de la pompe

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



La puissance nécessaire sur l’arbre vaut :

℘a = ρg (H n + ϕ1→2) (Q + q ) + |P m |+ |P f |La puissance utile est :

℘n = ρgQH n

Le rendement global de la pompe a pour valeur :

ηgl = ℘n

℘a

= ρgQH n

ρg (H n + ϕ1→2) (Q + q ) + |W m |+ |W f |On retrouve aussi des rendements :

ηm = H n

H th = H n

H n +ϕ1→2rendement manométrique

ηm ∞ = εηm =

H n

H th ∞ rendement manométrique idéalηv = Q

Q +q rendement volumétrique

ηmec =ρg (H n +ϕ1→2 )(Q +q )

℘a rendement mécanique

avec ηgl = ηm ∗ ηv ∗ ηmec .

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Caractéristiques réelles

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Caractéristique réelle d’une pompe

Hth

Hn

Théorie

Courbe réelle

Pertes de charge

Pertes par choc

N=Cte

Hf

H

Point de rendement optimal Point d'adaptation

(entrée sans choc)

qv

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Amorçage d’une pompe

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Definition

Une pompe centrifuge n’est pas auto-amorçante.

Il est donc nécessaire de la remplir de liquide avant mise en route ou de la munird’un dispositif auxiliaire d’amorçage (système d’injection ou pompe auxiliaire à

anneau liquide).

La turbopompe fonctionnant par différence de pression, il est beaucoup plus difficiled’obtenir le ∆p avec de l’air qu’avec un liquide.

En effet la hauteur de fluide nécessaire pour obtenir une même variation de pressionest d’environ 800 fois plus grande avec de l’air (système désamorcé) qu’avec del’eau (système amorcé).

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Données constructives




Chapitre 2

Etude générale :

compression dufluide

Compressiondes gaz



Dimensions principales d’une turbopompe centrifuge

Rayon d’entrée r 0 en considérant que la vitesse axiale −→C 0ne doit pas dépasser 2 à 6m /s selon la hauteur produitede la roue.

Le rayon r 1 vaut à peu près 1 à 1, 15r 0.

b 1 déduit avec−→C 1 supérieure ou égale à

−→C 0 .

Débit pris en compte = 1,

03 à 1,

1q v car on intègre lesfuites internes.

H th ∞ = 1

2g

C 2e 2

+ C e 2W 2 cos β2 − C e 1

C 1 cos α1

C 2 cos α2 = C e 2 + W 2 cos β2

avec α1 = π

2

:

H th ∞ =C e 2

C 2 cos α2

g

b 1 et b 2 du même ordre avec b 2 ≤ b 1.

On choisit alors un rapportr 2r 1

≤2 sauf si la roue tourne

lentement55/85

Tracé de la grille d’aubes

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Les roues peuvent être en métal coulé (fonte, bronze, acier, acier inoxydable...) ou enmatière plastique.

Il est évident que le choix du matériau sera conditionné par les conditions d’utilisationet la nature du fluide mis en jeu (fluide corrosif, hautes températures...).

Le tracé des aubages est effectué à partir des angles

β1et

β2qui ont été calculés

en fonction des vitesses d’entrée et de sortie du fluide.

Plusieurs méthodes existent pour effectuer le tracé et sont habituellement le résultatde considérations empiriques et expérimentales et font partie des “secrets defabrication”.

Certains consistent à faire évoluer linéairement β1 vers β2, d’autres s’efforcent deréaliser un transfert continu de l’énergie de l’entrée vers la sortie de la roue

(croissance linéaire ou parabolique de la puissance transmise avec le rayon).

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Le diffuseur

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Definition

Organe destiné à transformer l’énergie cinétique du fluide en sortie en une pression.

Il est constitué s’il est “lisse” par deux surfaces de révolution entourant la roue etentre lesquelles le fluide décrit des spirales divergentes.

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Le diffuseur

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Definition

Le diffuseur peut être muni d’un certain nombre d’aubes (5 à 10), il est alors nommé“diffuseur à ailettes” et son efficacité est augmentée pour un encombrement réduit

Dans le cas de pompes multi-cellulaires, le diffuseur est à ailettes et oriente le fluidevers l’entrée de la roue suivante.

En sortie du diffuseur de la dernière roue, le fluide débouche dans une conduiteenroulée sur elle même et dont la section augmente proportionnellement au débit ;c’est la volute.

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M hi

Contenu du cours

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz







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Machines

Compresseurs centrifuges et axiaux

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



La conception des turbocompresseurs est analogue à celle des machines véhiculantdes fluides incompressibles, leur fonctionnement diffère en raison de lacompressibilité du fluide et des phénomènes thermiques qui entrent en jeu.

Le taux de compression d’un compresseur centrifuge variera de 2,5 à 10, alors quele taux de compression d’un compresseur axial varie de 1,15 à 1,3.

Ainsi, pour les faibles taux de compression, la masse volumique du fluide variera peuet les effets thermiques étant faibles, on pourra en première approximationconsidérer ρ = Cte , comme pour les pompes et les ventilateurs.

Pour obtenir des augmentations notables de pression, il y a lieu d’associer plusieursétages au moyen de plusieurs roues mobiles montées par exemple sur le mêmearbre moteur.

On obtient ainsi des turbomachines multi-cellulaires dont on peut grouper ensembleles étages en corps séparés : basse pression, moyenne pression et haute pression.

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Machines

Compresseurs centrifuges et axiaux

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Equation générale

∆H + ∆E c + ∆E p =0

= W i 1→2 + Q e 1→2

En admettant une évolution adiabatique, à la traversée de l’organe mobile, onobtient :

∆H + ∆E c = W i 1→2

et à la traversée de l’organe fixe :

∆H + ∆E c = 0

Comme pour les pompes, on peut introduire une hauteur de fluide qui est la hauteurde compression :

H ∗n =

W i

g

qui compte tenu de l’équation d’Euler se met sous la forme :

H ∗n =

1

g (C e 2 C gir 2 − C e 1 C gir 1 )

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Machines

Compresseurs centrifuges

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Influence de la forme des aubes

Comme pour les pompes centrifuges nous retrouvons une grille d’aubes mobile et un

diffuseur fixe muni ou non d’ailettes.

Dans la plupart des machines, l’angle α1 est voisin deπ 2

, ce qui a pour effet

d’éliminer le terme C e 1 C 1cos α1 dans l’expression de H ∗n .

Le travail de compression à fournir est alors de la forme :

W i 1

→2

= C e 2 C gir 2

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Machines

Compresseur centrifuges

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ac esMécaniques etTurbomachines

Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Pour que ce travail soit relativement important

Augmenter C e 2 en augmentant le rayon de la roue et/ou la vitesse de rotation de lamachine ce qui peut générer des problèmes d’effet centrifuge sur le matériau, maiségalement l’adaptation des paliers pour les grandes vitesses de rotation (latechnologie s’oriente vers les paliers fluides).

Augmenter C gir 2 en jouant sur l’orientation des aubes de la roue mobile. On aC gir 2 = C e 2 + W 2 cos β2 ce qui pourrait nous amener à utiliser des aubes inclinées

vers l’avant ( β2 <π 2

). On retrouve cependant les mêmes effets de l’inclinaison desaubes que pour l’étude des pompes, c’est à dire une diminution du degré de réactionet la nécessité d’utiliser un diffuseur important.

Il devient alors très fréquent de rencontrer des roues mobiles à aubes radiales

β2 = π 2 qui résistent mieux aux effets centrifuges.

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Machines


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Mécaniques etTurbomachines

Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



On classe les compresseurs centrifuges en deux familles principales :

Les compresseurs à admission axiale

Les compresseurs à admission radiale

Admission axiale

Taux de compression élevé.

Déviation de π 2 dans chaque étage.

Possibilité d’une “avant-roue” tournant à la même vitesse que la roue centrifugemunie d’ailettes judicieusement orientées pour donner à la vitesse, une inclinaisonconvenable à l’entrée de la roue qui est elle munie d’ailettes radiales.

La hauteur de compression est obtenue en appliquant la théorie d’Euler dansl’ensemble “avant-roue/roue-mobile”.

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Machines


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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Admission radiale

La déviation deπ 2

de l’écoulement de fluide se fait en amont de la roue mobile, c’està dire dans la veine d’aspiration.

L’entrée du fluide dans la roue mobile se fait alors à la vitesse absolue radiale−→C 1 , ce

qui fixe la direction de W 1 et par là même le profil des aubages.

Les aubes sont courbées vers l’arrière ce qui fait que les effets centrifuges sont plusimportants que dans le cas précédent où les aubes étaient radiales.

Ce type de roue ne peut donc tourner très vite (ce qui limite les possibilités decompression), suivant le matériau utilisé pour sa fabrication.

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MachinesMé i t

Compresseurs axiaux

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



La particule de fuide traverse la roue en restant à la même distance de l’axe de rotation

H ∗n =C e

g (C gir 2 − C gir 1 )

Pour la compression seul C gir varie. Comme ∆C gir ne peut être qu’une fraction de C e , lespossibilités de compression d’un étage axial sont bien inférieures à celle d’un étagecentrifuge.Plusieurs étages axiaux sont necessaires là où un seul étage centrifuge suffit.

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MachinesMécaniques et

Compresseurs axiaux

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Avantages et inconvénients

L’avantage du compresseur axial par contre réside dans la possibilité d’avoir un débitpratiquement illimité.

Un compresseur axial se composera donc d’une suite d’étages axiaux disposés ensérie chacun comprenant une roue à aube mobile (rotor) et une roue à aube fixe(stator), tous ces étages étant calculés pour adapter parfaitement leurs conditions defonctionnement à celles des étages en amont et en aval.

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Ecoulement bidimensionnel, degré de réaction

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Definition

Considérons une compression adiabatique dans un étage de compresseur axial.

Supposons cet étage périodique, c’est à dire que la vitesse absolue−→C 1 à l’entrée du

rotor est égale à la vitesse absolue

−→C

3à la sortie du stator.

Entre (1) et (2), le Premier Principe de la Thermodynamique permet d’écrire alors :

H 2 − H 1 = C e (C gir 2 − C gir 1 )− C 22 − C 21

2

On trace alors le diagramme des vitesses de la roue du compresseur.

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Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Ce1 = Ce2 = Ce

Ce1 = Ce2 = Ce

ΔC gir

W gir1

W gir2

Cgir1Cgir2

W 1

W moy

2

C

C

C

C

moy

1

2

C 3=

C e

Cgir moy

W girmoy

ΔW gir

ax

W

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qTurbomachines

Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Ce1 = Ce2 =C e

Ce1 = Ce2 = Ce

ΔC gir

W gir1

Wgir2

Cgir1Cgir2

W 1

W moy

2

C

C

C

C

moy

1

2

C 3=

C e

Cgir moy

Wgir moy

ΔWgir

ax

W

H 2 − H 1 = C e (C gir 2− C gir 1 )− C 22 − C 21

2

avec :C

22 = C

2ax 2

+ C 2gir 2

et C 21 = C

2ax 1

+ C 2gir 1

soit :

C 22 − C

21 = C

2gir 2− C

2gir 1

= (C gir 2 − C gir 2 ) (C gir 2 + C gir 1 )

= 2∆C gir .C gir moy

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Turbomachines

Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Ce1

= Ce2

=Ce

Ce1 = Ce2 = Ce

ΔC gir

W gir1

W gir2

Cgir1Cgir2

W 1

W moy

2

C

C

C

C

moy

1

2

C 3=

C e

Cgir moy

W gir moy

ΔW gir

ax

W

H 2 − H 1 = C e (∆C gir )− 1

2

2∆C gir .C gir moy

comme :

∆C gir = ∆W gir et C e = C gir moy + W gir moy

= 2W gir moy

alors :

H 2 − H 1 = 2W gir moy ∆W gir − ∆W gir W gir moy

= ∆W gir W gir moy

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MachinesMécaniques etT b hi


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Turbomachines

Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Ce1 = Ce2 =C e

Ce1 = Ce2 = Ce

ΔC gir

Wgir1

Wgir2

Cgir1Cgir2

W1

Wmoy

2

C

C

C

C

moy

1

2

C 3=

C e

Cgir moy

Wgir moy

ΔW gir

ax

W

On obtient alors :H 2 − H 1 = ∆W gir W gir moy

Pour ce qui est du diffuseur, entre (2) et (3) on a :

H 3 − H 2 = −C 23 − C 22

2

Entre (1) et (3) soit l’étage complet :

H 3 − H 1 = C e ∆W gir

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Turbomachines

Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Pour distinguer alors dans la compression totale, la contribution du stator et celle durotor, on définit le degré de réaction σ de l’étage tel que :

σ =H 2 − H 1

H 3 − H 1

ce qui correspond au rapport de l’accroissement d’enthalpie dans le rotor surl’accroissement d’enthalpie dans l’ensemble stator+rotor.

σ =W gir moy

C e

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Influence du degré de réaction sur le rendement

Definition

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Turbomachines

Chapitre 2

Etude générale :


Compressiondes gaz



Definition

Le rendement aérodynamique d’un étage dépend de la manière dont s’écoule le fluideautour des aubes et par conséquent de la distribution des vitesses en grandeur et endirection autour des organes fixes et mobiles.

Trois dispositions d’un étage de machine axiale traversée par un même débit, et ayant unemême vitesse de rotor

Etudions trois dispositions d’un étage de machine axiale traversée par un mêmedébit, et ayant une même vitesse de rotor.

On suppose que−→C 1 =

−→C 3 ce qui implique que ∆W gir donnée par le rotor est égale

et opposée à ∆C gir donnée par le rotor.74/85



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Turbomachines

Chapitre 2


Compressiondes gaz



Diagrammes des vitesses

Même hauteur de compression H ∗n .

fig a : rotor avant le stator, −→C axiale à l’entrée/sortie de l’étage ; 0, 5 < σ < 1

fig b : stator avant le rotor,−→C axiale à l’entrée et à la sortie de l’étage ; σ > 1

fig c : stator avant le rotor, le diagramme des vitesses est symétrique ; σ = 0, 5

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



Le fluide subit une déviation mesurée par l’angle entre les vitesses relatives W 2 etW 3.

Cet angle est minimal dans la disposition (b), ce qui permet d’avoir une aube de rotorpeu cambrée. Cependant comme le calage de l’aube est important par rapport à lavitesse axiale, les vitesses relatives sont relativement grandes.

La disposition (c) présente la plus grande déviation, mais en revanche les vitessesrelatives sont les plus faibles. En écoulement réel, les deux facteurs déviation etvitesse relative jouent un rôle important dans la production des pertes d’énergie,

aussi bien dans le stator que dans le rotor. Le rendement de l’étage du compresseurest alors influencé par le degré de réaction.

Dans la théorie des grilles d’aube planes, nous avons défini la perte de charge dansl’écoulement réel par la relation :

ϕ1

→2 =

C x l

p

C 2moy

2 sin

α∞d’où une perte de charge en hauteur :

∆H =1

2g

C x l

p

C 2moy

sin α∞

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



En considérant l’étage complet du compresseur, on obtient alors :

∆H = ∆H s + ∆H r

avec ∆H s perte de charge dans le stator et ∆H r perte de charge dans le rotor, soit :

∆H =1

2g C x l

p s

C 2moy

sin α∞+

C x l

p r

W 2moy

sin β∞Le rendement se définit à partir de la relation :

η =H n − ∆H

H n

→ 1− η =∆H

H n

Comme H n =

W n

g =

C e ∆W gir

g , on obtient alors :

1− η =∆H

H n

=1

2C e ∆W gir

C x l

p

s

C 2moy

sin α∞+

C x l

p

r

W 2moy

sin β∞

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



On a vu dans la définition des coefficients de sustentation et de traînée :

C z l p

s = 2

∆W gir

C moy C z

l

p

r

=2∆W gir

W moy

On obtient alors l’expression suivante :

1− η = 12C e ∆W gir

C x l p

s

C

2

moy

sin α∞+ C x l

p

r

W

2

moy

sin β∞

=1

2C e

C x

C z

s

C moy

sin α∞+

C x

C z

r

W moy

sin β∞

avecC x

C z = tan ε ε (inverse de la finesse du profil) etC moy sin α∞ = C a = W moy sin β∞ d’où l’écriture suivante :

1− η =C a

C e

εs

sin2 α∞+

εr

sin2 β∞

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



En travaillant sur le diagramme des vitesses et en posant αm = π 2

−α∞ et

βm = π 2 − β∞, on obtient alors :

C e

C a

= tan βm − tan αm et C a

C e

= Φ

Le degré de réaction σ =W gir moy

C e s’écrit alors sous la forme :

σ = Φ tan βm

d’où : tan βm = σ

Φtan αm = tan βm − 1

Φ

On peut alors remplacer α∞ par π 2 − αm , β∞ par π

2 − βm et 1cos2 par tan2 +1 :

1− η =1

Φ((ε r + εs ) σ

2 − 2εs σ + εs ) + (εr + εs )Φ

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En considérant que ε et ε sont constants les variations de η en fonction de σ pour

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Chapitre 2


Compressiondes gaz



En considérant que ε r et εs sont constants, les variations de η en fonction de σ pour

un Φ donné sont représentées par une parabole dont le maximum est atteint pour :

σ =εs

εs + ε r

On en sort également :

tan αm =

−εr

εs +εr

1

Φ

tan βm = εs εs +εr

1

Φ

1− ηmaxi = 1

Φ

εs εr

εs +εr

+ (ε r + εs )Φ

Le rendement maximal de l’étage est une fonction du coefficient de vitesse Φ.QuandΦ varie, sa valeur optimale est obtenue pour :

Φ =√εs ε r

εs + ε r

tan βm = − 1

tan αm = εs

εr

1− ηopt = 2√εs εr

Dans ces conditions optimales, on a βm − αm = π 2

, c’est à dire que W moy et C moy

sont orthogonales.

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Chapitre 2

Etude générale :compression du

fluide

Compressiondes gaz



Remarques sur le rendement

On admettra souvent εr = εs = ε et les relations précédentes se réduisent alorsà :

rendement maximal

σ = 1

2

tan βm = − tan αm = 1

2Φ

1

−ηmaxi = εs 2Φ+ 1

2Φ

Le partage de la compression s’effectuera en parties égales entre le rotor et le stator,et les vitesses W moy et C moy sont alors symétriques par rapport à la vitesse axiale.

rendement optimal

Φ = 1

2

βm = −αm = π 4

1

−ηopt = 2ε

La vitesse axiale est égale à la moitié de la vitesse d’entraînement.

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Travail théorique

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Chapitre 2


fluide

Compressiondes gaz



On peut appliquer pour les compresseurs axiaux la même théorie que pour lespompes axiales. Pour un étage, on a alors :

W i 1→2= C e ∆C gir =

C 22 − C 21

2− W 22 −W 21

2

Aux pertes près on a :

W i 1→2= W n 1→2

=

2

1

dp

ρ+

C 22 − C 21

2

D’où on sort l’expression du travail de transvasement W T 1→2:

W T 1→2 = 2

1

dp ρ = −W

2

2 −W

2

1

2

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Ch i 2

Compresseur à aubes courtes et longues

C à b t

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Chapitre 2


fluide

Compressiondes gaz



Compresseur à aubes courtes

Les compresseurs sont considérés à aubes courtes lorsque la longueur h des aubesest petite devant le rayon moyen r m .

En pratique, on considèreh

r m < 0, 25 dans ce cas les grilles sont considérées

comme cylindriques et le pas de grille p ainsi que la vitesse d’entraînement C e sontconsidérés constants sur tout h .

Les filets fluides ont tous les mêmes caractéristiques.

Compresseur à aubes longues

Dans un grand nombre de compresseurs axiaux, la hauteur des aubes n’est pasfaible vis à vis du rayon moyen.

Le comportement du fluide n’est donc pas cinématiquement identique sur la hauteurde l’aube.

Il faut alors considérer un écoulement tridimensionnel pour prendre en compte lesdifférentes couches de fluide.

En pratique, on isole successivement les couches, c’est à dire qu’on considèrera unempilement d’aubes courtes dans lesquelles on pourra modéliser l’écoulement dufluide.

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Chapitre 2

Compresseur périodique


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Chapitre 2


fluide

Compressiondes gaz



Un compresseur sera dit périodique si :

La vitesse axiale est constante de grille en grille (la variation de masse volumiquereste négligeable)

La vitesse en entrée de rotor et la vitesse en sortie de stator sont égales−→C 1 =

−→C 3 .

Si on trace alors le diagramme des vitesses d’un étage de compresseur périodique pourlequel α1 = π − β2 et α2 = π − β1 on obtient le diagramme ci-dessous :

Le résultat est un trapèze isocèle pour lequel le degré de réaction vaut 0,5 ; ce qui signifieque le rendement est maximal. Les aubages fixes et mobiles sont donc identiques.

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Chapitre 2


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fluide

Compressiondes gaz



Remarque sur le compresseur périodique

Le schéma idéal d’un compresseur entièrement périodique est rarement utilisé.

On cherche en effet à faire évoluer le travail indiqué et la vitesse axiale pour

s’afranchir des variation de ρ lors de la compression et essayer d’annuler lacomposante tangentielle de la vitesse à la sortie du dernier étage.

On est alors ammené à construire des compresseurs avec des roues comportantdifférents diamètres et calages d’aubes.

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