Slides SSR2012

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Evaluation de performances stochastiques des réseaux Intervenant: Ye-Qiong SONG ([email protected]) Objectif : Techniques nécessaires (Files d’attente, simulation) à l’évaluation de performances des réseaux (et systèmes distribués) Contenu : - Rappel des probabilités, Chaînes de Markov - Théorie des files d’attente, file M/G/1 - Simulation à événements discrets - Evaluation de performances des réseaux (commutation) - Evaluation des protocoles d’accès aléatoire (type CSMA) Pré-requis de la partie stochastique: - Probabilité et processus stochastiques, [Théorie des files d’attente] - Réseaux

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  • Evaluation de performances stochastiques des rseaux Intervenant: Ye-Qiong SONG ([email protected]) Objectif : Techniques ncessaires (Files dattente, simulation) lvaluation de

    performances des rseaux (et systmes distribus) Contenu :

    - Rappel des probabilits, Chanes de Markov - Thorie des files dattente, file M/G/1 - Simulation vnements discrets - Evaluation de performances des rseaux (commutation) - Evaluation des protocoles daccs alatoire (type CSMA)

    Pr-requis de la partie stochastique:

    - Probabilit et processus stochastiques, [Thorie des files dattente] - Rseaux

  • Introduction la modlisation et lvaluation de performances Systmes vnements discrets : Systmes dcrits par variables dtat discrtes. Les changements dtat se produisent sous occurrence des vnements Exemples :

    - nombre de clients dans la file dattente devant un guichet (vie quotidienne), - nombre de processus dans un CPU (systme informatique), - nombre de pices en stock ou en traitement sur des machines (systme de production), - nombre de messages ou paquets en attente dans les nuds de rseaux (rseaux de

    communication) - etc

    Evaluation de performances des rseaux: calculer des paramtres de performances

    - temps de rponse dun client (message ou paquet) - dbit : taux dutilisation dune liaison rseau - nombre de clients (message ou paquet) dans un nud rseau (occupation de mmoire)

  • Paramtres de performances dfinis dans la QoS : Bandwidth : Peak Data Rate (PDR), Sustained Data Rate (SDR), Minimum Data Rate

    (MDR) Delay: End-to-End or Round-Trip Delay, Delay Variation (Jitter) Reliability: Availability (as % Uptime), Mean Time Between Failures/Mean Time To

    Repair (MTBF/MTTR), Errors and Packet Loss Types de rsultats :

    - valeur moyenne - variance - distribution de probabilit (renseignement complet dune variable alatoire) - valeur maximale (pour garantie dterministe, QoS dans les rseaux)

    Pourquoi valuer les performances dun systme ?

    - en conception, satisfaire le cahier des charges - en exploitation, rendre le systme plus performant - en recherche, justifier lintrt dune nouvelle solution (algorithmes, protocoles,

    architectures, )

  • Comment valuer les performances dun systme ? - modliser : dcrire le systme dans un formalisme en fonction du besoin

    danalyse (Files dattente, Rseaux de Petri, automates stochastiques, ) - analyser :

    o analyse qualitative (pour vrifier les proprits structurelles et comportementales tq. Vivacit, stabilit, )

    o analyse quantitative mthodes analytiques (FdA, automates stochastiques, ) simulation

    SYSTEME

    MODELE

    CARACTERISATION DE FLUX

    Rsolution (simulation, analytique)

    Modlisation

    Validation, optimisation, ...

    RESULTATS

  • Formalismes : Rseaux de Petri temporiss et stochastiques vs. Rseaux de FdA

    1

    P1

    T1

    1

    1

    T1

    1 dpart

    consommation

    arrivet0t1t2

    PO1

    PL1

    PO2PO3

    PL2PL3

  • Modlisation (modle vs. Systme rel) : - Performances obtenues sont celles du modle et non celles du systme rel ! - Compromis entre adquation modle-systme et facilit danalyse du modle

    systme

    M1 Trs fidle Non exploitable

    M2 Assez fidle Relativement exploitable

    M2 Peu fidle Trs exploitable

  • Caractrisation stochastique des systmes En ralit, tous les systmes sont dterministes (prvoir leur volution avec certitude) Dans la pratique, on ne dispose pas toutes les informations ncessaires, ou lanalyse fine est

    trop complexe. On fait recours alors la notion dalatoire. Il sagit de remplacer les informations

    manquantes ou trop complexe exploiter par une caractrisation stochastique (probabiliste) Exemple 1 : lanc dun d

    o Forme et texture de la surface o Position initiale dans la main o Mouvement exact de la main pendant le lancer o Lois de frottement du d sur la main, dans lair et sur la table ==> Ecrire les quations mcaniques rgissant le mouvement du d, et les rsoudre ==> valeur sur laquelle sarrtera le d ! o Caractrisation exacte est impossible o Probabilit 1/6 pour reprsenter son comportement moyen

    Exemple 2 : routage des paquets dans les rseaux o Si ladministrateur ne sintresse qu la charge moyenne de chaque lien de sortie dun

    routeur o Routage dterministe peut tre remplac par routage probabiliste

  • Exemple de modliser un commutateur

    RAM Proc

    A

    B

    X

    Sources Stations Mdium TXRAM

    Sortie A

    Sortie B

    Sortie X

    Mdium TX

    Commutateur

    Matrice de trafic (nombre de paquets / seconde)

    de vers A B X

    A 5 8 B 7 10 X 1 1 100

  • Mthodes de rsolution

    - Simulation o Par programmation en langages gnraux : C, Java, o Outils autour des FdA : JMT (http://jmt.sourceforge.net/ ), Opnet

    (www.opnet.com), ns2 et 3 (www.isi.edu/nsnam), OMNeT++ (www.omnetpp.org),

    - Analytique o Analyse probabiliste, thorie des FdA, rsultats statistiques o Analyse dterministe (exemple : analyse dordonnanabilit dans

    le pire cas, Network calculus ou Algbre max/min, +), rsultats du type bornes suprieures

    - Mesure de performance (si le systme existe)

    o Wireshark (ex Ethereal),

  • Les attentes dans un rseau et les paramtres de performances:

    Rseau dinterconnexion Station mettrice

    Gnrateur de

    messages

    Station rceptrice

    Rcepteur de

    messages

    Rseau local

    Commutateur/routeur

    Dlai de bout en bout

    Dlai du rseau dinterconnexion

    Wq

    Wq

    Dtx Dprop

  • Trafic dans les rseaux, performances moyennes (probabilistes) et la garantie de QoS Un exemple :

    Source interarrive ordonnancement Taux de service:

    c bit/s

    Taille de paquets alatoire ou constante

    Objectif de lvaluation de performances : fournir une garantie sur le temps de traverse du systme dun paquet

    Si pas de connaissance sur le trafic dentre dans la file dattente, aucune garantie possible Si connaissance stochastique sur le trafic, garantie probabiliste ou temps de traverse

    moyen - Si interarrive exponentielle et taille de paquets distribue exponentiellement, file M/M/1 - Si interarrive exponentielle et taille de paquets constante, file M/D/1

    Si on veut une garantie absolue, il faut plus de connaissance sur le trafic dentre. Par exemple, trafic priodique ou priodique avec des gigues (cf. ordonnancement). Ce type de trafic est souvent difficile obtenir cause des comportements non dterministes des quipements rseaux.

  • Dans la pratique on peut implmenter un limiteur de trafic (Leaky bucket)

    Source A interarrive

    Taux de service: c bit/s

    Dbit =

    Bufferis ou rejet

    Source B

    Attention : la garantie est donne vis vis de source B mais non plus source A La source B est dite (, )-born avec la taille de rafale et le dbit moyen. Le trafic entrant durant [0, t[ est alors born par : B(t) = + t

  • Partage de ressources rseaux (liens de sortie dun nud)

    Serveur de capacit c

    S1

    S2

    SN

    .

    .

    .

    ordonnancement

    interarrive Flux et contraintes :

    Priodique ou sporadique: date initiale quelconque (Ci, Ti) ou fixe (ri, Ci, Ti) Priodique avec gigues : (Ci, Ti, Ji) ou (ri, Ci, Ti, Ji) ( i, i)-born Alatoire avec un temps moyen dinter-arrive Ti et un temps moyen de service Ci

    La quantit du travail apporte par un client est dfinie par Wi avec notamment /i iC W c= .

  • Modle de base :

    a(t) = A(t) A(t 1) c q(t)

    S

    Equation de Lindley :

    q(t + 1) = max(0, q(t) + a(t + 1) c) ou

    q(t + 1) = (q(t) + a(t + 1) c)+ avec x+ = max(0,x)

    t

    q(t)

    1 2 3

    t-1 t t+1 t+2

    t

    6 5 4 3 2 1

    Une borne possible pour majorer le flux dentre

    A(t)

    q(t)

  • File dattente :

    Serveur 1

    Serveur 2

    Serveur c

    ServicePopulation de clients

    Flux d'entre

    File d'attente

    Serveur 1

    Serveur c

    !

    "

    q

    Nq

    w

    Ns

    temps dans le systme

    s temps de service

    nb. de clients en service

    nb. de clients dans la filetaux d'arrive

    temps d'interarrive

    N nb. de clients dans le systme

  • Notation de Kendall : A/B/m/K/N/Z

    A : Processus d' arrive des clients (distribution dinterarrive). B : Schma de service (distribution de dure de service de clients). m : nombre de serveurs. K : capacit maximale de la file dattente. N : nombre de clients utilisant le systme. Z : discipline du systme qui dcrit la faon dont les clients sont ordonnancs.

    Pour les arrives et les services on utilise les symboles suivants: - M : loi exponentielle. - D : loi dterministe. - G : loi gnrale. - Hk : loi hyperexponentielle d'ordre k . - Ek : loi d'Erlang d'ordre k .

    Le nombre de serveurs peut varier de 1 l'infini (not ), de mme pour K et N . En ce qui concerne Z, les ordonnancements les plus utiliss sont:

    - FIFO (First In, First Out). - LIFO (Last In, First Out). - RANDOM: le prochain client servir est choisi alatoirement. - Round-Robin (cyclique avec un quantum Q). - PS (Processor Sharing): Round-Robin avec Q tend vers 0. Tous les n clients servis en mme temps

    avec un taux /n. - PRIOR (Avec priorit, avec premption ou sans premption).

  • Rsultats gnraux :

    Nq

    q

    N

    W

    Condition de stationnarit : < Formules de LITTLE :

    E(N) = E(W) et

    E(Nq) = E(q)

    E(W) = E(q) + 1/

  • Probabilits lmentaires (rappel) - : lunivers des vnements - A (ou ) : un sous-ensemble de - P[] = 1, P[] = 0 - Les oprations des ensembles classiques

    P[A! B]= P[A]+ P[B], si A! B =!P[A]+ P[B]" P[A! B], sinon

    #$%

    &%

    P[A! B]= P[A]P[B], si A et B sont indpendantes

    Probabilit conditionnelle :

    P[A B]= P[A! B]P[B]

    Probabilit totale :

    Aii!E! ="; Ai ! Aj =#, $i % j ; P[B]= P

    i!E! [B Ai ]iP[Ai ]

  • Exemple de la probabilit conditionnelle de B sachant que A est ralis : On lance un d : = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Soit A lvnement : le rsultat est impair ; A = {1, 3, 5} Soit B lvnement : le rsultat est infrieur ou gal 3 ; B = {1, 2, 3}

    A! B ={1,3} P[A! B]=16+16=13

    P[A]= 36=12

    P[B]= 36=12

    Si A est ralis, cest que lon tire soit 1, soit 3, soit 5 ; B est alors ralis si on a tir soit 1, soit 3 (mais pas 5), cest dire si A! B est ralis. La probabilit de B sachant que A est ralis est alors 2/3.

    P[B A]= 23=

    1312

    =P[A! B]P[A]

  • Variables alatoires (rappel) Une v.a. X prend la valeur lissue dune exprience alatoire (e.g. loto). A chaque vnement de , on associe un nombre X() E (espace fini ou infini). X est une application probabilisable de lespace (, P) dans E. Exemple : Exprience alatoire du lancer dun d. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} v.a. : X() = -1 si 3 X() = 1 si 4

    E = {-1, 1} Probabilit que X prenne une des valeurs de E :

    P[X=x] = P[{ t.q. X()=x}, xE]

  • Deux types de v.a. : Discrte et Continue :

    - v.a. discrte X, E ! !

    probabilit dtat : p(n) = P[X=n], n = -, , +, avec ( ) 1n

    p n+

    =

    =

    - v.a. continue X, E ! ! fonction de densit de probabilit :

    ( )Xf x pour x [-, +], avec ( ) 1Xf x dx

    =

    0

    [ ]( ) limXx

    P x X x xf xx

    < + =

    - X est une v.a. valeur positive : Cas discret : p(n) = 0, n = -, , -1 Cas continu : ( ) 0Xf x = pour x [-, 0[

  • Fonction de rpartition FX(x) = P[Xx] - Une v.a. est parfaitement caractrise par sa fonction de rpartition - FX(x) 0 pour tout x - FX(x) FX(y) pour tout xy - FX(-) = 0 et FX(+) = 1 - P[a < X b] = FX(b) - FX(a) pour tout a b

    Cas discret :

    1

    [ ] ( ) ( ) ( )m

    X Xk n

    P n X m p k F m F n= +

    < = = Cas continu :

    [ ] ( ) ( ) ( )b

    X X XaP a X b f y dy F b F a< = =

  • Les moments, Esprance et Variance Cas discret :

    [ ] ( )n

    E X np n+

    =

    =

    [ ] ( )k kn

    E X n p n+

    =

    = Cas continu :

    [ ] ( )XE X xf x dx+

    =

    [ ] ( )k k XE X x f x dx+

    =

    - Une v.a. est parfaitement caractrise par tous ses moments - La variance V[X] et lcart-type [X] :

    V[X] = E[X2] (E[X])2 [ ] [ ]X V X =

    - Le coefficient de variation cv[X] : [ ][ ][ ]Xcv X

    E X

    =

  • Les lois de probabilit (rappel) Loi gomtrique modifie : v.a. discrte de paramtre a ayant P[X=n] = an(1-a) ; n = 0, 1, Interprtation : X : nombre de tirages conscutifs de pile P[X=n] : probabilit de tirer pile exactement n fois de suite a : probabilit de tirer pile 1-a : probabilit de tirer face

    1[ ] [ ]

    1naE X nP X na

    =

    = = =

    2[ ] (1 )aV Xa

    =

    Exercice : dmontrer ces deux proprits ci-dessus. Loi gomtrique de base : P[X=n] = an-1(1-a) ; n = 1, 2,

  • Proprit sans mmoire de la loi gomtrique : P[X n+n0 X n0] = P[X n] Explication : Ce nest pas parceque lon a dj tir 50 fois de suite pile que lon a plus de chance, au coup suivant, de tomber sur face . La pice ne garde pas la mmoire des tirages prcdents ! Il sagit de la seule loi discrte sans mmoire Loi de Poisson

    v.a. discrte X de paramtre , ayant [ ] !

    n

    P X n en

    = = Proprit : E[X] = V[X] = Exercice : dmontrer cette proprit. Les lois de Poisson sadditionnent : Z = X + Y, X de 1 et Y de 2

    1 2( )1 2( )[ ]!

    n

    P Z n en

    ++= =

  • Loi exponentielle

    v.a. continue T de paramtre , ayant ( ) ; 0tTf t e t =

    ( ( ) 0; 0Tf t t= < ) Proprit 1 :

    ( ) [ ] ( ) 1t

    tT TF t P T t f x dx e

    = = = Proprit 2 :

    0

    1[ ] ( )TE T tf t dt

    = = Exercice : dmontrer la proprit 2

  • Proprit 3 (sans mmoire) :

    0 0[ ] [ ]P T t t T t P T t + > = Preuve :

    0

    0

    0 0 0 00 0

    0 0

    [ ] ( ) ( )[ ][ ] 1 ( )

    (1 ) 1 [ ]

    T T

    Tt t

    tt

    P t T t t F t t F tP T t t T tP T t F t

    e e e P T te

    < + + + > = =

    >

    = = =

    Interprtation de la proprit 3 : Paradoxe de linspection (exemple de passage de bus). Deux passages conscutifs dun bus suivent une distribution exponentielle de . Si les bus passent en moyenne toutes les 1/ = 15 minutes, et quon attend depuis une heure. Tout ce quon sait dire : le prochain bus narrivera en moyenne que dans 15 minutes ! La loi expoentielle est la seule loi continue sans mmoire.

  • Processus stochastiques (rappel) Un processus stochastique {X(t)}tT est une fonction du temps dont la valeur chaque instant dpend de lissue dune exprience alatoire. A chaque tT, X(t) est donc une v.a.

    - T peut tre discret ou continu - Lensemble de lespace dtat E dans lequel X(t) prend des valeurs peut tre discret (fini ou

    infini) ou continu. Processus de comptage : Un processus stochastique {X} espace dtat discret est un processus de comptage ssi toute ralisation particulire (trajectoire) de X est une fonction croissante, nulle en 0 :

    En discret : X0 = 0 ; Xn-1 Xn, !n " # En continu : X(0) = 0 ; X(t) X(s) , !t < s! !

  • Un processus stochastique est dit incrments indpendants ssi :

    En discret : Xn - Xn-1, Xn-1 - Xn-2,, X1 X0 sont indpendants

    En continu : X(tn) - X(tn-1), X(tn-1) - X(tn-2),, X(t1) - X(t0) sont indpendants Un processus stochastique est dit stationnaire ssi :

    En discret : Xn - Xn-1 et X1 X0 sont distribues selon la mme loi n Z

    En continu : X(s+t) X(s) et X(t) X(0) suivent la mme loi [0, [t et s

  • Processus de Poisson : Une chane temps continu et espace dtat discret {N(t)} est un processus de Poisson de paramtre ssi :

    - {N(t)} est un processus de comptage - {N(t)} est un processus stationnaire et incrments indpendants

    - ( )[ ( ) ( ) ]!

    kttP N s t N s k e

    k + = =

    Arrives Poissonniennes inter-arrives exponentielles Dcomposition et superposition

  • Transforms en z et de Laplace : Pour une v.a. discrte x, sa f.g. :

    0( ) [ ] [ ]x i

    iX z E z z P x i

    =

    = = = o z est une variable complexe. Nous avons lquivalence suivante : f.g. p.d.f. (i.e. P[X=i]). Au fait,

    01 ( )[ ]!

    i

    zi

    d X zP x ii d z =

    = =

    Lintrt de passer par la f.g. est la facilit dobtention des moments dune v.a.

    11 1

    0

    ( )[ ] [ ]iz zi

    dX zE x iz P x idz

    = ==

    = = =

  • 22

    1 12

    ( ) ( )[ ] z zd X z dX zE xd z dz= =

    = + Pour une v.a. continue x, sa f.g. est donne par la transform de Laplace:

    0

    ( ) [ ] ( )sx st xP s E e e f t dt

    = = , quand x est positive.

    00

    ( ) ( ) ( ) ( 1) [ ]j

    j j js xj

    d P s t f t dt E xds

    = = =

  • Chanes de Markov - dfinitions Processus alatoire :

    Un processus alatoire valeurs dans un ensemble E, est une famille de v.a (variable alatoire) Xt valeurs dans E indexes par un paramtre t dcrivant l'ensemble T et on note (Xt ; tT).

    Chane de Markov :

    P[Xt = i Xt1 = i1, Xt2 = i2, , Xtk = ik] = P[Xt = i Xtk = ik] Proprit sans mmoire : L'tat prsent tant connu, l'avenir et le pass sont indpendants. Chanes discrtes et continues :

    - Quand t est discret, chane de Markov paramtre discret (note CMD). - Si t est continu, chane de Markov paramtre continu (note CMC).

  • Modlisation : CM pour dcrire lvolution dun systme vnements discrets CMD instants de changement dtat quidistants tn = nT:

    t t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

    6 5 4 3 2 1

    E

    Xt1=2

    Xt2=5

    CMD instants de changement dtat quelconques :

    t t1 t2t3 t4 t5 t6t7 t8

    6 5 4 3 2 1

    E

  • Processus espace dtat discret et temps continu et CMC des instants dobservation :

    t t0 t1 t2t3 tn-2 tn-1 tn

    6 5 4 3 2 1

    E

  • Exemples des diffrents types de processus stochastiques En temps discret : n Z En temps continu : t[0, +] Espace discret : E N Nombre dappels changs

    suivant le jour de lanne : {An}n=1, 2, , 365

    Nombre de messages arrivant dans lintervalle [0, t] : {N(t)}t>0

    Espace continu : E R Temps moyen de traitement par rapport au jour de la semaine : {Tn}n=1, 2, , 7

    Temps dattente dun message arrivant linstant t : {W(t)}t>0

  • Chanes de Markov paramtre Discret Dfinition 1 : (Xn ; nN) est une CMD ssi

    P[Xn = j Xn-1 = in-1, Xn-2 = in-2, , X0 = i0] = P[Xn = j Xn-1 = in-1]

    pij(m,n) = P[Xn = j Xm = i] CMD est dite homogne si P[Xn = j Xm = i] ne dpend que de n-m pour i et j fixs :

    pij(n) = P[Xn+m = j Xm = i]

    Probabilit de transition en une tape :

    pij = pij(1) = P[Xn = j Xn-1 = i] n N

    Probabilit en sortant dun tat : 1=Ej

    ijp

  • Matrice de transition (P = [pij]i, j E) :

    =

    ....

    ..

    ..

    ..

    .....

    ......

    1

    2221

    11211

    iji

    j

    pp

    ppppp

    P

    Exemple1 : une CMD avec E = {1, 2, 3, 4} et son graphe dtat-transition :

    1

    2

    3

    4

    p12 p23 = 1

    p14

    p31 p33

    p41 = 1

    =

    0001000100

    00

    3331

    1412

    pp

    ppP

  • Exemple 2 : une souris dans un labyrinthe

    1 2

    3 4 5

    SORTIE

    1 2

    4 3 5

    6

    1/2 1/2

    1/2 1/2

    1/4

    1/4

    1/4

    1/4

  • Etat initial : souris place dans la pice 2. Questions :

    1. Quelle est la probabilit quelle soit nouveau dans la pice 2 aprs 4 dplacements ? (2(4) = 3/16) 2. Combien de fois passera-t-elle en moyenne par la pice 3 avant de sortir ou de tomber dfinitivement

    dans la pice 5 ? (R23 = 2) 3. Quelle est la probabilit que la souris trouve un jour la sortie ? (f26 = ) 4. Combien en moyenne fera-t-elle de dplacements pour revenir dans la pice 2 ? (M2 = 5/2)

    Analyse : Rgime transitoire et Rgime permanent

  • Rgime transitoire : - Vecteur de probabilits dtats : (n) = [j(n)] j E = [1(n), 2(n), ...] - j(n) = P[Xn = j]

    Objectif de lanalayse:

    dcrire lvolution du processus depuis ltat initial jusqu ltape n, en passant par toutes les tapes intermdiaires

    j

    (n) = P[Xn = j] = ][][ 11 iXPiXjXP nnEi

    n === =

    Ei

    ijni p)1(

    Forme matricielle: (n) = (n-1)P et (n) = (0)Pn

    Une autre faon pour obtenir cette relation Probabilit de transition en m tapes :

    pij(m) = P[Xn+m = j Xn = i] n N

    j(n) = P[Xn = j] = ][][ 00 iXPiXjXP

    Ein ===

    =

    Ei

    niji p )()0(

    forme matricielle : (n) = (0)P(n)

    montrer : P(n) = Pn

  • Question 1 de lexemple 2, on calcule 2(4) sachant que 2(0) = 1.

    (n) = (0)P(n) 2

    (4) = 2(0)p22(4) = p22(4)

    3 chemins possibles : - 2 4 3 1 2, avec probabilit : (1/2)(1)(1/4)(1/2) = 1/16 - 2 1 2 1 2, avec probabilit : (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16 - 2 1 1 1 2, avec probabilit : (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16

    2

    (4) = p22(4) = 3/16

  • Proprit 1 : Le temps (ou le nombre dtapes) pass dans un tat dune CMD a une distribution gomtrique. Preuve : on sintresse au nombre dtapes passes dans un certain tat j.

    Si pjj = 0, on ne reste jamais dans ltat j. Si pjj 0, on a, chaque tape, une probabilit pjj de rester dans ltat j et une probabilit de (1 - pjj) den sortir.

    j

    j

    j

    j

    ij

    ij

    ij Pjj

    Pjj

    Pjj

    1-pjj

    1-pjj

    1-pjj

    Distribution du nombre m dtapes passes dans ltat j est donc donne par : (1 - pjj) pjjm.

  • CMD est dite irrductible ssi de tout tat i on peut atteindre tout tat j (en un nombre fini dtapes) Exemple 3 : CMD rductible

    1 2

    3 4

    5

    6

    1/2

    1/2 1/4

    Sous-chane Absorbante 1

    1/4

    7

    1/2

    1/2 1/2

    Sous-chane Absorbante 2

    Classification des tats :

    Etats

    Priodiques Apriodiques

    Etats

    Transitoires Rcurrents

    Nuls Non nuls

  • Un tat j est priodique si on ne peut y revenir quaprs un nombre dtapes multiple de k > 1

    Dans lexemple 3, tat 6 est priodique de priode = 2. Etat 4 est apriodique. La priode dune CMD est gale au PGCD de la priode de chacun de ses tats. Une CMD est dite priodique si sa priode est suprieure 1.

    La CMD de lexemple 3 est donc apriodique car son PGCD = 1. Paramtres :

    - fjj(n) la probabilit que le premier retour en j ait lieu n tapes aprs lavoir quitt.

    - fjj la probabilit de revenir en j aprs lavoir quitt : fjj =

    =1

    )(

    n

    njjf .

    - Mj le temps moyen de retour en j : Mj =

    =1

    )(

    n

    njjnf .

    Un tat j est dit :

    - Transitoire si fjj < 1 - Rcurrent si fjj = 1 ; de plus il est

    o Rcurrent nul si Mj = o Rcurrent non nul si Mj <

  • Pour lexemple 3 :

    - Etat 1 est transitoire car f11 =

    =1

    )(11

    n

    nf = f11(2) = (1/2)(1/2) = < 1. Notons que f11(4) = 0 car on retourne

    ltat 1 pour la deuxime fois en 4 tapes. Par contre p11(4) = 1/16. - Etat 6 est rcurrent non nul car f66 = f66(2) = 1 et M6 = 2* f66(2) = 2 - Etat 3 est rcurrent non nul car f33 = f33(3) + f33(5) + f33(7) + = ()1 + ()2 + ()3 + = ( ) ( )0

    0 21

    21

    =

    n

    n =

    1 et M3 = 3*()1 + 5*()2 + 7*()3 + = ( )n

    nn

    =

    +1 2

    1)12( = 5. Notons que p33(3) = f33(3), p33(5) = f33(5), p33(6) =

    f33(3)*f33(3) = , Mais f33(6) = 0 Exercice : Dans la CMD suivante, vrifier que f11(1) = 1/6, f11(2) = 1/8, f11(3) = 25/48, Calculer p11(1), p11(2), p11(3), ainsi que f11.

    1 2

    3 4

    1/2

    1/4

    1/3 1/2

    1/6

    1/4 1/4

    3/4

  • Proprit 3 : Tous les tats dune CMD irrductible finie sont rcurrents non nuls. fij(n) la probabilit daller de i j en exactement n tapes (donc sans passer par ltat j de faon intermdiaire)

    fij(1) = pij et fij(n) = )1(

    nkjjkik fp pour n > 1.

    Pour rpondre la question 4 de lexemple 2 : f22(1) = p22 = 0 f22(n) = p21 f12(n-1) + p24 f42(n-1) = 0,5 f12(n-1) + 0,5 f42(n-1) Il faut rappliquer cette relation f12(n-1) et f42(n-1).

    M2 =

    =1

    )(22

    n

    nnf .

    Exercice : montrer que M2 =

    =1

    )(22

    n

    nnf = 2,5.

  • fij la probabilit daller de i en j en un nombre quelconque dtapes (probabilit datteindre j en

    partant de i) :

    =

    =1

    )(

    n

    nijij ff

    Pour aller de i en j (en un nombre quelconque dtapes), soit on y va directement (en une tape), soit on va un tat k diffrent de j et il reste aller de k j (en un nombre quelconque dtapes) :

    kjjkikijij fppf

    +=

    Pour rpondre la question 3 de lexemple 2 :

    f26 = p21f16 + p24f46 = 0,5f16 + 0,5f46 f16 = p11f16 + p12f26 = 0,5f16 + 0,5f26 => f16 = f26 f46 = p43f36 = f36 f36 = p36 + p31f16 + p32f26 + p35f56 = 0,25 + 0,25f16 + 0,25f26 + 0,25f56

    Ltat 5 tant absorbant: f56 = 0. Finalement : f26 = 0,5f26 + 0,5(0,25 + 0,5f26) f26 = 0,5

  • Rij le nombre moyen de passage par ltat j sachant quon vient de ltat i :

    Rij =

    =1nnP[exactement n passage par j tat initial = i] =

    =1)(

    nij nnP

    Rij = fij(1 fjj)

    =1nn (fjj)n-1 = fij/(1 fjj)

    Pour rpondre la question 2 de lexemple 2 : R23 = f23/(1 f33)

    f23 = p21f13 + p24f43 = 0,5f13 + 0,5f43 f13 = p11f13 + p12f23 = 0,5f13 + 0,5f23 => f13 = f23 f43 = p43 = 1 => f23 = 0,5f23 + 0,5 => f23 = 1 f33 = p31f13 + p32f23 = 0,5f13 + 0,25f23 = 0,5

    On a donc R23 = 2.

  • Rgime permanent On sintresse la limite lorsque n tend vers linfini du vecteur des probabilits (n) Dans une CMD irrductible et apriodique le vecteur des probabilits limites j = )(lim njn existe toujours et est indpendant de la distribution des probabilits initiales (0).

    j = Ei

    i pij pour tout j E

    Ei

    i = 1 Pour tout tat j, flux sortant de ltat j = flux entrant dans ltat j = P correspond bien au passage la limite sur le systme dquations liant les probabilits transitoires (n) = (n-1)P

  • Exemple : Considrons la CMD suivante :

    1 2

    3

    0,4

    0,2

    0,6

    0,6 0,6

    0,2 0,4

    0,6 0,4 00,2 0,6 0,20 0,4 0,6

    P =

    Cest une CMD finie, irrductible et apriodique. Tous ses tats sont rcurrents non nuls, que la limite, lorsque n tend vers linfinie de (n) existe, est indpendante de (0) et est de solution du systme dquations suivant :

    = P 1+2+3 = 1

    Avec la solution : = [0,25 0,5 0,25]. Calcul itratif en appliquant (n) = (n-1)P.

  • (0) [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] (1) [0.60000 0.40000 0.00000] [0.20000 0.60000 0.20000] [0.00000 0.40000 0.60000] (2) [0.44000 0.48000 0.08000] [0.24000 0.52000 0.24000] [0.08000 0.48000 0.44000] (3) [0.36000 0.49600 0.14400] [0.24800 0.50400 0.24800] [0.14400 0.49600 0.36000] (4) [0.31520 0.49920 0.18560] [0.24960 0.50080 0.24960] [0.18560 0.49920 0.31520] (5) [0.28896 0.49984 0.21120] [0.24992 0.50016 0.24992] [0.21120 0.49984 0.28896] (6) [0.27334 0.49997 0.22669] [0.24998 0.50003 0.24998] [0.22669 0.49997 0.27334] (7) [0.26400 0.49999 0.23601] [0.25000 0.50001 0.25000] [0.23601 0.49999 0.26400] (8) [0.25840 0.50000 0.24160] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24160 0.50000 0.25840] (9) [0.25504 0.50000 0.24496] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24496 0.50000 0.25504] (10) [0.25302 0.50000 0.24698] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24698 0.50000 0.25302] (11) [0.25181 0.50000 0.24819] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24819 0.50000 0.25181] (12) [0.25109 0.50000 0.24891] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24891 0.50000 0.25109] (13) [0.25065 0.50000 0.24935] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24935 0.50000 0.25065] (14) [0.25039 0.50000 0.24961] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24961 0.50000 0.25039] (15) [0.25024 0.50000 0.24976] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24976 0.50000 0.25024] (16) [0.25014 0.50000 0.24986] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24986 0.50000 0.25014] (17) [0.25008 0.50000 0.24992] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24992 0.50000 0.25008] (18) [0.25005 0.50000 0.24995] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24995 0.50000 0.25005] (19) [0.25003 0.50000 0.24997] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24997 0.50000 0.25003] (20) [0.25002 0.50000 0.24998] [0.25000 0.50000 0.25000] [0.24998 0.50000 0.25002] Convergence vers le vecteur limite est assez rapide dans la pratique

  • M/G/1

    Poisson

    n(t) m(t)

    d(t)

    Flux darrive Poisson :

    Pk (t ) = e !"t

    (" t)k

    k ! Remarque : peut aussi suivre un autre processus Markovien. Distribution du temps de service :

    M(t) = P[Temps de service t] et sa fonction de densit : m(t) = dM(t)/dt

    et le temps moyen de service :

    m = tm(t )dt

    0

    !

    "

  • Chane de Markov induite (Embedded) Choisir la fois une suite des instants dans le temps pendant l'volution d'un processus et un tat de sorte que la chane de Markov se forme A des instants t1 t2 ... ti, ... on observe les variables d'tat correspondantes S1, S2, ..., Si

    P[SN = lN | S1 = l1, S2 = l2, ..., SN-1 = lN-1] = P[SN = lN | SN-1 = lN-1] Nombre de clients dans M/G/1 forme une chane de Markov induite des instants o un client quitte le systme

    t

    n(t)

    123

    i-1 i i+1 i+2

  • ni : nombre de clients dans le systme (ceux dans la file + celui dans le serveur) aux points d'observation (instants o un client quitte le systme),

    ai : nombre de clients arrivs durant le temps de service d'un client.

    ni+1 = ni - U(ni) + ai+1 (1)

    U (x) =

    0, x ! 01,x > 0" # $

    Le nombre de clients l'instant i+1 ne dpend que de celui de l'instant i et les nouvelles arrives ni a une distribution stationnaire ssi ! = "m < 1.

    ! (k ) = lim

    i"#P[ni = k ]

    limi!"

    E[ni +1] = limi!" E[ni ] = n (2)

  • Prenons l'esprance de chaque ct de (1) et d'aprs (2), on a :

    E[U(ni)] = E[ai+1] (3)

    E[ai +1] = E[

    0

    !

    " ai +1 MessageLength = t ]m(t )dt

    = ! tm(t )dt

    0

    "

    # = ! tm(t )dt0

    "

    # = !m = $ E[U(ni)] =P[ni > 0] = 1 - P0 D'aprs (3), on a :

    P0 = 1 - (4)

  • Approche par la fonction gnratrice de ni

    ni+1 = ni - U(ni) + ai+1 (1) induit une chaine de Markov infinie. = P nest pas pratique pour obtenir la distribution stationnaire du nombre de clients dans le systme. La fonction gnratrice de {ni} est la transform en Z de sa fonction de densit qui est dfinie par :

    Pi (z) = E[z

    ni ] = z kk =0

    !" P[ni = k ]

    De l'quation 1, on a:

    Pi +1(z ) = E[zni !U ( ni )+ ai+1 ]

    Comme ai et ni sont indpendants, on a alors :

    Pi +1(z ) = E[zni !U ( ni ) ]E[z ai+1 ] = E[z ni !U (ni )]A(z) (5)

    o A(z ) = E[z

    a i ] est indpendant de l'indice i grce la stationnarit.

  • Pour le terme qui reste, par la dfinition de la fonction gnratrice, on a :

    E[z ni !U ( ni ) ] = z k !U (k )

    k = 0

    "# P[ni = k ]

    Comme on peut crire :

    E[z ni !U ( ni ) ] = P0 + z

    k !1

    k =1

    "# P[ni = k ] = P0 + z

    !1( z kk = 0

    "# P[ni = k ] ! P0)

    On a alors :

    E[zni !U ( ni ) ] = P0 + z

    !1(Pi (z) ! P0) (6) De (5) et (6) on a :

    Pi +1(z ) = [P0 + z!1(Pi (z ) ! P0)]A(z )

  • Supposons que la solution stationnaire existe :

    limi!"

    Pi +1(z ) = limi!"Pi (z) = P(z ) on a la f.g. de ni sous forme gnrale :

    0(1 ) ( )( )( )

    P z A zP zA z z

    =

    Dans le cas du flux darrive de Poisson (ou plus gnralement Markovien), on a P0 = 1 - . Ce qui nous donne finalement :

    P(z) = (1! ")(1! z )A(z)

    A(z) ! z (7)

  • Nombre moyen de clients dans la file M/G/1

    n = ! P (z ) z=1 La drive de l'quation 7 donne :

    P'(z)[A(z) - z] + P(z)[A'(z) - 1] = (1 - ) (-1)A(z) + (1 - )(1 - z)A'(z) En drivant encore une fois (rgle de LHpital), on obtient :

    P"(z)[A(z) z] + 2P'(z)[A'(z) 1] + P(z)A"(z) = 2(1 - )(-1)A'(z) + (1 - )(1 - z)A"(z) Avec z = 1 et comme A(1) = P(1) = 1, on a :

    n = ! P (1) = (1" #) ! A (1)

    1 " ! A (1)+

    A"(1)2(1" ! A (1))

  • A(z ) = E[za ] = E[

    0

    !

    " z a dure_transmission = t ]m(t )dt

    A(z ) = z n

    n=0

    !"

    0

    !

    #($t )n e%$t

    n!m( t)dt = e%$t(1% z )

    0

    !

    # m (t)dt =M ($ (1 % z )) (8) o M(s) est la transform de Laplace de m(t).

    ! A (z) z=1 = "# ! M (0) = #m = $

    A"(z ) z=1 = !2M "(0) = ! 2m 2

    Finalement :

    n = ! + "

    2m 2

    2(1# !) (9)

  • Temps de sjour de client d(t) Grce aux arrives de Poisson, et en imaginant une nouvelle CMD aux instants distribus selon d(t), on a :

    P(z) = E [zn ] = E[z n dlai = t ]d(t )dt

    0

    !

    "

    P(z) = [ (!t )

    n e"!t

    n!n=0

    #$ z n ]d(t )dt

    0

    #

    % = e"!t(1" z )0

    #

    % d (t)dt =D(! (1" z)) La transform de Laplace de d(t) est donc :

    D(s) = s(1-)M(s)/[s-+M(s)] (10) La transform inverse de Laplace nous donne la distribution de d(t).

  • Le temps moyen de sjour d'un client peut tre obtenu soit en drivant l'quation 10 soit en appliquant la formule de Little :

    d = n

    != m + ! m

    2

    2(1" #) (11) C'est la formule de Pollaczek-Khinchin. On remarque que cette quation est lie celle de 9 par la formule de Little (peut tre considre comme une sorte de dmonstration de la formule de Little).

  • Cas particulier : M/M/1 Pour un temps de service exponentiel de paramtre , m (t ) = e

    !t et

    M (s) = E [e!sM ] = e !st [e !t ]dt =

    + s0

    "

    # (12)

    En remplaant s par (1-z) on a :

    A(z ) =

    ! " (z !1) et :

    ! A (z) z=1 =

    "[ # " (z #1)]2 z=1

    = "m = " 1

    = $

    A"(z ) z=1 =

    2![ " ! (z "1)]3 z=1

    = !2m 2 = 2#2

  • Selon l'quation 10 et 12, la transform de Laplace de dlai est :

    D(s) = ( - )/(s + - )

    d = 1

    ! "

    P(z) = (1)/(1z)

    n = !

    1" !

  • Cas particulier : M/D/1 Pour un temps de service constant (ou dterministe), E[m (t )] = m , et

    m (t ) =

    ! (t), t = m 0, ailleurs

    " # $

    M (s) = m(t)e-st

    0

    !

    " dt = e #sm

    P(z) = (1! ")(z !1)e

    "(z !1)

    z ! e "(z !1)

    D (s) = s(1 !")e

    !sm

    s ! # + #e!sm

    n = 2! " !

    2

    2(1" !) et d = m (2 ! ")

    2(1 !" )

  • Modles de commutateur

    1 1

    N N

    2 2

    ENTREE

    SORTIE

    Cross-bar NxN

    1 2 N

    1 2 N

  • Commutateur non bloquant (avec mmoire tampon)

    1 2 N

    1 2 N

    Buffers la sortie

    1 2 N

    1 2 N

    Buffers lentre

  • Evaluation de performances dun commutateur ATM

    1 3 N

    1 7 2

    4 2 1

    ENTREE

    1 2 . . . N

    .

    .

    .

    1 1 1

    2 2

    N N N

    SORTIE

    .

    .

    .

    1 2 . . . N

    N

    un slot Commutateur de cellules d'ATM

    Hypothse :

    Arrive Bernoulli avec p cellules par entre et par slot. Probabilit 1/N pour une destination donne.

    Modle : nombre de cellules la fin de chaque slot juste aprs le dpart d'une cellule : Qm+1 = max (0, Qm + Am+1 - 1)

  • nombre de cellules dans la file la fin du mime slot juste avant le dpart d'une cellule :

    Xm+1 =Xm + Am+1 - u(Xm)

    Qm = Xm - u(Xm) Distribution du nombre de cellules arrives dans la file durant le mime slot (distribution Binomiale) est la mme que durant nimporte quel autre (on supprime ainsi lindice m de Am) :

    )1()()(][Pr Np

    Np

    iNiAoba

    iNi

    i

    === et sa f.g. :

    )1(0

    )(NpzN

    pazN

    i

    N

    i

    izA + ===

    cellules arrives dans chaque buffer durant 1 slot (une unit de temps) : 1.1 Np/ N = p

    Charge de chaque buffer :

    = taux darrivs x dure de service = px1 = p

    f.g. de X note P(z) :

  • zzAzAzzP

    = )(

    )()1)(1()( Et P0 = P[Xm = 0] = 1 - = 1 p Avec Qm = Xm - u(Xm), on a :

    Q(z) = E[zQm] = E[zXm u(Xm)]

    = ][0

    )( kXmPk

    kukz =

    =

    = ( 1)

    01

    [ ]kk

    P P Xm kz

    =

    + = = P0 + z-1[P(z) P0]

    En substituant P(z) et = p, on a alors :

    zzAzpzQ

    = )()1)(1()(

  • 0 1

    a0+a1

    a2

    2 . . . a0 a0 a0

    a2 a2

    a1 a1

    a3 a3

    a4

    Figure : Graphe de probabilit de transition de Q

    00

    1[ 0] pp P Qa

    = = =

    0 11 0

    0

    1[ 1] a ap P Q pa

    = = =

  • 11

    20 0

    1[ ]n

    in n n i

    i

    aap P Q n p pa a =

    = = = pour n 2

    P[Q=0] P[X=0] = 1 p car ces deux distributions sont lies par:

    [ 0] [ 1], 0[ ]

    [ 1], 0P X P X k

    P Q kP X k k= + = =

    = = = + >

  • Protocoles daccs alatoire (MAC) et CSMA/xx Aloha : on met quand on dsir, on rmet quand collision

    messages de taille constante l dont la dure de transmission est m (avec l = m*Dbit).

    flux d'arrive de messages suit une loi Poissonnienne avec un taux messages/seconde. Pk(t) = (t)k

    k! e-t

    file d'attente de chaque station est de capacit 1 et le nombre de stations est infini.

    Pr[collision]

    P[collision] = 1 - e-2m

    = + (1 - e-2m)

    le rendement = m la charge du mdium R = m

  • = Re-2R

  • Aloha segment : on met ou rmet quau dbut des tranches de temps

    t t+m Temps

    t-m

    M1 M2 n'entre pas en collision

    P[collision] = 1 - e-m = Re-R

    CSMA (Carry Sense Multiple Access) : si on a une trame transmettre, on coute le mdium avant dmettre, on met ou rmet lors quon entend un silence CSMA/CD (Carry Sense Multiple Access with Collision Detection) : une station qui a dtect une collision interrompt son mission et rmet aprs un temps dajournement alatoire (calcul

  • selon lalgorithme BEB). Une station ncoute pas le mdium si elle na pas de trames transmettre ou ncoute plus le mdium aprs la fin de transmission de ses trames Collisions encore possibles si deux ou plusieurs stations mettent en mme temps (ou dans

    une fentre temporelle Tmax cause du dlai de propagation) Une taille minimale de trame est ncessaire afin que la station mettrice puisse toujours

    dtecter une collision sur la trame quelle est en train dmettre Pour viter re-collision , Rmission aprs un dlai R*Tmax avec R tir alatoirement

    entre 0 et 2**K ; K = min(nb_rmission, 10) BEB (Binary Exponential Backoff)

  • Cas 1 : Collision non dtecte

    [extrait de Mameri&thomesse]

  • Cas 2 : Collision dtecte

    [extrait de Mameri&thomesse]

    Relation entre Dbit D, temps maximal dun aller-retour du signal (dlai de propagation) entre deux stations Tmax et taille minimale de trame Lmin :

    Lmin D*Tmax