Sélection de contrôles avec correction

Université Hassan Premier

Faculté des Sciences et Techniques

Settat

Parcours MIP

Analyse Numérique

Recueil de contrôles avec correction

Année universitaire 2014/2015

Pr Jaouad Dabounou

2

Table des matières

Contrôle de rattrapage du 14/06/2011 ..................................................................................................... 3

Contrôle du 20/11/2012 ........................................................................................................................... 8

Contrôle du 14/01/2013 ......................................................................................................................... 13

Contrôle de rattrapage du 08/02/2013 ................................................................................................... 21


Contrôle du 13/11/2013 ......................................................................................................................... 29

Contrôle du 13/01/2014 ......................................................................................................................... 33


Contrôle du 15/01/2015 ......................................................................................................................... 40

Contrôle du 01/04/2015 ......................................................................................................................... 43

Contrôle du 18/04/2015 ......................................................................................................................... 46

3

Préface

Ce recueil de contrôles d'analyse numérique avec correction couvre la période allant de 2011

à 2015. Il apporte aux étudiants des éléments leur permettant d'aborder efficacement les

problèmes d'analyse numérique, niveau parcours MIP semestre 3.

L'attention a été faite sur les raisonnements à développer chez les étudiants en essayant de

présenter, au début du document, les erreurs de logique dont souffrent un grand nombre de ces

étudiants.

La complexité des questions et leur difficulté sont variables et de différentes forme, mais le

principe général était que ces contrôles soient abordable à la majorité des étudiants.

Ce recueil constitue un complément au polycopié d'analyse numérique déjà disponible. Il sera

enrichi au fur et à mesure par de nouveaux contrôles et éventuellement, par des exercices et

problèmes complémentaires, si leur utilité est démontrée.

Jaouad DABOUNOU

4

Contrôle de rattrapage du 14/06/2011

(Durée 1 heure)

Exercice 1 : Soit la fonction f(x) = x sin (x) + 1

1. Montrer que f ne s’annule pas sur [-π , π].

2. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de solutions sur R.

3. Monter qu’il existe au moins un point s [0 , π] tel que f(s) = 2s.

4. Montrer l’unicité de ce point s [0 , π].

5. Utiliser la méthode de Newton pour calculer s avec une précision de 10-4

6. Utiliser la méthode de la sécante pour calculer s avec une précision de 10-4

Exercice 2 : On considère sur [0, 1] l’équation différentielle

y' = -2 y avec y(0) = 1

1. Utiliser la méthode d’Euler sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1),

2. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour

calculer y(1),

3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et

[1/2, 1] pour calculer y(1),

4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentie lle est y(x) = 𝒆−𝟐𝒙,

comparer les solutions obtenues dans les 3 questions précédentes

Corrigés

Exercice 1 :

1. x et sin(x) sont de même signe sur [-π , π]. Donc f(x) = x sin (x) + 1 ≥ 1. f ne

s’annule pas sur [-π , π].

2. On a pour tout k entier, f continue sur l'intervalle

[2kπ - π

2 , 2kπ]

Et

5

(2kπ - π

2) . sin(2kπ -

π

2) + 1 < 0 et (2kπ) . sin(2kπ) + 1 > 0

Donc pour tout k entier, f admet au moins une racine sur

[2kπ - π

2 , 2kπ]

Comme ces intervalles sont disjoints pour des entiers k différents, f admet une

infinité de racines sur R.

3. On pose g(x) = f(x) – 2x

g est continue sur [0 , π] et on a g(0) = 1 et g(π) = 1 – 2π < 0. Donc il existe au

moins un point s [0 , π] tel que g(s) = 0, c'est-à-dire f(s) = 2s.

4. On choisit x0=1 et on utilise la méthode de Newton, ce qui permet de

construire le tableau suivant:

i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri

0 1,00000 -0,15853 -0,61823 0,74357 -0,256425

1 0,74357 0,01619 -0,77577 0,76445 0,020875

2 0,76445 0,00021 -0,75611 0,76472 0,000274

3 0,76472 0,00000 -0,75586 0,76472 0,000000

A la convergence, la solution donnée par la méthode de Newton est x*0,76472.

Il y a convergence à l'itération 3, puisque la précision 10-4

est satisfaite.

5. Utilisation de la méthode de la sécante avec x0=1 et x1=1,5:

i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri

0 1,00000 1,50000 -0,15853 -0,50376 0,50000

1 1,50000 0,77040 -2,47351 0,06063 -0,72960

2 0,77040 0,78786 0,06063 0,02142 0,01746

3 0,78786 0,79739 0,02142 -0,00067 0,00953

4 0,79739 0,79710

-0,00029

6

5 0,79710 0,79710 0,00001 0,00000 0,00000

A la convergence, la solution donnée par la méthode de la sécante est x*0,79710.

Exercice 2 :

Cet exercice, déjà vu dans les séances de TD, ne présente aucune difficulté pour les

étudiants.

1. Euler en un pas donne y(1) 1.

2. La méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1)

donne:

a 0

y(a) 1

k1 0,0000

k2

-

1,0000

k3

-

0,5000

k4

-

1,0000

b 1

h 1

y(b) 0,3333

3. Etapes de calcul par Euler en 2 pas :

a

0

y(a)

1

h=b-a

1

f(a,b)

0,0000

a+h/2

0,5

y(a+h/2)

1,0000

f(a+h/2,y(a+h/2)) -1

b=a+h

1

7

y(b)

0,5000

Ainsi, la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1]

donne y(1) 0,5.

4. Solution analytique: y(4) = 0,368.

La comparaison des différentes solutions montre que la méthode d'Euler en un seul

pas donne un mauvais résultat par contre, la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4

donne une valeur assez précise. Lorsqu'on a subdivisé l'intervalle en 2 pas, le

résultat donné par la méthode d'Euler s'est amélioré.

8

Contrôle du 20/11/2012

Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = sin(x) – cos(x)

sur [0 , 1].

1. Montrer que f possède une racine sur [0 , 1].

2. Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver une racine de f avec une précision

de l’ordre de 10-2

.

3. Combien de fois f a été calculée pour atteindre cette solution ?

4. En choisissant x0 = 0, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f

avec une précision de l’ordre de 10-3

.

5. Combien de fois f et f’ ont été calculées pour atteindre la solution dans le cas de la

méthode de Newton?

6. Utiliser la méthode de la sécante pour trouver une racine de f avec une précision

de l’ordre de 10-2

.

7. Combien de fois f a été calculée pour atteindre cette solution dans le cas de la

méthode de la sécante ?

Exercice 2 : On se propose de calculer une valeur approchée de 𝟐 .

On considère la fonction f(x) = x2 – 2

1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution positive x*.

2. Soit la fonction

g(x) = x

2 +

1

x

3. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x*) = x

*, vérifiant

pour tous x et y dans un intervalle que vous déterminez : |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y|

avec 0 < k < 1.

4. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x*.

5. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x*

?

Exercice 3 : On considère sur [0, 1] l’équation différentielle y' = -2 xy avec y(0) = 1.


2. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer

y(1),

3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1]

pour calculer y(1),

4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = 𝒆−𝒙𝟐,


Corrigés

Exercice 1:

1. f est continue sur [0 , 1] et on a f(0)= -1 et f(1)= 0,301 donc f(0).f(1) < 0.

9

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f possède une racine sur

[0 , 1].

2. Calcul de la racine de f par la méthode de dichotomie:

i ai f(ai) bi f(bi) ci f(ci) erri

0 0 -1 1 0,30116868 0,5 -0,39815702 0,5

1 0,5 -0,39815702 1 0,30116868 0,75 -0,05005011 0,25

2 0,75 -0,05005011 1 0,30116868 0,875 0,12654664 0,125

3 0,75 -0,05005011 0,875 0,12654664 0,8125 0,03832309 0,0625

4 0,75 -0,05005011 0,8125 0,03832309 0,78125 -0,00586637 0,03125

5 0,78125 -0,00586637 0,8125 0,03832309 0,796875 0,01623034 0,015625

6 0,78125 -0,00586637 0,796875 0,01623034 0,7890625 pas nécessaire 0,0078125

A la convergence, la solution donnée par la méthode de dichotomie est x*0,7890625.

3. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 8 fois pour arriver à la

précision 10-2

.

4. Calcul de la racine de f par la méthode de Newton:


0 0 -1 1 1 1

1 1 0,30116868 1,38177329 0,7820419 -0,2179581

2 0,7820419 -0,00474646 1,4142056 0,78539818 0,00335627

3 0,78539818 1,7822E-08 1,41421356 0,78539816 -1,2602E-08


5. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 4 fois et f' a été calculée 4

fois pour arriver à la précision 10-3

.

6. Calcul de la racine de f par la méthode de la sécante:


0 0 1 -1 0,30116868 1

1 1 0,76853986 0,30116868 -0,02384011 -0,23146014

2 0,76853986 0,78551797 -0,02384011 0,00016943 0,01697811

10

3 0,78551797 0,78539816

-0,00011981


7. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 4 fois pour arriver à la

précision 10-3

.

Remarque:

1. Dans la première question certains étudiants essaient de démontrer que f est monotone,

ce qui n'est pas nécessaire.

2. Toujours à propos de la première question des étudiants écrivent:

"Une fonction f possède une racine sur [0 , 1] si et seulement si f est continue et change de

signe sur [0 , 1]."

Or ceci est faux. C'est probablement un problème de logique dont souffre nt beaucoup

d'étudiants. Voir par exemple la fonction g(x) = (x - 0,5)2 qui possède une racine sur [0 , 1]

sans changer de signe.

En effet nous avons seulement une implication:

"Si une fonction f est continue et change de signe sur [0 , 1] alors elle possède une racine

sur [0 , 1]."

3. Dans la réponse proposée on a gardé 8 chiffres significatifs après la virgule. L'étudiant

qui utilise une calculatrice peut se contenter de garder 3 à 4 chiffres après la virgule

pour les variables réelles. Mais il doit faire attention lorsqu'il s'agit de valeur comme

f(0,7855)=0,000144 à ne pas les remplacer par 0 mais par 0,00014.

4. Beaucoup d'étudiants omettent de régler leur calculatrices sur le radian et utilisent donc les

mesures d'angles en degrés ce qui donne par exemple cos(1) = 0,9998 au lieu de cos(1) = 0,5403.

Exercice 2:

1. La fonction f est continue sur l'intervalle [1 , 2] et on a f(1).f(2)<0 donc f admet une

racine sur l'intervalle ]1 , 2[.

Cette racine est donc solution positive de l'équation f(x) = 0.

2. On a, pour

g(x) = x

2 +

1

x

Soit x* une solution positive de f(x) = 0 alors

On a pour x nombre réel positif :

f(x) = 0 x2 – 2 = 0

2 + x2 = 2 x

2

11

𝒙𝟐 + 𝟐

2x = x

x

2 +

1

x = x

g(x) = x

En particulier, nous avons g(x*) = x

*.

1.

𝒈 𝒙 – 𝒈 𝒚 = 𝒙

𝟐+

𝟏

𝒙−

𝒚

𝟐−

𝟏

𝒚 =

𝟏

𝟐−

𝟏

𝒙𝒚 𝒙 − 𝒚 =

𝟏

𝟐−

𝟏

𝒙𝒚 𝒙 − 𝒚

Or pour x et y sur l'intervalle [1 , 2], on a 1 ≤ xy ≤ 4 donc

−𝟏

𝟐≤

𝟏

𝟐−

𝟏

𝒙𝒚≤

𝟏

𝟒, 𝒅𝒐𝒏𝒄

𝟏

𝟐−

𝟏

𝒙𝒚 ≤

𝟏

𝟐

Il s'en suit que |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec k = 𝟏

𝟐

2. On considère alors la suite (xn) avec x0 = 1,5 et xn+1 = g(xn) pour n≥1.

Application: Le tableau savant donne les valeurs obtenues par la method de substitution

xi xi+1 erri

1,5 1,41666667 -0,08333333

1,41666667 1,41421569 -0,00245098

1,41421569 1,41421356 -2,1239E-06

3. Pour calculer la vitesse de convergence il suffit de montrer que l'on a :

𝒙∗ – 𝒙𝒏+𝟏

𝒙∗ – 𝒙𝒏 ≤

𝟏

𝟐

Or cette relation vient du fait que :

𝒙∗ – 𝒙𝒏+𝟏

𝒙∗ – 𝒙𝒏 =

𝒈(𝒙∗) – 𝒈(𝒙𝒏)

𝒙∗ – 𝒙𝒏 ≤

𝟏

𝟐

On a bien sûr utilisé que pour tout x dans l'intervalle [1 , 2], |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y|

avec k = 𝟏

𝟐

Donc la méthode utilisée est à convergence linéaire.

Remarque :

12

1. Dans l'introduction de cet exercice, il est mentionné que l'on se propose de

calculer une valeur approchée de 𝟐 . Cela suppose que la valeur de 𝟐 ne doit

pas être utilisée pour répondre aux questions de cet exercice. Malheureusement

certains étudiants utilisent 𝟐 pour répondre à la première question.

2. Certains raisonnements montrent l'approche très superficielle de la

compréhension des notions mathématiques par un grand nombre d'étudiants.

En voici quelques exemples rencontrés dans les réponses à cet exercice.

i. 0 < x < 2 donc 0 < 1

𝑥 <

𝟏

𝟐 . Ceci est évidemment faux car "si 0 < x < 2 alors

𝟏

𝟐 <

1

𝑥 ".

ii.

g'(x) = 1

2 -

1

𝒙𝟐

Si 0 < x < 2 on a 0 < x2 < 4 et ainsi

1

𝟒 <

1

𝒙𝟐 𝒆𝒕 𝒅𝒐𝒏𝒄

-1

𝒙𝟐 <

-1

𝟒 𝒅′𝒐ù

1

𝟐 –

1

𝒙𝟐 <

1

𝟐−

1

𝟒=

1

𝟒

Ce qui donne finalement g'(x) <1

𝟒<1.

L'erreur dans ce dernier raisonnement se situe lorsqu'on passe à la valeur

absolue de g'(x).

iii. Lors de la construction de la suite (xn) avec xn+1 = g(xn), beaucoup

d'étudiants oublient de préciser que x0 doit être donné au départ.

iv. Il est tout de même très désolant de constater que les étudiants peinent à

développer des raisonnements un peu abstraits, trouvent des difficultés à

réaliser des calculs légèrement compliqués et échouent généralement à

combiner plusieurs notions mathématiques à la fois.

Exercice 3:

La solution de cet exercice est donnée dans le corrigé d'un contrôle précédent.

13

Contrôle du 14/01/2013

Exercice 1 : Soit la fonction f(x) = x cos (x) + 1 définie sur [0 , π].

1. Montrer que la fonction f possède une racine sur [0 , π].

2. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer cette racine de f avec une

précision de l’ordre de 10-2

.

3. Quel est le coût de la méthode de dichotomie pour le calcul de cette racine ?

4. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec

une précision de l’ordre de 10-3

.

5. Evaluer le coût de la méthode de Newton pour le calcul de cette racine ?

6. On pose x0 = 1 et x1 = 2, utiliser la méthode de la sécante pour trouver une racine

de f avec une précision de l’ordre de 10-3

.

7. Evaluer le coût de la méthode de la sécante pour le calcul de cette racine ?

8. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet

exemple.

9. Montrer que f admet une racine unique sur ] 0 , π [.

Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction

f(x) = 𝟏

𝒙

1. Tracer la courbe de f

2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange qui coïncide avec f en n

points équidistants pour n=3 puis n=4.

3. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas de n=4.

Exercice 3 : On se propose de calculer l’intégrale suivante :

I = 𝟏

𝒙dx

𝟐

𝟏

1. Calculer analytiquement I.

2. Utiliser le polynôme d’interpolation de Lagrange pour n=3, puis n=4 pour obtenir

une valeur approchée de I.

3. Utiliser les méthodes numériques (trapèze et Simpson) pour calculer

numériquement I.

4. Comparer et interpréter les résultats obtenus.

5. Utiliser la méthode des trapèzes pour obtenir une valeur approchée It2 de I en

subdivisant l'intervalle [1, 2] en 2 sous-intervalles de même taille.

6. Expliquer graphiquement pourquoi It2 est supérieure à ln(2).


14

𝒚′ = 𝒚( 𝟏

𝒙 - 1) avec y(2) = 0,2707



y(4),

3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [2, 4] en [2, 3] et [3, 4]

pour calculer y(4),

4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = xe-x

,


5. Expliquer la réponse à la question précédente.

Corrigés

Exercice 1:

1. f est continue sur [0 , π] et on a f(0)= 1 et f(π)= -π - 1 donc f(0).f(π) < 0 et d'après le théorème des

valeurs intermédiaires, f possède une racine sur [0 , π].

2. Dichotomie

i ai f(ai) bi f(bi) ci f(ci) erri

0 0 1 3,14159265 -2,14159265 1,57079633 1 1,57079633

1 1,57079633 1 3,14159265 -2,14159265 2,35619449 -0,6660811 0,78539816

2 1,57079633 1 2,35619449 -0,6660811 1,96349541 0,24860284 0,39269908

3 1,96349541 0,24860284 2,35619449 -0,6660811 2,15984495 -0,19994556 0,19634954

4 1,96349541 0,24860284 2,15984495 -0,19994556 2,06167018 0,02813541 0,09817477

5 2,06167018 0,02813541 2,15984495 -0,19994556 2,11075756 -0,08514626 0,04908739

6 2,06167018 0,02813541 2,11075756 -0,08514626 2,08621387 -0,02829105 0,02454369

7 2,06167018 0,02813541 2,08621387 -0,02829105 2,07394203 -2,1189E-05 0,01227185

8

2,06167018 0,02813541 2,07394203 -2,1189E-05 2,0678061

Pas

nécessaire 0,00613592


3. Coût de la méthode de dichotomie: estimé au nombre de fois où f est calculée, ce

coût est obtenu d'après le tableau précédent. f est calculée 10 fois.

15

4. Méthode de Newton


1 1 1,54030231 -0,30116868 6,11441731 5,11441731

2 6,11441731 7,02754644 2,01281874 2,62302174 -3,49139557

3 2,62302174 -1,27816883 -2,1686014 2,03362398 -0,58939777

4 2,03362398 0,09202746 -2,26615374 2,07423352 0,04060954

5 2,07423352 -0,00069139 -2,29932146 2,07393282 -0,00030069


5. Coût de la méthode de Newton : d'après le tableau précédent on voit que f a été

calculée 5 fois et f' a été calculée 5 fois pour arriver à la précision 10-3

.

6. Calcul de la racine de f par la méthode de la sécante :


0 1 2 1,54030231 0,16770633 1

1 2 2,12218186 0,16770633 -0,11174301 0,12218186

2 2,12218186 2,07332517 -0,11174301 0,00139688 -0,04885669

3 2,07332517 2,07392838

0,00060321

A la convergence, la solution donnée par la méthode de la sécante est x*2,0678061.

7. Le cout de la méthode de la sécante est estimé au nombre de fois où la fonction f est

calculée. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 5 fois pour arriver à la

précision 10-3

.

8. Il est facile de voir que la comparaison va porter sur le coût de chacune des méthodes,

puisque toutes les méthodes convergent et arrivent à donner une valeur approximative

de la racine de f. La méthode de dichotomie est très couteuse. En effet pour réalis er une

précision de 10-2

, il a fallut calculer f 10 fois. La méthode de Newton nécessite de

calculer de f 5 fois et f' 5 fois pour réaliser une précision de 10-3

. La meilleure méthode

utilisée pour cet exemple est la méthode de la sécante. Elle permet d'obtenir une

précision de 10-3

avec seulement 5 fois le calcul de f.

9. Pour répondre à cette question, on commence par remarquer que x cos(x) ≥ 0 sur [0 , 𝝅

𝟐].

Donc f(x) = x cos (x) + 1 0 sur cet intervalle et f ne peut donc s'y annuler.

16

Il suffit donc de montrer que f admet une racine unique sur ]𝝅

𝟐 , π].

On a f '(x) = cos(x) – x sin(x)

Or sur l'intervalle ]𝝅

𝟐 , π], cos(x) < 0 et - x sin(x) ≤ 0 donc f est strictement décroissante

sur ]𝝅

𝟐 , π]. Donc f admet une racine unique sur ]

𝝅

𝟐 , π] et comme f ne s'annule pas sur

[0 , 𝝅

𝟐], on conclut que f admet une racine unique sur [0 , π].

Remarque:

1. Dans la première question certains étudiants essaient de démontrer que f est monotone,

ce qui n'est pas nécessaire.

2. Les étudiants ont trouvé la question 9 difficile comparée aux autres questions. La plus

part des étudiants qui ont essayé d'y répondre ont voulu montrer que f est décroissante

sur tout l'intervalle [0 , π]. En réalité, cette jeune génération d'étudiants multi canale et

distraite considère les mathématiques comme un ensemble d'outils que l'on accumule au

fil des modules et dont on se sert séparément pour répondre à des questions de contrôle.

Or les mathématiques sont beaucoup plus que cela. Un des objectifs des mathématiques

est de développer chez l'étudiant une logique et un raisonnement qui lui permettrait de

procéder à l'analyse et à la résolution des problèmes qu'il pourra rencontrer. Les

mathématiques doivent développer chez l'étudiant une intelligence lui p ermettant

d'aborder de nouveaux problèmes pas forcément rencontrés dans le cours ou les TD.

Exercice 2:

1. Courbe de f :

2. Pour n=3 on a : P1 = 0.3333 x2 - 1.5 x + 2.1667

Pour n=4 on a : P2 = -0. 2254 x3 + 1. 3519 x

2 - 2. 9778 x + 2. 8513

I1 = I(P1) = 2,6320 I2 = I(P2) = 0,6937

3. Calculer les coefficients du polynôme de Newton

Pour n=3 (Pas demandé dans le contrôle)

17

f[1] = f(1) = 1

𝒇 𝟏, 𝟓 − 𝒇[𝟏]

𝟎, 𝟓= −

𝟐

𝟑

f[1,5] = f(1,5) = 2

3

𝒇 𝟐 − 𝒇[𝟏]

𝟐 − 𝟏=

𝟏

𝟑

𝒇 𝟐 − 𝒇[𝟏, 𝟓]

𝟎, 𝟓= −

𝟏

𝟑

f[2] = f(2) = 0,5

Pour n=4

f[1] = f (1) = 1

𝑓[43

] − 𝒇[𝟏]

13

= −𝟎, 𝟕𝟓

f [4

3] = f (

4

3) = 0,75

𝒇[43

53] − 𝒇[1

43]

23

= 𝟎, 𝟒𝟓

𝒇[

53] − 𝒇[

43]

13

= −𝟎, 𝟒𝟓 𝒇[

43

53 2] − 𝒇[1

43

53]

1= −𝟎, 𝟐𝟐𝟓

f [5

3] = f (

5

3) = 0,6

𝒇[53

2] − 𝒇[43

53

]

23

= 𝟎, 𝟐𝟐𝟓

𝒇 𝟐 − 𝒇[

53]

13

= −𝟎, 𝟑

f [2] = f (2) = 0,5

Expression de Newton

P(x) = f[1] + (x – 1) f[1 4

3] + (x – 1) (x –

4

3) f[1

4

3

5

3] + (x – 1) (x –

4

3) (x –

5

3) f[1

4

3

5

3 2]

= 1 – 0,75 (x – 1) + 0,45 (x – 1) (x – 4

3) – 0,225 (x – 1) (x –

4

3) (x –

5

3)

Remarque : Les étudiants trouvent de grandes de difficultés à se concentrer sur des

opérations qui nécessitent un nombre relativement élevé d'opérations de calcul.

Exercice 3:

1. Calcul analytique: I = ln(2) = 0,6931

18

2. En utilisant l'expression du polynôme de Lagrange (voir Exercice 2 question 2):

Pour n = 3, I1 = 𝑷𝟏 𝒙 𝒅𝒙𝟐

𝟏 = 0,6944

Pour n=4, I2 = 𝑷𝟐 𝒙 𝒅𝒙𝟐

𝟏 = 0,6938

3. Intégration numérique

Trapèzes : 0,75

Simpson : 0,6944

4. La méthode des trapèzes donne une mauvaise approximation. L'utilisation de la

méthode de Simpson et du polynôme d'interpolation de Lagrange avec n=3 sont

équivalentes et donnent par suite la même approximation. L'utilisation du

polynôme d'interpolation avec n=4 donne ici la meilleure approximation.

5. It2 = 0,708

Lorsqu'on effectue l'intégration sur 2 pas on améliore l'approximation obtenue par la

méthode des trapèzes.

6. Explication graphique: Le segment AB est au-dessus de la courbe de f sur

l'intervalle [1 , 3/2 ] et le segment BC est au-dessus de la courbe de f sur

l'intervalle [3/2 , 2] donc l'intégrale obtenu par la méthode des trapèzes (délimité

du coté supérieur par ces deux segment) est supérieur à l'intégrale calculé

analytiquement (délimité du coté supérieur par la courbe de f).

Exercice 4:

1. Euler en un pas donne y(4) 0.

19

2. La méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [2, 4] pour calculer y(4)

donne:

a 2

y(a) 0,2707

k1 -0,1354

k2 -0,0902

k3 -0,1203

k4 -0,0226

b 4

h 2

y(b) 0,0777

Ainsi, la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [2, 4] en [2, 3] et [3, 4] donne

y(4) 0,0777.

3. Etapes de calcul par Euler en 2 pas :

a

2

y(a)

0,2707

h=b-a

2

f(a,b)

-0,1354

a+h/2

3

y(a+h/2)

0,1354

f(a+h/2,y(a+h/2)) -0,0902

b=a+h

4

y(b)

0,0451

Ainsi, la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [2, 4] en [2, 3] et [3, 4] donne

y(4) 0,0451.

4. Solution analytique : y(4) = 0,0733

20

Remarque:

1. On a donné au début de cet exercice la valeur y(2) = 0,2707 avec 4 chiffres

après la virgule. Cela sous-entend que l'on souhaite respecter cette précision

dans toutes les valeurs calculées dans cet exercice.

21

Contrôle de rattrapage du 08/02/2013 (Durée 1heure)

Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction :

f(x) = x cos(x) + 2 x + 1 définie sur R.

1. Montrer que f ne s'annule pas en dehors de l'intervalle [-1 , 1].

2. Montrer que f possède une racine unique sur [-1 , 1].

3. On pose x0 = 0, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f avec

une précision de 10-3

.

4. Montrer comment on peut utiliser la méthode de substitution et calculer avec

cette méthode la racine de f avec une précision de 10-3

.

Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [0 , 5] la fonction f(x) = ex.


2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en

3 points: 0, 1 et 3.

3. Tracer sur une même figure les courbes de f et de P1 définis sur l'intervalle [0

, 5].

4. On pose E(x) = f(x)-P1(x), expliquez ce que représente E(x).

5. Tracer la courbe de la fonction E(x).

6. Quelles remarques peut-on tirer de la courbe de E(x) ?

7. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points

d'interpolation 0, 1, 2 et 3.

8. En déduire le polynôme d'interpolation P2 utilisant les points d'interpolation 0,

1, 2 et 3.

9. Comparer P2(5) et f(5).

10. Que peut-on conclure de la dernière réponse ?

Corrigés

Exercice 1:

1. Soit x une racine de f, alors f(x) = x cos(x) + 2 x + 1 = 0 ce qui implique

𝑥 = −1

cos 𝑥 + 2

On a pour tout x réel cos(x) + 2 ≥ 1, ce qui implique

−1

cos 𝑥 + 2 ≤ 1

Ce qui donne pour tout x racine de f | x |≤1, c'est-à-dire que x[-1 , 1].

Ainsi, une racine de f ne peut pas être en dehors de l'intervalle [-1 , 1].

22

2. f est continue sur [-1 , 1] et f(-1) = -1,54 et f(1) = 3,54 donc f(-1).f(1) < 0. On en

déduit que f possède une racine sur [-1 , 1].

Pour prouver l'unicité de la racine de f, on va montrer que f est strictement croissante

sur [-1 , 1]. On a f '(x) = 2 - x sin(x) + cos(x). Or pour tout x[-1 , 1], cos(x) 0 et 2 –

x sin(x) 0. Donc pour tout x[-1 , 1], f'(x) 0. f est donc strictement croissante sur

[-1 , 1]. En conclusion f possède une racine unique sur [-1 , 1].

3. Calcul de la racine de f par la méthode de Newton:


0 0 1 3 -0,33333333 -0,33333333

1 -0,33333333 0,01834768 2,83589205 -0,33980314 -0,00646981

2 -0,33980314 2,0411E-05 2,8295634 -0,33981036 -7,2135E-06

Et la racine obtenue par la méthode de Newton est x*-0,33981036.

4. Pour utiliser la méthode de substitution, on remarque que x est racine de f si st

seulement si

𝒙 = −𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐

On pose alors

𝒈(𝒙) = −𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐

On considère l'intervalle [-1 , 1] et on voit que

𝒈′(𝒙) = −𝒔𝒊𝒏(𝒙)

(𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐)𝟐

vérifie | g '(x) | < 𝟏

𝟒 < 1.

On rappelle que pour tout x[-1 , 1], cos(x) 0 donc cos(x) + 2 2.

On se donne x0 et on construit la suite (xn) telle que xn+1 = g(xn) pour n≥1.

Du fait que | g '(x) | < 𝟏

𝟒 < 1, on a la suite (xn) converge vers le point fixe de g qui est au

même temps la racine de f.

Le tableau suivant donne la racine obtenue par la méthode de substitution utilisant la

fonction g ci-dessus avec la précision 10-3

.

23

i xi xi+1 erri

1 0 -0,33333333 -0,33333333

2 -0,33333333 -0,33956354 -0,0062302

3 -0,33956354 -0,33980086 -0,00023732

4 -0,33980086 -0,33980999 -9,1304E-06

Et la racine obtenue par la méthode de substitution est x*-0,33980999.

Exercice 2:

1. Courbe de la fonction f

2. Polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 3 points: 0, 1 et

3:

On a f(0) = 1, f(1) = 2,72 et f(3) = 20,08

Donc P1 = 2,32 x2 – 0,6 x + 1

3. Courbe de f et de P1 définis sur l'intervalle [0 , 5] sur une même figure :

24

Si on se limite à l'intervalle [0 , 3.5], on obtient la courbe suivante :

4. E(x) = f(x)-P1(x). E(x) exprime l'erreur d'approximation entre la fonction f et le

polynôme d'interpolation P1.

5. Courbe de la fonction E(x).

6. L'écart entre le polynôme d'interpolation et la fonction f est important en dehors des

points d'interpolation. On remarque cela même entre les points d'interpolation. Ainsi au

25

voisinage de 0,5 on l'écart s'approche de 0,4 et au voisinage de 2,3 il s'approche de -2.

Cet écart s'annule pour x=3 mais explose rapidement en dépassant ce nombre.

7. Coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points d'interpolation 0, 1,

2 et 3.

f[0] = f(0) = 1

𝑓[1] − 𝒇[𝟎]

1= 𝟏, 𝟕𝟐

f[1] = f(1) = 2,72 𝑓[1 2] − 𝑓[0 1]

2= 𝟏, 𝟒𝟖

𝑓[2] − 𝑓[1]

1= 𝟒, 𝟔𝟕

𝑓[1 2 3] − 𝑓[0 1 2]

1= 𝟎, 𝟖𝟓

f[2] = f(2) = 7,39 𝑓[2 3] − 𝑓[1 2]

2= 𝟒, 𝟎𝟏

𝒇 𝟑 − 𝒇[2]

1= 𝟏𝟐, 𝟕

f[3] = f(3) = 20,09

Expression de Newton

P2(x) = f[0] + (x – 0) f[0 1] + (x – 0) (x –1) f[0 1 2] + (x – 0) (x – 1) (x –2) f[0 1 2 3]

= 1 + 1,72 (x – 0) + 1,48 (x – 0) (x –1) + 0,85 (x – 0) (x – 1) (x –2)

8. On en déduit, en développant l'expression de P2:

P2(x) = 0,85 x3 – 1,06 x

2 + 1,93 x + 1

9. On obtient P2(5) = 90,4 et f(5) = 148,41

10. On déduit de la dernière réponse que le polynôme d'interpolation de Lagrange P2 ne

constitue pas une bonne approximation de f sur l'intervalle [0 , 5] sachant bien sûr qu'il

coïncide avec f dans les points 0, 1, 2 et 3.

26

Contrôle de rattrapage du 06/05/2013 (Durée 1heure)

Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = 2 x cos(x) + 1.

1. Montrer que f possède une racine sur [-1 , 1].

2. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer une racine de f avec une


.

3. Quel est le coût de la méthode de dichotomie pour le calcul de cette racine ?

4. On pose x0 = 0, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f


.

5. Evaluer le coût de la méthode de Newton pour le calcul de cette racine ?

6. On pose x0 = 0 et x1 = 1, utiliser la méthode de la sécante pour trouver une

racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3

.

7. Evaluer le coût de la méthode de la sécante pour le calcul de cette racine ?

8. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de

cet exemple.


y' x = ex + y

y 0 = 0


calculer y(1),

2. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et

[1/2, 1] pour calculer y(1),

3. Sachant que la solution analytique de l’équation différentie lle est y(x) =xex,


Corrigés

Exercice 1:

2. Méthode de dichotomie

27

a f(a) b f(b) c f(c) err

-1 -0,08060461 1 2,08060461 0 1 1

-1 -0,08060461 0 1 -0,5 0,12241744 0,5

-1 -0,08060461 -0,5 0,12241744 -0,75 -0,0975333 0,25

-0,75 -0,0975333 -0,5 0,12241744 -0,625 -0,0137039 0,125

-0,625 -0,0137039 -0,5 0,12241744 -0,5625 0,04833494 0,0625

-0,625 -0,0137039 -0,5625 0,04833494 -0,59375 0,01574242 0,03125

-0,625 -0,0137039 -0,59375 0,01574242 -0,609375 0,00061781 0,015625

-0,625 -0,0137039 -0,609375 0,00061781 -0,6171875 pas nécessaire 0,0078125



0 0 1 2 -0,5 -0,5

1 -0,5 0,12241744 1,27573959 -0,59595801 -0,09595801

2 -0,59595801 0,01355701 0,98619758 -0,60970477 -0,01374675

3 -0,60970477 0,0003072 0,9413693 -0,6100311 -0,00032633

4. Méthode de la sécante

xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri

0 1 1 2,08060461 1

1 -0,92540786 2,08060461 -0,11328197 -1,92540786

-0,92540786 -0,82598886 -0,11328197 -0,1197605 0,099419

-0,82598886 -2,66382429 -0,1197605 5,73107574 -1,83783543

-2,66382429 -0,86360743 5,73107574 -0,1221704 1,80021686

-0,86360743 -0,901182 -0,1221704 -0,11869785 -0,03757457

-0,901182 -2,18554804 -0,11869785 3,52105463 -1,28436604

-2,18554804 -0,94306713 3,52105463 -0,10774244 1,24248091

-0,94306713 -0,97995757 -0,10774244 -0,09178599 -0,03689044

-0,97995757 -1,19216174 -0,09178599 0,11862979 -0,21220417

-1,19216174 -1,07252368 0,11862979 -0,02513729 0,11963807

-1,07252368 -1,09344207 -0,02513729 -0,00472193 -0,0209184

-1,09344207 -1,09828035 -0,00472193 0,00028369 -0,00483828

-1,09828035 -1,09800614 0,00028369 -2,8535E-06 0,00027421

Exercice 2 :

Utilisation de la méthode de Runge-Kutta

28

x0 0

y0 0

k1 1,0000

k2 2,1487

k3 2,7231

k4 5,4414

x1 1

h 1

y1 2,6975

Méthode d'Euler avec subdivision de l'intervalle:

x0 0

y0 0

h 1

f(x0,y0) 1,0000

x+h/2 0,5

y(x+h/2) 0,5000

f(x+h/2,y(x+h/2)) 2,1487

x+h 1

y(x+h) 1,5744

Analytique 2,71828183

29

Contrôle du 13/11/2013 (Durée 2heures)

Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x2x - 1.

1. Montrer que f possède une racine sur [0 , 1].

2. Montrer que cette racine est unique sur [0 , 1].

3. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f avec une


.

4. On pose x0 = 0.5, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f


.

5. Quelle est d'après cet exemple la vitesse de convergence de la méthode de

Newton ?

6. Soit x0 = 0 et x1 = 0.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine

de f avec une précision de l’ordre de 10-3

.

7. Proposer une formule qui permet d'utiliser la méthode de substitution pour

trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3

.


exemple.

Exercice 2 : On considère la fonction f(x) = x - 1

2 sin(x) -1.

1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution x*.

2. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x*) = x

*,

vérifiant pour tous x et y réels : |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec 0 < k < 1.

3. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x*.

4. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x*

?

Exercice 3 : On considère sur ]0 , 1] la fonction f(x) = x - cos(1

x).

Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de racines.

Exercice 4 : On considère sur l’intervalle [-3 , 3] la fonction

f(x) = 𝟏

𝟏 + 𝒙𝟐


2. Tracer la courbe du polynôme d’interpolation de Lagrange qui coïncide avec f

en 4 points équidistants x1 , x2, x3, x4 avec x1= -3 et x4=3.

3. Calculer P1(0). Que pouvez-vous en déduire ?

4. Construire le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec

les mêmes points que ci-dessus.

30

Corrigés

Exercice 1:

1. f(0) = -1 et f(1) = 1 et f continue, donc f admet une racine sur [0 , 1].

2. f'(x) = (1 + x ln(2))2x. Donc f'(x) 0 et f est strictement croissante et admet

une racine unique sur [0 , 1].

3. Méthode de dichotomie


0,000 -1,000 1 1,000 0,500 -0,293 0,500

0,500 -0,293 1,000 1,000 0,750 0,261 0,250

0,500 -0,293 0,750 0,261 0,625 -0,036 0,125

0,625 -0,036 0,750 0,261 0,688 0,107 0,063

0,625 -0,036 0,688 0,107 0,656 0,034 0,031

0,625 -0,036 0,656 0,034 0,641 -0,001 0,016

0,641 -0,001 0,656 0,034 0,648

0,008



On note que f'(x) = (1 + x ln(2))2x


0 0,5 -0,293 1,6874 0,6736 0,1736

1 0,6736 0,074 2,1800 0,6395 -0,0341

2 0,6395 -0,004 2,0759 0,6413 0,0019

3 0,6413 0,000 2,0815 0,6412 -0,0002

5. Vérifier qu'avant la convergence

𝒏+𝟏

𝒏𝟐

est voisin d'une constante (ici 1.6). La convergence est dite quadratique.



0 0 0,5 -1,000 -0,293 0,5

1 0,5 0,7071 -0,293 0,154 0,2071

2 0,7071 0,6356 0,154 -0,012 -0,0715

31

3 0,6356 0,6410 -0,012 0,000 0,0053

4 0,6410 0,6412

0,0002

7. On a f(x) = 0 x=2-x

On pose g(x) = 2-x

Donc sur [0 , 1] on a

𝑔′(𝑥) = -ln(2)

𝟐𝒙

et donc

| 𝑔′(𝑥) | = ln(2)

𝟐𝒙

qui est une fonction décroissante sur [0 , 1] et on a sur cet intervalle | g'(x) | ≤ g'(0) =

0,6931<1. Cette expression de g peut donc être utilisée dans la méthode de substitution.

i xi xi+1 erri

0 0,5 0,7071 0,2071

1 0,7071 0,6125 -0,0946

2 0,6125 0,6540 0,0415

3 0,6540 0,6355 -0,0185

4 0,6355 0,6437 0,0082

5 0,6437 0,6401 -0,0037

6 0,6401 0,6417 0,0016

8 0,6417 0,6410 -0,0007

Exercice 2 :

g(x) = 1

2 sin(x) +1

on a k = 1

2

La méthode de substitution donne le tableau suivant:

I xi xi+1 ERR

𝒏+𝟏

𝒏

0 0,5 1,2397 0,7397 0,315

1 1,2397 1,4728 0,2331 0,106

32

2 1,4728 1,4976 0,0248 0,043

3 1,4976 1,4987 0,0011 0,036

4 1,4987 1,4987 0,0000 0,036

A la convergence, la solution est x*1,4987.

On remarque qu'avant la convergence 𝒏+𝟏

𝒏 est voisin d'une constante (ici 0.036). La

convergence est dite linéaire.

Exercice 4:

P1 = -0.05 x2 + 0.55

P1(0) = 0.55. Or f(0) = 1. Donc l'approximation de f par le polynôme P1 n'est pas

suffisamment précise en 0.

Coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points d'interpolation 0, 1, 2 et

3.

f[-3] = f(-3) = 0.1

𝑓[1] − 𝑓[−3]

2= 0.2

f[-1] = f(-1) = 0.5 𝑓 −1 1 − 𝑓[−3 − 1]

4= −0.05

𝑓[1] − 𝑓[−1]

2= 0

𝑓[−1 2 3] − 𝑓[−3 1 2]

1= 0

f[1] = f(1) = 0.5 𝑓[1 3] − 𝑓[−1 1]

4= −0.05

𝑓 3 − 𝑓[2]

2= −0.2

f[3] = f(3) = 0.1

D'où la formule de Newton: P1 = 0.1 + 0.2(x + 3) - 0.05(x + 3)(x+ 1).

33


Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = ex – 2x - 1. On

pose a = ln(2).

1. Montrer que f admet une racine unique sur ]- , a] que vous déterminez sans

utiliser les méthodes d'analyse numérique.

2. Montrer que f admet une racine unique sur [a , +[.

3. On considère l'intervalle [a , 2], utiliser la méthode de dichotomie pour calculer

la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2

.

4. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f sur [a ,

2] avec une précision de l’ordre de 10-3

.

5. Soit x0 = 1 et x1 = 1.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f

sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3

.

On pose g(x) = 1

2 (e

x – 1).

6. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement.

7. Montrer que pour tout x de [a , 2], g'(x)≥1.

8. En déduire que cette expression de g ne permet pas d'utiliser la méthode de

substitution pour trouver la racine de f sur [a , 2].

On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1)


10. Montrer que l'on peut alors utiliser la méthode de substitution avec cette

expression de g pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de

l’ordre de 10-3

.


exemple.

Exercice 2: On considère sur l’intervalle [-3 , 3] la fonction

f(x) = 1

1 + 𝑥2


2. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 4

points équidistants x1 , x2, x3, x4 avec x1= -3 et x4=3.

3. Tracer la courbe de P1 sur l’intervalle [-3 , 3].

4. Calculer P1(0). Que pouvez-vous en déduire ?

5. Construire le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec



y' = -2 x y avec y(0) = 1


34


calculer y(1),

3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1] pour

calculer y(1),

4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = 𝑒−𝑥2,

comparer les solutions obtenues dans les 3 questions précédentes.

Corrigés

Exercice 1:

1. 0 est la racine de f sur ]- , a].

2. On a aussi f(a) = -0.3863 et f(3) = 13.0855 donc f(a). f(3) < 0. f étant continue, alors f

admet une racine dans ]a , 3[.

f'(x) = ex – 2 > 0 sur ]a , +[, donc f est strictement croissante sur ]a , +[. La racine de f

est donc unique dans ]a , +[.

3. DICHOTOMIE


0,693 -0,386 2 2,389 1,347 0,151 0,653

0,693 -0,386 1,347 0,151 1,020 -0,267 0,327

1,020 -0,267 1,347 0,151 1,183 -0,102 0,163

1,183 -0,102 1,347 0,151 1,265 0,013 0,082

1,183 -0,102 1,265 0,013 1,224 -0,047 0,041

1,224 -0,047 1,265 0,013 1,244 -0,018 0,020

1,244 -0,018 1,265 0,013 1,255 -0,003 0,010

1,255 -0,003 1,265 0,013 1,260

0,005

4. Newton


1 1 -0,2817 0,7183 1,3922 0,3922

2 1,3922 0,2393 2,0237 1,2740 -0,1183

35

3 1,2740 0,0271 1,5750 1,2568 -0,0172

4 1,2568 0,0005 1,5141 1,2564 -0,0003

5. Sécante


1 1 1,5 -0,2817 0,4817 0,5

2 1,5 1,1845 0,4817 -0,0999 -0,3155

3 1,1845 1,2387 -0,0999 -0,0262 0,0542

4 1,2387 1,2580 -0,0262 0,0024 0,0193

5 1,2580 1,2564 0,0024 -0,0001 -0,0016

6 1,2564 1,2564

0,0000

6. On a si x est racine de f alors 2x + 1 0 donc ln(2x + 1) est bien défini.

On peut donc écrire:

f(x) = 0 ex – 2x – 1 = 0

1

2 (e

x – 1) = x

g(x) = x

7. Facile

8. Remarquer que l'on a : pour tout x dans [a, 2], | g'(x)| ≥ 1.

9. On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1)

𝑔′ 𝑥 = 2

2x + 1

On remarque que a 0.6. Donc, pour tout x dans [a, 2], 0 < g'(x) < 2

2.2 < 0.95 < 1.

On peut donc écrire, pour tout x dans [a, 2], | g'(x)| < k avec k = 0.95 < 1.

Cette dernière expression de g convient à l'utilisation de la méthode de substitution.

On a ainsi le tableau donné par la méthode de substitution

i xi xi+1 erri

1 1 1,0986 0,0986

2 1,0986 1,1623 0,0637

36

3 1,1623 1,2013 0,0391

4 1,2013 1,2246 0,0232

5 1,2246 1,2381 0,0136

6 1,2381 1,2460 0,0078

7 1,2460 1,2504 0,0045

8 1,2504 1,2530 0,0026

9 1,2530 1,2545 0,0015

10 1,2545 1,2553 0,0008

Solution x*1,2553.

Le corrigé des exercices restants est déjà donné.

37

Contrôle de rattrapage du 25/01/2014 (Durée 1heures)

Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = sin(ex) – x.

1. Montrer que f admet une racine sur [-1 , 1].

2. Montrer que f ne s'annule pas sur ]- , -1[ et sur [1 , +[.

3. Montrer que f s'annule en un point unique sur R.

4. On considère l'intervalle [-1 , 1], utiliser la méthode de dichotomie pour calculer

la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2

.

5. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f avec

une précision de l’ordre de 10-3

.

6. Soit x0 = 1 et x1 = 1.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f


.

7. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple.


y' = -2 x y avec y(0) = 1



y(1),

3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2,

1] pour calculer y(1),

4. [1/2, 1] pour calculer y(1),

5. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = 𝑒−𝑥2,

comparer les solutions obtenues en termes de cout et de précision dans les

questions précédentes.

Corrigés

Exercice 1:

1. On a

f(-1) = 1,360

f(1) = -0,589

f(-1).f(1) < 0 et f continue donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f

admet une racine sur [-1 , 1].

2. Si x<-1 alors | x |>1 et donc sin(ex) – x ne peut pas s'annuler

(sinon on aurait | sin(ex) | = | x |>1).

Donc f ne s'annule pas sur ]- , -1[.

De même, si x>1 alors | x |>1 et donc sin(ex) – x ne peut pas s'annuler

(sinon on aurait | sin(ex) | = | x |>1).

Donc f ne s'annule pas sur ]1 , + [.

38

En plus f(1)0. Donc f ne s'annule pas sur [1 , + [.

3. On va montrer que f'(x) < 0 pour x [-1 , 1],

On a f'(x) = ex cos(e

x) – 1.

Lorsque x parcourt l'intervalle [-1 , 1], alors ex parcourt l'intervalle [1/e , e], soit [0.37 ,

2.72].

Or si ex est dans [0.37 , 1] alors ex

cos(ex) < 1 car ex

< 1 et cos(ex) < 1,

Si ex est dans [1 , π/2] alors cos(e

x) < 1 = 0.54 et donc ex

cos(ex) < 0.54 π/2 = 0.85 < 1,

Si ex est dans [π/2 , 2.72] alors cos(e

x) < 0 et donc ex

cos(ex) < 1.

Donc on a toujours pour tout x dans [-1 , 1], f'(x) = ex cos(e

x) – 1 < 0.

f est donc strictement décroissante et ainsi admet une racine unique sur [ -1 , 1] et

donc, d'après les questions précédentes une racine unique sur R.

4. DICHOTOMIE

a f(a) b f(b) c f(c) err a

0 -1,000 1,360 1 -0,589 0,000 0,841 1,000

1 0,000 0,841 1,000 -0,589 0,500 0,497 0,500

2 0,500 0,497 1,000 -0,589 0,750 0,105 0,250

3 0,750 0,105 1,000 -0,589 0,875 -0,199 0,125

4 0,750 0,105 0,875 -0,199 0,813 -0,037 0,063

5 0,750 0,105 0,813 -0,037 0,781 0,036 0,031

6 0,781 0,036 0,813 -0,037 0,797 0,001 0,016

7 0,797 0,001 0,813 -0,037 0,805 -0,018 0,008

5. Newton


1 1,0 -0,589 -3,478 0,8306 -0,1694

2 0,8306 -0,081 -2,520 0,7983 -0,0323

3 0,7983 -0,003 -2,346 0,7971 -0,0012

4 0,7971 0,000 -2,340 0,7971 0,0000

6. Sécante


0 1 1,5 -0,589 -2,474 0,5

1 1,5 0,8436 -2,474 -0,115 -0,6564

39

2 0,8436 0,8117 -0,115 -0,035 -0,0319

3 0,8117 0,7978 -0,035 -0,002 -0,0139

4 0,7978 0,7971 -0,002 0,000 -0,0007

Exercice 2: Correction déjà donnée.

40


Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = xex - cos(x).

1. Montrer que f ne s'annule pas sur [1 , +[.

2. En déduire que f possède une racine unique sur [0 , +[.

3. Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver la racine positive de f avec une


en considérant l'intervalle [0 , 1].

4. Evaluer le coût de la méthode de dichotomie dans le cas ci -dessus.

5. Utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine positive de f avec une


avec x0 = 0 et x1=0,5.

6. Evaluer le coût de la méthode de la sécante dans le cas ci -dessus.

7. Utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de

l’ordre de 10-3

avec x0 = 1.

8. Evaluer le coût de la méthode de Newton dans le cas ci-dessus.

9. Montrer que f possède une infinité de racines sur ]- , 0].

Exercice 2 : On se propose de calculer une racine de la fonction f(x) = x cos(x) + 2 x

+ 1 sur

[-1 , 1].

a- Montrer que f admet une racine unique sur [-1 , 1].

b- Montrer que l'on peut utiliser la méthode de substitution pour calculer cette

racine de f en posant :

𝑔(𝑥) = −1

cos 𝑥 + 2

Exercice 3 : On considère le tableau des xi et yi:

i 0 1 2 3 4

xi -3 -1 0 1 3

yi 1.5 3.5 5.2 3.5 1.5

1. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P en utilisant les x i et yi ci-

dessus.

2. Tracer la courbe de P sur l’intervalle [-3 , 3].

3. Retrouver le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec


Corrigés

Exercice 1:

1. Si x ≥ 1 alors xex > 1 et donc f(x) = xe

x - cos(x) > 0.

41

Donc f ne s'annule pas sur [1 , +].

2. Il suffit de montrer que f possède une racine unique sur [0 , 1].

f est continue sur [0 , 1] et f(0) = -1 et f(1) = 2,1780, d'où f(0).f(1)0. D'après le

théorème des valeurs intermédiaires, f admet une racine sur [0 , 1].

D'un autre coté, f est dérivable sur et f'(x) = (1 + x)ex - sin(x) et en plus pour tout

x[0 , 1], 1 + x ≥ 1 et ex ≥ 1 donc (1 + x)e

x ≥ 1 en même temps on a pour tout x[0 ,

1], sin(x) 1. Tout cela montre que

x[0 , 1], f'(x) = (1 + x)ex - sin(x) > 0. f est donc strictement croissante sur [0 , 1],

et ne peut avoir qu'une racine unique sur [0 , 1], ce qui répond à la question.

3. Dichotomie

i a f(a) b f(b) c f(c) err

0 0,0000 -1,0000 1,0000 2,1780 0,5000 -0,0532 0,5000

1 0,5000 -0,0532 1,0000 2,1780 0,7500 0,8561 0,2500

2 0,5000 -0,0532 0,7500 0,8561 0,6250 0,3567 0,1250

3 0,5000 -0,0532 0,6250 0,3567 0,5625 0,1413 0,0625

4 0,5000 -0,0532 0,5625 0,1413 0,5313 0,0415 0,0313

5 0,5000 -0,0532 0,5313 0,0415 0,5156 -0,0065 0,0156

6 0,5156 -0,0065 0,5313 0,0415 0,5234 Pas néc. 0,0078

4. Coût de la méthode de dichotomie : 8 fois f est calculée.


i xi xi +1 f(xi) f(xi+1) erri

0 0,00000 0,50000 -0,1353 0,1823 0,50000

1 0,50000 0,21301 0,1823 0,0256 -0,28699

2 0,21301 0,16605 0,0256 -0,0062 -0,04697

3 0,16605 0,17515 -0,0062 0,0002 0,00910

4 0,17515 0,17493 0,0002 Pas néc. -0,00022

6. Coût de la méthode de dichotomie : 5 fois f est calculée.


i xi f(xi) f'(xi) xi+1 ERREUR

0 0,50000 0,1823 0,4435 0,08891 -0,411093

1 0,08891 -0,0627 0,7704 0,17035 0,081441

42

2 0,17035 -0,0032 0,6940 0,17491 0,004566

3 0,17491 0,0000 0,6899 0,17493 0,000013

8. Coût de la méthode de Newton : 4 fois f est calculée et 4 fois f' est calculée.

9. Pour répondre à cette question, on va utiliser le fait que lorsque x décroit de -1

vers - , xex tend vers 0, alors que cos(x) oscille entre -1 et 1.

On a pour tout x ≤ -1, -1 < xex < 0 < 1. Donc, si on considère :

[-2π , -π], f est continue sur cet intervalle et f(-2π)= (-2π)e(-2π)

- cos(-2π)= (-2π)e(-2π)

– 10

et et f(-π)= (-π)e(-π)

- cos(-π)= (-π)e(-π)

+ 1>0. Donc f admet une racine dans [-2π , -

π].

De même f admet une racine dans [-4π , -3π] et de façon générale sur f admet une

racine dans [-2kπ , (-2k+1)π], k≥1.

Il suffit de remarquer que ces intervalles sont disjoints pour conclure que f admet

une infinité de racines sur ]- , 0].

Exercice 2 : Correction déjà donnée.

Exercice 3 : On considère le tableau des xi et yi:

i 0 1 2 3 4

xi -3 -1 0 1 3

yi 1.5 3.5 5.2 3.5 1.5

43


Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = ex – 2x - 1. On

pose a = ln(2).

1. Montrer que f admet une racine unique sur ]- , a] que vous déterminez sans

utiliser les méthodes d'analyse numérique.

2. Montrer que f admet une racine unique sur [a , +[.

3. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f sur [a ,

2] avec une précision de l’ordre de 10-3

.

On pose g(x) = 1

2 (e

x – 1).


5. Montrer que pour tout x de [a , 2], g'(x)≥1.

6. En déduire que cette expression de g ne permet pas d'utiliser la méthode de

substitution pour trouver la racine de f sur [a , 2].

On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1)


8. Montrer que l'on peut alors utiliser la méthode de subst itution avec cette

expression de g pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de

l’ordre de 10-3

.

Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction

f(x) = 1

𝑥

1. Tracer la courbe de f.

2. On sait d'après le cours que l'erreur d'interpolation en x0, x1,…, xn d'une fonction

f est donnée par

𝑒 𝑥 =1

𝑛 + 1 !𝑓 𝑛+1 𝜉 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … (𝑥 − 𝑥𝑛)

avec 𝜉 Int(x, x1 , x2, ... xn): le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ..., xn.

Comparer en traçant les courbes des fonctions correspondantes, les expressions :

𝑆𝑢𝑝𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.5 (𝑥 − 2) et 𝑆𝑢𝑝𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.2 (𝑥 − 2)

3. Quels points d'interpolation donneraient alors la meilleure approximation de f,

x0=1, x1=1.5, x2=2 ou x0=1, x1=1.2, x2=2 ?

44

4. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2.

5. Calculer les coefficients du polynôme d'interpolation en utilisant la formule de

Newton pour

x0=1, x1= 4

3, x2=

5

3 et x3=2.

Corrigés

Exercice 1: Correction déjà donnée

Exercice 2 :

1. Courbe de f :

2. Soient

P1(x) = |(x-1) (x-1.5) (x-2)|

P2(x) = |(x-1) (x-1.2) (x-2)|

Les courbes de P1 et P2 sont données par :

45

Et on voit que

𝑆𝑢𝑝𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.5 (𝑥 − 2) 𝑆𝑢𝑝𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.2 (𝑥 − 2)

3. On déduit de la question précédente que les points x0=1, x1=1.5, x2=2 donneraient

la meilleure approximation de f par interpolation.

4. Le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2 est :

P = 0.3333 x2 - 1.5 x + 2.1667

La dernière question est déjà traitée dans un précédent exercice.

46


Exercice 1 :

On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x5 + 2x

3 - 1.

1. Montrer que f admet une racine unique dans R.

On note cette racine réelle de f.

2. Montrer que 1.

3. Montrer que > 0.

On considère alors l'intervalle [0 , 1]. On veut utiliser la méthode de Newton pour

trouver une estimation de .

4. Démontrer que si on choisit x0 ≥ 1, la suite (xn)n donnée par la méthode de

Newton est strictement décroissante.

5. Démontrer que pour tout n ≥ 1,

𝑥𝑛+1 = 𝛼 + (𝛼 − 𝑥𝑛)2

2

𝑓"()

𝑓′(𝑥𝑛) , ] , 𝑥𝑛 [

6. Démontrer que la suite (xn)n est minorée par .

Dans l'expression

7. Démontrer alors que la suite (xn)n converge vers .

8. On choisit maintenant x0=1, calculer la racine de f, avec une précision de 10-3

.

9. Quelle est la vitesse de convergence de la suite (xn)n ?

Exercice 2 : On se propose de calculer l’intégrale suivante :

I = 1

𝑥𝑑𝑥

2

1

1. Calculer analytiquement I.

2. Soit P = 0.3333 x2 - 1.5 x + 2.1667, le polynôme d’interpolation de Lagrange

de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2. Calculer

𝐼𝑃 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥2

1

47

3. Calculer numériquement des estimations de I en utilisant les méthodes des

trapèzes (pour obtenir It) et Simpson (pour obtenir Is).

4. Comparer et interpréter les résultats obtenus.

5. Utiliser la méthode des trapèzes pour obtenir une valeur approchée It2 de I en

subdivisant l'intervalle [1, 2] en 2 sous-intervalles de même taille.

6. Expliquer graphiquement pourquoi It2 est supérieure à ln(2).

Corrigés

Exercice 1:

1. f est continue sur R et

lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = −∞ et lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = +∞

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f admet une racine réelle.

D'un autre côté f'(x) = 5x4 + 6x

2. Donc ,

xR*, f'(x) > 0. On en déduit facilement que f est strictement croissante sur R. Ce

qui implique l'unicité de la racine de f.

On note cette racine réelle de f.

2. Si x ≥ 1, f(x) = x5 + 2x

3 – 1 ≥ 2x

3 ≥ 2 donc x ne peut pas être racine de f. Donc

1.

3. Si x ≤ 0, f(x) = x5 + 2x

3 – 1 ≤ -1 0, donc x ne peut pas être racine de f. Donc

> 0.

4. La suite (xn)n donnée par la méthode de Newton est construite par la formule :

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛)

Comme x0 ≥ 1, donc x0 à ] , +[. On va démontrer que x1 ] , x0[. On a :

𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓 𝑥0

𝑓 ′ 𝑥0

On a

𝑓 𝑥0 − 𝑓()

𝑥0 − = 𝑓 ′ , ] , 𝑥0[

Or f" est strictement croissante sur [ , x0] (facile à vérifier), donc

𝑓 𝑥0 − 𝑓()

𝑥0 − 𝑓 ′(𝑥0)

48

f() = 0, donc on obtient :

𝑓 𝑥0

𝑓′(𝑥0) 𝑥0 −

Donc x1. D'un autre côté on a f(x0) > 0 et f'(x0) > 0, donc x1 x0. On a ainsi

montré que x1 ] , x0[.

Un raisonnement par récurrence permet de montrer (comme pour x1) que pour tout

n ≥ 1, xn+1 ] , xn[.

Ceci montre que la suite (xn)n donnée par la méthode de Newton est strictement

décroissante.

5. Pour tout n ≥ 0, on a montré que xn+1 ] , xn[. On peut aussi écrire :

𝑓 = 𝑓 𝑥𝑛 + − 𝑥𝑛 𝑓 ′ 𝑥𝑛 + (− 𝑥𝑛)2

2𝑓"(), ] , 𝑥𝑛 [

Donc,

Comme f() = 0, on peut écrire

𝑥𝑛 𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝑥𝑛 + (− 𝑥𝑛)2

2𝑓"(), ] , 𝑥𝑛 [

Et ainsi

𝑥𝑛+1 = 𝛼 + (𝛼 − 𝑥𝑛)2

2

𝑓"()

𝑓′(𝑥𝑛) , ] , 𝑥𝑛[

6.

𝑥𝑛+1 = 𝛼 + (𝛼 − 𝑥𝑛)2

2

𝑓"()

𝑓′(𝑥𝑛) , ] , 𝑥𝑛 [

] , xn[ donc f''()> 0, on a aussi xn, donc f'(xn) > 0.

Donc

𝑥𝑛+1 − 𝛼 = (𝛼 − 𝑥𝑛)2

2

𝑓"()

𝑓′(𝑥𝑛) > 0

Ce qui montre que la suite (xn)n est minorée par .

7. La suite (xn)n est strictement décroissante et minorée par . Elle est donc

convergente. Soit l = lim(xn).

Il est facile de voir que l ≥ .

On a :

49

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛)

Comme f et f' sont des fonctions continues, on a

lim(𝑥𝑛+1) = lim(𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛

𝑓 ′ 𝑥𝑛 )

Comme f et f' sont des fonctions continues, on a

𝑙 = 𝑙 − 𝑓 𝑙

𝑓 ′ 𝑙

Il s'en suit que f(l) = 0. Comme la racine de f est unique, on en déduit que l = .

8. Le tableau suivant donne la racine de f par la méthode de Newton avec x0=1 et

une précision de 10-3

.

i xi f(xi) f'(xi) xi+1 Erri = |xi+1 - xi|

0 1 2 11 0,81818182 0,1818

1 0,8182 0,46206 6,25715457 0,74433598 0,0738

2 0,7443 0,05326 4,85899607 0,73337563 0,0110

3 0,7334 0,00102 4,67339725 0,73315694 0,0002

D'après le tableau ci-dessus, la racine de f est donnée par 0,7334.

9. On sait que la méthode de Newton est à convergence quadratique.

D'après le tableau précédent, on a

i

𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 2

𝑥𝑖+1 −

𝑥𝑖 − 2

0

1,19

1 2,23 1,55

2 2,01 1,75

3 1,82 1,79

Le tableau ci-dessus montre que la convergence est bien quadratique.

Exercice 2: Correction déjà donnée.

Sélection de contrôles avec correction

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