Seance 4 - CompresseursSolutions

Solution de l’exercice 1

Compresseur sans refroidissement intermediaire

La transformation de compression (augmentation de pression) est realisee a l’aide d’unemachine receptrice : ici, un compresseur. Le chemin suivi pour effectuer cet effet est de-termine par la relation polytropique suivante :

p vm = constante ⇒ p1 vm1 = p2 v

m2

d’ou on tire (en appliquand la loi des gaz parfaits sur v1 et v2) :

T2

T1=

(p2p1

)m−1m

Dans cette relation, l’inconnue a determiner pour pouvoir calculer la temperature finale T2

est le coefficient de la transformation polytropique : m. Celui-ci peut-etre determine graceau rendement polytropique interne donne dans l’enonce :

Pour une machine receptrice :

ηpi =wu

wm

Les deux formes (mecaniques et energetiques) du travail moteur (en systeme ouvert) nousdonne les equations suivantes :

wm =

∫v dp+Δk + gΔz + wf

wm = Δh+Δk + gΔz − q

On rappele les hypotheses du modele polytropique : pas d’echanges de chaleur avec lemonde exterieure (adiabatique) et des travaux de frottement proportionnels au travailmoteur. De plus, en supposant qu’il n’y a pas de variation d’energie cinetique durant latransformation, ni de variation de l’energie potentielle, on trouve :

wm =

∫v dp+ wf ⇒ wu = wm − wf =

∫v dp

wm = Δh = cpΔT

Le rendement polytropique se reexprime donc :

ηpi =

∫v dp

cpΔT

Des integrations judicieuses transforment les numerateurs et denominateurs en :

42

∫ 2

1v dp =

∫ 2

1v1

(p1p

)( 1m)

dp

=m

m− 1p1 v1

((p2p1

)m−1m

− 1

)

cpΔT = cp T1

(T2

T1− 1

)

=cpR∗

p1 v1

((p2p1

)m−1m

− 1

)

Soit :

ηpi =m

m−1cpR∗

Et comme :

γ =cpcv

et R∗ = cp − cv ⇒ cpR∗

=γ

γ − 1

Le rendement polytropique interne 1 vaut donc :

ηpi =m

m− 1

γ − 1

γ⇒ m =

(ηpi γ

γ − 1− 1

)Avec, le calcul de la valeur du coefficient de Poisson :

γ =Cp,m

Cp,m=

Cp,m

Cp,m −R=

29.30

20.986= 1.396

On trouve donc :

m = 1.608 (m > γ)

dont on en deduit :

T2 = 1273.56 [K]

= 1000.41 [oC]

wm = Δ21 h = cp (T2 − T1) = 994.96 [kJ/kg]

Calcul du debit massique

Le debit est donne sous la forme d’un debit volumique normalise : ˙VN . La definition del’unite de ce debit :m3

N/h est la quantite de fluide dans un volume d’un metre cube dans lesconditions normales de temperatures et de pression par unite de temps. La transformationdu debit volumique normalise en debit massique se fait via la loi des Gaz Parfaits :

1. Attention au fait que dans le cas d’une machine motrice telle qu’une turbine, l’expression du rende-ment polytropique serait inversee :

ηpi =wm

wu=

m− 1

m

γ

γ − 1

43

m =˙VN

vN= ˙VN

pNR∗ TN

= 7.084 [kg/s]

Dans cette equation, les parametres TN et pN representent la temperature et la pres-sion aux conditions normales. La valeur de celles-ci soulevent de grands debats dans lesmilieux scientifiques mais, dans ce cours, nous choisirons de nous placer du point de vuede l’ingenieur. Les valeurs a prendre sont donc les suivantes :

TN = 0oC = 273.15 K et pN = 1 [bar] = 100000 [Pa]

Calcul des puissances utiles et motrice

On en deduit la puissance motrice et la puissance a fournir necessaire a cette compression :

Pm = mwm = 7048 [kW ]

P =mwm

ηmec= 7266 [kW ]

2. Compresseur avec refroidissement intermediaire : Nombre d’etages

En se representant le travail a fournir au fluide sous forme de la surface sous l’isobaredans le diagramme (T-s), on se rend compte assez rapidement que realiser la compressionen plusieurs etapes, en refroidissant le fluide jusqu’a sa temperature initiale entre chaqueetape diminuerait de facon tres importante le travail a fournir au fluide.En outre, la temperature de 1000oC atteinte apres la compression en un etage pose pro-bleme car elle necessite de construire le compresseur en materiau plus couteux car plusresistants a la pression et a la temperature. Pour ces raisons, on realise la compression enplusieurs etages et on se fixe une temperature maximale a ne jamais depasser dans lesetages de compression pour ne pas les endommager.

Le premier etage amene le fluide d’une pression pi1 egale a p0 a une pression pf1 , le secondetage amene d’une pression pi2 a une pression pf2 , le troisieme de pi3 a une pression pf3 ,... jusqu’au neme etage qui amene de la pression pin a la pression finale pfn egale a pR.Etant donne que la pression finale d’un etage i est egale a la pression initiale de l’etagei+1 car le refroidissement intermediaire est isobare, on montre que le rapport de pressiona effectuer est simplement egal au produit des rapports de compression de chaque etage.

50

1=

pRp0

=pf1pi1

pf2pi3

pf3pi3

...pfnpin

Chaque compression est de type polytropique pour des temperatures d’entree (300K) etde sortie (473.15) de chaque etage constantes. On pourrait demontrer qu’un rapport decompression constant pour chaque etage minimise le travail moteur de l’instal-lation. On peut ainsi lier les rapports de compression de chaque etage au rapport maximalde temperature :

T2i

T1i≤ 473.15

300

p2ip1i

=

(T2i

T1i

) mm−1

44

On a ainsi le rapport de compression des etages qui assure la compression allant jusqu’auxlimites maximales admissibles de temperature dans le compresseur.

Figure 4.1 – Diagramme (T, S) de l’evolution dans le compresseur.

45

Cependant, l’air est pris a la temperature de 17oC = 290K ce qui implique une pre-compression de 10oC entre l’etat 0 et 11 pour atteindre la valeur de 27oC = 300K avantde realiser dans le premier etage le meme rapport de compression que dans les autres :

p11p0

=

(T11

T0

) mm−1

Pour les n etages on a donc :

pRp1i

≤((

473

300

) mm−1

)n

≤(473

300

)n mm−1

(pRp0

)m−1m

≤(473

300

)n(300

290

)Connaissant le rapport entre pR et p0, ainsi que le coefficient polytropique m = 1.608, onresout :

n log

(473

300

)≥ log

[500.378 ×

(290

300

)]ce qui nous donne un nombre d’etages n = 3.173. Plusieurs perspectives de machine s’ouvrea nous. On pourrait tout d’abord realiser trois etages identiques et un quatrieme differentpour atteindre ces 50 bars sans jamais depasser les 200oC mais cette solution doit etrerejettee car il est preferable d’avoir tous les etages identiques, a la fois pour des raisonsmecaniques, thermodynamiques et economiques de production. Ensuite en realisant troisetages identiques, on n’atteint pas les 50 bars requis ; cette solution doit etre rejettee. Fi-nalement, en realisant quatre etages identiques, on depassera la pression requise, ce quipeut etre problematique. Mais, une autre contrainte peut etre relaxee : les 200oC sont unelimite maximale a ne pas depasser, on peut donc realiser des compressions atteignant enquatre etages identiques les 50 bars en atteignant une temperature inferieure.

Il faut donc maintenant calculer la temperature reellement atteinte en sortie de chaqueetage de compression pour atteindre 50 bars en quatre etages :

2.2 Rapport de compression par etage

En reprenant la formule precedente, ou l’inconnue n’est plus le nombre d’etages mais latemperature atteinte :

pRp0

= 50 =

((Tx

300

) mm−1

)4(300

290

) mm−1

Le rapport de compression de l’etage de pre-compression n’est absolument pas modifie :

(p11p0

)=

(300

290

) mm−1

= 1.094

On obtient finalement de :

pRp0

= 50 =

(p2ip1i

)4(300

290

) mm−1

la valeur du rapport de compression de chaque etage :

46

(p2ip1i

)= 2.6

Pour le premier etage (avec son pre-compresseur), il vient :(p21p0

)=

(p21p11

)(p11p0

)= 2.844

De meme si i �= 1 (p2ip1i

)= 2.60

Les temperatures s’obtiennent relativement aisement :

(T2i

T1i

)=

(p2ip1i

)m−1m

= 2.600.378 = 1.435

Ce qui implique que T2i = 430.5K = 157.5 oC, qui est bien situe sous la contrainte des200oC.

Figure 4.2 – Diagramme (T, S) de l’evolution dans le compresseur.

2.3 Travail moteur

Le travail moteur de l’installation est egal a la somme des travaux moteurs de chaqueetage :

Wm =

4∑i=1

Wmi

Les expressions mecaniques et energetiques du travail moteur sont rappelees ici :

wmi =

∫ 2i

1i

v dp+ wf i +Δki + gΔzi

wmi = −qi +Δhi +Δki + gΔzi

Comme d’habitude pour les compresseurs, on negligera les termes Δk car la vitesse dufluide ne varie pas entre l’entree et la sortie du compresseur, Δz et Q car le compresseurest cense etre horizontal et bien isole (adiabatique). L’expression du travail moteur pourune compression polytropique est :

47

wmi =

∫ 2i

1i

v dp+ wf i =

∫ 2i1i

v dp

ηpi=

γ

γ − 1p1i v1i

[(p2ip1i

)m−1m

− 1

]

Ce qui est neanmoins complique a calculer alors que la formulation energetique fournitune approche plus simple :

wmi = Δhi = (h2i − h1i) =Cp

Mm(T2i − T1i)

wm = 1.012× [3× (157.5− 27) + 1× (157.5− 17)] = 538 [kJ/kg]

La puissance de l’installation vaut :

P =Pm

ηmec=

Wm × m

ηmec

Avec le debit massique calcule precedemment, on obtient :Pm = 3867 [kW ] et P = 3987 [kW ]

Compare aux 7266 [kW ] necessaire pour effectuer la compression en un etage simple, onremarque qu’avec 4 etages, il n’est necessaire de fournir que 55% de la puissance a fournirpour la meme compression en une etape. Par contre, economiquement parlant, le prix dela machine aura fortement augmente du fait de l’accroissement de sa complexite.

Pertes de charge aux refrigerants

Dans la realite, l’enorme quantite de tuyau presente dans les refroidisseurs va impliquerque les pertes de charge y sont non negligeables. La perte de charge est du type :

p1i+1

p2i= 0.95

On peut donc ecrire :

pRp14

=p24p14

=

(T24

T14

) mm−1

p14p23

= 0.95

p23p13

=

(T23

T13

) mm−1

p13p22

= 0.95

p22p12

=

(T22

T12

) mm−1

p12p21

= 0.95

p21p11

=

(T21

T11

) mm−1

p11p0

=

(T11

T0

) mm−1

= 1.094

48

La condition d’optimalite sur le travail moteur implique que les rapports p2ip1i

soient egauxet donc que les temperatures T2i aussi. En multipliant membre a membre les formulesecrites pour chaque etage on trouve :

pRp0

= 50 = (0.95)n−1(T2i

T1i

) mm−1

×n× 1.094

donc finalement :

p2ip1i

= 2.702

Pour le premier etage :

p21p0

= 2.956

Pour les etages 2, 3, 4 on a : (p2ip1i

)i �=1

= 2.702

Les temperatures sont T2i = 300× (2.702)0.378 = 436.8 K

Le travail moteur vaut :

wm =4∑

i=1

wmi = 1.012× (3× (163.8− 27) + 1× (163.8− 17)) = 563.9 [kJ/kg]

On trouve aisement les puissances : Pm = 4050 [kW ] ; P = 4175 [kW ]On voit donc immediatement que prendre en compte les pertes sous forme de pertes decharge, augmente de 5% la puissance necessaire a fournir a l’installation pour effectuer lacompression.

Cas ou le nombre d’etages vaut n = 5

En utilisant la formule trouvee avant avec n = 5 :

pRp0

= 50 = (0.95)n−1(T2i

T1i

) mm−1

×n× 1.094

(p2ip1i

)= 2.238

Pour le premier etage :

p21p0

= 2.448

Pour les etages 2, 3, 4 on a : (p2ip1i

)i �=1

= 2.238

Les temperatures sont T2i = 300× (2.238)0.378 = 406.8K

49

Le travail moteur vaut :

wm = 1.012× (4× (133.8− 27) + 1× (133.8− 17)) = 550.5 [kJ/kg]

On trouve aisement les puissances :

Pm = 3954 [kW ] P = 4075 [kW ]

Comme attendu, l’augmentation du nombre d’etages a un effet benefique sur la puissancea fournir pour effectuer cette compression. Cependant, la diminution de puissance a four-nir est de moins en moins important pour chaque etage supplementaire. Et en theorie,la puissance a fournir tend vers zero pour un nombre d’etages infini. Cette constatationn’est vraie que si on ne prend pas en compte les pertes de charge. En effet, en prenant encompte ces pertes, le nombre d’etages presente un optimal different de l’infini comme on levoit sur la figure (4.3). L’augmentation d’etages implique l’augmentation de refroidisseursavec des pertes de charge de 5% par refroidisseur. Ainsi, il vient un moment ou le gaind’un etage ne compense plus les pertes de charge dues a l’ajout d’un refroidisseur.

Figure 4.3 – Evolution de la puissance avec le nombre d’etages.

En pratique, le nombre optimal d’etages, 8 dans ce cas, n’est jamais atteint car le gain derendement n’est plus compense par l’augmentation du prix d’investissement. On se limitea un seul etage voir deux etages sur les turbines a gaz et a peine a trois ou quatre sur lesmachines de compression a vocation industrielle.

50

Seance 5 - Adaptation Machine-CircuitSolutions

Dans ces exercices, on fait la distinction nette entre les circuits et les machines. Le circuitest la partie comportant les conduites, les reservoirs, ... comportant finalement tous leselements exceptes les pieces mobiles produisant ou consommant du travail moteur. Ceselements sont inclus dans la partie ”machine”.

Exercice 1

Rappel sur le NPSH

A l’interieur d’une machine de compression, le fluide est accelere, ce qui entraıne unelegere depression avant son augmentation de pression. Au cours de l’ecoulement, si la de-pression provoquee par cette acceleration fait tomber la pression du liquide au-dessous dela pression de saturation, le liquide s’evapore localement dans la pompe. La disparition pareffondrement des bulles ainsi formees peut provoquer une intense erosion des elements dela pompe. Dans le cas de composes liquides complexes, la chute de pression peut egalementfaire apparaıtre des bulles d’un gaz qui se trouvait en solution. Ce phenomene d’erosionpar effondrement de bulles de gaz ou de vapeur est appele la cavitation.

La depression due a l’acceleration du fluide est connue et impose aux utilisateurs unepression d’aspiration limite en entree de pompe en-dessous de laquelle celle-ci ne peutaspirer un liquide sans risquer de provoquer de la cavitation a un endroit donne de lamachine. Cette pression d’aspiration limite est donc un parametre essentiel a prendre encompte lors du dimensionnement d’un circuit. Il faut que :

paspiration ≥ plimite admissible = psaturation +Δpacceleration

En pratique, on fixe plus volontiers cette limite de pression admissible en terme dedifference entre la charge (’head’ en anglais) et la pression de saturation du fluide auxconditions d’entree, exprimees en metres de colonne d’eau. Cette difference porte le nomde NPSH (Net Positive Suction Head).

Le NPSH est donc la pression minimale exprimee sous forme de hauteur minimale a im-poser en entree de pompe pour qu’il n’y ait pas cavitation dans la pompe. C’est-a-direla difference de pression necessaire entre pin admissible et la pression de saturation d’eaupour eviter la cavitation. Ramene dans une unite de metre de colonne d’eau, la definitiondu NPSH est donc la suivante :

NPSH =pin − psat

ρ g[mCE ]

Pour exprimer le NPSH en fonction des caracteristiques du circuit, on applique l’equationmecanique du travail moteur en systeme ouvert sur la partie circuit precedant la pompe :

wm =

∫ 2

1v dp+ gΔ2

1z +Δ21k + wf

52

Dans la partie circuit precedant la pompe, il n’y a aucun element mecanique donc aucuntravail moteur. De plus, en appliquant les hypotheses d’incompressibilite de l’eau (soussa forme liquide) et en supposant nulle la variation d’energie cinetique (une conduite desection constante), la formule precedente se transforme en :

0 =Δ2

1p

ρ+ gΔ2

1z + wf

Soit :

p2 = p1 − ρ gΔ21z − ρwf

La pression p2 correspond a la pression d’aspiration en entree de pompe et est donc egalea pin. En exprimant ces pressions en unite de metre de colonne d’eau [mCE ], on obtient :

pinρ g

=p1ρ g−Δz − wf

g

Pour une pompe aspirant au pied d’une colonne d’eau de h metres dans un reservoirouvert a pression atmospherique (p1 = patm), et dont la tuyauterie d’admission presentedes travaux dissipatifs wf , le calcul du NPSH donne donc :

NPSH =patmρ g

+Δz − wf

g− psat

ρ g[mCE ]

Cette grandeur traduit donc la ”marge” de pression qui existe (ou qui est strictementnecessaire) avant la cavitation par evaporation locale. Ce parametre est une donnee duconstructeur, puisqu’il depend du dimensionnement interne de la pompe. Le NPSH mi-nimal varie en theorie avec le debit et la temperature, mais peut etre donne comme unevaleur enveloppe couvrant toute la gamme de fonctionnement de la pompe.En pratique donc, on verifiera que la charge disponible a l’entree d’une pompe est toujourssuperieur au NPSH admissible (ou requis) :

NPSHdisponible > NPSHadmissible

On pourra par ailleurs ajouter une marge par rapport a la charge strictement necessaire.

Calcul du debit avant cavitation

La forme mecanique de l’equation du travail moteur, applique au circuit entre le re-servoir et la pompe, en supposant le fluide incompressible, et compte tenu de pertes decharge, nous informe que :

wm =Δ2

1p

ρ g+

Δ21c

2

2 g+Δ2

1z + wf = 0

En supposant la variation d’energie cinetique nulle (pas de variation de diametre de laconduite) Ce qui permet de calculer la pression a l’entree de la pompe dans notre cas :

pinρ g

=p2ρ g

=p1ρ g−Δz − wf

g

et d’exprimer la contrainte sur le NPSH :

p1ρ g−Δz − wf

g− psat

ρ g> (NPSH + 0.5)

53

Le terme 0.5 est un facteur de securite. Il n’est pas strictement necessaire au calcul. A15 oC, la pression de saturation de l’eau est de 0.017 [bar].

Dans cette equation, le seul terme inconnu est la valeur des pertes de charge dansla conduite. Comme celle-ci est droite, et en supposant inexistante les pertes de chargesingulieres, on peut ecrire :

wf = λL

D

c2

2= λ

L

D

1

2

(V

A

)2

Il reste a calculer la valeur du coefficient de pertes de charge. Pour cela, nous devrionscalculer le nombre de Reynolds de l’ecoulement dans cette conduite. Cependant, commele montre le graphe de Moody, pour une rugosite relative de 0.05, le coefficient de pertede charge est tres peu fonction du Reynolds, et donc de la vitesse : on le considere donccomme constant.

Figure 5.1 – Diagramme de Moody

Ce qui nous donne le coefficient λ = 0.07

wf = 0.076

0.08

V 2

2

(1

π 0.042

)2

= 103900 V 2 [J/kg]

Ce qui nous permet le calcul du NPSH :

105

103 × 9.81− 6− 0.017× 105

103 × 9.81− 103900× V 2

9.81> 3 + 0.5

On en deduit que :

Sans securite V 2 < 9.63 10−5

Avec securite V 2 < 4.91 10−5

Le debit doit donc etre inferieur a 0.0098 [m3/s], soit 9.8 [l/s] sans securite, ou 0.007 [m3/s],soit 7 [l/s] avec une securite.

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