Page 1

Exercices complémentaires

Etude cinématique d’une pompe hydraulique (extrait du

sujet TPE PSI 97)

Description et fonctionnement

La pompe hydraulique, dont le plan d’ensemble est donné document 2 , est principalement constituée :

• d’un barillet 12-1 entraîné en rotation par l’arbre 7, de neuf ensembles pistons/patins (12-2/12-3), d’une plaque d’appui 12-4 fixe par rapport à l’étrier 10 dont l’inclinaison détermine la cylindrée de la pompe en provoquant le mouvement des pistons dans le barillet,

• d’un carter de distribution 2 qui permet la circulation du fluide grâce aux orifices d’admission et de refoulement,

• d’un ensemble compensateur 30 dont le tiroir 30-1 est soumis à l’effort du ressort de tarage 30-2 d’une part et à la pression de refoulement par le passage A d’autre part. Au démarrage, l’étrier 10 est maintenu par le piston de retenue 25 en position cylindrée maximale. Cet ensemble compensateur 30 ne fait pas l’objet de l’étude.

Caractéristiques de la pompe

Puissance théorique Vitesse de rotation de l’arbre d’entrée Pression de refoulement maximale Cylindrée maximale Masse Angle maximal d’inclinaison de l’étrier Nombre de pistons

P = 15 kW N = 1800 tr/min pr = 20 Mpa VT = 100 cm3/tr M = 96 kg

αM = 15° n = 9

L’étude mécanique proposée concerne l’équipage mobile 12 dont l’éclaté et le schéma cinématique incomplet sont fournis figure1 et document 1. Ce dernier représente la

pompe hydraulique limitée à un seul piston de cylindrée maximale (α = αM = 15°) L’étrier 10 est considéré fixe par rapport au bâti 0 Vous devez utiliser la numérotation simplifié donnée sur les figure1 et document 1.

Repères associés aux différents solides

),,,( 0000 zyxARrrr

lié au bâti 0,

),,,( 1111 zyxBRrrr

lié au barillet 1,

Centre d’intérêt : Cinématique Durée : 3 heures maxi

Industrielles

Sciences

PSI1

Lycée Clemenceau - Nantes

Page 2

),,,( 2222 zyxCRrrr

lié au piston 2,

),,,( 3333 zyxDRrrr

lié au patin 3,

),,,( 4444 zyxERrrr

lié à la plaque d’appui 4,

liaisons entre solides et paramétrage

L01 : liaison pivot d’axe ),( 0xAr

L23 : liaison sphérique de centre C

L34 : liaison appui plan de normale ),( 3xDr

Toutes les liaisons sont parfaites

),(),( 1010 zzyyrrrr ==θ

),(),( 2121 zzyyrrrr ==β

),(),( 4343 zzyyrrrr ==γ

),(),( 0404 zzxxM

rrrr === αα

1yRABr=

1xCBrλ=

40 zwyvDErr −−=

3xhDCr=

0xdAEr−=

Etude des liaisons

On se propose d’étudier la liaison piston 2 / plaque d’appui 4.

1. Déterminer les éléments de réduction au point C du torseur cinématique de la liaison L32 exprimés dans R4.

2. Déterminer les éléments de réduction au point D du torseur cinématique de la

liaison L43 exprimés dans R4.

3. Déterminer la forme du torseur cinématiquement équivalent à l’association des

liaisons L32 et L43. En déduire le nom et les caractéristiques de la liaison

équivalente notée L42 ainsi réalisée. Quel est l’intérêt d’une telle réalisation

technologique ?

4. Par quelle liaison normalisée modéliseriez-vous la liaison piston 2 / barillet 1 ? Compléter alors le schéma cinématique.

Etude cinématique

On se propose maintenant d’étudier la cylindrée totale de la pompe ainsi que les conditions cinématiques sur le contact patin 3 / plaque d’appui 4.

5. Exprimer w,v et λ en fonction des paramètres donnés : d, R, h, α et θ

6. Si S désigne la section d’un piston, quelle est l’expression de la cylindrée totale de la pompe notée VT en fonction de R, S, n, et α ? Application numérique : R = 50 mm S = 490 mm2

7. Exprimer les éléments de réduction au centre de chaque liaison des torseurs

cinématiques suivants :

Page 3

0/1V ; 12 /V ; 2/3V ; 3/4V

On écrira les torseurs de la manière suivante : ),(

/ ;

KRAijij

ij

ij

ij

ij

ij

ji

w

v

u

V

=γβα

8. Ecrire la fermeture cinématique de la chaîne simple fermée représentée sur le

schéma cinématique.

9. Exprimer u21, v43,w43,α32,β32, et γ32 en fonction de R, α, β& ,γ& ,θ,θ& . Retrouver les résultats de la question 5.

10. Déterminer le débit instantané d’un piston de cette pompe noté qv(θ).

11. Pour quelles valeurs de θ le piston étudié est-il en phase de refoulement et en phase d’aspiration ?

12. Déterminer les éléments de réduction au point D du torseur cinématique

associé à la liaison L34.

13. Que représente le vecteur )3/4( ∈DVr

? Que vaut 3).3/4( xDVrr

∈ ? Justifier

ce résultat.

1

0

2

3

4

A

B

F

C D

E

G

0yr

1yr

0zr

H

2xr

10 xxrr =

43 xxrr =

4zr

4yr

0zr

40 yyrr =

- Fig 1 -

Page 4

Document 1

Page 5

Document 2

Page 6

Modélisation cinématique d’un mécanisme de

transformation de mouvement

L’étude qui suit porte sur un mécanisme de transformation de mouvement. Le mouvement de rotation continu de l’arbre d’entrée 1, entraîné par un moteur, est transformé en un mouvement de translation alternatif de l’arbre de sortie 3. Le plan d’ensemble en coupe du mécanisme (figure 1) est donné ci-dessous :

Figure 1 - plan d'ensemble

1. Identifier par coloriage les classes d’équivalence et tracer le graphe de structure de ce mécanisme.

2. Identifier et caractériser en justifiant votre modélisation les liaisons de ce mécanisme.

3. Tracer le schéma de structure tridimensionnel du système de transformation de mouvement.

4. Réduire le graphe de structure de façon à obtenir un graphe des liaisons minimal. Justifier.

5. Tracer le schéma cinématique tridimensionnel minimal du mécanisme. 6. Déterminer le degré d’hyperstatisme du modèle tridimensionnel minimal. 7. Proposer sous la forme d’un schéma cinématique normalisé plan ou

tridimensionnel, deux solutions permettant de transformer une rotation continue en une translation alternative, les axes des mouvements étant parallèles.

Page 7

Eléments de correction

Etude cinématique d’une pompe hydraulique

Etude des liaisons

On se propose d’étudier la liaison piston 2 / plaque d’appui 4.

1. Déterminer les éléments de réduction au point C du torseur cinématique de la liaison L32 exprimés dans R4.

L32 est une liaison sphérique (ou rotule) de centre C, d’où le torseur

cinématique associé :

),(

/ ;

432

32

32

23

0

0

0

RC

CV

=γβα

2. Déterminer les éléments de réduction au point D du torseur cinématique de la liaison L43 exprimés dans R4.

L43 est une liaison appui plan de centre D et de normale 4xr

, d’où le

torseur cinématique associé :

),(

/ ;

443

43

43

34

0

0

0

RD

D

w

vV

=α

Ce torseur conserve sa forme canonique en tout point de l’espace Donc en C :

),(

/

'

';

'

443

43

43

34

0

0

0

RC

C

w

vV

=α

3. Déterminer la forme du torseur cinématiquement équivalent à l’association des liaisons L32 et L43. En déduire le nom et les caractéristiques de la liaison

équivalente notée L42 ainsi réalisée. Quel est l’intérêt d’une telle réalisation

technologique ?

On a : CCC

VVV 233424 /// +=

D’où : ),(

/

'

';

443

43

32

32

3243

24

0

RC

C

w

vV

+=

γβ

αα

Il s’agit donc ici d’une liaison ponctuelle de normale ),( 4xCr

. Cette

liaison est réalisée à l’aide de deux contacts surfaciques afin de mieux répartir les pressions de contact et ainsi éviter une déformation locale prématurée du contact ponctuel (matage).

Page 8

4. Par quelle liaison normalisée modéliseriez-vous la liaison piston 2 / barillet 1 ? Compléter alors le schéma cinématique.

Cette liaison, compte tenu de la surface de contact cylindrique d’axe

),( 2xBr

, sera modélisée par une liaison pivot glissant d’axe

),( 2xBr

. D’où le schéma cinématique complet :

Etude cinématique

On se propose maintenant d’étudier la cylindrée totale de la pompe ainsi que les conditions cinématiques sur le contact patin 3 / plaque d’appui 4.

5. Exprimer w,v et λ en fonction des paramètres donnés : d, R, h, α et θ

Ici il faut écrire un bouclage géométrique :

0r

=++++ EADECDBCAB

Soit : 0040301

rrrrrrr =+−−−− xdzwyvxhxyR λ (1)

En projetant (1) sur 000 zyxrrr,, on obtient les équations suivante :

0cossinsin

0cos

0sincos

/

/

/

0

0

0

=−−=−

=++−−

ααθθ

ααλ

whR

vR

dwh

z

y

x

r

r

r

1

0

2

3

4

A

B

F

C D

E

G

0yr

1yr

0zr

2xr

10 xxrr =

43 xxrr =

4zr

4yr

0zr

40 yyrr =

0yr

1yr

0zr

1zr

θ

θ

4zr

0zr

34 xxrr ≡

0xr

α

α

Page 9

On en déduit :

+−=

=

−=

αθα

θλ

θθ

ααθθ

tansincos

)(

cos)(

tancos

sin)(

Rh

d

Rv

hR

w

6. Si S désigne la section d’un piston, quelle est l’expression de la cylindrée totale

de la pompe notée VT en fonction de R, S, n, et α ? Application numérique : R = 50 mm S = 490 mm2

On a donc : minmax λλ −= nSVT

Or , αθα

θλ tansincos

)( Rh

d +−=

D’où

−−=

+−=

αα

θλ

αα

θλ

tancos

)(

tancos

)(

min

max

Rh

d

Rh

d

Par conséquent

αtan2nSRVT =

7. Exprimer les éléments de réduction au centre de chaque liaison des torseurs cinématiques suivants :

0/1V ; 12 /V ; 2/3V ; 3/4V

On écrira les torseurs de la manière suivante : ),(

/ ;

KRAijij

ij

ij

ij

ij

ij

ji

w

v

u

V

=γβα

)0,(

10

0/1

0

0

0

;

0

0

RA

V

=α

)4,(32

32

32

2/3

0

0

0

;

RC

V

=γβα

)0,(

2121

1/2

0

0;

0

0

RB

u

V

=α

)4,(43

43

43

3/4

0

;

0

0

RDw

vV

=α

8. Ecrire la fermeture cinématique de la chaîne simple fermée représentée sur le

schéma cinématique.

On a : 03/42/31/20/1

r=+++ VVVV

En choisissant le point C comme centre de réduction des torseurs, on aura les équations vectorielles suivantes :

Page 10

=∈+∈+∈+∈=Ω+Ω+Ω+Ω

0)3/4()2/3()1/2()0/1(

0)3/4()2/3()1/2()0/1(rrrrr

rrrrr

CVCVCVCV

qu’on projette sur R0 :

0coscos

0sin

0sin

0sincossin

0

0cossincos

4310

4310

4321

433232

32

4332322110

=+=−−

=−=++

==+−++

αθαθα

ααααγαα

βαααγαααα

wR

vR

wu

9. Exprimer u21, v43,w43,α32,β32, et γ32 en fonction de R, α, β& ,γ& ,θ,θ& . Retrouver les résultats de la question 5.

On en déduit :

αθθ

θθθαθ

αβθγβ

αβθγα

cos

cos

sin

costan

sin)(

0

cos)(

43

43

21

32

32

32

&

&

&

&&

&&&

Rw

Rv

Ru

−=

=

−=

+=

=+−=

en dérivant les expressions de

)(θv , )(θw et )(θλ obtenues à la

question 5, on retrouve bien

respectivement 43v , 43w et 21u au

signe près.

10. Déterminer le débit instantané d’un piston de cette pompe noté qv(θ).

Le débit instantané vaut :

21.)( uSqv =θ (= section du piston×vitesse du piston)

soit : θαθθ costan)( &SRqv −=

11. Pour quelles valeurs de θ le piston étudié est-il en phase de refoulement et en phase d’aspiration ?

Lors de la phase d’admission, le débit est négatif donc 22

πθπ <<− .

Lors de la phase de refoulement le débit est positif donc 2

3

2

πθπ <<

12. Déterminer les éléments de réduction au point D du torseur cinématique

associé à la liaison L34.

Page 11

On a : )4,(43

43

43

3/4

0

;

0

0

RDw

vV

=α

Compte tenu des résultats de la question 9 :

)4,(

3/4

cos

cossin

0

;

0

0

RD

R

RV

−=

αθθ

θθγ

&

&

&

13. Que représente le vecteur )3/4( ∈DVr

? Que vaut 3).3/4( xDVrr

∈ ? Justifier

ce résultat.

)3/4( ∈DVr

est le vecteur de glissement au point D dans le

mouvement de 4/3. Le plan ),,( 44 zyDrr

est le plan de glissement et par

conséquent la composante du vecteur vitesse de glissement suivant la

normale à ce plan est nulle : 0).3/4( 4 =∈ xDVrr

. ( )3/4( ∈DVr

est

dans le plan tangent commun aux deux solides

Modélisation cinématique d’un mécanisme de

transformation de mouvement

1. Identifier par coloriage les classes d’équivalence et tracer le graphe de structure de ce mécanisme.

2.

3. Identifier et caractériser en justifiant votre modélisation les liaisons de ce mécanisme.

L’identification des liaisons doit se faire en fonction de la nature des contacts entre les pièces sauf dans le cas particulier des roulements où le montage à son importance.

1xr

2yr

4xr

2xr

Page 12

Liaison entre B et 1 : l’arbre 1 est guidé sur deux roulements, un roulement à contact oblique à double rangées de billes à gauche et un roulement à rouleaux cylindriques à droite.

Le premier roulement sera modélisé par une liaison pivot d’axe 1xr

et

le second par une liaison pivot glissant de même axe. Liaison entre 1 et 2 : là encore le guidage de 2/1 se fait par l’intermédiaire de deux roulements à rouleaux côniques dont le modèle est celui d’une liaison sphérique compte tenu du rotulage du roulement. Liaison entre 2 et 3 : le contact entre les deux pièces est cylindrique

d’axe 2yr

, la liaison correspondante est une pivot glissant de même

axe. Liaison entre 3 et 4 : le contact entre les deux pièces est sphérique, la liaison correspondante est une liaison sphérique. Liaison entre 4 et B : le guidage de la tige 4 est assuré par deux

paliers lisses. Les contact sont cylindriques d’axe 4xr

. Chaque palier

sera donc modélisé par une pivot glissant d’axe 4xr

4. Tracer le schéma de structure tridimensionnel du système de transformation de

mouvement.

B

E

1

2

3

4

B

10XX

rr≡

2X

r

32YY

rr≡

0Y

r

Schéma de structure plan

Page 13

5. Réduire le graphe de structure de façon à obtenir un graphe des liaisons minimal. Justifier.

Il apparaît des réductions évidentes :

Liaison entre B et 1 : la pivot et la pivot glissant d’axe 1xr

en parallèle

sont équivalentes à une liaison pivot d’axe 1xr

Liaison entre 1 et 2 : les deux liaisons sphérique en parallèle sont

équivalentes à une pivot d’axe 2xr

.

Liaison entre 2 et 4 : les liaisons pivot glissant et sphérique en série

sont équivalente à une liaison sphère cylindre d’axe 2yr

.

Liaison entre 4 et B : les deux liaisons pivot glissant en parallèle sont

équivalente à une liaison pivot glissant d’axe 4xr

.

D’où le graphe minimal :

6. Tracer le schéma cinématique tridimensionnel minimal du mécanisme.

Schéma de structure tridimensionnel

B

1

2

4

Avec :

LB1 : pivot d’axe 1xr

L12 : pivot d’axe 2xr

L24 : sphère cylindre d’axe 2yr

L4B : pivot glissant d’axe 4xr

.

Page 14

7. Déterminer le degré d’hyperstatisme du modèle tridimensionnel minimal.

En appliquant la formule de mobilité : γ6+−= cc Imh

Avec : mc = mu + mi = 1 + 1 = 2 (mi : rotation propre de 4)

Ic = 8 et γ = 1 Soit h = 0, le modèle cinématique minimal est isostatique.

8. Proposer sous la forme d’un schéma cinématique normalisé plan ou

tridimensionnel, deux solutions permettant de transformer une rotation continue en une translation alternative, les axes des mouvements étant parallèles.

Schéma cinématique du modèle minimal

0

1

2

ϕ

H

Page 15

0

1

2

ϕ

H

Solution équivalente à la première voir exercice 1.

3

1

2

Variante…

3

1

2

Variante…