SCHEMAS TEMPORELS EN OCEANOGRAPHIE

RAPPORT DE STAGE

1er Mars 2006 – 28 Juillet 2006

SCHEMAS TEMPORELS

EN OCEANOGRAPHIE

–

Alternatives au Schéma Leap-Frog

Matthieu LECLAIR

Élève Ingénieur à l’ENPCÉlève au MASTER2 ANEDP de Paris 6

Sommaire

Sommaire i

Table des figures ii

1 Présentation du modèle et du sujet 11.1 Le modèle océanique aux équations primitives . . . . . . . . . . . 11.2 discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 sujet du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Etudes de plusieurs schémas temporels 62.1 simplification du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Le schéma leap-frog avec filtre d’Asselin . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Calcul de l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Etude de stabilité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Le schéma décalé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Calcul de l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Etude de stabilité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Le schéma de ROMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Comparaison des 3 schémas sur un cas test 163.1 Présentation du cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 résultats obtenus par les trois schémas . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

Table des figures

1.1 Illustration du schéma leap-frog . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 racines caractéristiques du schéma leap-frog avec filtre d’Asselin . 112.2 décalage en temps de la dynamique et des traceurs . . . . . . . . . 112.3 racines caractéristiques du schéma décalé avec filtre d’Asselin . . 14

3.1 Propagation des onrdes de Kelvin vers l’est et de Rossby vers l’ouest 173.2 comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma décalé

à gauche et la version de référence à droite avec un pas de tempsde 3600 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma de ROMSà gauche et la version de référence à droite avec un pas de tempsde 3600 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma décaléà gauche et la version de référence à droite avec un pas de tempsde 7200 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma de ROMSà gauche et la version de référence à droite avec un pas de tempsde 7200 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

ii

Chapitre 1

Présentation du modèle et dusujet

1.1 Le modèle océanique aux équations primitives

En bonne approximation, on peut décrire l’océan comme un fluide dont le co-portement est régi par les “équations rimitives”. Il s’agit des équations de Navier-Stockes assosciées à une équation d’état et assorties de plusieurs hypothèseses dûesà des considérations d’échelles :

• L’approximation de géométrie sphérique : La gravité est supposée parrallèleau rayon terrestre.

• L’épaisseur de l’océan est négligée devant le rayon terrestre.• Une hypothèse de fermeture turbulente : l’effet des petites échelles sur les

grandes est paramétré.• Les variations de densité sont négligées exepté dans les forces de gravité.• L’approximation hydrostatique : l’équation de moment sur la verticale est

réduite à un équilibre entre force de gravité et gradient vertical de pression.

En notant (i, j,k) un repère orthonormé où k désigne la verticale ascendante, ondéfinit les variables suivantes : U = (u, v, w) désigne le vecteur vitesse, on noteaussi U = Uh + wk, T et S sont la température et la salinité encore appelés tra-ceurs, et enfin ρ désigne la densité.

On obtient alors le système des équations primitives formé par les six équa-tions suivantes, à savoir, respectivement : conservation du moment (1.1a), équilibrehydrostatique (1.1b), continuité (ou incompressibilité) (1.1c), conservation des tra-ceurs (1.1d) et (1.1e) et équation d’état (1.1f).

1

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DU MODÈLE ET DU SUJET 2

∂Uh

∂t= −

[(∇×U)×U +

12∇U2

]h

− fk×Uh −1ρ0∇hp + DU (1.1a)

∂p

∂z= −ρg (1.1b)

∇ ·U = 0 (1.1c)∂T

∂t= −∇ · (TU) + DT (1.1d)

∂S

∂t= −∇ · (SU) + DS (1.1e)

ρ = ρ(T, S, z) (1.1f)

f = 2Ω ·k étant le facteur de coriolis (Ω est la vitesse angulaire terrestre). DU ,DT et DS sont les paramétrisations des effets des petites échelles incluant égale-ment les termes de forçage en surface (termes source). Enfin, l’indice h indique lecaractère horizontal de la variable ou de l’opérateur concerné.

Afin de mieux apréhender la discrétisation temporelle, qui est le coeur de cerapport, il est nécessaire de faire quelques remarques sur le système sans démon-trer ni détailler l’ensemble.

Les hypothèses formulées précédemment ont notamment pour effet de filtrerles ondes haute fréquence que sont les ondes sonores et les ondes dites de flotabi-lité. Le pas de temps employé pourra de ce fait être de l’ordre de l’heure pour despas d’espace de l’ordre de 100km.

Cependant, on ajoute une dernière variable : l’élévation de la surface libre η.Elle satisfait l’équation (1.2) :

∂η

∂t= −Uh · ∇hη + w (1.2)

Il s’agit en fait de la condition limite de conservation de la masse en surface.

Malheureusement, l’évolution de la surface libre est dûe aux ondes barotropesqui ont une vitesse de phase élevée de l’ordre de

√gH ≈ 200m · s−1 en océan

profond, ce qui tendrait à contraindre fortement le pas de temps.On peut remédier à ce problème en utilisant la technique du “time-splitting” quiconsiste à intégrer l’équation de moment (1.1a) sur la verticale. Ceci forme avecl’équation (1.2) un système couplé.On distingue alors la vitesse barotrope (moyenne sur la verticale de Uh) et la vi-tesse barocline (Uh moins sa moyenne verticale). Le système couplé est résolu enl’intégrant plusieurs fois avec un petit pas de temps δt′ << δt adapté à la céléritédes ondes barotropes et en considérant les variables baroclines comme “gelées”.


On intègre ensuite le reste du système, c’est-à-dire la partie barocline, sur δt, lepas de temps principal.

1.2 discrétisation temporelle

Le schéma temporel utilisé pour la partie barocline non-diffusive est un schémadit “Leap-Frog” (ou “saute-mouton” en français). Pour un système du type (1.3), ilconsiste à avancer la variable X du pas de temps n − 1 au pas de temps n + 1 enutilisant une évaluation du membre de droite RHS au pas de temps n, comme leprésentés dans l’équation (2.3a) et sur la figure (1.1).

∂X

∂t= RHS (X) (1.3)

Xn+1 = Xn−1 + 2δt×RHS (Xn) (1.4)

FIG. 1.1: Illustration du schéma leap-frog

Cependant, pour les équations primitives, ce schéma donne naissance à unmode numérique instable : les pas de temps pairs et impairs divergent.Pour y remédier, on introduit un filtre d’Asselin qui n’est autre qu’une diffusiontemporelle. Cette diffusion dégrade l’ordre du schéma qui passe du second au pre-mier ordre. Le schéma complet devient donc (1.5) :Xn+1 = Xn−1

f + 2δt×RHS (Xn)

Xnf = Xn + α

(Xn+1 − 2Xn + Xn−1

f

) (1.5)

où α est le coefficient de diffusion temporelle (0.1 dans notre cas). L’indice f estappliqué aux variables qui ont subi le fitre d’Asselin et qui ont donc leur valeuredéfinitive.

1.3 sujet du stage

Il existe dans les codes d’océanographie trois types de coordonnée verticale,“z”, “σ” ou “ρ” :


• La coordonnée “z” consiste à fixer pour la discrétisation verticale des ni-veaux d’épaisseur constante. Ils ne varient donc pas suivant les directionshorizontales

• La coordonnée “σ” consiste à prendre des niveaux dont l’épaisseur est ajus-tée de manière à ce que les mailles les plus profondes suivent la topographiedes fonds océaniques. Ceux-ci sont donc variables dans les directions hori-zontales.

• La coordonnée “ρ” consiste à fixer les épaisseurs des niveaux par tranche dedensité constante. La discrétisation verticale devient donc variable dans letemps puisque la densité l’est.

Chacune de ces coordonnées possède des avantages et des inconvénients quenous ne détaillerons pas ici.Notons seulement que la coordonnée “z” est la plus efficace pour décrire les pre-mières couches de l’océan et notamment la couche de mélange, la coordonnée “σ”est bien adaptée à la description du fond de l’océan et enfin la coordonnée “ρ” estla plus adéquate pour la dynamique des eaux aux moyennes profondeurs.

L’objectif de la thèse que nous nous proposons de mener par la suite sera demettre en place une coordonnée verticale généralisée. Il s’agirait de décider selontel ou tel critère d’utiliser l’un des trois types de coordonnée verticale.Pour cela, il nous faudra donc mener des études où l’épaisseur des niveaux seraune variable du système dépendant notamment de la densité ρ et de l’élévation dela surface libre η.

L’un des enjeux majeurs dans la discrétisation des équation est la conservationintégrale des traceurs car ce sont eux qui guident certains grands courants océa-niques.Reprennons le schéma leap-frog pour l’équation d’advection des traceurs en sup-posant la vitesse d’advection constante. Pour des raisons de simplicité on ne traiterapas la dimension y, ce qui ne pose pas de problème particulier.Dans le cas de niveaux constant, l’équation (1.1d) est discrétisée par(1.6) qui estun schéma conservatif :

Tn+1 = Tn−1 − 2δtun ∂Tn

∂x(1.6)

Avec une épaisseur variable, le schéma devient (1.7) qui est toujours conservatif :

hn+1Tn+1 = hn−1Tn−1 − 2δthnun ∂Tn

∂x(1.7)

Malheureusement, l’introduction nécessaire du filtre d’Asselin (la diffusiontemporelle) nous fait perdre le caractère conservatif.


Le sujet du stage est donc de trouver un schéma temporel qui permette des’affranchir de cette contrainte tout en gardant de bonnes propriétés de précision etde stabilité, ce qui est un préalable incontournable au déroulement de la thèse.

Chapitre 2

Etudes de plusieurs schémastemporels

2.1 simplification du système

Nous allons tout d’abord exposer les hypothèses de travail. Dans un premiertemps, il était nécessaire simplifier le système des équations primitives car il esttrop comlpexe pour mener un étude complète. Nous avons donc décidé de suppri-mer les termes non linéaires dans l’équation de moment (1.1a) et de filtrer le modebarotrope.Pour réaliser cette deuxième condition, il suffit d’imposer une élévation nulle de lasurface libre et de forcer l’intégrale verticale de Uh à être nulle également.On ne prend pas non plus en compte dans cette étude les paramétrisations de laturbulence et autres effets des petites échelles.

Le système étudié devient alors :

∂Uh

∂t= −fk×Uh −

1ρ0∇hp (2.1a)

∂p

∂z= −ρg (2.1b)

∇ ·U = 0 (2.1c)∂T

∂t= −∇ · (TU) (2.1d)

∂S

∂t= −∇ · (SU) (2.1e)

ρ = ρ(T, S, z) (2.1f)

Dans les schémas que nous allons décrire, il faut distinguer les variables assos-siées à la dynamique que sont u, v et w et les variables assossiées aux traceurs quesont T , S, ρ et p.

6

CHAPITRE 2. ETUDES DE PLUSIEURS SCHÉMAS TEMPORELS 7

De plus, dans ces deux groupes de variables, on distingue également les variablespronostiques détuites des équations d’évolution et les variables diagnostiques dé-duites des premières via des équations telles que l’équilibre hydrostatique (2.1b)ou l’équation de continuité (2.1c).

Ainsi les variables dynamiques pronostiques sont u et v issues de l’équation demoment (2.1a) et w est la variable dynamique diagnostique déduite des 2 précé-dentes par l’équation de continuité (2.1c).De même, T et S sont des variables pronostiques issues des équations d’advectiondes traceurs (2.1d) et (2.1e). ρ puis p sont des variables diagnostiques respective-ment déduite par l’équation d’état (2.1f) puis l’équilibre hydrostatique (2.1b).

Pour chacun des trois schémas proposés, nous allons présenter son déroule-ment. Puis en l’appliquant à l’équation d’advection des traceurs, nous calculeronsl’ordre et menerons une étude de stabilité linéaire pour les deux premiers schémas.On verra en effet que l’étude du schéma décalé est identique à celle du schéma deROMS.Cette démarche est inspirée de celle proposée par A. Shchepetkin qui étudie unegamme plus vaste de schémas sur un problème hyperbolique de propagation desondes et présente le schéma utilisé dans ROMS, un code d’océanographie déve-loppé aux Etats Unis.

2.2 Le schéma leap-frog avec filtre d’Asselin

2.2.1 Présentation

Le principe du schéma feap-frog avec filtre d’Asselin a été décrit dans la pre-mière partie de ce rapport. Nous allons décrire son application au système (2.1).Nous rappelons que l’indice f désigne les variables ayant déjà subi le filtre d’As-selin.

• Calcul des vitesses horizontales un+1 et vn+1 grâce à (2.1a) :

un+1 = un−1f + 2δt

(fvn − 1

ρ0

∂pn

∂x

)vn+1 = vn−1

f + 2δt

(−fun − 1

ρ0

∂pn

∂y

)• Filtrage des ondes barotropes. Pour se faire, on annule l’intégrale verticale

des vitesses u et v :

Un+1h = Un+1

h − 1H

∫zUn+1

h dz


• Calcul des traceurs Tn+1 et Sn+1 grâce à (2.1d) et (2.1e) :

Tn+1 = Tn−1f − 2δt

(un ∂Tn

∂x+ vn ∂Tn

∂y+ wn ∂Tn

∂z

)Sn+1 = Sn−1

f − 2δt

(un ∂Sn

∂x+ vn ∂Sn

∂y+ wn ∂Sn

∂z

)• Calcul de la vitesse verticale w par 2.1c :

wn+1 =∫

z

∂un

∂x+

∂vn

∂ydz

• Calcul de ρn+1 par 2.1f :

ρn+1 = ρ(Tn+1, Sn+1, z

)• Calcul de pn+1 par 2.1b :

pn+1 =∫

zρn+1g dz

Le filtre d’Asselin est ensuite appliqué à toutes les variables pronostiques u, v,T et S afin d’éviter la divergences des modes pairs et impairs.

2.2.2 Calcul de l’ordre

Comme annoncé, nous allons calculer l’ordre du schéma en l’appliquant àl’équation d’advection unidimensionnelle (2.2) :

∂T

∂t= −u

∂T

∂x(2.2)

où u est une vitesse d’advection constante. Le schéma s’écrit :

Tn+1 = Tn−1f − 2δt

∂Tn

∂x(2.3a)

Tnf = Tn + α

(Tn+1 − 2Tn + Tn−1

f

)(2.3b)

En prenant la transformée de Fourier en espace de ces deux équations, le systèmedevient :

Tn+1 = Tn−1f − 2µTn (2.4a)

Tnf = Tn + α

(Tn+1 − 2Tn + Tn−1

f

)(2.4b)

en posant µ = uδtξ avec ξ la variable duale de x après transformée de Fourier.


De l’équation (2.4b) on tire une expression de Tn+1 que l’on égalise avec cellefournie par (2.4a). on en déduit alors l’expression de Tn en fonction de Tn

f etTn−1

f :

Tn =1

2− 1α + 2iµ

(− 1

αTn

f + 2Tn−1f

)Cette relation est bien entendu valable quelque soit n. On peut donc maintenantremplacer dans (2.4a) Tn et Tn+1 par ces expressions. Il vient alors la relation :

Tn+1f − Tn−1

f = −2iµ(Tn

f − αTn−1f

)− 2α

(Tn

f − Tn−1f

)On prend ensuite la transformée de Fourier inverse de cette égalité et en réarangeantles termes on obtient le schéma suivant :

Tn+1f − Tn−1

f

2δt= −u

∂Tnf

∂x+ α

(−

Tnf − Tn−1

f

δt− u

∂Tn−1f

∂x

)(2.5)

Le développement de Taylor en temps permet alors d’écrire :

∂Tnf

∂t+ o

(δt2)

= −u∂Tn

f

∂x+ α

(−

∂Tn−1f

∂t+

δt

2

∂2Tn−1f

∂t2+ o

(δt2)− u

∂Tn−1f

∂x

)Enfin, l’équation (2.2) nous permet d’éliminer les termes d’ordre 0 et on obtientl’erreur de troncature du schéma :

αδt

2

∂2Tn−1f

∂t2+ o

(δt2)

= 0 (2.6)

Ce schéma est donc d’ordre 1.Par un calcul similaire mais beaucoup plus simple on aurait confirmé que le schémaleap-frog sans filtre d’Asselin est d’ordre 2. On peut également le remarquer grâceà l’expression de l’erreur de troncature (2.6) car le coefficient α de diffusion dufiltre d’Asselin est en facteur. S’il s’annule, l’erreur d’ordre 1 s’annule également.

2.2.3 Etude de stabilité linéaire

On considère à nouveau l’équation(2.2), cette fois avec la donnée initiale T0eikx.

On sait que la solution de l’équation d’advection est

T (x, t) = T0eik(x−ut)

On cherche l’expression du signal Tnf engendré par le schéma avec cette condition

initiale sous la formeTn

f (x) = λnT0eikx (2.7)

où λ est le coefficient d’amplification de l’onde. Idéalement il faudrait qu’il vailleλ = e−iµ où µ = ckδt pour obtenir la solution exacte d’onde progressive

Tnf (x) = T0e

ik(x−unδt)


Le calcul précédent nous à mené à la reformulation du schéma (2.5) dans laquelleon injecte l’expression (2.7) et on obtient après calculs l’équation caractéristiquedu schéma :

λ2 + 2 (iµ− α) λ + (2α− 1− 2iµα) = 0 (2.8)

dont les racines sont : λ1 = α− iµ +√

(1− α)2 − µ2

λ2 = α− iµ−√

(1− α)2 − µ2

(2.9)

Ces courbes paramétrées par µ sont représentées dans le plan complexe sur la fi-gure 2.1 avec un paramètre d’Asselin α = 0.1.Les courbes rouge et bleue représentent les deux racines de l’équation caractéris-tique. Les pointillés relient la solution “idéale” e−iµ à la solution réelle. Tant queles deux courbes restent à l’intérieur du cercle unité, le schéma est stable. Le sec-teur angulaire formé par le demi-axe réel positif et le segment vert représente lalimite de stabilité, c’est à dire la valeure de µ pour laquelle l’une des deux racinessort du cercle unité.On obtient pour le schéma leap-frog avec filtre d’Asselin une limite de stabilité de :

µmax =1− α√1− α2

∼ 1− α pour α petit (2.10)

La limite de stabilité dans notre cas est donc de µmax ≈ 0.9.

2.3 Le schéma décalé

2.3.1 Présentation

L’idée est de décaler l’intégration temporelle de la dynamique d’un demi pasde temps par rapport aux traceurs comme présenté sur la figure (2.2). On chercheà élborer un schéma pour calculer les vitesses en n + 1

2 et les traceurs en n + 1 ensupposant que les vitesses sont connues aux pas de temps n − 3

2 et n − 12 et les

traceurs aux pas de temps n− 1 et n.

Ce principe permet de center naturellement certains termes de tendance (c’est-à-dire les évaluations du membre de doite des équations) commme par exemple legradient horizontal de pression lors l’intégration de l’équation de moment.cependant tous les termes de tendance ne sont pas centrés et nous devrons no-tamment calculer une valeur intermédiaire de Uh en n pour évaluer le terme decoriolis ou encore une valeur intermédiaire des traceurs en n + 1

2 pour évaluer leterme d’advection.


FIG. 2.1: racines caractéristiques du schéma leap-frog avec filtre d’Asselin

FIG. 2.2: décalage en temps de la dynamique et des traceurs


Nous allons examiner la solution retenue pour calculer cette valeur intermé-diaire en considérant le cas de l’advection des traceurs unidimensionnelle. Le prin-cipe est rigoureusement identique dans le cas du terme de Coriolis.Il s’agit de faire une première prédiction T centrée en n + 1 via un schéma leap-frog :

T = Tn−1 − 2un− 1

2 + un+ 12

2δt

∂Tn

∂x(2.11)

On remarque que les valeurs des vitesses n’étant disponible qu’aux “demis” pasde temps, on a recours à une moyenne pour évaluer le terme d’advection en n.On réalise ensuite une interpolation de T , Tn et Tn−1 pour obtenir la variableintermédiaire T ∗ que l’on souhaite centrée en n + 1

2 :

T ∗ = C0Tn−1 + C1T

n + C2T (2.12)

La valeur de ces trois coefficients sera donnée par l’étude de l’ordre du schéma.Finalement l’avancée en temps des traceurs sera donnée par

Tn+1 = Tn − un+ 12 δt

∂T ∗

∂x(2.13)

Le schéma décalé se décline finalement pour le système (2.1) de la manière sui-vante :

• Calcul des variables intermédiaires u∗ et v∗ pour le terme de Coriolis par lemême procédé que celui décrit pour l’advection des traceurs.

• Calcul des vitesses horizontales un+ 12 et vn+ 1

2 avec des termes de tendancescentrés en n

un+ 12 = un− 1

2 + δt

(fv∗ − 1

ρ0

∂pn

∂x

)vn+ 1

2 = vn− 12 + δt

(−fu∗ − 1

ρ0

∂pn

∂y

)• Filtrage des ondes barotropes de la même manière que pour le shèma leap-

frog :

Un+ 1

2h = U

n+ 12

h − 1H

∫zU

n+ 12

h dz

• Calcul de la vitesse verticale :

wn+ 12 =

∫z

∂un+ 12

∂x+

∂vn+ 12

∂ydz

• Calcul des variables traceur intermédiaires T ∗ et S∗ centrées en n+ 12 par la

méthode décrite ci-avant.


• Calcul des traceurs Tn+1 et Sn+1 avec des termes de tendance centrés enn + 1

2 :

Tn+1 = Tn−1 − δt

(un+ 1

2∂T ∗

∂x+ vn+ 1

2∂T ∗

∂y+ wn+ 1

2∂T ∗

∂z

)Sn+1 = Sn−1 − δt

(un+ 1

2∂S∗

∂x+ vn+ 1

2∂S∗

∂y+ wn+ 1

2∂S∗

∂z

)• Calcul de ρn+1 et pn+1 de la même manière que pour le schéma leap-frog.

2.3.2 Calcul de l’ordre

Nous allons à nouveau mener notre étude sur l’équation (2.2). En mettant boutà bout les équations (2.11), (2.12) et (2.13), on forme le schéma d’advection destraceurs suivant :

Tn+1 − Tn

δt= −u

[(C0 + C2)

∂Tn−1

∂x+ C1

∂Tn

∂x

]+ 2C2δtu

2 ∂2Tn

∂x2 (2.14)

On utilise à nouveau les développements de Taylor en temps et le fait que pourl’équation d’advection, ∂

∂t = −u ∂∂x .

On développe alors le calcul de l’erreur de troncature et pour éliminer les ordres 01 et 2, on obtient respectivement les trois conditions suivantes :

C0 + C1 + C2 = 1

C2 − C0 =12

C0 + C2 =13

C’est-à-dire :C0 = − 1

12C1 =

812

C2 =512

On a donc un schéma d’ordre 3 pour l’advection des traceurs à vitesse constante.Cependant cette ordre est nécessairement dégradé par la discrétisation spatiale quin’est pas d’ordre 3

2.3.3 Etude de stabilité linéaire

On reprend le schéma (2.14) avec les bonnes valeurs des coefficients d’inter-polation Ci. Par la même démarche que précédemment, on obtient l’équation ca-ractéristique du schéma :

λ2 +(

56µ2 − 1 +

23iµ

)λ +

13iµ = 0 (2.15)

Le tracé de ses racines est représenté sur la figure (2.3).On obtient numériquement une limite de stabilité µmax ≈ 1.58.


FIG. 2.3: racines caractéristiques du schéma décalé avec filtre d’Asselin


2.4 Le schéma de ROMS

Pour ce schéma toutes les variables sont centrées au même pas de temps. L’idéeest d’intégrer les équations d’évolutions entre les pas de temps n et n + 1en calcu-lant des termes de tendances tous centrés en n + 1

2 . Pour ce faire, on calcule de lamême manière que pour le schéma décalé des variables intermédiaires centrées enn + 1

2 .

La différence essentielle avec le schéma précédent, excepté le décalage de ladynamique et des traceurs, est le fait que tous les termes de tendance subissent lemême traitement temporel, y compris le terme de gradient de pression qui était na-turellement centré avec le schéma décalé.

L’advection des traceurs étant traîtée de la même manière avec ces deux schéma,les études d’ordre et de stabilité linéaire restent valables sur cette équation restentvalables ici.

Chapitre 3

Comparaison des 3 schémas surun cas test

3.1 Présentation du cas test

Il s’agit d’une simulation dans laquelle on s’intéresse à la propagation desondes de Rossby et de Kelvin.On considère un bassin fermé centré sur l’équateur en lattitude. Ses dimensionssont de 1000 km du nord au sud et de 5000 km de l’est à l’ouest.Durant les 2 ou 4 premiers jours suivant la simulation, on fait souffler un vent ensurface sur une zone rectangulaire au centre du bassin. Sa vitesse est constante enlongitude et forme une demie sinusoïde centrée sur l’équateur en lattitude. De cettemanière, le raccord à l’extérieur de la zone rectangulaire est régulier.On laisse ensuite évoluer le système pendant 11 mois.

L’animation préesntée sur la figure (3.1) montre l’évolution des ondes de Kel-vin vers l’ouest du bassin et de Rossby vers l’est. Ces résultats ont été obtenus avecla version de référence, c’est-à-dire avec le schéma leap-frog.

3.2 résultats obtenus par les trois schémas

La figure (3.2) présente le diagramme dit (x, t) à la lattitude 0 (à l’équateur)obtenu avec le schéma décalé comparé à celui obtenu avec la version de référence(le schéma leap-frog plus filtre d’Asselin).La même compraison est effectuée sur la figure (3.3) entre le schéma de ROMS etla version de référence Le pas de temps utilisé pour ces expérience est de 1 heure.

Les figures (3.4) et (3.5) présentent les mêmes diagrammes obtenus avec un pasde temps de 2 heures. Les deux séries de diagramme ne sont cependant pas com-parables car le forçage utilisé (le vent en surface) est actif 2 fois plus longtempsdans cette série de simulations. L’amplitude des ondes est donc naturellement plus

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CHAPITRE 3. COMPARAISON DES 3 SCHÉMAS SUR UN CAS TEST 17

FIG. 3.1: Propagation des onrdes de Kelvin vers l’est et de Rossby vers l’ouest


FIG. 3.2: comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma décalé àgauche et la version de référence à droite avec un pas de temps de 3600 s.

FIG. 3.3: comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma de ROMS àgauche et la version de référence à droite avec un pas de temps de 3600 s.


grande.

FIG. 3.4: comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma décalé àgauche et la version de référence à droite avec un pas de temps de 7200 s.

On constate que les schéma décalé est beaucoup trop diffusif et qu’il n’est doncpas envisageable de le mettre à disposition des utilisateurs du code.On remarque à l’inverse que le schéma utilisé dans ROMS est, lui, très précis,légèrement plus que le schéma leap-frog. Il est naturellement plus cher en tempsde calcul car il nécessite deux évaluation du membre de droite par pas de tempscontre une seule pour le schéma leap-frog.


FIG. 3.5: comparaison des diagrammes (x, t) obtenus par le schéma de ROMS àgauche et la version de référence à droite avec un pas de temps de 7200 s.

SCHEMAS TEMPORELS EN OCEANOGRAPHIE

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