Dépliage de réseaux de Petri temporels par...

Dépliage de réseaux de Petri temporels parannotations temporelles symboliques

Louis-Marie Traonouez

Institut de Recherche en Communications et en Cybernétique de Nantes

Journée "dépliages des modèles temporisés"Rennes - 3 décembre 2008

Plan de la présentation

1 Travaux similairesDépliage de réseaux de Petri non-temporelsDépliage de RdPTApproche des RdP par la Logique Linéaire

2 Dépliage par annotations temporellesStructureAnnotations temporellesConstruction

3 Exemple

2 / 38

Réseaux de Petri temporels (RdPT)

Exemple (Chatain et Jard, 06)

P1• P2•

P3 P4

P5

T1[0,∞[ T2[1, 2]

T3[2, 2]

T0[0, 0]

Sémantique forte : urgence des transitions sensibilisées.

Réseaux saufs.

Introduction 3 / 38




3 Exemple

Travaux similaires 4 / 38




3 Exemple

Travaux similaires Dépliage de réseaux de Petri non-temporels 5 / 38

Réseaux d’occurrence

Réseau d’occurrence (McMillan, Esparza)

O = (B, E , F ) est un réseau d’occurrence ssi

O est acyclique,

O est fini par précédence,

aucun élément n’est en conflit avec lui même.

On définit :

une relation causale : x < y s’il existe un chemin d’un noeud xvers un noeud y ,

une relation de conflit : x#y ,

une relation de concurrence : x co y dans le cas où aucune autrerelation existe entre x et y ,

les éléments minimums Min(0) selon la relation <.


Processus de branchement

Processus de branchement (McMillan, Esparza)

Un processus de branchement d’un RdP N = (P, T , •(), ()•, M0) est unréseau d’occurrence labellisé β = (O, p) = (B, E , F , p).p est la fonction de labellisation telle que :

p(B) ⊂ P et p(E) ⊂ T ,

pour tout e ∈ E , la restriction de p à •e est une bijection entre •e et•p(e), et de même entre e• et p(e)•,

la restriction de p à Min(0) est une bijection entre Min(0) et M0,

pour tout e1, e2 ∈ E si •e1 = •e2 et p(e1) = p(e2) alors e1 = e2.

On peut définir une relation de préfixe entre 2 processus debranchements.


Processus de branchements

Exemple

P1 P2

P3 P4

P5 P1 P2

T1e1 T2 e2

T3e4 T0 e3


Dépliage de RdP

DépliageLe dépliage d’un RdP est défini comme étant le « plus grand »processus de branchement selon la relation de préfixe.

PréfixeIl est possible de déterminer un préfixe fini du dépliage qui contienttous les marquages accessibles.


Processus et coupures

ProcessusUn processus (ou configuration) est un ensemble d’évènementscausalement clos et sans conflit.

Ils permettent de définir une sémantique d’ordres partiels des RdP.

CoupuresDans un processus :

Un co-ensemble est un ensemble de conditions en relation co parpaire.

Une coupure est un co-ensemble maximal selon l’inclusion.


Processus

Exemple

P1 P2

P3 P4

P5

T1e1 T2 e2

T3e4





3 Exemple

Travaux similaires Dépliage de RdPT 12 / 38

Processus temporels

Dans les RdPT des liens de causalité supplémentaires sont rajoutésentre les évènements (cas de conflits indirects).

Processus temporels (Aura et Lilius, 97)Une fonction de temporisation θ associe à chaque évènement unedate de tir dans un domaine temporel T. Elle est valide ssi :

∀e ∈ E : θ(e) ≥ TOE(•e, p(e)) + Eft(p(e))

∀e ∈ E : ∀t ∈ enabled (p(Ce)) , θ(e) ≤ TOE(Ce, t) + Lft(t))

où Ce = Cut(Earlier(e)) et Earlier(e) = {e′ ∈ E | θ(e′) < θ(e)}

Ce correspond à l’état global atteint avant e.


Processus temporels

Plutôt que de considérer l’état global (ce qui limite la concurrence) onpeut valider la fonction de temporisation ssi :

les contraintes sur les dates de tir minimums sont vérifiées,

les conflits (« choice transitions ») ont été « décidés »,

le processus est temporellement complet.

Cela permet de déterminer l’ensemble des dates de tirs valides pourun processus.


Processus étendus

Sémantique de tir locale pour les RdPT (Chatain et Jard, 06)Dans un processus étendu un évènement possède :

des conditions consommées par le tir de la transition,

des conditions lues, représentées par des arcs de lecture.

Pour que le tir soit local, l’ensemble L des conditions lues doit êtreminimal.

Le tir de la transition p(e) est possible à une date θ(e) ssi :

t ∈ enabled (L)

θ(e) ≥ TOE(•e, p(e)) + Eft(p(e))

pour toutes les transitions t consommant des jetons de L :◮ soit t est désensibilisée,◮ soit θ(e) ≤ TOE(L, t) + Lft(t))


Préfixe fini du dépliage symbolique d’un RdPT

Les processus étendus permettent de définir un dépliage symboliqued’un RdPT :

il regroupe l’ensemble des évènements possibles ;

des contraintes symboliques sur les dates de tir des évènementssont synthétisées à l’aide de la condition de tir locale.

Un préfixe fini complet du dépliage peut être calculé :

on compare pour cela l’âge des jetons utilisés par lesévènements.


Préfixe fini complet du dépliage symbolique d’un RdPT

Exemple

P1 P2

P3 P4

P5 P1 P2 P5

T1e1 T2 e2

T3e4 T0 e3 T3 e5

θ(e1) ≥ 0

1 ≤ θ(e2) ≤ 2

θ(e3) = max(θ(e1), θ(e2))

θ(e4) = θ(e1) + 2θ(e4) ≤ 2

θ(e5) = θ(e1) + 2θ(e5) ≥ θ(e1)θ(e5) ≤ max(θ(e1), θ(e2))





3 Exemple

Travaux similaires Approche des RdP par la Logique Linéaire 18 / 38

Traduction des Rdp en Logique Linéaire

Une méthode (Girault, 97) permet de traduire les RdP en formules deLogique Linéaire (LL).

Exemple

M0 : P1 ⊗ P2

T1 : P1 ⊸ P3

T2 : P2 ⊸ P4

T3 : P3 ⊸ P5

T0 : P3 ⊗ P4 ⊸ P1 ⊗ P2

L’accessibilité d’un marquage équivaut à la preuve d’un séquent deLogique Linéaire.


Analyse temporelle de scénarios

ScénarioUn scénario est un multi-ensemble de transitions.

Un processus de preuves en LL permet de vérifier l’accessibilitédu scénario : le tir d’une transition est simulé par une règle dansles calcul des séquents.

Un scénario prouvé correspond à une ou plusieurs séquences detransitions et conserve la concurrence.

Dans le cas non temporel, un scénario correspond à unprocessus.

Une analyse temporelle en sémantique faible peut être effectuéeen annotant la preuve par les dates de production des jetons(Pradin, 99).


Prise en compte de la sémantique fortePour prendre la sémantique forte des RdPT, on détermine des groupesde conflits (Delfieu, 06).

Conflit indirect

P1• P2•

P3 P4 P5

T1[2, 4] T2[3, 3] T3[1, 5]

On applique les règles de tir suivantes lors de la preuve d’un scénario :

1 les transitions non en conflits sont franchies en priorité,2 les transitions à l’intérieur d’un groupe de conflit, sont ordonnées.

Des contraintes dues au conflit sont rajoutées sur les dates deproduction.





3 Exemple

Dépliage par annotations temporelles 22 / 38




3 Exemple

Dépliage par annotations temporelles Structure 23 / 38

Réseaux d’occurrence étendus

On définit des réseaux d’occurrence étendus dans lesquelles onpeut utiliser des arcs libérateurs reliant deux évènements.

Un arc libérateur de e1 vers e2 étend la relation de causalité :e1 < e2.

On note alors : e1 ∈ ∗e2.

Exemple

e1 e2 e3

e4


Conflits directs

On définit une relation plus restreinte de conflits.Deux évènements e1, e2 sont en conflit direct : e1 conf e2 ssi

•e1 ∩•e2 6= ∅

∀x ∈ •e1 ∩∗e1,¬(x#e2) et ∀x ∈ •e2 ∩

∗e2,¬(x#e1).

Exemple

e1 e2 e3

e4

e1 conf e2

e2 conf e3

e4 conf e1

¬(e4 conf e2)


Conflits indirects

On définit également une relation de conflit indirect : e1 lib e2 ssi

e1 co e2,

∃e′ ∈ E t.q. e1 conf e′ et e2 conf e′.

Exemple

e1 e2 e3

e4

e1 conf e2

e2 conf e3

e4 conf e1

e1 lib e3

¬(e4 lib e2)


Processus de branchement étendusDans les processus de branchements étendus on restreint l’utilisationdes arcs libérateurs de sorte que :

Pour tout e1 ∈ E , si e2 ∈ ∗e1 alors nécessairement ∃e3 ∈ E t.q.e2 lib e3 et •e3 = •e1 et p(e3) = p(e1).

pour tout e1, e2 ∈ E si •e1 = •e2 et ∗e1 = ∗e2 et p(e1) = p(e2) alorse1 = e2.

Exemple

P1 P2

t1e1 t2 e2 t3 e3

t1 e4

e1 conf e2

e2 conf e3

e4 conf e1

e1 lib e3





3 Exemple

Dépliage par annotations temporelles Annotations temporelles 28 / 38

Processus de branchement temporels

On définit un processus de branchement temporel (β, θ) avec :

β, un processus de branchement étendu,

θ : E → R+ ∪ {∞}, une fonction de temporisation qui associe à

chaque évènement une date de tir θ(e).

Symboliquement, on associe à chaque évènement une annotationtemporelle exprimant θ(e) sous la forme d’une formule logique.

Une conjonction de contraintes exprime la valeur finie de θ(e)lorsqu’elle existe.

Les autres contraintes en disjonction fixent θ(e) à l’infini pourcause de conflit.


Annotations temporelles

Pour chaque évènement e d’un processus de branchement temporel,sa date de tir θ(e) doit vérifier le système de contraintes suivant :

[

θ(e) ≥ maxb∈•e

(

θ(•b))

+ Eft(

p(e))

∧ θ(e) ≤ maxb∈•e

(

θ(•b))

+ Lft(

p(e))

∧ θ(e) ≥ maxe′∈∗e

(

θ(e′))

∧[

∀e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ⇒(

θ(e′) = ∞)

∧

θ(e) ≤ maxb∈•e′

(

θ(•b))

+ Lft(

p(e′))

]

]

∨

[

∃e′ ∈ E , (e′ conf e ∨ e′ lib e) ∧ θ(e′) 6= ∞ ∧ θ(e) = ∞

]


Processus de branchement temporels

Exemple

P1 P2

P3 P4

P5 P1 P2

T1e1 T2 e2

T3e4 T0 e3

e3 conf e4

θ(e1) ≥ 0

1 ≤ θ(e2) ≤ 2

(θ(e3) = max(θ(e1), θ(e2))∧ θ(e3) ≤ θ(e1) + 2∧ θ(e4) = ∞)∨ (θ(e3) = ∞ ∧ θ(e4) 6= ∞)

(θ(e4) = θ(e1) + 2∧ θ(e4) ≤ max(θ(e1), θ(e2))∧ θ(e3) = ∞)∨ (θ(e4) = ∞ ∧ θ(e3) 6= ∞)





3 Exemple

Dépliage par annotations temporelles Construction 32 / 38

Construction d’un processus de branchementtemporel

1 Des évènements sont ajoutés si la valeur de leur date de tir peutêtre finie.

2 En cas de conflit indirect, les évènements libérateurs sontdupliqués et entrelacés.

3 Cependant, pendant la construction on ne connaît pas toutes lescontraintes sur un évènement car tous les conflits ne sont pasconnus.

4 Dans ce cas, l’évènement est ajouté, mais on peut rajouter par lasuite des contraintes sur sa date de tir si de nouveaux conflitssont trouvés.

Inconvénient : des évènements déclarés impossibles a posterioripeuvent être calculés.


Discussion

TerminaisonDes processus de branchement finis peuvent être calculés.

On ajoute pour cela des contraintes pour que le résultat soitcorrect.

Préfixe completExiste-t-il un préfixe complet ?

La notion d’état doit être réintroduite.

Il faudrait comparer l’âge des conditions utilisées par lesévènements.

Enfin, on peut aussi envisager de ne pas utiliser d’arcs activateurs etde regrouper les évènements dupliqués avec une seule annotationtemporelle, mais plusieurs disjonctions.





3 Exemple

Exemple 35 / 38

Exemple

P1•

P2• P3 P4

P5 P6 P7

T1[0, 5] T2[3, 3]

T3[2, 10] T4[5, 5] T5[4, 6]

Exemple 36 / 38

ExempleP1

P2

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3

T1e1

θ(e1) ∈ [0, 5]

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

T1e1 T2e2θ(e1) ∈ [0, 5]

e1 conf e2(

θ(e2) = 3∧ θ(e1) = ∞

)

∨

(

θ(e2) = ∞∧ θ(e1) 6= ∞

)

(

θ(e1) ∈ [0, 3]∧ θ(e2) = ∞

)

∨

(

θ(e1) = ∞∧ θ(e2) 6= ∞

)

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5

T1e1 T2e2

T3e3θ(e3) ∈ [2, 10]

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4

θ(e3) ∈ [2, 10]

e3 conf e4

θ(e4) = 5 + θ(e1)θ(e4) ≤ 10∧ θ(e3) = ∞

∨

(

θ(e4) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞

)

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4

θ(e3) ∈ [2, 10]

e3 conf e4

θ(e4) = 5 + θ(e1)θ(e4) ≤ 10∧ θ(e3) = ∞

∨

(

θ(e4) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞

)

θ(e4) ∈ [5, 8]

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4

θ(e3) ∈ [2, 10]

e3 conf e4

θ(e3) ∈ [2, 10]∧ θ(e3) ≤ 5 + θ(e1)

∧ θ(e4) = ∞

∨

(

θ(e3) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞

)

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4

θ(e3) ∈ [2, 10]

e3 conf e4

θ(e3) ∈ [2, 10]∧ θ(e3) ≤ 5 + θ(e1)

∧ θ(e4) = ∞

∨

(

θ(e3) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞

)

(

θ(e3) ∈ [2, 10]∧ θ(e1) = ∞

)

∨ (θ(e3) ∈ [2, 8])

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5e5 conf e4 et e5 lib e3

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5

e5 conf e4 et e5 lib e3

θ(e5) ≥ θ(e1) + 4θ(e5) ≤ θ(e1) + 6

∧ θ(e5) ≤ 10∧ θ(e5) ≤ θ(e1) + 5

∧ θ(e3) = ∞∧ θ(e4) = ∞

∨

(

θ(e5) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞

)

∨

(

θ(e5) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞

)

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5


θ(e5) ≥ θ(e1) + 4θ(e5) ≤ θ(e1) + 6

∧ θ(e5) ≤ 10∧ θ(e5) ≤ θ(e1) + 5

∧ θ(e3) = ∞∧ θ(e4) = ∞

∨

(

θ(e5) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞

)

∨

(

θ(e5) = ∞∧ θ(e4) 6= ∞

)

θ(e5) ∈ [4, 8]

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

P5 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5

T3e6 T5e7


e6 conf e3 et e7 conf e5

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

P5 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5

T3e6 T5e7



θ(e6) ∈ [2, 10]∧ θ(e6) ≥ θ(e5)∧ θ(e3) = ∞

∨

(

θ(e6) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞

)

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

P5 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5

T3e6 T5e7



θ(e6) ∈ [2, 10]∧ θ(e6) ≥ θ(e5)∧ θ(e3) = ∞

∨

(

θ(e6) = ∞∧ θ(e3) 6= ∞

)

θ(e6) ∈ [4, 10]

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

P5 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5

T3e6 T5e7



θ(e7) ≥ θ(e1) + 4θ(e7) ≤ θ(e1) + 6∧ θ(e7) ≥ θ(e3)∧ θ(e5) = ∞

∨

(

θ(e7) = ∞∧ θ(e5) 6= ∞

)

Exemple 37 / 38

ExempleP1

P2 P3 P4

P5 P6 P7

P5 P7

T1e1 T2e2

T3e3 T4e4 T5e5

T3e6 T5e7



θ(e7) ≥ θ(e1) + 4θ(e7) ≤ θ(e1) + 6∧ θ(e7) ≥ θ(e3)∧ θ(e5) = ∞

∨

(

θ(e7) = ∞∧ θ(e5) 6= ∞

)

θ(e7) ∈ [4, 9]

Exemple 37 / 38

Conclusion

La méthode de dépliage proposée doit permettre d’obtenir undépliage plus compacte.

Cependant dans la construction du dépliage des évènementsimpossibles peuvent être calculés.

Il reste à trouver un préfixe fini complet à ce dépliage.

Conclusion 38 / 38

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