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Dé

Co

L'alfeLobadécacoPholaév

Psu

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Ofré

S

qu

partement Hydraulique EHTP Les vagues sont d'origine locale et se propagent dansla même direction que le vent de surface.

mplément chapitre 02 Spectre de la houle de Pie

1

Complément du Spectre de houle de Pie

Houle de tempête deaction du vent sur la surface libre de l’eéatoires. Cette action du vent se produtch sur laquelle une partie de l'énergiersque le transfert d'énergie maximale nde de fréquence, la mer est dite formveloppée. Un enregistrement de ce tyractère aléatoire; la description de la hmme relevant du domaine du traiteme

ar application de l’analyse spectrale deule (analyse harmonique) on obtient f

densité d’énergie en fonction de la fréidence les fréquences prédominantes Analyse statistique d’un enregistremenierson & Moskowitz (1964) proposent pivante de la densité spectrale d’énerg

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωω

β−ωα

=ωωΗ

expgdS4

o5

2

2

vec ( )[ ] [ ] )sm(gS 2522 ⋅=ω=ω −

Η énerg

ec les notations suivantes :• =5,19U vitesse du vent sur le• 5,19o Ug=ω pulsation angula

• α constante sans dimension• β constante sans dimension

n peut aussi exprimer le spectre de Piequence « f » (définie par : =π=ω 2f2

( )( )

expf2

g81dffS

54

22n

df2

π

α=Η∑≡Η

( )( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πβ−

π

α=

Η

4

5,1954

2

fU2gexp

f2gf2

i par intégration en f de ‘’0’’ à ‘’∞’’ don

Aire 2

45,19

2

31 g4U

41

β

α=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Η= ⇒ 31 =Η

ZORKANI MohammedLa houle est d'origine éloignée; elle a quitté lesecteur dans lequel elle a pris naissance.

ZORKANI Mohammedrson – Moskowitz

chapitre 02rson – Moskowitz Bretchneider au provoque des ondulationsit sur une zone finie appelée du vent est transférée au fluide.a été atteinte pour chaqueée FAS ou complètementpe de houle présente un fortoule réelle apparaît doncnt du signal.s enregistrements ( )tη de la

acilement une représentation dequence et on met en plus en de la houle in situ.t de houle : Fally Arisen Seaour le spectre l’expressionie de la houle : voir Ch05 HM

ωd FAS spectrum PM (1)

ie moyenne par unité de ( ωd )

fetch à 19,5m de la surface libreire de référence ‘ 105,19 U026,1U ≈ ’

( 31010,8 −⋅=α ) ( 74,0=β )rson et Moskowitz en unité deΤπ ) ⇒ ( df2d π=ω ) alors :

dffU2

g4

5,19 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πβ− ⇒

(2) Spectre PM en fréquence ‘’f’’

ne :

25,19

25,19 U0185,0

gU2

=βα (3)

Département Hydraulique EHTP ZORKANI Mohammed

Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz

2

• Le spectre PM exprimé en fonction de la période : Comme nous

avons Τπ

=ω2 ⇒ Τ

Τπ

−=ω d2d 2 , reportons cette expression dans la

formule de [ ( ) ωωΗ

dS 2 ] on obtient en négligeant le signe moins :

( )( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πΤ

β−π

Τα=Τ

Η

4

5,194

32

U2gexp

2gS 2 (4) Spectre PM en période ‘’T’’

Le moment d’ordre zéro mo du spectre, représente la densité surfaciqued’énergie totale de la houle par unité de poids volumique de l’eau, est :

( ) 4o

2

0o

g41dSm 2

ωα

β=∫ ωω=

∞+

Η (5) & ( )∫ ωωω=

∞+

Η0

nn dSm 2

avec =σ2 variance( )

( ) o2

N

1ii

mtN

t=η=

∑η= = & =σ écart – type

alors ( )22rms

o2

cp mJ8

gHmgg ρ=ρ=σρ=Ε+Ε=Ε et zp 408,1 Τ=Τ (6)

=Τp période moyenne qui correspond au maximum d’énergie du spectreLa distribution des hauteurs se caractérise par le paramètre :

4o

22mm

m1−=ε =«largeur de spectre» de Cartwright & Longuet-Higgins

On peut estimer ε par : ( )2zc1 ΤΤ−≈ε avec ( 2oz mm2π=Τ ) où

sensmêmeledansMWLdutraversées2entremoyennepériode

mentenregistre'ldessuccessivecrêtes2entremoyennepériode

z

c

=Τ

=Τ

quand ( 0→ε ) la densité de probabilité est donnée par la distribution de

Rayleigh : ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΗΗ

−ΗΗ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Η−

Η=

Η≡Η

2

s2so

2

o2exp4

m8exp

m4dPdp (7)

Cette expression permet de calculer les divers hauteurs caractéristiquesde la houle :

• =≡∑=Η=Η=

100N

1iim HH

N1 Hauteur moyenne om2 π=

• =Η=Η 31s Hauteur significative om4= (La hauteursignificative de la houle est la valeur moyenne du tierssupérieur des vagues du train d’ondes)

• Hauteur quadratique moyenne oN

1i

2irms m22H

N1H =∑=

=



3

Distribution des hauteurs de lames :La probabilité d'un creux “Η ” (crête - creux) est donnée par la formule :

( ) Η⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΗΗ

−ΗΗ

=Η= dexp2HdpdP2

rms2rms

où ( )( ) 2

Hdpdp

HH rms

0

0100

⋅π=

∫ ΗΗ∫ ΗΗΗ

=≡∞

∞

(8) car ( ) 1dp0 =∫ ΗΗ∞

Spectre moyen :Scott (J. R. Scott, 1968 : Some average sea spectra Q. Trans. Nav.Archt. 110 : 233 – 239) propose, en se basant sur des données dehoules dans l’ocean atlantique & dans Ireash sea “mer qui sépare lesislandes de l’Irland et la Grande Bretagne UK”, l’expression suivante :

5U08,0 235,1931 +=Η où ( KnotsenU 5,19 ) & ( ften31Η ) (9)

• 1ft = 0,3048m• 1Knot (1 nœud) = 1,852 Km/h = 0,51444 m/s

La probabilité de dépassement dela hauteur H est donnée par :

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΗΗ

−=Η2

s2expP

5U08,0 235,1931 +=Η

ften31Η

KnotsenU 5,19

Valeurs mesurées

ATLANTIC

p(H)

P(H)

H

1

0,2

0,4

0,6

0,8

Rayleigh

05 10 15

probabilité dedépassement

densité deprobabilité



4

Les données de l’océan ATLANIQUE ont une moyenne de 13ft. Cesmesures peuvent être représentées par la ligne :

5,1931 U65,0=Η (10) où ⎪⎩

⎪⎨⎧

Η ftenKnotsenU

31

5,19 dans l’intervalle ( 35U20 5,19 ⟨⟨ )

La hauteur significative ( 31Η ) pour n’importe quel intervalle d’onde, dontles extrémités ( 1Τ & 2Τ ) sont connues, peut se calculer par l’expressionsuivante valable hors de la zone du fetch :

( )2

1

2

1

2

4

5,192

45,19

U2gexp

g4U

dS

Τ

Τ

Τ

ΤΗ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πΤ

β−β

α−=∫ ΤΤ (11)

On en déduit, en utilisant la relation (3), le rapport suivant :

( ) 2

1

2

1

2 4

5,192

31 U2gexp

161

dS Τ

Τ

Τ

ΤΗ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πΤ

β−−=Η

∫ ΤΤ (12)

par conséquent :

Aire ( )2

312

31

0o 416

dSm 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Η=

Η=∫ ΤΤ=≡

∞

Η ⇒ o31 m4=Η

Mais ( )22rms

ocp mJ8

gHmg ρ=ρ=Ε+Ε=Ε ⇒ o

31rms m22

2=

Η=Η

Remarque : Formalise pour le calcul des houles de tempête Le passage d’un ouragan produit de la houle dite houle de tempête quipeut se calculer par les formules empiriques de Bretschneider : SBM

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Τ•

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Η•

83

2s

31

2s

83

2ss

p

43

2s

21

2s

43

2s

2s

31

Uhg833,0th

UFg0379,0

thU

hg833,0th54,7Ug

Ugh53,0th

UFg00565,0

thU

hg53,0th283,0U

g

en (S.I.) (13)



5

valable en eau intermédiaire et en eau peu profonde ( 5,0Lh ⟨ ) où sU estla vitesse de cisaillement du vent (Wind Stress 23,1

10s U71,0U == ). Ou par les formules de NONSWAP : < JOint North Sea WAve Project >

3,0

210

210

p

5,0

210

210

s

UgF352,0

U

g

UgF00178,0

Ug

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Τ•

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Η•

JONSWAP «pour profondeur ( 2Lh o⟩ )» (14)

Le fetch relatif à une mer complètement développée peut être estimé parla relation suivante pour une zone de fetch non limitée par la terre :

( ) ( )h/KmU151,0KmF 25,19FAS ⋅= (14/) avec 105,19 U08,1U ⋅≈

En se basant sur modèle WAM «WAve Model» (Hasselmann & al.1988 : «prévision de la houle par l’équation différentielle de laconservation d’énergie », soit :

( ) ndissipatiovaguevaguelinéairenon

windinputgh SSSEctE

éractionintparénergie'dtransfert++=∇+

∂∂

↔−

•rr

» pour

une mer pleinement développée les caractéristiques de la houle peuventêtre aussi estimées par les formules suivantes :

sm50U5,7pourU10134,8U10

sm5,7U0pourU10614,1310

4210

2s

210

2s

≤⟨⋅+=Η

≤≤⋅=Η−−

−

(15)

où sΗ est en mètre alors que 10U en sm .La formule la plus populaire est celle de SMB « Sverdrup , Munk &Bretschneider » utilisable en eau profonde ( 5,0Lh ⟩ ) pour FDS :

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Τ=

Η2

2323

10

max210

s

10g5,3

Utg26,0

Ug (16) 10p U78,0f ≈ Neumann où

• =Τmax période de pic du spectre des hauteurs (les amplitudes)La forme du profile du vent est souvent approchée par une loi dedistribution logarithmique sur la verticale :

zu

dzdU

κ= ∗ ⇒ ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρτ

κ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛κ

= ∗

oe

a

o

oe z

zlog1zzloguzU (17) où

• =∗u vitesse de frottement ao ρτ= (18)• =κ constante adimensionnelle de Von Kármán 40,0≈• =ρa masse volumique de l’air• =τo contrainte de cisaillement à la surface libre• =oz paramètre de rugosité gu0144,0 2

∗≈ (19) Charnock



6

On écrit que : 21010ao UCρ=τ (20)

avec ( ) 31010 10U15,035,0C −⋅+= où 10U en ( sm ) (21)

• Quand perturbation prend la forme tourbillonnaire avec desvents inférieurs à 64Km/h : on l’appelle dépression tropicale

• Quand cette dépression atteint des vents entre 64 et 118Km/h :on la désigne par tempête tropicale

• Quand cette tempête continue à se renforcer elle atteint lestade d’ouragan quand les vents dépasse 118Km/h.

Quand la surface (sol ou eau) est suffisamment plus chaude ou plusfroide que la couche d’air en contacte l’effet de stabilité thermique tend àmodifier le profil logarithmique. Si l’océan (ou le sol) est plus froid quel’air à son contacte la stratification de l’atmosphère est stable est letransfert turbulent est inhibé. Mais si la surface océanique est pluschaude que l’air, l’atmosphère a une stratification instable et le transfertturbulent est amplifié, dans ce cas le profil du vent proche de l’océan (oudu sol) peut être approché par :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ψ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρτ

κ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛κ

= ∗

Lz

zzlog1

Lz

zzloguzU

oe

a

o

oe (22) où

• =ψ fonction de similitude précise l’effet de la stratification.• =L paramètre de dimension une longueur qui représente

l’effet de la puissance d'action de la stratification thermique(longueur de stabilité de Monin et Obukhov) (L > 0 pourstratification stable, L < 0 pour stratification instable & L estinfinie pour une stratification neutre voir à ce propos moncours de mécanique des Fluides Géophysiques : Ch09) :

où2

xArctg2

2x1log

2x1log2

zzlog1

uuinstable

2

ee1

1o

e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=ψ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ψ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛κ

=→∗

//po

o

p3

1

41

wcHavecH

Tcg

uL,Lz5,11x θρ−=

ρ

κ=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∗

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛κ

=→∗ o

e zzlog1

uuneutre

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛κ

=→∗ L

z7,4zzlog1

uustable

oe

ρτ

=∗ou

5,21 ≈κ−

gu144,0z

2

o∗≈

u

z


Complément chapitre 02 Sp

L’échelle de FujitaMesure la puissance des tornades (Phénomène orageux plus ou moins violent)

Echelle élaborée par Tetsuya Théodore Fujita en 1971 (23/10/1920 à 19/11/1998),en collaboration avec Allan Pearson à l’Université de Chicago Illinois, enfonction de l’intensité des dégâts :

Walter H. Munk Désignation V

F0F1F2F3F4F5

LégeModéFortsTrès DévaIncro

Allan Pearson (né 1925de la longueur et de la l’échelle Pearson – Fuj

Mesure la pDéveloppée en 1969 pdemande de la OMM (

classification

Vent U en Km/hAmplitude H en m

Pression centrale en hPaau niveau de la mer

Dégâts causés

On peut également u

significative de la ho

=t la durée d’action

U10 vitesse moyenne, sur

ZORKANI Mohammedectre de la houle de Pierson – Moskowitz

7

Von Kármán T.T. Fujitaents Vitesse du vent U10 Dommagesrsrés

fortsstateursyables

064 à 116 Km/h117 à 180 Km/h181 à 252 Km/h253 à 330 Km/h331 à 417 Km/h418 à 509 Km/h

Cheminées, fenêtres et antennesAutomobiles arbres déracinésToits arrachés et hangars démolisMurs extérieurs et toits projetésDestructions des habitationsMaisons rasées . . .

) plus tard améliore l’échelle de Fujita pour tenir comptelargeur du passage de la tornade, on parle alors deita :

Longueur en Km Largeur en mF0 0,5 à 1,5 5,5 à 15F1 1,6 à 5 16 à 50F2 5,1 à 16 51 à 160F3 17 à 50 161 à 520F4 51 à 160 530 à 1500F5 161 à 500 1600 à 5000

L’échelle de Saffir – Simpsonuissance des cyclones (Hurricane Scale)

ar Herbert Saffir et Robert Bob Simpson suit à uneOrganisation Mondiale de Météorologie) :

classe 1 classe 2 classe 3 classe 4 classe 5

119≤U≤1531,2≤H≤1,8

154 ≤U≤1771,8≤H≤2,7

178≤U≤2092,7≤H≤4,0

210 ≤U≤2494,0≤H≤5,5

U≥249H≥5,5 à 19

s p>980 965≤ p≤979 945≤p≤964 920≤p≤944 p<920

minimes modérés intenses extrêmes désastreux

tiliser la formule de Phillips pour calculer la hauteur

ule :

10

210

2s

Utg

0006,0Ug

=Η (23)

continue du vent « dite âge du vent »

une minute, du ventmesurée à l’altitude de10m de la surface libre



8

La hauteur maximale d’un spectre de houle est d’autant plus élevée qu’ilexiste un plus grand « fetch ». On propose les formules suivantes :

• 4121max F26,0F34,075,0 −+=Η pour ( 3000F1200 ⟨⟨ )

formule de Stevensen (24)• F005,0F 41

max +=Η pour ( 3000F1200 ⟨⟨ )formule de Kousnetzof (25)

• ( ) ( ) 110

210max FlogFlog −−=Η pour ( 1200F100 ⟨⟨ )

formule de Kousnetzof (26)où F en (Km) et maxΗ en (mètre)Il existe également des formules empiriques de type ( m

maxmax UΚ=Η ) :• 5,0

maxmax U65,2=Η formule de Kousnetzof (27)• maxmax U48,0=Η formule de Cornish (28)

voici une formule qui conjugue l’effet du fetch F et de la force du vent U :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=Η

t86,11

FU7,01

U33,0max formule Russe (29) où

=t durée du vent en heures.Remarque : Soit les fréquences de passage par les points singuliersd’un enregistrement :

c2

4max

zo

2o

1mm

21"imummax"parpassagedeNombreN

2mm1MWLparpassagedeNombreN

Τ=

π==•

Τ=

π==•

(30)

On démontre facilement que la largeur ε du spectre est donnée par :2

z

c2

max

o

4o

22 1

N2N1

mmm1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΤΤ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−≡ε (31)

Les valeurs de « ε » proches de zéro s'accordent à des spectres étroitset une distribution des hauteurs de type loi de Rayleigh alors que pourdes valeurs ε proches de l'unité, le spectre est à large bande et larépartition des hauteurs correspondante suit une loi de Gauss.Ondes induites par le vent : proposition du SPMLa hauteur et la période significative peuvent également être décemmentcalculées par la méthode de Sverdrup, Munk & Bretschneider (SBM)comme c’est proposé dans Shore Protection Manual (SPM) de l’U. S.Army Coastal Engineering Research Center (CERC 1984) :En eau profonde ( 5,0Lh ⟩ ) : on a



9

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=Τ=Τ

=Η=Η

gUF2714,0

gUF0016,0

2s

31s

2s

31s

en (S.I.) (32)

En eau intermédiaire et en eau peu profonde ( 5,0Lh ⟨ ) : formule (13)Une formule plus simple et récente (2002) était proposée dans le cadredu Joint North Sea Wave Project (Hasselmann et al. 1973) pour prévoirl’onde l’augmentation de la houle significative avec le fetch :

s3 2a,

a,p

2a,

2a,

s

uFg

gu

651,0

uFg

gu

0413,0

Τ≈=Τ

=Η

∗

∗

∗

∗

en S.I. (33) =Τ période moyenne 1

omm2π=

=∗ a,u vitesse de frottement de Prandtl dans la couche limite atmosphérique.On peut calculer cette vitesse en considérant un profil de vitesse du ventlogarithmique tenant compte des différents cas (C.L.A. sable, neutre ouinstable). CERC (division CEM : Coastal Engineering Manual) a proposé en2002, en adoptant un cisaillement du vent quadratique, le formalisme :

210D

2a, UCu =∗ avec ( )10D U035,01,1001,0C += (34)

=DC Coefficient de Drag

Prévision de la houle par la méthode SMB(Sverdrup, Munk et Bretschneîder)

développée par H. V. Sverdrup, W. H. Munk aux USA et C. L. BretschneïderPremière publication Mars 1947 : « Wind, Sea and Swell » dans U. S. NavyHydrographic Office Publication N°601 par H. V. Sverdrup et W. H. Munk Elle faut trouver : H (amplitude),c (célérité) ou T (période)= ( )g,t,F,UΨ

L’analyse dimensionnelle permet d’écrire :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=βγπ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πΤ

=U

tg,UFgg2

UHget

Utg,

UFgf

U2g

Uc

22

22 eau profonde

=t l’age (durée) du vent , =γ cambrure LΗ= & Uc=β avec kgc2=Ces fonctions sont données sous forme de courbes où H et T sont lesvaleurs significatives de l’amplitude (crête – creux) 31Η et de la périodedu spectre 31Τ (voir figures suivantes où “ Fx = ”). On constate que pour une vitesse de vent déterminée l’amplitude de lahoule croit en fonction de la longueur du fetch, pour atteindre une valeurlimite. Dans ce cas l’état de la mer correspond à une mer complètement


Complément chapitr

développée (FDS ou FAS <Fully Arisen Sea>) et le fetch correspondants’appelle FASF . Pour la durée d’action du vent pour lequel la mer aatteint ce niveau stationnaire pour une vitesse donnée est appelée FASt .Sa valeur est donnée par : 1 nœud (Knots) = 1852 m/h

( ) ( )nœudsenU75,0heuresentt m5,19FASd ⋅== (35)Ces courbes ont pour asymptotes (c'est - à - dire FDSSMB − ) :

95,1U2

gTet268,0

U

Hg 312

31 =π

= (36) ⇒ ( ) ( )s/mU0268,0mH 231 ⋅=

pour des valeurs grandes de 2UgF et de

Ugtd qui définissent bien entendu

la condition : FDSSMB− .

e 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz

10



11

Exemple d’application :Un vent de vitesse ( sm20U = ) soufle au large durant 4 heures.

• Déterminer l’amplitude crête – creux de la houle significativeen mètre d’eau ?

• Déterminer la période significative du spectre en seconde ?• Estimer le fetch associé en kilomètre ?

Solution :D’après le graphe “Duration graph” (de Sverdrup & Munk) on a :

310063,7706320

3800481,9Utg

⋅==××

= ⇒

095,0Ug

2 ≈Η

⇒ m481,9201,0 2

31 ≈×

=Η

et

5,0Uc≈≡β ⇒

πΤ

==×=2gsm10205,0c ⇒ s5,6

81,91014,32

31 ≈××

=Τ

La longueur d’onde, en eau profonde, est :m655,610cL 2131 =×=Τ=

d’où la cambrure de l’onde :

06,0654

L==

Η≡γ

d’après le même graphe on a :

8FUt≈ ⇒ Km36m36000

82036004F ==

××≈

Le temps nécessaire pour l’obtention du régime FAS peut s’estimer par : ( ) ( )nœudsenU75,0heuresentt m5,19FASd ⋅==

Application numérique :( nœuds40hKm72sm20U ≈== ) ⇒

h304075,0tFAS =×=et

( ) ( )h/KmU151,0KmF 2FAS ⋅=

Application numérique :( ) Km78272151,0F 2

FAS =×=ainsi

%6,478236

FF

FAS==

Une réduction de la durée du vent est assimilable à une réduction de lalongueur du fetch : voir page N°13 du Ch05 d’Hydraulique Maritime : selonle tableau suivant on a par extrapolation linéaire :



12

%F

F125,8%tt

FASFAS

d += pour %10¨F

F%5FAS

≤≤

Application numérique :

%9,1346,0125,8tt

FAS

d =×+= ⇒ h17,430139,0td =×=

de même ordre de grandeur ( h4td = ) soit 4% d’erreur relative

%tt

%FF

FAS

d

FAS

5 10 15 20

14,5 20,5 26 31,5

30 40 50 60

41 50 59 67,5

70 80 90 100

76 84 92 100

%FASH

H

%FASH

H

max

31

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35 49,5 59 65,5

51 63 70 75

74,5 81 86 90

81,5 86 89,5 92,5

93 95,5 95 100

95 97 98,5 100

On en déduit que :

%84,3331,FAS

31 ≈Η

Η ⇒ m8,11

3384,04

31,FAS ≈=Η

or l’équation (36) nous donne :

268,0U

Hg2

31 = ⇒ m1181,9

20268,02

31,FAS ≈×=Η soit (7%) d’erreur

Spectre de Pierson – Moskowitz PM en mer pleinementdéveloppée FAS pour différentes vitesses du vent

Fréquence de pic :

( ) ⇒=ω∂ω∂Η

0S 25,19

p Ug877,0=ω

Célérité au pic :

105,19pp

p U17,1U14,1gkgc ≈=

ω==

Source : http://www.wikiwaves.org/index.php/Ocean-Wave_Spectra

gU22,0

gU

21,0210

25,19

31 ≈=Η

( ) ⇒=Ηωα

β=∫ ωω=

∞+

Η o314o

2

0o m4&g

41dSm 2



13

Distribution du vent proche de la surface marine :U19,5/Uy = f(y)

Représentation schématique de la Genèse d’onde parun vent a vitesse constante : croissance de la hauteur

d’onde significative ‘’Hs’’ avec la distance ‘’x’’ le long du fetch ‘’F’’

td= durée du vent

F = Fetch

♦Dispersion d’énergie♦Frottement♦Turbulence♦Transfert d’énergie d’ondes courtesvers les ondes longues

Corrélation entre le fetch F, la vitesse du vent U10, la hauteur spécifiqueHs, la période T et la célérité c selon Wood & Fleming (1981)



14

Remarque :La distribution de Weibull est souvent utilisée pour nous renseigner surla répartition de la vitesse du vent (vitesse moyenne, vitesse cubiquemoyenne... etc.). La densité de probabilité est :

( )k1k

CVexp

CV

Ck

dVdPVp ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=≡

−

(37) où

(k ) est le paramètre de forme & (C) est le paramètre d’échelle.Pour déterminer les caractéristiques du vent a une certaine hauteur(désignée par l’indice «2») supérieure à (10m désigné par l’indice «1»)on extrapole les deux paramètres de Weibull comme suit :

k

1

212 Z

ZCCα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (38) où

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=α

1

2e

12

1e

o

21e

ZZlog0881,01

kk

6Clog1088,0

ZZZ

log

1k

(39)

La vitesse moyenne est donnée par :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ=∫=∫==

∞∞

k11CdVVpVdPVVV

00 (40) où

( ) ( ) =∫ −=Γ∞

−

0

1x dttexptx fonction Gamma d’Euler avec ( 0x ⟩ )

La vitesse cubique moyenne est :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ=∫=∫=

∞∞

k31CdVVpVdPVV 3

0

3

0

33 (41) ...etc.

Quelques Références Bibliographiques• C.L. Bretschneider, 1958: Revisions in wave forecasting: Deep and shallow

water. Proc. 6th Int. Conf. Coastal Eng. , ASCE, 30-67.• K. Hasselmann, 1962: On the nonlinear energy transfer in a gravity-wave

spectrum. 1. General theory, JFM, vol. 12, 481-500.• WANG Hailong , GUO Peifang , HAN Shuzong : Contrast validation test for

retrieval method of high frequency ground wave radar ; Chinese Journal ofOceanology and Limnology Vol. 23 N°1, pp 22 –28, 2005.



15

• H.U. Sverdrup and W.H. Munk, 1947: Wind, sea and swell : Theory ofrelations for forecasting. HO Publication Office 601, United States NavyHydrographical Office, Washington, D.C., 50 pp.

• http://www.wikiwaves.org/index.php/Ocean-Wave_Spectra• Blair Kinsman : Wind Waves (their generation and propagation on the ocean

surface) 1965 by Prentice – Hall, Inc. ; Printed in US of America.• L. Merad, B. Benyoucef, Lo. Merad, T. Boussoukaia, B. Omari : Etude d’un

Procédé Thermique de Dessalement d’eau de Mer par Aérogénérateur àRendement Elevé. Rev. Energ. Ren. : 11èmes Journées Internationales deThermique (2003)13-19

• M. Zorkani : Statistique d’ondes engendrées par le vent & Analyse spectralede la houle (Ch05 de mon cours d’Hydraulique Maritime).

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