Notes de cours Processus Aléatoire

Universit de Bordj Bou Arrridj 2014/2015

Facult des Sciences et de la Technologie

Dpartement dlectronique Notes de cours Processus Alatoire Master-RTT Dr. Khaled ROUABAH

- 1 -

Sommaire

Notions de probabilits ______________________________________________________ - 3 -

Expriences Alatoires _______________________________________________________ - 3 -

Epreuve ___________________________________________________________________ - 3 -

Evnement ________________________________________________________________ - 3 -

Espace des solutions _________________________________________________________ - 3 -

Remarques ________________________________________________________________ - 3 -

Algbre des vnements ______________________________________________________ - 4 -

Probabilits des vnements ___________________________________________________ - 4 -

Proprits lmentaires ______________________________________________________ - 4 -

Evnements quiprobables ____________________________________________________ - 4 -

Probabilits conditionnelles ___________________________________________________ - 5 -

vnements indpendants ____________________________________________________ - 6 -

Probabilit totale ____________________________________________________________ - 6 -

Variables alatoires nots VAs _________________________________________________ - 7 -

Fonction de rpartition dune VA ______________________________________________ - 7 -

Cas continu ________________________________________________________________ - 7 -

Cas discret _________________________________________________________________ - 8 -

Densit de probabilit (Histogramme) ___________________________________________ - 8 -

Proprits de la densit de probabilit ___________________________________________ - 9 -

Cas discret _________________________________________________________________ - 9 -

Moyenne Spatiale __________________________________________________________ - 10 -

Variance _________________________________________________________________ - 10 -

Moments _________________________________________________________________ - 10 -

Valeur quadratique moyenne _________________________________________________ - 11 -

Moments centrs ___________________________________________________________ - 11 -

Variable alatoire centre rduite (VACR) ______________________________________ - 11 -

Variable alatoires 2D ______________________________________________________ - 11 -




- 2 -

Covariance et coefficient de corrlation ________________________________________ - 11 -

Principales caractristiques des lois usuelles ____________________________________ - 12 -

Loi binomiale ______________________________________________________________ - 12 -

Loi de poisson _____________________________________________________________ - 13 -

Loi normale ou de Laplace Gauss ___________________________________________ - 13 -

Loi de Rayleigh ____________________________________________________________ - 14 -

Loi de Rice _______________________________________________________________ - 15 -

Loi uniforme sur [a,b] ______________________________________________________ - 16 -

Loi de Cauchy _____________________________________________________________ - 16 -

Processus alatoire _________________________________________________________ - 17 -

Dfinition ________________________________________________________________ - 17 -

Expressions probabilistes ____________________________________________________ - 17 -

Moyennes statistiques _______________________________________________________ - 18 -

Stationnaire au sens strict ___________________________________________________ - 18 -

Stationnaire au sens large ___________________________________________________ - 19 -

Exemple _________________________________________________________________ - 19 -

Remarque 1 _______________________________________________________________ - 19 -

Remarque 2 _______________________________________________________________ - 20 -




- 3 -

CHAPITRE 1: RAPPELS SUR LA THEORIE DES PROBABILITES

Notions de probabilits

Expriences Alatoires

Une exprience est dite alatoire si ses rsultats ne sont pas prvisibles avec certitude en fonction

des conditions initiales.

Epreuve

On appelle preuve la ralisation dune exprience alatoire.

Evnement

On appelle vnement, la proprit du systme, c.--d., si lpreuve set effectue alors la

proprit du systme est ralise ou non.

Exemple

Soit lexprience alatoire Lancer deux ds .

Lvnement A : Obtenir un total de nombre >10

A se ralise pour les preuves :

(6,5), (5,6), (6,6).

Espace des solutions

Lensemble des rsultats possibles d1 exprience alatoire est appel lespace des solutions ou

des ralisations, not S .

Un lment de S est appel un point solution.

Chaque rsultat d1 exprience correspond un chantillon de S .

Exemple

Une caisse contient 3 boules rouges et 3 boules noires. On tire une boule au hasard. Donner

lespace des solutions.

S=Boule rouge, Boule noire=r,r,r,n,n,n

Remarques

- Un ensemble, A est appel sous ensemble de B et est not A B, si tous les lments de A sont

aussi lments de B.

- Lespace des solutions S est un sous ensemble de lui-mme, soit : S S

S est appel vnement certain.




- 4 -

Algbre des vnements

- Le complment de A, note , est lvnement contenant tous les chantillons de S

lexception de ceux de A.

- AB correspond lvnement contenant tous les chantillonnes soit de A soit de B soit aux

deux.

-AB correspond lvnement contenant tous les chantillonnes appartenant en mme temps

A et B.

- correspond lvnement impossible qui ne contient aucun chantillon.

-A et B sont dits en mutuelle exclusion ou disjoints sils contiennent aucun chantillon commun,

soit AB =.

Probabilits des vnements

La probabilit P(A) dun vnement A est un nombre rel associ A de telle faon satisfaire

les trois axiomes (hypothses, postulats) suivantes :

Axiome 1 : p(A)0

Axiome 2 : p(S)=1

Axiome 3 : P(AB)=P(A)+P(B) si :

AB =.

Proprits lmentaires

P( )=1- P(A).

P()=0.

P(A) P(B) si AB

P(A)1

P(AB)=P(A)+P(B) P( AB) 0 P(A)1.

P(AB) P(A)+P(B).

Evnements quiprobables

Considrons un espace des solutions fini S .

S={1,2, , } avec : :les lments lmentaires

P( )=P .

Avec : 0 P 1

, i=1,2,.., n

P

=1 = 1 + 2 + + = 1




- 5 -

Si A= iI avec I : ensemble dindice quelconque.

P(A)= ( )= PiI .

Lorsque tous les lments lmentaires (i = 1,2, , n) sont quiprobables alors :

1 = 2 = = .

Comme : P =1 = 1 = 1 = =1

=1

L'une des consquences de la condition d'additivit est que la probabilit d'un vnement

quelconque est gale la somme des probabilits des vnements lmentaires qui le

constituent.

Il en rsulte que la connaissance des probabilits des vnements lmentaires dtermine

entirement les probabilits sur un ensemble de possibilits.

Probabilits conditionnelles

Elle est not P(A/B) ou P(B/A) et elle est dfinie par :

P(A/B)= ( AB)

() . avec: P(B)>0,

P (B/A)= ( AB)

() . avec: P(A)>0,

( A B)=P(A/B).P(B)= P(B/A).P(A).

Si un vnement rsulte du concours ( ) de deux vnements, sa probabilit est gale celle

de l'un d'eux multiplie par la probabilit conditionnelle de l'autre sachant que le premier est

ralis.

La rgle de Bayes est donne par :

( ) =( )()

()

Exemple

Soit calculer la probabilit pour que, tirant successivement deux cartes d'un jeu de 32 cartes,

ces deux cartes soient des valets. Appelons A et B les deux vnements suivants :

- A: la premire carte est un valet,




- 6 -

- B: la deuxime carte est un valet.

La probabilit cherche est (A B) avec (A B) = (A)x(B/A).

Lors du premier tirage, il y a 32 cartes et 4 valets dans le jeu, d'o (A) =4

32 .

Lors du second tirage, il reste 31 cartes et seulement 3valets, puisque l'vnement A est ralis,

do (/) =3

31.

Le rsultat est donc: ( ) =3

31

4

32=

3

248= 0.012

vnements indpendants

Par dfinition, deux vnements sont indpendants, si la probabilit de l'un n'est pas modifie

Lorsque l'autre est ralis.

Deux vnements A et B sont dits statistiquement indpendants si :

P(A/B)=P(A)

et:

P(B/A)=P(B)

( A B)=P(A).P(B)

Les vnements ( 1, 2 , , ) sont indpendants si et seulement si :

P(1 2 3 )=P(1).P(2)P().

Exemple

Les deux vnements A et B de l'exemple prcdent n'taient pas indpendants. Mais si, par

contre, on tire la deuxime carte aprs remise de la premire dans le jeu, les rsultats des deux

tirages deviennent indpendants et ( ) = ()() =4

32

4

32=

1

64= 0.0156

Probabilit totale

Les vnements 1, 2, 3, , sont dits en exclusion mutuelle et exhaustifs si :

= 1 2 = =1

et = avec ij




- 7 -

Soit B un vnement quelconque de S, nous pouvons dfinir la probabilit totale de

lvnement B comme suite :

P(B)= ( B )=1 = ( ). P()

=1

P(/B)= ( )

( B)=1 .P()

=()( )

( B/)=1 .P()

Cest le thorme de Bayes.

Exemple

CHAPITRE 2: VARIABLES ALEATOIRES

Variables alatoires nots VAs

Soient {e1, e2, e3, , e} un ensemble dvnements appartenant S.

A cet ensemble faisons correspondre un nombre X prenant l'une des valeurs : x1, x2, x3, , x

lorsque l'vnement lmentaire correspondant se ralise. Le nombre X est appel variable

alatoire (VA) qui est dfinie si l'on connait les probabilits : p(X = x1), p(X = x2),

p(X = x3), , p(X = x) correspondant aux diffrentes valeurs possibles de X. Une V.A est

donc une grandeur relle dont la valeur dpend du hasard :

Cette dpendance est exprime par une loi de probabilit Distribution .

Fonction de rpartition dune VA

Cas continu

FR : la fonction de rpartition dune VA X est lapplication F de R dans [0,1] dfinie par :

F(x)=P(X< x)

Elle exprime la probabilit que la VA X soit < une valeur x donne.

F est une fonction non dcroissante.




- 8 -

F est continue gauche.

F est continue droite.

F(-)=0 , F(+)=1

P(a ) = () ().

0 () 1

( > ) = 1 ().

Cas discret

Soit une VA discrte avec sa FR, (). Cette FR est une fonction en marche descalier. Elle

change de valeur chaque saut et est constante entre deux sauts. Soit xi les diffrentes valeurs

distinctes prises par la VA.

Soit () les probabilits correspondantes.

La F.R est donne par :

() = (). ( )

Avec: u(x) lchelon unit donn par:

() = {0, < 01, 0

Densit de probabilit (Histogramme)

Soit une VA ayant une fonction de rpartition (). Il existe donc une fonction telle que

() = ( )

1 2 9

1




- 9 -

()= ()

, avec F(x)= ().

est appele densit de probabilit.

Proprits de la densit de probabilit

(). = 1+

, , () 0.

( X ]x1, 2[ ) = (x2) (1) = ()2

1

( = x0 ) = (). x0

x0= 0 , Pas de surface.

([ ]x0, x0 + x0[ ) = ().x0+x0

x0

(X ]x0, x0 + x0[) = () = (x0)x0 = (x0)x0+x0

x0

() = ()

= () .

Cas discret

La densit de probabilit dune VAD est donne par :

() = ()( )

Avec: () =()

est limpulsion de Dirac.

() = 1.+




- 10 -

() =()

Moyenne Spatiale

La moyenne ou lesprance mathmatique dune V.A X , note : E(x) , est dfinie

par :

= E (x) = { () si Discret

() +

si continue

Lopration lie lesprance mathmatique est linaire.

Si , deux VAs alors :

[ + ] = [] + [].

De plus : [] = [] avec = .

Variance

La variance d1 VA , note ou (), est dfinie par

() = = [( )2]

= { ( )

2() , Discret.

( )2()

+

, Continu

La racine carre de la variance est appele lcart type . reprsentent

ltalement des valeurs possibles de X autour de sa moyenne

= [2] = [2] ([]).

Moments

On appelle moment du premier ordre est de degr n d1 V.A lesprance mathmatique de sa

nime puissance.

= [n] =

+

()




- 11 -

Correspond au moment de degr 1

Valeur quadratique moyenne

La valeur quadratique moyenne d1 V.A est son moment de degr 2

2 = [2] = 2

+

()

Moments centrs

On appelle moments centrs du 1 ordre et de degr n d1 VA, lesprance mathmatique de

la nime puissance de lcart entre la VA et sa moyenne.

, = [( )] = ( )

n+

()

Variable alatoire centre rduite (VACR)

On appelle V.A.C.R, une V.A construite partir de par : =[]

()

Variable alatoires 2D

Soit S un espace de solution dune exprience alatoire. Soient , deux VAs. Le couple ( , )

est dfinie comme une VA 2D si et associent un nombre rel chaque lment de .

La FR 2D de , est donne par :

(, ) = [ , ]

Deux variables alatoires sont dites indpendantes si :

(, ) = (). (), (, )

Covariance et coefficient de corrlation

Le moment dordre (k,n) dune VA 2D (, ) est dfinie par :

= [ ] = {

(, )

+

+

(, )

Le moment dordre (1,1) de (, ) est appel la corrlation de et qui scrit :

11 = []

[ ] = 0 , alors sont dites orthognales.

La covariance de et , note COV(, ) ou , est dfinie par :

COV(, ) = = [( )(Y )] = [] [] []

Si : COV(, ) = 0

[, ] = []. []

Le coefficient de corrlation, not (, ) ou , est dfini par :

(, ) = =




- 12 -

|| 1 1 1

Principales caractristiques des lois usuelles

Loi binomiale

La distribution binomiale est la loi statistique de la variable alatoire discrte obtenue en

comptant le nombre de ralisation dun vnement au cours de n essais indpendants. Si p est la

probabilit de ralisation de lvnement, celle dobtenir exactement k ralisation sur n essais est

knkk

n qpCkXPnkob ][),(Pr ,10 p nkpq 0,1

!!!

knk

nC kn

La densit de probabilit correspondante scrit

)(),(Pr)(0

kxnkobxfn

k

La figure suivante illustre la densit de probabilit pour p=0.5, et n=20

On note cette loi B(n,p)

Moyenne Variance

m=np npq2




- 13 -

Loi de poisson

La loi de poisson caractrise de nombreux processus alatoires ponctuels dont les instants de

ralisation sont alatoires. Cest la loi des vnements rares. Cest aussi le cas limite de la loi

binomiale lorsque np , quand n . est appel paramtre de Poisson.

Soit une squence alatoire dvnements indpendants susceptibles de se raliser nimporte

quel instant avec la mme probabilit. Le nombre moyen dvnements par unit de temps est

une constante . Soit kXP la probabilit de compter exactement k vnements.

!][

k

ekXP

k 0, INk

Reprsentation graphique de la distribution de poisson.

Moyenne Variance

m= 2

Loi normale ou de Laplace Gauss

Une variable alatoire continue de valeur moyenne m et de variance 2 est distribution normale

ou gaussienne si sa densit de probabilit est du type :




- 14 -

22exp

2

1)(

mxxf ,x

On note cette loi N(m,2)

Moyenne Variance

m 2

La loi N(0,1) est appele loi normale centre, rduite.

Loi de Rayleigh

Une variable alatoire continue possde une distribution de Rayleigh si sa densit de probabilit

est du type :

)(2

1

exp)(2

2

2xu

xx

xf

Moyenne Variance

m= 2

2222

x




- 15 -

Loi de Rice

La loi de Rice est une gnralisation de la loi de Rayleigh utilise pour dcrire le comportement

d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'tre reu par une

antenne.

Densit de probabilit pour diffrentes valeurs de avec = 1 (Wikipdia).




- 16 -

Densit de probabilit pour diffrentes valeurs de avec = 0.25 (Wikipdia).

Loi uniforme sur [a,b]

Une variable alatoire continue est distribution uniforme si sa densit de probabilit est du type

abbaxrect

abxf

2

11)( bxa

Moyenne Variance

2

bam

12

2

2 ab

Loi de Cauchy

211

)(x

xf

,x

Ni la moyenne, ni la variance, ni aucun des moments nexistent.

Moyenne Variance

Nexiste pas Nexiste pas




- 17 -

CHAPITRE 3: PROCESSUS ALEATOIRES

Processus alatoire

Dfinition

Un processus alatoire (PA) est dfini comme un ensemble de VAs indexes par le paramtre de

temps t T / avec T est lensemble des indices.

Expressions probabilistes

Soit X(t) un processus alatoire.

A linstant t1, (1) = 1 est une VA.

Sa FR est donne par :

(1, 1) = ((1) 1).

O 1 est un nombre rel quelconque.

: est appele FR du 1er ordre de ().

La densit de probabilit est donne par :

0 20 40 60 80 100

-202

0 20 40 60 80 100

-202

0 20 40 60 80 100

-202

0 20 40 60 80 100

-202

Temps "S"

Am

pli

tud

e

1 2 3

1()

2()

3()

4()

S

Processus alatoire




- 18 -

(1, 1) =(1,1)

1

Aux instants t1, t2 nous avons (1) = 1 et (2) = 2 avec :

(1, 2 , 1, 2) = [( 1) 1, (2) 2 ]

(1, 2, 1, 2) =

(1, 2, 1, 2 )

12

Aux instants 1, 2, , , nous avons (1) = 1, (2) = 2,, () = avec :

(1, 2, , , 1, 2, , ) = [(1) 1, (2) 2, , () ]

La densit de probabilit est donne par :

(1, , )= (1,,1,,)

1.

Moyennes statistiques

La moyenne de () est donne par :

= [()] = +

(, )

() peut tre considr comme une VA de temps fixe.

Lautocorrlation de () est donne par :

(1, 2) = [(1)(2) ] = 12(1, 2; 1, 2)

12

Pour un PA complexe, nous avons :

(1, 2) = [(1)(2) ]

(2) est le complexe conjugu de (2)

Lautocovariance de () est donne par :

(1, 2) = {[(1) (1) ][(2) (2) ]} = (1, 2) (1)(2)

Le moment dordre n de () est donn par:

[(1)(2)(3) ()] =

12 (1, 2, , ; 1, 2, , )

12

Stationnaire au sens strict

Un processus alatoire est dit stationnaire au sens strict (SSS) si ses caractristiques statistiques

sont invariantes en procdant un dcalage de lorigine du temps.

(1, , ; 1, , ) = (1 , , ; 1 + , , + )

pour une constante quelconque.

A partir de cette quation, la densit de probabilit du 1er ordre dune VA () stationnaire est

indpendante du temps t.

(1, ) = ()




- 19 -

De plus,

(1, 2,1,2) = (1, 2, 1 + ,2 + )

Si c= - t1

(1, 2, 1, 2) = (1, 2, 2 1)

La D.P de 2 VAs () et ( + ) ne dpend que du paramtre .

(La diffrence temporelle ).

Stationnaire au sens large

Un P.A est dit stationnaire au sens large ou SSL si

1. sa moyenne est constante [()] = =

2. sa fonction dautocorrlation ne dpend que de la diffrence

(, + ) = [(). ( + )]=()

Pour un PA complexe, nous avons :

(, + ) = [()( + ) ]

( + ) est le complexe conjugu de ( + )

Exemple

Soit le PA X(t) donn par :

() = cos(20 + )

: est une VA uniformment distribue sur lintervalle [0,2]

Dterminer si () SSL.

() = {1

2 || < 0

0

Sa moyenne :

() = cos(20 + ) ()+

= cos(20 + )1

2

+

= 0

() est indpendante de temps

Sa fonction dautocorrlation est :

(, + ) = [()( + )] = cos(20 + ) cos(20 ( + ) + ) ()2

0

(, + ) =1

2 cos(20)

2

0

= cos(20) = ()

Le processus est SSL.

Remarque 1

Lautocovariance dun processus alatoire SSL ne dpend aussi que de la diffrence .




- 20 -

() = () 2

Pour = 0

[2()] = (0)

La puissance moyenne d 1 PA SSL est indpendante du temps t et est gale (0)

Remarque 2

Un PA SSS est un PA SSL mais un PA SSL nest pas ncessairement SSS.

Deux PAs () et () sont conjointement SSLs, si :

1- Chaque PA est 1 SSL,

2- La corrlation croise ne dpend que de la diffrence temporelle , soit :

(, + ) = [(). ( + )] = ()

De plus,

3- La covariance croise de ces deux PAs ne dpend que de la diffrence temporelle

()=() .

Moyenne temporelle et rgodicit

La moyenne temporelle dune fonction chantillon () d 1 PA () est donne par :

=< () >= lim

1

()

2

2

.

Lautocorrlation moyenne dans le temps de la fonction chantillon () est donne par :

() = < ()( + ) > = lim

1

()( + )

2

2

et () sont des VAs. Leurs valeurs dpendent de la fonction chantillon de x(t) utilise.

Si X(t) est stationnaire, alors :

[] = lim

1

[()]

2

2

= lim

1

|

2

2 =

Ce rsultat indique que la valeur prvue souhaite de la moyenne temporelle est gale la

moyenne de lensemble des ralisations.

De plus :

[()] = lim

1

[()( + )

2

2

] = ()

Ce rsultat indique que la valeur de lautocorrlation moyenne dans le temps est gale

lautocorrlation de lensemble des ralisations.

1

lim

()|

2

2 = ()




- 21 -

Ce rsultat indique que la valeur de () moyenne dans le temps est gale lautocorrlation

de lensemble des ralisations.

Un processus alatoire X(t) est dit ergodique si les moyennes temporelles sont identiques pour

toutes fonctions chantillons ou preuve et gales la moyenne sur lensemble des ralisations.

= [()] =

et :

() = < (). ( + ) > = [()( + ) ] = () .

Un processus est dit ergodique au niveau de la moyenne si : = .

Un processus est dit ergodique au niveau de lautocorrlation si : () = ()

Pour un PA ergodique les paramtres lectriques fondamentaux peuvent tre rsums de la faon

suivante :

=< () > est gale la composante continue du signal.

[] =< () > est gale la puissance normalises de la composante continue.

(0) =< () > est gale la puissance moyenne totale normalise.

Caractristiques nergtique

Dans la suite nous supposerons que les PAs sont SSLs

Autocorrlation

Lautocorrlation de () est donne par :

[()( + ) ] = ()

() = (), paire.

|()| (0)

(0) = [ ()]

Corrlation croise

La corrlation croise de () et Y() est donne par :

() = [(). ( + ) ]

() = ()

|()| |(0)|. |(0)|

(0) =1

2 [|(0)| + |(0)|]

Autocovariance

Lautocovariance de () est donne par :




- 22 -

() = [{() [()]}. {( + ) [( + )}]

() = ()

Covariance croise

La covariance croise de () et de () est donne par :

() = [{() [()]}. {( + ) [( + )]}]

() = () .

Deux processus () et ()sont dits orthogonaux si :

() = 0

Ces processus sont dits non corrls si :

() = 0

Densit spectrale de puissance

La densit spectrale de puissance (spectre de puissance) de () est dfinit par la TF de ()

soit :

() = () 2

() = () 2

Proprits

1. () est rel.

2. () 0

3. () = ()

4. ()

= (0) = [

2()]

Densit spectrale croise

Les densits spectrales croises (ou spectres de puissances croises) () et () de () et

de () sont dfinies par :

() = () 2

() = () 2

() = () 2

() = () 2

() = () = ()

Transmission dun PA travers un systme linaire

Soit un systme LIT de rponse




- 23 -

() = [()]

() est le PA de sortie.

() est le PA dentre.

: oprateur linaire du SLIT

Soit () la rponse Impulsionnelle du SLIT

() = () () = () ( )+

() ()

() y (t) ()

Moyenne et autocorrlation du signal de sortie

() = [()] = [ () ( )+

]

= ()[( )]+

= ()( )

+

= () ()

(1, 2) = [(1)(2)] = [ ()( 1 ) +

() ( 2 )

]

= ()()[ (1 ) ( 2 )] +

+

(1, 2) = ()() (1 , 2 ) +

+

Si: () est SSL [()] =

[()] = () +

= [ ()

+

] = (0)

(0) = () 2

]=0 = ()

+

Lautocorrlation est donne par :

(1, 2) = ()() (2 1 + ) +

+

(1, 2) est fonction de la dfrence = 2 1

Densit spectrale du signal de sortie

() = () 2

= ()() ( + ) 2

+

+

= |()| . ()

La D.S.P du signal de sortie est gale au produit de la D.S.P du signal dentre et du carr de

lamplitude de la fonction de Transfert du systme.

SLIT




- 24 -

() = () 2

= |()| () . 2

La puissance moyenne du signal de sortie () est donne par :

[2()] = (0) = |()| ()

De plus on peut dterminer lautocorrlation par la T. F inverse de la D. S. P.

() = |()| . ()

() = () ().

() : la fonction dautocorrlation de la rponse Impulsionnelle.

Lintercorrlation entre sortie () est dfinit par :

() = [() ( + )] = [()[( + ) ( + )]]

Finalement :

() = () ()

La T. F de () qui est la D. S. P dinteraction (interdpendance, interfrence)

dentre sortie est donne par :

() = (). ()

Soit deux SLITs de rponses impulsionnelles, 1() et 2() respectivement. Soit 1(t) le PA

dentre, soit 1(), 2(t) les de sortie.

1 2 () = [1 () 2 ( + )] = ( )12 ()+

1 2 () = () 12()

. de la fonction dinterrrlation 1 2 () est donne par :

1 2 () = 12() . ()

1 2 () = 1(). 1(). ()

()

()

()

>

()

()

Notes de cours Processus Aléatoire

Documents

Transcript of Notes de cours Processus Aléatoire