RP : Impact de l’omission d’un facteur de risque sur la stabilité temporelle

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Impact de l'omission d'un facteur de risque sur la stabilité des proxies infra annuel

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  • 1. Portefeuille de rplication Impact de lomission dun facteur de risque sur la stabilit temporelle SACEI 04 Octobre 2013 Marc JuillardClment PravinActuaire manager, expert ERMActuaire managerResponsable R&D [email protected]@sia-partners.com1 page

2. Contexte Objet de la prsentation On considre une compagnie dassurance commercialisant un contrat dpargne en euro, qui sous le pilier 1, gre : son besoin de fonds propres sur la base de la formule standard ;les risques actions et risques de taux sur la base dun GSE ;la problmatique des obligations corporates sur la base dune mcanique dabattement des coupons.Dans le cadre de ses travaux Pilier 2, la compagnie souhaite approximer la dformation de son ratio de couverture (en vision prospective et en cas de stress sur les marchs) sur la base dun portefeuille de rplication. Elle cherche alors dterminer si le niveau de complexit retenu dans le cadre de ces travaux pilier 1 (absence de prise en compte de la volatilit du risque de crdit) est suffisant lors de la mise en place du portefeuille de rplication (notamment pour minimiser le problme de stabilit temporelle de ce type dapproche). On considre dans la suite de la prsentation que lintgralit des risques sont couvrables (dans la ralit ce point sera discuter et pourra conduire privilgier une approche LSMC ou Curve Fitting).2 page 3. Contexte Rappel des principes Least Square Monte Carlo et Portefeuille de Rplication Portefeuille de Rplication Si lon se place sous un march complet, il est possible de rpliquer tout instrument financier Pt par une portefeuille autofinanc 0 , , et un vecteur de processus adapts 0 , , M t wit XiPt = i=1Least Square Monte CarloLespace L , , muni de la covariance comme produit scalaire est un espace de Hilbert. Ainsi tout lment peut sexprimer partir de ses coordonnes exprimes dans la base de Hilbert de L(Y) = =1Cadre assurantiel On admet couramment lexistence de 2 processus markovien Yt et Dt dcrivant respectivement les risques impactant le passif et ltat des polices. Aussi la problmatique se situe au niveau du calcul de la dynamique de lesprance conditionnelle suivante : = 1 , 1 La transposition de ces 2 mthodes au cadre assurantiel consiste dterminer un panier dactif (ou un polynme appliqu un ensemble dala) prsentant la mme dynamique que le best estimate. Cependant ,les particularits des passifs dassurance (nombreux facteurs de risques rendant la dynamique des passifs complexe et partiellement couvrable) conduisent modifier le cadre thorique associ ces mthodes : rsultat approch et non exacte ; 3 stabilit temporelle non vrifie. page 4. Contexte Impact du passage au cadre assurantiel Perte de la stabilit temporelle Mthodologie des portefeuilles de rplication Taille de la somme : le niveau de complexit des contrats dassurances ne permet pas de dfinir prcisment le terme M.Pondration : les processus adapts sont remplacs par des constantes. Mthodologie des Least Square Monte Carlo Taille de la somme : on se limite aux M premiers termes.Construction de la base : la base retenue est rarement orthogonale.Limite du pouvoir de rplication Mthodologie des portefeuilles de rplication La prsence de risques non couvrables (type risques biomtriques) invalide lutilisation de portefeuille de rplication pour certains types de passifs. Mthodologie des Least Square Monte Carlo et des Least Square Monte Carlo Les rgles comptables (consommation de la PPE, Rserve de Capitalisation, PDD, PRE, ) induise un phnomne de volatilit qui ne peut tre couvert ou rpliquer sur la base dala. Dans le cadre assurantiel, la mthodologie des portefeuilles rpliquant ne vise dfinir un portefeuille de couverture ! - Les produis financiers peuvent donc tre fictifs, - Les problmes de liquidit et de frais financiers ne sont pas prises en compte. Travailler sur le best estimate ncessite de tenir compte de leffet de levier ! 4 page 5. Cadre Mthodologique des portefeuilles de rplication (1/4) Schma global Impact mthodologique (dans le cadre de risques rplicables)La perte de la stabilit temporelle est minimise lors de lajustement des proxies : ajout dun certain nombre de contraintes senses modliser les conditions de march o lon souhaite que le proxy soit toujours valide (i.e. biais maitris). Analyse des risques majeurs Ajustement du proxyRisques de crditProxyRisques de volatilitRisque de Construction des contraintes Ajustement dun GSE captant la volatilit de ces risquesConstruction de scnarios de stress qui sont injectes en tant que contrainte dans lajustement du proxyLe proxy ne peut pas fournir une information plus fine que le GSE !5 page 6. Cadre Mthodologique des portefeuilles de rplication (2/4) Ajustement de lasset mixt et construction des scnaris de stress Slection des actif candidats initiaux On se limite aux instruments vanilles dont les prix peuvent tres valus partir de formules fermes. Ceci diminue la capacit de rplication mais savre ncessaire du point de vu oprationnel Instruments financiersMaturitStrikePouvoir rpliquantObligations zro-coupon3, 4, 6, 7, 8, 9, 10- Calls sur action1, 2, 3, 4, 10100% Swaptions1, 3, 4, 51%CAP1, 3, 4, 51% 3 Ajustement des scnarios de stress Limite du pouvoir de rplication Etape dlicate dans le sens o au-del de la volatilit des facteurs de risques, cest limpact sur la volatilit des passifs qui nous intresse. Diverses possibilits sont envisageables : Mthode Retenir les scnarios de stress qui sortent du GSE Retenir les scnarios de stress qui sortent dune approche SdS Se baser sur une tude de lhistorique des facteurs de risquesRapidePrise en compte de limpact sur les passifsContra-cycliqueOuiNonNonOuiNonNonOuiNonOui6 page 7. Cadre Mthodologique des portefeuilles de rplication (3/4) Les ides cls et la procdure de la validation Ajustement de : = , Les points cls: 1.Choix des actifs candidats , on note , le cash flow dlivrs la date t dans la simulation sDfini a priori en analysant la nature des options inclues dans les passifs (et donc la convexit). Ces derniers peuvent tre fictifs, la seule contrainte impose tant de pouvoir les valoriser par des formules fermes ou par des approches numriques peu chronophages). 2.Le calcul du poids de chaque actif dans le portefeuille rpliquant; La mthode des moindres carrs pondrs est trs rpandue : 1 , , = (, ) (, ) =1 =1=1Limite du pouvoir de rplication 3.Afin de maintenir la stabilit temporelle du proxy, des contraintes sont ajoutes : 0 (0) 0 (0) ; (0) (0)7 page 8. Cadre Mthodologique des portefeuilles de rplication (4/4) Processus de validation de lasset mixt Validation de la forme paramtrique La slection de modle peut seffectuer de 3 faons : slection forward, limination backward, mixte Application dun critre permettant de mesurer la qualit de rplication de la forme paramtrique. R : fonction non dcroissante du nombre de variables explicatives et sensible aux points aberrants.R ajust : il sagit du R ajust du nombre de variables explicatives.Critres de vraisemblance pnalise : BIC ou AIC (pnalise le sur-pamtrage) .Autre (Cp de Mallows, ) .Exemple retenu Ajustement de s scnarios de stress Limite du pouvoir de rplication Slection de modle base sur le critre du R ajust. .Mthode SVDcombin une analyse Q-Q plotTests statistiques sur les rsidus, significativit des coefficients de la rgression.Vrification du respect des contraintes.8 page 9. Prsentation de lexemple retenu CLEMENTPrsentation du passif Un contrat dpargne en euro : TMG de 1% Taux de 85% Taux de frais de gestion de 0,5%Modlisation des risques Gestion de la prime de risque Primes de risque implicite Contraintes imposes au GSE Etre Market Consistent sur les taux Swap Prsenter un compromis volatilit vs pragmatisme .Modlisation des risques comportementaux Rachats conjoncturels : Taux cible : OAT 10 ans Application de la loi ACP (ONC)Gnrateur de Scnarios Economiques Les modles implments en risque neutre Action : Black & Sholes Taux nominaux : H&W 1 facteur calibr sur partir de prix de taux Swap Risque de Crdit : Modle LMN calibr sur les CDS dune obligation A9 page 10. 0,6000,5000,400Niveau des vecteurs propres0,3000,2000,100050100150200250300-0,100-0,200Construction des contraintes (1/2)-0,300-0,400-0,500Maturit en mois 1re vecteur2me vecteur3me vecteurPrincipe de construction Si dans des conditions de volatilit mesures, les simulations effectues t=0 assurent la stabilit du portefeuille rpliquant, elles ne permettent pas dobtenir un proxy suffisamment stable. Pour pallier ce problme, on dfinit un ensemble de scnarios correspondant un maillage des conditions de march stresses pour les 12 prochains mois. Il sagit donc dune approche cohrente avec la technique du Curve Fitting.Gr par les scnarios t= 0 Dans le cas des scnarios associs aux quantiles de valeurs levs, les scnarios peuvent tre raliss sur la base dune norme traduisant la sensibilit de la VIF la ralisation dalas de niveau levs. Norme applique : , , = 2 + 2 + 2 In fine on retient de 6 scnarios correspondant aux conditions de march associes aux quantiles 0.5%, 5%, 20%, 80%, 95% et 99.5% un an. Ces derniers permettent en outre de tenir compte des effets croiss et de la sensibilit des passifs aux facteurs de risques financiers. Le nombre de scnarios et leur nature (stand alone vs croiss) dpend de la complexit des passifs.10 page 11. 0,6000,5000,400Niveau des vecteurs propres0,3000,100050100150200250300-0,200Construction des contraintes (2/2) Principe de construction Rconciliation avec la Formule Standard0,200-0,100-0,300-0,400-0,500Maturit en mois 1re vecteur2me vecteur3me vecteurComparaison des scnarios choqus avec le stress LTGA : risque de taux 100,00%90,00%Dune manire synthtique les diffrents scnarios indiquent : Des chocs de taux la hausse cohrents avec la FS.80,00%70,00%60,00%Un choc de spread stand alone cohrent avec la FS (11% contre 10,5%).50,00%40,00%30,00%20,00%10,00% 13579 Choc 0,5%11 Choc 5%13151719Choc LTGAAnalyse critique des scnarios de stress de taux Un modle de taux qui ne permet de capter que 88% de la volatilit du risque de taux (seuls les mouvements de translation de la courbe des taux sont capts ). Ajout dune procdure de rconciliation avec lhistorique des taux 1 an [2000 2011] : dans 0,5% des cas les taux ont progresss sur 12 mois de 80% (98% dans le scnario 99,5%) dans 5% des cas les taux ont progresss sur 12 mois de 59% (75% dans le scnario 95%) dans 0,5% des cas les taux ont dpass les 5,38% (2,16% dans le scnario 99,5%) dans 5% des cas les taux ont dpass les 5,1 % (1,91% dans le scnario 95%)VecteurPart de varianceVariancepropre 1 2 3 4expliqu 88,06% 6,80% 4,56% 0,46%cumule 88,06% 94,86% 99,42% 99,88%Ajout du procdure de validation du RP pour ces niveaux de taux 11 page 12. Stabilit prospectiveLe RP sans le risque de spread conduit surestimer la richesse de la compagnie dans un an.Analyse critique des diffrents scnario (Ramla) Limite du pouvoir de rplication Une analyse de la fonction de rpartition de lcart entre lapproche SdS et lapproche par portefeuille rpliquant nintgrant pas la volatilit du risque de spread indique que dans 10% des cas, le proxy conduira surestimer la richesse 1 an de plus de 7%. Biais moyenVaR10% du biaisTVaR10% du biais3,8%7,4%10%Aussi grer le risque de spread par abattement des coupons (notamment au niveau de la construction des contraintes) conduit diminuer fortement la stabilit temporelle du proxy. 12 page 13. ConclusionLtape cruciale associe la mise en application des mthodes par proxies en assurance se situe au niveau de la construction des contraintes qui dfinissent: le niveau de stabilit temporelle de la forme paramtriqueles zones de stress partir desquelles le proxy devra tre recalibr.Dans le cas des risques financiers, la prise en compte du risque de crdit dans la dfinition des contraintes constitue ainsi un cadre minimal.Une analyse du poids de la volatilit des risques considrs sera galement mener. Ainsi dans le cas ou lon ajoute du risque immobilier une mthodologie approche pourra tre envisage (approche proportionnelle et dfinition de zones de stress bas sur lhistorique). In fine, on observe que la problmatique pluri-annuelle est troitement lie la problmatique infra-annuelle : les scnarios de stress retenus dans lajustement du proxy doivent a minima tre pris en compte lors du calcul du Besoin Global se Solvabilit.Limite du pouvoir de rplication13 page 14. Annexe Least Square Monte Carlo et Portefeuille de Rplication : points de convergence et de divergence 1.On se place sous L , , et on note Pt le prix dun instrument financier quelconqueMuni de la covariance comme produit scalaire L , , est un espace de Hilbert. Ainsi tout lment peut sexprimer de la sorte : = =1Il sagit du cadre initial associ la mthode LSMC 2. 3.On considre que les rsultats obtenus par une approche de type Monte Carlo constitue la ralit. On considre que lensemble des risques sont couvrables. Cette 2me hypothse revient considrer que la probabilit risque neutre retenue sous Monte Carlo est la seule mesure risque neutre du march : est donc considr comme un march complet. Aussi Pt peut tre valoris sur la base des prix dactif dArrow-Debreu : = =1La notion de compltude implique galement quil est possible de rpliquer Pt par une portefeuille autofinanc 0 , , . Le passage dune somme infinie une somme finie implique cependant de retenir des processus adapts comme pondration : M t wit XiPt = i=1Il sagit du cadre initial associ la notion de portefeuille de rplication Les portefeuilles de rplication et les LSMC prsentent un cadre mathmatique commun et conduisent aux mmes rsultats tant que les hypothses initiales sont vrifies. Ces dernires assure galement la stabilit temporelle des 2 mthodes. 14 page