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1 Représentation des Signaux en Fréquence Transformées de Fourier Option SLE, Cours Signal-Automatique AGD; 23/10/06

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Représentation des Signaux en Fréquence

Transformées de Fourier

Option SLE, Cours Signal-Automatique AGD; 23/10/06

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Représentation en Fréquence : 4 modèles

• Signaux continus périodiques– Série de Fourier (SF)

• Signaux continus non périodiques– Transformée de Fourier (TF)

• Signaux discrets non périodiques– Transformée de Fourier des signaux discrets (TFSD)

• Signaux discrets périodiques– Transformée de Fourier discrète (TFD)

3

Justification

• Représentation temporelle– Évolution temporelle des signaux

• Représentation de Fourier– Composition fréquentielle des signaux

• Cas particulier de la Transformée de Laplace– Signaux permanents à énergie finie

• Point de départ : Série de Fourier (1807)– Tous les signaux périodiques peuvent se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux

4

Cas d’une sinusoide

5

Cas de signaux en créneaux

6

Cas de signaux en dent de scie

7

Cas de signaux de battements

8

Autres exemples

9

Chirps

10

Justification

• Série de Fourier (1807)– Tous les signaux périodiques peuvent se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux

( ) ( )∑∞

=++=

1

000 sincos2

)(n

nn tnbtnaatx ωω , x(t) périodique de période T0

– Formulation complexe

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Représentation des signaux périodiques (1/2)

• Cas trivial : x(t)=Asin(ω0t+φ)x(t)=Acos(φ)sin(ω0t)+Asin(φ)cos(ω0t)

�a0=0, a1=Asin(φ), b1=Acos(φ)• Formulation complexe

x(t)= j.(A/2).(e-jθ-ejθ); θ= ω0t+φx(t)=j.(A/2)(e-iφ.e-iω0t -eiφ.eiω0t)

�X[1]= -j.(A/2). eiφ ; X[-1]= j.(A/2). e-iφ

En module : |X[1]|= |A/2| ; |X[-1]|= |A/2|

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Représentation des signaux périodiques (2/2)

• Cas quelconque : x(t) périodique de période T0

∫∫−

−=−=2

2

00

00

0

0

0

0

)exp()(1)exp()(1][

T

T

T

dttjntxT

dttjntxT

nX ωω

( )∑∞

−∞==

n

tjnnXtx ω0exp].[)(

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Exemples (1/2)

Signal Carré

x(t)

A

t 0 T0/2 T0 -T0/2

x(t)

A

t 0 T0/2 T0 -T0/2

Signal Triangle

=2

sin][π

πn

n

AnX

)12(

)1.(]12[

+

−=+

p

ApX

p

π

0]2[ =pX ( )( ) )1cos(][

2−= π

πn

n

AnX

( )2)12(

2]12[

+−=+p

ApX

π2/]0[ AX =

X[n] réel : Signal pair X[n] réel : Signal pair2/]0[ AX =

0]2[ =pX

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Exemples (2/2)

X[n]

Recons-truction

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Spectre de raies

• Dans le domaine fréquentiel, un signal périodique est représenté par un spectre de raies– Connaissance de la suite des X[n]

|X[n]| : module du spectreReal {X[n]} : Partie réelle du spectreImag{X[n]} : Partie imaginaire du spectre

0][lim =∞→ nXn Convergence

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Signaux continus non périodiques

• Extension – Que se passe t’il quand T tend vers l’infini ?

• Spectre de raies � spectre continu

0 T0/2 -T0/2 T -T

t

xp,T(t)

T

0 T0/2 -T0/2

t

x(t) x(t) : Signal non périodique et ici transitoire

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Transformée de Fourier

∫+∞

∞−

= dftfjxpefXtx )2()()( π

( )∫+∞

∞−

−= dttfjtxfX π2exp)()(

C’est la Transformée de Fourier inverse : x(t) = TF-1{X(f)}

C’est la Transformée de Fourier : X(f)=TF{x(t)}

X(f) existe si l’intégrale converge (conditions d’existence)

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Extension

• Que se passe-t-il pour x(t) = δ(t) ? • Que se passe –t-il pour x(t) = A. sin(ω0t+φ) ou cos(.) ?

• Les 2 réponses sont liées : – Calcul de TF{δ(t)} = 1– Calcul de TF-1{δ(f-f0)} = exp(2πjf0t)=exp(jω0t)

• Pour que TF et TF-1 correspondent :

∫+∞

∞−

= )()2( tdftfjxpe δπ ∫+∞

∞−

=− )()2( fdttfjxpe δπ

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Exemples

Signal x(t) TF : X(f)

δ(t) 1 1 δ(f) δ(t-t0) exp(-2πift0)

exp(−t/τ).γ(t) τ/(1+2πjfτ)

porte p(t) :durée –T/2, +T/2; amplitude 1 sin(πfT)/(πf)=Tsinc(πfT) [sinc(x)=sin(x)/x]

A.sin(2πf0t) ( ) ( )[ ]002

ffffAj −−+ δδ

A.cos(2πf0t) ( ) ( )[ ]002

ffffA −++ δδ

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Propriétés (1/3)

• Linéarité

• Symétries– x(t) réel, Real{X(f)} paire, Imag{X(f)} impaire, |X(f)| pair

– x(t) réel pair, Imag{X(f)} nulle

– x(t) réel impair, Real{X(f)} nulle

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Propriétés (2/3)

• Translation temporelle

• Translation fréquentielle

• Dérivation

• Théorème de Parceval

↔ )()( fXtx TF

↔ )()2exp()( fXfajatx TF π−−

↔ )()2exp()( pTF

p ffXtfjtx −− π

dffXdttxE ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== )()(22

↔( ) )(2)(fXfj

dttxd nTF

n

n π

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Propriétés (3/3)

• Théorème de la convolution

)(*)()()()()(

)()()()(*)()(

fYfXfZtytxtz

fYfXfZtytxtz

TF

TF

= →←×=

×= →←=

• Lien avec la transformée de Laplace pour les signaux causaux

)20()()( jfsLxfFxfX π+===

)()(

)()(

fYty

fXtxTF

→←

→←