Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle
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Représentation des Signaux en Fréquence
Transformées de Fourier
Option SLE, Cours Signal-Automatique AGD; 23/10/06
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Représentation en Fréquence : 4 modèles
• Signaux continus périodiques– Série de Fourier (SF)
• Signaux continus non périodiques– Transformée de Fourier (TF)
• Signaux discrets non périodiques– Transformée de Fourier des signaux discrets (TFSD)
• Signaux discrets périodiques– Transformée de Fourier discrète (TFD)
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Justification
• Représentation temporelle– Évolution temporelle des signaux
• Représentation de Fourier– Composition fréquentielle des signaux
• Cas particulier de la Transformée de Laplace– Signaux permanents à énergie finie
• Point de départ : Série de Fourier (1807)– Tous les signaux périodiques peuvent se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux
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Justification
• Série de Fourier (1807)– Tous les signaux périodiques peuvent se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux
( ) ( )∑∞
=++=
1
000 sincos2
)(n
nn tnbtnaatx ωω , x(t) périodique de période T0
– Formulation complexe
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Représentation des signaux périodiques (1/2)
• Cas trivial : x(t)=Asin(ω0t+φ)x(t)=Acos(φ)sin(ω0t)+Asin(φ)cos(ω0t)
�a0=0, a1=Asin(φ), b1=Acos(φ)• Formulation complexe
x(t)= j.(A/2).(e-jθ-ejθ); θ= ω0t+φx(t)=j.(A/2)(e-iφ.e-iω0t -eiφ.eiω0t)
�X[1]= -j.(A/2). eiφ ; X[-1]= j.(A/2). e-iφ
En module : |X[1]|= |A/2| ; |X[-1]|= |A/2|
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Représentation des signaux périodiques (2/2)
• Cas quelconque : x(t) périodique de période T0
∫∫−
−=−=2
2
00
00
0
0
0
0
)exp()(1)exp()(1][
T
T
T
dttjntxT
dttjntxT
nX ωω
( )∑∞
−∞==
n
tjnnXtx ω0exp].[)(
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Exemples (1/2)
Signal Carré
x(t)
A
t 0 T0/2 T0 -T0/2
x(t)
A
t 0 T0/2 T0 -T0/2
Signal Triangle
=2
sin][π
πn
n
AnX
)12(
)1.(]12[
+
−=+
p
ApX
p
π
0]2[ =pX ( )( ) )1cos(][
2−= π
πn
n
AnX
( )2)12(
2]12[
+−=+p
ApX
π2/]0[ AX =
X[n] réel : Signal pair X[n] réel : Signal pair2/]0[ AX =
0]2[ =pX
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Spectre de raies
• Dans le domaine fréquentiel, un signal périodique est représenté par un spectre de raies– Connaissance de la suite des X[n]
|X[n]| : module du spectreReal {X[n]} : Partie réelle du spectreImag{X[n]} : Partie imaginaire du spectre
0][lim =∞→ nXn Convergence
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Signaux continus non périodiques
• Extension – Que se passe t’il quand T tend vers l’infini ?
• Spectre de raies � spectre continu
0 T0/2 -T0/2 T -T
t
xp,T(t)
T
0 T0/2 -T0/2
t
x(t) x(t) : Signal non périodique et ici transitoire
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Transformée de Fourier
∫+∞
∞−
= dftfjxpefXtx )2()()( π
( )∫+∞
∞−
−= dttfjtxfX π2exp)()(
C’est la Transformée de Fourier inverse : x(t) = TF-1{X(f)}
C’est la Transformée de Fourier : X(f)=TF{x(t)}
X(f) existe si l’intégrale converge (conditions d’existence)
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Extension
• Que se passe-t-il pour x(t) = δ(t) ? • Que se passe –t-il pour x(t) = A. sin(ω0t+φ) ou cos(.) ?
• Les 2 réponses sont liées : – Calcul de TF{δ(t)} = 1– Calcul de TF-1{δ(f-f0)} = exp(2πjf0t)=exp(jω0t)
• Pour que TF et TF-1 correspondent :
∫+∞
∞−
= )()2( tdftfjxpe δπ ∫+∞
∞−
=− )()2( fdttfjxpe δπ
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Exemples
Signal x(t) TF : X(f)
δ(t) 1 1 δ(f) δ(t-t0) exp(-2πift0)
exp(−t/τ).γ(t) τ/(1+2πjfτ)
porte p(t) :durée –T/2, +T/2; amplitude 1 sin(πfT)/(πf)=Tsinc(πfT) [sinc(x)=sin(x)/x]
A.sin(2πf0t) ( ) ( )[ ]002
ffffAj −−+ δδ
A.cos(2πf0t) ( ) ( )[ ]002
ffffA −++ δδ
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Propriétés (1/3)
• Linéarité
• Symétries– x(t) réel, Real{X(f)} paire, Imag{X(f)} impaire, |X(f)| pair
– x(t) réel pair, Imag{X(f)} nulle
– x(t) réel impair, Real{X(f)} nulle
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Propriétés (2/3)
• Translation temporelle
• Translation fréquentielle
• Dérivation
• Théorème de Parceval
↔ )()( fXtx TF
↔ )()2exp()( fXfajatx TF π−−
↔ )()2exp()( pTF
p ffXtfjtx −− π
dffXdttxE ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
== )()(22
↔( ) )(2)(fXfj
dttxd nTF
n
n π