Roger Phan-Tan-Luu Universit© Paul C©zanne - France METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE...

download Roger Phan-Tan-Luu Universit© Paul C©zanne - France METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE EXPERIMENTALE M©thodologie de la Recherche Exp©rimentale

of 68

  • date post

    04-Apr-2015
  • Category

    Documents

  • view

    115
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Roger Phan-Tan-Luu Universit© Paul C©zanne - France METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE...

  • Page 1
  • Roger Phan-Tan-Luu Universit Paul Czanne - France METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE EXPERIMENTALE Mthodologie de la Recherche Exprimentale
  • Page 2
  • * Ce rsultat doit nous apporter une information qui correspond bien linformation demande * Linformation ainsi obtenue doit tre de bonne qualit, pour que nous puissions, partir de celle-ci, prendre une dcision avec un risque minimum
  • Page 3
  • Cas ideal : il ny a pas derreur exprimentale Le rsultat de la mesure nous donne Cas normal : lerreur exprimentale existe y i = I + e i Le rsultat de la mesure ne nous donne que y y i est une estimation de i
  • Page 4
  • * Pour amliorer la qualit de linformation obtenue, il suffit daugmenter le nombre dessais * Pour amliorer la qualit de linformation obtenue partir du modle, en plus de la qualit apporte par la mesure,il faudra aussi compter avec les conditions dexprimentations
  • Page 5
  • * Pour amliorer la qualit de linformation obtenue, il suffit daugmenter le nombre dessais Soit N essais rpts (honntement) y 1, y 2, , y N Y moyen = y i /N Var (y moyen ) = 2 / N
  • Page 6
  • * Pour amliorer la qualit de linformation obtenue partir du modle, en plus de la qualit apporte par la mesure,il faudra aussi compter avec les conditions dexprimentations
  • Page 7
  • Cas normal : lerreur exprimentale existe y 2 = 0 + 1 x 2 + e 2 y 1 = 0 + 1 x 1 + e 1 (y 2 - y 1 ) / (x 2 x 1 ) = ( 2 + e 2 - 1 e 1 ) / (x 2 x 1 ) = ( 2 - 1 + e 2 e 1 ) / (x 2 x 1 ) = ( 2 - 1 ) / (x 2 x 1 ) + (e 2 e 1 ) / (x 2 x 1 ) b 1 = 1 + (e 2 e 1 ) / (x 2 x 1 ) y i = i + e i = 0 + 1 x i + e i
  • Page 8
  • b 1 = 1 + (e 2 e 1 ) / (x 2 x 1 ) Pour obtenir une bonne estimation de 1 : b 1 1 Il faut et il suffit que : (e 2 e 1 ) / (x 2 x 1 ) 0 (x 2 x 1 ) doit tre le plus grand possible La qualit de linformation obtenue dpend de la position des points exprimentaux.
  • Page 9
  • Y X y exp, 3 x1x1 y1y1 x6x6 y6y6 x7x7 y7y7 x2x2 y2y2 y calc, 3 y exp, 3 -y calc, 3 x3x3 y3y3 y5y5 x5x5 x4x4 y4y4 S. C. E = (y exp, i - y calc, i ) 2
  • Page 10
  • L = (y i 0 1 x i ) 2 Nb 0 + b 1 x i = y i b 0 x i + b 1 x i 2 = y i x i
  • Page 11
  • b 0 = y moyen b 1 x moyen b 1 = S xy / S xx S xy = y i (x i - x moyen ) 2 S xx = (x i - x moyen ) 2 Var(b 1 ) = Var (S xy / S xx ) = Var (S xy ) / S 2 xx Var(b 1 ) = Var ( y i (x i - x moyen ) 2 ) / S 2 xx Var ( y i (x i - x moyen ) 2 ) = 2 (x i - x moyen ) 2 Var (b 1 ) = 2 / S xx Var (b 0 ) = 2 [ 1/N + x moyen 2 / S xx ]
  • Page 12
  • REPRESENTATION VECTORIELLE Dfinitions : Y : vecteur colonne de la rponse exprimentales y i Y' : { y 1, y 2, y N } : vecteur colonne de la rponse thoriques i ' : { 1, 2, .. N }
  • Page 13
  • REPRESENTATION VECTORIELLE suite : vecteur colonne des coefficients du modle estimer i ' : { 0, 1, 2, . p } B : vecteur colonne des estimateurs b i B' : {b 0, b 1, b 2, . b p } : vecteur colonne des erreurs exprimentales e i ' : {e 1, e 2,..... e N } Notation matricielle classique = X y = X +
  • Page 14
  • METHODE DES MOINDRES CARRES La mthode des moindres carrs ne ncessite aucune hypothse sur la distribution des erreurs exprimentales L = (Y X ) (Y X ) X'X B = X'Y B = (X'X) -1 X'Y si det (X'X) 0
  • Page 15
  • METHODE DES MOINDRES CARRES Si la matrice (XX) nest pas singulire, nous obtenons le vecteur des estimations : B = (X'X) -1 X'Y XX : matrice dinformation (XX) -1 : matrice de dispersion Si le modle y = X + est correct, B est une estimation non biaise de,
  • Page 16
  • MATRICE DE VARIANCE COVARIANCE DE B Var [B ] = (XX) -1 2 Var [B ] : matrice de variance-covariance de B (XX) -1 : matrice de dispersion : { c ij } c jj : coefficient de variance La variance de lestimateur b j est obtenue en multipliant la variance de lerreur exprimentale 2 par le terme diagonal correspondant c jj de la matrice de dispersion var [b j ] = c jj 2 covar [b j, b i ] = c ji 2
  • Page 17
  • matrice de dispersion (X'X) -1 - -1 Var (B) = (X'X) -1 facteurs dinflation fonctions de variance plan dexprimentation exprimentation Y B = (X'X) -1 X'Y tests statstiques REGRESSIONMULTILINEAIREREGRESSIONMULTILINEAIRE matrice dexpriences N modle matrice du modle X matrice d information X'X
  • Page 18
  • La variance et la covariance dun estimateur dpendent seulement de: - la variance de l erreur exprimentale 2 - des lments de la matrice de dispersion (XX) -1, * donc des lments de la matrice dinformation (XX), * donc de la structure de la matrice dexpriences et de la forme analytique du modle, La qualit des estimateurs est indpendante de la valeur des rsultats exprimentaux (lments du vecteur Y),
  • Page 19
  • * Le modle doit reprsenter au mieux lensemble des rsultats exprimentaux * Le modle doit nous permettre de faire, dans tout le domaine exprimental dfini, une prvision de bonne qualit
  • Page 20
  • Quelques critres a posteriori R 2 = 1 (y i y calc,i ) 2 / (y i y moyen ) 2 R 2 : coefficient de dtermination multiple R 2 A : coefficient de dtermination multiple adjust R 2 A = 1 [ (y i y calc,i ) 2 / (N p)] / [ (y i y moyen ) 2 / (N 1)]
  • Page 21
  • Analyse des rsidus Rsidus analyse graphique e i = y i - y calc, i
  • Page 22
  • Rsidus norms Les rsidus norms ont une moyenne nulle et une variance approximativement gale 1. r i = e i / s s : cart-type de la rponse e i : rsidu au point i Si r i > 3 la valeur de la rponse au point i doit tre examine avec soin (erreur de transcription, artfact, validit du modle en ce point,)
  • Page 23
  • Au point i y calc, i = XB y calc, i = X(XX) -1 XY H = X(XX) -1 X (hat matrice) y calc, i = HY E : {e i, e i,..., e N } E = Y - Y calc E = Y XB = Y HY = (I - H)Y e i = (1 d i ) y i Var (E) = Var [(I - H)Y] = (I H) Var(Y) (I H) Var (E) = 2 (I H) Var (e i ) = 2 (1 d i ) = (1 d i ) 2 r i = e i / s (1 - d i ) Student-R
  • Page 24
  • R-student s 2 (i) = [(N p) s 2 - e i 2 / (1 - d i ) ] / (N - p -1) t i = e i / s 2 (i) (1 - d i ) si t i est trs diffrent de r i, alors le point i a une grande influence sur le calcul des coefficients du modle
  • Page 25
  • r i = e i / s (1 - d i ) PRESS (Prediction Error Sum of Square) On fait la rgression en enlevant le point i et en chacun des (N 1) points on calcule Y calc, (i) au point i e (i) = y i - y calc, i La procdure est rpte pour chaque point (i : 1,., N) e (1), e (i), e (N) PRESS = e (i) 2 = [e i /(1 - d i )] 2
  • Page 26
  • R 2 Prdiction R 2 prdiction = 1 PRESS / y i 2
  • Page 27
  • Ces critres permettent de choisir, de construire, un ensemble dexpriences qui nous apporteront les informations dsires avec une qualit acceptable.
  • Page 28
  • Elaborer une stratgie exprimentale adquate choisir une stratgie exprimentale adquate
  • Page 29
  • Cest une droite Est-ce une droite ? Une exprience apporte toujours une information Mais, cette information est-elle utile ?
  • Page 30
  • Dominio de validacin Cest une droite
  • Page 31
  • Dominio de validacin Est-ce une droite ? N = 2 Et si nous faisions 50 points ? 25 N = 50
  • Page 32
  • Dominio de validacin Est-ce une droite ? N = 2 N = 3 Toute linformation se trouve dans la distribution des points exprimentaux
  • Page 33
  • Dominio de validacin Cest une droite
  • Page 34
  • var (b 1 ) = 2 / (x i x moyen ) 2 (x i x moyen ) 2 = (x 1 x moyen ) 2 + 5 (x j x moyen ) 2 + (x n x moyen ) 2 1 j n
  • Page 35
  • Modles linaires, * Nous voulons connatre les estimations des coefficients du modle avec une qualit acceptable * Nous voulons connatre en nimporte quel point du domaine exprimental dintrt, la valeur de la rponse tudie avec une qualit acceptable
  • Page 36
  • Modles linaires, * Nous voulons connatre les estimations des coefficients du modle avec une qualit acceptable * Nous voulons connatre en nimporte quel point du domaine exprimental dintrt, la valeur de la rponse tudie avec une qualit acceptable
  • Page 37
  • Le criblage des facteurs Les tudes quantitatives des facteurs rechercher rapidement, parmi un ensemble de facteurs potentiellement influents, ceux qui le sont effectivement dans un domaine exprimental fix. tudier les effets principaux et les effets dinteraction des facteurs.
  • Page 38
  • Facteurs dinflation Le criblage des facteurs Les tudes quantitatives des facteurs Nous voulons connatre les estimations des coefficients du modle : poids des facteurs, effets principaux et effets dintraction,.. avec une qualit acceptable.
  • Page 39
  • Modles linaires, * Nous voulons connatre les estimations des coefficients du modle avec une qualit acceptable * Nous voulons connatre en nimporte quel point du domaine exprimental dintrt, la valeur de la rponse tudie avec une qualit acceptable
  • Page 40
  • Les tudes quantitatives des rponses Les mlanges Connatre en n'importe quel point du domaine exprimental d'intrt la valeur d'une ou plusieurs rponses exprimentales. Connaissance d'une ou plusieurs proprits, dpendant de la proportion de chaque constituant dans le mlange tudi.
  • Pa