Physique experimentale aux concours de l'enseignement

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Jean-Paul BellierChristophe BouloyDaniel Guéant

Électricité, électromagnétisme,électronique, acoustique

Physique expérimentaleaux concoursde l’enseignement

3e édition

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© Dunod, Paris, 2012ISBN 978-2-10-058027-9

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TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos VI

Chapitre 1. Champ magnétique 1

1.1 Rappels théoriques 11.2 Expériences qualitatives avec des aimants 121.3 Champ magnétique créé par un courant permanent 131.4 Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre BH 171.5 Étude du mouvement d’un électron dans un champ magnétique 181.6 Applications 21Exercices 24

Chapitre 2. Induction et auto-induction 43

2.1 Rappels théoriques 432.2 Matériel 472.3 Phénomènes d’induction 472.4 Auto-induction 52Exercices 56

Chapitre 3. Régimes transitoires en électricité 66

3.1 Rappels théoriques sur les régimes transitoires 663.2 Principe de l’étude expérimentale et réalisation d’un échelon de tension 723.3 La modélisation des énergies sous Regressi 723.4 Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance

non inductive 733.5 Décharge d’un condensateur à travers une résistance inductive 78Exercices 81

Chapitre 4. Oscillations forcées dans différents domaines de la physique 98

4.1 Résonance en électricité : Rappels théoriques 994.2 Matériel et précautions expérimentales 1044.3 Circuit RLC série : Étude expérimentale 1064.4 Le circuit LC parallèle : Étude expérimentale 1084.5 Résonance en mécanique 1094.6 Résonance en acoustique 112Exercices 114

Chapitre 5. Mesures de puissances électriques et bilan de puissance 127

5.1 Rappels théoriques 1275.2 Mesure de puissances 1315.3 Bilan des puissances en utilisant le wattmètre 1355.4 Mesures expérimentales de rendements 136Exercices 139©D

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Physique expérimentale aux concours de l’enseignement

Chapitre 6. Mesure de capacités et d’inductances 152

6.1 Introduction 1526.2 Rappels théoriques : les oscillateurs 1526.3 Mesure d’une capacité par différentes méthodes 1556.4 Mesure de l’inductance d’une bobine 165Exercices 169

Chapitre 7. Transformateur monophasé 182

7.1 Rappels théoriques 1827.2 Étude expérimentale 187Exercices 195

Chapitre 8. Redressement et lissage d’une tension alternative 206

8.1 Rappels théoriques 2068.2 Redressement d’une tension alternative sinusoïdale 2138.3 Lissage par condensateur d’une tension redressée 2148.4 Stabilisation d’une tension lissée : réalisation d’un générateur

de tension continue 2158.5 Générateur de courant 216Exercices 218

Chapitre 9. Distribution du courant électrique ; Sécurité des personneset des matériels 225

9.1 Introduction 2259.2 Expériences relatives à la sécurité électrique 2279.3 Transport de l’électricité 236Exercices 238

Chapitre 10. Régime sinusoïdal triphasé 244

10.1 Introduction 24410.2 Présentation du régime sinusoïdal triphasé 24510.3 Vérifications expérimentales 24910.4 Réalisation d’un champ magnétique tournant 251Exercices 253

Chapitre 11. Amplification de tension en électronique 261

11.1 Préambule 26111.2 Rappels théoriques sur les semi-conducteurs 26111.3 La jonction PN 26411.4 Le transistor à jonctions PN 26611.5 L’amplificateur opérationnel 272Exercices 280

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Table des matières

Chapitre 12. Notion de capteur 286

12.1 Rappels sur les grandeurs photométriques 28612.2 La thermistance (C.T.N.) 28712.3 La photorésistance (L.D.R) 29012.4 La photodiode 29212.5 La photopile 29912.6 Formation d’une image numérique : Le capteur CCD 300Exercices 306

Chapitre 13. Filtrage et analyse harmonique 313

13.1 Analyse harmonique d’un signal périodique 31313.2 Analyse de Fourier d’un signal : étude expérimentale 31613.3 Étude de quelques filtres 317Exercices 325

Chapitre 14. Montages intégrateur et dérivateur 335

14.1 Montage intégrateur à amplificateur opérationnel 33514.2 Montage dérivateur à amplificateur opérationnel 339Exercices 345

Chapitre 15. Propagation des ondes 348

15.1 Rappels théoriques 34815.2 Étude expérimentale 362Exercices 372

Chapitre 16. Ondes acoustiques, acoustique musicale 388

16.1 Grandeurs caractéristiques des ondes sonores 38816.2 Compléments théoriques : La diffraction des ondes sonores 39316.3 Matériel 39516.4 Mise en évidence des caractéristiques du son 39616.5 Mesure de fréquence 39716.6 Mesure de la célérité du son dans l’air 39816.7 Diffraction des ondes sonores et ultrasonores 40016.8 Mise en évidence de l’effet Doppler 40216.9 Niveau acoustique 40316.10Analyse de Fourier d’un signal complexe 404Exercices 405

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AVANT-PROPOS

Cet ouvrage, composé de deux tomes, s’adresse principalement aux étudiants enMaster spécialité « Enseignement des sciences physiques » et candidats aux concoursde recrutement de l’Éducation nationale (CAPLP, CAPES, Agrégation), mais nos col-lègues enseignants peuvent aussi l’utiliser, de nombreuses expériences pouvant êtremises à profit lors de cours ou de TP. De même, les étudiants des masters « Sciences »et de classes préparatoires peuvent y trouver un intérêt certain.

Le premier tome est consacré à l’optique, la mécanique, la mécanique des fluides, lestransferts thermiques et à quelques thèmes plus transversaux.Ce second tome est consacré à l’électricité, l’électromagnétisme, l’électronique et àl’acoustique.Nous n’avons pas voulu suivre un programme précis de concours, ceux-ci évoluantavec le temps, mais avons choisi les principaux thèmes que tout étudiant devrait maî-triser au sortir du master.

Les nombreux rappels théoriques et exercices traités pour chacun des thèmes abordésdevraient constituer une base de travail, aussi bien pour la préparation des épreuvesde physique des concours que dans le cadre des études. En effet, nous avons essayéde présenter, autour d’un thème expérimental, d’une part les notions indispensablesà connaître et d’autre part des exercices s’y rapportant.Le choix des exercices a été effectué sur deux « niveaux » :

• le baccalauréat, il est indispensable que tout candidat ou étudiant puisse sans effortrésoudre ce type de problème ;

• le CAPES ou école d’ingénieur, pour présenter un exemple de sujet posé.

Chaque chapitre donne la priorité au domaine expérimental en vue d’aider le can-didat à préparer la difficile épreuve orale des concours où intervient la présentationd’expériences. Celles présentées dans cet ouvrage, avec un mode opératoire détaillé,font le plus souvent appel au matériel « standard » que l’on trouve dans un lycée, tou-tefois des références seront données à titre indicatif dans de nombreux cas. L’emploide l’outil informatique est préconisé quand celui-ci parait adapté et judicieux au casde figure étudié.Chaque thème de cet ouvrage répond très largement aux exigences de l’intitulé d’unexposé. Ces intitulés étant généralement assez ouverts, diverses approches sont pos-sibles pour aborder une expérience le jour de l’épreuve : au candidat de faire des

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Avant-propos

choix parmi celles proposées pour bâtir de façon cohérente son exposé. Attention,tout expérimentateur sait qu’une manipulation d’apparence simpliste peut révéler demauvaises surprises lors de sa réalisation, aussi toutes les expériences décrites danscet ouvrage doivent être travaillées durant la préparation à l’épreuve du concours.Nous souhaitons que cet ouvrage puisse aider les candidats dans la préparation auconcours, les étudiants dans l’acquisition des compétences indispensables au sortird’un master et les collègues dans leur pratique professionnelle quotidienne.

Les auteurs

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CHAMP MAGNÉTIQUE 11.1 RAPPELS THÉORIQUES

1.1.1 Bref historique

Le phénomène du magnétisme est connu depuis longtemps. Dès l’époque de Tha-lès (vie siècle av. J.C.), les forces exercées entre des pierres furent remarquées etappelées « forces magnétiques » du nom de la région d’où étaient issues ces pierres(pierre de Magnésie). Les Chinois ont utilisé ces phénomènes dans la boussole il y aun millier d’années. Puis il fallut attendre le début du xvie siècle pour que Gilbert,un médecin anglais, publie un traité sur le sujet. Vers 1820, Oersted montre qu’un filparcouru par un courant fait dévier une boussole, il montre ainsi qu’un courant créeun champ magnétique. Puis Biot et Savart donnent l’expression de ce champ. Vers1825, Ampère relia les interactions entre courants aux interactions entre aimants per-manents. Enfin, en 1876, Rowland montra que les charges en mouvement créent unchamp magnétique.

1.1.2 Champ électromagnétique

Lorsque des charges sont immobiles, il s’exerce entre elles une force électrostatiquequi permet de définir le champ électrostatique. Pour des charges en mouvement, dansun référentiel galiléen, la force qui s’exerce peut être considérée comme étant lasomme de deux forces, une indépendante de la vitesse qui correspond à la générali-sation de la notion de champ électrostatique, c’est la force électrique ; une fonctionde la vitesse et qui lui est orthogonale, la force magnétique :

−→F = q · (−→E + −→v ∧ −→B)

Cette force globale est la force de Lorentz,−→E et

−→B définissant le champ électroma-

gnétique.

1.1.3 Champ magnétique

On dit qu’un champ magnétique existe en un lieu de l’espace si une particule decharge q subit une force d’origine magnétique. L’intensité du champ magnétiques’exprime en tesla (T). Il est important de remarquer que cette unité est « grande »,le champ magnétique terrestre est de l’ordre de quelques dizaines de microteslas,le champ magnétique engendré par un aimant « classique » est de l’ordre de 10 mTalors que celui d’un aimant au néodyme (NdFeB) peut atteindre une valeur supérieureà 1 T. On atteint quelques dizaines de teslas dans des bobines supraconductrices. Lechamp magnétique engendré par une étoile à neutrons est de l’ordre de 1011 T.©D

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Chapitre 1 • Champ magnétique

1.1.4 Origine du champ magnétique

Un champ magnétique est engendré par un déplacement de charges (expérienced’Oersted en 1820).Certains matériaux sont capables d’engendrer un champ magnétique, ils sont dits fer-romagnétiques (fer, nickel, cobalt et leurs alliages). L’origine de ce magnétisme estdue au mouvement des électrons autour des noyaux de ces éléments. Dans un maté-riau ferromagnétique, il existe des domaines (de Weiss) d’aimantation privilégée ; lasomme de toutes les aimantations microscopiques de ces domaines donne un champmagnétique résultant non nul.

1.1.5 Les noms des pôles et la boussole

Les Chinois ont utilisé ces phénomènes magnétiques dans la réalisation de la bous-sole, il y a un millier d’années. Au xiiie siècle, un militaire français constate quelorsqu’il fait flotter une pierre d’aimant sur l’eau, un des côtés de la pierre pointetoujours vers l’étoile polaire quelle que soit la position du récipient contenant l’eau.Il pense alors que ce coté est attiré par l’étoile polaire et l’appelle la face nord de lapierre d’aimant, par opposition l’autre coté est dénommé face sud. Il faut attendre ledébut du xvie siècle pour que Gilbert eût l’imagination de considérer la Terre commeune grande pierre d’aimant sphérique avec ses deux pôles. L’orientation naturelle desboussoles est pour la première fois analysée comme une interaction entre aimants.Deux pôles de même nature se repoussent alors que deux pôles de nature différentes’attirent.Une boussole moderne est constituée d’un petit aimant fixé sur un pivot et dont lepôle nord est repéré (marqué en rouge ou représenté par une flèche). Le pôle nordde la boussole pointe toujours vers le pôle Nord géographique donc vers un pôle sudmagnétique.

S N

B

Next

Sext

Figure 1.1

L’aiguille de la boussole s’oriente dans le sensdu champ magnétique dans lequel elle estplongée. Une boussole permet donc d’étudierle sens et la direction du champ magnétiquedans lequel elle est placée.Si on déplace la boussole autour d’un l’aimant,on constate que son orientation change pro-gressivement. La représentation des diversespositions prises par la boussole trace ce que l’on appelle le spectre magnétique quiest en fait l’ensemble des lignes de champ. On appelle ligne de champ d’un champ

magnétique une courbe telle qu’en chacun de ses points le vecteur−→B lui soit tangent.

Le champ magnétique est dirigé du pôle sud vers le pôle nord à l’intérieur du matériaumagnétique. À l’extérieur de ce matériau, il est dirigé du nord vers le sud.

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1.1. Rappels théoriques

1.1.6 Exemples de champs magnétiques

a) Aimant droit

Un aimant droit est constitué d’un barreau ferromagnétique. La moitié de ce barreaupossède une aimantation dirigée dans une direction parallèle au barreau et dans uncertain sens. L’autre moitié possède une aimantation dirigée dans l’autre sens. Si on

ΒN S →

Figure 1.2

casse le barreau en deux, les interactionsatomiques font que l’on retrouve la mêmesituation. On ne peut isoler un monopolemagnétique (la recherche d’un monopolemagnétique est le Graal de certains physi-ciens).Voici l’allure de la représentation des diffé-rentes positions prises par la boussole au-tour d’un aimant droit.

b) Aimant en U

B!

N

S N

S

Figure 1.3

Un aimant en U est constitué de l’asso-ciation de deux aimants droits. Il présentel’avantage d’engendrer un champ magné-tique relativement uniforme entre ses pôles.

c) Champ magnétique terrestre

Βh

S

N

→

→Βv

Figure 1.4

Le champ magnétique terrestre est engen-dré par les mouvements de convection quianiment le magma ferromagnétique au seinde la Terre (mouvement très lent d’ionsFe3+). Le pôle magnétique est en constantdéplacement (environ 55 km par an). Ainsi,en 2005 il a franchi la côte canadienne,en 2010 il se trouvait à environ 550 kmdu pôle nord géographique et s’il continueson déplacement, dans le même sens et à lamême vitesse, il arrivera vers les terres si-bériennes dans 50 ans environ. Son orienta-tion change périodiquement de sens toutesles 100 000 années en moyenne. La duréede l’inversion est très courte, de l’ordre de2000 années.©D

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On peut assimiler le champ magnétique terrestre à celui créé par un aimant droit placéà 11◦ de l’axe de rotation de la terre. L’intensité du champ magnétique terrestre et sadirection varient en fonction du lieu d’observation. On décompose souvent le champmagnétique terrestre suivant deux composantes : une verticale BV et une horizontaleBH. Une boussole indique BH. La valeur de la composante horizontale, en France, estde 2 · 10−5 T. L’inclinaison sur l’horizontale est de 64◦ en France.

1.1.7 Champ magnétique créé par une boucle de courant

Face Sud Face Nord

I

B

Figure 1.5

Faisons circuler un courant continu intense dansune spire et plaçons deux boussoles de part etd’autre de chaque face. On constate que la spiresemble présenter une face Nord d’un côté et uneface Sud de l’autre. Si on inverse le sens de par-cours du courant, on inverse les faces. On enconclut que le sens de parcours du courant dans laspire détermine la répartition des types de pôles.Un moyen mnémotechnique permet de détermi-ner le type de chaque face : le tire-bouchon tournédans le sens du courant progresse dans le sensde B, c’est-à-dire du Sud vers le Nord.

1.1.8 Calculs de champs magnétiques

a) Théorème d’Ampère

Le théorème d’Ampère permet de déterminer l’intensité du champ magnétiquelorsque la symétrie du circuit nous permet de connaître son sens et sa direction.

Énoncé : La circulation du champ magnétique sur une courbe fermée Γ est égaleau produit de μ0 par l’intensité totale qui traverse toute surface s’appuyant sur lacourbe Γ.∮Γ

−→B · −→dr = μ0

�S

−→j−→ds où le vecteur

−→j représente la densité de courant et μ0 la per-

méabilité du vide (μ0 = 4π ·10−7 H/m). Dans le cas où les courants circulent dans desfils, l’intégrale de surface est simple à calculer, il suffit de compter algébriquementles courants élémentaires qui traversent la surface orientée S .

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➤ Application au fil infini

r O M

+

Figure 1.6

Soit un fil infini parcouru par un courant d’inten-sité I. Tout plan passant par l’axe du conducteurest plan de symétrie, en tout point M de ce plan

le vecteur−→B lui est perpendiculaire. On oriente la

courbe fermée Γ de sorte que d�S soit colinéaireà �j qui est dans le même sens que I. Le théorèmed’Ampère donne directement 2 · π · r · B = μ0 · I.

D’où B =μ0 · I

2 · π · r .

➤ Application au solénoïde infini

Un solénoïde est une bobine constituée de N tours de fil conducteur enroulé autourd’un axe rectiligne de longueur L. On a donc n = N/L spires par mètre.

S NB

Figure 1.7

L’application de la règle du tire-bouchon et la symétrie du problème nous permettentde déterminer le sens et la direction du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde.On recherche la valeur du champ magnétique à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïdepar application du théorème d’Ampère. Vu la symétrie du problème choisissons uncontour Γ rectangulaire de surface S .

Position 1 : à l’intérieur du solénoïde.

B2!

BA

D C

B1!

�

Figure 1.8

À priori rien ne laisse présager que l’intensité du champ B au niveau du segment ABest la même au niveau du segment CD. Orientons la courbe dans le sens AB. La©D

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circulation de B le long de cette courbe s’écrit :∮Γ

−→B · −→dr =

−−→AB · −→B1 +

−→0 +−−→CD · −→B2 +

−→0 = (

−→B1 − −→B2) · −−→AB.

Or aucun courant ne traverse la surface engendrée par la courbe Γ donc

μ0

�S

−→j−→ds = 0. Ce qui implique que

−→B1 − −→B2 =

−→0 donc que

−→B1 =

−→B2. Le champ

magnétique à l’intérieur d’un solénoïde est uniforme.

Position 2 : à l’extérieur du solénoïde

B2!

BA

D

�

C

B1!

Figure 1.9

À priori rien ne laisse présager que l’intensité du champ B au niveau du segment ABest la même au niveau du segment CD. Orientons la courbe dans le sens AB. Lacirculation de B le long de cette courbe s’écrit :∮

Γ

−→B · −→dr =

−−→AB · −→B1 +

−→0 +−−→CD · −→B2 +

−→0 = (

−→B1 − −→B2) · −−→AB.

Or aucun courant ne traverse la surface engendrée par la courbe Γ donc

μ0

�S

−→j−→ds = 0. Ce qui implique que

−→B1 − −→B2 =

−→0 soit

−→B1 =

−→B2. Le champ magné-

tique à l’extérieur du solénoïde est homogène. Or, si on fait tendre BC vers l’infini, lechamp B1 tend vers zéro (le champ magnétique est nul loin d’une source de courant)donc le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde est nul.

Position 3 : à cheval sur le solénoïde

B2!

BA

D C

B1!

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Figure 1.10

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D’après ce que l’on vient de montrer B1 = 0 et B2 = B Orientons la courbe dans lesens AB. La circulation de B le long de cette courbe s’écrit :

∮Γ

−→B · −→dr =

−−→AB · −→0 + −→0 + −−→CD · −→B + −→0 = −B · |AB|

Soit NAB le nombre de spires qui traversent la surface S . D’après l’orientation

choisie pour Γ, on en déduit le sens de−→ds qui est opposé au sens de

−→j donc

μ0

�S

−→j−→ds peut encore s’écrire −μ0 · NAB · I. D’où l’expression de B = μ0

NAB

|AB| I. Or

n = N/L = NAB/|AB| ce qui nous permet d’écrire que B = μ0 · n · I. En fait ce résultatthéorique n’est à peu près vérifié que si la longueur du solénoïde est supérieure à10 fois son rayon. On parle alors d’un solénoïde infiniment long.

➤ Application au tore

Un tore est une bobine constituée de N tours de fil conducteur enroulé autour d’unaxe circulaire de longueur L. On a donc n = N/L spires par mètre. La section de l’axepeut être rectangulaire ou circulaire.

B!

I

a

r

bO

Vue de dessusVue de coupe

h

Figure 1.11

L’application de la règle du tire-bouchon et la symétrie du problème nous permettentde déterminer le sens et la direction du champ magnétique à l’intérieur du tore. Onrecherche la valeur du champ magnétique à l’intérieur et à l’extérieur du tore parapplication du théorème d’Ampère. Choisissons un contour Γ circulaire centré en Ode surface S .©D

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B+

I

Vue de dessus

Figure 1.12

Position 1 : à l’extérieur du tore dans le cas oùr < b.Orientons la courbe dans un sens positif arbi-traire. La circulation de B le long de cette courbe

s’écrit∮Γ

−→B · −→dr. On ne peut pas la calculer car

rien ne dit que B est homogène. Aucun courantne traverse la surface engendrée par la courbe Γ

donc μ0

�S

−→j−→ds = 0. Ce qui implique que∮

Γ

−→B ·−→dr = 0 donc que B = 0 car B et dr étant tou-

jours dans le même sens, la seule solution pour

que∮Γ

−→B · −→dr soit nulle est B = 0.

B

+

I

Vue de dessus

Figure 1.13

Position 2 : à l’intérieur du tore dans le cas oùb < r < a.Orientons la courbe dans un sens positif arbi-traire. La circulation de B le long de cette courbe

s’écrit∮Γ

−→B · −→dr = 2πrB. Calculons maintenant

μ0

�S

−→j−→ds en tenant compte des orientations.

D’après l’orientation choisie pour Γ on en déduit

le sens de−→ds qui est dans le même sens que

−→j

donc μ0

�S

−→j−→ds peut encore s’écrire μ0 · N · I.

D’où l’expression de B = μ0NI2πr

. On constate

que contrairement au solénoïde, l’intensité duchamp magnétique n’est pas homogène dans toutle volume du tore mais dépend de la distance aucentre.

I

B

�

Figure 1.14

Position 3 : à l’extérieur du tore dans le cas oùa < r.Orientons la courbe dans un sens positif arbi-traire. La circulation de B le long de cette courbe

s’écrit∮Γ

−→B · −→dr = 2πrB. Calculons maintenant

μ0

�S

−→j−→ds en tenant compte des orientations.

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D’après l’orientation choisie pour Γ, on en déduit le sens de−→ds qui est dans le

même sens que−→j pour les courants du périmètre intérieur et dans le sens opposé

pour les courants du périmètre extérieur. Donc μ0

�S

−→j−→ds peut encore s’écrire

μ0 · N · I – μ0 · N · I = 0. D’où un champ extérieur nul.

b) Loi de Biot et Savart

P

I

M

u

r

dl

!

!

C

Figure 1.15

Cette loi nous permet de déterminer les ca-ractéristiques du champ magnétique engen-dré par un courant permanent (circuit fili-forme, répartition en volume ou charge isoléeen mouvement). Nous nous limitons ici aucas d’un courant permanent dans un circuitfiliforme (fil électrique).On détermine le champ créé en M par ce cir-cuit en calculant l’intégrale curviligne sur le

contour C :−→B =

μ0I4π

∮ −→dl ∧ −→u

r2

➤ Champ magnétique créé par une spire plate circulaire sur l’axe

P

I

M

N

u

r

dl

→

u→

Tu→

→ OR

x

Figure 1.16

La loi de Biot et Savart donne :

−→B =

μ0I4π

∮ −→dl ∧ −→u

r2=μ0I

4πr3

∮ −→dl∧−→r

avec −→r = −−→PM =−−→PO +

−−→OM. On obtient−→

B =μ0I

4πr3

∮dl · x · −→uT +

μ0I

4πr3

∮dl · R · −→uN .

Comme la composante suivant −→uT est nulle àcause de la symétrie du problème, il reste, en

remarquant que∮

dl = 2πR :−→B =

μ0I2

R2

r3−→n .

De plus r2 = R2 + x2, on obtient la formuledonnant l’intensité du champ magnétique surl’axe de la bobine plate circulaire comportantune seule spire :

−→B =μ0I2R

(1 +

x2

R2

)− 32 −→n .

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➤ Bobines de Helmholtz

B1!

B1 + B2! !

B2!O1 O2

i i

Figure 1.17

On considère deux bobines plates cir-culaires comportant N spires chacune etparcourues par un courant d’intensité I.Chaque bobine crée un champ magnétique

−→B =

μ0NI2R

(1 +

x2

R2

)− 32 −→n sur son axe. Le vec-

teur unitaire −→n est donné par le sens de pro-gression du tire-bouchon.Entre les bobines, on a addition des deux champs magnétiques. Lorsque la distanceentre les deux bobines est égale à leur rayon, le champ résultant sur l’axe est à peuprès uniforme.

1.1.9 Action du champ magnétique sur le mouvementde particules chargées

a) Force de Lorentz

Une particule de masse m et de charge q se mouvant perpendiculairement à un champ

magnétique−→B , subit une force de Lorentz

−→f = q−→v ∧−→B .

−→f est orthogonale à −→v donc−→

f est perpendiculaire au déplacement ce qui implique que−→f ne travaille pas. La force

ne travaillant pas, il n’y a pas de variation de l’énergie cinétique ce qui implique quela vitesse de la particule reste constante (mouvement uniforme).

Ut!

Un!

sens du déplacement

Figure 1.18

La relation fondamentale de la dynamique

nous donne :−→f = q−→v ∧ −→B = m−→a donc

−→a = qm−→v ∧−→B . On projette cette relation dans

le repère de Frenet :

−→a :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩at = 0 =

dvdt⇒ v = cst

an =|q|mvB =

v2

ρ

On en déduit que ρ =mv|q| B = cst, soit ρ = R ; le mouvement est circulaire uniforme

de rayon R =mv|q| B qui représente le rayon de la trajectoire.

b) Force de Laplace

C’est la force que subit un fil conducteur parcouru par un courant et placé dans unchamp magnétique. La force de Laplace résulte de l’action de la force de Lorentz

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sur les électrons de conduction. Un électron de conduction de charge q subit la force−→f = q−→v ∧ −→B . N électrons de conduction subissent alors la force

−→F = Nq−→v ∧ −→B .

L’intensité du courant est donnée par la relation :−→I = −n |q| S−→v où n représente

le nombre de porteurs de charge par unité de volume, v la vitesse de déplacementet S la section du fil conducteur. Le signe − traduit l’opposition entre le sens dedéplacement des charges et le sens conventionnel du courant. Ce qui revient à écrire

que−→I L = −N |q| −→v ou alors I

−→L = −N |q| −→v en choisissant d’orienter le vecteur

�L dans le sens du courant. Dans notre étude |q| = e et q = −e il vient donc que

Nq−→v = −Ne−→v = I−→L et donc

−→F = I

−→L ∧−→B . C’est cette force que l’on appelle la force

de Laplace.En fait, la force de Lorentz que subissent les électrons de conduction se transmet auréseau constituant le fil par chocs. Ces chocs se traduisent au niveau macroscopiquepar une force de Laplace.

c) Mesure de champ magnétique : sonde à effet Hall

Soit un semi-conducteur de densité volumique de charge n parcouru par un courant Ipermanent. Il se présente sous la forme d’un mince ruban rectiligne de section droiterectangulaire (côtés a et b avec b� a).

-e -e -e -e -e

+e +e+e +eI

B!

F! evB

eEHev!

a

b VD

Figure 1.19

On suppose que tous les porteurs de charge sont des électrons et que le vecteur densité

de courant est uniforme−→j = nq−→v où −→v représente la vitesse moyenne des électrons

et q leur charge. Ces électrons peuvent être mis en mouvement grâce à un générateur

de courant. Appliquons un champ magnétique−→B uniforme et perpendiculaire à la face

de grande largeur a. Chaque électron est soumis à une force de Lorentz :−→F = q−→v ∧−→B

qui tend à le déplacer vers la face supérieure. La norme de cette force est |−→F | = e ·v ·B.On assiste donc à une accumulation de charges négatives sur la face supérieure et à

un défaut sur la face inférieure. Il y a apparition d’un champ électrostatique−−→EH dit

de Hall. Ce déplacement transversal des électrons n’est que transitoire ; en effet ce©D

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champ électrostatique−−→EH crée une force

−−→FH qui s’oppose au déplacement transversal

des charges. En régime permanent on peut écrire : q−−→EH + q−→v ∧ −→B = −→0 d’où

−−→EH =

−−→v ∧−→B ou encore en tenant compte de la relation−→j = nq−→v on a :

−−→EH = − 1

nq−→j ∧−→B .

Si−→j est orthogonal à

−→B et avec j =

Iab

on a |EH | = 1ne

Iab

B. On en déduit donc que

la différence de potentiel qui apparaît à cause de l’effet Hall est :

ΔV = EH · a =(

1ne

)IBb

.

La mesure de ΔV permet d’accéder à la valeur de B. Pour observer une tension me-surable, il faut utiliser un semi-conducteur car n est environ 106 fois plus faible quedans un conducteur classique et un ruban très fin (b ≈ 0,1 mm). De plus, tout ce cal-

cul repose sur l’hypothèse que−→B est perpendiculaire à

−→j . Il faudra bien positionner

le capteur pour effectuer la mesure. Lorsque l’on change le calibre sur le teslamètre,on change en fait la valeur du courant circulant dans le ruban.

1.2 EXPÉRIENCES QUALITATIVESAVEC DES AIMANTS

1.2.1 La première boussole

Placer un petit barreau aimanté sur un flotteur à la surface d’un cristallisoir pleind’eau. On constate que quelle que soit la position initiale du flotteur, il finit toujourspar prendre une direction bien déterminée. Le côté du barreau pointant vers le nordgéographique est appelé le pole nord de l’aimant, l’autre coté sera le pôle sud.

1.2.2 Les deux pôles des aimants

Prendre deux barreaux aimantés et montrer que deux pôles identiques se repoussent,alors que deux pôles opposés s’attirent. Cette expérience peut se réaliser en collantles aimants sur le tableau.

Si on casse un barreau aimanté en deux parties égales on peut penser avoir un pôlenord d’un côté et un pôle sud de l’autre. Monter qu’il n’en est rien, chaque morceaucomprenant toujours un pôle nord et un pôle sud.

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1.3. Champ magnétique créé par un courant permanent

1.2.3 Le champ magnétique est une grandeur vectorielle

résultant S NS

S

N

Figure 1.20

Placer une boussole en face dupôle nord d’un aimant à quelquescentimètres. Approcher un aimantidentique perpendiculairement aupremier et à la même distance. Re-garder le sens et la direction pris parla boussole en fonction du pôle pré-senté par le second aimant.

1.2.4 Ferromagnétiqueou pas ?

Montrer qu’un aimant n’attire pasforcément toutes les pièces métal-liques, par exemple le fer des trombones est facilement attiré, par contre le cuivreest insensible à sa présence.Réaliser une chaîne avec une dizaine de trombones. Fixer une extrémité sur une po-tence l’autre extrémité étant attirée par un aimant. Chauffer la partie des trombones encontact avec l’aimant à l’aide d’un bec bunsen et constater qu’au-delà d’une certainetempérature l’aimant ne semble plus avoir d’effet sur le fer des trombones. Cettetempérature s’appelle la température de Curie (700 ◦C pour le fer). Au-dessus decette température l’agitation des atomes est trop importante et les microscopiquesdomaines de Weiss disparaissent (§ 1.1.4), le matériau passe d’un état dit ferroma-gnétique à un état dit paramagnétique. Cette transition étant réversible, dès que latempérature diminue le trombone se retrouve de nouveau attiré par l’aimant.

1.3 CHAMP MAGNÉTIQUE CRÉÉ PAR UN COURANTPERMANENT

1.3.1 Expérience historique : expérience d’Œrsted (1820)

N S5 A

Alimentation continuepouvant débiter une forteintensité de courant.

Figure 1.21

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Sur le rétroprojecteur placer une boussole sur pivot au-dessous ou au-dessus d’unfil de cuivre (le fil étant placé parallèlement à la composante horizontale du champmagnétique terrestre). Faire passer un courant intense dans le fil, contrôler l’intensitédu courant imposé à l’aide d’un ampèremètre. Observer, interpréter. Inverser le sensdu courant et conclure.

Le champ magnétiqueengendré est orthoradial

Boussoleau-dessus du fil

Boussoleen dessous du fil

B

I I I

! B!

B!

B!

Figure 1.22

En réalité la boussole ne prend pas une direction perpendiculaire au fil car le champ

magnétique créé n’est pas très supérieur au champ terrestre : ||−→B || = μ0 · I/2 · π · R.

Par exemple si I = 5 A et R = 1 cm on trouve ||−→B || = 10 · 10−5 T, valeur seulement5 fois plus grande que la composante horizontale du champ magnétique terrestre, cequi explique que dans l’expérience d’Oersted la boussole ne soit pas perpendiculaireau fil.Pour augmenter l’intensité de ce champ, il est possible d’augmenter I mais il est plussimple et moins coûteux en énergie de faire une boucle avec le fil électrique afinde le faire passer une seconde fois au-dessus des boussoles. On constate ainsi quela position de la boussole change en se rapprochant de la perpendiculaire, preuve

de l’augmentation du champ−→B . Les premières bobines étaient d’ailleurs appelées

multiplicateur de champ (SCHWEIGGER 1862).

1.3.2 Spectres magnétiques

Placer une feuille de plastique transparente sur le rétroprojecteur pour le protéger dela poudre de fer. Saupoudrer le support du circuit étudié avec de la poudre de fer, lamise au point optique se faisant sur celle-ci.Faire alors passer un courant intense dans une spire (par exemple, spire Pierronref. 03958.10.141), puis dans un solénoïde (par exemple Pierron ref. 03958.10.141).Tapoter le support avec une pointe pour obtenir un beau spectre.Chaque grain de poudre de fer joue le rôle d’une boussole. Les grains vont doncsuivre les lignes de champ.

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1.3. Champ magnétique créé par un courant permanent

A

Support de Plexiglas posé sur un rétroprojecteur

Spire plateou

Solénoïde

Figure 1.23

1.3.3 Étude quantitative du champ créé par un solénoïde

l

A

T

I

Figure 1.24

Le solénoïde utilisé est, par exemple,celui distribué par la société Pierron(ref. 10468.10.147), il possède 3 000 spiresréparties sur une longueur de 22 cm, le cou-rant maximum admissible est de 1,5 A.

On utilise un teslamètre relié à la centraleOrphy GTI. Cette sonde de champ magné-tique délivre une tension continue proportionnelle au champ magnétique. En choi-sissant le calibre de ±500 mV sur l’entrée EAD0 (prise G) d’Orphy GTI, la sondedélivre une tension nulle pour un champ nul et une tension de 500 mV pour un champmagnétique de 50 mT.

Lancer le logiciel GTI et choisir le mode « entrée clavier ». Nous allons faire varier lecourant de 0 A à 1,5 A. Connecter la sonde sur l’entrée G, effectuer le paramétrage dela voie EAD0 et activer la voie (il est aussi possible de chercher le capteur ±50 mTdans la liste des capteurs s’il est disponible). Bien régler le zéro de la sonde grâceau potentiomètre, procéder à l’acquisition en validant chaque intensité de 0,25 A en0,25 A jusque 1,5 A. À la fin de l’acquisition exporter les données vers Regressi.

➤ Tracer un graphe du type B = f (I). La pente permet d’accéder à la valeur de μ0

(4π ·10−7 H/m). Pour cette modélisation, on considère le solénoïde comme infinimentlong ce qui est faux.

➤ Étudier les variations de B avec la position de la sonde dans le solénoïde pour unevaleur de l’intensité donnée.

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1.3.4 Étude quantitative du champ créé par une bobineplate

On cherche à étudier B = f (x) pour une bobine plate. On utilise pour cette étude,par exemple, la bobine Leybold (ref. 555.06) de rayon R = 6,8 cm, comportant N =320 spires parcourues par un courant continu d’intensité I = 1 A et fixée sur unbanc d’optique. Connecter la sonde teslamètre sur l’entrée G d’Orphy GTI. Le champmagnétique que l’on mesure est ici plus faible donc nous choisirons une sensibilitéplus importante pour la voix EAD0. En choisissant le calibre de ±100 mV sur l’entréeEAD0 (prise G) d’Orphy GTI, la sonde délivre une tension nulle pour un champ nul etune tension de 100 mV pour un champ magnétique de 10 mT. Lancer le logiciel GTIet choisir le mode « entrée clavier ». Nous allons faire varier la position de la sondesur l’axe de la bobine entre −15 cm et +15 cm. Connecter la sonde sur l’entrée G,effectuer le paramétrage de la voie EAD0 et activer la voie (il est aussi possible dechercher le capteur ±10 mT dans la liste des capteurs s’il est disponible). Bien réglerle zéro de la sonde grâce au potentiomètre, procéder à l’acquisition en validant chaqueposition de centimètre en centimètre de −15 cm à +15 cm. À la fin de l’acquisition,exporter les données vers Regressi.Déclarer R = 6,8 cm comme paramètre.

En traçant le graphe B = f (x), modéliser la courbe sous la forme B = K

(1 +

x2

R2

)−32

et

vérifier la formule B =μ0NI2R

(1 +

x2

R2

)−1,5

.

Autre manipulation possible : la sonde étant placée au centre de la bobine tracer lacourbe B = f (I) ; calculer la pente et la comparer avec la valeur théorique donnée par

la formule de Biot et Savart B =μ0NI2R

.

1.3.5 Étude quantitative du champ dans le cas des bobinesde Helmholtz

Fixer les deux bobines sur le banc d’optique à une distance d = 6,8 cm, égale à leurrayon. Prendre l’origine de la sonde au milieu des deux bobines et bien vérifier quel’on peut translater la sonde entre −15 cm et +15 cm sur l’axe des deux bobines. Ali-menter la première bobine avec un courant de 1 A, procéder à l’acquisition comme auparagraphe 1.3.4. Transférer les données vers Regressi. Revenir sur GTI et remettre àzéro l’acquisition. Alimenter la deuxième bobine avec un courant de 1 A de manière

à avoir un champ−→B dans le même sens que précédemment, procéder à l’acquisition.

Transférer les données vers Regressi en choisissant nouvelle page. Revenir sur GTIet remettre à zéro l’acquisition. Alimenter les deux bobines montées en série avec

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1.4. Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre BH

un courant de 1 A, procéder à l’acquisition. Transférer les données vers Regressi en

choisissant nouvelle page. Superposer les trois pages (icône ). On a alors les troiscourbes superposées. Vérifier qu’au milieu des bobines de Helmholtz (si d = R) lechamp est le double de celui créé par une seule des deux bobines en ce point et qu’ilest à peu près uniforme entre les deux bobines.

2 ( /2)B R

B R( /2)

B

Rx (cm)

B1 B2

BT

0

15 +15

Figure 1.25

1.4 MESURE DE LA COMPOSANTE HORIZONTALEDU CHAMP MAGNÉTIQUE TERRESTRE BH

Le dispositif utilisé appelé « boussole des tangentes » est distribué, par exemple, parPierron (Réf. 04370.10.140).

Précautions d’utilisation :

➤ éloigner toute source de champ magnétique (calculettes, aimants et tout objet mé-tallique ferreux) et travailler de préférence sur une table sans armature métallique ;

➤ avant d’alimenter les spires, placer le plan de celles-ci parallèlement à la directionde la boussole, donc parallèlement à la composante horizontale du champ magnétiqueterrestre ;

➤ les deux fils d’alimentation des spires doivent être non torsadés pour ne pas créerde champ magnétique perturbateur ;

➤ ne pas dépasser l’intensité maximale admise (on utilisera les 5 spires de mêmerayon) et pour chaque intensité, on inversera le sens du courant pour mesurer l’anglede déviation de la boussole de part et d’autre de sa position initiale afin de moyenner.©D

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B0

BH

B

a

Figure 1.26

Le champ Bo créé par la bobine plate en son centre est :

B0 = 2π · 10−7 NIR

. À l’équilibre on a B0 = BH · tanα. On a

donc1

BH=

R

2πN10−7· tanα

I.

La courbe tan α = f (I) donne la valeur de BH.

1.5 ÉTUDE DU MOUVEMENT D’UN ÉLECTRONDANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE

1.5.1 Matériel

Le tube pour la déviation d’un faisceau électronique (Leybold, Réf. 555 12) permetdes recherches concernant le comportement de rayons cathodiques dans un champmagnétique engendré par des bobines de Helmholtz. Il est aussi possible d’étudierle mouvement des électrons dans un champ électrique engendré par deux plaques decondensateur incorporées dans le tube.

a

b

b 1

b 1

2

1

a

a

c

Figure 1.27

a : canon à électron composé d’une cathode incandescente en tungstène chaufféedirectement.a1 : paire de douilles connectées à la cathode thermoélectronique.a2 : fiche connectée à l’anode.b : plaques de condensateur pour la déviation électrostatique.b1 : fiches connectées aux plaques du condensateur.c : écran électroluminescent avec quadrillage centimétrique.

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1.5. Étude du mouvement d’un électron dans un champ magnétique

Tension de chauffage UF ≈ 6 V, courant de chauffage IF ≈ 1,35 A, tension anodiqueUA de 1 kV à 5 kV, diamètre de l’ampoule de verre D = 13 cm, longueur totale dutube l ≈ 30 cm, distance entre les plaques de condensateur d ≈ 5,4 cm.

L’alimentation haute tension (1 kV à 5 kV) nécessaire pour effectuer le montage estdistribuée par Leybold (Réf. 522 37).

1.5.2 Précautions à prendre

1. Couvrir les fiches (a2) et (b1), voir la figure, par des douilles de raccordementafin qu’elles soient protégées contre les contacts accidentels.

2. Ne pas dépasser 6,3 V pour la tension de chauffage (risque de destruction de laspirale chauffante). Cette tension de chauffage de la cathode, émettrice d’élec-trons par effet thermoélectrique, sera obtenue à l’aide d’un alternostat qui per-mettra de passer progressivement de 0 à 6,3 V (montée en température pro-gressive). À l’extinction, on veillera de même à diminuer progressivement latension de chauffage de 6,3 V à 0 V.

3. Ne pas bouger le tube quand le filament est incandescent.

4. Éviter de fortes charges mécaniques sur les chapes en matière plastique colléesà la paroi du tube, par pression, traction ou choc.

5. Ne connecter aux fiches du tube qu’un fil ; en effet, plusieurs fiches superposéesprovoqueraient une charge mécanique inadmissible.

1.5.3 Remarque sur le canon à électrons

Le dispositif est réglé pour émettre un pinceau plat d’électrons et non pas un faisceaucylindrique, la plaque électroluminescente est positionnée en biais sur le trajet dupinceau. Cette astuce expérimentale permet de visualiser la trajectoire d’un électronalors qu’en réalité on visualise la trajectoire d’électrons parallèles.

Pinceau d’électrons

Plaque électroluminescente

Figure 1.28

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1.5.4 Expériences

a) MontageA

UA

ALIMSTABILISEE

0 - 20 V

ALIM HT

6,3 V

Bobines de Helmholtz

Figure 1.29

Utiliser des fils de connexion hautesécurité pour relier l’alimentationHT.Alimenter les bobines de Helmholtz,créant un champ magnétique uni-forme, à l’aide d’une alimentationcontinue stabilisée. Un courant del’ordre de 200 mA est suffisant pourobtenir une trajectoire correcte avecune tension accélératrice de 4 kV.Lors du montage, on fera varier directement la tension du générateur pour faire varierl’intensité I du courant et donc le champ magnétique entre les deux bobines.

b) Expérience qualitative

Montrer que la déviation y augmente (c’est-à-dire que le rayon de courbure de latrajectoire diminue) quand B augmente (augmenter I dans les bobines) ou quand UA

diminue (la vitesse des électrons diminue alors).Montrer que le sens de la déviation des électrons dépend de celui de B (inverser lesens de I).

c) Expérience quantitative : mesure de e/m

La tension UA peut être mesurée directement, R et B sont déterminés expérimentale-ment. Le rayon de courbure du faisceau électronique visible sur l’écran électrolumi-nescent peut se calculer à partir de la relation :

R

P

M

y

x

Figure 1.30

R2 = x2 + (R − y)2 d’où : y =x2 + y2

2R

La représentation graphique de y en fonction dex 2 + y2 est une droite de pente 1/2R.Le champ magnétique B, presque uniforme, pro-duit par les bobines d’Helmholtz est donné par larelation (par application de Biot et Savart) :

B =μ0nIR2

B

(R2B + a2)

32

=8μ0nI

5√

5RB

n = nombre de spires par bobine (320) ;

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1.6. Applications

RB = rayon de la bobine (6,8 cm) ;a = demi-distance des bobines (3,4 cm) ;I = courant circulant dans les bobines.Pour un couple (UA, I) donné, tracer à l’aide du tableur Regressi le graphey = f (x2 + y2).En déduire, après modélisation, la valeur du rayon R de la trajectoire. Après avoir

calculé la valeur du champ magnétique, déduire la valeur deem=

2UA

R2B2.

Δ

( em

)( em

) =Δ (UA)(UA)

+ 2Δ (B)(B)

+ 2Δ (R)(R)

≈ 2Δ (R)(R)

. L’incertitude est surtout due à la

mesure du rayon de courbure, la modélisation sous Regressi nous propose un enca-drement pour la valeur de ce rayon. En déduire un encadrement pour e/m et comparerà la valeur théorique (1,75 · 1011 C/kg).

1.6 APPLICATIONS

1.6.1 Le relais électromagnétique

C’est un interrupteur commandé par un champ magnétique, celui-ci étant créé par unélectroaimant. Il est constitué par :

➤ un électro-aimant comportant une bobine munie d’un noyau de fer ;

➤ une plaquette en fer munie d’un ressort de rappel et mobile entre 2 bornes (Reposet Travail).

Son symbole est :

M

6 V220 V

Figure 1.31

Réaliser le montage de principe ci-contre.Un relais permet de commander en sécu-rité un circuit de puissance (haute tension)à partir d’un circuit basse tension

1.6.2 Électroaimant de levage

Réaliser un circuit série avec une alimentation continue pouvant délivrer 1,5 A (cou-rant maximal admissible par la bobine), un interrupteur et la bobine de 3 000 spires,par exemple, Pierron (Réf. 10468.10.147) avec son noyau de fer doux. Placer unemasse métallique (boite de conserve) à proximité du noyau de fer et observer l’effetproduit à la fermeture du circuit ainsi qu’à l’ouverture !©D

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1.6.3 Le transformateur

Dans toute cette étude nous sommes restés en régime continu, mais nous pouvonsnous demander ce qui se passe si nous créons un champ magnétique variable dans letemps en alimentant une bobine avec une tension alternative. Nous mettons alors enévidence le phénomène d’induction électromagnétique qui est la base du fonctionne-ment du transformateur et de la production d’énergie électrique.

➤ Manipulation de principe

On utilisera pour montrer le principe de fonctionnement du transformateur deux bo-bines de transformateur démontable de 250 spires supportant un courant de 7 A. Cesbobines peuvent être placées sur une carcasse en fer feuilleté fermée afin de canaliser« totalement » les lignes de champs.

A

V1V2

Figure 1.32

À l’aide d’une alimentation al-ternative de tension variable (parexemple, Leybold réf. 591 09) fairepasser un courant d’intensité infé-rieure à 5 A dans une bobine de250 spires qui jouera le rôle du pri-maire du transformateur de prin-cipe. Un voltmètre placé sur cettebobine primaire nous donne V1.Placer la seconde bobine de 250 spires en face de la première et observer la tensioninduite aux bornes du secondaire V2 à l’aide d’un second voltmètre.Le flux du champ magnétique créé par la première bobine dans la seconde est variabledans le temps donc il apparaît une tension induite (loi de Faraday) aux bornes de laseconde bobine.

1.6.4 Forces de Laplace

➤ Rails de Laplace

I

Β

A

F→

→

Figure 1.33

Un circuit électrique alimenté parun générateur de tension conti-nue est constitué de deux rails pa-rallèles horizontaux et d’une tigemobile en cuivre (matériau nonferromagnétique). Un aimant enU non représenté sur le schémacrée une zone de champ magné-tique au niveau de la tige mobile.

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Physique experimentale aux concours de l'enseignement

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