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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur

Rôle d’une interface irrégulière dans la propagationd’ondes

Anna Rozanova-Pierrat, B. Sapoval, M. Filoche, D. Grebenkov

LAGA, Université Paris 13

14 juin 2010

1 / 46

1 IntroductionMotivationQuestions

2 Étude d’une cavité composée de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat

3 Étude d’un guide d’onde composé de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat

4 Propagation de la chaleurModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat

Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions

Mur anti-bruitBarrière Absorbante Acoustique. Matériau : ciment-bois

Brevet Colas-École Polytechnique US patent4 / 46


Absorption du mur anti-bruit

5 / 46


Irrégularité et “localisation” des fonctions propres[Sapoval et al., JASA 102, 1997] −uj = λjuj , uj |∂Ω = 0

6 / 46


Autre exemple de “localisation”[S. Félix et al., Journal of Sound and Vibration, 299, 2007]

7 / 46


Localisation “à cheval”[S. Félix et al., Europhysics letters, 85(1), 2009]

Pour Ω = Ω1

⊔

Ω2

−ψj = λjψj dans Ω1,

− div(

1ρR + iρI

∇ψj

)

= λj1

KR + iKI

ψj dans Ω2,

∂ψj

∂ν= 0 sur ∂Ω,

Ω2

Ω1

Γ

8 / 46



Pour Ω = Ω1 ∪Ω2

−ψj = λjψj dans Ω1,

− div(

1ρR + iρI

∇ψj

)

= λj1

KR + iKI

ψj dans Ω2,

∂ψj

∂ν= 0 sur ∂Ω,

ψj |Γ− = ψj |Γ+

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − 1ρR + iρI

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+

Ω2

Ω1

Γ

8 / 46



8 / 46


Modèles sans dissipationInfluence d’une interface irrégulière

Modes propres du Laplacien

Localisation ?

Phénomène “à cheval” ?

Propagation

des ondes acoustiques

Transmission en énergie

Comparaison entre phénomènes decouplages et de la propagation

de la chaleur

Aux temps courts

Aux temps longs

9 / 46

Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques

Modélisation : Problème

ρ1, c1

ρ2, c2

Ω1Ω1Ω1

Ω2Ω2Ω2

ΓΓ

Γ

∂p∂ν

∣

∣

∣

∂Ω= 0

p est la pression acoustique

sur Γ on a l’égalité des pressions et des vitesses

p|Γ− = p|Γ+

1ρ1

∂p∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − 1ρ2

∂p∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+

.

11 / 46



ρ, c

∂p∂ν

∣

∣

∣

∂Ω= 0

− div(

1ρ∇p)

=1ρ

ω2

c2p ⇐⇒

−ψ = λψ dans Ω

∂ψ

∂ν= 0 sur ∂Ω

λj = ω2j /c

2 sont les valeurs propres

ωj sont les fréquences propres∫

Ω ψlψjdxdy = δlj

11 / 46



ρ1, c1

ρ2, c2

∂p∂ν

∣

∣

∣

∂Ω= 0

− div(

1ρ1

∇p)

=1ρ1

ω2

c21

p dans Ω1

− div(

1ρ2

∇p)

=1ρ2

ω2

c22

p dans Ω2

1ρ1

∂p∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − 1ρ2

∂p∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+

p|Γ− = p|Γ+

11 / 46



ρ1, c1

ρ2, c2

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∂Ω= 0

c2 = c1/n, λj = ω2j /c

21 (n ∈ R, n > 1)

− div(

1ρ1

∇ψj

)

=1ρ1

λjψj dans Ω1

− div(

1ρ2

∇ψj

)

=n2

ρ2

λjψj dans Ω2

1ρ1

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − 1ρ2

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+


11 / 46



Ω1

Ω2

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∂Ω= 0

− div (∇ψj) = λjψj dans Ω1

− div(

ρ1

ρ2

∇ψj

)

= n2 ρ1

ρ2

λjψj dans Ω2

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − ρ1

ρ2

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+


(λj − λl)

[∫

Ω1

ψjψl + n2 ρ1

ρ2

∫

Ω2

ψjψl

]

= 0

Si m =ρ2

ρ1

= n2,

∫

Ωψjψl = δjl

L = (IΩ1(x , y) +

mn2

IΩ2(x , y))∆

11 / 46



Ω1

Ω2

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∂Ω= 0

λj = ω2j /c

21

c2 = c1/n

ρ2 = mρ1

−ψj = λjψj dans Ω1

− div(

1m∇ψj

)

=n2

mλjψj dans Ω2

∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − 1m∂ψj

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+


11 / 46


Aspects numériques : Dimensions

ρ1, c1

ρ2, c2

Ω1Ω1Ω1

Ω2Ω2Ω2

ΓΓ

Γ

l

b 1b 2

ρ2 = 30ρ1, c2 = c1/6

l = 1, b1 = 1 + (1 +√

5)/2 ≈ 2.618, b2 = 2.1

COMSOL Script (Multiphysics)

Éléments finis de Lagrange d’ordre 1

12 / 46


Maillage

maillage “uniforme” triangulaire≈ 16 nœuds sur le plus petit segment de fractalNombre total d’éléments : 561916Nombre de degrés de liberté : 281913

13 / 46


Méthode de résolution

Méthode itérative basée sur l’espace de Krylov Kd

d ≈ 2N (N nombre de fonctions propres à trouver)Ax = λBx au voisinage de σ ⇐⇒ (A− σB)x = λBx auvoisinage de 0

Trouver les plus grandes valeurs propres de la matriceC = (A− σB)−1BRoutines ARPACK en Fortran basées sur l’algorithme d’ArnoldiIRAM (Implicity Restarted Arnoldi Method)

Solver SPOOLES (matrice symétrique)Factorisation LDLT

14 / 46


Couplage (n = 6, m = 30, l = 1, b1 = 1 + (1 +√

5)/2,

b2 = 2.1)Modes numéro 11, 13 et 72

a) b) c)

15 / 46


Applications : Surface d’existence

S =1

∫

Ω |u|4dxdy

∫

Ω|u|2dxdy = 1

Ωu =

F sur Ω0 sur R

2 \Ω

∫

ΩF 2

dxdy = F 2 vol(Ω) = 1 ⇒ F =1

vol(Ω)1

2

⇒ S =1

∫

Ω |u|4dxdy=

1F 4 vol(Ω)

=1

1

vol(Ω)2 vol(Ω)= vol(Ω)

16 / 46


Couplage en énergie

Produit scalaire équivalent dans L2 :

< ψi , ψj >L2(Ω)=

∫

Ω1

ψiψjdxdy +n2

m

∫

Ω1

ψiψjdxdy = δi ,j

Surface d’existence Sj :

Sj =1

∫

Ω1|ψj |4dxdy +

(

n2

m

)2 ∫

Ω2|ψj |4dxdy

Énergie totale Ej d’un mode ψj :

Ej =< ψj , ψj >L2(Ω)=∫

Ω1|ψj |2dxdy + n2

m

∫

Ω1|ψj |2dxdy ,

Ej = E (Ω1)j + E (Ω2)

j

17 / 46


Couplage en énergie

Énergie totale Ej d’un mode ψj :

Ej =∫

Ω1|ψj |2dxdy + n2

m

∫

Ω1|ψj |2dxdy ,

Ej = E (Ω1)j + E (Ω2)

j

Couplage en énergie CEj d’un mode ψj :

CEj = 4

E (Ω1)j E (Ω2)

j

E 2j

0 pas couplé

1 couplé

17 / 46


Couplage en énergie (n = 6, m = 30)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 110

−8

10−6

10−4

10−2

100

F0

F2

F1

CE j

ωj l/(2πc1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 10−3

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Sj

CE j

F0

F1

F2

18 / 46


Couplage en énergie (n = 4, m = n2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.510

−8

10−6

10−4

10−2

100

F0

F2

F1

CE j

ωj l/(2πc1)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.810

−6

10−4

10−2

100

Sj

CE j

F0, < CEj >F0= 0.1822, < Sj >F0= 1.11491

F1, < CEj >F1= 0.2708, < Sj >F1= 0.8732

F2, < CEj>F2= 0.2825, < Sj >F2= 0.8620

19 / 46


But recherché (dans l’espace temporel)

Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2

x = 0

∂p∂ν

= 0

∂p∂ν

= 0

pI = Aei(ωt−k1x)

pR

pT

c2 = c1/n ρ2 = mρ1 Z2 =mn

Z1

λj =2πcj

ωλ2 =

λ1

nkj =

2πλj

=ω

cj

21 / 46


But recherché dans l’espace fréquentiel

Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2

x = 0

∂p∂ν

= 0

∂p∂ν

= 0

pI = 2πAe−ik1x

pR

pT

pΩ1+ k2

1 pΩ1= δx (−∞) dans Ω1 pΩ1

= pI+pR

pΩ2+ k2

2 pΩ2= 0 dans Ω2 pΩ2

= pT

pΩ1|Γ = pΩ2

|Γ1ρ1

∂pΩ1

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − 1ρ2

∂pΩ2

∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+

22 / 46


But recherché : transmission/refléxion en énérgie

Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2

x = 0

l

x = x0

pI = 2πAe−ik1x

pR

pT

Flux d’énergie transmise fT (ω) = −12

Re

(

∫ l

0

i1ρ2ω

pT∂x pT dy

)

23 / 46



Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2

x = 0

l

x = x0

pI = 2πAe−ik1x

pR

pT


Re

(

∫ l

0

i1ρ2ω

pT∂xpT dy

)

Flux d’énergie incidente fI = −12

Re

(

∫ l

0

i1ρ1ω

pI∂x pIdy

)

=12

4π2A2lρ1c1

23 / 46



Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2

x = 0

l

x = x0

pI = 2πAe−ik1x

pR

pT


Re

(

∫ l

0

i1ρ2ω

pT∂xpT dy

)

Flux d’énergie incidente fI = −12

Re

(

∫ l

0

i1ρ1ω

pI∂x pIdy

)

=12

4π2A2lρ1c1

Transmission en énergie τ(ω) =fTfI

= −Re

(

∫ l

0

iρ1c1

4π2A2lρ2ωpT∂x pT dy

)

Réflexion en énergie r(ω) = 1− τ(ω)23 / 46


Cas analytique

Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2

x = 0

pI = Ae−ik1x

pR = Reik1x

pT = T e−ik2x

(

Ae−ik1x + Reik1x)∣

∣

∣

x=0= Te−ik2x

∣

∣

∣

x=0⇒ A + R = T

1ρ1

∂(

Ae−ik1x + Reik1x)

∂x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x=0

=1ρ2

∂Te−ik2x

∂x

∣

∣

∣

∣

∣

x=0

⇒

k1

ρ1

(A− R) =k2

ρ2

T , kj =ω

cj⇒ A− R =

Z1

Z2

T

24 / 46


Cas général

Ω1

Ω2

x = 0

l

l1 l2

x1 = −L1 x2 = L2

pI = 2πAe−ik1x

pR

pT

PM

L1

PM

L2

E. Turkel, A.Yefet, Appl. Num. Math., 1998.F. Collino et P. Monk, SIAM J. Sci. Comp., 1998.

Sj(x) = 1 +σj(x)

ikjσj(x) =

3cj

2ljln(105)

(x − xj)2

l2j

xj = (−1)j(Lj + lj) Rj = −e−2ikj

∫ lj

0(1+

σj (x)

ikj)dx

25 / 46


Guide d’onde

∂

∂x

(

1ρ1

(

1S1

∂p∂x

+∂e−ik1x

∂x

))

+∂

∂y

(

S1

ρ1

∂p∂y

)

+k2

1

ρ1

S1p = 0 PML1

∂

∂x

(

1ρ1

∂(p + e−ik1x )

∂x

)

+∂

∂y

(

1ρ1

∂p∂y

)

+k2

1

ρ1

(p + e−ik1x ) = 0 Ω1

∂

∂x

(

1ρ2

∂p∂x

)

+∂

∂y

(

1ρ2

∂p∂y

)

+k2

2

ρ2

p = 0 Ω2

∂

∂x

(

1S2ρ2

∂p∂x

)

+∂

∂y

(

S2

ρ2

∂p∂y

)

+k2

2

ρ2

S2p = 0 PML2

26 / 46


Aspects numériques : Maillage triangulaire

λ2

r

x = 0

l

4λ1 4λ2

x1 = −6l/16− 4λ1 x2 = 6l/16 + 4λ2

λ1

r2λ1

r 2λ2

r

λ1 ∈ [0.1, 0.3] r = 25

λ1 ∈ [0.301, 1] r = 50

λ1 ∈ [1.001, 5] r = 100

Maillage adaptatiféléments finis de Lagrange d’ordre 1

27 / 46


Maillage adaptatif

28 / 46


Méthode de résolution

Solver SPOOLES (matrice symétrique)factorisation LDLT

0 1 2 3 4 50.883

0.884

0.885

0.886

0.887

0.888

0.889

0.89

Tra

nsm

issi

onτ

λ

29 / 46


Analyse des solutions

30 / 46


Analyse des solutions

31 / 46


Réflexion en énergie (n = 4, m = n2 et n = 6, m = 30)

Contraste n = 4, m = n2

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

l/λ

Réfl

exio

n

Fractal 0

Fractal 1

Fractal 2

Contraste n = 6, m = 30

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

l/λR

éflex

ion

Fractal 0

Fractal 1

Fractal 2

32 / 46


Comparaison empirique entre les phénomènes de couplages

CEj et de la transmission τ

Guide d’onde infini

Source

Source

Cavité acoustique

CEm ⇐⇒ τ

τ = f (CEm)

33 / 46




Couplage avec la source

u(x , t) =∞∑

j=1

cos(√

λj t)(u0, ψj)ψj(x , y)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

F0

√

λj

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F1

√

λj

33 / 46




0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

√

λj

τ

33 / 46




1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Tra

nsm

issi

onτ

2πl/λ

αi > 0.13αi > 0.11ταi > 0.17

33 / 46



D1

D2

Ω1Ω1Ω1

Ω2Ω2Ω2

ΓΓ

Γ

ut − div ((D1IΩ0+ D2IΩ1

)∇u) = 0

u|t=0 = IΩ1(x , y)/ vol(Ω1)

∂u∂ν

∣

∣

∣

∣

∂Ω= 0 u|Γ− = u|Γ+

D1

∂u∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ−

= − D2

∂u∂ν

∣

∣

∣

∣

Γ+ 35 / 46


But recherché

Ni (t) =

∫

Ωi

u(t, x , y)dxdy

u =1

vol(Ω1)

∞∑

k=0

e−λk tuk

∫

Ω1

ukdxdy

Ni (t) =1

vol(Ω1)

∞∑

k=0

e−λk t

∫

Ω1

ukdxdy∫

Ωi

ukdxdy

N1(t) + N2(t) = const

N2(t) pour t → 0

N2(t) pour t → +∞36 / 46


Cas analytique

√

D1

D2

sin

(

√

λk

D1

b1

)

cos

(

√

λk

D2

b2

)

+ cos

(

√

λk

D1

b1

)

sin

(

√

λk

D2

b2

)

= 0

Ω1

Ω2

l

b2

−b1

0

y N1(t) + N2(t) = 1

N1(t) =b1

b1 + b2

+2D1

b1

∞∑

k=1

e−λk t

λk

·

·sin2(b1

√

λk

D1)

b1 + b2 + b2(D1

D2− 1) sin2(b1

√

λk

D1)

N1(t)→b1

b1 + b2

t → +∞

37 / 46


Cas analytique

Théorème

Pour t → 0, il existe une constante C > 0 tel que

N2(t) ∼ C√

t

Preuve

Résultat transformée de Laplace et fonction zêta spectrale⇒ ∃C1 > 0 et ∃C2 > 0 t. q. C1

√t ≤ N2(t) ≤ C2

√t

Projet Pour des intérfaces régulières :paramétrixe du noyau de la chaleurH. McKean et I. Singer,S.Minakshisundaram et Å Pleĳel

Pour des intérfaces irrégulières/fractales :formule asymptotique de Weyl/rôle des anglesM. Lapidus

37 / 46


Cas analytique 1D

u = 1

∂u∂ν

= 0

ut − div (D∇u) = 0

u|t=0 = 0

u1D =2√π

∫ +∞

x√

4Dt

e−z2

dz

N2(t) =

∫ ∞

0

u(x , t)dx =2√

Dt√π

38 / 46


Aspects numériques : Dimensions

b1

b2

ℓ

Ω1

Ω2

Γδ?

6

ε

Contraste D1/D2 = 100 (n = 10)

l = 1

b1 = b2

39 / 46


Maillage

Maillage adaptatif l/30, éléments finis de Lagrange d’ordre 2

40 / 46


Méthodes de résolution différentes (fractale 0, n = 10)

10−10

10−5

100

10−6

10−4

10−2

100

log(t)

log(

N2)

Bleu : solution en temps de l’équation de la chaleur 2DVert : solution en temps de l’équation de la chaleur 1DRouge : formule analytique avec 10000 vecteurs propres 1D

Noir :√

D2tb2

41 / 46


Propagation en temps 2D (n = 10, t = 10−2, 10−1, 0.5)

42 / 46


Propagation en temps 2D (n = 10, t = 1, 10, 25)

43 / 46


Propagation en temps 2D (n = 10, t = 0.06, 2.4, 7.4)

44 / 46


Propagation en temps 2DMilieu unique (D1 =∞, D2 = 1/100, l = 1, b1 =∞, b2 = 3l/4 )

10−2

10−1

100

10−3

10−2

10−1

100

F0

F1

F2

F3

√D2t/l

vale

urm

oyen

neN

2(t

)/N

2(∞

)

Asymptotes : 1√π

2i√

D2t/l avec i = 0, 1, 2, 3 (générations de

la fractale)45 / 46


Propagation en temps 2DDeux milieux (D1 = 1, D2 = 1/100, l = 1, b1 = b2 = 3)

10−2

10−1

100

10−3

10−2

10−1

100

F0

F1

F2

F3

√D2t/b2

vale

urm

oyen

neN

2(t

)/N

2(∞

)

Asymptotes : 2i√

D2tb2

avec i = 0, 1, 2 (génération de lafractale)

46 / 46

Rôle d’une interface irrégulière dans la propagation ... · Introduction Fonctions propres...

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