Champs Et Propagation

8/14/2019 Champs Et Propagation

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Champs et propagationCours pris en L ATEX par

Cyril Roussillon & Guillaume Hennequin

Professeur : M. Nicolas Fressengeas 1

SUPELEC, Campus de METZ20042005

Version 12.6

Nicolas Fressengeas : Professeur a lUniversite Paul Verlaine Metz.Cyril Roussillon : Etudiant `a Supelec ( [email protected] , crteknologies.free.fr ).Guillaume Hennequin : Etudiant `a Supelec ( [email protected] ).

1 Que nous remercions pour avoir relu et corrige ce cours.
mailto:[email protected]://crteknologies.free.fr/mailto:[email protected]:[email protected]://crteknologies.free.fr/mailto:[email protected]


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Toute utilisation, non commerciale et ` a des ns pedagogique de ce document est autorisee. La co-pie est autorisee `a condition de citer les auteurs et de respecter lintegrite de luvre.

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Table des matieresTable des matieres 4

1 Introduction 51.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Rappels maths : notions danalyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Notion de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Denition des operateurs danalyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Expression des operateurs vectoriels en cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Referentiels localement orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Quelques proprietes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.6 Notion de pseudo-grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Modele de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Les origines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Les champs utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Les equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4 Quelques proprietes du modele de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.5 Les lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Relations aux interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 Relations liees `a la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2 Relations liees au rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Electromagnetisme statique 192.1 Les equations de lelectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Les conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Notion de capacite et denergie electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Application : electromagnetisme atmospherique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 La magnetostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Electromagnetisme dynamique 313.1 Approximation des Regimes Quasi-Stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Maxwell in-extenso : les phenomenes propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Propagation du champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 Choix dune jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Propagation de V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.4 Les echanges energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.5 Vitesse de propagation des ondes e.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.6 Propagation dans les milieux LHI (et isolants) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Les ondes planes 39

4.1 Quest-ce quune onde plane ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Ondes planes e.m. en milieu isolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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4.3 Ondes planes e.m. en milieu conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Notion de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Transmission dune OPS e.m. ` a une interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Faisceaux gaussiens 475.1 Generalites Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Hypothese de separation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3 Consequences de q (z) 1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Optique matricielle 516.1 Loptique geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Optique geometrique matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 Loi ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Relativite restreinte 557.1 Les origines : la mecanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2 Experience fondatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.3 La transformation de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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Chapitre 1

Introduction

1.1 Historique

Les premiers phenomenes electromagnetiques ont ete decouverts par les grecs anciens : Thales (-VIeme) et Theophraste (-IVeme). Certains materiaux (par exemple lambre) acquierent des proprieteselectromagnetiques une fois frottes ; cest le debut de lelectrostatique . . .

Le debut de la science, dans tous les domaines, cest en gros le 17 .

1600 : William Gilbert proposition du terme electrique (vient du grec o signiantambre). Cest un biologiste, il sest amuse avec les muscles des grenouilles. 1672 : Otto Von Guericke premiere machine electrostatique : deux boules que lon charge enles frottant en tournant. 1745 : Bouteille de Leyd

premier condensateur : on introduit un l relie ` a une machine elec-

trostatique dans une bouteille plaquee dun conducteur ` a lexterieur ; si on touche la bouteille onse prend une decharge.

1752 : Benjamin Franklin invente un systeme detecteur dorages : il relie ` a un long l deux cloches,et place une boule isolee au milieu. En temps orageux, le champ electrostatique ambiant augmentedonc les cloches se chargent. Mais la moindre perturbation (courant dair . . .) fait quune clocheattire la boule plus que lautre, mais au contact elle est repoussee etc, et donc ca sonne. Franklina egalement capte lenergie dun eclair avec un cerf-volant.

Fin XVIIIeme : Luigi Galvani et Alexandro Volta decouvrent que le mouvement des charges pro-duit un courant, et ils font des experiences sur lelectricite animale (nerfs, muscles . . .). Inventionde la premiere pile chimique.

1819 : Hans rstedt decouvre quun courant electrique cree un champ magnetique. 1873 : James Maxwell publie un papier sur ce qui va devenir les lois de base de lelectroma-

gnetisme (pas encore sous la forme des equations de Maxwell telles quon les connat). 1887 : Heinrich Hertz est a lorigine de la formulation differentielle des equations de Maxwell

(rot , div , grad ). Il estime aussi la vitesse de propagation des ondes electromagnetiques ` a 200 000km/s en constatant que lorsquil provoque une etincelle ` a un coin de son laboratoire, un galva-nometre reagit ` a lautre bout.

1896 : Guilerno Marconi met en place le premier systeme de telecommunication par ondes elec-tromagnetiques, en faisant la meme chose que Hertz dans son laboratoire, mais ` a travers loceanAtlantique (grosse machine . . .).

1905,1912 : publication par Albert Einstein des fondements de la relativite restreinte puis generale.

1970 : creation du modele standard. Il sagit de la description sous la meme theorie de toutesles forces connues (sauf gravite), qui sont quantiees. Ceci va remettre en cause le modele deMaxwell.

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Ce cours va sinteresser a :

1. lelectromagnetisme des champs continus,

2. la relativite restreinte (si on a le temps, ` a la n, et un peu seulement).

On sait que la theorie de Maxwell est fausse, mais on lutilise quand meme car ` a lechelle macroscopique,elle decrit tres bien les phenomenes.

1.2 Rappels maths : notions danalyse vectorielle

1.2.1 Notion de champ

Un champ est une application de R m dans R n . A tout point de lespace (de dimension m) on associeun vecteur (de dimension n).

Voici quelques exemples en physique classique :

champ scalaire R 3

R potentiel, densite . . .

champ vectoriel R 3 R 3 vitesse, champ electrique, magnetique . . .

Modelisation en physique classique

On peut etre amene ` a sinteresser `a une partie seulement des composantes de lespace et/ou du champsi :

on ne sinteresse effectivement qu` a un plan, une droite, . . . les symetries du probleme 3D permettent de reduire les dimensions.

Exemple de generalisations possibles symetrie cylindrique : m = 2 R 2 R 1 ou 3 (on travaille sur un plan, mais il ny a aucune raisonpour que le vecteur soit dans ce plan !). symetrie spherique : m = 1 R R 1 ou 3.

Exemples en physique relativiste

champ scalaire R 4 R 2champ vectoriel R 4 R 4

La dimension supplementaire est le temps.

Attention En relativite restreinte, la presence dun imaginaire pur en coordonnee temporelle nechange rien a ces dimensions (on nest jamais en presence de complexes).

1.2.2 Denition des operateurs danalyse vectorielle

Preambule

Ces operateurs ne sont denis quen dimension 3, donc cela ninteresse plus les mathematiciens depuisun siecle, qui ont abandonne ces notions au prot de la notion danalyse tensorielle . De plus ils ne sont

donc pas denis non plus en dimension 1 ou 2 ; il faudra ainsi etre prudent lors de la modelisation endimension 1 ou 2.

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Le gradient

Soit un champ scalaire R 3 R . Le gradient est une application de lespace des champs scalairesvers lespace des champs vectoriels.Si dM est un deplacement innitesimal dans R 3, alors il correspond a un deplacement d dans R .Quand dM et d tendent vers zero, nous avons :

dM, d = grad dM

Il sagit dune denition intrinseque, qui ne depend pas du systeme de coordonnees.

La divergence

Cest une application de lespace des champs vectoriels vers lensemble des champs scalaires.

div A = limV 01V S = V A dS

ou V est un volume ferme et S = V la surface qui entoure ce volume.En somme, il sagit dun ux sortant dun volume innitesimal. Pour un champ de vecteur conservatif (tout ce qui rentre dans un volume en ressort), la divergence est nulle.

Le rotationnel

Cest une application de lensemble des champs vectoriels vers lui-meme. La denition de rot( A ) (notecurl(A ) par les anglo-saxons) se fait composante par composante, autrement dit dans une directiondonnee n .

Soit n un vecteur unitaire normal ` a une surface orientee S . On denit le rotationnel dans cettedirection :

rot( A )n = limS 01S C= S A d

Cest donc la circulation dun champ sur une courbe fermee autour dun point.

Le laplacien scalaire

Cest une application de lensemble des champs scalaires vers lui-meme.

V = div( grad V )

Le laplacien vectoriel

Cest une application de lensemble des champs vectoriels vers lui-meme.

A = grad(div A ) rot( rot A )

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1.2.3 Expression des operateurs vectoriels en cartesiennes

Le gradient

dM , d = graddM . Posons dM =

dx00

, alors d = graddx, soit :

d = grad dx00

La composante en x de d est x dx par denition de la derivee partielle.Par analogie pour les autres coordonnees on a donc :

grad = =xyz

(Avec la notation du nabla =

x

y

z

).

La divergence

div(A ) = limV 0

1V

S = V

A dS

dy

dxdz

Ax+

Ay+

Ay

Ax

Fig. 1.1 Calcul de la divergence

Soit V un cube de cote dx, dy, dz suffisament petit pour considerer les champs uniformes sur sesfaces (gure 1.1). On notera Ax+ la valeur du champ sur la face perpendiculaire ` a dx, cote x grands(pointe de la eche). Ax est la valeur sur la face opposee.

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div A = limdx, dy, dz0

1dx dy dz

A+x Axdxdx

dy dz + 2 permutations(xyz)

= limdx0

A+x Axdx

.dxdx

+ 2 permutations(x

y

z)

div A = A =A xx

+A yy

+A zz

Le rotationnelAy+

Ax

Ay

Ax+

dy

dx

Fig. 1.2 Calcul du rotationnel

(n, S ) , rot A n = limS 01S C= S A d

Faisons le calcul avec n = dx dy|dx||dy| = z

rot A z = limdx, dy01

dxdyA y dx + A +x dy + A +y dx + A x dy

= limdx, dy0

1dxdy

A +x A x dy A +y A y dx

= limA +x A x

dx dydy lim

A +y A ydy

dxdx

=A y

x

A x

y

Cest la composante en z du rotationnel ; on en deduit lexpression totale :

rot A = A =

A zy

A yz

A xz

A zx

Ayx

Axy

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Autres referentiels

Les operateurs vectoriels ne sevaluent simplement que dans les referentiels localement orthogonaux.Un referentiel localement orthogonal est tel quen tout point de lespace, les vecteurs de base sontorthogonaux. Les courbes issues de la variation dune composante sont toutes trois orthogonales enchaque point.

Exemples de referentiels localement orthogonaux Coordonnees cartesiennes dx, dy, dz . Le referentiel polaire ( r, ) Le referentiel cylindrique ( r,,z ) Le referentiel spherique ( r,, )

Notion de facteur dechelle

Dans un referentiel localement orthogonal, la variation elementaire de la ieme composante d qi vaengendrer dans lespace un deplacement elementaire d M i = h idqi . Le scalaire h i sappelle le facteur dechelle associe a qi .

Exemples Cartesiennes : d M x = d x donc hx = 1, d M y = d y donc hy = 1 Polaires : d M r = d r donc hr = 1, d M = r d donc h = r Cylindriques : hz = 1, hr = 1, h = r Spheriques : d M r = d r donc h r = 1, d M = r d donc h = r , dM = r sin d donc h = r sin

cartsiennes

dz

dx

dy

theta

varie

varie

rPolaires

z

r varie

theta varie

cylindriques

varier

sphriques

Fig. 1.3 Cartesiennes Polaires Cylindriques Spheriques

Deux proprietes : les facteurs dechelle dependent de la position dans lespace, h idqi a toujours la dimension dune longueur.

Exemple : Soit une fonction f : r f (r ). Alors on peut calculer facilement son integrale sur unesurface en exprimant la surface elementaire d S a laide des facteurs dechelle :

f (r )dS = 2=0 + r =0 f (r )dS avec dS = hr dr hd = d r r d

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1.2.4 Referentiels localement orthogonaux

Expression du gradient

dM, d = grad . dM Posons :

dM =h1dq10

0d = grad

h1dq100

grad =

1h1

q1

1h2

q2

1h3

q3

Expression de la divergence

div A = limdq1 ,dq2 ,dq3 0

1h1h2h3dq1dq2dq3

(h +2 h+

3A+1 h 2 h 3 A1 )

dq1dq1

dq2dq3 + permutations

div A = 1h1h2h3 (h2h3A1)

q1+ (h1h3A2)

q2+ (h1h2A3)

q3

Expression du rotationnel

rot A q3 = limdq1 ,dq2 0 1

h1h2dq1dq2 h1+2 A+1 h12 A1 dq2 h2+1 A+2 h21 A2 dq1

=1

h1

h2

(h2A2)q1

(h1A1)q2

rot A = 1h1h2h3

h1h 3A3

q2 h 2A2

q3

h2h 1A1

q3 h 3A3

q1

h3h 2A2

q1 h 1A1

q2

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1.2.5 Quelques proprietes remarquables

Demontrables facilement dans un repere localement orthogonal.

div

rot = 0 , rot

grad = 0

Si V et W sont des champs scalaires :

grad( V W ) = V grad W + W grad V

Pour V scalaire et E vectoriel :div(V E ) = V div E + E grad V , rot( V E ) = V rot E E grad V

Theoremes de Stokes

Formulation tensorielle :

V

d = S = V

La formulation tensorielle a peu de signication pour nous, faute dune approche mathematique suffi-sante.

Dans notre approche, elle se decline en 3 theoremes de Green / Ampere / Ostrogradsky :

V grad f

dV =

S = V f

dS

V

div A dV = S = V

A dS

S

rot A dS = C= S A d1.2.6 Notion de pseudo-grandeur

Dans lapproche tensorielle de lelectromagnetisme, certaines grandeurs sont des tenseurs antisyme-trique de rang 2 (des matrices antisymetriques).

0 a b

a 0 cb c 0

Dans une matrice antisymetrique, seules trois composantes sont independantes (Lespace vectoriel desmatrices antisymetriques est de dimension 3). On peut donc representer la matrice

0 a b

a 0 cb c 0par

abc

ou a

bc12


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Pour pouvoir lever lindetermination sur le signe, il faut prendre une convention. Une matrice anti-symetrique peut toujours sinterpreter comme une matrice dune rotation. On a toujours, en maths,caracterise une rotation par un unique vecteur.

Les vecteurs issus de cette convention symbolisent une rotation et sont denommes vecteurs axiaux oupseudos-vecteurs.

Consequence : la symetrie. Les pseudos vecteurs sont antisymetriques : en deux points symetriques,ils sont opposes.

Exemples de vecteurs axiaux Champ magnetique, produit vectoriel de vraies grandeurs, rota-tionnel dune vraie grandeur, vecteur symbolisant une surface ouverte.

1.3 Modele de Maxwell James Clerk Maxwell (1831-1879)

1.3.1 Les origines

Les fondements du modele de Maxwell ont ete jetes par Maxwell, mais il etait au depart base surdes considerations mecaniques (ce quil a publie). Cest Hertz qui a trouve une formulation avec deschamps (formulation differentielle).

Le modele a ete elabore en supposant lexistence de lEther, milieu suppose de la propagation desondes electromagnetiques. La Relativite Restreinte a montre que cette notion etait inexacte. Malgretout, le modele de Maxwell est cense etre valable dans un repere xe, par rapport ` a lEther.

1.3.2 Les champs utilises

Ils sont au nombre de quatre : deux champs dexcitation (quon va pouvoir appliquer au vide ou ` a un materiau donne) : Le champ electrique E , Le champ magnetique H (vecteur axial).

deux champs caracterisant la reponse du milieu : le deplacement electrique D , linduction magnetique B (vecteur axial).

1.3.3 Les equations

Il faut les retenir, mais pas parce quon les a apprises par coeur, parce quon les a comprises. Il fautfaire le lien entre lequation de Maxwell et le phenomene physique associe.

Faraday

Ceci nest pas une demonstration de lequation de Maxwell-Faraday, car celle-ci est un postulat queMaxwell a pose au debut, et a ensuite cherche ` a verier. Et on procedera toujours comme ceci pourles autres equations de Maxwell.

V =

E d

circulation=

S Bt dS

ux surfacique13


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limS 0

1S E d = limS 0 1S

S

Bt dS

rot

E =

Bt

Equation de Maxwell-Faraday

En effet :

lim1S

S

Bt dS = limS 0

1S

Bt S

Le rotationnel dune vraie grandeur est une grandeur axiale.

Gauss

V

Q

Fig. 1.4 Charge Q

Si on a une charge Q dans lespace (gure 1.4), il y aura un champ electrique.Le theoreme de Gauss dit que le ux sortant dune surface fermee est egale ` a la charge interieure.

Cest en fait une mesure de la divergence du champ.

Q = S = V

D dS

limV 0

QV

= limV 0

1V

S = V

D dS

On en deduit :

= div D Equation de Maxwell-GaussIl y a quatre champs dans la theorie de Maxwell. Pour le moment on ne sinteresse quaux relationsquils verient. On verra leur denition apres.

Flux

On va regarder un champ magnetique par rapport ` a un volume V (gure 1.5). Les lignes de champmagnetique se referment toujours (il ny a pas de monop ole magnetique). Donc la difference entre cequi sort et qui rentre dun volume est toujours nul : B est un champ a ux conservatif.

V, S = V B dS = 0 limV 0 1V S = V B dS = 014


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B

B

Fig. 1.5 Lignes de champ magnetique ` a travers un volume

div B = 0 Equation de Maxwell-FluxAmpere

I

H

Fig. 1.6 Courbe fermee traversee par un courant

Le rotationnel dun vecteur axial est une vraie grandeur. Figure 1.6 :

CH d = I limS 0 1S C= S H d = limS 0 I S Ce qui conduit a :

rot H = J Mais dans un l avec un condensateur, on ne peut pas faire passer un courant continu, mais on peutfaire passer un courant alternatif. Si on prend un circuit au milieu du condensateur, on obtiendraitune discontinuite de H avec un circuit autour du l.Pour lever la contradiction, Maxwell introduit le courant de deplacement (homogene `a J ) :

Dt

rot H = J + Dt

Equation de Maxwell-Ampere

1.3.4 Quelques proprietes du modele de Maxwell

Ce modele na jamais ete precisement demontre. Encore pire, on a montre quil etait faux (modelestandard des annees 70) pour les petites echelles (mecanique quantique). Par exemple la dualite onde-corpuscule pour les photons est inexplicable avec le modele de Maxwell.

En revanche, il decrit tres bien les phenomenes electromagnetiques macroscopiques. Il a ete ` a loriginede la Relativite Restreinte.

Que disent les equations de Maxwell ? Elles disent que la vitesse de la lumiere est de tant, independam-

ment du referentiel. Cela contredit evidemment la mecanique galileenne, et ce probleme est ` a loriginede la theorie dEinstein.

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Lequation de continuite

On sinteresse `a la variation de la charge Q dans le volume V au cours du temps. On va pouvoir direque :

dQdt

= S = V

J dS div J +t

= 0

On nobtient pas une equation de plus, elles est dej` a contenue dans le modele de Maxwell.Ce raisonnement est valable pour des charges comme pour dautres types particules. Cependant lequa-tion de continuite electrique (dite encore de conservation de la charge ) decoule du modele de Maxwell :

rot H = J + Dt

div rot H 0

= div J + t div D

t1.3.5 Les lois de comportementLes equations de Maxwell lient les champs dexcitation ( E et H ) aux champs de reponse ( D et B ) ensupposant lexistence dune relation entre eux. Ces relations sont caracteristiques dun milieu donne :elle peuvent etre simples (lineaires), non-lineaires, voire presenter des hysteresis (par exemple entre Bet H dans un materiau ferro-magnetique 1).Quelques exemples

Dans le vide : D = 0E avec 0 = 10

7

4c 2 N.C2/m 2

B = 0H avec 0 = 4 107 N.C2/s 2

On a de plus 0

0

c2 = 1

Dans les milieux lineaires : D = E avec = r 0 B = H avec = r 0

Mais on peut remarquer que la reponse dun milieu peut etre decomposee en : la reponse du vide, la reponse du milieu proprement dite.

Posons :

P = D 0E , M =B0 H

On note alors :

P = 0(r 1)E = 0 eE , M = ( r 1)H = M H e et M sont les susceptibilites .

Derniere loi de comportement

Il nous manque le comportement de J en fonction des champs dexcitation. Dans les milieux lineaires,cette relation sappelle la loi dOhm : J = E avec

conductivite

= 1

res is ti vi te

1 cf cours delectrotechnique

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1.4 Relations aux interfaces

1.4.1 Relations liees a la divergence

1

2

Fig. 1.7 Surface consideree plane

On considere une surface à une echelle suffisamment petite pour la considerer plane (gure 1.7). Onva y plaquer un volume qui va lentourer (cylindre avec un c ote au-dessus et en-dessous, avec lesfaces paralleles à la surface : il faut donc quil soit suffisamment petit). D peut etre considere commeconstant sur la surface.

On va exploiter la formule div D = : le ux sortant est egale ` a la charge dedans.

S

D dS = S D1n21 + D2n12 + couronne e 0 0

= Q

Si on fait tendre lepaisseur e vers 0, le ux par la couronne va tendre vers 0.

De plus lime0

Q = pS avec p densite surfacique de charge.Dou :

DN 1 D N 2 n21 = p

On na pas zero car il y a une densite de charge surfacique.

La composante normale de D est discontinue à cause de lexistence dune densite de charges surfaciquenotee p.

De la meme fa con, nous avons div B = 0 donc la composante normale de B est continue :BN 1 BN 2 = 0

1.4.2 Relations liees au rotationnel

AA

B B

1

2avec AB = AB = e.

Fig. 1.8 Relations liees au rotationnel

CE d = S Bt dS 17


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lime0 CE d = E 1AA + E 2BB AA E 1 E 2

Et comme il nexiste pas de composante surfacique de Bt :

lime0 S

Bt

dS = 0

Donc :E 1 E 2 AA = 0

Ce qui exprime la continuite de la composante tangentielle de E :E T 1 E T 2 = 0

De meme pour H avec rot H = J + Dt . En effet il nexiste pas de densite surfacique de Dt , mais ilpeut exister une densite de courant surfacique J S : lime0 J = J S .Donc :

H 1 H 2 AA = J S AASoit apres calculs :

H T 1 H T 2 = J S n21

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Chapitre 2

Electromagnetisme statique

2.1 Les equations de lelectrostatique

rot E = Bt rot E = 0div D =

Ces equations peuvent trouver une formulation plus aisee, en introduisant un potentiel scalaire V . Onsait que rot( grad) = 0 , or rot E = 0 donc il est possible (et on le verie a posteriori) quil existeun potentiel scalaire V tel que :

E = grad( V )

Attention : grad( V + cste) = grad( V ), si bien que V nest deni qua une constante pres .

Dans les milieux lineaires : D = E .

div D = div E = div grad V

V =

On obtient :

V +

= 0 Equation de Poisson

Calcul du champ electrostatique cree par une charge isolee

Lequation de Maxwell-Gauss donne :

div D = S = V

D dS = V

dV

QSymetrie spherique : |D | est constante, et D est parallele `a n donc :

S = V D dS = 4 r2D

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20/57

On peut encore dire que :

D = Q4r 2 n , E =

14

Qr 2 n Loi de coulomb

Il est ensuite facile de trouver le potentiel qui correspond ` a ce champ :

V =1

4 Qr

La loi de Coulomb donne E uniquement dans un milieu lineaire. Sinon ce qui est important cest ledeplacement electrique D et non le champ electrique E .Loi de Coulomb : generalisation

Une charge ponctuelle nexiste pas physiquement. Mais pour trouver le champ electrique cree par unedensite de charges non homogenes, il suffit dajouter ...

E = 14

Qr 2 n

dE = 14

dV r 2 n

On fait la somme de tous les elements de charge produits par les dV

Dou : E (M ) = 14 M V M

nM M |MM |2

dV M =1

4 M V M M M

|MM |3 dV M

On a alors le potentiel :V M =

14 M V

M

|MM |dV M

Potentiel cree par un dip ole electrostatique

-Q +Q

M2 M1

a

x

y

Fig. 2.1 Dipole electrostatique

On sinteresse au champ cree par ce dip ole (gure 2.1) en un point M . Le potentiel en M est :

V M = V M 1 + V M 2 avec V M i =1

4 Q

|MM i |Soit :

V M = 14 Q

|M 1M | Q

|M 2M |20


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|M 1M | = r a2

= r a2 r a2 = |r |2 + |a |24 a r r 2

1

|MM 1| =1

|r |2 + |a |24 a r

1r 1

12 1 +

14 |

a

|2

r 2 a

r

r 2

1

|MM 1| 1

|MM 2|=

1r

a rr 2

V M =Q

4 arr 3

=1

4 prr 3

V M =1

4| p|cos()

r 2

p = Qa est le moment dipolaire.Il est interessant de remarquer que le potentiel genere par un dip ole decrot en 1r 2 .

2.1.1 Les conducteurs

Dans un conducteur lineaire, la relation qui relie J a E est la loi dOhm J = E , avec potentiel-lement grand 1.Donc pour un conducteur en equilibre on a J = 0 dou :

E =0 D =

0

Dans le cas des conducteurs parfaits ( = + ), J est ni dou :E = 0 D = 0

Donc que le conducteur parfait soit en equilibre ou pas, dans les faits le champ electrique est nul ` alinterieur.

Champ (E,D) ` a la surface dun conducteur (a lequilibre)

Le champ a linterieur du conducteur est nul. Donc le champ ` a la surface est normal `a la surface. Eneffet, il y a continuite de E T donc la composante tangentielle est nulle. Ensuite :

D 2

a lexterieur D1

a linterieur= n12 D2 = n12

Repartition des charges dans un conducteur :

D = 0 div D = 0 = 0Donc un conducteur charge ne contient des charges qu` a sa surface.

1 pour un conducteur parfait, on considere que est inni

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condensateur

lignes dechamp

Fig. 2.4 Condensateur plan

Q

V

plan desymtrie

Fig. 2.5 Methode des images

Mais on peut resumer le probleme en pla cant une charge Q symetriquement par rapport ` a la surfacedu conducteur. En effet on constate que les conditions aux limites sont les memes (potentiel nul surle plan), et les equations les memes (celles de lelectrostatique), donc cest le meme probleme dans ledemi-plan gauche (unicite de la solution ` a lequation de Poisson).

En appliquant les lois de transition dun milieu 1 vers un milieu 2, on peut montrer que le champ E est orthognal au conducteur plan.

Le potentiel total est V (M ) = V 1(M ) + V 2(M ) ou V 1 et V 2 sont les potentiels crees respectivementpar Q et Q.Cette methode sapplique quand des conducteurs (plans) sont en presence. Elle consiste ` a imaginerun probleme plus simple presentant la meme solution dans la partie de lespace qui nous interesse,cest-a-dire les memes conditions aux limites.

La methode de relaxation

Concerne specialement les problemes qui peuvent etre reduits ` a deux dimensions. Elle permet dedeterminer le potentiel V dans un espace entoure de conducteurs ` a lequilibre.

On peut penser que cest assez restrictif, mais en fait pas du tout. Cela signie simplement que si lonconnait le potentiel dans un domaine, on peut considerer quil y a un conducteur ` a cet endroit portea ce potentiel. Ainsi tous les problemes pour lesquels on connait le potentiel sur un volume ferme sontsolvables par cette methode.

Lidee est de montrer que le potentiel en un point est la moyenne de ses voisins quand = 0 (gure2.6).

Fig. 2.6 Point entoure de potentiels connus

On peut toujours ecrire :

V i = V 0+( x ix0)V x

+( yiy0)V y

+12 (x i x0)

2 2V x 2

+ ( yi y0)2 2V y 2

+ 2( x i x0)(yi y0) 2V

x yPour |x x0| = |y y0| = a, on a V 1 + V 2 + V 3 + V 4 = 4 V 0 + a2 V V = 0

+ .

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Jusque l a, on na applique aucune formule particuliere de lelectrostatique : notre V peut etre nimportequoi. Mais apres avoir fait V = 0, cette equation est encore valable ` a lordre 3. Donc avec une tresbonne approximation, on peut ecrire :

V 0 =14(V 1 + V 2 + V 3 + V 4)

Ce quon vient de montrer l`a, cest la signication intuitive de V = 0. Cela permet un calcul iteratif de V , car on peut montrer la relation de recurrence quadruple suivante :

V n +1 =14

(V n1 + V n

2 + V n

3 + V n

4 )

2.1.3 Notion de capacite et denergie electrostatique

La capacite est la grandeur qui relie les charges electriques presentes sur les surfaces de conducteursen inuence a la difference de potentiel entre leur surface :

V =QC

(Q est la charge comprise dans deux elements correspondants, et on la choisit de maniere ` a avoir lacapacite C positive).

Exemple pour un condensateur plan

Plaques paralleles innies (gure 2.7).

Fig. 2.7 Condensateur plan

Quand les plans ne sont pas nis, si lepaisseur a est assez faible les lignes de champs qui ne vont pasdune armature sur lautre sont negligeables, donc les armatures sont considerees comme des elementscorrespondants.

On a :

V = E d = d =

QS

d

On retrouve donc :

C = S d Capacite plaques paralleles

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Energie electrostatique

Lorsque deux conducteurs charges sont en presence lun de lautre, ils developpent des charges ` a leursurface et donc creent un champ electrique. Qui dit charges et champs dit force entre ces conducteurs,ce qui laisse supposer lexistence dune energie electrostatique emmagasinee par le systeme.

Le calcul de cette energie se fait en integrant la puissance necessaire pour amener le systeme dans sonetat `a partir dunetat o` u les interactions entre les conducteurs sont nulles. Il y a deux cas envisageables :

on ramene les conducteurs depuis linni : on a alors besoin dune puissance mecanique, on charge les conducteurs petit ` a petit : on a besoin dune puissance electrique.

Exemple dans le cas dun condensateur plan

Condensateur de capacite C charge sous une tension U .Systeme sans interaction : ( Q = 0, U = 0).Pour passer de ( U = 0, Q = 0) a (U = 0, Q = C U ) il faut apporter lenergie :

W = Q0 dW = Q0 P dt = Q0 U I dt

dQ

= Q0 U dQ = Q0 QC dQ = 12Q2C = 12QU A quoi ca sert ? Il suffirait de connaitre les potentiels, non ? Des quon fait bouger les conducteurs,les distributions de charges changent, et on est oblige de refaire tous les calculs de forces. Le conceptdenergie electrostatique est donc utile pour calculer les forces entre conducteurs.

Exemple : quelle est la force entre les armatures dun condensateur de capacite C charge sous unetension U ? Bien sur, on sinteresse `a la direction perpendiculaire aux armatures.

F =W d

U cst=12U

Qd

=12U

(C U )d

U cst=12U

2C d

=12

U 2S 1dd

F = 12U

2S 1d2

(d est toujours la distance interarmatures, U est constante car le condensateur est charge avec unetension U ).

Autre exemple si le condensateur est charge par la charge Q. Ici cest la charge qui sera constante,donc on ne trouvera pas le meme resultat que dans lexemple precedent o` u cetait la tension aux bornesdu condensateur qui etait constante.

F =W d

=12Q

U d

=12Q

2 1C d

=12

Q2

S

2.1.4 Application : electromagnetisme atmospherique

Le champ electrique vertical moyen par beau temps est de 100 V/m. Mais le corps humain est beaucoupplus conducteur que lair, et donc on deforme les lignes de champ (on court-circuite le champ). Maissi on a des semelles tres epaisses, elles peuvent etre moins conductrices que lair, donc on est ` a unpotentiel de 200 V, et si on touche quelque chose on se prend une decharge . . .

On a donc sur latmosphere (50 km) une ddp de 400 kV, ce qui correspond ` a un courant vertical

permanent de 10 A/m 2. Cela represente sur la surface de la Terre un courant de 1 800 A et unepuissance de 700 MW. Mais ce condensateur peut claquer : eclairs.

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2.2 La magnetostatique

La magnetostatique est le regime o` u les champs et induction magnetiques ne dependent pas du temps(lelectrostatique etait le regime o` u la position des charges etait independante du temps).

Les equations de la magnetostatiques sont :

div B = 0rot H = J + Dt rot H = J

B , H et J sont independants du temps.La seconde equation donne encore :

div rot H = div J donc div J = 0Ainsi J est un champ a ux conservatif. Par analogie avec B on en deduit que :

Les lignes de courant se referment toujours, On a la notion de tube courant : cest un volume ferme entoure par les lignes de courant ; le ux

a travers sa surface est nul. Dans les circuits cest le l, et on a obligation quil se referme. Casparticulier : si on une source de courant seule, la ligne de courant qui part droit vers linni nese referme pas ; mais puisque lon fait une integrale, il ny en a quune donc sa contribution estnulle.

Le theoreme dAmpere donne :

rot H = J C=d S H d = S J dS I Approximation dans le cas des circuits :

C=d S H

d = I

Analogie

Tout ce quon vient de faire est aussi bien valable pour J et pour B , puisquils verient la memeequation div X = 0B est donc aussi a ux conservatif, les lignes de champ se referment aussi. On a donc la meme notionde tube de champs magnetique. Mais on utilise rarement les tubes de champ magnetique.

Autre consequence de div B = 0 : la notion de charge magnetique (isolee) nexiste pas.Notion delement de courant

Il est facile de denir une charge elementaire. La notion delement de courant en revanche est plusdelicate : cest une portion innitesimale dun tube de courant.

On prend une portion de tube de courant. Sur une longueur suffisamment faible, les lignes de courantpeuvent etre considerees paralleles (gure 2.8).

Comment noter mathematiquement un element de courant ? On peut le noter J dV , ou J est ladensite de courant supposee constante sur le volume innitesimal d V , et dV une differentielle devolume (trois integrales ` a faire).

Autre fa con de le noter : J dV = J dS d = d I d ou dI est une differentielle de surface, et d unedifferentielle de longueur.Un element de courant se note donc J dV = d I d . On note parfois par abus (non homogene) I d .

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JdS

dl

Fig. 2.8 Portion de tube de champ

Force sur un element de courant

On ne peut pas denir une grandeur physiquement si on ne peut pas la mesurer. Le champ electriqueest mesurable par lintermediaire des forces et des charges.

De meme, pour le champ magnetique, si on peut mesurer le courant et la force magnetique, on peutmesurer le champ :

F = qv BCette formule est la denition du champ magnetique.

Force dF produite sur un element de courant :dF = d( qv ) B dF = J dV B = I d B

Potentiel magnetique

Rappel : rot E = Bt = 0 E = grad V car rot grad = 0 .Comme div B = 0 et div rot = 0 , il est possible que B soit un rotationnel : il existe un champ Atel que B = rot A .A est le potentiel vecteur magnetique. Il faut savoir quil existe un potentiel scalaire magnetique, maisson utilisation nest pas evidente du tout, on nen parlera pas ici.Pour tout f champ scalaire : rot( A + grad f ) = rot A + rot( grad( f ))

= 0= rot A

Donc A nest deni quau gradient dun champ scalaire quelconque pres.En electrostatique, la denition complete de V passe par la denition dune reference de potentiel. Enmagnetostatique, la denition complete de A necessite le choix dune jauge. On peut montrer quunchamp de vecteurs peut se denir completement par son rotationnel et sa divergence. Choisir une jauge, cest simplement choisir la valeur de div A de maniere arbitraire (mais neanmoins intelligente).Cherchons a simplier les equations :

rot H = J rot B = J rot rot A = J grad div A A = J

Si on arrivait a simplier ces expressions, on arriverait ` a une equation connue : lequation de Poisson.

En effet si div A = 0 alors on aurait A + J = 0 , avec des solutions analogues :

A (M ) = 4 M V J M dV M |MM |

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div A = 0 Jauge de Coulomb

Si les dimensions des conducteurs qui portent les densites de courant J sont faibles devant les dimen-sions auxquelles on sinteresse, il peut etre difficile (voire inutile) devaluer J dV M . On lui prefereraI M d M : A (M ) =

4 M L I M |MM | d M On en tire une loi sur B :

B (M ) = rot M A (M ) = 4 M V

rot M J M |MM |

dV M

Rappel : rot( ba ) = b

rota

a grad b.

Remarque : rot M (J M ) = 0 car M est une variable muette donc J M est constant vu de M .Ainsi :

B (M ) = 4

M V

J MM |MM |3

dV M =

4 M L

I dMM

|MM |3Loi de Biot et Savart

Circuits magnetiques

c.f. Diaporama .

Avec le ferromagnetisme, on a des domaines entiers qui sorientent, et non plus les atomes un par uncomme avec le paramagnetisme. Donc le champ est beaucoup plus fort, mais au prix dun hysteresis,a cause de la difficulte `a retourner les domaines. Quand H augmente, on tend asymptotiquement versB = 0H .Les materiaux ` a forte permittivite r guident le ux magnetique. En effet il y a continuite de lacomposante normale de B (donc la composante normale de H est negligeable dans lair du fait quer 0), et de la composante tangentielle de H , donc H a tendance a etre parallele ` a la surface dumateriau.

Ils attirent egalement les lignes de champ. Cela provient de laugmentation locale du champ magnetiqueH . . .Champ magnetique induit par une boucle de courant

Le calcul complet est relativement lourd (voire possible uniquement numeriquement). Nous feronsdonc des hypotheses simplicatrices : nous ne nous interesseronts pas au champ au voisinage de laboucle.

A = 4 I d M |MM |

A (M ) = 4

2

=0

I

|MM |R

rayon dela boucle d

e

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https://ntnoe.metz.supelec.fr/Eleves/PROPAG/Cours/diapos/082-CircuitsMagnetiques.ppthttps://ntnoe.metz.supelec.fr/Eleves/PROPAG/Cours/diapos/082-CircuitsMagnetiques.ppthttps://ntnoe.metz.supelec.fr/Eleves/PROPAG/Cours/diapos/082-CircuitsMagnetiques.ppt


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M

M

Fig. 2.9 Repere utilise

Il reste a calculer 1|MM | :

MM =

r 2 + R2 + 2 r Rcos( )sin

r 2

avec M (r,, ) et M R,2

,

Si R r on obtient en negligeant R2

2r 3 devant1r :

1

|MM |=

1r

.1

1 + 1r 1

2

=r + Rcos( )sin

r 2

Dou nalement :

A (M ) = 4 2=0 I r + Rcos( )sin r 2 Rd cos( )e

e

A = 4

I R2

r 2 sin e

Calculons maintenant B :B = rot AB = I R2

4

1

r 3

sin

cos

sin( )B = I R2

4 3 cos2 22cos B =

2sin( )

3 cos(2 2 )B =

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Chapitre 3

Electromagnetisme dynamique

Ou electrodynamique.

3.1 Approximation des Regimes Quasi-Stationnaires

Les equations de Maxwell sont difficilement solvables telles quelles (bien quil existe aujourdhui deslogiciels dedies : FDTD (Finite Difference Time Domain)).

On procede souvent par approximation. Lune des approximations les plus courantes concerne le cou-rant de deplacement .

Rappel : on a rot H = J courant deconduction

+ Dt

courant dedeplacementLa somme de J et de Dt na de sens que si ces valeurs sont comparables. Si lune des deux estnegligeable, la somme est inutile.Le plus souvent, lun des deux courants est negligeable (par rapport ` a lautre). Par exemple, si on sesitue dans le vide (ou bien dans un materiau isolant, ou mauvais conducteur), on na pas de courantde conduction. On va alors avoir :

J Dt

Alors que pour un bon conducteur, on aura potentiellement le contraire :

J Dt

Ou se situe la limite ?

Pour la xer, placons nous dans le cas de milieux conducteurs lineaires obeissant ` a la loi dOhm. Dansce cas :

J = E et D = E Ainsi que dans le cas dun regime lineaire harmonique :

E = E 0e j (tk r )

J = E et Dt = E t = E

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Ainsi on peut negliger le courant de conduction si , et on peut negliger le courant deplacementsi Conclusion :

si : conduction negligeable, bon isolant, equations analogues ` a celles du vide, si : bon conducteur (ARQS), si : il faut prendre en compte les deux courants.

Attention : Les notions de bons conducteurs et bons isolants dependent de la frequence : un mememateriau peut etre bon conducteur ` a basse frequence, et bon isolant ` a haute frequence. Par exemplele cuivre a temperature ambiante devient isolant ` a partir de 10 16 Hz, leau de mer a partir de 10 7 Hz.

Consequences directes

Dans le regime ARQS :

rot E = Btdiv D = ,

div B = 0rot H = J Equations de la magnetostatique

Sont donc conservees les equations div B = 0 B = rot A (existence de A ),et rot H = J div J = 0.La notion de tube de courant, et de ux conservatif de J (dou les lois de Kirchoff : i = 0), sontegalement conservees.

Finalement, quest-ce qui nest pas conserve ? Toute la magnetostatique est conservee, en revanchetoute lelectrostatique nest pas conservee :

div D = : inchangee rot E = Bt donc rot E = 0 : E nest plus un champ de gradient. V existe-t-il encore sachant que E nest plus un champ de gradient ?

On peut poser E = grad V At avec B = rot A .Loi de Faraday

= S E d = ddt S B dS Cest different de :

= S E d = S Bt

dS

La deuxieme equation est une equation de Maxwell ecrite sous forme integrale. La premiere est unederivee totale : on peut faire varier ; E doit etre dans le repere associe ` a .Preambule a la demonstration relativite du champ electrique.Les equations de Maxwell sont valables dans tout repere Galileen ` a condition de ne pas en changer.

Toutes les derivations spatiales sont faites dans le meme repere. Mais que se passe-t-il si on veutchanger de repere Galileen ?

Comment evaluer rot E R0

et rot E R

si v(R/ R0) = v ?Suffit-il de faire un changement de variable, et de deriver en tenant compte du changement de variable?

En fait si on fait cela, on va voir quon nobtient pas les memesequations de Maxwell. Notre changementde repere dit galileen (ou classique : transformation de Galilee ) nest donc pas bon.

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Pour changer de repere, il existe une methode infaillible. En effet, une seule chose est conserveeindependemment du repere, ce sont les forces.

Prenons un cas simple Dans R0 il regne des champs E 0 et B0 uniformes. On va supposer que Qest une particule chargee immobile. Elle subit une force QE 0.Dans

Rtel que v(

R/

R0) = v, il regne des champs E et B uniformes. La force appliquee `a Q est

toujours F Q/ R= QE 0.Noublions pas que vQ/ R= v donc par ailleurs :

F Q/ R = QE + Q(v ) B dou E 0 = E v BOn a en fait fait de la relativite restreinte sans sen rendre compte. Par changement de repere galileen,le champ magnetique se transforme en champ electrique.

Revenons a notre loi de Faraday : si le contour se deplace avec une vitesse non nulle dans un champmagnetique non nul, on a un terme en plus ` a prendre en compte (le champ electrique E est a prendredans le repere lie `a ).

3.2 Maxwell in-extenso : les phenomenes propagatifs

Dans les equations de Maxwell, on a un double couplage : E depend de Bt et dun autre cote, Bdepend de E t . Il y a donc possibilite dengendrer des oscillations, ce qui sappelle la propagation .Lorsque lon considere le terme de courant de deplacement dans lequation de Maxwell-Ampere, onintroduit un couplage reciproque entre E et B qui permet la generation doscillations entretenues.

rot E =

Bt

div B = 0div D = rot H = J + Dt

+ E = grad V AtB = rot A

Ce sont les equations completes. Dej` a, pour simplier, on va devoir se placer dans des milieux sympa-thiques. On entend ici des milieux :

lineaires : on peut ecrire D = E et B = H , homogenes : et ne dependent pas de lespace, isotropes : et sont des reels (ils auraient pu etre des tenseurs).

On part de lequation de Maxwell-Faraday et on prend son rotationnel :

rot E = Bt

rot( rot E )

grad div E E =

t

rot B

Soit encore :grad div E

D E =

t

rot H

rot H = J + Dtavec div D =

E 2E t 2 = 1 grad + J t Equation de propagation dans le cas general

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En milieu homogene, est homogene : grad = 0 . En milieu lineaire : J = E .Dans ce cas :

E 2E t 2

termes de propagation=

E t

termedattenuationLe terme dattenuation est due ` a la dissipation du courant (terme relatif ` a lenergie).

Si on effectue une propagation en milieu dielectrique (isolant : = 0) :

E 2E t 2

= 0 Equation de propagation en milieu isolant

3.2.1 Propagation du champ magnetique

rot rot H grad div H H

= rot J + t

rot D E

avec rot E = Bt

H 2H t 2

= rot J Equation de propagation du champ magnetique

Dans un milieu lineaire conducteur : J = E et rot E = Bt donc

H 2H t 2

= H t

Cest la meme equation que pour E .Maintenant, quen est-il des potentiels ? On les a denis completement dans les cas particuliers deschapitres precedents, mais maintenant quon sinteresse aux equations de Maxwell dans le cas general,il va falloir les redenir, autrement dit trouver une jauge.

3.2.2 Choix dune jauge

Rappel : A est deni `a un gradient pres. Donc passer de A a A = A + grad f ne change pas leprobleme physique.

Or E = grad V At

et At

= At

+ grad f t

Ainsi E = grad V At

= grad V At

= grad V At grad

f t

On fait la simplication, et on obtient :

grad V = grad V grad f t34


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Mais on pourrait aussi ecrire, en utilisant un theoreme type Stokes, que :

P = V

div S P dV

Donc :

limV 0 P V

P Ddensite depuissance e.m.= limV 0 1V V div S P dV

Avec :

P D = div S P = div E H = H rot E E rot H

Maxwell-Ampere

P D = H Bt

+ E J + E Dt

Densite de puissance e.m.

3.2.5 Vitesse de propagation des ondes e.m.

Dans le vide, E 00 2E t 2 = 0. Si on ecrit 00c

2

= 1, alors c 3108

m/s

E 1c2

2E t 2

= 0 Equation de propagation dans le vide

Pour un probleme monodimensionnel :

2E x 2

1c2

2E t 2

= 0

Si on cherche une solution de la forme f t + xc . On aura alors une onde qui se propage ` a la vitessec/ . Il vient :c

2

1c2

= 0 2 = 1

Donc E (x, t ) = f 1 t + xc + f 2 t xc ou c est la vitesse de propagation des ondes e.m.Dans le cas particulier des ondes e.m. sinuso dales a la pulsation , on peut simplier :

X (x, t ) = X

cos

t

c

k x

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Lerreur a ne pas faire est de dire quon se place loin du dipole, et qualors les temps de propagationvers lune ou vers lautre des charges est le meme. Cela reviendrait ` a faire de lelectrostatique. Ici cenest pas le cas, il faut tenir compte des differences.

On peut a la suite de ces calculs, tracer le diagramme de rayonnement. On cherche pour cela quelleest la composante radiale du vecteur de Poynting (sur une sphere), et on affiche en 3D. On constatealors une emission completement isotrope.

En faisant le meme calcul, on peut prendre deux dip oles, on peut passer de lun `a lautre par lapropagation dun onde plane vue en cours, et en faisant la somme des deux champs, on fabriqueune antenne rateau elementaire. Le diagramme de rayonnement montre une certaine directivite danslemission, qui varie avec la distance entre les deux dip oles.

Un dip ole cest une antenne elementaire.

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Transversalite du champ electrique

div D = 0 div E = 0 en milieu isotropeSi lon suppose k parallele `a x , alors E z =

E y = 0. Ainsi comme div E = 0 on a aussi E x = 0. Par

suite j kE x = 0 soit :E x = 0 Transversalite du champ electrique

Sans perte de generalite, on peut dire que k // x et E // y

Transversalite du champ magnetique

rot E = Bt

H xt

=E zy

E yz

H yt = E xz E zx

H zt

=E yx

E xy

j

H x = 0

j H y = 0 j H z = j kE y

Donc k, E et H forment un triedre direct.Donc aussi :

E yH z

=k

= u =

= = Cest limpedance du milieu.Dans le vide, nous avons 0 = 00 377 Ohms. 0 peut aussi sexprimer de facon exacte car0 = 4 107, 00c2 = 1 et c est deni de maniere exacte.Nous nous sommes places dans un repere cartesien particulier sans perte de generalite : nous pouvonsdonc generaliser les formules trouvees :

E k = 0H k = 0transversalite des champs

H = 1

k E E = 1

H k

Considerations energetiques

Quelle est lenergie portee par une OPS e.m. ?

S = E H = |E |2

cos2(t kr ) = |H |2 cos2( )

Donc :

S =12 e E H =

12 |

E |2

=12|H |2

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4.3 Ondes planes e.m. en milieu conducteur

Rappel Avec = 0 :

X 1

u2 2X t 2

= X t

En regime harmonique :

X j 22

u2 X = j X X j ( + )X = 0

De la meme fa con, on montre que E k = 0 et H k = 0.La question qui reste : que vaut k ?

En regime harmonique :

k2X j ( + j ) X = 0 k2 = 2 j

Quand = 0, on a k2 = 2 =2

u2

Quand = 0, cette fois on peut ecrire k = j de telle sorte queXe j (tkx ) = Xe j (t( j )x) = X e j (tx )

propagation ex

attenuationLe et le peuvent avoir une signication physique.

Pour 1 (ARQS), on trouve : 2 = 2 =

2

Consequences arg(k) = 4 donc le dephasage entre E et H est de 4 (dans les milieux lineaires ils etaient en

phase). On peut denir une epaisseur de peau = 2 . Lepaisseur de peau est la profondeur depenetration des ondes e.m. ` a la pulsation dans un milieu de conductivite . Cest aussi lepais-

seur sur laquelle se passent tous les phenomenes e.m.

On a beau avoir des c ables tres gros, la conduction ne se fait que sur la peripherie du c able (sur la

surface). Ce qui explique que les cables des lignes de haute tension sont creux!

Exemples depaisseur de peau.

Frequence Cuivre Eau de mer50 Hz 1 cm 30 m5 kHz 1 mm 3 m

50 MHz 10 m 3 cm5 GHz 1 m

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4.4 Notion de polarisation

Formalisme de Jones pour la polarisation

Tout etat de polarisation peut etre decrit par deux ondes planes polarisees lineairement, et par ladonnee de leur dephasage. On peut donc denir la polarisation ` a laide de deux nombres complexes,representant chacun lamplitude et la phase de chaque composante.

Cette base (de deux ondes planes rectilignes) est UNE base de lespace de polarisation, mais il enexiste dautres, par exemple une base formee de deux ondes circulaires non identiques.

Pour formuler la representation de Jones, il faut :

choisir une base de lespace de polarisation ( C 2); exemple : 10 represente la polarisation

rectiligne horizontale, 01 represente la polarisation verticale. Ces vecteurs pourraient aussi

representer les polarisations circulaires droite et gauche etc, Exprimer letat de polarisation dans cette base.

Quelques exemples (dans la base de polarisation rectilignes).

OPS e.m. polarisee rectilignement damplitude E : V = E 0 OPS polarisee circulairement damplitude E : V = E 2

1i .

Le vecteur de Jones contient les infos de polarisation mais aussi les infos damplitude. Si V est leveteur de Jones :

S =1V V ou est limpedance.

Alors ca, cest bien et cest pas bien. Ca donne deux informations : cest mieux, mais ca compliqueles calculs. Cest pourquoi on travaillera avec la normalisation du vecteur de Jones qui permet de negarder que les infos de polarisation.

On peut par exemple avoir ` a trouver la matrice de Jones dune lame quart-donde ( c.f. annales).

Operations sur les polarisations Le polariseur : il a la propriete de ne laisser quune seule pola-risation rectiligne passer :

V = 10 V =10 ,

V = 01 V =00

La matrice de passage est :

M p =1 00 0

4.5 Transmission dune OPS e.m. a une interface

Il y a deux aspects : les lois de Descartes decrivent laspect geometrique : comment londe est-elle transmise ou reechie

en terme de direction? Ces lois sont admises ici, elles ne sont pas du tout triviales ` a demontrer.Elles se comprennent `a laide du principe de Huygens. Avec le schema et notations habituels,

nous avons :k1 sin 1 = k2 sin 2 donc n1 sin 1 = n2 sin 2

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y

z

x

EH

k1

k2

Fig. 4.1 Polarisation perpendiculaire ` a une interface

laspect energetique. Pour une polarisation perpendiculaire au plan dincidence, nous avons leschema de la gure 4.1.Dans un repere lie ` a londe, on a :

E = Ee j kr , 0, 0 et H = 0, E

e j kr , 0

1. Exprimer chacun des champs dans le repere general,

2. z = 0 et application de la continuite de E // et H // , E i(z=0) + E r (z=0) = E t (z=0) ,

3. en deduire les coefficients de transmission et de reexion.

Onde incidente :E i = E e j (ki z cos i + ki y sin i ) , 0, 0

H i = E

0e j (ki z cos i + ki y sin i )

cos i

e j (ki z cos i + ki y sin i )sin iOnde reechie :

E r = E r e j (ki z cos r + ki y sin r ) , 0, 0

H r = E r 0

e j (ki z cos r + ki y sin r )cos re j (ki z cos r + ki y sin r )sin r

Onde transmiseE t = E

t

e j (kt z cos t + kt y sin t ) , 0, 0

H t = E t 0

e j (kt z cos t + kt y sin t )cos te j (kt z cos t + kt y sin t )sin t

Posons z = 0 et examinons les composantes tangentielles.

(E i + E r )x = E t x(H i + H r )y = H t y

r =n2cos i n1cos tn2cos i + n1cos t

t =2n2cos i

n2

cos i

+ n1

cos t

Remarques : reexion sur un conducteur parfait : r = 1 et t = 0.

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Chapitre 5

Faisceaux gaussiens

Jusqu a present on a suppose que la propagation se faisait par ondes planes, et on a regarde quellesetaient leurs proprietes. L` a on va faire la meme chose avec les faisceaux gaussiens.

5.1 Generalites ApproximationsLes ondes e.m. peuvent se propager de fa cons extremement variees. Les faisceaux gaussiens sont unmode de propagation plus general que les ondes planes. Ces dernieres sont en fait un cas limite desfaisceaux gaussiens.

Nous rappelons lequation donde (on pourrait raisonner de maniere analogue avec H ) : E

1u2

2E t 2

= 0

Hypotheses Nous nous pla cons en regime sinuso dal temporel .

E + 2u2 E = 0 E + k

2E = 0On va se baser sur lecriture en onde plane pour souligner justement la difference entre une onde dunfaisceau gaussien et une onde plane. Ainsi, la propagation de type onde plane serait :

E (t) = E 0 e j kr = E 0 e jk x z pour k //z

Nous allons chercher la difference (le rapport) entre une onde plane et un faisceau gaussien.

E = u(x,y,z )

enveloppede londe e

jkz

En introduisant cela dans lequation donde, cela donne :

e jkz u 2 jkuz

= 0 donc u 2 jkuz

= 0

La seule approximation que nous ferons pour obtenir des faisceaux gaussiens est l approximation de lenveloppe lentement variable : on va supposer que les variations de lenveloppe dans le senslongitudinal sont negligeables devant les variations transversales :

u u = 2u

x 2+

2uy 2

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Cela rejoint lapproximation paraxiale en optique (cela a un peu le meme genre de consequences).

Lequation donde `a resoudre devient donc :

u 2 j kuz

= 0

5.2 Hypothese de separation des variablesNous supposerons (et on peut le montrer) la solution de la forme suivante :

u(x,y,z ) = g(x, z )h(y, z )exp j P (z) +k

2q(z) (x2 + y2)

Avec :

g(x, z ) = Hmx2W (z)

h(y, z ) = Hny2

W (z)

Les fonctions P (z), q(z), et W (z) sont a determiner, et Hn est un polynome dHermitte dordre n .Cest un polyn ome qui verie lequation differentielle y 2xy + 2 ny = 0. Les premieres solutionssont : n = 0 H 0 = 1 n = 1 H 1 = 2 x n = 2 H 2 = 4 x2 2

Attention La separation des variables entre x et y est arbitraire : on aurait pu utiliser r et etobtenir alors dautres modes de propagation.

Pour commencer, nous etudierons le mode le plus simple : n = m = 0, donc g = h = 1. Ainsi :

u = exp j P (z) +k

2q(z).(x2 + y2)

Lequation de propagation devient alors :

(x ,y,z ) k

(x2 + y2)

q (z)

1

0= 2 q(z)

q(z)

P (z) + j

0La seule maniere que ce soit vrai pour tous ( x ,y,z ) est que les deux membres soient nuls. Cela donnedeux equations :

q (z) 1 = 0q(z)P (z) + j = 0

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5.3 Consequences de q (z) 1 = 0Dej a, q (z) = 1 donne q(z) = q0+ z. Il faut maintenant linterpreter. Remarquons que q(z) est complexe,on peut donc le decomposer en :

1

q(z)=

1

R(z) j

W 2(z)

Decomposition de q(z)

avec R et W des fonctions reelles `a determiner. Regardons quelle est la signication physique de cesfonctions.

La partie de u qui ne depend que de q est :

uq = exp jk

2q(z)(x2 + y2)

= exp jkr 2

21

R(z)

terme dephase

jW 2(z)

amplitudeOn reconnait R : le rayon de courbure du front donde en z, et W : rayon de lenveloppe convexe.

Si on fait une coupe transversale ` a z, lintensite de londe est gaussienne (maximale sur laxe, et delargeur caracteristique W ).

Pour determiner q(0), il suffit de remarquer que les equations de Maxwell sont invariantes par inversiondu temps et de lespace (principe du retour inverse).

Cela signie quun faisceau se propageant suivant z possede un plan de symetrie, que lon pose etrez = 0.

en z = 0, W (z) = W 0 que vaut R ? Les rayons de courbure sont opposes de part et dautre du point de symetrie :

R(z) = R(z). Finalement, on a un rayon de courbure nul ou inni en z = 0, mais dire quunrayon de courbure est nul na aucun sens, donc R = (un rayon de courbure de + ou ,cest la meme chose).

Conclusion z = 0 W = W 0R = front donde planOn en deduit :

q(0) = jW 20

Puis comme q(z) = q0 + z, alors en identiant parties reelles et imaginaires :

W (z) = W 20 + 2z22W 20Quand z , nous avons W (z)

zW 0

.

R(z) = z +2W 40

2z

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theta

Fig. 5.1 Faisceau gaussien

Pour z petit on obtient un front donde plan. Pour z grand le rayon de courbure est egal ` a z : on aune onde spherique (gure 5.1).

=

W 0Angle de diffraction (gure 5.1)

Macroscopiquement, on peut mesurer langle de diffraction, et apres on peut en deduire la taille ducol W 0. Plus un faisceau est etroit, plus il diffracte. On voit lanalogie avec les ondes planes. Une ondeplane est un faisceau gaussien de diametre grand et donc dangle de diffraction petit.

Ou se trouve la limite?R(z) = z +

2W 402z

= z 1 + 2W 40z22

Il en resulte :

z W 20

LRLR : longeur de Rayleigh ou Fresnel

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Chapitre 6

Optique matricielle

On nen fera quun survol.

6.1 Loptique geometrique

Un montage classique doptique geometrique est represente gure 6.1.

onde plane onde sphrique

Fig. 6.1 Montage doptique geometrique

Or on a montre que le vecteur donde est quasiment toujours orthogonal au plan donde. Un ensemblede rayons paralleles modelise une onde plane. Suite ` a un passage a travers une lentille, on devie lesrayons. Le front donde (orthogonal au vecteur donde) est alors spherique.

A lentree de la lentille on a une onde plane dextension transversale limitee, donc ce ne peut etrequun faisceau gaussien a linterieur de sa zone de Rayleigh. De lautre c ote on a deux droites qui secroisent, ce qui ressemble de loin `a un faisceau gaussien. Loptique geometrique consiste donc ` a ne pasregarder ce qui se passe au foyer. En effet on ne peut pas concentrer de la lumiere dans une zone pluspetite que la longueur donde, donc toute lenergie ne peut pas etre concentree au foyer.

Optique geometrique Cest letude de la propagation des ondes e.m. ` a linterieur de leur zone deRayleigh (ondes planes), et loin de leur zone de Rayleigh (ondes spheriques).

6.2 Optique geometrique matricielle

Dans le cadre de lapproximation paraxiale : Lois de Descartes : n1sin 1 = n2sin 2 n11 = n22 en linearisant. Figure 6.2 : on a dy =

sin =

donc les relations liant deplacement et angle sont lineaires.

Un rayon lumineux est decrit par y (gure 6.3).

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dy

longueur l

theta

Fig. 6.2 Lien deplacementangle

y

theta

Fig. 6.3 Description dun rayon

Tout systeme optique paraxial est alors decrit par une matrice 2 2, telle que :y = M

y

Si on met plusieurs systemes ( M 1 puis M 2) a la suite (une interface commune), on a (gure 6.4) :

y = M 2

y = M 2M 1

! ! attention

y

M 1 M 2y

y

y

Fig. 6.4 Systemes en serie

Toute loptique geometrique paraxiale peut donc etre deduite des matrices des composants de base :1. Lentille convergente de focale f :

Si = 0 alors = yf Si y = 0 alors = , y = y

M (f ) =1 0

1f 12. Propagation simple dune distance dans un milieu dindice n :

= y = y + sin = y +

M d( ) =10 1

3. Refraction sur un dioptre plan (changement dindice) (gure 6.5) :

= n 1n 2 (Descartes)y = y

M dioptre =1 00 n 1n 2

4. Dioptre spherique (indice n1 vers n2) (gure 6.6) :

y = y avec le rayon passant par le centre = n 1n 2

avec le rayon passan par le sommet

y = Rsin = donc = a y R

+ n 1n 2 M DS =1 0

n 2 n 1R n 2 n1n 2

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theta

n1 n2

y = y

Fig. 6.5 Refraction sur un dioptre plan

n1 n2

C S

pas dedviation

deviationcomme pour ledioptre plan

Fig. 6.6 Dioptre spherique

Des rayons paralleles peuvent soit ne pas etre devies, soit comme sur un dioptre plan selon lelieu dimpact.

5. Et les miroirs? Pour les traiter, il faut deplier la lumiere en supposant que le miroir nereechit pas (gure 6.7). Deux miroirs face a face peuvent donc etre representes par une suiteinnie de lentilles.

6. Miroir plan (gure 6.7) :

M = 1 00 1

Fig. 6.7 Miroir plan

7. Miroir spherique (gure 6.8) : Cest la matrice dune lentille de focale R2 .

M R2 = 1 02R 1

S

C R

Fig. 6.8 Miroir spherique

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Pour toute matrice M decrivant un systeme optique on aura :

det( M ) =n1n2

6.3 Loi ABCD

Retour aux faisceaux gaussiens.

Le rayon complexe dun faisceau gaussien est :

1q

=1

R j

W 2

Si a lentree dun systeme optique decrit par M = A BC D se trouve un faisceau gaussien de rayon

complexe q, le rayon complexe q a la sortie vaut :

q =A

q + B

C q + D Loi ABCD

Gr ace a la loi ABCD et a loptique geometrique matricielle, il est possible de faire letude de lapropagation des faisceaux gaussiens dans les systemes optiques paraxiaux.

LA chose a retenir est quil est possible gr ace a des produits de matrice 2 2 avec les matrices dessystemes de base (trois sont tres faciles ` a retrouver) et la loi ABCD, de prendre nimporte quel systemepropagatif paraxial et de calculer la propagation dun faisceau gaussien.

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Chapitre 7

Relativite restreinte

Juste une introduction. On a fete les 100 ans de la premiere publication dEinstein ` a ce sujet hier (le17 mars 2005).

Ici on ne pretend pas faire un cours de relativite restreinte, car on ne va pas utiliser le formalisme (lestenseurs, . . .). On va juste essayer de voir quel est son interet.

Il y a des choses pour lesquelles on ne se pose pas de questions. Si il est telle heure ici, il est la memeheure pour ceux qui dorment encore ` a la residence ;-p.

La relativite restreinte a ete inventee par Einstein, qui etait ` a loffice Europeen des Brevets, et sinte-ressait a la synchronisation des horloges pour toutes les gares europeennes.Mais quand on envoie un signal dune gare à lautre, il y a un temps de propagation. Ce qui veut direquil va y avoir une horloge matre qui va etre un peu en avance sur toutes les autres. Si on connait leretard, on le prend en compte.

Lidee dEinstein cest de dire que ce retard nest pas ctif, mais bien reel.

7.1 Les origines : la mecanique classique

En mecanique classique, le temps est invariant. Cest ` a dire, en terme mathematique, quel que soit ledeplacement spatial quon fait, le deplacement temporel est nul : d t = 0.

De meme, une regle de 30 cm fait 30 cm où quelle se trouve, et quelle que soit sa vitesse.

Le temps et la distance sont donc les invariants de la mecanique classique .

R0

R

Fig. 7.1 Deux reperes en translation

Consequence immediate Si lon considere deux reperes en translation rectiligne selon x lun parrapport à lautre a la vitesse vR/ R0 = v (gure 7.1) :

x = x0

v

t

y = y0z = z0

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Cest la transformation de Galilee

Le modele de Maxwell decrit la propagation des ondes e.m. dans le vide :

E 1c2

2E t 2

= 0

Il y a donc une vitesse de propagation c :

c =1

00= 299 792 458 m/s

Cest une valeur exacte, puisque cest la denition du metre.

Les lois de Maxwell et la transformation de Galilee impliquent donc lexistence dun repere uniquedans lequel les equations de Maxwell sont valables.En 1900, on supposait lexistence de lEther, immobile dans ce repere, milieu supportant la propagationdes ondes electromagnetiques.

Jusque l a il ny a aucune contradiction, mais il va falloir trouver ce repere.

7.2 Experience fondatrice

Michelson et Morley (1887).

Sil y a un repere xe, la vitesse de la lumiere va varier en fonction de la vitesse ` a laquelle on sedeplace. On peut donc calculer de cette maniere la vitesse de la Terre. Avec un interferometre ` a deuxbras (lun dans le sens de deplacement de la Terre, lautre perpendiculairement), on fait des mesuresdun cote du Soleil et de lautre. On aurait d u avoir des franges mobiles, mais personne na pu lesobserver. Or ils ont montre que la precision de leurs appareils etait suffisante.

Lexperience de Michelson et Morley a permis de montrer que la vitesse de la lumiere etait la memesur Terre dans toutes les directions. La seule conclusion ` a tirer est donc que nous sommes dans lerepere xe : lEther est lie ` a la Terre, et la Terre est le centre de lunivers! Et ` a lepoque, ca leur aquand meme mis la puce `a loreille.

Le souci est soit lexperience (ce nest pas possible), soit Maxwell (tres peu probable), voyons voir sice nest pas la transformation de Galilee !

Les postulats de la Relativite Restreinte1. Les equations de Maxwell sont valables dans tous les reperes inertiels,2. Il est impossible de distinguer un repere galileen par rapport ` a un autre (il nexiste pas de repere

absolu).

7.3 La transformation de Lorentz

Soient deux points M

xyz

ctet M

x + xy + yz + z

c(t + t)

. M sera le lieu et linstant de depart du faisceau

lumineux ; on multiplie le temps par c uniquement pour rendre les coordonnees homogenes. M serale lieu et moment darrivee.

M et M sont reperes dans un repere galileen. On connait juste une chose : le lien entre la distance,le temps, et la vitesse.

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Pour ce repere, la distance qui separe les points M et M est liee aux deux autres grandeurs par :

dx2 + d y2 + d z2 = cdtquon peut encore ecrire :dx2 + d y2 + d z2 c2dt2 = 0 repere

Quelle est la transformation qui laisse S 2 = x2 + y2 + z2

c2

t2 invariant ( S est linvariant relativiste ) ?

Pour trouver cela, prenons deux reperes Ret R tels que v (R/ R) = v et v //c .En supposant la transformation lineaire et limitee ` a x et t, il existe ( p,q,r,s ) tel que :

x = px + qctct = r x + sct

dS = 0 (ct )2 (x )2 = ( ct)2 (x)2(r x) + set)2 ( px + qct)2 = c2t2 x2(r 2 p2 + 1) x2 + ( s2 q2 1)c22 + 2( rs pq)ctx = 0

x,t,r 2 p2 = 1s2 q2 = 1rs pq = 0

soit p2(1 k2) = 1s2(1 k2) = 1r

p =qs = k

Dou p2 = s2.

Pour lever lindetermination (pour savoir si p = s ou si p = s), on regarde ce quil se passe pourv = 0. On a alors s = p = 1. Ici en particulier, p = s. Finalement,v p = s et r = q et

q p

= k

Soient dans R les deux points suivants :

M

xyz

ctM 1

xyz

ct1avec t1 = t + t

0 = px + qctq p

= k = x

ct=

vc

Donc p = s = (v) soit : (v) =

1

1 v2c2r = q = (v) (v) (v) =

vc

Dou la transformation speciale de Lorentz :

Champs Et Propagation

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