Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption dune onde 1) Équation de...

Phénomènes de propagation dispersifs

I) Dispersion et absorption d’une onde

1) Équation de propagation

On-1 On On+1

n-1

n

n+1

x

y

z

Chaîne de pendules pesants couplés

n-1 est négatif ; n et n+1 sont positifs

Chaîne de pendules pesants couplés

Théorème du moment cinétique appliqué au pendule de rang n en On projeté sur l’axe Onx :

θ θ θ θ θ θ θ2

n n n 1 n n 1 n nm

C C mg sin f3 2

Dans l’approximation des milieux continus, a << , on définit la fonction continue de classe C2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n(t) : (x = n.a, t) = n(t)

Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n(t) = (x,t) alors : n-1(t) = (x – a, t) et n+1(t) = (x + a, t)

Donc l’équation de propagation,

devient avec :

θ θ θ θ θ θ θ2

n n n 1 n n 1 n nm

C C mg sin f3 2

θ θθ θ θ

2 2

n 1 2a

(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x

θ θθ θ θ

2 2

n 1 2a

(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x

Pour des petits angles :

θ θ θθ

2 2 22

2 2m

Ca mg f3 2 tt x

θ θ θθ

2 2 22

2 2m

Ca mg sin f3 2 tt x



2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques

a) Définitions

Définition :

Nous appellerons pseudo – onde plane progressive harmonique, O.P.P.H*., une onde de la forme :

(x,t) = Re[(x,t)] avec (x,t) = A.expj(t – k.x)

où la pulsation de l’onde est réelle et le vecteur d’onde k = k.ux a priori complexe.A est l’amplitude complexe.




a) Définitions

b) Relation de dispersion

L’équation de propagation et la forme de l’onde utilisée donnent la relation de dispersion :

ω ω2

2 2mC.a.k m.g jf 0

3 2

ω ω2 22

2 2 2mg jf

k m 3Ca 2Ca Ca




a) Définitions

b) Relation de dispersion

c) Dispersion et absorption

Récapitulatif : k = k’ + jk’’

Re(k) = k’ 0 donne la vitesse de phase.Si v dépend de , le milieu est dispersif.

Re(k) = k’ renseigne sur la propagation.• Si k’ = 0, il n’y a pas de propagation ;• Si k’ 0, il y a propagation.

Im(k) = k’’ donne l’absorption.Si k’’ dépend de , le milieu est dit filtrant.

Récapitulatif : k = k’ + jk’’




d) Retour sur l’exemple

La relation de dispersion :

ω ω2 22

2 2 2mg jf

k m 3Ca 2Ca Ca

1er cas : on ne garde que le terme en 2

ω22

2k c

C’est le cas de D’Alembert pour l’O.P.P.H*.

k’’ = 0 et v = c :

Dans ce modèle, le milieu n’est ni absorbant, k’’ = 0, ni dispersif, v = cste.

2ème cas : on garde les termes en 2 et en

ω ω2 22

2 2jf

k m 3Ca Ca

Dans l’hypothèse supplémentaire : ω2mf

3

ω

ω

2 22

2 23jf

k m 1 3Ca m

ωω

2

2 2m 3jf

k 1 3Ca 2m

On obtient deux couples (k1, k2) :

ω2

1 12 2 2m 3

k k f3Ca 4m Ca

' ''

ω2

2 22 2 2m 3

k k f3Ca 4m Ca

' ''

Dans ce modèle, le milieu n’est pas dispersif :

φω

v Cstek '

3ème cas : on ne néglige que les frottements

ω2 22

2 2mg

k m 3Ca 2Ca

θ θθ

2 2 2

2 2m

Ca mg3 2t x

Equation dite de Klein – Gordon


ω ω2 22 c

2k c

2

23Ca

c m

ωc3g

2

Relation de dispersion de Klein – Gordon


ω ω2 2c

2

k k' c

k 0''

k est réel : le milieu n’est pas absorbant

Si > c :

v dépend de : le milieu est dispersif


ω ω2 2c

2

k jk'' jc

k 0'

k est imaginaire pur : le milieu est absorbant

Si < c :

(x,t) = A.exp(k’’.x).cos(t – k’.x) = A.exp(k’’.x).cost

k’’ dépend de : le milieu est filtrant



3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe




a) Position du problème

Pour interpréter vg, considérons le groupe d’ondes constitué de deux O.P.P.H., de même amplitude et de pulsations 1 et 2 très proches, définies par :

= 2 – 1 << 0

δωω ω1 0

2 δω

ω ω2 0 2

k = k2 – k1 << k0

δω1 1 0

kk k k

2

δω2 2 0

kk k k

2

k0 = k(0)

θ θ θ1 2(x,t)

On observe des battements spatiaux :une onde moyenne de nombre d’onde k0, de pulsation 0 est enveloppée par une onde enveloppe de nombre d’onde k et de pulsation

θ ω ω1 1 2 2(x,t) A.cos t k .x A.cos t k .x

δω δθ ω0 0

k(x,t) 2A.cos t k .x .cos t x

2 2

t1 > t0vg

v = 10 m.s–1 et vg = 3 m.s–1v




a) Position du problème

b) Généralisation. Vitesse de groupe

On appelle paquet d’ondes ou groupe d’ondes un ensemble d’O.P.P.H*. de pulsations très voisines.

Définition :

Δωω0

2 Δω

ω0 2

Un paquet d’ondes localisé dans le temps et dans l’espace est une superposition d’O.P.P.H*. à spectre continu en fréquence.Leurs pulsations sont comprises entre :

<< 0

sans dispersion

avec dispersion


II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique


Effet de peau

z

vide

Conducteur ohmique, homogène, isotrope, de conductivité électrique réelle positive

E(0-,t) = E0.cost.ux

0div

EL’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

μ μ ε0 0 0. . .tE

rotB j

L’équation locale du flux magnétique : divB = 0

Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t :

||jD|| << ||j|| = .||E|| et = 0.

Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.

Équation de propagation

rot(rotE) = – E + grad(divE) = – E

μ γ0( ) ( ) ( ) t t tB E

rot rotE rot rotB

Δ μ γ0 tE

E


II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique


2) Solutions et analyse

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