Revetements optiques a structure periodique.1: Fonctions caracteristiques

Jacques Mouchart

With the introduction of characteristic functions connected with optical thin films, we can examine the mainproperties of a multilayer coating with periodic structure. They both depend on the mathematical proper-ties of the Tchebycheff polynomials and on the characteristics of the chosen base shape.

1. Introduction

L'utilisation de l'ordinateur est couramment r6pan-due pour calculer les couches minces optiques 1 ' 2 nonseulement pour caract6riser th6oriquement les filtresfabriqu6s (probleme de l'analyse) mais aussi pourrechercher et optimiser de nouvelles solutions (pro-bleme de la synthese), compte tenu de l'absorption 6-ventuelle des mat6riaux choisis ou de la dispersion deleurs indices. Dans ce dernier cas, il est pr6f6rable departir de systemes qui pr6sentent des propri6t6s assezproches de celles d6sir6es. Aussi est-il int6ressant deconnaitre les caract6ristiques des d6p6ts optiquesclassiques, m6me si ces r6sultats ne sont qu'approch6spar rapport a la r6alit6 physique compte tenu des hy-potheses simplificatrices qu'on est amen6 a faire.

L'objectif recherch6 dans cet article est de retrouverrapidement les principales propri6t6s des revtementsoptiques souvent utilis6s dans le calcul des couchesminces. Nous supposerons que les milieux ne sont pasabsorbants et que les indices sont ind6pendants de lalongueur d'onde. Nous nous placerons dans le cas del'incidence normale, mais les r6sultats s'6tendent sansprobleme a l'incidence oblique.

Les revetements optiques sont compos6s d'un em-pilement de couches minces et ont g6n6ralement unestructure p6riodique. Ils sont alors constitu6s par unpetit nombre de couches diff6rentes, dite la base qui estr6p6t6e un certain nombre de fois. La base la plus

The author is with Compagnie Generale d'Electricite, Centre deRecherches, Laboratoires de Marcoussis, Route de Nozay, 91460Marcoussis, France.

Received 9 May 1981.0003/6935/81/244201-06$00.50/0.© 1981 Optical Society of America.

simple peut consister, par exemple, en deux couches dememe 6paisseur optique, l'une bas indice, l'autre hautindice, et le d6p6t est form6 par l'ensemble de ces deuxcouches alternees.

Les propri6tes optiques qui rsultent de cette con-figuration d6pendent a la fois de la p6riodicit6 de lastructure et des caract6ristiques propres de la base.Nous nous proposons dans cet article de mettre en evi-dence l'influence de ces deux aspects: d'une part, lap6riodicit6 a l'aide des polyn6mes de Tchebycheff,d'autre part, la contribution de la base l'aide defonctions caracteristiques associees a cette derniere. Decette maniere avec peu de calculs il est possible de d6-terminer les principales propriet6s d'un traitementoptique.

II. Fonction caracteristique associee au depot

Soit un d6p6t a structure p6riodique, de periodicit6p et dont la base est compos6e de q couches non ab-sorbantes (fig. 1). Les indices du milieu d'entre et dusupport, supposes galement non absorbants, sontrespectivement no et ns. Nous appellerons mij les 616-ments de la matrice associ6s a la base et Mij ceux asso-ci6s au rev6tement tout entier. Pour les notations voirla rf. 3.

Soit R1 le coefficient de rflexion du d6p6t obtenulorsque la base est seule, p = 1, et Rp, celui obtenu avecun d6pot de p bases. Nous recherchons une relationentre les coefficients mij et Mij qui permette de passersimplement de R1 a Rp.

A. Relations entre les mj et les Mj

Par definition,

{M11 iMl2A M11 iM12 P

(iM21 M2 2 ) = (M2 ) m22

et entre les mij et Mij existent les relations suivantes4 5

en posant

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n0

base

i

n2

n

=r= -=== =2 =: - -==nq

nI

nI

n1

n2

n

nq

Pbas es

nsFig. 1. D6pt optique a structure p6riodique limite par les milieux

no et n8 et comprenant p bases. Chaque base est composee de qcouches.

mll + M22 =2x et ml - 22 =2Y:

mil --MllUp-l(X)-Up-2(x) Tp(x) + yUp-l(x),

M12 -MN~Up-&~) ,M21 M21 Up-I(x), IM22 -M22Upl-(X) - Up- 2 (x) Tp(x) - YUp ),

Tp (x) et Up - 1(x) etant les polyn6mes de Tchebycheffde premiere et seconde especes (pour les notations, voir"Applied Mathematics Series," Vol. 55, Natl. Bur.Stand.).

1. Cas particulier d'une base symetriqueUne base est dite sym6trique quand elle est compos6e

d'un nombre impair de couches 2N + 1 et quand lasym6trie est ralis6e par rapport a la couche centrale,de sorte que pour j N, n = n2N+2-j, t = t2N+2-j, tj6tant '6paisseur de la couche d'indice nj. Dans cesconditions les qs. (I-1) se simplifient car m1l iM22 desorte que y 0 et par suite M1l M22. Plus g6n6rale-ment, pour une base quelconque, le terme y repr6sentele coefficient d'asym6trie de la base.

B. Fonction de base

Supposons que le d6p6t ne soit constitu6 que de labase (p = 1). Nous avons d6ja vu6 que la d6riv6e de R1par rapport au parametre z pouvait se mettre sous laforme suivante:

aMl (1 - R)2 f

az 4 non, bz

en posant1 af 2 2 2 2 M1 2 hM 21= nomil a + nSM2 2 a + nonsm12 + 22 z az az az bz

I1 parait donc logique de se servir de cette expression etde dfinir une fonction associ6e aux mij-c'est-A-direa la base-qui soit une primitive de z. Nous poseronspar definition:

f nml2, + rm2 2 + ni2n2m2 + m 2-(nu + n2). (I-2)

Les raisons du choix de la constante apparaitront parla suite. Nous appellerons cette fonction f, associ6e ala base, fonction de base. Notons que f peut s'6crire6galement

f - (nomi - nSml2)2 + (nonSmi2 - m21)2 -(no -n.02

1. Proprietes de la fonction fLes coefficients de r6flexion R1 et de transmission T

sont reli6s a la fonction de base f par les relations:f + (nO-n)2 T 4nonsf+ (no+n,)2 f+ (no+n,)2

La fonction f est une fonction monotone croissante deR1 et vice versa. Sa borne inf6rieure -(no - n) 2 estobtenue pour R1 = 0, et lorsque f = 0, le coefficient der6flexion de la base est 6gal a celui du support nu (R1 =

Rn )-

2. Consequence: largeur de bande d'un antirefletNous d6finirons la largeur de bande d'un antireflet

comme 6tant le domaine en longueurs d'onde pour le-quel le coefficient de r6flexion reste inf6rieur ou 6gal acelui du support nu. Math6matiquement, elle est d6-finie par les longueurs d'onde pour lesquelles la fonctionde base reste n6gative, les limites 6tant obtenues pourf =0.C. Fonction de d6p6t

Supposons maintenant que le d6p6t soit compos6 dep bases. Nous d6finirons la fonction caract6ristique Fpli6e au d6p6t, que nous appellerons fonction de d6p6t,d'une maniere analogue a f [q. (1-2)] en remplacant lesmij par Mij:

F noMi + nsMi2 + nonMl 2 + M21 - (nu + nS)

de sorte que_ Fp + (no - n2

Fp + (no + n.) 2

Compte tenu des 6qs. (I-1) nous obtenons la relation quilie les fonctions de base f (f = F1) et de d6p6t Fp:

Fp fU21(x) +gUp-(X)Up- 2 (X) ('-3)

en posant

g _ (n2 - no )(m - 2 2 ) 2(n - no)y.

L'6q. (-3) montre de facon claire la relation qui lie entreelles les fonctions de d6p6t et de base. Elle met en 6-vidence l'influence de la p6riodicit6 par la pr6sence despolyn6mes de Tchebycheff. Elle fait galement ap-paraitre le terme suppl6mentaire g qui ne d6pend quedu coefficient d'asym6trie de la base et des milieuxd'entr6e et de sortie. Nous appellerons g fonction dedissym6trie de la base en remarquant que ce terme estidentiquement nul, soit lorsque la base est sym6trique,soit lorsque les milieux extremes sont identiques.

La connaissance de la fonction de base et de la fonc-tion de dissym6trie que nous appellerons fonctionscaract6ristiques de la base est donc n6cessaire et suffi-sante pour determiner le coefficient de rflexion del'empilage.

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.

...............

Lorsque la fonction de dissym6trie g est nulle, larelation liant la fonction de d6p6t et la fonction de baseprend la forme tres simple:

(I-4)

et c'est sans doute pour cette raison que les rev6tementsA base sym6trique ou a milieux extr8mes identiques ontete les plus 6tudi6s jusqu'a pr6sent.7 ,8

1. Cons6quence

Lorsque la fonction de dissym6trie de la base est nulle(g 0) a largeur de bande d'un antireflet A structurep6riodique est 6gale A celle de sa base, car dans l'6q.(I-4), Fp est du signe de f.

2. Inversion de la position des couchesNous entendons par lA l'inversion du milieu d'entr6e

et du support (no est remplac6 par n8 et n, par no). Enappelant f*, g* et Fp les fonctions caract6ristiques dela base et la fonction de d6p6t invers6es nous obtenonsles relations

g* -g.f* f + 2xg,F= Fp + gU 2p-(x) = fUp_-(x) + gUp-l(x)Up(x).

3. Gneralisation d une lame a faces parallelesLa notion de fonction caract6ristique associ6e A un

d6p6t peut 8tre 6tendue au cas d'une lame A faces pa-ralleles trait6e sur ses deux faces. Soient R1 et R 2 lescoefficients de r6flexion respectifs des faces de la lame(fig. 2) auxquels sont associ6es les fonctions caract6-ristiques fi et f2, /2 6tant d6finie de maniere similaireA f1 avec comme milieu d'entr6e no et de sortie ns.

Nous supposerons que le coefficient de r6flexion ?de la lame est obtenu par addition des intensit6s de tousles rayons multiples. Dans ces conditions9

A? R 1 + R 2

1-Rl -R, 1-R2A I? nous associerons la fonction caract6ristique 5 dela lame d6finie par la relation:

+ (no -n)2

gr + (no + n8)2

de sorte que S = fl + f2 + (no - n,)2. En particulier,lorsque la lame n'est pas trait6e, nous obtenons S =+(no- n) 2 ; la valeur de S est alors oppos6e A celle dela fonction de base d'un traitement antireflet. Lorsqueles traitements sont identiques des deux c6t6s de lalame, et de valeur Fp, nous avons:

S = 2Fp + (nO - n,) 2 .

III. Propriets

Sans avoir A remonter jusqu'au calcul du coefficientde rflexion, grace A l'introduction des fonctionscaract6ristiques et de la fonction de d6p6t, nous pouvonsd6gager de nombreuses propri6t6s-connues ou moinsconnues-qui d6coulent de la structure p6riodique: onsait que pour I x > 1 les polyn6mes de Tchebycheff nesont pas born6s lorsque p - et, par cons6quent, leurinfluence est pr6pond6rante vis-A-vis des fonctions f et

Fig. 2. Lame A faces parallbles d'indice n, placee dans un milieud'indice no.

g qui sont li6es A la base. Par contre, lorsque Ix I < 1 lespolyn6mes de Tchebycheff sont born6s, et l'importancede f et g devient grande.

Apres avoir 6tudi6 l'influence de 'adjonction d'unebase suppl6mentaire, nous dgagerons les propri6t6sprincipales des revgtements en fonction de la variablex. Nous indiquerons enfin quelques caract6ristiquesli6es aux valeurs particulieres et qui peuvent 6tre d6-duites pratiquement sans calcul.

A. Adjonction d'une base

L'apport d'une base suppl6mentaire A un rev6tementcomprenant p bases conduit A une fonction de d6p6tFp+1 , li6e A Fp par la relation

Fp+, U W) (Fp - f).Up- 2 (X)

Les 6quations suivantes sont 6galement v6rifi6es:

Fp+l - Fp fU2p(X) + gU 2 p-l(X) - l(X)

F~-iup W(F;fD.UP-2(X)

IL en rsulte les propri6t6s suivantes:Si 'adjonction d'une base A un revetement en com-

prenant p ne modifie pas son coefficient de rflexion,alors le coefficient de r6flexion du d6p6t comprenant 2p+ 1 bases est 6gal A celui du support nu.

Pour la valeur de x telle que F = Fp, c'est-A-direpour x racine de Tp(x) = 0, nous avons Rp+1 = RP_1.

B. Cas ou I x| > 1: zone de forte rflexion

1. Cas ou la periodicite p est grandeNous nous proposons de d6montrer que pour I x >

1 le coefficient de r6flexion tend vers 1 lorsque le nombrede p6riodes p croit ind6finiment. Cette propri6t6 bienconnue est plus souvent justifi6e que d6montr6e dansla litt6rature. 1 0

Entre les coefficients Mij et mij existent les relationssuivantes:

(M1 - M22)2 + (M12 _ M2 1)2 = EM?- - 2 = Up2-(x)(Emh-2)

en posant 2Mh = M21 + M12 + M21 + M 2 et de mgme

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Fp - fUlp-j(x),

pour Ym-, car M11- M 22 = Upl(x)(Mll - 2 2) et M12-M21 = Up-1(x)(M12 -M 21). En faisant l'hypotheseg6n6ralement v6rifi6e en pratique que no K 1 K n5, nousobtenons les in6galit6s n22 Mj Fp + n + n2 <n2M2j. Pour Ix > 1, U2 .(x) > p2 de sorte que YM> 2 + p2 [( 1 -i22) 2 + (n12 -i 21)2]. Lorsquepco, XM?- - et l'expression Fp + nO + n2 minor6e parn0 -k co* Par cons6quent R - 1.

D'ou le nom de zone de forte r6flexion donn6 pour lesvaleurs de x sup6rieures A 1.

2. Adjonction d'une base dans la zone de fortereflexion

Nous dsirons connaltre si la suite Fp forme enfonction de p une suite croissante dans la zone de forter6flexion. Un raisonnement global n'est pas possible,et il faut distinguer trois cas, suivant les signes de f etgx.

Remarquons tout d'abord que f + gx qui s'6crit6galement

f + gx (n8, - no)2(X2 - 1) + g92 nn~l r 2 )4(n, - no)2

est toujours positif dans la zone de forte r6flexion.a. f et gx de meme signe.-f etgx sont n6cessaire-

ment positifs. Comme

Fp+ 1 - fU 2p(x) + gx

et comme U2p(x) et U2p- 1 (x)Ix sont des fonctionspaires et positives, Fp+1 - Fp > 0, et le coefficient der6flexion augmente toujours avec la p6riodicit dud6p6t.

b. f > 0 et gx < O.-D'apres l'equation

Fp+l-Fp-(f+gX)U2p(x)-gxx

nous voyons que Fp+l - Fp > 0 puisque U2p(x) etT2p+1(x)/x sont des fonctions paires et positives.

c. f < 0 et gx > O.-Dans la zone de rflexionUp(x)/Up-2 (x) est une fonction paire de x > 1.Comme

Fp+l -Up( ) (Fp-f ),Up-2(X)

nous voyons que pour Fp > f nous obtenons Fp+1 > Fp- f > Fp tandis que pour Fp < f nous ne pouvons rienconclure, et il existe des cas pour lesquels Fp+l < Fplorsque Ix > 1.

En r6sum6, dans la bande de forte r6flexion, quandle coefficient de r6flexion d6termin6 par la base est su-p6rieur au support nu (f > 0), 'augmentation du nom-bre de bases ne peut qu'accroitre le coefficient de r6-flexion. Inversement pour f n6gatif, 'augmentation deR avec p n'a lieu qu'A partir d'un certain rang k tel quepour j < k, Fj < f et pour j > k, Fj > f.

C. Cas ou I x| < 1: zone de transmission

Lorsque Ix I < 1 les polyn6mes de Tchebycheff T2(x)et Up_1 (x) sont born6s respectivement par 1 et par1/(1 - x 2). Des caract6ristiques importantes se d6ga-gent de ces proprietes.

Rou F

A

Zone de

forte

Reflexion

Enveloppe maximumR ou R

el e

% P~' ou F% I P p

Envlope mnimum- - v

IxI= 1

Fig. 3. Aspect des courbes enveloppes dans la zone de transmission,c'est-a-dire pour Ix 1.

1. Courbes enveloppesLa fonction de d6p6t Fp qui se met sous la forme

Fp (1 I f + gx - [fT2p(x) + gT2p-i(x)]2(1 - X2)

est une fonction born6e quand p - puisque T2p (x)et T2p-1(x) le sont, et elle possede une enveloppe. I1en est de m6me de la valeur de Rp qui d6coule de Fp.Cette propriete est bien connue.11-13

Nous nous proposons ici de d6finir les valeurs de x quid6terminent les points de tangence ainsi que les 6qua-tions des enveloppes dans le cas le plus g6n6ral ot labase est quelconque (g 5z 0). Les valeurs de x pourlesquelles Fp touche son enveloppe sont d6finies par(dFp/dp) = 0, ce qui conduit A l'6quation du point detangence:

fU 2 ,-l(x) + gU2p- 2(x) = O. (-5)

L'6quation de l'enveloppe est obtenue en 6liminant pentre Fp et (dFp/dp) = 0, soit

Fe = 1 If + gX 4 [(f + gX)2

+ (1-x 2)g2 ] 1/2 1, (1-6)2(1 - X2)

l'indice e indiquant que la fonction F se rapporte A'enveloppe. Les valeurs limites Re qui en d6coulent

sont alors

Re Fe + (no - n)2

Fe+ (no+n) 2

2. ProprietesNous d6duisons d'apres l'6q. (1-6) qu'il existe deux

enveloppes et que pour x < 1 le coefficient de r6flexionest, quel que soit p, compris entre deux valeurs limites.C'est pour cette raison qu'on appelle cette zone, zone detransmission (fig. 3). Les valeurs limites ne d6pendentque des caract6ristiques de la base seule (f, g et x), ce quiest 6vident compte tenu de la definition meme des en-veloppes. I est possible de les calculer facilement.

Dans le cas particulier ou le facteur de dissym6trie estnul (g - ) nous obtenons Fe = 0 et f/(l - x 2 ), soit lesvaleurs de Re d6ja cit6es dans la litt6rature:

(no-ns12 (nonSml2-m2l\2Re Rnu n et Re =

no + n nonSml2 + 1

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P_, A .

tl

I

L'inversion des couches ne change pas les courbesenveloppes car f + gx, x et g2 sont des invariants parrapport A no et n8 .

Les valeurs limites en F [q. (1-6)] sont les racines del'6quation du second degr6 (1 - 2 )F2

- (f + gx)F -(g2/4) = 0; le produit des racines tant toujours negatif,les r6flexions limites sont, l'une sup6rieure, 'autre in-f6rieure au coefficient de r6flexion du support nu.

I y a intersection entre les deux courbes enveloppeslorsque f = 0 et g = 0 simultan6ment et sa valeur est6gale A Fe = 0. Par cons6quent, lorsque g 0 au pointd'intersection, le coefficient de rflexion du d6p6t est6gal au support nu quel que soit p: c'est la limite delargeur de bande d'un antireflet.

Pour que le traitement soit antireflet il faut que Fe=-(no - n,) 2 , ce qui conduit n6cessairement A la rela-tion nonsm12 - M 2 1 = 0. La valeur maximale de Fe estalors 6gale a [g 2 /4(no-n, )2(1-x 2)]. L'antirefletn'alieu que pour la valeur p qui v6rifie

(nomil - n.m2 2)Up-(x) - (no - n,)Up-2 (x) = 0.

3. Cas particulier ou Fp touche son enveloppeLa position des courbes par rapport A leurs enve-

loppes a d6jA ete 6tudi6e graphiquement par Dufour."Nous nous placerons ici d'un point de vue diff6rent.

Les valeurs de x pour lesquelles Fp touche son en-veloppe sont d6finies par l'6q. (I-5); plusieurs propri6t6sd6coulent de cette 6quation:

(1) Le coefficient de r6flexion du d6p6t comprenant2p bases est 6gal au coefficient de r6flexion du supportnu car

F2 p- U2 p-l(x)[fU 2p-1(x) + gU2 p-2 (X)] = 0-

La rciproque n'est vraie-lorsque g #z 0-que si lavaleur de x qui annule F2 p est diff6rente de cos(j7r/2p).

(2) Le coefficient de r6flexion du d6p6t comprenantp - j bases est 6gal A celui en comprenant p + j car

Fp+j- FpU- u2j- 1(x)LfU2p-(x) + gU2 p-2 (x)] = 0.

(3) Dans le cas particulier oct g 0, l'6q. (I-5) se r6-duitAfU2p-,(x) -2fUp 1 (x)Tp(x) = 0. Lespointsdetangence sont obtenus pour Tp (x) = 0 et Up 1 (x) = 0qui correspondent aux bornes superieure Femax et in-f6rieure Femin (figs. 4 et 5). Lorsque g n'est pas nul, onpeut consid6rer ce terme comme un terme correctifvis-A-vis d'une base sym6trique, ce qui permet d'ad-mettre que Fp touche chacune de ses enveloppes pourdes valeurs de x voisines de Tp (x) et Up-,(x) = 0. Ensupposant que cet 6cart Ax est faible, nous obtenonspour les deux cas en prenant un d6veloppement limit6au premier ordre:

Ax- g avecg' = (dgldx),f +gx

2p t gX2+9g

les valeurs de f, g et x tant prises pour x racine deTp(x) = 0 ou Up 1 (x) = 0.

Un r6sultat analogue serait obtenu par inversion descouches, mais puisque g* = - g et que f + gx reste in-

F~=-t...ou Re maxe 1-x2 ema

Enveloppe

I Fp ou RppI

I F. ou2p

Enveloppe \, *

R2 p

Fe = ou Rnu

- x

Tp = 0

Fig. 4. Forme des courbes au voisinage de T,(x) = 0 dans le casparticulier ouL f > 0 et g 0.

F ou Rp p

Enveloppe : = 0ouFe ou Ru nu

I

I/

I x

Up-1 =

Fig. 5. Forme des courbes au voisinage de U,- 1(x) = 0 dans le casparticulier ou f > 0 et g 0.

variant, on trouve qu'en premiere approximation [enn6gligeantg' devant 2p(f + gx)/(1 - x 2 )] les points ocles courbes Rp et Rp touchent leur enveloppe-qui estla m~me-sont sym6triques en x par rapport A Tp (x)-OouUP_,(x) =0.

On montrerait de mgme en prenant un d6veloppe-ment limite que l'6cart Ax1 A la valeur de x racine deUp,1(x) = 0 qui annule fUp-,(x) + gUp 2 (x) = 0 et parsuite Fp est donn6 par

9

f + gx +9

c'est-A-dire Ax1 - 2Ax.Nous indiquons dans les figs. 6 et 7 les positions res-

pectives des diff6rentes courbes.

D. Valeurs particulieres

Suivant les valeurs particulieres de x ou de f, lafonction de d6p6t Fp prend des valeurs simples quipermet de remonter jusqu'A Rp.

1. Valeurs particulieres de xNous rassemblons dans le tableau I ci-dessous les

valeurs de la fonction de d6p6t Fp pour diverses valeursde x. Dans certains cas cette valeur d6pend de la parit6de p.

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x - z b

Re max

I II I

r1 I I IRpI I I R

- ! \I 1 _+ _ /' R nu

fU .~.U 0,\f +g . Of U2p-1+gU2P 2=p TOfU2p_1 + 9 U2p-2 = °

T =

Fig. 6. Forme des courbes au voisinage de Tp(x) = 0. Cas g6n6ralOU g F 0.

R R.. p '\2 p

, I I

I I

Envelop e/I I I

f Up-1+gUp-2 =0I x

U I = o1p-I

M 2p-1 +gU2p-2 °

Fig. 7. Forme des courbes au voisinage de U-,(x) = 0. Cas genralO g $ 0.

Tableau 1. Valeurs de la fonctlon de d6p6t Fp pour diverses valeurs de x

x Fp Caracteristiques

0 0 pourp = 2j0 f p=2j+1

4-0.5 0 pourp = 3j4-0.5 f p=3j+ 1

+0.5 f 4-g p=3j+21 (f+g)p 2 -gp

cosj~r/p) 0 UP-W(x) = 0cosUji/(p - 1)] f Up- 2(x) = 0cosUjW/(p + 1)] f + 2xg = f* UP(x) = O

cos(2j -1)7r/2p] (f + gx)(l - x) = Fp Tp(x) = O

2. CasoilUUp-,(x)=0Pour les valeurs de x racines de UP- 1 (x) = 0, c'est-

A-dire x = cos(j7r/p), la fonction de d6p6t F ne peutprendre au maximum que p + 1 valeurs distinctes quelque soit le nombre de bases.

Par hypothese, puisque Fp = 0, le coefficient de r6-flexion du d6p6t comprenant p bases est 6gal au coef-ficient de rflexion du support nu. I en est de m6medu d6p6t comprenant kp bases car

Ukp-I(X) = Up-1(X)U(k-)p-l[Tp(XA

D'autre part dans ces conditions,

Ukp+j (x) = Uj (x) Tkp (x) V i

avec TP (x) = 1 et puisque

Fkp+j = fU2 kp+-l(x) + gUkp+j-l(x)Ukp+j-2(x),

Fkp+j = Ti,(x)F= F,.

Lorsque x = cos(j7r/p) le coefficient de r6flexion d'und6p6t compos6 de kp + j bases est 6gal au coefficient der6flexion du d6p6t compos6 de j bases; par cons6quentil ne peut y avoir au plus que p + 1 valeurs distinctes.

Dans le cas particulier oct g 0, puisque

+j-,(x) - Up2_+l)(x) = 2Up_(x)Tp(x)U 2jp(x),

Fp = Fj.

Le nombre de valeurs distinctes de R est r6duit A p/2 ouA (p + 1)/2 suivant que p est pair ou impair.

3. Valeurs particulieres de ff = 0.-Le coefficient de rflexion du revtement

comprenant la base seule est 6gal au coefficient de r6-flexion du support nu. Dans ces conditions: Fp =gUP, 1(x) UP, 2 (x) et F = gUp 1 (x) Up (x). Par con-s6quent Rp = R_1.

f = -(n 5 - n_)2. -Le rev6tement compos6 de la baseseule est antir6fl6chissant. On montre alors que 2xf +g = 0, ce qui implique, puisque F 2 = 2x(2xf + g), que led6p6t comprenant deux bases a un coefficient de r6-flexion 6gal A celui du support nu.

D'autre part, comme

Fp = (n3 - no)2 [Up-2() - 11 et F; = (n, - no)2[U(x) - 11

nous deduisons Rp+2 = R *

IV. Conclusion

Avec l'introduction de fonctions caract6ristiquesassoci6es a chaque rev6tement optique, nous pouvonsmettre en 6vidence d'une facon claire les principalespropri6t6s des d6p6ts A structure p6riodique qui d6-coulent d'une part des propri6t6s math6matiques despolynomes de Tchebycheff et d'autre part, de la formeparticuliere de la base choisie.

Nous indiquerons dans un article ult6rieur quelquesapplications pratiques.

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Multilayer Filters (Adam Hilger, Bristol, 1981).2. A. L. Bloom, Appl. Opt. 20, 66 (1981).3. J. Mouchart, Opt. Acta 27, 401 (1980).4. F. Abeles, Ann. Phys. (Paris) 5, 596, 706 (1950).5. A. Thelen, Physics of Thin Films, Vol. 5 (Academic, New York

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4206 APPLIED OPTICS / Vol. 20, No. 24 / 15 December 1981