Fibres optiques Théorie des fibres optiques

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Fibres optiques Théorie des fibres optiques La lumière : du rayon à l’onde Optique géométrique Principe : réflexion totale Ouverture numérique Fibre à saut d ’indice Fibre à gradient d ’indice Théorie électromagnétique Position du problème et méthode de résolution Notion de modes et relation de dispersion Principaux résultats

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Fibres optiques Théorie des fibres optiques. La lumière : du rayon à l’onde Optique géométrique  Principe : réflexion totale  Ouverture numérique  Fibre à saut d ’indice  Fibre à gradient d ’indice Théorie électromagnétique  Position du problème et méthode de résolution - PowerPoint PPT Presentation

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Fibres optiquesThéorie des fibres optiques

La lumière : du rayon à l’onde Optique géométrique

Principe : réflexion totale Ouverture numérique Fibre à saut d ’indice Fibre à gradient d ’indice

Théorie électromagnétique Position du problème et méthode de résolution Notion de modes et relation de dispersion Principaux résultats

Page 2: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesLa lumière : du rayon à l ’onde

Optique géométrique : lumière représentée par des rayons formation des images

Ne peut pas expliquer les interférences et la diffraction

Optique ondulatoire : la lumière est représentée par une vibration scalaire (fonction d ’onde)

interférences et diffractionOptique géométrique = limite de l ’optique ondulatoire

quand 0 .Ne peut pas expliquer la réflexion, la réfraction, la polarisation

Optique électromagnétique : la lumière est représentée par une onde électromagnétique (équations de Maxwell)

réflexion, réfraction, polarisation à suivre….

Page 3: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (1)

Plan d ’incidence :plan

défini par le rayon incident

et la normale. Milieu 1n1

Milieu 2n2

i r

t

n1 < n2

Lois de Descartes :

• rayons réfléchi et transmissont dans le plan

d ’incidence

• i = r

• n1sini=n2sint

Page 4: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (2)

Milieu 1n1

Milieu 2n2

i r

t

n1 > n2

Page 5: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (3)

Milieu 1n1

Milieu 2n2

i=lim r

t=/2

n1 > n2

i ≥ Lim

Réflexion totale

sinθLim =n2

n1

Page 6: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (4)

gaine(cladding)cœur (core)

rayon a

rayon b

n(r)

ra

n1

n2

Fibre à saut d ’indice

b

n0

Principe de fonctionnement

La lumière est guidée dans la fibre par des réflexions totales successives à l’interface cœur-gaine

Page 7: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (5)

0

1

Pour que la lumière soit guidée dans la fibre, quelles conditionsdoit vérifier l ’injection de lumière dans la fibre ?

Exercice : Etablir la condition que doit vérifier 0 pour que la lumière soit guidée dans la fibre.Définir le cône d ’acceptance et l ’ouverture numérique

Page 8: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (6)

L ?

0

1

α ≥αL =Arcsinn2

n1

θ1 =π2

−α ≤π2

−αL =π2

−Arcsinn2

n1

n0 sinθ0 =n1sinθ1 θ0 =Arcsinn1

n0

sinθ1

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 9: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (7)

θ0 ≤θL =Arcsinn1

n0

sinπ2

−Arcsinn2

n1

⎣ ⎢ ⎢

⎦ ⎥ ⎥

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

θL =Arcsinn1

n0

cosArcsinn2

n1

⎣ ⎢ ⎢

⎦ ⎥ ⎥

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ =Arcsin

n1

n0

1−n2

n1

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

2⎛

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

La lumière doit être injectée dans la fibre dans un cône de demi-angle au sommet L (cône d’acceptance)

Ouverture numérique :ON=n0 sinθL = n12 −n2

2

Exemple : n1=1,5 ; n2=1,4 ; n0= 1 ; ON = 0,539 et L=32,6°

Page 10: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (8)

L

n1>n2 mais en général les deux indices sont voisins (n1-n2<<n1)

, variation relative d ’indice

Δ =n1

2 −n22

2n12 =

n1 −n2( ) n1 +n2( )2n1

2 ≈n1 −n2

n1

.Dans ce cas , ON ≈ n1 2Δ

Exemple : n1=1,45 ; =1% ; n0=1 : ON = 0,205 L=11,8°

Page 11: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (9)

(B.E.A. SALEH, M.C. TEICH, Fundamentals of photonics, Wiley)

Rayons non méridiens dans une fibre optique

Page 12: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (10)

Pourquoi la réflexion totale ?

Exercice :Evaluer l’ordre de grandeur de la fraction de puissance réfléchie à l’interface entre deux diélectriques(n1=1,5;=1%)Pour le parcours correspondant à la valeur limite de combien y a t’il de réflexions sur un mètre de fibre (a=30m) ? Conclusion ?

Elargissement d’impulsions

Exercice :Pour une longueur L de fibre, calculer la longueur et la durée des trajets le plus long et le plus court.(n1=1,5;=1% ; a=30m)

Page 13: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (11)

A l’incidence normale le coefficient de réflexion en puissance vaut (formules de Fresnel)

R =n1 − n2

n1 + n2

⎝ ⎜

⎠ ⎟

2

2

⎝ ⎜

⎠ ⎟2

= 2,5.10−5

n1 n2

i

r

r

r = R.Φ i

R =n1 − n2

n1 + n2

⎝ ⎜

⎠ ⎟

2

Page 14: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (12)

0

1M

N

P

Nombre de réflexions sur une longueur L :

q =L

MP

q =L

2atgα qL =

L

2atgα L

=L

2a2Δ

n1=1,5 ; =1% ; a=30m 2374 réflexions/mètre

Page 15: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (13)

Longueur d’un parcours pour une fibre de longueur L :

l = MN + NP( )L

2atgα=

2a

cosα

L

2atgα=

L

sinα

Trajet le plus long plus petite valeur de , L

lmax =n1

n2

L , tmax =n1

2

n2cL

Trajet le plus court plus grande valeur de ,

lmin = L , tmin =n1

cL

Elargissement des impulsions (Dispersion intermodale)

Page 16: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (14)

Dans un milieu homogène, rayon lumineux = droite

Trajectoire des rayons lumineux dans un milieu non homogène ?

Milieu stratifié : milieu constitué par un empilement de couches homogènes.

ni

ni-1

ni+1 i+1

i

i-1

n augmente

Lois de Descartes :

ni−1 cosθ i−1 = ni cosθ i

= ni+1 cosθ i+1

nicosi = constante

Page 17: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (15)

Si on fait tendre l’épaisseur de la couche vers 0,

n

n-dn -d

grad(n)

ncosθ = n − dn( )cos θ − dθ( )

n sinθdθ = cosθdn

d n cosθ( ) = 0

n.cosθ = constante

Page 18: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (16)

Dans un milieu inhomogène, les rayons lumineux suivent des courbes concaves dont la concavité est tournée dans le sens du gradient de l’indice.Exemple : le mirage

grad(n)pays chauds

Page 19: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (17)

grad(n)

mers froides

Le vaisseau fantôme

Page 20: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (18)

Dans un milieu inhomogène quelconque, la trajectoire desrayons lumineux est la solution de l’équation d’Euler :

d(nr u )

ds= grad(n)

ru =

dr r

ds

ru

ru

rr

s

avec , vecteur unitaire de la tangente, s, abscisse curviligne sur la trajectoire

Page 21: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (19)

Remarques :•Si on se place dans un plan, avec une variation d’indicesuivant une seule coordonnée :

d(nr u )

ds= grad(n)

d

dsn

dr r

ds

⎝ ⎜

⎠ ⎟= grad(n)

en projection sur Ox :

x

y

grad(n)

d

dsn

dx

ds

⎝ ⎜

⎠ ⎟=

dn

dx= 0

ndx

ds= ncosθ = constante

• Si le milieu est homogène,

nr u = constante

Page 22: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (20)

ra

n(r)

n1

n2

Fibre à gradient d ’indice

n0

b

Profil d’indice :

n(r) = n1 1− 2Δr

a

⎝ ⎜

⎠ ⎟α

• n1 : indice sur l’axe• : paramètre du profil

• =1, profil triangulaire• =2, profil parabolique• =, saut d’indice

rayons

Intérêt : diminution de la dispersion intermodale

n(a) = n2 = n1 1− 2Δ

Δ =n1

2 − n22

2n12

Page 23: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (21)

Fibre optique à gradient d’indice à profil parabolique :

n(r) = n1 1− 2Δr

a

⎝ ⎜

⎠ ⎟2

≈ n1 1− Δr

a

⎝ ⎜

⎠ ⎟2 ⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Equation de la trajectoire des rayons :

r =asinθ1

2Δsin

acosθ1

z ⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟

z

r

Exercice : Retrouver ce résultat à partir de la relationncos = constante.A quoi est égale l’ouverture numérique de la fibre ?

Page 24: Fibres optiques Théorie des fibres optiques

Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (23)

(B.E.A. SALEH, M.C. TEICH, Fundamentals of photonics, Wiley)

Rayons non méridiens dans une fibre à gradient d’indice