Résumé du 2ème cours• Spectroscopie :

- mesure T (continuum, modèle du corps noir : Stefan e=aStT4, Wien lmaxT=b)

- mesure de la composition chimique, des champs magnétiques(Zeeman) et vitesses (Doppler) : z=V/c

• Mesures des vitesses : masse d’étoiles binaires, masse des galaxies• Mise en évidence de matière noire (= matière non rayonnante, détectée

par sa gravitation) dans les galaxies. Particules élémentaires nonencore identifiées ?

• L’Univers dans son ensemble est en expansion (Hubble) : mouvement«!de fuite!» des galaxies mis en évidence par decalage vers le rouge.Interprétation V=H0r pour galaxies pas trop lointaines (traitement nonrelativiste)

• La relation de Hubble, confirmée empiriquement, devient un nouveloutil de mesure des distances des galaxies lointaines.

Structure d’une étoile

1) Un peu de thermodynamique

Equation de l’équilibre hydrostatique

Gaz en équilibre HS : force degravitation (Æ intérieur)équilibrée par gradient depression (Æ extérieur).Hypothèse de tous nos calculs :symétrie sphérique.

Coquille sphérique, rayon r, épaisseur dr :

Gravitation par masse M(r) à l’intérieur :

fi pression dP = dF / 4pr2 :†

dV = 4pr2dr , dM = r r( )dV

†

dF = -GM(r)

r2 dM = -GM(r)

r2 r r( )4pr2dr

†

dPdr

= -GM(r)

r2 r r( )

r

dr

Mouvements microscopiques et pressiond’un gaz parfait

Gaz = ensemble de particulesmicroscopiques (molécules,atomes, ions, électrons …).Collisions élastiques ¤ échangede quantité de mouvement.

1 particule transfère, lors d’une collision, qté de mvt

par unité de temps :

Nombre de particules heurtant DA par s = N :

fi pression = force / DA :

D x

D y

D z D z

px

p'x

†

Dpx = ¢ p x - px = 2px

†

Dpx

Dt= 2px

ux

2Dx=

pxux

Dx

†

N Dpx

Dt= N

pxux

Dx

†

P =N

DApxu x

Dx= n pxu x (n =

NDV

; DV = DADx)

1) gaz mono-atomique non-relativiste

(e : densité d’énergie cinétique moyenne = densité d’énergie interne)

†

e = n m2

u 2 = n 32

KBT

†

P =N

DApxu x

Dx= n pxu x px = mu x fi P = nm u x

2

†

ux2 = uy

2 = uz2 =

13

u 2 fi P =13

nm u 2 =23

e

†

fi P = nKBT

Pour un gaz parfait (= interaction des particules par collisionsélastiques; cas des atmosphères stellaires et des intérieurs, tantque la densité du gaz ne dépasse pas une valeur limite).

2) gaz de particules relativistes; ici : photonsLe rayonnement exerce une pression, liée à la force de Lorentz du champmagnétique de l’onde : le E de l’onde met une particule chargée enmouvement, le B exerce la force FL=quB le long de k.

†

E,B µei(k ⋅r-wt ) fi wB = k ŸE fi B = kw

E =Ec

fi FL = qEuc

=1c

dWdt

†

FL = dpdt

fi p =Wc

(e : densité d’énergie des photons + loi de Stefan du corps noir)

†

P =N

DApxu x

Dx= n pxu x p =

Wc

, u = c , pxu x = 13

pu

fi P =13

nW =13

e =13

aStT4

Pression et augmentation de latempérature

Molécules du gaz (énergie interne : U=S(Wcin+Wpot))• réalisent travail sur piston: dW = Fdx = pAdx = pdV• échangent de l’énergie avec leur environnement

(parois) : DQ

Conservation de l’énergie : dU = DQ - DW

Etoile ou nuage de gaz : pas de «!parois!», échange d’énergieavec l’environnement (=l’Univers) par absorption (DQ >0) etémission (DQ<0) de rayonnements.

Pression et température au centre duSoleil (équilibre hydrostatique)

Simplification: sphère uniforme (r=cte.)

†

dPdr

= -GM(r)

r2 r(r) ª -4pG

3rr 2

†

P R( ) - P 0( ) =dPdr

dr0

R

Ú = -4pG

3r 2 rdr

0

R

Ú = -G 4p3

R2

2r 2 = -

GMr 2R

fi P 0( ) =GMr 2R

=3

8p

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

GM 2

R4

Plasma électrons + protons :

†

P = neKBT + npKBT = 2nKBT

r = neme + npmp = n me + mp( ) = nmH

†

T 0( ) =mH P 0( )2KB r

=GMmH

4KB Rª 6 ¥106 K

Un effet quantique : pression dedégénérescence (électrons)

La pression n’est pas nécessairement liée à la température.Relation d’incertitude : DpxDx > h

DxÆ0 fi DpxÆ∞

†

Dx =1

ne1

3fi px ª

hDx

= hne1

3

Estimation de la pression résultante :

†

P = ne pxu x =ne

me

px2 = h2

me

ne5

3

Calcul plus précis (voir poly):

†

P =15

38p

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

23 h2

me

ne5

3

La pression de dégénérescence augmente au cours de lacontraction d’un gaz, indépendamment de la température.

Structure d’une étoile

2) La source d’énergie

Pourquoi le Soleil brille-t-il ?

Moteur à essence, consommation 8 l / 100 km,vitesse 100 km/h, puissance 40 kW

fi 8 kg de combustible pour 1 heureSoleil: puissance 4¥1026/4 ¥ 104=1022 fois supérieure, réservoir 2 ¥1030 /8 = 2,5 ¥ 1029 fois supérieur

fi fonctionne 2,5 ¥ 1029 / 1022 heures = 3 000 ansfi Bien trop court ! Quelle(s) alternative(s) ???

Combustion? Un petit exercice numérique: combien de tempsle Soleil pourrait-il briller comme aujourd’hui s’il étaitconstitué d’un combustible typique (p. ex.: essence) ?

Energie gravitationnelle

†

dWg = -GM(r)dM

r

†

Wg = -GM(r)

rdM

0

M R( )

Ú

Energie potentielle de la coquille de massedM et rayon r dans le champ de la masseM(r) :

Assemblage d’une sphère de masse M(R)¤ Travail réalisé sur le gaz

r

dr

M(r)

Sphère uniforme (r=cte.) :

†

M(r)dM =4p3

r3rÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜ 4pr2rdr = 3 4p

3r

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

r5dr

fi -GM(r)

rdM

0

M R( )

Ú = -3G 4p3

rÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

r4dr0

R

Ú = -3G 4p3

rÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2 R5

5= -

35

GM 2

R

Durée de vie du Soleil, si son seulréservoir d’énergie était la gravitation

• Modèle de sphère homogène de H : énergiegravitationnelle (= - énergie ayant été libérée lorsde l’assemblage du Soleil) :

• Perte d’énergie par rayonnement : L=4¥1026 W• Supposons que la luminosité ne change pas

pendant toute sa vie : †

Wg = -35

GM 2

R

†

t =Wg

Lª 6 ¥1014 s = 2t KH (= temps de Kelvin - Helmholtz)

Durée de vie d’env 10 millions d’années : insuffisante !

Energie gravitationnelle en équilibre HS

fi en équilibre HS : Wg=-2U (théorème du viriel)

La moitié de l’énergie gravitationnelle libérée lors de la contraction lente(succession d’équilibres HS) sert à augmenter l’énergie interne du gaz

(chauffage), l’autre moitié est rayonnée.

†

dPdr

= -GM(r)

r2 r r( )

†

¥4pr3 : -GM(r)

r2 4pr3r r( )0

R

Ú dr = -GM(r)

r2 rr r( )0

4 p3

R 3

Ú dV = -GM(r)

rdM

0

M R( )

Ú = Wg

†

dPdr

4pr3

0

R

Ú dr = P r( )4pr3[ ]0

R- 3P4pr3

0

R

Ú dr ª -3 PdV0

4p3

R 3

Ú = -2 edV0

4 p3

R 3

Ú = -2U

Energie nucléaire

• Les noyaux les plus stables sont ceux du fer (56 nucléons)• Libération d’énergie nucléaire par (a) la fission d’un élément lourd (p.

ex. U), (b) la fusion d’un élément léger (p. ex. H)

Energie de liaison /Nucléon [MeV]

Nombre de nucléons

Barrière de Coulomb et fusion nucléaire

Mécanique classique: particule(q2, Ecin<W0) s’approche d’uneparticule de charge q1 à ladistance r1 telle que

†

Ecin =q1q2

4pe0r1=

Z1Z2e2

4pe0r1

Mécanique quantique: relationd’incertitude Dp Dr ≥ hfi probabilité finie que laparticule pénètre dans puits depotentiel même si Ecin<W0. Tminimale pour H: ~107 K

r

RépulsionCoulombienne

µ1/r

Interaction forte

Ener

gie

pote

ntie

lle

r0

Ecin

r1

W0

4 noyaux d’hydrogène(protons)

Ø1 noyau d’hélium (He)

2 p se sont transformés enneutrons (n)

Fusion nucléaire au centre duSoleil :

p p

pp

nnp

p

Bilan des masses de cette réaction :

4 milliards de milliards de p: 6,690 micro-grammes1 milliard de milliards de noyaux de He: 6,646 micro-grammes

Masse «!perdue!» : 0,044 micro-grammes

La masse «!perdue!» se retrouve sous forme d’énergie :E = mc2 = 3,97 Mega-Joule = 1,10 kWh (Einstein 1905).

La fusion nucléaire au Soleil• Chaîne de fusions successives (Atkinson & Houtermans,

Bethe, von Weizsäcker 1930-1940)• Réaction la plus fréquente dans le Soleil:

Réaction Energie libérée

†

1H+1HÆ2H + e+ + n2H+1HÆ3He + g

¸ ˝ ˛

deux fois

†

1,44 MeV5,49 MeV

†

3He+3HeÆ4He + 2 1H( ) 12,85 MeV

Mécanisme confirmé par les mesures de la structure interne duSoleil («!Héliosismologie!») et le comptage des neutrinos.Domine dans les étoiles dont T(0)<2¥107 K.

Energie libérée par réaction : 28 MeV, dontenv 26 MeV (4,1¥10-12 J) sous forme de g

Durée de vie du Soleil, sur son budgetd’énergie nucléaire (fusion)

• Modèle de sphère homogène de H : nombre deréactions 4H Æ 4He, énergie totale dégagée(4,1¥10-12 J par réaction) : ???

• Perte d’énergie par rayonnement : L=4¥1026 W• Supposons que la luminosité ne change pas

pendant toute sa vie. Si la fraction f de la masse duSoleil peut fusionner en He, la durée de vie est

???

†

N =MS

4mp

ª 3 ¥1056 , W =1,2 ¥1045 J

†

t =fWL

ª 3 ¥1018 s ª1011 f ans

†

W µ M , L µ Ma fitt S

=MMS

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

1-a

(a = 3- 4)