Université d’Orléans – Faculté des Sciences

Licence de physique – 3ème année

ANALYSE NUMÉRIQUE

T. Dudok de Wit

Université d’OrléansJanvier 2013

Table des matières

1 Introduction 4

1.1 Un exemple : le calcul dep

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Interpolation et extrapolation 5

2.1 L’interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Autres fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Interpolation en plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Différentiation numérique 13

3.1 Estimation de la dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Estimation de la dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Dériver dans la pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Si f (x) est donnée par un tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.2 Si f (x) est donnée par son expression analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.3 Impact du bruit sur la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Intégration numérique 19

4.1 Méthodes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Méthodes composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Autres méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 L’intégration dans la pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Recherche des racines d’une fonction 25

5.1 Méthode de la bisection ou de la dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Méthode de la “Regula falsi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.4 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5 La recherche de racines dans la pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Intégration d’équations différentielles 33

6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2 Les méthodes d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.3 Stabilité des méthodes d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.4 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.5 L’intégration dans la pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.6 Intégrer lorsque l’ordre > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.7 Intégrer en présence de conditions de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2

Ce fascicule est un support au cours d’analyse numérique Il aborde : l’interpo-

lation, la dérivation et l’intégration numériques, la recherche de racines d’une

fonction et l’intégration d’équations différentielles. Deux autres chapitres de

l’analyse numérique (algèbre linéaire et optimisation) seront abordés dans le

cours de Nathalie Brun-Huret.

Les applications se feront avec le logiciel Scilab (un clone gratuit de matlab),

dont la documentation et les sources peuvent être téléchargées à l’adresse

http://www.scilab.org

Quelques références utiles disponibles à la BU sont :

• J.-Ph. Grivet, Méthodes numériques appliquées, EDP Sciences, 2009

(très proche du programme du cours, mais avec un contenu plus riche) :

http://www.edition-sciences.com/methodes-numeriques-appliquees.htm

• A. Fortin, Analyse numérique, Presses Internationales Polytechniques,

Montreal, 4ème édition, 2011 (bonne introduction, proche des applica-

tions) : http://giref.ulaval.ca/afortin.html

• C. Guilpin, Manuel de calcul numérique appliqué, EDP Sciences, 1999

(plus complet et plus théorique que le précédent).

• W. Press et al., Numerical Recipes in C, Cambridge University Press,

3ème édition, 2007 (LA référence sur les outils numériques) :

http://www.nr.com

Des références sur le logiciel Scilab

• Le site de Scilab : http://www.scilab.org

• Divers manuels d’introduction à Scilab :

http://www.scilab.org/resources/documentation/

• P. Depondt, Cours de physique numérique à l’ENS Cachan, 2011 (ex-

cellent cours en ligne, mais le niveau est plus proche d’un cours de mas-

ter) http://bit.ly/101JXn2

Pour me contacter : Thierry Dudok de Wit

email ddwit@cnrs-orleans.fr

http://lpc2e.cnrs-orleans.fr/~ddwit/enseignement.html

3

1 Introduction

L’ordinateur est aujourd’hui un outil incontournable pour simuler et modéliser les sys-

tèmes, mais il faut encore savoir exprimer nos problèmes en langage formalisé des

mathématiques pures. Nous sommes habitués à résoudre les problèmes de façon ana-

lytique, alors que l’ordinateur ne travaille que sur des suites de nombres. On verra dès

lors qu’il existe souvent plusieurs approches pour résoudre un même problème, ce qui

conduit à des algorithmes 1 différents. Un des objectifs de ce cours est de fournir des

bases rigoureuses pour développer quelques algorithmes utiles dans la résolution de

problèmes en physique.

Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit

être :

• rapide : le nombre d’opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit

être aussi réduit que possible.

• précis : l’algorithme doit savoir contenir les effets des erreurs qui sont inhé-

rentes à tout calcul numérique. Ces erreurs peuvent être dues à la modélisation,

à la représentation sur ordinateur ou encore à la troncature.

• souple : l’algorithme doit être facilement transposable à des problèmes diffé-

rents.

1.1 Un exemple : le calcul dep

x

Sur ordinateur, l’addition de deux entiers peut se faire de façon exacte mais non le

calcul d’une racine carrée. On procède alors par approximations successives jusqu’à

converger vers la solution souhaitée. Il existe pour cela divers algorithmes. Le suivant

est connu depuis l’antiquité (mais ce n’est pas celui que les ordinateurs utilisent).

Soit x un nombre réel positif dont on cherche la racine carrée. Désignons par a0 la

première estimation de cette racine, et par ǫ0 l’erreur associée.

px = a0 +ǫ0

Cherchons une approximation de ǫ0. Nous avons

x = (a0 +ǫ0)2 = a20 +2a0ǫ0+ǫ2

0

Supposons que l’erreur soit petite face à a0, ce qui permet de négliger le terme en ǫ20

x ≈ a20 +2a0ǫ0

Remplaçons l’erreur ǫ0 par un ǫ′0, qui en est une approximation, de telle sorte que

x = a20 +2a0ǫ

′0

1. Le mot algorithme vient du mathématicien arabe Al-Khwarizmi (VIIIè siècle) qui fut l’un des premiers à

utiliser une séquence de calculs simples pour résoudre certaines équations quadratiques. Il est un des pionniers

de l’al-jabr (algèbre).

4

On en déduit que

ǫ′0 = (x/a0 −a0)/2

Le terme

a1 = a0 +ǫ′0 =1

2

(

x

a0+a0

)

constitue une meilleure approximation de la racine que a0, sous réserve que le dé-

veloppement soit convergent. Dans ce dernier cas, rien ne nous empêche de recom-

mencer les calculs avec a1, puis a2, etc., jusqu’à ce que la précision de la machine ne

permette plus de distinguer le résultat final de la véritable solution. On peut donc dé-

finir une suite, qui à partir d’une estimation initiale a0 devrait en principe converger

vers la solution recherchée. Cette suite est :

ak+1 =1

2

(

x

ak+ak

)

, a0 > 0

L’algorithme du calcul de la racine carrée devient donc

1. Démarrer avec une première approximation a0 > 0 dep

x

2. A chaque itération k, calculer la nouvelle approximation ak+1 = (x/ak +ak )/2

3. Calculer l’erreur associée ǫ′k+1

= (x/ak+1 −ak+1)/2

4. Tant que l’erreur est supérieure à un seuil fixé, recommencer en 2.

Le tableau ci-dessous illustre quelques itérations de cet algorithme pour le cas où x = 4.

i ai ǫ′i

0 4 -1.5

1 2.5 -0.45

2 2.05 -0.0494

3 2.00061 -0.000610

4 2.00000009 -0.000000093

etc

Nous voyons que l’algorithme converge très rapidement, et permet donc d’estimer la

racine carrée d’un nombre moyennant un nombre limité d’opérations élémentaires

(additions, soustractions, divisions, multiplications). Il reste encore à savoir si cet al-

gorithme converge toujours et à déterminer la rapidité de sa convergence. L’analysenumérique est une discipline proche des mathématiques appliquées, qui a pour ob-

jectif de répondre à ces questions de façon rigoureuse.

2 Interpolation et extrapolation

Problème : Une fonction f (x) n’est connue que par quelques-uns de ses points de

colocation :(

x0, f (x0))

,(

x1, f (x1))

, . . . ,(

xn , f (xn))

. Comment fait-on pour évaluer cette

fonction f en un x donné, proche des points de colocation ?

5

Dans toutes les expériences où on est amené à évaluer une fonction f (x) pour dif-

férentes valeurs de x (par exemple la pression p(T ) en fonction de la température T

dans une machine thermique) il est fastidieux voire impossible d’évaluer une fonction

f (x) pour un grand nombre de valeurs de x. L’interpolation devient nécessaire chaque

fois que l’on veut estimer f (x) pour une valeur de x autre que celles dont on dispose.

Comme nous le verrons plus bas, l’interpolation se trouve aussi à la base de nombreux

algorithmes.

Exemple : Lors d’un balayage de fréquence, la réponse en amplitude d’un filtre

passe-haut a été mesurée à quelques fréquences différentes (cf. tableau ci-dessous).

Estimez la fréquence de coupure de ce filtre, sachant que la fonction de transfert du

filtre varie régulièrement avec la fréquence. Il faut donc interpoler les données et dé-

terminer à quelle fréquence correspond le gain de -3 [dB]. La figure 1 suggère que cette

fréquence de coupure vaut environ fc = 6500 Hz.

gain [dB] xk -0.39 -1.39 -1.73 -4.01 -3

fréquence [Hz] f (xk ) 2000 4000 4800 7500 ?

0 2000 4000 6000 8000 10000−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

?

frequence [Hz]

gain

[dB

]

FIGURE 1 – Les trois mesures ainsi que l’emplacement approximatif de la fréquence de coupure du filtre,

pour un gain de -3 dB

Avant d’interpoler ces données, il convient d’abord de

• changer les unités : les fréquences sont exprimées ici en Hz, mais il est plus com-

mode de les convertir en kHz de sorte à ne pas avoir à gérer des valeurs qui

s’écartent trop de l’unité.

• changer de représentation. Notre objectif est en effet d’évaluer la fréquence pour

un gain donné. Il est donc préférable de traiter la fréquence comme une fonction

du gain ( f = f (g )) plutôt que l’inverse (g = g ( f )).

6

Si on possède un modèle analytique exact de la fonction de transfert, il vaut mieux utili-

ser celui-ci pour faire un ajustement aux données et en déduire des valeurs interpolées.

En l’absence de modèle analytique, le plus simple consiste à ajuster des polynômes.

Les polynômes ont en effet l’avantage de se calculer aisément et de posséder des pro-

priétés mathématiques intéressantes (dont celle d’être aisément différentiables). Nous

avons deux options :

1. Soit on ajuste un seul polynôme à l’ensemble des points de colocation. Ce poly-

nôme ne pourra pas forcément passer par tous les points. Ce cas est illustré dans

la figure 2(a) ci-dessous. Le polynôme de degré 1 (une droite) ne passe pas par

tous les points et approxime relativement mal les mesures. Le polynôme de de-

gré 2 (une parabole) ne passe lui non plus par tous les points mais donne des

résultats visuellement meilleurs. Le polynôme de degré 3 passe exactement par

tous les points.

2. Soit on ajuste des polynômes différents aux différents intervalles, de façon à pas-

ser par tous les points. Le plus simple consiste à relier les mesures par des poly-

nômes de degré 1 (= des segments de droite). L’interpolation spline, qui est cou-

ramment utilisée dans la pratique, consiste à relier les points par des bouts de

polynôme de degré 3. On obtient ainsi une fréquence de coupure de fc = 7196

Hz.

−6 −4 −2 00

2

4

6

8

10

freq

uenc

e [k

Hz]

gain [dB]

(a)

mesuresdroiteparabolecubique

−6 −4 −2 00

2

4

6

8

10

freq

uenc

e [k

Hz]

gain [dB]

(b)

mesuresordre 1spline

FIGURE 2 – A gauche : interpolation des données par un polynôme unique. A droite : interpolation en

utilisant des polynômes différents pour chaque intervalle.

Il reste maintenant à savoir si le polynôme d’interpolation utilisé constitue une bonne

approximation de la fonction f (x) (dont, rappelons-le, on ne connaît que quatre va-

leurs), ou s’il est possible de faire mieux.

Sans perte de généralité, trions les valeurs des abscisses xi de telle sorte que x0 ≤ x1 ≤. . .≤ xn . Si la valeur de x qui nous intéresse se situe dans l’intervalle [x1, xn], on parlera

d’interpolation. Sinon, c’est d’extrapolation qu’il s’agira. L’extrapolation d’une fonc-

tion est un tache généralement beaucoup plus délicate que l’interpolation.

7

Il n’est pas nécessaire que les pivots xi soient équidistants, même si cela permet d’avoir

des algorithmes plus rapides.

2.1 L’interpolation polynomiale

Solution : une des solutions les plus simples consiste à faire passer par les points de

colocation(

xi , f (xi ))

un polynôme de degré k

pk (x) = a0 +a1x +a2x2 + . . .+ak xk

tel que

pk (xi ) = f (xi ) ∀i = 1, . . .n

puis à évaluer ensuite ce polynôme en x. Si ce polynôme approxime bien la fonction

f , on peut espérer que f (x) ≈ pk (x). Un théorème important dit ici que

Théorème : Par n + 1 points de colocation(

xi , f (xi ))

, d’abscisses différentes (xi 6=x j ∀i 6= j ), on ne peut faire passer qu’un et un seul polynôme de degré n.

0 1 2 3 4 5−2

−1

0

1

2

3

4

x

f(x)

mesuresp

4(x)

splinelog(x)

FIGURE 3 – Exemple d’ajustement d’une fonction f (x) = log(x) par un polynôme de degré quatre p4(x)

et par une fonction spline cubique s(x). La fonction f (x) n’est connue que par cinq points de colocation.

L’interpolation est satisfaisante, quelle que soit la fonction choisie. En revanche, l’extrapolation s’écarte

très vite de la valeur exacte, et ce pour tous les polynômes.

Par deux points ne passe donc qu’une seule droite. Par trois points une seule parabole,

etc. Il existe différentes approches pour construire ces polynômes. Toutes donnent for-

mellement le même résultat, mais leur utilité pratique varie considérablement (temps

de calcul, sensibilité aux erreurs d’arrondi, . . . ). La méthode de Lagrange est un mé-

thode simple et systématique pour construire des polynômes de degré quelconque.

8

Elle n’est cependant guère utilisée aujourd’hui en raison de son coût en temps de cal-

cul.

• Pour une fonction définie par deux points de colocation uniquement (n = 2), le

polynôme de Lagrange est de degré 1 et s’écrit

p1(x) = f (x0)x −x1

x0 −x1+ f (x1)

x −x0

x1 −x0

On vérifie que ce polynôme passe bien par les deux points de colocation puisque

p(x = x0) = f (x0) et p(x = x1) = f (x1).

• Pour une fonction définie par trois points de colocation, le polynôme de La-

grange est une parabole d’équation

p2(x) = f (x0)(x −x1)(x −x2)

(x0 −x1)(x0 −x2)+ f (x1)

(x −x0)(x −x2)

(x1 −x0)(x1 −x2)+ f (x2)

(x −x0)(x −x1)

(x2 −x0)(x2 −x1)

Pour une fonction définie par n +1 points de colocation, l’expression gé-

nérale du polynôme de Lagrange de degré n s’écrit

pn(x) =n∑

k=0

f (xk )Lk (x)

où Lk (x) désigne le polynôme de degré n

Lk (x) =(x −x0)(x −x1) · · ·(x −xk−1)(x −xk+1) · · ·(x −xn)

(xk −x0)(xk −x1) · · ·(xk −xk−1)(xk −xk+1) · · ·(xk −xn)

On vérifie que Lk (x) satisfait toujours la condition

Lk (xl ) ={

0 si l 6= k

1 si l = k

Erreur d’interpolation : l’interpolation polynomiale peut aisément générer des

valeurs absurdes, si elle n’est pas effectuée correctement. Il est donc essentiel de quan-

tifier l’erreur d’interpolation pour interpréter les résultats.

En analyse numérique , il est généralement impossible de connaître exactement l’erreur.

En effet, si tel était le cas, alors la solution exacte serait elle aussi connue. En revanche,

il est souvent possible d’estimer l’ordre de grandeur de l’erreur et de savoir comme cette

dernière se comporte dans différentes conditions. Cette information est nécessaire (mais

non suffisante) pour évaluer la fiabilité d’une méthode.

Appelons ǫn(x) l’écart ou erreur définie par

f (x) = pn(x)+ǫn(x)

9

Tout le problème consiste à estimer l’erreur sans disposer de la valeur de f (x) en tout

x. On supposera dans ce qui suit que les valeurs des points de colocation sont connues

exactement, ce qui n’est pas toujours vrai dans la pratique. Le théorème suivant est

alors utile

Théorème : Soit un ensemble de n + 1 points de colocation {(

x0, f (x0))

,(

x1, f (x1))

, . . . ,(

xn , f (xn))

}. On suppose que la fonction f (x) est définie dans l’intervalle

[x0, xn] et qu’elle est (n + 1)-fois dérivable dans l’intervalle ]x0, xn[. Il existe alors une

abscisse ξ ∈ [x0, xn] telle que

ǫn(x) =f (n+1)(ξ)

(n +1)!(x −x0)(x −x1) · · ·(x −xn)

où l’expression f (n+1)(ξ) désigne la dérivée (n + 1)-ième de f (x), évaluée en une abs-

cisse ξ inconnue.

Ce théorème nous apprend que

• l’erreur ǫn(x) est d’autant plus petite que la fonction f (x) est "lisse" (ses dérivées

supérieures restent petites).

• l’erreur ǫn(x) diminue quand x est proche d’un des points de colocation. Elle est

naturellement nulle aux points de colocation : ǫn(xi ) = 0, i = 0, . . . ,n

• pour un degré n élevé, le polynôme dans l’expression de l’erreur tend à osciller,

ce qui peut affecter l’interpolation.

0 2 4 6

0

5

10

15

x

f(x)

mesuresp

10(x)

FIGURE 4 – Exemple d’interpolation avec un polynôme de degré 10. Plus le degré est élevé, plus le poly-

nôme a tendance à osciller.

La figure 4 illustre ce qui se passe quand on interpole avec des polynômes de degré

élevé. Non seulement le calcul de ces polynômes de degré élevé présente des instabili-

tés numériques, mais en plus on voit apparaître des oscillations indésirables. Augmen-

ter le degré du polynôme ne fait qu’amplifier ces oscillations. D’où la règle générale

10

L’interpolation polynomiale est d’autant plus risquée que le degré du po-

lynôme est élevé. En pratique, on ne dépasse rarement le degré trois.

L’interpolation est d’autant meilleure que la fonction à ajuster est régu-

lière (continûment dérivable).

La figure 5 illustre l’interpolation d’une fonction qui n’est pas continûment dérivable.

La discontinuité augmente considérablement l’erreur d’interpolation.

2 4 6 8−2

0

2

4

6

8

10

12

x

f(x)

mesuresp

5(x)

splinesol. exacte

FIGURE 5 – Exemple d’ajustement d’une fonction discontinue par un polynôme de degré quatre p5(x) et

par une fonction spline cubique s(x). La fonction f (x) n’est connue que par six points de colocation.

2.2 Autres fonctions d’interpolation

Il existe de nombreuses autres méthodes d’interpolation ainsi que divers algorithmes

pour le calcul des coefficients des polynômes d’interpolation. Le cas où les pivots sont

équidistants se prête évidemment le mieux à un calcul rapide.

Le choix d’une méthode est généralement motivé par un ou plusieurs critères

- la simplicité de la programmation

- la rapidité de l’algorithme de calcul

- la capacité de la fonction à décrire f (x)

- le propriétés analytiques intéressantes

- la généralisation à plus de dimensions : comment interpoler une fonction de plu-

sieurs variables ? . . .

Citons ici les fonctions spline cubiques, qui sont devenues très populaires. Au lieu

de faire passer un unique polynôme de degré élevé par tous les points de coloca-

tion, on choisit de faire passer une cubique différente par chaque paire de points

11

(x0, x1), (x1, x2), . . . , (xn−1, xn). Le problème est a priori sous-déterminé, car il existe une

infinité de cubiques pouvant passer par deux points. Toutefois, si on impose en chaque

xi la continuité de f (x) ainsi que la continuité de la dérivée première f ′(x), la solution

devient unique. Le résultat est souvent plus satisfaisant qu’avec un polynôme de La-

grange, comme le montrent les figures 3 et 4. Il existe en outre des algorithmes rapides

pour le calcul des coefficients des splines.

2.3 Extrapolation

L’extrapolation est une tâche encore bien plus délicate que l’interpolation, car la rapide

divergence des fonctions polynômiales tend rapidement à donner des valeurs qui sont

totalement dénuées de sens. Contrairement à l’interpolation, il est indispensable de

disposer d’un modèle analytique de la fonction à étudier si on veut extrapoler celle-ci.

Sans un tel modèle, l’extrapolation sera peu crédible.

1800 1900 2000 21000

5

10

15

20

25

annee

effe

ctif

[mill

iard

]

mesuresp

5(x)

splineexponentielle

FIGURE 6 – Extrapolation de l’effectif de la population mondiale jusqu’en 2100.

Exemple : Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la popu-

lation mondiale. Différentes hypothèses de fécondité donnent des extra-

polations fort différentes. Selon le scénario malthusien (taux de natalité

constant), la concentration devrait continuer de croître de façon exponen-

tielle n(t) = n0e t/τ. Ce cas est illustré par la courbe en traitillé dans la figure

6. Une réduction progressive de ce taux permettrait au contraire de stabili-

ser l’effectif. Les extrapolation polynomiales dans la figure 6 ne s’appuient

sur aucun modèle et n’ont donc aucune valeur, même si le hasard veut que

le modèle spline soit en bon accord avec le modèle mathusien pour le siècle

à venir.

12

année t 1804 1927 1960 1974 1987 1999

effectif n(t) [milliard] 1 2 3 4 5 6

2.4 Interpolation en plusieurs dimensions

De nombreuses applications sont de grosses consommatrices d’interpolations à plu-

sieurs dimensions : les programmes faisant appel à des éléments finis, la CAO, les lo-

giciels utilisés pour générer des effets spéciaux dans les films, . . . La plupart des outils

(et en particulier les fonctions spline) peuvent être générées à plusieurs dimensions,

au prix d’une plus grande complexité.

3 Différentiation numérique

Une fonction f (x) continûment dérivable est connue par quelques-uns de ses points

de colocation. Comment fait-on pour évaluer la dérivée première f ′(x) et/ou les dé-

rivées d’ordre supérieur ? Ce besoin de différentiation numérique s’exprime dans de

nombreux domaines.

Exemple : La tension aux bornes d’un condensateur qui se décharge

est mesurée à des intervalles réguliers, donnant une suite de valeurs

{U0,U1,U2, . . . ,Un}. Pour estimer le courant de décharge I =CU , il faut déri-

ver une fonction dont on ne connaît que les points de colocation. Comment

procéder ?

La solution consiste ici à faire passer par les points de colocation un polynôme d’inter-

polation, puis à dériver celui-ci le nombre de fois nécessaire. On peut ainsi estimer la

dérivée aux points de colocation ou entre deux.

3.1 Estimation de la dérivée première

Le cas le plus simple est celui où il n’y a que deux points de colocation :(

x0, f (x0))

et(

x1, f (x1))

. Par ces points passe la droite d’équation

p1(x) =f (x1)− f (x0)

x1 −x0(x −x0)+ f (x0)

L’estimation de la dérivée première équivaut donc au coefficient directeur de la droite

f ′(x) ≈ p′1(x) =

f (x1)− f (x0)

x1 −x0, x ∈ [x0, x1]

Notons qu’elle prend la même valeur en tout point de l’intervalle [x0, x1]. Par ailleurs,

la dérivée seconde et toutes les dérivées supérieures sont nulles.

13

Estimation de l’erreur : Pour savoir quelle confiance accorder à l’expression

ci-dessus, il faut connaître l’erreur. Du chapitre précédent, nous tirons

f (x) = pn(x)+ǫn(x) ⇒ f ′(x) = p′n(x)+ǫ′n(x)

Supposons dorénavant que les abscisses des points de colocation sont régulièrement

réparties, et appelons h = xi+1 − xi l’écartement ou pas entre deux abscisses voisines.

On peut alors montrer que

ǫ′n(x) = (−1)n f (n+1)(ξ)

(n +1)!hn , ξ ∈ [x0, xn]

L’erreur varie donc comme ǫ′n(x) ∼ hn . On dira qu’elle est d’ordre n et on écrira fré-

quemment de façon abrégée ǫ′n(x) ∼O (hn)

Avec deux points de colocation, l’expression de la dérivée première d’ordre 1 peut

s’écrire de deux façons différentes. Soit on estime la pente de la droite qui passe par

le point de colocation suivant (différence avant), soit on prend la pente de la droite

passant par le point qui précède (différence arrière).

f ′(xk ) =f (xk+1)− f (xk )

h+O (h) différence avant d’ordre 1

f ′(xk ) =f (xk )− f (xk−1)

h+O (h) différence arrière d’ordre 1

Avec trois points de colocation, le polynôme d’interpolation devient une parabole. A

partir de cette dernière, on peut évaluer la dérivée première en chacun des trois points

f ′(xk−1) =− f (xk+1)+4 f (xk )−3 f (xk−1)

2h+O (h2) différence avant d’ordre 2

f ′(xk ) =f (xk+1)− f (xk−1)

2h+O (h2) différence centrée d’ordre 2

f ′(xk+1) =3 f (xk+1)−4 f (xk )+ f (xk−1)

2h+O (h2) différence arrière d’ordre 2

Pour les différences d’ordre 2, l’erreur varie asymptotiquement comme h2 alors que

pour les différences d’ordre un, elle varie comme h. Pour une fonction f suffisamment

lisse et pour un petit pas h donné, la différence d’ordre 2 donnera généralement une

erreur plus petite.

Trois raisons nous poussent à préférer la différence centrée d’ordre 2 :

1. D’abord, son terme d’erreur est en O (h2) et non en O (h)

2. Un calcul plus détaillé montre ensuite que parmi les trois estimateurs d’ordre 2,

c’est la différence centrée qui possède en moyenne l’erreur la plus petite.

3. Enfin, et c’est là un point crucial : la différence centrée d’ordre 2 ne nécessite

que la connaissance de deux points de colocation. En effet, la valeur du point en

lequel on estime la dérivée n’entre pas en jeu. Le coût en calcul est donc identique

à celui d’une différence d’ordre 1, pour un résultat meilleur.

14

x0 x1 x2

f(x0)

f(x1)

f(x2)

diff. avantdiff. centreediff. arriere

FIGURE 7 – Illustration des dérivées avant et arrière d’ordre 1, et de la dérivée centrée d’ordre 2 au point

d’abscisse x = x1.

Exemple : L’estimation de la dérivée de f (x) = 1/x en x = 2 par différentes

méthodes donne les résultats ci-dessous. On constate que pour h suffisam-

ment petit, réduire le pas d’un facteur 10 revient à diminuer l’erreur d’un

facteur 10 pour la méthode d’ordre 1 et d’un facteur 100 pour la méthode

de d’ordre 2. En revanche, pour des grands pas h, la méthode d’ordre 1 est

plus proche de la réalité. La différence centrée d’ordre 2 est donc plus inté-

ressante, à condition que le pas soit suffisamment petit, et pour autant que

la fonction f à dériver soit suffisamment continue.

pas différence centrée différence avant

d’ordre 2 d’ordre 1

h f ′(x = 2) |ǫ| f ′(x = 2) |ǫ|1.50000000 -0.57142857 0.32142857 -0.14285714 0.10714286

1.00000000 -0.33333333 0.08333333 -0.16666667 0.08333333

0.10000000 -0.25062657 0.00062657 -0.23809524 0.01190476

0.01000000 -0.25000625 0.00000625 -0.24875622 0.00124378

0.00100000 -0.25000006 0.00000006 -0.24987506 0.00012494

0.00010000 -0.25000000 0.00000000 -0.24998750 0.00001250

0.00001000 -0.25000000 0.00000000 -0.24999875 0.00000125

3.2 Estimation de la dérivée seconde

La procédure reste la même pour les dérivées secondes, sauf que le polynôme d’in-

terpolation doit être dérivé deux fois. Comme ce polynôme doit être au minimum de

degré 2 (sinon sa dérivée seconde est nulle), on en déduit qu’il faut au minimum trois

points de colocation.

15

Pour trois points de colocation, on obtient les expressions

f ′′(xk−1) =f (xk+1)−2 f (xk )+ f (xk−1)

h2+O (h2) différence avant d’ordre 2

f ′′(xk ) =f (xk+1)−2 f (xk )+ f (xk−1)

h2+O (h2) différence centrée d’ordre 2

f ′′(xk+1) =f (xk+1)−2 f (xk )+ f (xk−1)

h2+O (h2) différence arrière d’ordre 2

A titre de comparaison, la différence centrée d’ordre 4 s’écrit

f ′′(xk ) =− f (xk−2)+16(xk−1)−30 f (xk )+16 f (xk+1)− f (xk+2)

h4+ O (h4)

3.3 Dériver dans la pratique

3.3.1 Si f (x) est donnée par un tableau de valeurs

Si la fonction à dériver est spécifiée par un ensemble de points de colocation (= son

expression analytique n’est pas connue) alors le pas est imposé. Le seul degré de li-

berté dont on dispose reste le degré du polynôme d’interpolation utilisé pour évaluer

la dérivée.

Augmenter le degré du polynôme peut sembler intéressant, mais nous avons vu que

les polynômes d’interpolation de degré supérieur à 3 sont rarement recommandables.

Par ailleurs, un telcalcul nécessitera davantage d’opérations de calcul.

3.3.2 Si f (x) est donnée par son expression analytique

La situations est fort différente lorsque l’expression analytique de la fonction à dériver

est connue. En effet les points de colocation peuvent alors être choisis librement et on

peut prendre un pas h aussi petit que souhaité.

On pourrait penser qu’il vaut mieux choisir un pas h très petit pour augmenter la préci-

sion du calcul. C’est souvent vrai. Toutefois, lorsque h devient trop petit, le résultat est

entaché par des erreurs d’arrondi. En effet, suivant le type de fonction à dériver, il arri-

vera un moment où l’écart f (x +h)− f (x) sera inférieur à la précision du calculateur.

Le résultat sera alors erroné.

Il existe donc une valeur optimale du pas qui dépendra de la fonction f (x) à dériver

et de la précision du calculateur. Pour une calculette de poche, la valeur relative du

pas se situera typiquement entre h/x = 10−2 et h/x = 10−6. Pour un calcul en double

précision, le pas relatif pourra parfois descendre jusqu’à h/x = 10−12.

16

3.3.3 Impact du bruit sur la dérivation

La différentiation numérique est une procédure qui amplifie fortement le bruit dans

un signal. La figure 8 illustre le cas de la dérivation de la fonction f (x) = sin(x) lorsque

cette dernière est affectée par du bruit additif de faible amplitude.

0 2 4 6 8

−1

−0.5

0

0.5

1

x

f(x)

f(x)=sin(x) sans bruit

0 2 4 6 8

−1

−0.5

0

0.5

1

x

f(x)=sin(x) avec bruit

0 2 4 6 8

−1

−0.5

0

0.5

1

x

f’(x)

f’(x) sans bruit

0 2 4 6 8

−1

−0.5

0

0.5

1

x

f’(x) avec bruit

FIGURE 8 – Dérivation de la fonction f (x) = sin(x) avec un léger bruit additif (à droite) et sans bruit

additif (à gauche). La rangée de haut représente la fonction f (x) avec ses points de colocation. La rangée

de bas représente la fonction différenciée, avec la dérivée avant d’ordre 1 (traitillé), la dérivée arrière

d’ordre 1 (trait fin) et la dérivée centrée d’ordre 2 (trait épais).

Pour résumer, il est conseillé de

17

Pour les dérivées d’ordre 1 et 2, les expressions les plus intéressantes sont

les différences centrées d’ordre 2

f ′(xk ) =f (xk+1)− f (xk−1)

2h+O (h2)

f ′′(xk ) =f (xk+1)−2 f (xk )+ f (xk−1)

h2+O (h2)

En général, plus le terme d’erreur O (hp ) est d’ordre élevé, plus le résultat

tendra à être précis. Mais ceci n’est pas toujours vrai lorsque les données

sont affectées de bruit. De fait, les dérivées d’ordre supérieur et les expres-

sions d’ordre supérieur à 2 sont rarement utilisées.

A titre d’exemple, un programme de calcul simplifié de la dérivée par différence cen-

trée s’écrit en Scilab

1 function [dydx] = derivee(y,h)

2

3 // y : vecteur de valeurs a deriver

4 // h : pas de derivation

5 // dydx : difference centree de y(x) (vecteur colonne )

6

7 y = y(:);

8 n = length(y);

9 dydx = zeros(n,1);

10 dydx(1) = y(2)-y(1);

11 dydx(n) = y(n)-y(n-1);

12 dydx(2:n-1) = (y(3:n)-y(1:n-2)) / 2;

13 dydx = dydx / h;

14 endfunction

où y est un vecteur d’ordonnées obtenues pour des abscisses espacées de h. Voici la

même fonction, écrite sous une forme plus compacte

1 function [dydx] = derivee(y,h)

2

3 // y : vecteur de valeurs a deriver

4 // h : pas de derivation

5 // dydx : difference centree de y(x) (vecteur colonne )

6

7 y = y(:); // met y en vecteur colonne

8 dydx = [y(2)-y(1); (y(3:$)-y(1:$-2))/2; y($)-y($-1)]/h;

9 endfunction

Si l’expression analytique de la fonction f (x) est connue, alors on peut procéder diffé-

remment :

18

1 function [dfdx] = derivee(f,x)

2

3 // f : nom de la fonction a deriver

4 // x : vecteur d’abscisses ou il faut evaluer la derivee

5 // dfdx : valeur de la derivee (vecteur colonne)

6

7 x = x(:); // met x en vecteur colonne

8 dx = [x(2)-x(1); (x(3:$)-x(1:$-2))/2; x($)-x($-1)]; // le pas

9 y = f(x); // evalue en x la fonction dont le nom est dans f

10 dfdx = [y(2)-y(1); (y(3:$)-y(1:$-2))/2; y($)-y($-1)] ./ dx;

11 endfunction

Il faut ensuite définir la fonction à dériver. Par exemple pour f (x) = xe−x nous aurions

function f = mafonction(x)// definit la fonction dont il faut evaluer la deriveef = exp(-x).*x;endfunction

Et le résultat s’obtient en exécutant dans la console

z = derivee(mafonction,x);

4 Intégration numérique

Le problème de l’intégration numérique (ou quadrature) peut se présenter de deux

façons différentes :

Problème 1 : Une fonction f (x) est connue par quelques-uns de ses points de

colocation {(

xi , f (xi ))

}ni=0

(qui sont régulièrement espacés ou non). Comment fait-on

pour estimer la valeur de l’intégrale∫xn

x0f (x)d x, alors que l’expression analytique de

f (x) n’est pas connue ?

Un exemple : la décharge d’un courant I (t) dans une bobine d’inductance L

est étudiée en mesurant le courant des intervalles de temps réguliers. Cela

donne une suite {I0, I1, . . . , In}. Comment estimer l’énergie W = 12

L∫

I 2 d t ?

Problème 2 : On cherche la valeur de l’intégrale définie∫b

a f (x) d x lorsque l’ex-

pression analytique de l’intégrand f (x) est connue, mais non sa primitive.

Un exemple : calculer∫b

a e−x2d x

19

Solution : Ces deux problèmes, pourtant très différents, peuvent être résolus avec les

mêmes outils. Comme dans le chapitre précédent, nous interpolons la fonction f (x) ou

ses points de colocation avec un polynôme, puis nous intégrons explicitement ce po-

lynôme. Nous supposerons dans ce qui suit que la distance entre points de colocation

adjacents est constante et vaut h (le pas).

4.1 Méthodes simples

Commençons par le cas le plus simple : estimer l’intégrale définie par seulement deux

points de colocation (n = 1). Par ces deux points passe le polynôme de degré 1

p1(x) =f (x1)− f (x0)

x1 −x0(x −x0)+ f (x0)

Or nous avons∫x1

x0

f (x)d x =∫x1

x0

p1(x)d x +∫x1

x0

ǫ1(x)d x

ce qui donne∫x1

x0

f (x)d x =h

2

(

f (x0)+ f (x1))

+O (h3)

Cette méthode est dite méthode des trapèzes puisque l’aire est approximée par un tra-

pèze (cf. figure 9).

0 2 4 60

1

2

3

4

x

f(x)

n=1

0 2 4 60

1

2

3

4

x

n=2

FIGURE 9 – Exemple d’intégration d’une fonction par interpolation avec un polynôme du premier et du

second degré. La valeur de l’intégrale correspond à l’aire de la figure en gris.

En ajoutant un point de colocation entre les deux premiers, nous pouvons améliorer le

résultat et interpoler par une parabole. Cela donne la méthode de Simpson

∫x2

x0

f (x)d x =h

3

(

f (x0)+4 f (x1)+ f (x2))

+O (h5)

20

Notons que pour un pas h suffisamment petit, la méthode de Simpson donne une

erreur considérablement plus petite que celle de la méthode des trapèzes. On peut

supposer que le résultat s’améliore davantage en approximant l’intégrale avec quatre

points. Toutefois, pour les raisons évoquées plus haut, il n’est guère recommandé de

recourir à des polynômes de degré plus élevé.

Comment faut-il alors procéder pour intégrer des fonctions données par un grand

nombre de points de colocation ? Au lieu d’augmenter le degré du polynôme, il suffit

d’appliquer séparément la méthode des trapèzes ou se Simpson à chacun des inter-

valles. Cela donne les formules dites composées.

0 2 4 60

1

2

3

4

x

f(x)

trapezes n=6

0 2 4 60

1

2

3

4

x

Simpson n=6

FIGURE 10 – Exemple d’intégration d’une fonction avec une méthode composée : la méthode des tra-

pèzes (à gauche) et celle de Simpson (à droite).

4.2 Méthodes composées

Pour intégrer avec la méthode des trapèzes une fonction dont les abscisses sont

{x0, x1, . . . , xn}, il suffit d’appliquer séparément la méthode des trapèzes à chaque in-

tervalle. Cela donne∫xn

x0

f (x)d x =h

2

(

f (x0)+ f (x1))

+h

2

(

f (x1)+ f (x2))

+·· ·+h

2

(

f (xn−1)+ f (xn))

+O (nh3)

= h(1

2f (x0)+ f (x1)+ f (x2)+·· ·+ f (xn−1)+

1

2f (xn)

)

+O (nh3)

Dans la pratique, les bornes d’intégration x0 et xn sont généralement fixées, mais non

le nombre n d’intervalles. C’est donc sur ce dernier qu’il faut jouer pour améliorer la

précision des résultats. Comment varie le terme d’erreur en fonction de n ? Nous avons

nh3 = n(xn −x0

n

)3∼

1

n2

L’erreur d’intégration varie donc comme n−2 et nous noterons O (n−2). Contrairement

à la dérivation, où le paramètre-clé est le pas h, ici nous travaillons plutôt sur le nombre

d’intervalles n.

21

Avec la méthode de Simpson (en prenant des intervalles qui ne se chevauchent pas),

on obtient la formule de Simpson composée. Comme chaque intervalle nécessite trois

points de colocation, le nombre n d’intervalles doit obligatoirement être pair. Cela

donne∫xn

x0

f (x)d x =h

3

(

f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+·· ·+4 f (xn−1)+ f (xn))

+O (n−4)

4.3 Autres méthodes

On utilise aujourd’hui plus couramment des méthodes adaptatives qui, pour un

nombre d’intervalles n donné, offrent une erreur plus petite ou bien qui permettent de

sélectionner le meilleur nombre d’intervalles (pour une précision donnée) en procé-

dant par itérations. La méthode de Romberg consiste à combiner astucieusement une

interpolation par des polynômes de différents degrés pour réduire davantage le terme

d’erreur. Les méthodes de quadrature de Gauss cherchent à minimiser l’erreur d’in-

tégration en choisissant convenablement les abscisses xi (qui ne sont plus forcément

réparties uniformément). Enfin, il existe des méthodes spécialement adaptées à l’inté-

gration de fonctions qui présentent des singularités, comme par exemple f (x) = x−1/2.

4.4 L’intégration dans la pratique

Les problèmes d’intégration numérique sont comparables à ceux rencontrés dans la

différentiation numérique. Augmenter le nombre n d’intervalles (lorsque c’est pos-

sible) améliore généralement les résultats. Toutefois, lorsque n devient trop grand, le

temps de calcul devient prohibitif et le résultat est corrompu par les erreurs d’arrondi.

Suivant le type de fonction, n peut varier de n = 100− 106 ou plus. Il existe des mé-

thodes qui permettent de déterminer le nombre n optimal de façon récursive.

Exemple de calcul avec un intégrand connu

On cherche la valeur de l’intégrale I =∫1

0 e−x d x donne

méthode des trapèzes méthode de Simpson

n I ǫ I ǫ

2 0.6452351 -0.0131 0.6323336 -0.000213

4 0.6354094 -0.00328 0.6321341 -0.0000136

10 0.6326472 -0.000526 0.6321209 -0.000000351

100 0.6321258 -0.00000526 0.6321209 -0.0000000000351

1000 0.6321206 -0.0000000526 0.6321209 -0.00000000000000351

22

On s’aperçoit qu’en décuplant le nombre d’intervalles, l’erreur chute d’un facteur 102

pour la méthode des trapèzes (qui est d’ordre O (n−2)), et d’un facteur 104 pour la mé-

thode de Simpson, d’ordre O (n−4). Ceci est illustré dans la figure 11. A précision com-

parable, la méthode de Simpson nécessite donc moins de opérations arithmétiques.

Attention : ceci est vrai uniquement pour un nombre d’intervalles n ≫ 1. Quand ce

nombre est faible (typiquement n < 10), il peut arriver que la méthode des trapèzes

offre un meilleur résultat.

Exemple de calcul avec une suite de points de colocation

Quelle est la distance parcourue par un objet dont les mesures de vitesse ont donné ?

t [s] 5 6 7 8 9 10 11 12 13

v [m/s] 20 19 17 13 8 5 2 1 0

On trouve respectivement

Méthode ordre résultat

Méthode des rectangles n−1 85.00 m

Méthode de trapèzes n−2 75.00 m

Méthode de Simpson n−4 75.33 m

Dans cet exemple, le résultat exact n’est pas connu car l’expression analytique de f (x)

ne l’est pas non plus.

100

102

104

106

10−15

10−10

10−5

100

n

ε(n)

eps

TrapezesSimpson

FIGURE 11 – Evolution de l’erreur d’intégration en fonction du nombre d’intervalles n, pour la méthode

des trapèzes et celle de Simpson. La fonction intégrée est ici∫π

0 sin x d x. Notez que l’erreur cesse du

chuter lorsque sa valeur devient comparable à la précision machine. Inutile d’augmenter n dans ce cas !

23

Avant d’intégrer une fonction, il faut la visualiser au préalable, afin détermi-

ner si elle se prête bien à une intégration numérique (régularité, disconti-

nuités, singularités,. . . ) et pour estimer le pas.

Le pas doit toujours être choisi h ≪ T , où T est l’échelle caractéristique sur

laquelle la fonction f (x) varie. Pour une fonction périodique, par exemple,

T sera la période.

Les méthodes d’intégration classiques sont la méthode des trapèzes et celle

de Simpson. La seconde offre, à temps de calcul équivalent, un résultat gé-

néralement meilleur.∫xn

x0

f (x)d x = h(1

2f (x0)+ f (x1)+ f (x2)+·· ·+ f (xn−1)+

1

2f (xn)

)

+O (n−2)

∫xn

x0

f (x)d x =h

3

(

f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+·· ·+4 f (xn−1)+ f (xn))

+O (n−4)

Un programme de calcul simplifié de l’intégrale par la méthode des trapèzes, lorsque

l’expression analytique de l’intégrand est connue, est donné ci-dessous. On pourrait

aussi passer le nom de l’intégrand comme argument.

1 function [y] = trapezes (f,a,b,n)

2

3 // f : nom de la fonction a integrer

4 // a : borne inferieure

5 // b : borne superieure

6 // n : nombre d’intervalles

7 // y : integrale

8

9 x = linspace (a,b,n+1)’;

10 y = f(x); // evalue en x la fonction dont le nom est dans f

11 h = x(2)-x(1); // le pas

12 I = (sum(y) - 0.5*(y(1)+y($)))*h;

13 endfunction

La même fonction, basée sur la méthode de Simpson, donne

1 function [I] = simpson(f,a,b,n)

2

3 // f : nom de la fonction a integrer

4 // a : borne inferieure

5 // b : borne superieure

6 // n : nombre d’intervalles (pair)

7 // I : integrale

8

9 n = 2*int(n/2); // garantit que n soit pair

10 x = linspace (a,b,n+1)’;

11 y = f(x); // evalue en x la fonction dont le nom est dans f

12 h = x(2)-x(1); // le pas

13 I = y(1)+y($) + 4*sum(y(2:2:$-1)) + 2*sum(y(3:2:$-2));

24

14 I = I*h/3;

15 endfunction

Par intégrer, il fait leur fournir le nom de la fonction qui définit l’intégrand. Par

exemple, pour calculer∫1

0 e−x2d x avec la méthode des trapèzes en prenant 400 noeuds,

on commence par définir l’intégrand

function f = integrand(x)// definit l’integrand pour le calcul d’integralef = exp(-x.*x);endfunction

ou encore définir dans la console une fonction avec la commande deff

deff(’[y]=integrand(x)’,’y=exp(-x.*x)’)

puis dans la console on exécute la commande

I = trapezes(integrand,0,1,400)

5 Recherche des racines d’une fonction

Problème : Une fonction f (x) connue en chacun de ses points possède une ou plu-

sieurs racines (ou zéros) {xi | f (xi ) = 0}. Comment fait-on pour déterminer ces racines ?

Il existe de nombreuses méthodes de recherche de racines. Toutes sont itératives : par-

tant d’une ou de plusieurs estimations de la racine, ces méthodes convergent en prin-

cipe par itérations successives. Le problème consiste à trouver un compromis entre

la vitesse (il faut limiter le nombre d’opérations de calcul) et la fiabilité (il faut que la

méthode converge sûrement vers la valeur souhaitée).

Dans la pratique, on est souvent amené à alterner différentes méthodes en fonction des

caractéristiques de la fonction. Notons aussi que le problème courant de la recherche

de zéros en plusieurs dimensions {(xi , yi , . . .) | f (xi , yi , . . .) = 0} est nettement plus com-

plexe et fait aujourd’hui encore l’objet d’intenses recherches.

5.1 Méthode de la bisection ou de la dichotomie

Supposons que l’intervalle dans lequel se situe la racine soit connu. La méthode de

la bisection offre une convergence lente mais sûre vers la racine. Cette méthode est

recommandée lorsque la fonction présente des discontinuités ou des singularités.

25

Procédure à suivre : La racine se trouve initialement dans l’intervalle de re-

cherche [xk , xk+1]. On a donc f (xk ) · f (xk+1) ≤ 0. L’algorithme devient

1. choisir comme nouvelle abscisse xk+2 = (xk + xk+1)/2, le point milieu de l’inter-

valle :

2. si f (xk ) · f (xk+2) ≤ 0, la solution se trouve dans l’intervalle [xk , xk+2], qui devient

alors le nouvel intervalle de recherche

3. au contraire, si f (xk ) · f (xk+2) ≥ 0, le nouvel intervalle de recherche devient

[xk+2, xk+1]

4. revenir au point 1. jusqu’à ce qu’il y ait convergence.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−4

−2

0

2

4

6

x

f(x)

x0

x1

x2

x3

x4x

∞

FIGURE 12 – Représentation des premières itérations avec la méthode de la bisection pour f (x) = x2 −4.

On peut montrer que cette méthode possède une convergence linéaire : si ǫk = |x −xk |est l’écart à la k-ième itération entre xk et la racine x∞, alors en moyenne ǫk+1 = c ǫk ,

où 0 < c < 1 est une constante.

Exemple : reprenons l’exemple de l’introduction, qui consiste à calculer la racine

carrée de 4. Posons f (x) = x2 −4 = 0, dont la solution est la racine recherchée. L’inter-

valle de départ est [0.5,3]. Cela donne

itération intervalle nlle valeur erreur

k xk+2 f (xk+2) |ǫk+2|0 [0.5000, 3.0000] 1.7500 -0.9375 0.2500

1 [1.7500, 3.0000] 2.3750 1.6406 0.3750

2 [1.7500, 2.3750] 2.0625 0.2539 0.0625

3 [1.7500, 2.0625] 1.9062 -0.3662 0.0938

4 [1.9062, 2.0625] 1.9844 -0.0623 0.0156

5 [1.9844, 2.0625] 2.0234 0.0943 0.0234

6 [1.9844, 2.0234] 2.0039 0.0156 0.0039

etc

26

5.2 Méthode de la “Regula falsi”

Lorsque la fonction f (x) peut être approximée par une droite dans le voisinage de sa

racine, alors la convergence peut généralement être accélérée en effectuant une inter-

polation linéaire au lieu de prendre le point milieu. Cela conduit à la méthode de la

Regula Falsi ou des parties proportionnelles.

Procédure à suivre : Comme dans la méthode de la bisection, on suppose que

la racine se trouve initialement dans l’intervalle de recherche [xk , xk+1]. L’algorithme

devient

1. interpoler la fonction f (x) dans cet intervalle par une droite. On prend comme

nouvelle valeur xk+2 l’endroit où cette corde intercepte l’axe des abscisses

xk+2 = xk+1 − f (xk+1)xk+1 −xk

f (xk+1)− f (xk )

2. si f (xk ) · f (xk+2) ≤ 0, l’intervalle qui encadre la solution devient [xk , xk+2]

3. au contraire, si f (xk+1) · f (xk+2) ≥ 0, l’intervalle devient [xk+2, xk+1]

4. revenir en 1. jusqu’à ce qu’il y ait convergence.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−4

−2

0

2

4

6

x

f(x)

x0

x1

x2

x3

x∞

FIGURE 13 – Représentation des premières itérations de la méthode de la Regula falsi pour f (x) = x2 −4.

La convergence est légèrement meilleure que celle de la méthode de la bisection. Elle

est dite supralinéaire, car en moyenne ǫk+1 = c ǫ1.618...k

, où 0 < c < 1 est une constante.

Exemple : Le tableau ci-dessous illustre les premières itérations pour le cas où f (x) =x2 −4.

27

itération intervalle nlle valeur erreur

k [a,b] xk+2 |ǫk+2|0 [0.5000, 3.0000] 1.5714 0.42857

1 [1.5714, 3.0000] 1.9062 0.09375

2 [1.9062, 3.0000] 1.9809 0.01911

3 [1.9809, 3.0000] 1.9962 0.00384

4 [1.9962, 3.0000] 1.9992 0.00077

etc

Voici un exemple de code Scilab qui estime la racine d’une fonction (dont l’expres-

sion analytique est connue) par la méthode de la Regula falsi.

1 function [x2] = regulafalsi(f,x0,x1,epsilon)

2

3 // f : nom de la fonction a etudier

4 // x0 : borne inferieure de l’intervalle

5 // x1 : borne superieure de l’intervalle

6 // epsilon : tolerance sur la solution

7 // x2 : racine

8

9 maxiter = 50; // nombre maximum d’iterations

10 k = 1;

11 f0 = f(x0);

12 f1 = f(x1);

13

14 while k<maxiter

15 x2ancien = x0;

16 x2 = x0 - f0*(x1-x0)/(f1-f0+%eps);

17 f2 = f(x2);

18 disp([x2 f2])

19 if f1*f2 <0

20 x0 = x2;

21 f0 = f2;

22 else

23 x1 = x2;

24 f1 = f2;

25 end

26 k = k+1;

27 if abs(x2-x2ancien )<epsilon , break , end

28 end

29 if k==maxiter , disp(’**␣pas␣de␣convergence␣**’), end

30 endfunction

Il faut ensuite définir séparément la fonction à étudier. Par exemple, pour f (x) = e−x +x/5−1, on prend

function [f] = racine(x)// definit la fonction dont on veut la racinef = exp(-x) + x/5 - 1;endfunction

28

et pour lancer la recherche de racines dans l’intervalle [0,10] il faut écrire dans la

console

z = regulafalsi(racine,0,10,1e-6);

5.3 Méthode de la sécante

Cette méthode est très proche de la précédente. Toutefois, au lieu de prendre à chaque

itération l’intervalle qui encadre la racine, on définit le nouvel intervalle à partir des

deux dernières valeurs.

Procédure à suivre : On suppose que la racine se trouve initialement à proximité

(mais pas forcément dans) de l’intervalle de recherche [xk , xk+1]. L’algorithme devient

1. interpoler la fonction f (x) dans cet intervalle par une droite. On prend comme

nouvelle valeur xk+2 l’endroit où cette corde intercepte l’axe des abscisses

xk+2 = xk+1 − f (xk+1)xk+1 −xk

f (xk+1)− f (xk )

2. le nouvel intervalle de recherche devient [xk+1, xk+2]

3. revenir en 1. jusqu’à ce qu’il y ait convergence.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−4

−2

0

2

4

6

x

f(x)

x0

x1

x2

x3

x∞

FIGURE 14 – Représentation des premières itérations de la méthode de la sécante pour f (x) = x2 −4.

La convergence est légèrement plus rapide qu’avec la méthode de la Regula falsi. En

revanche, la méthode de la sécante est moins robuste car il n’est plus garanti que la

solution se trouve à l’intérieur de l’intervalle.

Exemple : Le tableau ci-dessous illustre les premières itérations pour le cas où f (x) =x2 −4.

29

itération intervalle nlle valeur erreur

k [xk , xk+1] xk+2 |ǫk+2|0 [0.5000, 3.0000] 1.5714 0.42857

1 [3.0000, 1.5714] 1.9062 0.09375

2 [1.5714, 1.9062] 2.0116 0.01155

3 [1.9062, 2.0116] 1.9997 0.00028

etc

5.4 Méthode de Newton

La méthode de Newton s’applique aux fonctions donc on connaît l’expression analy-

tique de la dérivée première f ′(x). Contrairement aux deux méthodes précédentes, il

suffit de connaître une seule estimation initiale x de la racine x∞. Supposons que cette

estimation soit suffisamment proche de la racine pour justifier un développement li-

mité

f (x∞) = f (x +δ) = f (x)+δ f ′(x)+1

2δ2 f ′′(x)+O (δ3) = 0

Siδ est suffisamment petit, on peut négliger les termes d’ordre supérieur à 2, pour avoir

f (x)+δ f ′(x)+O (δ2) = 0

soit

δ=−f (x)

f ′(x)

ce qui donne enfin la suite

xk+1 = xk −f (xk )

f ′(xk )

Procédure à suivre : Connaissant une estimation initiale xk de la racine, il faut

donc

1. calculer δ=− f (xk )

f ′(xk )

2. la nouvelle estimation de la racine devient xk+1 = xk +δ

3. poursuivre en 1. jusqu’à ce qu’il y ait convergence

La convergence de cette méthode est quadratique, car en moyenne ǫk+1 = c ǫ2k

où

0 < c < 1 est une constante. Mais cette propriété n’est assurée que dans un voisinage

immédiat de la racine. Ailleurs, la convergence peut devenir nettement moins favo-

rable.

Exemple : reprenons toujours le même exemple du calcul de la racine, avec f (x) =x2 −4. Alors

xk+1 = xk −f (xk )

f ′(xk )= xk −

x2k−4

2xk=

1

2

(

xk +2

xk

)

Partant de l’estimation initiale x0 = 3, on obtient successivement

30

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

5

10

15

20

x

f(x)

x0

x1

x2x

∞

FIGURE 15 – Représentation des premières itérations de la méthode de Newton pour f (x) = x2 −4.

itération anc. valeur nlle valeur erreur

k xk xk+1 |ǫk+1|0 3.000000 2.166667 0.166667

1 2.166667 2.006410 0.006410

2 2.006410 2.000010 0.000010

3 2.000010 2.000000 3 ·10−11

etc

Voici un exemple de code Scilab qui estime la racine d’une fonction (dont l’expres-

sion analytique ainsi que celle de la dérivée sont connues) par la méthode de Newton.

1 function [x1] = newton(f,x0,epsilon)

2

3 // f : nom de la fonction a analyser

4 // x0 : borne inferieure de l’intervalle

5 // epsilon : tolerance sur la solution

6 // x1 : racine

7

8 maxiter = 50; // nombre maximum d’iterations

9 k = 1;

10

11 while k<maxiter

12 [f0,fprime0] = f(x0);

13 x1 = x0 - f0/fprime0;

14 disp([x1 f0])

15 k = k+1;

16 if abs(x1-x0)<epsilon , break , end

17 x0 = x1;

18 end

19 if k==maxiter , disp(’**␣pas␣de␣convergence␣**’), end

20 endfunction

31

Il est ipportant que la fonction à analyser restitue à la fois la valeur f (x) et la dérivée

f ′(x). Par exemple

function [f,fprime] = racine(x)// definit la fonction dont on cherche la racinef = exp(-x) + x/5 - 1;fprime = -exp(-x) + 1/5;endfunction

5.5 La recherche de racines dans la pratique

La recherche de racines sans inspection préalable de la fonction f est une opération

risquée. Comme le montre la figure 16, les pièges sont nombreux.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

x

f(x)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

x

f(x)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

x

FIGURE 16 – Quelques fonctions pour lesquelles la recherche des racines risque de poser des problèmes

si l’intervalle de recherche initial et la méthode ne sont pas soigneusement choisis.

32

Avant de rechercher les racines d’une fonction, il est indispensable de vi-

sualiser cette fonction.

Dans le doute, mieux vaut opter pour une méthode dont la convergence

est lente mais sûre. Avec la méthode de la bisection, on est assuré de voir

l’intervalle se réduire de moitié à chaque itération, ce qui n’est pas le cas

avec les autres méthodes.

La convergence sera d’autant meilleure que la fonction pourra être ap-

proximée par une droite (méthode de la sécante ou de la Regula falsi) dans

le voisinage de la racine. La méthode de Newton permet de converger plus

rapidement lorsque l’expression de la dérivée première est connue.

La meilleure stratégie consiste généralement à démarrer par une mé-

thode lente mais sûre (bisection) pour ensuite accélérer la convergence

dans le voisinage de la racine avec une méthode de Newton.

6 Intégration d’équations différentielles

Problème : Une variable y(t) est décrite par une équation différentielle ordinaire

du premier ordre d y(t)/d t = f(

y(t), t)

. On connaît la condition initiale y(t = t0) = y0.

Comment déterminer y(t) à des temps autres que t0 ?

6.1 Exemple

Un condensateur se décharge dans une résistance non-linéaire, dont la valeur dépend

du courant. Ce genre de situation surgit par exemple avec les tubes fluorescents. Le

circuit est décrit par l’équationd I

d t=−

I

C R(I )

avec la condition initiale I (t0) = I0. Cette équation est facile à intégrer lorsque R =cte.

En revanche, il devient très difficile de trouver une solution analytique dans le cas où R

varie. Il faut alors procéder à une intégration numérique. Tous les logiciels de concep-

tion de circuits par ordinateur comprennent des modules plus ou moins sophistiqués

pour résoudre de tels problèmes.

Représentons la solution recherchée I (t) en fonction de t . La valeur initiale I (t0) ainsi

que la dérivée première en ce point I ′(t0) sont connues. Faisons un développement

33

limité de la solution (en supposant que celle-ci soit suffisamment continue) pour dé-

terminer la valeur que prend le courant à un instant ultérieur t0 +δt ,

I (t0 +δt) = I (t0)+δtd I (t0)

d t+

1

2δt2 d2I (t0)

d t2+ . . .

= I (t0)+δtd I (t0)

d t+O (δt2)

= I (t0)+δt f(

I (t0), t0

)

+O (δt2)

Avec un pas de temps δt suffisamment petit, on peut donc approximer la valeur que

prend le courant au temps t0 +δt . Or l’opération peut maintenant être répétée en t =t0 + δt puisque la valeur de la dérivée première en ce point peut être calculée. Cela

nous permet de passer au point t = t0+2δt , et ainsi de suite. La méthode d’intégration

consiste donc à estimer les valeurs successives de I (t) en procédant par petits pas de

temps.

t0 t0+dt t0+2*dt t0+3*dt t0+4*dt t0+5*dt t0+6*dt

y0

t

y(t)

sol. exactedt

0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

t

y(t)

dt=0.1dt=0.25dt=0.5

dt=1

sol. exactedt=0.1dt=0.5dt=1dt=2

FIGURE 17 – Exemple d’intégration de la fonction y ′(t ) = −0.5y(t )+ 0.8t (2− t ) pour différents pas de

temps.

Quel pas de temps δt faut-il choisir ?

Un grand pas implique un nombre réduit d’opérations de calcul, mais entraîne en re-

tour une plus grande erreur. Un pas petit améliore la précision des résultats, au prix

34

d’un temps de calcul plus élevé. Un pas trop petit risque d’amplifier les erreurs de tron-

cature. Il existe donc un pas idéal, qui peut éventuellement varier au cours du temps.

Nous verrons qu’il existe divers algorithmes pour traiter ce genre de problème.

6.2 Les méthodes d’Euler

Les méthodes d’Euler sont les plus simples pour intégrer une équation différentielle.

Cependant, ces méthodes sont rarement utilisées en raison de manque de précision et

de leur instabilité. Nous avons au départ{

y ′(t) = f(

y(t), t)

y(t0) = y0

Discrétisons d’abord le temps en prenant des pas de même durée h : tk = t0 +kh. Po-

sons pour simplifier y(tk ) = yk . Il s’agit désormais de trouver la suite {yk } définie par

y ′(tk ) = f (yk , tk )

y(t0) = y0

tk = t0 +kh

Exprimons la dérivée de y(t) par une différence finie (cf. chapitre 3). Cela conduit à

trois expressions différentes suivant qu’on prend la différence avant, arrière ou centrée.

Chacune possède des propriétés différentes.

y ′(tk ) =yk+1 − yk

h+O (h) différence avant

y ′(tk ) =yk − yk−1

h+O (h) différence arrière

y ′(tk ) =yk+1 − yk−1

2h+O (h2) différence centrée

• La méthode d’Euler explicite s’obtient en prenant la différence avant. Cela donne

une équation simple à résoudre en yk+1

yk+1 = yk +h f (yk , tk )+O (h2)

Cette méthode, quoique simple, est peu utilisée. D’abord, elle est relativement

peu précise. Mais surtout, elle est instable puisque l’erreur a généralement ten-

dance à croître. Cette instabilité, illustrée dans la figure 18, peut survenir même

si le pas h est très petit.

• La méthode d’Euler implicite s’obtient en prenant la différence arrière. Cela

donne une équation plus difficile à résoudre en yk

yk −h f (yk , tk ) = yk−1 +O (h2)

Cette équation n’admet pas toujours de solution analytique, ce qui est un sérieux

handicap. En revanche, la méthode est stable puisque l’erreur n’a plus tendance

à croître indéfiniment.

35

FIGURE 18 – Illustration d’un schéma d’intégration instable. L’erreur (= écart entre y(t ) et yk ) croît pro-

gressivement et finit pas envahir complètement.

• La méthode d’Euler centrée, quoique plus précise, est peu utilisée car à chaque

pas de temps il faut gérer à la fois yk+1, yk et yk−1 :

yk+1 = yk−1 +2h f (yk , tk )+O (h3)

La figure 19 illustre l’intégration d’une équation différentielle par différentes mé-

thodes, pour deux valeurs du pas h.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f

h=0.2

o Euler explicite+ Euler implicite. Runge−Kutta 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

1.1

1.2

1.3

1.4

t

f

h=0.05

FIGURE 19 – Résultat de l’intégration de l’équation y ′(t ) = 1+ t − y(t ) avec y(0) = 1 par les méthodes

d’Euler explicite, Euler implicite et de Runge-Kutta d’ordre 2. Les pas sont respectivement h = 0.2 (figure

de gauche) et h = 0.05 (figure de droite). Le trait continu représente la solution exacte y(t )= e−t + t .

6.3 Stabilité des méthodes d’Euler

En plus de la précision, il est essentiel qu’une méthode d’intégration soit numérique-

ment stable. Par stabilité on entend ici que l’intégration d’une équation dont on sait

que la solution est bornée, doit elle aussi rester bornée.

36

L’étude de la stabilité d’une méthode est une tâche complexe. L’exemple suivant per-

met cependant d’illustrer l’origine des instabilités. Intégrons l’équation y ′ =−y avec la

condition initiale y0 = 1.

1. Avec la méthode d’Euler explicite, on obtient

yk+1 = yk −hyk ⇒ yk = (1−h)k y0

Cette suite converge à condition que |1−h| < 1. Cela implique soit h > 0 (tou-

jours vrai) soit h < 2. Il n’est donc pas possible de choisir des pas h arbitrairement

grands, sous risque de voir la suite diverger.

2. Avec la méthode d’Euler implicite, on obtient

yk+1 = yk −hyk+1 ⇒ yk = (1+h)−k y0

La stabilité est ici vérifiée pour tout h > 0. Plus généralement, on peut montrer

que la méthode d’Euler implicite est toujours stable.

3. Avec la méthode d’Euler centrée, on obtient

yk+1 = yk−1 −2hyk

et la condition de stabilité devient | −h ±p

1+h2| < 1. Cette méthode peut elle

aussi devenir instable.

6.4 Méthodes de Runge-Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta sont couramment utilisées car elles allient précision,

stabilité et simplicité. Toutes nécessitent plusieurs itérations pour effectuer un pas.

La méthode de Runge-Kutta d’ordre 2 est la plus simple ; elle combine deux itérations

successives de la méthode d’Euler explicite. Dans un premier temps la dérivée en

(tk , yk ) est évaluée pour faire une première estimation du point suivant (noté A dans la

figure 20). L’estimation provisoire de yk+1 en ce point est ensuite utilisée pour affiner

la calcul de la dérivée. Une nouvelle approximation de celle-ci est obtenue en prenant

sa valeur à mi-parcours (prise au point B). C’est cette valeur de la dérivée qui sera en-

suite utilisée pour estimer le prochain pas yk+1 (point C). La procédure d’intégration

se résume àα = h f (yk , tk )

β = h f

(

yk +α

2, tk +

h

2

)

yk+1 = yk +β+O (h3)

Même si cette méthode demande deux fois plus opérations de calcul que la méthode

d’Euler explicite pour effectuer un seul pas, le résultat est plus précis et plus stable.

37

FIGURE 20 – Principe de fonctionnement de la méthode de Runge-Kutta du second ordre pour effectuer

un seul pas. Le lettres réfèrent au texte.

La méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 combine quatre itérations successives. Sa préci-

sion est généralement encore meilleure. La procédure d’intégration devient

α = h f (yk , tk )

β = h f

(

yk +α

2, tk +

h

2

)

γ = h f

(

yk +β

2, tk +

h

2

)

δ = h f(

yk +γ, tk +h)

yk+1 = yk +1

6(α+2β+2γ+δ)+O (h5)

38

Le code suivant décrit un exemple d’intégration par la méthode de Runge-Kutta

d’ordre 2. La fonction à intégrer est définie par integrand.

1 function [y,t] = rungekutta2(t0,tn,h,y0)

2

3 // t0 : temps initial

4 // tn : temps final

5 // h : pas de temps

6 // y0 : conditions initiales (vecteur )

7 // y : solution (une colonne par variable )

8 // t : vecteur temps correspondant

9

10 n = ceil((tn-t0)/h)+1; // nombre de pas

11 ordre = length(y0); // ordre = nbre de cond initiales

12 y = zeros(n,ordre);

13 t = zeros(n,1);

14 y(1,:) = y0(:)’;

15 t(1) = t0;

16

17 for i=1:n-1

18 t(i+1) = t(i) + h;

19 delta1 = h*integrand (t(i), y(i,:));

20 delta2 = h*integrand (t(i)+h/2, y(i,:)+delta1 /2);

21 y(i+1,:) = y(i,:) + delta2;

22 end

23 endfunction

24

25 function yprime = integrand (t,y)

26 // definit le systeme a integrer

27 k = 4;

28 yprime (1) = y(2);

29 yprime (2) = -k*y(1);

30 endfunction

6.5 L’intégration dans la pratique

Le choix du pas est un point essentiel. S’il est trop grand, la méthode choisie, aussi

bonne soit-elle, donnera des résultats erronés (cf. figure 21). Si le pas est trop petit, on

perdra du temps de calcul et on risquera d’être affecté par des erreurs d’arrondi. D’où

les règles générales

Le pas h doit toujours être choisi nettement inférieur au temps caracté-

ristique de la fonction y(t) à intégrer. Par exemple, pour une fonction pé-

riodique de période T , il faudra prendre h ≪T .

Parmi les méthodes d’intégration qui existent, celles de Runge-Kutta

offrent souvent un bon compromis entre précision et temps de calcul.

39

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2

t

f

. Euler h=1 + Euler h=0.5 o Runge−Kutta 2 h=1

f(x)

FIGURE 21 – Intégration d’une équation différentielle dont la solution est y(t ) = sin(2πt /5). Cette équa-

tion a délibérément été intégrée avec des pas trop grands pour en montrer les conséquences. Les mé-

thodes utilisées sont : Euler explicite avec un pas de h = 1 (points), Euler explicite avec un pas de h = 0.5

(croix), et Runge-Kutta d’ordre 2 avec un pas de h = 1.

Le problème de l’intégration des équations différentielles est fait encore l’objet de re-

cherches intensives. Une solution intéressante consiste à adapter le pas h à l’allure de

la fonction y(t) pour gagner du temps. Lorsque la fonction y(t) est régulière avec ses

dérivées d’ordre > 2 sont petites, alors on peut se contenter de choisir un pas élevé, qui

sera progressivement réduit dans le voisinage de brusques variations de y(t).

Les méthodes de Runge-Kutta peuvent aussi aisément se généraliser à la résolution

d’équations différentielles d’ordre supérieur à 1.

6.6 Intégrer lorsque l’ordre > 1

Les équations différentielles d’ordre supérieur à 1 peuvent aisément être transformées

en des systèmes d’équations d’ordre 1, moyennant la définition de nouvelles variables.

Ainsi, le modèle de l’oscillateur harmonique amorti

d2

d t2f (t)+λ

d

d tf (t)+ω2 f (t) = 0

peut d’écrire

d

d tf (t) = u(t)

d

d tu(t) = −λu(t)−ω2 f (t)

où u(t) est la nouvelle variable, qui s’apparente à une vitesse. Cette paire d’équations

couplées d’ordre 1 peut maintenant être intégrée à l’aide des méthodes discutées pré-

cédemment.

40

Plus généralement, toute équation différentielle différentielle d’ordre N

d N f

d xN+aN (x)

d N−1 f

d xN−1+aN−1(x)

d N−2 f

d xN−2+·· ·+a2(x)

d f

d x+a1(x) f (x)+a0(x) = 0

peut être transformé en un système de N équations différentielles d’ordre 1, moyen-

nant la création de N −1 nouvelles variables

d

d xf (x) = u1(x)

d2

d x2f (x) = u2(x)

d3

d x3f (x) = u3(x)

...

d N−1

d xN−1f (x) = uN−1(x)

d N

d xNf (x) = −aN (x)uN−1(x)−aN−1(x)uN−2(x)−·· ·−a2(x)u1(x)−a1(x) f (x)−a0(x)

Les conditions initiales

f (x0) = f0,d f

d x

∣

∣

∣

∣

x=x0

= f ′0,

d2 f

d x2

∣

∣

∣

∣

x=x0

= f ′′0 , etc.

deviennent alors

f (x0) = f0, u1(x0) = u1,0, u2(x0) = u2,0, etc.

6.7 Intégrer en présence de conditions de bord

L’intégration est plus difficile lorsque le problème est spécifié par des conditions de

bord (ou aux limites) et non par des conditions initiales. Par exemple, le problèmed2

d x2 f (x)+ dd x

f (x)+ g (x) = 0 possède des conditions initiales si f (0) = a, dd x

f (x = 0) = b,

car il suffit d’intégrer depuis x = 0. On parlera au contraire de conditions de bord si

f (0) = a, f (x = 1) = b.

Il existe plusieurs stratégies pour intégrer de tels problèmes. L’une consiste à recourir

aux éléments finis (au programme de master). Une autre stratégie consiste à remplacer

les conditions initiales manquantes par des valeurs estimées, puis à intégrer l’équation

jusqu’à ce que la solution atteigne le bord. En fonction de l’écart observé entre la va-

leur finale de la solution et la condition de bord imposée, on corrigera la solution en

adaptant ses conditions initiales. Ceci s’apparente à la correction qu’un tireur applique

à l’angle de tir lorsqu’il souhaite atteindre sa cible ; c’est la raison pour laquelle la mé-

thode porte le nom de méthode du tir.

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Exemple : Une équation différentielle doit être intégrée de xi à x f . Le conditions de

bord imposées sont{

f (xi ) = fi

f (x f ) = f f

Soit, a(1) la valeur initiale de la condition de bord manquante ; par exemple f ′(xi ) = a(1)

s’il s’agit d’une équation d’ordre 2. L’équation est intégrée avec ces deux conditions

initiales jusqu’à l’abscisse x f pour donner en ce point f (x f ) = f (1)f

. Un second essai

avec une autre condition initiale a(2) donne f (x f ) = f (2)f

.

Le problème se réduit alors à une recherche de racines. Nous pouvons en effet définir

une fonction F (a) telle que

F (a(1)) = f (1)f

− f f

F (a(2)) = f (2)f

− f f

Le problème se réduit alors à la recherche de la valeur a(∞) telle que

F (a(∞)) = f (∞)f

− f f = 0

où la fonction F n’est connue que pour les quelques valeurs de a(i ). Il suffit dès lors

d’itérer à l’aide d’une méthode de recherche de racines (sécante, ou autre) jusqu’à

converger vers la racine. Toutefois, rien ne garantit que la racine existe ou soit unique.

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