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IUFM de Bourgogne

Concours de recrutement : professeurs des écoles

RESOLUTION DE PROBLEMES ET

DIFFERENCIATION DE

L’ENSEIGNEMENT

Anne-Isabelle HERBERICHS

Directrice de mémoire : Françoise GODINAT

Année 2004-2005

Dossier N° 0365089L

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SOMMAIRE Avant propos………………………………………………………………………………………3 Introduction…………………………………..……………………………………………………4

I. Objectifs d’apprentissages et compétences visées en résolution de problème………..7 II. D’une observation en stage tutelle à une tentative de mise en œuvre pendant les

stages en responsabilité………………………………………………………………..9 A. Observations, naissance d’un questionnement……………………………………9

1. Descriptif des situations observées et mises en œuvre………………….9 2. Les difficultés sont à mettre en relation avec les diverses composantes

pouvant avoir un impact sur l’activité de résolution de problème……..12 B. Projets de stages et travail conduit avec les élèves lors des stages R1 et R2…….17

III. Pratiques pédagogiques mobilisables par le maître………………………………….19

A. La pédagogie différenciée…en général………………………………………….19 1. Différenciation : fondements, objectifs………………………………..19 2. Question de l’évaluation et statut de l’erreur………………………….20 3. Ecueils à éviter…………………………………………………………21

B. Différenciation de l’enseignement … et résolution de problèmes..…………….22 1. Différenciation simultanée……………………………………………..22

a. Par les procédures………………………………………………..23 b. Par les ressources et contraintes………………………………….24 c. Par les tâches et les rôles…………………………………………28

2. Différenciation successive……………………………………………..28 a. Variété des situations, contextes, représentations, exemples,

démarches, corrections, modes de schématisation……………….28 b. Alternance des modes de travail………………………………...29

3. Un dispositif fructueux au service de la différenciation : le travail en ateliers………………………………………………………………….30

IV. Les aides différenciées apportées par le maître au cours des activités de résolution de

problème……………………………………………………………………………..34

Climat, encouragements………………………………………………34 Familiarisation avant entrée dans la situation…………………………34 Aide à la représentation du problème…………………………………34 Aide à la représentation du résultat à atteindre………………………..35 Recentrage sur la question…………………………………………….35 Aide à la lecture, à l’écriture…………………………………………..35 Temps accordé………………………………………………………...35 Médiation……………………………………………………………...35 Métacognition…………………………………………………………36

Conclusion……………………………………………………………………………………….37 Bibliographie…………………………………………………………………………………….39 Annexes………………………………………………………………………………………….40

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Avant propos

Ma scolarité s’est déroulée sans traumatisme, sous le signe de la pédagogie

transmissive, la plus courante à l’époque. Mes résultats scolaires corrects en mathématiques

s’accommodaient le plus souvent de l’absence de questions, de l’exécution docile de la recette

apprise.

L’IUFM m’a fait découvrir un visage tout autre de l’enseignement des mathématiques.

Certaines notions me sont apparues sous un autre jour. Tout cela a quelque peu changé ma

relation avec les mathématiques, et je souhaite être en capacité demain de favoriser le plaisir

des élèves à les fréquenter.

Le stage de pratique accompagnée, à l’école des Rosoirs à Auxerre, a été un riche

terrain d’observations, suscitant de nombreuses questions du point de vue de la future

professeure des écoles que je suis.

Convaincue de l’importance de l’activité de résolution de problème comme vecteur

d’apprentissage de l’autonomie, le choix du sujet de mon mémoire s’est ainsi arrêté sur ce

thème : ayant découvert l’ampleur des difficultés qu’un « problème » pouvait susciter auprès

des élèves, j’ai eu envie de chercher à faire progresser mes compétences pédagogiques dans

ce domaine.

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Introduction

Qu’est-ce qu’un problème ? Pour le Petit Robert la première acception désigne le problème en science. C’est une

« question à résoudre qui prête à discussion », et plus précisément une « question à résoudre

portant soit sur un résultat inconnu à trouver à partir de certaines données, soit sur la

détermination de la méthode à suivre pour obtenir un résultat supposé connu. »

La deuxième acception désigne le problème de la vie courante … mais aussi les

difficultés rencontrées par des élèves confrontés à des problèmes mathématiques ! Un

problème est une « difficulté qu’il faut résoudre pour obtenir un certain résultat », une

« situation instable ou dangereuse exigeant une décision ».

Selon R. CHARNAY et M. MANTE ( Mathématiques, Hatier tome 1 ) , pour un

mathématicien, le problème est toujours une question non résolue, alors qu’à l’école, il l’a

déjà été de nombreuses fois. Il reste cependant un problème si sa solution n’est pas disponible

d’emblée.

Pour L. d’Hainaut ( Des fins aux objectifs de l’éducation ) un problème est un acte

intellectuel défini selon trois composantes : la situation initiale, le traitement et la situation

finale. L’auteur met en relief le processus de communication entre la situation initiale et le

traitement ( réception) et entre le traitement et la situation finale ( émission). Il précise qu’il

n’y a résolution de problème que lorsqu’au moins une des composantes est nouvelle. Sans

quoi, il y a uniquement imitation, reproduction ou application. La plupart du temps c’est le

traitement qui est nouveau. Dans de nombreux problèmes proposés aux élèves, la difficulté

réside le plus souvent dans la mobilisation des outils pertinents et/ou leur combinaison.

Par conséquent, toujours selon R. CHARNAY et M. MANTE, un énoncé peut-être un

problème pour certains élèves, et ne pas l’être pour d’autres, selon les connaissances et

procédures dont ils disposent, et selon les valeurs données à certaines variables.

Place de la résolution de problème dans les instructions officielles .

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Elles placent « la résolution de problèmes au centre des activités mathématiques des

élèves », les documents d’application des programmes justifiant cette position accordée à la

résolution de problèmes en cela que les problèmes sont à la fois critère et moyen

d’appropriation des connaissances :

Le document d’application des programmes pour le cycle 3 distingue, selon les problèmes,

plusieurs fonctions :

- Problèmes visant la construction de connaissances : « Les problèmes proposés

doivent alors permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l’insuffisance des

connaissances dont ils disposent déjà et d’en élaborer de nouvelles .»

- Problèmes dits de réinvestissement , qui sont « destinés à permettre l’utilisation

« directe » des connaissances acquises. »

-Problèmes de recherche, ayant pour objectif une « activité privilégiée dans le but de

développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d’ordre

méthodologiques : émettre des hypothèses et les tester, faire et gérer des essais successifs,

élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter. ». « Ces situations

peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leur imagination et leur

désir de chercher, leurs capacités de résolution et la confiance qu’ils peuvent avoir dans leurs

propres moyens. »

Aussi, comme l’affirment les instructions officielles, un enjeu fort des mathématiques

est aussi celui de la formation du futur citoyen : « les mathématiques fournissent des outils

pour agir, choisir, décider dans la vie courante ».

En particulier, elles confèrent aux « problèmes pour chercher » les objectifs transversaux

suivants :

- développer les capacités à faire face à des situations inédites,

- prendre conscience de la puissance de ses connaissances,

- valoriser des comportements et méthodes essentiels pour la construction de leurs

savoirs,

- développer les capacités argumentatives,

- contribuer à l’éducation civique des élèves.

La résolution de problème est donc une compétence-clé à développer chez les élèves.

L’enfant doit être élevé au statut de citoyen éclairé qui construira d’autant mieux ses

connaissances qu’il cultivera dans toutes les disciplines l’esprit rigoureux ensemencé dans le

domaine des mathématiques.

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Les objectifs généraux de l’apprentissage de la résolution de problèmes étant ainsi

esquissés, il faut rappeler que la loi d’orientation de 1989 impose la prise en compte de la

diversité des élèves : la différenciation pédagogique relève de la mission du professeur des

écoles, qui est tenu de conduire tous les élèves vers un même objectif, en adaptant son mode

d’enseignement à la situation propre de chacun d’entre eux, tant du point de vue du niveau de

savoir et savoir-faire, que du point de vue de l’attitude et du mode de pensée.

Ceci me conduit à définir ainsi la problématique du présent mémoire :

De quels moyens le maître dispose-t-il pour aider diversement les élèves à

surmonter les difficultés auxquelles ils se heurtent lorsqu’ils sont confrontés à

des situations de résolution de problème ?

Dans les deux premières parties du présent mémoire, j’examinerai le contenu des

programmes 2002 puis j’exposerai les observations réalisées pendant le stage de pratique

accompagnée, le questionnement qui en a découlé pour moi, et les projets élaborés en

conséquence pour les stages en responsabilité.

Les deux dernières parties seront consacrées aux pratiques pédagogiques et aux aides

différenciées que le maître peut apporter au cours des activités de résolution de problème.

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I. Objectifs d’apprentissages et compétences visées en

résolution de problèmes.

Les instructions officielles, comme nous l’avons vu, entendent placer la résolution de

problèmes au centre des activités mathématiques. Selon la nature des problèmes proposés aux

élèves, seront attendus de leur part des modes de résolution plutôt experts s’il s’agit de mettre

en œuvre une procédure connue, dans un cadre repéré comme appartenant à une catégorie

connue ; ou bien plutôt des modes de résolution personnels, lorsque la situation à résoudre est

nouvelle.

Le document d’application des programmes pour le cycle 3 insiste sur « la possibilité

offerte aux élèves d’élaborer de telles « solutions personnelles » originales » qui constituent

«à la fois une avancée dans le développement de l’autonomie de l’élève et un moyen de

différenciation pour l’enseignant».

Les textes accordent donc une grande importance à la démarche de résolution en elle-

même, qui doit faire l’objet d’un apprentissage. Il n’est pas question d’apprendre à reproduire

tel ou tel type de raisonnement, mais bien d’apprendre à en élaborer soi-même.

Les compétences générales visées sont ainsi détaillées dans les documents

d’accompagnement :

CYCLE 2

-s’engager dans une procédure personnelle de résolution et la mener à son terme ; -rendre compte oralement de la démarche utilisée, en s’appuyant éventuellement sur sa feuille de recherche ; -admettre qu’il existe d’autres procédures que celles qu’on a soi-même élaborée et essayer de les comprendre ; -rédiger une réponse à la question posée ; -identifier des erreurs dans une solution

CYCLE 3

« Au cycle 3, les compétences suivantes seront particulièrement travaillées : -utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes ; -chercher et produire une solution originale dans un problème de recherche ; -mettre en œuvre un raisonnement, articuler les différentes étapes d’une solution ; -formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit et les exposer oralement ; -contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution ; -identifier des erreurs dans une solution en distinguant celles qui sont relatives au choix d’une procédure de celles qui interviennent dans sa mise en œuvre ; -argumenter à propos de la validité d’une solution produite par soi-même ou par un camarade ( ceci suppose que les élèves ne pensent pas que la démarche est unique, et donc que l’enseignant accepte des démarches différentes ). »

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« Ces compétences [générales] n’ont pas à être travaillées pour elles-mêmes, l’objectif

essentiel étant toujours de résoudre le problème proposé », précise le DAP du cycle 3.

La résolution de problèmes n’est pas une activité facile, elle requiert en outre

d’apprendre à :

- donner du sens au vocabulaire,

- interpréter la situation,

- formuler des hypothèses,

- identifier et mettre en relation les données,

- les organiser en fonction de la question posée,

- gérer des essais successifs en fonction du but à atteindre.

Comme le montre Sylvie COPPE (grand N n° 63 p 42) les compétences

méthodologiques interagissent entre elles ; la maîtrise de la somme des compétences

travaillées individuellement ne garantit en rien l’aboutissement de la démarche de résolution.

La très grande complexité des opérations mentales à accomplir ne saurait être réduite à une

déclinaison successive de sous-compétences. C’est en cherchant qu’on apprend à chercher,

c’est à dire, en se lançant dans des essais, en testant des hypothèses.

On peut noter au passage la conception socio-constructiviste de l’apprentissage mise

en avant dans les programmes, inspirée par les travaux de Vygotsky : selon lui, le seul

apprentissage valable pendant l’enfance est celui qui anticipe sur le développement et le fait

progresser. Tout comme on n’attend pas qu’un enfant sache parler pour lui parler, on ne va

pas attendre qu’un élève sache résoudre des problèmes pour lui en faire résoudre !

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II. D’une observation en stage tutelle à une tentative de mise

en œuvre pendant les stages en responsabilité.

A. Observations, naissance d’un questionnement.

1. Descriptif des situations observées et mises en œuvre.

28/09/2004 PROBLEME SANS QUESTION « OBELIX » 1ère séance de problèmes de l’année, conduite par la maîtresse.

Objectif : évaluation formative et formatrice. Permettre aux élèves de prendre conscience de ce qui bloque, plutôt que de les laisser s’arrêter sur un sentiment diffus d’incompréhension totale. Énoncé : « Obélix doit livrer 450 menhirs à Damganum. » Consigne : chercher les questions que l’on peut inventer à partir de cette phrase, et y répondre. Mode de travail : Travail par deux. Observations : Les questions que posent les élèves sont d’abord :

- Qui est Obélix ? - Qu’est-ce qu’Obélix doit livrer ? - Combien font 450 ? - Trouver les deux « machins » ? - Quel est les méchirs (sic) ? - (…)

Après un temps, les élèves ont trouvé que le texte manquait d’indices, et la maîtresse a rajouté « Il en a déjà transporté 185. » Les questions deviennent :

- Combien doit-il rester en argent ? - A qui doit-il livrer les menhirs ? - Combien il a déjà transporté ? - Combien doit-il livrer ? - Combien lui faut-il ? - (…) - Combien doit-il transporter encore de menhirs pour que ça fasse 450 ?

Cette dernière question est reformulée, acceptée par tous et résolue. Un élève propose : 50 x 9 = 450 Finalement, la solution est apportée par une élève grâce à la soustraction posée ( 450 – 185 = 265 ). La maîtresse propose ensuite la méthode de l’addition à trou (185 + ? = 450 ).

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2/10/2004 « L’AJA »

Séance conduite par un autre enseignant, Francis ROMERO (directeur de l’école, déchargé), qui devait intervenir par la suite dans la classe en mathématiques. Objectif : évaluation diagnostique en mathématiques et maîtrise de la langue. Enoncé : voir texte en annexe. Consigne : noter ce que nous pourrions chercher. Noter les remarques que l’on pourrait faire. Observations : extraits du dialogue maître-élèves. QUESTIONS DU MAITRE QUESTIONS / RÉPONSES DES ÉLEVES Qu’est-ce que c’est ? Une sorte de problème

Un problème Un texte

Pourquoi un problème ? ou une sorte de problème ?

Il faut chercher quelque chose

Que faut-il chercher dans un problème ?

Il y a des calculs Il faut faire des opérations car il y a des chiffres, des numéros

Dans le journal aussi ! Oui, mais ça parle de ce qui s’est passé, le journal.

Pourquoi alors est-ce un problème ? … On a dit des renseignements … Il y a une question Il y a une question : « que pourrions-nous chercher ? »

Que pourrions nous chercher ? Longue explicitation des phrases du texte.

Par 2, trouvez 2 choses à chercher. Combien a coûté le carburant ? Combien on a payé en tout la place du match ? Combien d’heures ont-ils parcouru entre 16h et minuit ? Combien ont-ils fait de kilomètres ? Combien de carburant a été utilisé ?

Garde-t-on cette question ? On verra ça plus tard.

Arrêt de la séance.

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4/10/2004 Séquence préparée et mise en œuvre par l’ équipe des trois pe2. « LES EPERVIERS DEMENAGEURS »

Intention : travailler sur le sens d’un problème, mettre les élèves en situation d’établir des liens entre une situation de classe, pratique, réelle et son énonciation mathématique. Déroulement : (Voir compte-rendu en annexe) 1.Séance d’EPS : le jeu des éperviers déménageurs 2.Séances de maths, conduite par moi-même pour les phases 1 et 2 ( puis par Mathilde pour la phase 3 ( séance 2 ) et par Hélène pour les séances 3 et 4). Objectif : rédiger un énoncé de problème avec des données et une question au moins, le résoudre, le communiquer à un groupe d’élèves afin qu’il le résolve Consigne : par 2 écrire un énoncé de problème à faire résoudre par un autre groupe. Il s’agit de savoir ce qu’il faudrait prévoir en matériel si nous voulions organiser un tournoi d’éperviers déménageurs avec une autre classe, c’est à dire si au lieu d’être 15 comme ce matin en EPS, nous étions 30 pour jouer. Résoudre vous-même le problème avant de le transmettre.

Phase 1 : Rappel collectif de la séance d’EPS

Récapitulation du matériel utilisé avec quantités ( ballons, plots, dossards, caisses…) Sur proposition des élèves réalisation au tableau d’un schéma : terrain, matériel, joueurs.

Phase 2 : recherche par 2, après reformulation de la consigne.

Observations : Les élèves reprennent presque tous la schématisation faite au tableau pendant la phase collective. Ils font des calculs, écrivent parfois une question, telle que « combien d’élèves y a-t-il dans les deux classes ? » ou « combien faut-il de plots ? ». Une seule élève écrit un énoncé, puis fait un calcul pour le résoudre. « Le tournoi d’éperviers déménageurs se dispute. Il y a 30 élèves et 16 ballons. Combien de ballons manque-t-il ? » Réponse : « 16 + 16=32 » La séance s’arrête là, le temps ne permet pas de faire l’échange de productions prévu. Le travail n’ayant pas abouti pour la plupart des groupes, cet échange n’aurait de toutes façon pas pu se faire comme prévu.

phase 3 : présentation à la classe de l’ énoncé cité plus haut.

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Consigne : « cherchez la solution. » Observation : Les réponses sont variées : 14=30-16 15=16-1

20=30-16 il reste 51 ballons 30x16=480 16+16=32 selon l’élève auteur de l’énoncé 30+16=46

Mathilde, la collègue stagiaire qui mène la séance : - Interpelle les élèves : pourquoi autant de réponses différentes ? - Tente de faire prendre conscience à la classe de la nécessité d’apporter des renseignements supplémentaires dans l’énoncé, concernant la règle du jeu.

Conclusion : points communs entre ces trois situations, observées puis agies

pendant ce premier stage.

Ces trois situations mettent en évidence la difficulté des élèves à caractériser un

problème mathématique, mais aussi peut-être les difficultés des enseignants confrontés aux

problèmes des enfants. Les problèmes eux-mêmes ne seraient-ils pas eux aussi source de

difficultés ?

Ayant pour objectif de chercher à comprendre de quelle façon ces difficultés peuvent

être combattues, il est utile de les distinguer par nature et origine.

2. Les difficultés observées sont à mettre en relation avec les diverses

composantes pouvant avoir un impact sur l’activité de résolution de

problèmes.

J’ai distingué les paramètres relatifs à la gestion de la classe, de ceux relatifs à

l’activité mentale des élèves, et de ceux liés au problème lui-même.

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Profil de la classe

Niveaux : unique, multiple

A l’école des Rosoirs, la classe dite de cycle 3 regroupe 13 élèves en grande difficulté

en français et/ou en mathématiques : 2 enfants de CE2 et 11 de CM1. L’objectif est de

rattraper le retard d’ici la fin de l’année. Deux élèves de CLIS viennent s’intégrer à la classe,

lors des séances de français et d’ EPS.

Organisation et habitudes de travail

La classe fonctionne le plus souvent en classe entière.

Néanmoins, du fait du double niveau, les élèves sont habitués à travailler « en

autonomie », les CE2 et les CM1 bénéficiant alternativement de la présence du maître pour

certaines activités. Ces moments d’autonomie sont très cadrés, dans la mesure où les élèves

ont toujours un travail précis à accomplir, le même pour tous.

L’entraide est admise, les élèves fonctionnent parfois en binôme.

Je n’ai pas observé de travail de groupe à proprement parler pendant mon stage.

Certains regroupements d’ élèves deux par deux se sont avérés improductifs, pour

des raisons d’incompatibilité d’ humeurs, lors de la séance « Eperviers ».

Certains binômes ont en fait travaillé individuellement. Dans d’autres cas, un des

deux acteurs est resté passif, spectateur de son binôme

Climat

Il règne un climat rassurant dans la classe, où l’enseignant respecte la parole des

élèves et prend en compte chaque individualité.

Les trois séances citées mettent en évidence une grande liberté de parole des

élèves, mais certains élèves ne s’expriment que s’ils sont interrogés.

Attitude des élèves face aux problèmes et contrat didactique.

Le contrat didactique définit implicitement ou explicitement les rôles respectifs de

l’enseignant et des élèves.

Dans la classe d’observation, il est dit que « se tromper n’est pas grave ». Les

interventions des élèves sont sollicitées, ils sont fréquemment « provoqués » ; le

questionnement est très peu inductif.

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Les conditions sont réunies pour favoriser l’engagement des élèves dans une

situation de recherche. L’erreur est considérée comme faisant partie du processus

d’apprentissage, elle n’est ni blâmée ni évitée, ce qui limite la prise de risques de

la part des élèves.

Le contrat didactique fonctionne bien dans les deux premières situations dans la

mesure où les réponses des élèves sont toutes prises en compte.

Au contraire, dans la situation « Eperviers », séance 3, les réponses non

attendues par Mathilde sont occultées, sans explication, ce qui ne permet pas aux

élèves d’évaluer leur production.

Outils de travail.

Les élèves ne disposent ni de manuel, ni de fichier. La maîtresse est ainsi leur seul

repère, ils ne peuvent situer leurs apprentissages dans une progression.

A aucun moment des séances observées ou menées, les objectifs d’apprentissage

des séances ont été annoncés aux élèves. Nous y reviendrons, car avec un peu de

recul, il me paraît important d’impliquer les élèves dans leur propre démarche en

leur permettant de se situer.

« Hétérogénéité » de la classe.

Les élèves les plus « performants » jouent un rôle moteur évident dans les échanges

maîtresse-classe et élèves-élèves. Les compétences sont très variables à l’oral comme à l’écrit,

certains enfants sont « éteints » par moment, d’autres agités, le manque de concentration est

assez bien partagé. La maîtresse sollicite personnellement les élèves, régulièrement, pour les

maintenir en activité.

Profil de l’élève

Les difficultés liées aux processus d’apprentissages propres à chaque élève peuvent

être d’ordre mathématiques, péri-mathématiques et métacognitives.

Dans la classe observée, on retrouve toutes les caractéristiques du « profil de l’élève

en difficulté » dégagé par Butlen et Pézard (cité dans grand N n°69 p 72).

- difficultés de mémorisation, connaissances anciennes peu fiables, méthodes absentes,

- rapide lassitude,

- recherche systématique d’algorithmes, difficultés à changer de point de vue et de

cadre,

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- identification des enjeux de l’apprentissage faible ou absente,

- difficultés de lecture et d’expression, orale et écrite,

- mauvaise image de lui-même, refus du travail en groupe, préférence d’une relation à

l’adulte d’ordre affectif.

Maîtrise de la langue et mathématiques : parler, lire et écrire

Comprendre les mathématiques, c’est d’abord bien maîtriser sa langue. Dans un

problème, deux tâches sont présentes : d’une part comprendre l’énoncé, d’autre part résoudre

ce problème. Avec un énoncé écrit uniquement avec des mots, il n’y a pas de représentation

de ce problème pour l’élève en grande difficulté de lire/écrire.

Les questions posées par les élèves de cette classe, leur niveau de formulation

dénotent souvent de très grandes difficultés langagières : compréhension de

l’écrit, expression orale

Compétences logico-mathématiques.

Du domaine de la logique, de l’abstraction, de la conceptualisation, du sens critique,

du sens des opérations, de la technique opératoire, ces compétences constituent un pôle

essentiel dans la démarche de résolution de problème.

Le savoir des élèves peut être disponible ou non , il peut aussi être peu économique,

voire parasite comme le montrent les divers « théorèmes de l’élèves » volontiers décrits par

les didacticiens. Dans la classe de cycle 3 des Rosoirs, les compétences logico-mathématiques

semblent à première vue faire massivement défaut.

Les élèves ont tendance à se raccrocher à des algorithmes connus, quelque soit

leur pertinence.

Cependant, si on s’attarde un peu sur les réponses des élèves leur caractère

saugrenu peut bien souvent s’interpréter par des carences culturelles, ou un

manque d’expériences de la vie concrète. « Qui est Obélix ? » ou « Combien font

450 ? » sont des questions qui se posent réellement aux élèves.

Expériences et connaissances du réel, connaissances sociales et extra-scolaire.

Elles sont relativement réduites, par rapport à celles de la moyenne des enfants de

cet âge. Ceci apparaît surtout au cours de la 1ere situation, les deux autres ayant

été construites « sur mesure » pour éviter un contexte trop éloigné de leur réalité.

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Compétences méta-cognitives : mémoire, attention, anticipation et planification,

évaluation.

Ces compétences sont notamment observables lorsque l’on invite l’élèves à revenir

sur ses démarches, à verbaliser les procédures parfois intuitivement utilisées et à expliquer le

choix de telle ou telle démarche.

Ces compétences sont facteur d’apprentissage, expliciter permettant de s’approprier.

Le plus souvent les compétences méta-langagières qui y sont associées

apparaissent peu développées dans cette classe. Lorsque les élèves proposent une

opération, ils ont beaucoup de mal à expliquer pourquoi ils l’ont choisie. Ils

peinent à revenir sur leur démarche et ont tendance à mettre en doute leur

réponse lorsqu’on leur demande de la justifier.

Estime de soi, motivation, initiative. Une situation d’échec à l’école contribue à donner aux élèves en difficulté une image

dévalorisée d’eux-mêmes, non sans répercussions sur leur vie scolaire.

Si les élèves dans leur grande majorité ne refusent pas de se lancer dans les

activités, leur degré d’initiative est variable. Certains donnent l’impression de

faire n’importe quoi, mais de faire quelque chose, comme si le sens et la logique

du travail demandé leur échappait complètement.

Certains ont tendance à rechercher une relation privilégiée avec l’enseignant.

On ressent une fragilité de l’estime de soi de certains : manque de confiance, ils

parlent bas, peu volontiers, sont prompts à effacer, à changer d’avis. Ce qui peut

aussi avoir une répercussion sur la difficulté d’accepter le travail en groupe.

Problème lui-même

Il peut être à l’origine de difficultés pour les élèves, de par certains facteurs non

forcément délibérément voulus par le maître.

Le contexte peut être familier ou non, concret ou abstrait.

Obélix est manifestement un étranger pour la plupart des élèves, et les menhirs ne

font pas partie de leur univers de référence.

Ceci explique les premières questions.

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Le vocabulaire est plus ou moins connu.

« livrer » pose problème à beaucoup d’élèves.

Plus le texte est long, plus il pose problème.

Lorsque la situation est exposée oralement, les élèves se la représentent plus

facilement, ils sont capables ici d’en donner une représentation schématique,

d’autant plus facilement qu’ils l’ont vécue en EPS.

La consigne :

Les deux premiers problèmes sont des problèmes dits sans question. La consigne

est d’en rechercher.

Obélix : les premières questions des élèves se rapportent davantage au sens de la

situation qu’ils appréhendent mal. Le caractère mathématique du problème ne

s’impose pas d’emblée, il se construit lorsqu’on ajoute une donnée, qui aura pour

effet de faire chercher des « combien… ? »

Peut-être peut-on s’interroger sur la pertinence de cette consigne, avec l’énoncé

de base : l’objectif est-il mathématique ? avec un tel énoncé, ne pourrait-on pas

autoriser toutes les questions ?

L’AJA : une profusion de données hétéroclites doit ici mettre les élèves dans

l’embarras, face à la même consigne. Les remarques du narrateur peuvent égarer

les élèves : elles confèrent au texte le caractère de récit, non de problème, en tout

cas pas au sens scolaire classique ! ce qui peut conforter la logique « naturelle »

des élèves, au détriment d’une logique « formelle » attendue.

Là encore, la consigne destinée à aiguiller les élèves vers les notions de

« question » et de « renseignements utiles » pourrait être discutée. Il aurait pu

être demandé par exemple dans un premier temps de résoudre une question

pertinente d’après les données, puis de résoudre une question impossible à

résoudre avec les données présentes.

B. Projets de stages, travail conduit avec les élèves en

résolution de problèmes pendant les stages R1 et R2.

A la suite des observations faites à l’école des Rosoirs, j’ai souhaité mettre en œuvre

une expérimentation sur la résolution de problèmes au cours du stage en responsabilité.

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La première partie du stage a été effectuée à Saint-Privé, dans une classe de cycle

3 à trois niveaux, en zone rurale.

Cette classe comprenait 4 élèves de CE2, 4 de CM1 et 7 de CM2. Quatre d’entre eux

avaient été signalés au RASED. L’enseignante de la classe envisageait une proposition

d’orientation en SEGPA pour une élève, Gwendoline, et en CLIS pour une autre élève,

Sandra dont la scolarité avait souffert des irrégularités inhérente au mode de vie des « gens du

voyage ».

Outre les difficultés d’apprentissage, assez lourdes pour ces deux élèves, des

difficultés d’ordre comportemental perturbaient les apprentissages en particulier pour deux

autres élèves, Virginie et Benjamin.

Mon objectif était de mettre en place une situation comparable à « l’AJA » au départ, à

titre d’évaluation diagnostique, puis de proposer aux élèves la résolution de problèmes de

natures diverses, avec une différenciation prévue d’avance selon le niveau de classe d’une

part, et l’apport d’aides adaptées aux élèves d’autre part, en fonction des besoins.

Séance 1 : Énoncé sans question « Notre classe », évaluation diagnostique et

détermination de quatre groupes de niveaux.

Séance 2 : Chacun des groupes travaille sur un problème de recherche, d’abord

individuellement, puis en groupe : « les nombres », « les dés », « le manège », et « la

promenade en bateau ».

Séance 3 : Problème de géométrie « parallèle, perpendiculaire »

Séance 4 : Méthodologie : lecture d’énoncés.

Hors séances : Défi-maths ( Evariste et autres énigmes ).

Le deuxième stage, en CE1 à Chablis, m’a permis de tester le dispositif d’ateliers.

Je décris en annexe la première séance, où j’ai travaillé avec des groupes de 6 élèves un

problème de recherche issu de banqoutils : « le magasin de jouets »

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III. Pratiques pédagogiques mobilisables par le maître .

A. La pédagogie différenciée…en général.

Comme nous l’avions rappelé en introduction, depuis la loi d’orientation de 1989,

« l’enseignement doit être adapté à la diversité des élèves ». « L’enfant doit être placé

résolument au cœur du système éducatif » et « la prise en compte de l’hétérogénéité des

élèves recentre l’action du maître tout autant sur celui qui apprend que sur ce qu’il apprend ».

Différencier la pédagogie, c’est permettre à chacun d’aller aussi loin qu’il peut avec ce

qu’il sait, et d’apprendre des autres, de ses camarades et du maître. C’est organiser des

échanges dans le groupe pour permettre de confronter des représentations et procédures

différentes, et de générer ainsi des changements de points de vue, des progrès.

Différencier la pédagogie, c’est utiliser tout le registre des formes d’organisation dans

le travail de la classe.

1. Différenciation : fondements, objectifs.

Tous les élèves n’apprennent pas la même chose en même temps et au même rythme.

Le modèle cognitiviste de l’apprentissage a mis en évidence, pour un même contenu enseigné,

pour une même situation d’apprentissage, la grande diversité des comportements cognitifs des

élèves. Ces travaux ont ainsi orienté la réflexion pédagogique vers la prise en compte de ces

différences.

Selon Halina PRZESMYCKI, la pédagogie différenciée se définit comme :

- « une pédagogie individualisée », qui reconnaît l’élève comme une personne ayant ses

représentations propres de la situation de formation ;

- « une pédagogie variée qui propose un éventail de démarches » selon des rythmes

d’apprentissage différents, dans des durées variables, par des itinéraires diversifiés, sur

des supports différents et dans des situations non identiques.

Avoir le souci d’un processus individualisé signifie permettre à chaque élève, sur des

tâches communes à tous, d’avoir accès à ses propres processus cognitifs , à ses propres

régulations, pour les amender ou les transformer, le cas échéant.

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La pédagogie différenciée veut prendre en compte les différences, et en tirer parti en

favorisant les interactions entre élèves, comme le suggère le titre évocateur « chacun, tous,

…différemment » signé ERMEL.

2. Question de l’évaluation et statut de l’erreur

L’évaluation permet de dégager les besoins du groupe ainsi que ceux des élèves, et

leurs réussites.

Différencier, c’est individualiser l’observation et l’évaluation pour se donner une

bonne connaissance de l’état de savoir de chacun et de la classe, et concevoir en fonction des

connaissances de la classe des situations telles que tous les élèves s’y trouvent dans leur

« zone proximale de développement » au sens de Vygotsky.

Par conséquent, la prise en compte de l’erreur dans le processus d’apprentissage

apparaît indissociable de la démarche de différenciation. Dans cette perspective, ni « faute »

ni « horreur », l’erreur sert d’indice au maître, qui va même chercher à les provoquer en vue

de permettre aux élèves de les dépasser.

Ceci implique d’envisager a priori le traitement qui sera fait des erreurs attendues.

Ses travaux de recherche à l’appui, Jean Julo s’interroge sur l’efficacité des « bonnes

solutions » recopiées par les élèves qui ne les avaient pas trouvées. A l’idée de correction

s’oppose celle de mise en commun, débat, échange, dont R. Charnay souligne l’importance

mais aussi la délicatesse de sa mise en œuvre.

Du côté du maître, l’évaluation est diagnostique et formative.

L’interprétation des erreurs et des conceptions qu’elles révèlent joue un rôle central

dans la démarche d’enseignement. L’erreur reflétant l’état de savoir et les processus mis en

œuvre par les élèves, son traitement implique une bonne culture mathématique de la part de

l’enseignant, qui doit s’attacher à déjouer par exemple les théorèmes en acte, implicitement

mis en action par les élèves qui les ont construits à l’aide d’informations et raisonnements

incomplets ou défaillants.

Du côté de l’élève, l’évaluation est formatrice.

Les élèves sont associés à l’évaluation : ils progressent en corrigeant eux-mêmes leurs

erreurs. Pour cela, il est nécessaire qu’ils soient informés des objectifs d’apprentissages, afin

qu’ils puissent être réellement acteurs de leur propre cheminement, de l’erreur à la réussite.

L’autoévaluation des élèves peut se faire soit grâce au caractère autovalidant de la situation,

soit à l’aide d’une grille de critères construite ensemble avec eux.

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3. Ecueils à éviter

Individualisation

R. Charnay préconise de travailler avec le groupe classe aux différentes étapes des

apprentissages, afin de conserver le bénéfice des apports mutuels. Ce qui contribue à la

construction d’une « histoire cognitive commune » et au maintien d’une certaine homogénéité

dans la classe.

Groupe de niveaux

Si des groupes de niveaux peuvent être ponctuellement constitués, il est risqué de les

installer durablement : si un élève se perçoit comme membre d’un groupe en échec, il lui sera

difficile de trouver des arguments pour se valoriser dans ce même groupe. Il est préférable,

dans cette perspective, de former des groupes d’objectifs.

Schémas de résolution préétablis

La COPIRELEM montre comment, face à une classe comportant de nombreux élèves

en difficultés, l’enseignant peut être amené à proposer des algorithmes simples de résolution,

des règles ou des opérations. Dans ces conditions l’élève se trouve réduit en quelque sorte à

un rôle d’exécutant. Il se représente plus difficilement le problème, n’assume pas la

responsabilité de la recherche qui se vide de sens.

Travail fragmenté, axé sur la méthodologie, non mathématique.

Si, comme le note le rapport CORRIEU, cité par l’IUFM de la Réunion, des outils

d’aide à l’organisation peuvent être prudemment introduits ( tableaux, arbres…), ils ne

peuvent pas faire l’objet d’un apprentissage pour eux-mêmes ni être perçus par les élèves

comme des intermédiaires qu’il faut obligatoirement utiliser pour traiter certains problèmes.

Sylvie COPPE ( grand N N° 69 ) cite REY en mettant en avant le fait que « rien ne dit que la

juxtaposition d’activités visant une microcompétence permet au sujet de recomposer la

compétence générale (si elle existe) ».

Dans le N° 63, l’auteur analysait les activités méthodologiques proposées par les

manuels et concluait en proposant de plutôt laisser les élèves élaborer eux-mêmes leurs

techniques de résolution : c’est en résolvant des problèmes que l’on construit ses outils

propres. Jean JULO corrobore cette affirmation mettant lui aussi en doute l’efficacité des

méthodes générales d’entraînement à la résolution de problèmes.

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Simplification énoncés, aides qui « tuent » le problème.

L’aide à la résolution doit permettre la compréhension et éviter l’échec. Pour autant,

elle ne doit pas « tuer le problème », donc ni mettre sur la voie d’une procédure de résolution,

ni a fortiori donner la solution. Les énoncés doivent conserver leur complexité, les simplifier

leur conférerait un caractère de simple « exercice ».

La nature et le dosage des aides constituent donc un point crucial dans la démarche de

différenciation. Nous y reviendrons dans la partie consacrée aux aides.

B. Différenciation de l’enseignement… et résolution de problèmes

Dans son premier ouvrage sur la pédagogie différenciée, MEIRIEU, s’inspirant des

thèses de PERETTI et de LEGRAND, MEIRIEU distinguait deux façons de différencier les

modalités d’apprentissage dans la classe : la différenciation successive et la différenciation

simultanée.

La différenciation simultanée, à l’appui des observations faites par l’enseignant

(évaluation formative), construit des parcours d’apprentissages adaptés aux besoins des

élèves. Sa mise en œuvre mobilise les variables didactiques prévues par le maître pour une

même situation, mais aussi des activités de nature ou en quantité différente si nécessaire.

La différenciation successive se pratique dans les situations d’apprentissage

communes au groupe classe, et se base sur la diversification des questionnements, situations,

tâches, supports, outils, modes de travail, etc…

1. Différenciation simultanée

La différenciation simultanée peut se concevoir comme un travail commun mené en

groupes , mais aussi comme un travail du groupe classe accompli par chacun selon des

moyens différents.

Dans la classe de cycle 3 à Saint-Privé, j’ai souhaité faire travailler la classe

entière en résolution de problème sur la même situation au départ, en vue de par

la suite, en fonction de l’évaluation effectuée, différencier de façon simultanée

l’apprentissage sans a priori tenir compte du niveau de classe, sauf en géométrie

où les compétences requises étaient différentes selon le niveau.

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Pour l’équipe ERMEL, les outils de la différenciation se classent en plusieurs catégories :

- les procédures admises,

- les contraintes imposées et les ressources disponibles,

- la tâche

a. Différenciation par les procédures.

Il est important que le maître résolve préalablement par écrit les problèmes proposés,

et qu’il anticipe sur les diverses procédures de résolution qui pourront être mobilisées par les

élèves. Ainsi, il pourra plus facilement mener la phase de mise en commun, qui est aussi un

moment clé de l’apprentissage. La mise en évidence non pas d’une solution unique, mais de

plusieurs voies possibles, et leur comparaison a pour but de faire évoluer les conceptions des

élèves, puis leur propre pratique.

Lors de la séance 2, à Saint-Privé, j’avais prévu deux phases, la première

consacrée à la recherche personnelle, et la suivante, le lendemain, consacrée à

l’explicitation en groupe des démarches utilisées. La consigne était de produire

un écrit par groupe, ce qui devait inciter les élèves à chercher quelle(s)

solution(s) pouvait être acceptée(s) après confrontation des propositions.

Cette deuxième phase a été difficile à mettre en œuvre, car je n’avais pas prévu

d’avoir autant à intervenir dans chacun des groupes.

Le groupe « les nombres » a nécessité une importante régulation , dès sa mise en

place, pour fonctionner collectivement : les élèves, très en difficultés,

s’attachaient à leur procédure personnelle et refusaient d’entendre autre chose.

Le groupe « les dés » avait rapidement répondu au problème, j’ai donc changé

« cherchez 2 solutions » en « cherchez toutes les solutions », ce qui nécessitait d’

élaborer une stratégie. Dès lors, ce changement introduit, les élèves n’ont pas

réussi à s’entendre sur le but de la tâche, qu’ils auraient pu je pense résoudre

beaucoup plus rapidement avec une aide au lancement, leur demandant de

reformuler la consigne.

Ils ont produit 8 solutions, dont à deux reprises deux solutions identiques, et dont

une solution « impossible » avec 8 points obtenus d’un seul jet dé. Ils n’ont pas

élaboré de stratégie ni contrôlé leurs résultats. Là encore, ils ont manqué de

guidance pour mener à bien leur travail.

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« Le manège » a par contre bien fonctionné, avec le groupe des CE2 auprès de

qui j’ai été plus présente. Après recherche individuelle, les 5 élèves ont travaillé

par 2 ou 3, et ont ensuite comparé leurs solutions. Un des groupes, qui n’avait

pas été jusqu’au bout du problème, n’ayant dépensé que 13 euros, a très vite

compris comment poursuivre le raisonnement.

«La promenade » a été assez facilement résolu par trois élèves de CM2, mais le

déroulement ne s’est pas opéré de la même façon. J’avais corrigé le travail

individuel avant la 2e phase en groupe, ce qui n’a pas permis aux élèves de

repérer seuls leurs erreurs. Erreurs de 2 ordres : de lecture de l’énoncé et de

calcul. Si bien que leur travail en commun a perdu une partie de son fondement, il

leur restait principalement à refaire correctement les calculs erronés et à

communiquer leur réponse.

Je retire de cette expérience :

-l’intérêt de la réflexion personnelle préalable des élèves,

-la nécessité pour l’enseignant, d’autant plus quand l’habitude de la

coopération et du travail de groupe n’est pas installée, d’animer cette

confrontation afin que chaque élève puisse en retirer ce qui lui revient. C’est à

dire, pour ceux qui ont réussi, parfois intuitivement, d’expliquer leur démarche,

et pour ceux qui étaient en erreur, d’en prendre conscience et de s’approprier

une démarche proposée par un pair.

b. Différenciation par les ressources et contraintes

Types de problèmes .

Le groupe EVA MATH propose une diversification des types de problèmes en

fonction de la difficulté rencontrée par l’élève, selon qu’elle se trouve dans la situation

initiale, dans la réception ( lecture de l’énoncé, décodage ) ou dans l’émission ( rédaction )

etc…

Ceci permet également une analyse des difficultés et la mise en place d’activités de

remédiation mieux ciblées.

Contexte et autres caractéristiques de l’énoncé .

Dans le cadre de la résolution de problème, le support de l’énoncé peut varier : il peut

être communiqué sous la forme de langage verbal oral ou formel écrit. Il peut aussi être

matérialisé ou non par des éléments manipulables. Le support écrit peut être plus ou moins

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dense et complexe ou au contraire très court et assorti d’une illustration aidant à sa

représentation. La formulation et la place de la question peuvent également varier, de même

que l’on peut faire travailler les élèves sur des problèmes « sans question ».

Pour l’évaluation initiale, en cycle 3 à Saint-Privé, j’ai fabriqué d’abord un

énoncé sans question, à habillage banal, destiné à éliminer au maximum la

difficulté de représentation de la situation.

Mais en choisissant un contexte trop familier, l’effet observé a été, comme dans la

classe des Rosoirs lors de la situation « AJA », d’occulter le caractère

potentiellement mathématique des données présentées.

Je me suis ensuite interrogée sur la pertinence d’un problème sans question

fourni par le maître, pour des élèves qui ont du mal à résoudre des problèmes. Il

me semblerait aujourd’hui peut-être plus constructif d’amener les élèves à se

poser des questions, de les aider à les mettre en forme, à les résoudre, et ensuite

de leur faire reformuler l’ensemble de leur démarche, par exemple en vue de

poser un problème à une autre classe.

J’ai voulu ensuite privilégier davantage l’aspect « recherche », dans les

problèmes proposés à la classe de cycle 3, ainsi qu’en CE1. J’ai donc choisi des

énoncés courts, avec peu de données et une question unique. Il y a eu malgré tout

des problèmes de lecture, avec mauvaise compréhension de la consigne, par

exemple :

« Les personnes d’un même groupe ne veulent pas se séparer » n’a pas été pris

en compte, cette information n’a pas été décodée.

« La somme » n’a pas été compris par Gwendoline.

Ayant eu 4 groupes qui démarraient simultanément, j’ai passé trop vite cette

phase importante de lecture compréhension de l’énoncé, ce qui a généré de faux

départs et des blocages qui auraient pu être évités.

Réponse de l’élève.

Là encore, le maître peut prévoir un allègement de la tâche grâce par exemple à la

dictée à l’adulte, si l’enfant est en difficultés à l’écrit.

A saint-Privé, Nicolas ( CM1) était particulièrement lent, dans l’élocution comme

à l’écrit, mais il donnait la preuve d’une très bonne qualité de réflexion. Zineb, à

Chablis, primo-arrivante, était encore très handicapée à l’écrit, alors que son

raisonnement mathématique était vif et sûr. J’ai pu aider Zineb, ayant l’habitude

de travailler avec elle en dictée à l’adulte, mais j’ai négligé Nicolas, alors que si

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je l’avais libéré de l’écrit, il aurait pu jouer un rôle bien plus moteur dans son

groupe pendant la deuxième phase de recherche.

Le maître peut aussi alléger la tâche de l’élève en l’aidant à se situer, en cours de

travail, dans son itinéraire de résolution, et en l’invitant à contrôler sa réponse

après relecture de la question.

Virginie après avoir cherché longuement le 1er défi, avait trouvé que le livre était

ouvert aux pages 20 et 5 : je l’ai renvoyée à la bibliothèque pour vérifier. Dans

son tâtonnement, elle avait complètement perdu de vue le sens de la question.

De même pour Lisa et Alison, en cours de recherche sur « les dés », trouvent une

partie de la solution, puis s’égarent et proposent des réponses impossibles ( plus

de 6 points par lancer ), ou non autorisées par l’énoncé ( plus de 3 lancers). Là

encore, il y avait manque de contrôle.

Cette phase de contrôle était de façon générale défaillante dans la classe, ce qui

aurait mérité un travail particulier commun au groupe classe.

Variables didactiques.

Le choix de la taille des nombres, par exemple, aura une incidence sur les procédures

de résolution. De petites quantités seront facilement dessinées et dénombrées, alors que les

grands nombres incitent à trouver une autre procédure.

Les CM1 ont eu à résoudre un problème d’autobus, avec succession de

transformations. Aucun d’entre eux n’ont réussi, avec des nombres entre 15 et 40.

J’ai repris le même type de problème avec des petits nombres, ce qui a facilité la

représentation mentale et schématique, et la résolution.

Outils.

Les outils disponibles peuvent, pour un même problème, être adaptés en fonction des

élèves. Si l’on veut privilégier la recherche, on pourra par exemple autoriser la calculatrice à

des élèves en difficultés sur le plan de la technique opératoire.

Si pour « la promenade », j’avais autorisé la calcuatrice, j’aurais peut-être

observé de meilleurs résultats dans les premières productions, truffées d’erreurs

de calcul.

En géométrie, un problème pourra être résolu avec des outils différents selon le niveau des

élèves, toujours en fonction des objectifs ciblés.

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Le tracé à effectuer après l’introduction des notions de parallélisme et

perpendicularité devait se faire à l’aide d’outils différents selon le niveau des

élèves. Les résultats n’ont été que moyens :

- la règle en CE2 n’a pas été utilisée pour mesurer, par exemple, et en CM1

l’aspect mesure du quadrillage n’a pas été perçu par plusieurs élèves,

- les tracés étaient souvent imprécis, même sur quadrillage,

- l’équerre était manipulée très malhabilement,

Visiblement, ces outils n’étaient pas familiers aux élèves.

J’aurais dû passer un peu de temps, avec les CM2 y compris, à faire

caractériser les outils utilisés, faire dire à quels usages ils répondaient et faire

préciser leur mode d’utilisation, avant de, phase là encore trop négligée,

vérifier collectivement la compréhension de la consigne.

Temps

Le temps disponible pour mener à bien la résolution d’un problème peut être modulé.

Certains élèves ont besoin de plus de temps, il est important de leur laisser l’occasion de

mener un travail à son terme, sans quoi ils risquent de se démobiliser. En contrepartie, cela

signifie qu’en général il est à prévoir des activités supplémentaires pour les élèves les plus

rapides.

La lenteur ne doit cependant pas être cultivée : elle peut parfois être imputée à

l’installation de procédures très coûteuses en temps, voire inefficaces, auxquelles le maître

doit prêter attention en vue d’en détourner les élèves. Robert NEYRET ( RP N° 12 ) évoque

ainsi le cas des élèves en difficultés qui reproduisent souvent procédures rudimentaires pas à

pas dont ils sont assurés qu’elles « marchent ». Il met en avant la nécessité de concevoir des

situations permettant aux élèves de prendre appui sur ce qu’ils savent faire, et de faire évoluer

progressivement leur procédures initiales vers des procédures plus complexes.

Dans la classe multiniveaux de cycle 3, les élèves étaient habitués à travailler en

autonomie spontanément dès leur tâche terminée. La difficulté pour moi était la

validation immédiate du résultat, que j’avais du mal à gérer simultanément. Ainsi,

certains élèves auraient dû reprendre leur travail, qui en fait était incorrect ou

inachevé.

J’ai essayé l’échange des productions entre élèves avant l’arrêt de la séance,

mais cela avait l’inconvénient de fausser l’évaluation individuelle dans certains

binômes.

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En définitive, j’en ai conclu que là où une validation immédiate est

indispensable, il fallait que je me donne les moyens organisationnels de la

rendre effective. Ce qui m’a conduite à réfléchir à l’organisation en ateliers ou

en groupes d’activités simultanées mais différentes selon qu’il y a nécessité ou

non de la présence de l’enseignant.

c. Différenciation par les tâches et par les rôles.

Selon R. CHARNAY, la différenciation par la tâche répond à des besoins

individuels : la mise en place de groupes s’organise en fonction de l’évaluation de chacun, et

peut prendre la forme de groupes de soutien, de besoin, de choix, d’entraînement ou

d’approfondissement.

Ce type d’activité différenciée ne doit pas être systématisé, au risque de priver les

élèves les moins habiles du dialogue avec les autres.

La mise en place de certaines situations permet également de différencier par les rôles

attribués aux élèves, soit en les adaptant à leurs niveau de compétences, soit en les

personnalisant selon les compétences à acquérir. Par exemple, dans une situation de

communication, on peut proposer le rôle d’émetteur à un élève qui ne maîtrise pas encore bien

le vocabulaire spécifique de la notion, afin de l’amener à prendre conscience de la nécessité

de l’utiliser.

2. Différenciation successive.

a. Variété des situations, contextes, représentations, exemples,

démarches, corrections, modes de schématisation…

Ce mode de différenciation se pratique le plus souvent lors des phases collectives

d’engagement dans un nouvel apprentissage : tous les élèves, engagés dans la même activité,

se voient proposer un parcours diversifié, construit de sorte que chacun d’entre eux puisse

trouver la clé qui lui convient le mieux.

En variant les supports pédagogiques, les questionnements, le contexte, un même

concept est abordé sous ses divers aspects.

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L’approche tient compte de la diversité des profils des élèves, en ce qui concerne leur

dominante perceptive et mémorielle ( plutôt auditive, visuelle ou kinesthésique ). A titre d’exemple, abordant la multiplication au CE1 de Chablis, j’avais

confronté les élèves à diverses situations multiplicatives : quadrillages, jeu du

kangourou, cubes et allumettes, paquets dessinés, et aussi « groupements

sonores » de frappés dans les mains, qu’ils devaient écrire sous forme

multiplicative après représentation schématique de leur choix. Cette dernière

approche, sonore, sollicitant la concentration, menée comme un jeu, a été très

appréciée.

b. Alternance des modes de travail. En faisant appel tantôt au travail classe entière, tantôt au travail individuel, en binôme,

en atelier ou en groupe, l’enseignant espère faire fonctionner efficacement les interactions

bénéfiques des élèves entre eux, entre groupes d’élèves (ou classe) et le maître, ou encore

entre le maître et les élèves, individuellement.

A Saint-Privé, pendant la 2e séance de résolution de problèmes lors de la phase

de recherche individuelle, j’ai pu me rendre compte de certains des obstacles

rencontrés par les élèves qui me sollicitaient parce qu’ils « ne comprenaient

pas », avec une conscience plus ou moins claire de ce qui les bloquait.

Gwendoline était embarrassée par le terme « somme » : après renvoi de la

question à la classe, elle a pu commencer sa recherche.

D’autres élèves par contre, qui avançaient très vite tant dans la lecture de

l’énoncé que dans leur recherche, ne posaient pas de question et je n’ai découvert

leurs erreurs qu’en fin de 1ère séance. Comme indiqué plus haut, j’avais négligé la

première phase collective de lecture et clarification d’énoncé.

L’articulation recherche individuelle-recherche en groupe n’était pas non plus

optimale : il aurait mieux valu que ces deux phases se succèdent immédiatement.

Ce qui n’était pas facile à gérer car le rythme de travail était très variable dans

un même groupe, et je tenais à laisser finir chacun avant la mise en commun.

J’avais omis cependant de préciser le temps imparti, ce qui ne favorisait pas

l’apprentissage de la gestion du temps par les élèves.

Le temps de travail en groupe a permis une appropriation du problème par tous

les élèves, le fait de demander un écrit par groupe les a conduit à se mettre

d’accord sur une solution commune.

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Le temps collectif de synthèse, par contre, a fait défaut : si c’était à refaire,

j’aurais désigné deux rapporteurs par groupe, l’un pour présenter le problème à

la classe, l’autre ( par exemple celui qui individuellement avait rencontré

davantage de difficultés ) pour exposer la procédure de résolution adoptée par le

groupe - après un court temps laissé au reste de la classe pour chercher. Ceci

avec un double objectif :

- alimenter la « banque de problèmes » des élèves, qui permet de répertorier

des catégories de problèmes,

- faire verbaliser les élèves et argumenter, en vue d’une appropriation des

démarches de résolution.

Pour le Défi, j’avais choisi de laisser toute latitude aux élèves quant au mode de

recherche, proposant la coopération sans l’imposer. Les binômes d’inséparables

se sont inévitablement constitués, ce qui a eu pour avantage d’impliquer certains

élèves en difficulté. En corollaire, l’évaluation individuelle était là encore

impossible.

Une autre situation de différenciation successive : celle conduite en géométrie

avec un point de départ classe entière, puis une tâche spécifique à chaque niveau

de classe. J’ai constaté là l’intérêt pour les CM2 de réactiver des connaissances

qui en principe auraient dû être acquises, lors de leur présentation pour les CE2.

Parallèle, perpendiculaire, deux concepts nouveaux en début de cycle, vont se

consolider ainsi progressivement. Au cours de la phase introductive, le travail

perceptif a été conduit par les plus jeunes : recherche dans la classe de droites

parallèles et perpendiculaires matérialisées. Puis les plus grands opéraient la

vérification à l’aide des outils appropriés, règle et équerre. Ce qui ensuite devait

être réinvesti dans le contexte de la feuille, quadrillée ou non, remise à chaque

élève.

3. Un dispositif fructueux au service de la différenciation : le

travail en ateliers.

L’expérience conduite dans la classe multi-niveaux de Saint-privé m’a poussée à

rechercher une forme d’organisation qui me permette d’accorder davantage d’attention à

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chacun. L’évaluation des productions écrites me semblait bien insuffisante. Certaines

affirmations m’avaient laissée perplexe, par exemple :

- « On ne peut pas » écrivait Valentin (CE2).

- .« J’ai compté » argumentait Paul (CE2).

- C’est le dialogue avec Valentin qui m’a éclairée : il mêlait la notion du jour

(polygone) à celle abordée la veille (perpendiculaire), et « ne pouvait pas » trouver

d’angle droit à l’hexagone, qui pour lui n’était donc pas un polygone.

De même, seul Paul pouvait expliquer ce qu’il avait compté et comment il avait procédé,

et il fallait lui faire comprendre que c’est cela qu’il devait écrire, pour répondre à la consigne

demandant de calculer et de justifier.

La mise en place d’ateliers de résolution de problème m’a semblée de nature à favoriser

l’apprentissage de la résolution de problèmes.

D’abord, parce que le travail en petit groupe, en présence du maître, devait à mon sens

favoriser l’engagement des élèves dans la recherche en toute sécurité, autorisant davantage la

prise de parole et les initiatives, puis les confrontations.

Ensuite, parce qu’une évaluation fine est indispensable à une bonne médiation, au cours

des travaux collectifs, afin qu’elle implique au mieux les élèves, et que leurs compétences et

difficultés soient mises à profit pour le groupe.

Dans la revue rencontre pédagogiques N°12, est proposée une organisation intéressante

dans le cadre de la différenciation simultanée, permettant de prendre en compte le niveau de

compétence de chacun :

- Un atelier spécifique travaille avec le maître, qui s’y consacre exclusivement.

- Un atelier autonome individualisé travaille pendant ce temps là, sur fiches par

exemple, à des activités de consolidation ou d’entraînement, programmées individuellement.

- Un troisième atelier concomitant, dit « groupe de travail d’aide mutuelle », peut

proposer soit une tâche à résoudre collectivement, soit individuellement avec autorisation

d’entraide.

J’ai voulu mettre en œuvre à Chablis, dans la classe de CE1, une organisation inspirée

de celle-ci dès la première séance de résolution de problème, afin de repérer où en était

chaque élève, pour lui permettre d’avancer à partir de là où il en était.

Au cours de la première semaine, tous les élèves sont passés à l’atelier de

résolution de problème, pour résoudre « Le magasin de jouets » ( voir énoncé en

annexe ).

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La consigne était d’abord de lire l’énoncé. Après explicitation en groupe, il fallait

chercher seul dans un premier temps. Les procédures observées étaient très

variées. Dans un premier temps je suis intervenue individuellement pour aider à

reformuler la consigne. Puis, mon aide a porté sur la méthode de travail :

comment savoir combien vont coûter ces 2 jouets ensembles ? où écrire le

calcul ? faut-il en garder une trace ? y a-t-il une autre solution ? comment

rédiger la réponse ? …

Sans donner de réponse, je questionnais individuellement les enfants.

Romain, en grande difficulté à l’écrit, n’arrivait pas à démarrer. Le travail en

petit groupe m’a permis de reprendre avec lui la représentation de la situation. Il

réussit donc à reformuler la question du problème. A la suite de quoi, il a pu

s’engager dans des essais, mais qu’il ne parvenait jamais à conclure sans mon

aide.

Gautier a passé beaucoup de temps à schématiser les jouets sous forme de

paquets d’euros. Au bout d’un moment, inspiré par le travail qui se faisait à côté,

il a changé de méthode et s’est mis à poser des additions, qui l’ont rapidement

conduit à la première solution.

Tiffany effaçant chaque essai, ne savait plus où elle en était.

Florent et Alexis posaient bien leur addition en colonne, mais ne géraient pas la

retenue.

Un autre élève utilisait un raisonnement soustractif, mais se trompait en

calculant.

Ces quelques exemples donnent un aperçu de l’hétérogénéité des savoirs, de la

diversité des modes de traitement mobilisés, ainsi que de la variété des difficultés

rencontrées lesquelles ne nécessitent pas toutes pour autant un traitement

collectif.

Certains obstacles repérés méritaient d’être repris par la classe, d’autres

devaient permettre la mise en place de remédiation ou de consolidation

personnalisées, par exemple pendant les temps d’ateliers autonomes qui se

déroulaient en parallèle.

Ces temps étant uniquement voués à la recherche, je n’avais pas prévu de phase

de synthèse. Or, ce que j’ai déjà noté au cours de mon stage en cycle 3 reste

valable dans le cadre des ateliers : un bilan classe entière du travail mené en

ateliers aurait été souhaitable, avec confrontation des procédures, explicitation

et argumentation des choix opérés. Sans être une correction, une telle étape

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finale a manqué dans ma préparation, alors qu’elle fait partie intégrante de

l’apprentissage .

C’est au cours des moments de synthèse que j’aurais pu élaborer avec les élèves

une grille de critères permettant de vérifier si un problème est résolu ou non,

grille évolutive, outil d’auto-évaluation utilisable par la suite.

Le bilan de cet atelier m’apparaît néanmoins positif, tous les enfants se sont bien

engagés dans une démarche personnelle de résolution, et une grande majorité d’entre eux est

parvenue à écrire au moins une solution.

Cette expérience, tout à fait ponctuelle, et dépourvue d’évaluation différée est bien

entendu à mon sens insuffisante pour être réellement porteuse de sens. Elle ne s’inscrit pas

dans le cadre d’une progression. Elle a le mérite cependant de montrer comment peut

s’organiser la classe de façon à ce que chaque élève bénéficie de l’attention du maître, c’était

l’objectif visé et il est bien atteint.

Ce type d’atelier aurait pu être mis en place dans une classe multiniveaux, avec un

énoncé commun présentant des variables didactiques en fonction des niveaux.

J’ai l’intention, dans ma pratique ultérieure, de mettre en place un fonctionnement par

ateliers, quelque soit le ou les niveau(x) de classe. Il faut souligner l’intérêt du travail en

autonomie ( et/ou en coopération ) pour les autres groupes d’élèves, tant du point de vue de

l’enseignant, qui peut individualiser les tâches attribuées à chacun, que du point de vue des

élèves, qui apprécient beaucoup ce temps d’ateliers, ressentant probablement mieux dans ce

cadre qu’ils sont maîtres de leur apprentissage. Le climat de la classe en est également

bénéficiaire, car l’entraide et les échanges y sont particulièrement favorisés.

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IV. Les aides différenciées apportées par le maître au cours des

activités de résolution de problèmes.

Afin qu’aide ne se confonde avec assistance, elle se doit d’être bien mesurée. Il s’agit

de faire évoluer les élèves, non de les faire réussir à tout prix : quand l’élève n’est pas capable

d’effectuer seul une tâche, il est capital que l’enseignant puisse lui apporter une aide qui le

conduise progressivement vers une certaine autonomie

En petit groupe, nous dit R. CHARNAY, « par l’incitation à agir, par les verbalisations

qu’il sollicite ou qu’il propose, par les actions qu’il amorce ou par les contrôles qu’il exerce

sur celles des élèves, le maître peut [alors] devenir le tuteur vigilant qu’il ne peut pas toujours

être lorsqu’il travaille avec toute la classe. »

Climat, encouragements.

Ces paramètres sont à prendre en compte, dans une activité à risque comme celle de la

résolution de problème. Harmoniser l’affectif et le cognitif permet de sécuriser les élèves qui

se lanceront ainsi plus facilement vers l’inconnu.

Il importe de favoriser un climat, un mode de relation propices à la communication

dans la classe et à la confiance en soi des élèves.

Familiarisation avant entrée dans la situation.

R . CHARNAY préconise pour certains élèves plus en difficultés que d’autres à

« rentrer dans une situation » nouvelle pour eux, de préalablement les aider à s’approprier le

nouvel environnement.

En résolution de problème, on peut par exemple travailler avec des tableaux si les

données de l’énoncé sont organisées en tableau.

Aide à la représentation du problème.

Catherine Houdement propose, pour débloquer des élèves qui ne démarrent pas, de les

inciter à simuler la situation , en prévoyant des situations possibles à mimer, où le matériel

permet une entrée dans a tâche, sans permettre la résolution complète. (Grand N 71 p 10)

Lors du démarrage de la recherche sur “le livre”, feuilleter un vrai livre a permis

de comprendre la situation à quelques élèves très en difficultés.

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Aide à la représentation du résultat à atteindre, avant le démarrage de la

recherche.

Cette étape permet la mise en œuvre d’une stratégie de résolution, puis un contrôle du

résultat. Si l’élève n’anticipe pas sur le type de résultat à chercher, il ne peut planifier son

activité. L’aider à mettre en relation la question et les données va lui permettre de se forger

une représentation du but à atteindre, et de passer à l’étape suivante : celle de détermination

de l’action ou opération à entreprendre pour conduire à ce résultat.

Le groupe travaillant sur « la promenade » a eu besoin d’aide pour repréciser le

résultat à atteindre, à savoir quels groupes iraient ensemble, après une première

lecture incomplète de l’énoncé.

Recentrage sur la question.

Au cours de sa recherche, l’élève peut avoir besoin d’être ramené à l’énoncé, dont il a

parfois oublié les contraintes ou certaines données.

Le problème des « dés », par exemple, avait été résolu en partie correctement,

mais les dernières solutions présentées ne tenaient parfois plus du tout compte

soit des constellations réelles d’un dé, soit du nombre de lancers autorisés.

L’intervention aurait été ici d’attirer l’attention des élèves en question sur ces

incongruités.

Aide à la lecture, l’écriture.

Ces aides peuvent alléger la charge cognitive afin de mobiliser tous les efforts de

l’élève sur le raisonnement mathématique.

Temps accordé.

Accorder davantage de temps à un élève ne peut être systématique. Cependant, à mon

sens, un élève qui a trouvé la bonne voie après des errements a le droit de finir sa recherche et

de voir créditée de succès sa persévérance.

Médiation .

Là se trouve l’action essentielle du maître : favoriser les interactions entre les élèves,

les confrontations de solutions, les essais d’autres procédures. Aider les élèves à se décentrer,

à accepter d’autres points de vue et à en reprendre certains à leur compte.

Le maître, sans intervenir sur le contenu, doit aider les élèves lors de la négociation

permettant de valider ou non les procédures. Jeanne BOLON (Grand N N° 69) insiste sur la

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nécessaire mise à l’épreuve des connaissances de l’élève, trop souvent court-circuitée par le

« vrai » ou « faux » exprimé par le maître.

C’est par son questionnement « élucidant », comme le qualifie B.M. BARTH, que

l’enseignant peut aider l’élève à progresser dans son cheminement.

Métacognition.

En demandant à un élève de « penser tout haut », de redire comment il a trouvé,

d’argumenter sa procédure, de comparer sa démarche avec une autre, d’expliquer la résolution

d’un camarade, le maître aide l’élève en question à asseoir son apprentissage, à se

l’approprier rationnellement ; il aide également le groupe, qui bénéficie de ces explicitations,

et peut à son tour les reprendre ou les contrer.

Elément fondamental dans le processus d’apprentissage, ce retour descriptif sur la

démarche suivie nécessite une aide de la part du maître, qui sans imposer de vocabulaire

spécifique, va aider les élèves à mettre en mot les procédures.

Dans cette optique, il me semble que l’usage systématique du cahier brouillon est

incontournable, permettant de suivre en différé le cheminement de la pensée. Là encore, le

maître a un rôle à jouer dans la valorisation des tâtonnements, essais et erreurs menant au but.

C’est en reprenant la démarche dans son ensemble, avec du recul, que s’éclaire réellement la

complexité d’un problème.

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Conclusion

Différencier sans individualiser Aider chaque élève à progresser dans son apprentissage signifie prendre en compte les

besoins de chacun, et proposer des situations communes qui autorisent des voies de résolution

diversifiées. C’est au sein du groupe, hétérogène par essence, que peut se construire une

« histoire cognitive commune », faite de questions, de tâtonnements, d’erreurs, de découvertes

et de réussites, susceptible d’inscrire chaque élève, quelque soit son « niveau », dans une

dynamique d’apprentissage.

Un moment du stage effectué à Saint-Privé me revient en mémoire, illustrant d’une

certaine façon la synergie déployée dans la classe dans ce contexte, malgré les problèmes que

je pouvais rencontrer face à groupe plutôt difficile.

La classe avait travaillé en littérature sur l’album « Le voyage d’Oregon », de Rascal,

et les élèves étaient entrés dans son univers avec grand plaisir. Alors que se posait la question

de la durée du voyage, un groupe avait travaillé sur la chronologie dans le texte, et un autre

avait retracé, à l’aide d’un atlas, l’itinéraire de Pittsburgh à Seattle en passant par Chicago.

Au moment de la synthèse ont été confrontés les résultats de ces deux recherches. Les

réponses du groupe « chronologie » étaient-elles vraisemblables ? Trois jours étaient-ils

suffisants pour traverser ainsi l’Amérique ? Cette question a conduit, de fil en aiguille, à

évaluer la distance parcourue, en utilisant l’échelle de l’atlas. La classe entière s’est investie

dans la résolution de ce problème qui « parlait » à chacun., tous les élèves étant plongés dans

le récit depuis quelques jours déjà. Le calcul effectué, l’immensité d’un pays inconnu leur

était apparue sous un jour chiffré, impressionnant. « Faire des mathématiques » s’était imposé

d’évidence et dans cette situation, les uns avaient mobilisé leurs efforts sur la numération, les

autres sur la multiplication, d’autres encore sur la question de l’échelle, … le tout ayant

finalement amené l’ensemble de la classe à la réponse finale. Ce résultat avait ensuite été

rapproché du texte littéraire…

Différencier, mais pas tout le temps Si la mise en place d’activités spécifiques permet, comme nous l’avons montré avec

l’organisation en ateliers, de mieux répondre aux besoins réels de l’élève, les temps collectifs

sont des moments indispensables qui permettent à chacun de s’enrichir et de se situer. Situer

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son propre savoir par rapport à l’objectif commun, et se situer par rapport aux autres. Un

élève qui aura résolu une partie du problème, ou bien utilisé une procédure particulière, aura

peut-être atteint l’objectif que le maître lui avait assigné au regard de sa situation propre. Pour

autant, il n’aura pas l’occasion d’appréhender la situation dans sa complexité s’il reste

cantonné à son travail personnel.

La recherche de problème ouvert comme moyen de

différenciation en soi Confrontés régulièrement à ce type de problème, les élèves peuvent éprouver à la fois

leurs savoirs et leur marge d’imagination, de créativité, d’autonomie. Le maître quant à lui

peut, dans ce contexte au caractère rendu aisément ludique, appréhender les obstacles qui se

présentent devant chacun, et ainsi évaluer et mettre en place des situations propres à faire

évoluer les diverses connaissances.

Prendre en compte la diversité, deux stratégies pour le maître : Différencier l’enseignement c’est mettre en mouvement à la fois la dynamique

individuelle et la dynamique collective. Les actions du maître peuvent ainsi s’appuyer

sur deux principes :

Prendre appui sur le projet personnel de l’élève, c’est à dire aider l’élève à s’inscrire

dans un projet d’apprentissage, et lui donner les moyens d’évaluer sa progression : c’est dans

cette perspective que le maître pourra efficacement proposer des moyens diversifiés

permettant à l’élève d’affirmer ses compétences en résolution de problèmes, et de construire

son autonomie.

Prendre appui sur l’entraide, les échanges et interactions entre élèves, favoriser

l’engagement par le travail en coopération. Résoudre collectivement un problème, c’est

apprendre à comprendre et à agir sur son environnement, c’est apprendre à utiliser des savoirs

et acquérir les attitudes qui seront nécessaires au libre exercice de la citoyenneté.

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BIBLIOGRAPHIE

BARTH, Britt-Mari. L’apprentissage de l’abstraction. Retz, 1987.

BARUK, Stella (1985) : L’âge du capitaine. De l’erreur en mathématiques. Seuil,1985.

BOLON, Jeanne. Pédagogie différenciée en mathématiques : mission impossible ou défi ? Grand N N°69, 2002..

BRIAND Joël, CHEVALIER Marie-Claude. Les enjeux didactiques de l’enseignement mathématique. Hatier ,

1995.

BRISSIAUD, Rémi. Comment les enfants apprennent à calculer. Retz, 1990.

Carnets de route de la COPIRELEM. Tome 1 : Apprentissage et diversité. COPIRELEM, 2003.

COPPE, Sylvie. Réflexions sur les activités concernant la résolution de problèmes à l’école primaire. Grand N

N°69, 2002.

COPPE, Sylvie, BALMES, Rose-Marie. Les activités d’aide à la résolution de problèmes dans les manuels de

cycle III. Grand N N°63, 1998-1999.

ERMEL. Apprentissages numériques. Hatier.

En mathématiques peut mieux faire. Rencontres pédagogiques N°12, 1986.

Chacun, tous…différemment ! Différenciation en mathématiques au cycle des apprentissages. Rencontres

pédagogiques N°34, 1995.

EVA MATHS. Réflexions et activités CM2-6ème en mathématiques. CRDP de Nice, 1994.

HOUDEMENT, Catherine. La résolution de problèmes en question. Grand N° 71, 2003.

HOUDEMENT, Catherine. Le choix des problèmes pour la « résolution de problèmes ». Grand N N°63, 1998-

1999.

JULO, Jean. Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes ? Grand N° 69, 2002.

LAMONTAGNE, Jean. De l’évaluation à l’entrée au CE2 aux PPAP. CRDP des Pays de Loire, 2003.

MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE . Programmes 2002 et Documents d’application des

programmes. CNDP.

MONTI, Bernard, PLOURDEAU, Claudine . Opérations mentales en résolution de problèmes. Repères

pour agir. CRDP Basse-Normandie, 2003.

Sites Internet :

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http://aideeleves.net/morceauxchoisis/differenciation.htm

http://www.ac-bordeaux.fr/ia64/pedago/cycles/docia/doc11.htm

http://freinet.org/icem/dept/gempem/outils/pedadiffcurie2004.htm

http://parcours-diversifies.scola.ac-paris.fr/PERETTI

http://www.lebulletinpmev.com/

http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/peda/clg

http://www2.ac-lille.fr/apmep/les_ateliers/LA25_Leclere.htm

http://www.ien-landivisiau.ac-rennes.fr/maths/geometrie/textes%20theorie/principes.htm

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ANNEXES

« L’AJA à Paris », cycle 3, école des Rosoirs. ..…………………………………41

« Les éperviers déménageurs », cycle 3, école des Rosoirs. …………………….42

Progression mise en œuvre dans la classe de cycle 3 à Saint-Privé. …………….45

Séance 1, cycle 3, Saint-Privé : « Notre classe…» ………………………………46

Séance 2, cycle 3, Saint-Privé : problèmes de recherche.

« Les nombres », « Les dés »,

« Le manège », « La promenade en bateau » ………………………………...48

Séance 3, cycle 3, Saint-Privé : tracés géométriques. ……………………………49

Séance 4, cycle 3, Saint-Privé : lecture d’énoncés. ………………………………50

Défi-maths, cycle 3, Saint-Privé. ………………………………………………...51

« Le magasin de jouets », CE1, Chablis. ………………………………………...52

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MATHEMATIQUES : RÉSOLUTION DE PROBLEMES Compte-rendu d’une situation d’apprentissage Stage de pratique accompagnée octobre 2004

L’AJA à Paris.

Séance du 2/10/2004.

Énoncé :

Lors du dernier déplacement de l’AJA à Paris, nous étions 48 dans un car (6 garçons, 7 filles, 20

messieurs et 16 dames).

Le voyage AUXERRE PARIS a duré 2 heures 15 minutes.

Le voyage du retour a duré 3 heures moins le quart.

Le chauffeur m’a dit que le car consommait 25 litres de carburant tous les 100 kilomètres.

Chaque adulte a payé 15 euros pour le billet d’entrée au match, chaque enfant 10 euros.

Le transport en car n’était pas gratuit, c’est normal.

Nous sommes partis à 16 heures, nous sommes rentrés à minuit.

Au retour à Auxerre, le chauffeur me dit : « on a parcouru 400 kilomètres depuis le départ

d’Auxerre !! »

Je ne me souviens plus du score !!!

Que pourrions-nous chercher ? Remarques

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MATHEMATIQUES : RÉSOLUTION DE PROBLEMES Compte-rendu d’une situation d’apprentissage Stage de pratique accompagnée octobre 2004

LES EPERVIERS DEMENAGEURS

Niveau et contexte : CE2 / CM1

Ecole des Rosoirs : classe de Françoise GAYE

13 élèves « en difficultés » ( soit particulièrement en

mathématiques, soit particulièrement en français )

Thème de la séance : Construction d’un énoncé de problème

Grands axes du déroulement prévu :

A la suite d’une séance d’EPS ( situation vécue ), il est proposé aux

élèves travaillant en binômes de la transposer en énoncé de problème ( passage à l’abstraction ),

en vue d’en proposer la résolution à un autre groupe.

Objectif : Comprendre qu’un problème

- part d’une situation initiale

- est assorti d’un but à atteindre

- nécessite une ou des opérations à effectuer : solution non

immédiate !

Durée prévue : 1h

Place dans la progression :

Au début du stage tutelle, observation de plusieurs séances sur la

résolution de problème ( problème sans question ; compréhension d’un énoncé ; énoncé à trous ).

Au cours de ces séances, nous sont apparues les difficultés rencontrées par les élèves face à un

énoncé de problème.

D’où la proposition de notre équipe de 3 PE2 de mettre en place

une séquence sur ce même thème. ( voir : prolongements )

Type de situation d’apprentissage : Problème ouvert.

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Analyse a priori :

A partir du jeu réalisé le matin, les élèves devraient :

* récapituler les données liées à la règle et au matériel utilisé ( quantités d’objets et de

joueurs ),

prendre en compte la modification proposée : davantage de joueurs, nécessité d’adapter

l’organisation matérielle.

* formuler une question issue de cette modification : « combien de cerceaux, de ballons,

de plots… devrons-nous prévoir ? »,

Ainsi les élèves devraient-ils, selon nous, s’approprier un problème, comprendre qu’un problème

peut se rencontrer au quotidien, même pour eux.

Déroulement prévu :

Collectif : rappel de la situation initiale

Listage des données ( joueurs, matériel : quantités ) et élaboration collective d’un schéma,

au tableau.

Consigne :

« En EPS nous avons joué à l’ épervier-déménageur, nous étions 15 joueurs. Si nous

organisions un tournoi, avec 30 élèves, de quel matériel aurions-nous besoin ? »

« Vous allez travailler par 2 : formuler une question et donner les renseignements pour

pouvoir y répondre. »

Recherche :

Individuellement : temps de réflexion.

Puis en binômes, rédaction d’un énoncé et résolution pour vérifier la faisabilité avant de le

transmettre.

Echange d’énoncés entre binômes, essais de résolution.

Mise en commun : repérage des erreurs, rectification en vue d’obtenir un énoncé correct.

Analyse a posteriori :

-Phase collective initiale beaucoup trop longue, notamment schématisation ( déjà acquise, ne

présentait pas de difficulté ). Trop de temps de parole de ma part, pas suffisamment d’échange

entre les élèves.

-Phase de recherche individuelle trop brève.

-Difficulté de certains élèves à travailler en binôme : plusieurs d’entre eux travaillent seuls.

-Bilan des productions :

Seule une élève a atteint l’objectif et rédigé un énoncé.

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Plusieurs groupes ont refait le schéma initial

D’autres ont fait des calculs…

D’autres ont fait un schéma avec la nouvelle situation : d’où énoncé inutile, la

réponse à la question qu’ils se posaient était contenue dans le schéma.

-Les élèves se sont lancés davantage dans la recherche-résolution que dans la formulation elle-

même.

-L’enjeu n’était pas assez fort ou en trop, car il y avait beaucoup de données dans cette situation

( quantité importante de matériels ).

-Echec donc du projet d’échange d’énoncés.

-Manque de temps pour la mise en commun, remise à la séance suivante.

Prolongements :

Séance 2 : reprise des productions élèves : « Peut-on résoudre ce problème ? » en vue de faire

ressortir les caractéristiques d’un énoncé (contexte ; données ; question.).

Séance 3 : Reconnaître un énoncé de problème. Parmi diverses propositions, entourer les

problèmes mathématiques.

Séance 4 : Travail sur un énoncé. Trier et éliminer les données superflues.

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PROGRESSION MISE EN ŒUVRE DANS LA CLASSE DE CYCLE 3 A

SAINT-PRIVÉ

CE2 CM1 CM2

Exploitation de données numériques :

uation diagnostique : problème sans question. Que pourrions-nous chercher?

( 5 séances ) En groupes de niveau : problème pour apprendre à chercher "Le manège" et "les bateaux" ERMEL ( groupes 1 et 2) "les dés" BANQOUTILS C2

Recherche individuelle ( 1 séance )

Mise en commun des résultats et recherche en groupe ( 1 séance )

Travail en groupe classe sur la lecture d'énoncé : observation critique de réponses d'élèves ( 1 séance )

Identification d'énoncés de problèmes et résolution. ( manuels )

Défi : Evariste et autres énigmes

Recherche libre pendant les temps d'autonomie, individuellement ou par 2 ou 3. Délivrance ponctuelle d'"aide" quand plusieurs élèves sont bloqués.

Calcul mental : Tous les 2 jours, sur feuille, 10 questions : toutes opérations, travail par niveau, correction orale avec explicitation des procédures proposées par les élèves

Fractions : Découverte quadrillage, bandes, tartes

( 2 séances ) Désignation et notation

Géométrie :

Polygones Observation et tri

( 2 séances ) Tracés

Définitions : segment, côté, sommet

Cercle Observation, rappels

( 2 séances ) Tracés et utilisation du compas ---> mesure.

Définitions : centre, diamètre, rayon

Perpendicularité, parallélisme

Angle droit : découverte, fabrication d'une équerre

( 4 séances ) Tangram Tracés à la règle sur papier quadrillé

Tracés à la règle + équerre sur papier non quadrillé

Parallélisme : découverte, définition

Dans la classe, rechercher des parallèles et des perpendiculaires matérialisées. Vérifier à l'aide de la règle et l'équerre. ( activité de remédiation, non prévue au départ, qui s'est avérée nécessaire.)

Problème : tracer ou trouver la parallèle, la perpendiculaire, vérifier...

Prolongement en arts plastiques : réalisation d'un "damier avec bulles" au crayon, règle et compas.

Programme de construction

Réinvestissement des notions abordées : reproduction d'une figure, puis rédaction d'un programme de construction

( 2 séances ) Travail en binômes avec échange des productions, en vue de mettre en lumière les imprécisions et erreurs du programme énoncé et de souligner l'importance du vocabulaire spécifique.

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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ Séance 1 du 22/11/2004

« Notre classe. »

Objectif :

Évaluation diagnostique de la représentation d’un problème chez les élèves, ainsi que de leur démarche de résolution. Compétences générales :

Mise en relation d’une situation de la vie quotidienne avec un énoncé de problème mathématique. Compétences spécifiques :

Lecture d’un énoncé Sélection de données, et mise en relation avec une ou des opérations connues Argumentation Résolution par le calcul

Enoncé :

Mathématiques Notre classe comprend 17 élèves, dont huit filles. La maîtresse est en stage pendant 3 semaines. Dans la classe, il y a 3 ordinateurs, un magnétoscope, un téléviseur et un lecteur de CD. La liste des livres de bibliothèque mentionne 15 romans d’aventures. Trois d’entre eux sont actuellement empruntés. Il y a aussi de nombreux documentaires. Le matin, l’école commence à 9 heures et se termine à midi. Il n’y a pas de classe le samedi. Les élèves ont chacun 1 classeur et trois cahiers. Le lundi, 8 élèves vont à la cantine. Aujourd’hui il y a des pommes au dessert. Je ne connais pas le menu de demain. QUESTION : Que pourrions nous chercher ? ………………………………………………………………………………………………………………... REMARQUES : ……………………………………………………………….……………………………………………………………………………… RÉSOLUTION : ……………………………………………………………….………………………………………………………………………….. Réponses attendues : Combien y a-t-il de garçons ? Combien de romans d’aventure restent-ils en rayon ? Combien y a-t-il d’appareils audio-visuels dans la classe ? Combien a-t-il fallu acheter de cahiers ? … Erreurs attendues : Questions dont la réponse est dans l’énoncé

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Questions non mathématiques Questions dont les données ne sont pas dans l’énoncé Déroulement 1. Phase collective : lecture du texte et recherche de quelques questions. Des élèves proposent :

Combien de classeurs en tout ? de cahiers ? Combien d’élèves mangent-ils à la cantine ? Quel est le menu de demain ? Combien d’élèves mangeront-ils demain à la cantine ?

2. Recherche individuelle. Consigne : « Sélectionner 1 ou 2 questions et y répondre » puis s’il reste du temps : « Inventer d’autres questions. » 3. Mise en commun. Les questions résolues sont les suivantes :

Combien reste-t-il de romans ? Combien y a-t-il de garçons ? Combien de classeurs en tout ? Combien d’élèves mangent-ils à la cantine ? Combien y a-t-il d’appareils audio-visuels ? Combien y a t-il de cahiers ?

Comparaison des questions et de leur réponse, qui amène au constat suivant : certaines questions ont été résolues par un calcul, alors que d’autres non, la réponse était contenue dans l’énoncé.

4. Elaboration de la trace écrite avec les élèves. « L’énoncé nous indique les renseignements utiles pour répondre aux questions posées. Pour trouver la réponse, il est nécessaire de faire une opération. » Remarque : « opération » n’est pas nécessairement « calcul ». Bilan : J’ai regroupé les élèves en fonction de leurs productions à l’issue de cette première situation.

* Groupe 1 (CM1 et CM2 ) : Questions impossibles à résoudre, données non présentes dans l’énoncé

Questions dont les réponses sont dans l’énoncé * Groupe 2 (CM1 et CM2 ) :

Même type de questions, mais avec de plus quelques questions pertinentes * Groupe 3 ( CE2 ) :

Questions pertinentes, résolues par un calcul. * Groupe 4 ( CM2 ) : Questions pertinentes, plus élaborées, nécessitant des connaissances ou des calculs intermédiaires.

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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ Séance 2 du 25/11/2004.

Problèmes de recherche.

Objectif : s’engager dans une procédure de résolution experte ou personnelle, communiquer sa démarche et l’argumenter. Enoncés : Groupe 1 : Les nombres. Cherche le plus possible de nombres dont la somme des chiffres est 5 Groupe 2 : Les dés. Pour gagner à un jeu, Laure doit avancer son pion de 12 cases. Elle lance trois fois son dé. Cherche 2 solutions pour que le total des points soit égal à 12. Groupe 3 : Le manège. Tu veux acheter des tickets pour faire le plus possible de tours de manège. Tu as 16 euros. Les tickets coûtent : 1 euro le ticket 8 euros les 10 tickets 12 euros les 20 tickets Combien peux-tu acheter de tickets ? Groupe 4 : La promenade en bateau. Des groupes arrivent pour une promenade en bateaux. Voici le nombre de personnes par groupe : 25 50 65 70 85 100 45 Les personnes d’un même groupe ne veulent pas se séparer. Elles veulent monter dans le même bateau. Un bateau transporte 150 personnes, pas une de plus. Il y a trois bateaux. On veut savoir comment ces groupes vont s’organiser pour monter dans les bateaux. Phase 1 : recherche individuelle Phase 2 : mise en commun par groupes

- Confrontation des réponses dans chacun des groupes. - Mise en évidence de réponses et/ou procédures différentes. - Elaboration d’une solution commune au groupe.

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CYCLE 3 SAINT-PRIVÉ Séance 3 du 30/11/2004.

Tracés géométriques.

Il s’agit de la deuxième séance de géométrie, la première ayant été consacrée à la

fabrication d’une équerre en papier et à son utilisation pour vérifier la perpendicularité, ainsi qu’à

la réalisation de tracés de droites perpendiculaires.

A côté de cela, un damier est en cours de réalisation en arts plastiques.

Au cours de cette séance, l’objectif de travail reste le même pour les trois niveaux : il

s’agit de réinvestir les notions de parallélisme et perpendicularité, et de mettre en œuvre

l’utilisation des outils ( papier quadrillé, règle, équerre ) pour mesurer et tracer les figures

demandées.

Consignes :

CE2 : sur une feuille quadrillée, continuer un tracé en utilisant la règle.

Les segments de « l’escargot » à continuer mesurent respectivement 1 cm, puis 2 cm, puis 3cm.

Le papier est quadrillé 5x5 mm.

CM1 : même travail, sur papier blanc, tracé à effectuer à la règle et l’équerre.

CM2 : construire un réseau à mailles carrées, sur papier blanc, à la règle et l’équerre.

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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ Séance 4 du 2/12/2004

Lecture d’énoncés.

L’objectif est d’attirer l’attention des élèves sur la nécessité de bien prendre en compte tous les éléments de l’énoncé, y compris de la question.

Cette séance précède celle du lendemain, qui sera réservée à la lecture critique d’énoncés : la tâche des élèves sera de déterminer s’il s’agit ou non de problèmes. Si oui, de les résoudre si c’est possible ; si non, de dire pourquoi ; Déroulement : Au cours de cette séance, j’ai repris avec les élèves quelques erreurs de lecture relevées pendant la séance de recherche individuelle du 25 novembre, et leur ai demandé de les commenter, après relecture des énoncés.

Exemples : « Les nombres » : à la question « cherche le plus possible de nombres dont la somme des chiffres est 5», il est répondu entre autres : « 5x5=25 ». « La promenade »: à la question « on veut savoir comment ces groupes vont s’organiser » il est répondu : « il va rester 3 personnes ».

Les difficultés ont été recensées oralement avec les élèves, ainsi que les recommandations y afférentes :

Bien lire chaque mot, chaque phrase. S’interroger sur le sens des mots difficiles, par exemple la « somme ». S’imaginer la situation présentée. Possibilité de faire un schéma, parfois. Chercher et réfléchir au sens de la question : qu’est-il demandé de faire ? A la suite de quoi, j’ai écrit quelques consignes au tableau, avec à côté des réponses erronées, que j’ai présentées comme de « vraies erreurs commises par d’autres élèves ». La consigne était de repérer ces erreurs. Exemples : « Écris en chiffre le nombre dicté par le maître. » Réponse : « deux cent dix » « Repasse en rouge les côtés du carré au centre de la figure. » Réponse : ( ce sont les sommets du carré qui ont été matérialisés par des points rouges.) « Sur les 1100 tickets de tombola à vendre, 1000 ont été vendus, et 2 perdus. Calcule le nombre de tickets non vendus. » Réponse : « 1100 – 1000 – 2 = 98 » Les élèves se sont révélés plus critiques à l’égard des autres que d’eux-mêmes, et ont rapidement rectifié les erreurs.

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CYCLE 3 : SAINT-PRIVÉ

Evariste et autres énigmes:

problèmes ouverts.

Afin d’allier l’agréable à l’utile, j’ai lancé dès la première semaine un défi-maths dans la

classe.

Les élèves disposant régulièrement d’un temps d’autonomie, je leur ai proposé de se

consacrer à la recherche d’énigmes, lorsque leur travail serait terminé, leur laissant le choix de

s’organiser à deux ou plusieurs s’ils le souhaitaient.

Il s’agissait de problèmes très courts, assortis d’une illustration ou d’un schéma.

Chaque soir, ils me remettaient le fruit de leur recherche, pour la validation.

La feuille de points était affichée.

Le nombre de points attribués diminuait avec le nombre des aides délivrées ( 50 points

pour une résolution exacte sans aide, 40 points après la 1ère aide, 30 après la seconde, etc…).

La motivation a été constante, malgré de grandes difficultés et beaucoup d’erreurs.

Les élèves ont choisi les uns le travail individuel, les autres en binôme.

Les plus lents n’ont pu participer régulièrement, défaut du caractère « facultatif » de

cette variante du dispositif.

Exemples de problèmes :

Je lis … :

J’ouvre mon livre au hasard.

Je regarde les numéros des pages et je les additionne.

Je trouve 25.

A quelles pages mon livre est-il ouvert ?

Du haut de cette pyramide … :

Dans cette pyramide, chaque brique vaut la somme des deux briques sur lesquelles elle

repose.

Complétez les nombres qui manquent.

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Classe de CE1 à Chablis

Première séance de recherche, en atelier.

Les ateliers dits « autonomes » avaient été mis en place après les vacances de février par

l’enseignante de la classe.

J’ai conservé un atelier « informatique » où les élèves travaillent le français ( outils de la

langue ), et remplacé les autres ateliers par un atelier de recherche, d’une part, où les élèves

pouvaient compter sur ma présence, et par deux ateliers autonomes de français et maths :

orthographe par les mots croisés et calcul par les jeux de nombres .

Un responsable était désigné dans chaque atelier, chargé de m’alerter en cas de problème

dans le groupe.

La consigne était de travailler seul, avec autorisation de s’entraider en cas de difficultés.

Chaque jour, chaque élève changeait d’atelier, sauf en fin de semaine où il s’est avéré

nécessaire que je reprenne avec moi les élèves les plus en difficultés pour la résolution de

problème.

Le temps d’atelier était de 45 minutes, déplacement et rangement compris.

Les locaux se prêtaient bien à cette organisation, avec la disponibilité de la BCD et de

tables de travail dans le hall pendant ce créneau horaire.

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CHABLIS CE1 Atelier de résolution de problème : premier énoncé.

Le magasin de jouets.

Paul veut dépenser les 40 euros qu'il a dans son porte-monnaie. Il observe les six jouets qui restent dans la vitrine. Quels jouets choisit-il pour dépenser ses 40 euros ? MASQUE : 12 euros BALLON : 22 euros VOITURE : 8 euros

PELUCHE : 18 euros RAQUETTE : 16 euros AVION : 6 euros

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BROUILLON :

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RÉPONSE :

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RESOLUTION DE PROBLEMES ET

DIFFERENCIATION DE L’ENSEIGNEMENT

RESUME : De quels moyens le maître dispose-t-il pour aider les élèves à surmonter les

difficultés auxquelles ils se heurtent lorsqu’ils sont confrontés à des situations de résolution

de problèmes en mathématiques ? D’une analyse des obstacles rencontrés à des propositions

de mise en œuvre : différenciation successive et simultanée, mise en place d’ateliers, aides

spécifiques.

MOTS-CLES : Mathématiques – Résolution – Problème – Différenciation – Aides.