Rapport du Mini-Projet de l’Aanalyse Numérique II.

Résolution de l’Equation de la Chaleur par la Méthode des Différences Finies.

Préparé par : Elboutaybi Sara

Bourras Ismail

Année Universitaire: 1431/1432 2010/2011

Génie Informatique.

2

Table des matièresRemerciement 3

I. Introduction 4

II. Méthode des différences finies 4

a. Approximation des dérivées par la formule de Taylor 5

b.Maillage 4

c.Schéma Numérique : 6

d.Condition aux limites et conditions initiales : 5

III. Application7

a.Etude Numérique

b.SchémaExplicite

c. Schéma Implicite

d.Schéma de CranckNicolson

IV. Programmation 10

a.Script pour le Schéma Explicite

b.Script pour le Schéma Implicite

c.Script pour le Schéma de CranckNicolson

V. Cas de Calcul 20

a.Solution exacte

b.Solution approchée par le schéma explicite

c.Solution approchée par le schéma implicite

d.Solution approchée par le schéma de CranckNicolson

e.Conclusion sur la stabilité et la convergence de ces méthodes

VI. Conclusion 32

VII. Références 33

Remarque : Nous avons choisi l’outil matlab pour la programmation et la visualisation des solutions.

2

Remerciements

Avant d’entamer ce rapport, nous profitons de l’occasion pour remercier chaleureusement notre cher professeur M.El Ouardi pour avoir crée cette occasion (le mini-projet) et nous permettre ainsi de voir nos acquis purement théoriques rencontrer le monde réel par le biais de la programmation.

Ce travail est le fruit de vos efforts et de votre générosité qui nous a surveillés partout et presque chaque semaine via l’adresse électronique.

2

I. Introduction   :

L’analyse numérique est une discipline des mathématiques. Elle s’intéresse tant aux fondements théoriques qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique.

Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes). Cela signifie qu’elle s’occupe principalement de répondre numériquement à des questions à variable réelle ou complexe comme l’algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou complexes, la recherche de solution numérique d’équations différentielles et d’autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l’ingénierie.

Dans le domaine de l'analyse numérique, on peut être amené à rechercher la solution d'une équation aux dérivées partielles. Parmi les méthodes de résolutions couramment pratiquées, la méthode des différences finies est la plus facile d'accès, puisqu'elle repose sur deux notions : la discrétisation des opérateurs de dérivation/différentiation (assez intuitive) d'une part, et la convergence du schéma numérique ainsi obtenu d'autre part.

En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite initialement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique.

II. Méthode des differences finies   :

Parmi les méthodes de résolution, la méthode des différences finies, qui repose sur deux

notions : la discrétisation des opérateurs de dérivation/différentiation par différences finies

d'une part, et la convergence du schéma numérique ainsi obtenu d'autre part.

En effet Un problème aux dérivées partielles nécessite la donnée de :

D’un domaine

D’une équation aux dérivées partielles

De conditions aux limites

De conditions initiales

a. Approximation des dérivées par la formule de Taylor :

Grâce aux formules de Taylor, on définit la discrétisation des opérateurs différentiels

(dérivées premières, secondes, etc. partielles ou non).

2

La formulation de Taylor-Young est préférable dans son utilisation simple, la formulation de

Taylor avec reste intégral de Laplace permet de mesurer les erreurs

Et :

Ou toutes les applications convergent vers 0 avec h. Alors :

Et en sommant les développements pour x-h et x+h l'on obtient:

On obtient respectivement des approximations de 1er ordre et 2nd ordre en h.

Alors on a :

∂ u∂ x

≃u ( x+h )−u (x−h)

2h.

On peut aussi montrer de la même façon que :

∂ u∂ x

≃u ( x+h )−u (x)

hEt

∂ ² u

∂ x2 ≃u (x+h )+u (x−h )−2u(x )

h2 .

b. Maillage :

Un maillage est un ensemble de points du domaine de définition sur lequel on va appliquer

la méthode des différences finies. Pour une application définie sur un segment de , on

ajoutera en général les deux extrémités du segment ; pour un maillage en dimension

supérieure, on sera amené à choisir, éventuellement, des points des contours du domaine de

définition.

2

On appelle le pas du maillage la distance entre deux points successifs du maillage voisins.

En dimension 1, cela se simplifie en différence des abscisses. Ce pas n'est pas nécessairement

constant, il peut même être judicieux de ne pas le fixer comme tel. Le pas (global) de

l'approximation peut être défini comme le plus grand pas du maillage. Ainsi, si ce pas global

tend vers 0, cela veut dire que la répartition des points du maillage dans l'intervalle choisi tend

à se faire sur tout le domaine d'étude par densité.

Exemple :

Un intervalle de validité [0,1] on utilisera (N + 1) points, par exemple {0, h, 2h,...,

N*h=1} pour un pas constanteh= 1N

c. schema numérique :

Écrire un schéma numérique de résolution de l'équation différentielle initiale signifie :

substituer les formulations des dérivées/différentielles obtenues par approximation aux opérateurs eux-mêmes sur tous les points du maillage.

réorganiser les équations pour faire apparaître un schéma explicite (ex : les valeurs à la date t+1 données en fonction des valeurs des dates 0 à t) ou implicite (une équation lie les valeurs passées, présentes et futures sans qu'on arrive à exprimer ces dernières seules).

Dans un cadre de modélisation classique d'opérateurs linéaires dans des équations différentielles linéaires, on aboutit à un système d'équations linéaires de dimension égale au nombre de nœuds du maillage (en fait un peu moins, du fait des données initiales, par exemple).

Résoudre le schéma numérique signifie simplement trouver les valeurs discrètes de la fonction en chaque nœud.

Un système issu d'une équation linéaire peut souvent être algébriquement simple à résoudre. Pour simplifier, on peut dire que les schémas explicites engendrent des systèmes d'équation à matrice triangulaire ou trigonalisables, ce qui n'est pas le cas des schémas implicites.

d. Condition aux limites et conditions initiales :

Un problème aux limites est une équation aux dérivées partielles munie de conditions aux limites sur la totalité de la frontière du domaine.

Un problème de Cauchy est une équation aux dérivées partielles ou, pour la variable de temps, les conditions « au bord« sont des conditions initiales (et pas finales).

2

On dit que le problème A(u) = f est bien posé si pour toute donnée f  ; il admet une solution unique u, et si cette solution u dépend continument de la donnée f conditions nécessaire pour faire du calcul numérique.

Les équations de type (I1) sont représentatives de problème de type potentiel qui apparaissent dans des études de régime permanent en électricité (électrostatique ou magnétostatique), mécanique (déformation d’un solide, écoulement) et thermique (répartition des températures), les conditions aux limites associées sont de type :

(a) Dirichlet  : u(s)=u0

(b)   Neumann  : ∂ u(s)

∂ n=f 0̥ (s)

(c) Mixte : αu (s )+β∂ u(s)

∂ n=f 1(s)

III. Application   :

Voici l’équation à résoudre

(E ) : ¿

Avecf et wdonnées.

Il s’agit là des conditions de Dirichlet ;

Voici l’organigramme correspondant à notre résolution :

Début

2

On note :

∀ t>0 ,∀ x∈ [ 0 , 4 ] :u(x , t)≃u (ih , jk)≃u i, j .

Avec x i=ih;h= 4N+1

; t j= jk; et i , j∈N à spécifier≤domaine parsuite .

Maintenant on passe à établir schéma par schéma.

a. Schéma Explicite   :

Discrétisation du domaine de la définition de l’équation.

Conditions initiales

Expression de la solution par chaque schéma des MDF.

Valorisation de l’erreur.

Itération Max ?

Fin

2

En se basant sur ce qui precède, exprimons les 2 dériveés présentes dans (E ) au point (ih, (j-1) k) :

{ui , j−ui , j−1

k− 4

π 2

u i−1 , j−1+ui+1 , j−1−2 ui , j−1

h2 ≃ f i, j−1

u0 , j=uN , j=0∀ i∈ [ 1 ,N−1 ] ,∀ j ≥ 1ui , 0=w ( xi )

b. Schéma Implicite   :

En se basant sur ce qui precède, exprimons la première dérivée à (i h, j k) et la deuxième à (i h, (j+1) k) :

{ui , j+1−ui , j

k− 4

π2

ui−1 , j+1+ui+1, j+1−2u i , j+1

h2 ≃ f i , j+1∀ i∈ [ 1, N−1 ] ,∀ j ≥0

u0 , j=uN , j=0 avec :∀ i∈ [ 1 , N−1 ] ,∀ j≥ 0u i ,0=w ( x i )

c. SchémadeCrank Nicolson   :

Le schéma de crank Nicolson est un cas spécifique de la Ө-Méthode où  0 ≤ Ө≤ 1. En

effet pour ce schéma Ө = 12

.

En se basant sur ce qui precède, exprimons la première dérivée à (i h, j k) ;Pour la deuxième cela diffère :α × (approximation à (i h, j k)) + (1-α) × (approximation à (i h, (j+1) k)).

¿

Après le calcul:

¿ui , j=(1−2 a )u i , j−1+au i−1 , j−1+aui+1 , j−1+k f i , j−1

Avec : 4 k¿¿¿ et i∈ [ 1, N−1 ] , ∀ j ≥01

IV. programmation

Et avec les programme suivant on resoud le probleme numeriquement :

2

1.1 Programme du schéma Explicite :

2

2

1.2 Programme du schéma Implicite :

On aui , j+1−ui , j

k− 4

π 2

ui−1 , j+1+ui+1 , j+1−2ui , j+1

h2 ≃ f i , j+1

Donc ui , j+1−ui , j−4 k

(πh)2(ui−1 , j+1+ui+1 , j+1−2 ui , j+1)≃k f i , j+1 En Posant a= 4 k

(π h)2

On a alors 

(1+2a ) ui , j+1−u i , j−a ui−1 , j+1−au i+1 , j+1≃k f i , j+1

−ui , j=k f i , j+1+a ui−1 , j+1+au i+1 , j+1−(1+2 a)u i , j+1

2

2

En posant :

−[u1 , j

.

.

.

.uN −1 , j

]=[ ]×[u1 , j+1

.

.

.

.uN−1 , j+1

]+k [f 1 , j−1

.

.

.

.f N−1 , j+1

] soit B=[ ]

B = [ ]+a[ ] = -I + aT

On utilise alors la méthode indirecte de résolution des systèmes linéaire : JACOBI, GAUSS SEIDEL, RELAXATION) A×x=b

u j=( I−aT ) u j+1−k F j+ 1

Schéma implicite à l’aide de Jacobi

2

2

I.3 Programme duθ−methode (θ=12

,Crank−Nilson)On a

ui , j+1−ui , j

k− 4

π 2 [ 12

×ui+1 , j+ui−1 , j−2 ui , j

h2 + 12

×ui+1, j+1+u i−1, j+1−2u i , j+1

h2 ]=f i , j

Et ui , j+1−ui , j−4 k

(πh )2 [ 12

(ui+1 , j+ui−1 , j−2 ui , j )+12

(ui+1 , j+1+ui−1 , j+1−2u i , j+1 )]¿k f i , j

posons4 k

(πh)2=a

ui , j+1−(1−a )ui , j−a2

ui+1 , j−a2

ui−1 , j−aui , j+1−a2

ui+1, j+1−a2

ui−1 , j+1=f i , j

(1−a ) ui , j+1−a2

u i+1 , j+1−a2

ui−1 , j+1−(1−a ) ui , j−a2

u i+1 , j−a2

ui−1 , j=k f i , j

(1−a ) ui , j+1−a2

u i+1 , j+1−a2

ui−1 , j+1=k f i , j+ (1−a )ui , j+a2

u i+1 , j+a2

ui−1 , j

2

2

[ ]× u j+1=[]×u j+k × f j

posonsC=[]et D=[]

donc on abien D ×u j+1=C ×u j+k f j

par suiteu j+1=D−1C u j+kD−1 f j

2

On utilise alors la méthode indirecte de résolution des systèmes linéaire : JACOBI, GAUSS

SEIDEL, RELAXATION) A × X=b.

A=I−D−1C

2

V. Cas de calcul   :

a. Solution Exacte   :

Notre équation : (E ) ¿

Avec maintenant pour application :

{ f (x , t )=0 ,

w ( x ,0 )=sin( π4

. x )(1+2 .cos ( π4

. x)) ,

h=0 . 2, k=0 . 04 .

2

Pour ce faire, on utilise le cour des équations aux dérivées partielles de 1ère année :

Faire de sorte de simplifier l’expression de la forme solution en l’exprimant comme étant le produit de deux fonctions indépendantes :

Nous posons : u(x, t) v(x).w(x), nous obtenons alors

∂2 u∂2 x

=∂2 v∂2 x

.w(x )=v .

∂ u∂ t

=v ( x ) . ∂ w∂ t

=v .w '

(E) v.w’=4

π 2.v ‘’.w

v} over {v} = - {{π} ^ {2}} over {4} {w '} over {w ¿   = k k une constante.

Ceci car les expressions dans chaque membre de droite et de gauche ne peuvent être en tout temps égales que si elles sont égales à un constante.

D’où :

¿

Déterminer une solution v(x) qui satisfasse les conditions aux frontières.

L’équation (1) a pour solution :

Ou bien v(x)=ax+b, si k=0.

v(x)=C1 .e+x √k .+ C2.e− x√k .si k>0.

v(x)=A.cos(x √−k .)+B.sin ¿¿. k<0

Pour ne pas tomber sur des solutions triviales, on suppose que k<0.

On a selon les conditions initiales : u(0,t)=v(0).w(t)=0,

U(4,t)=v(4).w(t)=0, ∀ t>0.

D’où A= 0, et (B=0 ousin ¿¿),

Pour ne pas tomber sur une solution triviale on prend le cas A=0 et sin ¿¿.

Ceci dit : 4 √−k=n.π

D’où vn(x)=sin( x .n . π

4) , n=1,2,3………

2

Déterminer la forme solution w(t) en conséquence des imposées sur v(x).

Avec la contrainte k=-(n .π

4)², et avec l’équation (2), on trouve :

Wn(t)= Cne−(√ 4

π 2 . n .π4 )

2

. tn=1,2,3,4……………

Exprimer la solution u(x, t) sous forme de série de Fourrier pour qu’elle satisfasse à présent à la condition initiale sur t.

On a alors la famille des solutions :

un ( x , t )=vn ( x ) . wn ( t )=Cn sin( n . π4

. x) . e−(√ 4

π 2 . n . π4 )

2

.t

,n=1,2,3…..

La solution générale ug(x, t) est la combinaison linéaire de toutes ces un(x, t) :

ug ( x , t )=∑n=1

+∞

un (x , t )=∑n=1

+∞

Cnsin ( n. π4

. x) . e−(√ 4

π2 . n . π4 )

2

.t

Fixons les coefficients Cn : u(x,0)=∑n=1

+∞

Cn sin( n . π4

. x ) Avec : w (x)=sin ( π

4. x)(1+2. cos ( π

4. x ))

Formules d’Euler pour les fonctions p=2×4 périodique :

w (x )=∑n=1

+∞

Cn sin( n . π4

. x) =>Cn=14∫

0

4

w∗( x ) .sin ( n. π4

. x) . dx

avec w* est la fonction de prolongement impair fictif entre -4< x <0, de sorte que

w∗( x ) . sin( n . π4

. x ) constitue une fonction paire.

Cn=24∫

0

4

w ( x ) .sin ( n . π4

. x) . dx

C-à-d :

Cn=24∫

0

4

sin ( π4

. x)(1+2. cos ( π4

. x)). sin( n . π4

. x) . dx

Après un calcul avec des formules trigonométriques et vérification des conditions, on arrive à la solution exacte :

2

u ( x , t )=e−t sin ( π2

x)+e−t4 sin ¿

***********************************

Pour des raisons de facilité d’utilisation, on a regroupé toutes les scripts des méthodes numériques déjà citées dans un seul programme, permettant à l’utilisateur de choisir la méthode qu’il veut.

Voici le M-file utilisé :programmefinale.m

On prend : h=0.2 , k=0.04 , pour visualiser la solution du cas de calcul proposé.

On trouve : N =19 et a= 0,4053.

Dont le code est :

2

2

2

b. Solution approchée par le schéma explicite   :

Choix : 1 dans le programme prog.m

Analyse des figures ci-dessous :Nous pouvons constater que la solution approchée suit en gros l’allure de la solution exacte mais reste, en détails, un peu loin de lasolution exacte ; la courbe d’erreur nouspermet de voir cela : en effet l’erreur est nulle sur des points en particuliers ce quipermet à lacourbe de lasolution approchée de suivre celui dela solution exacte.

2

Fig. courbe solution exacte et approchée et Erreur.

A l’aide du mesh :

c. Solution approchée par le schéma implicite   :

Choix : 2 dans le programme prog.m

Analyse des figures ci-dessous :La meme chose que la solution approchée par le schéma explicite, la solution

approchée par le schéma implicite suit l’allure de la solution exacte.

2

Comme avant avec mesh :

Fig. Courbe de la solution approchée et exacte et Courbe d’Erreur.

Fig. Courbe de la solution approchée schéma implicite par la méthode de Jacobi .

2

L’utilisation de Jacobi montre une courbe d’erreur plus importante, la courbe

s’écarte de la courbe de la solution exacte. Alors la double boucle se montre

simple et efficace :

d. Solution approchée par la méthode de Crank Nicolson   :

Choix : 3 dans le programme prog.m

Analyse des figures ci-dessous :

A l’encontre du schéma implicite et explicite, la méthode de CrankNicolson se dévie clairement de la solution exacte.En appliquant CrankNicolson par la méthode de Jacobi, la solution malgré qu’elle soit loin de la solution exacte, elle reste meilleure que CrankNicolson seul.

A l’aide de mesh :

Fig. Courbe de la solution approchée et exacte et Courbe d’Erreur.

2

Fig. Courbe de la solution approchée Crank Nicolson par la méthode de Jacobi.

e. Conclusion sur la convergence et la stabilité de ces méthodes   :

Convergence   :

E l’erreur de convergence s’exprime comme suivant : E=‖u−uh‖.

Pour le schéma explicite :

l’erreur présente un maximum après tend vers 0 d’une façon remarquable .

Pour le schéma implicite :

2

l’erreur présente un maximum après tend vers 0 d’une façon remarquable mais lente par rapport au schéma explicite.

Pour le schéma de Crank Nicolson :

L’erreur est nulle jusqu’à un certain rang,après il augmente d’une façon importante.

Stabilité :

Là on puise directement du cours de notre cher prof.

L’étude de la stabilité se résume dans l’évaluation du facteur λ tel que : λ=d .Δt

( Δ x) ².=d.

kh ²

.

Pour le schéma explicite   :

Il faut avoir : 0< λ< 12

2

On a:λ=4 k¿¿

.

Schéma stable donc.

Pour le schéma implicite   :

Il faut avoir : −1 ≤1

1+4 λ≤ 1 et on a :

11+4 λ

=0.38.

Schéma stable donc.

Pour le schéma de CrankNicolson   :

On a θ=12

, la méthode est inconditionnellement stable.

Synthèse :Le schéma explicite se montre fort avec la rapidité de convergence de l’erreur vers 0. Tandis que le schéma de CrankNicolson semble clairement diverger de la solution exacte. Le schéma implicite reste acceptable par rapport au schéma de Crank.

VI. Conclusion   : Ce projet illustre bien l’importance des méthodes numériques pour la résolution des problèmes mathématique, leur variétés, et permet de constater le peu de différences concernant les solutions proposées par chaque méthode, d’où leur efficacité. D’autre part, il nous a été très utile de travailler sur ce projet, sachant que d’une part on a pu mieux concevoir l’idée de devoir résoudre un tel problème mathématique, et d’un autre côté se familiariser davantage avec un outil important pour un élève ingénieur qu’est le Matlab, et ainsi reconnaitre son utilité.

VII. Référence :

2

WIKIPEDIA

ENCARTA

GOOGLE