Algorithme des différences
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Algorithme des différences PGCD Algorithme d'Euclide Nombres premiers entre eux Fraction irréductible PGCD de 192 et 120 PGCD de 210 et 126 PGCD de 12 et 18 PGCD de 20 et 35 Division euclidienne
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Division euclidienne. PGCD. PGCD de 12 et 18. PGCD de 20 et 35. Algorithme des différences. PGCD de 210 et 126. PGCD de 192 et 120. Algorithme d'Euclide. Fraction irréductible. Nombres premiers entre eux. Est-ce que 2 est un diviseur de 18 ?. Oui. Que signifie - PowerPoint PPT Presentation
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Algorithme des différences
PGCD
Algorithme d'Euclide
Nombres premiers entre eux
Fraction irréductible
PGCD de 192 et 120PGCD de 210 et 126
PGCD de 12 et 18 PGCD de 20 et 35
Division euclidienne
Est-ce que 2 est un diviseur de 18 ?
Que signifie "2 est un diviseur de 18" ?
Cela veut dire que si on divise18 par 2, le quotient est entieret le reste est zéro.
Oui
On dit aussi : 18 est un multiple de 2
Définition
a et d désignent deux entierstels que d 0.
On dit que d est un diviseur de a sile reste de la division
est égal à 0.euclidienne
de a par d
Dans le cas dela division euclidienne,
le dividende, le diviseur, le quotientet le reste sont des nombres entiers.
12 et 18
Diviseurs de 12 :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Diviseurs de 18 :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
Diviseurs communs à 12 et 18 :1 ; 2 ; 3 ; 6
Quel est le plus grand ? 6
On écrit PGCD (12 ; 18) = 6
On écrit PGCD (12 ; 18) = 6
Que signifie PGCD (12 ; 18) ?
Plus Grand Commun Diviseur
Parmi les diviseurs communs à deuxnombres entiers a et b, l’un deux estplus grand que les autres : on l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur à a et b et on le note PGCD (a ; b).
Chercher PGCD (20 ; 35)
Diviseurs de 20 :
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20
Diviseurs de 35 :1 ; 5 ; 7 ; 35
Diviseurs communs à 20 et 35 :1 ; 5
PGCD (20 ; 35) = 5
Chercher le PGCD va être parfoisun peu long en écrivant tous lesdiviseurs, mais il existedes méthodes plus rapides.
On appelle ces méthodesdes algorithmes.
Un algorithme est une méthode decalcul où on répète le mêmeprocédé jusqu'au résultat trouvé.
Recherche du PGCD par la méthode
des soustractions successives ou algorithme des différences
Propriété admise :
Si a et b sont deux nombres entierstels que a > b alors
PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b)
Le plus petit La différence
On soustrait les deux nombresdonnés :
Chercher le PGCD de 36 et 24
36 – 24 = 12
36Plus grand a Plus petit b a - b
24 12
PGCD (a ; b) = PGCD(b ; a – b)
Le plus petit La différence
On garde les deux plus petits 24 et 12 et on recommence ;
Recherche du PGCD de 36 et 24
36Plus grand a Plus petit b a - b
242412
1212
36Plus grand a Plus petit b a - b
2412
241212
12120
On s’arrête lorsque la différenceest nulle.
Recherche du PGCD de 36 et 24
36Plus grand a Plus petit b a - b
2412
241212
12120
Donc PGCD (36 ; 24) = 12
Recherche du PGCD de 36 et 24
Propriété Le Plus Grand CommunDiviseur à deux nombres entiers est
36Plus grand a Plus petit b a - b
2412
241212
12120
Recherche du PGCD de 36 et 24
la dernière différence non nulledans la succession des soustractions.
Recherche du PGCD de 210 et 126
Donc PGCD (210 ; 126) = 42
210Plus grand a Plus petit b a - b
1268442
126844242
8442420
Recherche du PGCD de 192 et 120
Donc PGCD (192 ; 120) = 24
192Plus grand a Plus petit b a - b
1207248
120724824
72482424
24 24 0
Au lieu de faire les calculs à la main, on peut utiliser un logiciel.
C'est un tableur.
Nous allons calculer PGCD (45;18)avec un tableur
Recherche du PGCD par la méthode des divisions successives
ou algorithme d’Euclide
Euclide d'Alexandrie
vers 325 av JC - vers 265 av JC
Propriété admise :
Si a et b sont deux nombres entierstels que a > b alors
PGCD (a ; b) = PGCD(b ; r)
Le plus petit Reste de la division euclidienne de a par b
bq
ar
Recherche du PGCD de 18 et 4
18Plus grand a Plus petit b Reste
4 2
2. Par divisions successives
On divise le plus grand nombre18 par le plus petit 4 ;
Recherche du PGCD de 18 et 4
18Plus grand a Plus petit b Reste
442
20
2. Par divisions successives
On garde le plus petit 4 et le reste 2 de la division et on recommence ;
On s’arrête lorsque le reste est nul.
Recherche du PGCD de 18 et 4
18Plus grand a Plus petit b Reste
442
20
2. Par divisions successives
Donc PGCD (18 ; 4) = 2
Propriété Le Plus Grand CommunDiviseur à deux nombres entiers est
Recherche du PGCD de 18 et 4
18Plus grand a Plus petit b Reste
442
20
2. Par divisions successives
le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes.
Recherche du PGCD de 88 et 14
Donc PGCD (88 ; 14) = 2
88Plus grand a Plus petit b Reste
144
1442
420
Fraction irréductible
Plus Grand Commun Diviseur à
Rendre irréductible la fraction
On dit qu’une fraction est irréductible lorsque
13277
On peut procéder par tâtonnement,mais il y a plus simple : trouver le
on ne peut plus la simplifier.
132 et 77.
Recherche du PGCD de 132 et 77
Méthode des divisions successivesou algorithme d’Euclide
Méthode des soustractions successivesou algorithme des différences
Recherche du PGCD de 132 et 77
Donc PGCD (132 ; 77) = 11
132Plus grand a Plus petit b a - b
775533
77552222
55223311
22 11 1111 11 0
Recherche du PGCD de 132 et 77
132Plus grand a Plus petit b Reste
775522
77552211
5522110
Donc PGCD (132 ; 77) = 11
Rendre irréductible la fraction 13277
PGCD (132 ; 77) = 11
On simplifie 13277
par
13277
=12
11
71112117
=
Propriété Lorsque l’on simplifieune fraction par
le Plus Grand Commun Diviseurà son numérateur a et son dénominateur bla fraction obtenue est irréductible.
Nombres premiers entre eux
Définition : On dit que deux nombres a et bsont premiers entre eux lorsqueleur Plus Grand Commun Diviseurest égal à 1 ; c’est à dire PGCD (a ; b) = 1
Cherchez deux nombres simplespremiers entre eux
Définition :
On dit qu’une fraction estirréductible lorsqueson numérateur a et
son dénominateur b sontpremiers entre eux.
Fin
Alexandrie
