Rés-Eq-Nonlinéaires (1)
-
Upload
ahmed-frikha -
Category
Documents
-
view
224 -
download
0
Transcript of Rés-Eq-Nonlinéaires (1)
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
1/15
Rsolution numrique desquations non linaires
Imen Kallel Kamoun
Matre de Confrences
Dpartement de Gnie CivilEcole Nationale dIngnieurs Sfax
1
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
2/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0Objectif: chercher les racines relles de la fonction relle continue
Commentrsoudreles systmes suivants ?
0232
04
023
zyx
zyx
zyx
02
01)sin()1(81
01)cos(322
ze
zyx
yzx
xy
Mthodes directes : impossibles
Mthodes itratives
Mthodes directes
Mthodes itratives
2
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
3/15
Soit une fonction f : RnR
n
continue sur un intervalleI
Drivable sur un intervalleI
Principe : trouver une mthode itrative qui converge vers la solution
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
Mthodes : Point fixe
Newton
Quasi-Newton (scante, Broyden, )
Gradient
Problmes : Convergence
Complexit 3
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
4/15
f (x)=0 lorsque n=1
Recherche par dichotomie
mthode de la scante
mthode de point fixe
mthode de Newton-Raphson
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
Aussi lorsque 2n
4
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
5/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
Thorme des valeurs intermdiaires :
Sifest une fonction continue sur [a, b], et sif (a)f (b) 0, alors il
existe au moins un point c [a, b] tel quef (c) = 0.
Si de plusfest strictement monotone sur [a, b], la racine est unique
dans [a, b].
f (x)=0 lorsque n=1
5
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
6/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Recherche par dichotomie
cb
cfbf
ca
cfaf
ccf
bacbfaf
alors
sinonsi
alors
sinonsi
solutionlaestalorssi
0)()(
0)()(
)(
20)()(
Mthode: Lente
Convergente
a
bc =(a+b)/2
f(a)
f(b)
f(c)
6
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
7/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Mthodede la scante
Mthode: Lente
Convergente
)()()(
)()(
)(
1
11
kk
kkkkk
xfxf
xxxfxx
afbf
abbfbc
a
b
f(a)
f(b)
c
f(c)
7
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
8/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Mthode du point fixe
Principe :rcrire l'quationf(x) = 0 sous une forme quivalente
Ceci nous permettra dobtenir le schma itratif
x =g (x)
Qui converge vers le point-fixe de g
s s
f (x) g (x)Zro de la fonction f
Point fixe deg
8
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
9/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Mthode du point fixe
Convergence :la condition de convergence est une condition de contraction
sur la fonctiong
Dfinition: Une applicationgdfinie de [a, b] dans [a, b] est une contraction,sil existe un nombre 0 < 1 tel que, pour tout couple de points
distincts (x1,x2) de [a, b], on ait :
|g(x1) g(x2)| |x1 x2|
Si gest drivable, la condition de contraction se ramne
9
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
10/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Vitesse de Convergence
On suppose que la fonctiongest suffisamment drivable.
Le dveloppement de Taylor au voisinage de la racinesdonne :
alorssi
La convergence est linaire
si alors
La convergence est quadratique
Mthode du point fixe
10
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
11/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Exemple: rsolution de f (x) =x2 - 2 = 0
Choix deg :
Mthode du point fixe
s0 = 1
s1 = 2
s2 = 1
s3 = 2
s4 = 1
g1
s0 = 1
s1 = 1.5000
s2 = 1.4167
s3 = 1.4142
s4 = 1.4142
s0 = 0.999
s1 = -0.0402
s2 = 49.668
s3 = 99.296
s4 = 198.57
g2 g3
|g'(s)| < 1
convergenceassure
11
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
12/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Ordre de Convergence
alors
si
Mthode du point fixe
La mthode du point fixe est dordre k
12
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
13/15
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
f (x)=0 lorsque n=1
Mthode de Newton
Principe :La mthode de Newton ou mthode de Newton-Raphson est une
mthode numrique itrative de rsolution des quations du typef(x)=0
qui repose sur la mthode du point fixe avec une fonctiongparticulire
dpendant de la drive def
Le schma numrique de la mthode de Newton est donc donn par
13
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
14/15
xf (x) e x
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
Mthode de Newton
Interprtation gomtrique
Lquation de la tangente la courbefau
point (xn,f (xn))est:
Or
Qui reprsente alors labscisse du
point dintersection de la tangente y
avec laxe (Ox).
soit
14
-
7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)
15/15
-1 3.71828183 -3.71828183
0 1 -2
0.5 0.10653066 -1.60653066
0.566311 0.00130451 -1.56761551
0.56714317 1.9648E-07 -1.56714336
0.56714329 4.4409E-15 -1.56714329
0.56714329 0 -1.56714329
xn f(xn) f(xn)
xf (x) e x
x
f '(x) e 1
n
n
xn
n 1 n x
e xx x
1 e
Rsolution numrique des Equations Non Linaires
Mthode de Newton
15