Remise à niveau 3 : FONCTIONS - JFF & des maths

____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne – DUT – Mathématiques – RAN 3 Fonctions – ExCorr – Rev2015 – page 1 sur 19

Départements tertiaires DUT

MATHEMATIQUES

________ Remise à niveau 3 : FONCTIONS ________

CORRIGES DES EXERCICES

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3.1 Mise en équation d’un problème et notion de fonction

Activité

Dans un grand cercle de diamètre 10 cm sont inscrits deux

cercles adjacents de diamètres variables (celui du cercle de

gauche est appelé x (en cm)) ; le diamètre de celui de

droite dépend de x de telle façon que la somme des deux

vaut toujours 10 cm.

1) Calculer la somme des circonférences des deux

cercles inscrits. Calculer la circonférence du grand

cercle.

� � � � � � � � �10 � �� 10

C’est la même circonférence pour le grand cercle

2) Calculer l'aire couverte par les deux cercles inscrits

(elle dépend de x, on l'appellera A(x)). Développer et

simplifier l'expression de A(x).

�� 5 � �

��⇔ ��

�

� � 5� � 25� 3) Remplir le tableau de valeurs ci-dessous, où on calcule quelques valeurs de A(x) pour quelques

valeurs de x.

x en cm 0 2 4 5 6 8 10

A(x) en cm² 78.5 53.38 40.82 39.25 40.82 53.38 78.5

4) Dans un repère (O, (Ox), (Oy)) orthogonal, on décide de représenter toutes les valeurs possibles de x

en abscisses, et toutes les valeurs correspondantes de A(x) en ordonnées. Placer dans ce repère les

points issus du tableau de valeurs, dont les coordonnées sont (x, A(x)). Relier ces points par une

courbe aussi régulière que possible.

5) Pour quelle valeur de x a-t-on A(x) minimale ? Cette valeur de x est-elle particulière pour la géométrie

du problème ? Est-ce logique ?

L’aire est minimale pour � = 5 ce qui correspond à la moitié du diamètre du grand cercle ; on aura

deux demi-cercles identiques à l’intérieur du grand cercle.

6) Par lecture graphique déterminer les valeurs de x donnant une aire A(x) de 50 cm².

Deux solutions : � = 2,4 et � = 7,6.

EXERCICES


* EX 3.1. Décoder les fonctions suivantes :

a. � �� b. � ��!"�� #�� c. � $/�� d. � ��²�� #�� e. � ��²�� !��

f. � ��²�� !"�� g. � �� ²�� !�� h. � �� !$�� !�� #�� i. � ��$/��!��

j. � ��!�� $/�� #�� k. � ��!�� #��²�� $/�� !�� l. � �$�� √��

m. � ��²�� !��#�� n. � �� ²�� #�� o. ��!(

�� p. � !#�� √��$/��

q. � )*→ ��#�� r. � ��!�� )*→ �� s. � �� ,-��#�� t. �

.-→�� ,-��$��

u. � �$��$/�� ,-�� v. ��!.

�� ,-�� w. . �

��!(/�� ,

-��!"�� $�� 0��

x. � $/��! .1

./2�� !,-

��$�� $�� y. � �� !��√��$/��#�� )*→�$��

* EX 3.2. A partir du décodage, retrouver l’expression de la fonction numérique

( )

( )

( )

( )

( )

ln ( )

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

.

2

2

12

5

9

5 3

3 2 7

13 2

15

1

11 5 4

1 1

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

x

x

x

x

x

x f x

x f x

x f x

x f x

x f x

x f x

x f x

x f x

x f x

x

−

+

−

× − +

+ × − +

× − +

+

+

+ × − +

+

→ →

→ →

→ →→ →→ → →

→ → →

→ →

→ →

→ → → → →→

( )

ln ( ) ( )

. ( )

. ( )

2

5 4

13 2 3

3 1

k

lx

x

e x

f x

x f x

x f x

× − +

+ × +

± +

→ → → →

→ → → → → →

→ → → →

* EX 3.3. A partir de quelques fonctions des deux exercices précédents, calculer des images et des

antécédents de nombres donnés (aussi bien en suivant les instructions qu’en utilisant l’expression)

* EX 3.4. * Paul et Virginie viennent d'installer un réseau de capteurs solaires sur leur toit pour

produire leur propre électricité. La puissance instantanée P fournie est directement reliée à

a. � → $�!�

b. � → �� 5)² c. � → �² − 9

d. � → −5� + 3

e. � → −2(� + 3) + 7

f. � → !�� + 2

g. � → $� + 5

h. � → √� + 1

i. � → − �67(��$)+ 4

j. � → −5ln( $��$) + 4

k. � → ; �(��)²+ 3

l. � → $,±-��


l'éclairement dû au Soleil, variable au cours de la journée. En effet, la nuit il sera pratiquement nul,

faible le matin et le soir, et plus fort en milieu de journée.

Appelons t l'heure qu'il est, variant de manière régulière de 0 h à 24 h.

On peut dire que t et P sont directement liées l'un à l'autre, mais …

Peut-on dire que P dépend de t ? oui

Peut-on dire que t dépend de P ? non

Supposons qu’on soit capable de calculer P à n’importe quelle heure ; si on nous donne une valeur de

P, sommes-nous capables d’en déduire l’heure correspondante ?

On dira que …P… est fonction de ………t…………

On notera ……P….. la puissance fournie à l'heure …t… .

Par exemple, P(15) est la puissance fournie à ………15 h………. .

* EX 3.5. Dans un grand nombre de pays, nous mesurons la température en degrés

Celsius, où au niveau de la mer l’eau gèle à 0°C et bout à 100°C. Dans la plupart des

pays anglo-saxons, la température est donnée en degrés Fahrenheit (°F) :

0°C correspond à 32°F ;

100°C correspond à 212°F.

1) Établir la relation donnant y (température en °F) en fonction de x (température en °C),

sachant que cette relation est affine : y = ax + b.

= � ∆?∆� � �$�!��$@@ � 1,8 C � 32 donc D � 1,8� � 32

2) Représenter graphiquement cette relation pour y compris entre -50°F et +250°F.

3) A quelle température les deux mesures donnent la même valeur ?

Il faut résoudre x = y � x = - 40 °C

4) Peut-on dire qu’une température donnée en °C correspond forcément à une unique mesure en °F,

et inversement ? Comment cela se traduit-il sur la figure ?

Oui, car la représentation graphique est une droite.

* EX 3.6. La fonction f associe au réel x le nombre: f(x) = (x - 5)2 + 1.

a. Calculer f(0), f(5), f(-3) �0� � 26 �5� � 1 ��3� � 65

b. Quelle est l'image de 13 ? de 3,2 ? �13� � 65 �3,2� � 4,24

c. Trouver deux réels ayant la même image. �3FG13; 0FG10; �1FG11

* EX 3.7. A la surface des océans, la pression moyenne est celle de l'atmosphère (1,033 kg.cm-2), et

cette pression augmente avec la profondeur, de 1 kg.cm-2 tous les 10 mètres.

a. Quelle est la pression à une profondeur de 10 000 m ? 1,033 + 1000 = 1001,033 kg.cm-2

b. Définir par une formule explicite la pression en fonction de la profondeur. I � 1,033 � 0,1�

* EX 3.8. Si x est la taille d’une personne, une formule peut donner une estimation satisfaisante de sa

masse théorique « idéale » M (ici : formules de Lorentz - les plus couramment utilisées) :

hommes : M = x – 100–(x –150)/4 femmes : M = x – 100 – (x – 150)/2,5

x est à donner en cm ; M est alors obtenue en kg


a. Quelle est la masse théorique obtenue pour une femme mesurant 1,70 m ? 62 kg

b. Calculez votre propre masse théorique.

c. Quelle devrait être, selon cette formule, la taille d’un homme pesant 65 kg ? � � 170�J

d. Quelle devrait être, selon cette formule, la taille d’une femme pesant 50 kg ? � � 150�J

(on peut tenter de simplifier ces formules en les ramenant à des écritures de type M = ax + b)

* EX 3.9. Un automobiliste se rend d'un point A à un point B à une vitesse variable.

Son parcours se décompose comme suit :

* Sa vitesse est V, pendant 2h ;

* Puis il roule à 30 km/h de moins pendant 1h30 ;

* Il effectue la dernière partie de son trajet à sa vitesse initiale V pendant 3h.

Il s'avère qu'il a parcouru 605 km.

a. Quelle est dans ce cas la valeur de la vitesse V ?

V = d/t donc d = Vxt ; on sait que la somme des trois distances parcourues est égale à 605 km.

Vx2 + (V-30)x1,5 + Vx3 = 605 � 6,5V = 605 + 45 � V = 100 km/h

b. Remplir un tableau de valeurs où on inscrira :

* sur la première ligne les valeurs de t : temps écoulé : 0, 2h, 3h30, 6h30

* sur la seconde ligne les valeurs de d : distance totale parcourue à ces instants.

t (h) 0 2h 3h30 6h30

d (km) 0 200 200 + 105 = 305 305 +300 = 605

c. Tracer un repère orthogonal sur lequel on portera t en abscisses et d en ordonnées, avec deux

échelles appropriées. Placer dans ce repère les points dont on a calculé les coordonnées

précédemment. Relier ces points par des segments.

d. Le graphique obtenu montre la distance parcourue par l'automobiliste au bout de tout instant

compris entre 0h et 6h30 (on appelle « parcours » ce type de représentation). A partir du

graphique, donner la distance qu’il a parcourue au bout de 1h, au bout de 3h, au bout de 5h.

Au bout de 1 h : 100 km ; au bout de 3 h : 200 +70 = 270 km ; au bout de 5 h : 305 + 150 = 455 km.

e. Calculer de manière simple la vitesse moyenne de cet automobiliste.

V = d/t = 605/6,5 = 93,07 km/h

f. Représenter sur le même graphique le parcours qu'il aurait effectué si sa vitesse avait été

constante et égale à cette vitesse moyenne.

g. On constate qu'au bout de 6h30, il serait arrivé au même point.

Comment expliquer cela par le calcul ?

La distance parcourue est la même, pendant la même durée, mais pas à la même vitesse :

100x2 + 70x1,5 + 100x3 = 605 km et 93,07x6,5 = 605 km


* EX 3.10. Entre le moment où un automobiliste voit un obstacle et le moment où sa voiture s’arrête,

il parcourt une certaine distance : c’est la distance d’arrêt. On peut calculer une valeur

approximative de cette distance sur une route sèche avec la formule : d = 0,0064 × V² + 0,5 × V

où d est la distance d’arrêt en mètres et V est la vitesse juste avant le freinage en kilomètre par heure.

a. Calculer la distance d’arrêt à 50 kilomètres par heure. d = 41 m

b. Calculer la distance d’arrêt à 90 kilomètres par heure. d = 96,84 m

c. Distance d’arrêt et vitesse sont-elles proportionnelles ? Non

3.2 Langage des fonctions et lectures

* EX 3.11. QCM 1) Compléter les points de suspension : « f est croissante sur [0 ; 10] » : a. entre b. sur c. de

2) « l'image de 5 par f est 12 » signifie : a. f(12) = 5 b. f(5) = 12 c. f(x) = 12

3) « le point M(-2 ; 6) est sur Cf » signifie : a. yM

=f(xM

) b. f(-2) = 6 c. f(6) = -2

4) « Cf coupe (Ox) au point d'abscisse 3 » signifie : a. f(x) = 3 b.f(3) = 0 c. f(0) = 3

5) « f est croissante sur [0 ; 10] » signifie : a. f(5)≤ f(6) b. f(10)≤ f(2) c. f(0)≤ f(10)

6) « 3 est le maximum de f, pour x = 5 » signifie :

a. f(x)≤ 5 pour tout x de Df b. f(x)≤ f(5) pour tout x de Df c. x≤ 5 pour tout x de Df

* EX 3.12. On a représenté graphiquement ci-dessous cinq fonctions f1, f2, f3, f4, f5. L’ensemble de

définition de chacune de ces fonctions est l’intervalle [-5 ; 5].

Indiquer, parmi ces fonctions, celles qui vérifient :

a. ( ) 0 2f x x≥ ⇔ ≤ f3 et f5 b. ( ) 0 1 2f x x≥ ⇔ − ≤ ≤ f1 f2 f3 f4 f5


* EX 3.13. Soit C la courbe représentative de la fonction : : .x

f xx + 1

֏

a. Quel est l'ensemble de définition de f ? K �L − ∞;−1N∪L � 1;�∞N b. Quels sont, parmi les points suivants, ceux qui appartiennent à C ?

( ) ( ); , ; , ; , , ; , − − −

1 1 1 1A B 2 2 C D 0 6 1 5

2 3 4 3

A : oui B : oui C : non D : oui

c. Quelle est l'abscisse du point de C d'ordonnée 2 ? � � �2

* EX 3.14. Le graphique ci-dessous montre les variations de la température de l’atmosphère en

fonction de l’altitude (ici : entre 0 km et 90 km d’altitude)

1) Marquez quelques valeurs numériques sur l’axe des températures.

La graduation commence à -100 et augmente de 10 par carreau.

2) Quel est le minimum de la fonction représentée ici ? le minimum est -90

3) Comment interpréter l’information « 200 °C » située à droite ? si on continue à augmenter l‘altitude,

on sort de l’atmosphère terrestre, la température peut atteindre jusqu’à 200 °C.

4) Dans quel(s) intervalle(s) d'altitudes la température est-elle …

a. inférieure à -60 °C ? « f(x) ≤ -60 si et seulement si x∈ [ 74 ; 87] »

b. inférieure à 0 °C ? « f(x) ≤ 0 si et seulement si x∈ [ 2,5 ; 88] »

c. comprise entre -10 °C et -60 °C ? « -60 ≤ f(x) ≤ -10 ssi x∈ [ 5 ; 47,5] ∪ [67 ; 74] ∪ [87 ; 88] »

* EX 3.15. La courbe ci-dessous représente la trajectoire d'un projectile. Pour chaque valeur de x (en

mètres), 0 ≤ x ≤ 100, h(x) est la hauteur correspondante (en mètres).

1. Lire graphiquement :

a. L'ensemble de définition de la

fonction h ; [0 ; 100]

b. Les valeurs h(0), h(25), h(50), h(75),

h(100). 0 ; 37 ; 50 ; 37 ; 0.

2. Interpréter les résultats précédents en

revenant à la situation de l'énoncé. La trajectoire est une parabole.


* EX 3.16. Parmi les expressions suivantes, lesquelles représentent des fonctions affines ?

Fonction affine (=� + C) : f ; k ; l ; m ; n.

* EX 3.17. Voici trois droites d1, d2 et d3, et deux fonctions f et g. (1 carreau = 1 unité)

Parmi les droites, trouvez les représentations de f et g. d2 pour f et d1 pour g

Quelle est la fonction associée à la troisième droite ? pour d3 la fonction est P ∶ � ↦ 0,5� � 1

* EX 3.18. Les nombres et leurs images sont-ils proportionnels pour les fonctions suivantes ?

Justifiez vos réponses.

: ; : ; :

: ; : ; :

f x x g x x h xx

j x x k x x l x x+ + −

2

2

33 3

1 2 1 2

֏ ֏ ֏

֏ ֏ ֏

Il y a proportionnalité si y/x = k (coefficient de proportionnalité)

f : non 3x²/x = 3x ; g : oui 3x/x = 3 ; h non ; j : non ; k : non ; l : oui

* EX 3.19. On donne dans le graphique ci-dessous les distances d1(t) et d2(t) qui séparent deux

véliplanchistes V1 et V2 d'une bouée témoin de passage des concurrents, en fonction du temps t.

a. Donnez les valeurs d2(1) et d1(6) ; donnez la signification de ces valeurs.

d2(1) = 20 m c’est la distance entre le véliplanchiste V2 et la bouée témoin au bout de 1 s.

d1(6) = 15 m c’est la distance qui sépare le véliplanchiste V2 et la bouée au bout de 6 s.

b. Lequel arrive le premier au niveau de la bouée ? V1

( )f x x= +21

3( )g x x= +22

13

( )h xx

= +21

3( ) ( )k x x= +2

13

( ) ( )l x x x= + −2 21 ( )m x x= −3 ( )n x = 4

:f x x2֏

:g x x− + 2֏


c. Lequel est le plus lent ? Quelle est sa vitesse ? V2, sa vitesse est 5 m/s

d. A quel moment un concurrent double-t-il l'autre ? V1 double V2 en 2 s

e. Pendant approximativement combien de temps V1 est-il plus près de la bouée que V2 ?

pendant environ 2,5 s.

* EX 3.20. Voici les expressions de trois fonctions :

( ) ( ) ( ); ;2 2 212 3 1

4u x x v x x w x x= − = − = −

et quatre paraboles P1, P2, P3, P4… Quelle est l’intruse ? C’est P1

* EX 3.21. Soit la fonction P définie sur S par :

P(�) � �² pour tout � appartenant à l'intervalle ]-∞ ; 1]

( ) 1h x

x= pour tout �appartenant à l'intervalle ]1 ; +∞[

a. Tracez la courbe représentative de la fonction Paprès avoir créé et complété un tableau de valeurs

qui prend -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 pour �.

� -2 -1 0 1 2 3 4

P�� 4 1 0 1 0,5 0,33 0,25

b. Utilisez ce graphique pour dire combien de solutions a l’équationP�� 0,5.

Deux solutions, qui sont �= 0,7 et � = 2

c. Reprendre la question b. pour les équations P�� 1 et P�� 2.

P�� 1: aucune solution et P�� 2 : une solution � = -1,4.

* EX 3.22. On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f :

1. Quelle est l'image de 1 par la fonction f ? f(1) = 5


2. Donnez les valeurs f(3) et f(-2). f(3) = -2 et f(-2) = 1

3. Quel est le domaine de définition de la fonction f ? [-2 ; 4,5]

4. Quelles sont les variations de f ? Faites une phrase détaillant les intervalles sur lesquels f est

croissante ou décroissante

f est croissante sur [-2 ; 1] puis décroissante sur [ 1 ; 3,5] et croissante sur [ 3,5 ; 4,5]

5. Quel est le maximum de la fonction ? Quel est son minimum ? 5 et -3

6. Dressez le tableau de variations de la fonction f.

� -2 1 3,5 4,5

Variations

de

5 0

1 -3

7. Résoudre graphiquement les équations suivantes : a. f(x) = 0 b. f(x) = 2 c. f(x) = 6

a. � = 2,5 et� = 4,5 b. � = -1,5 et � = 2,2 c. pas de solution

8. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : a. f(x) ≤ 0 b. f(x) ≥ 2

a. [2,5 ; 4,5] b. [-1,5 ; 2,2]

* EX 3.23. Soit la fonction :3

21

f xx

+−

֏

a. Donnez son domaine de définition. K �L − ∞; 1N∪L1;�∞N b. Dressez un tableau de valeurs de la fonction, pour x = -2 ; -1 ; 0 ; 0,5 ; 1,5 ; 2 ; 3 ; 4.

� -2 -1 0 0,5 1,5 2 3 4

�� 1 0,5 -1 -4 8 5 3,5 3

c. Représentez graphiquement la fonction f.

d. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 3. Solution � = 4

e. Résoudre par le calcul l'équation f(x) = 3.

f. Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]1 ; +∞[. Pour �’> � alors ��’� U ��

* EX 3.24. On donne, dans la même figure, les

représentations graphiques de deux fonctions f et g :

a. Donnez les deux abscisses a et b pour lesquelles on a :

f(a) = g(a) et f(b) = g(b). pour a = 0 et b = 3,1

b. Résoudre f(x) = g(x)."Résoudre..." signifie :

"Trouver la ou les valeur(s) de x tel(les) que…"

x = 0 et x = 3,1

c. Résoudre f(x) ≤ g(x), c'est à dire ici :

donnez l'intervalle contenant les valeurs de x qui vérifient f(x) ≤g(x). [ 0 ; 3,1]


* EX 3.25. Dans un même repère orthonormal, tracer les courbes des fonctionsV�(�) et F� après

avoir complété les tableaux de valeurs :

x -4 -3 -2 -1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

WX 0,02 0,05 0,14 0,37 1 1,65 2,72 4,48 7,39 12,18 20,09

x -2 -1 0 0,1 0,2 0,5 1 2 5 7

ln(x) err err err -2,3 -1,61 -0,69 0 0,69 1,61 1,95

Le graphique obtenu possède un axe de symétrie. Le tracer et en donner une équation. D � �

* EX 3.26. A l’aide de la calculatrice, trouver les valeurs des réels suivants :

= � F67(�)C � ln(F�) � � ln(2 × 3) � ln(2) + ln(3) a = 3 b = 3 c = 1,79 d = 1,79 Que constate-t-on ?

F67(Y) � = lnZF[\ � C ln(= × C) � ln(=) + ln(C)

Fait-on le même constat si on remplace 2 et 3 par d’autres réels ?

non, a et b doivent être des réels positifs.

* EX 3.27. Simplifier en utilisant les propriétés de l’exponentielle

a) eln3 = 3 b) e2ln2 = eln2² = 4 c) e-ln5 = 1/5 = 0,2 d) eln2 + ln5 = eln2 x eln5 = 2x5 = 10

e) e2ln3 + 3ln2 = 3²x23 = 9x8 = 72

* EX 3.28. Résoudre les équations suivantes (arrondir à 10-3 près) :

a) ex = 4 �� ln 4 �� 1,386 b) 3ex = 2 �� V�(2/3)�� −0,405

c) 6e2x = 1 �2� � V�(1/6)�� 0,5 × V�(1/6)�� −0,896

d) 2e5x = 4 �� $

�× V�2 �� 0,139e) 5ex+1 = 2 �� + 1 � V�(2/5)�� −1,916

f) ex-3 = 4 �� V�(4) + 3�� 4,386 g) e-0,5x = 0,4 �� −2V�(0,4)�� 1,833

* EX 3.29. Dans chaque cas, vous devez compléter le tableau de valeurs donné, en utilisant

l'expression de la fonction, puis obtenir une courbe sur calculatrice, couvrant au moins l’intervalle

envisagé par le tableau de valeurs :

a. f(x) = x² - 4

x -2 -1 0 1 2

f(x) 0 -3 -4 -3 0

b. f(x) = -x ² + 3x - 1

x -1 0 3 4 5

f(x) -5 -1 -1 -5 -11

c. f(x) = (x - 4)² - 6

x 2 3 4 5 6


f(x) -2 -5 -6 -5 -2

d. ( ) 21 3

52 2

f x x x= + −

x -4 -3 -1,5 1 3

f(x) -3 -5 -6.125 -3 4

* EX 3.30. Une entreprise produit des bracelets. Le coût de fabrication C, en €, dépend de la quantité

�de bracelets fabriqués : ](�) � 0,2�² − 6� + 50. Le prix de vente est fixé à 6 € l’unité, soit I(�) � 6�.

a) Créer un tableau de valeurs et réaliser la représentation graphique montrant l’évolution du coût

de production et du prix de vente en fonction de la quantité, sur l’intervalle [0 ; 60].

� 0 10 20 30 40 50 60

](�) 50 10 10 50 130 250 410

I(�) 0 60 120 180 240 300 360

b) Résoudre graphiquement l’équation ](�) � I(�) (arrondir les solutions à 10-1 près).

Deux solutions x = 4,5 et x = 55,5

c)Tracer la représentation graphique du bénéfice. _(�) � I(�) − ](�) � −0,2�² + 12� − 50

d) Construire le tableau de signe correspondant au bénéfice.

e) En déduire les quantités pour lesquelles l’entreprise fait des bénéfices. Entre 5 et 55

f) Déterminer la quantité pour laquelle le bénéfice est maximal. Pour 30 bracelets (x = -b/2a)

* EX 3.31. Soient les fonctions f et g définies par (�) � ��`"� FGa(�) � 0,75� − 72 sur

l’intervalle [20 ; 160].

a) Créer un tableau de valeurs pour chaque fonction, puis réaliser leur représentation graphique sur

l’intervalle [20 ; 160] (prendre un pas de 20).

� 20 40 60 80 100 120 140 160

(�) 163.35 81.675 54.45 40.84 32.67 27.23 23.33 20.42

a(�) -57 -42 -27 -12 3 18 33 48

b) Pour quelle valeur de � a-t-on (�) � a(�) ? pour x = 130 environ

c) Créer la représentation graphique de la fonction P � + a. P(�) � ��`"� + 0,75� − 72

d) Déterminer le minimum de cette fonction P . (66 ; 27)

* EX 3.32. Croissance exponentielle – diagramme logarithmique

On a vu avec la notion d’intérêts composés que le capital possédé sur un compte rémunéré augmentait

« de plus en plus vite » en fonction de la durée. Plus précisément, on est en droit d’utiliser la formule :

� 10 4,5 55,5 60

Signe du bénéfice - + -


( )n

nC C t= +0 1 dans laquelle C0 est le capital placé initialement sur le compte, t est le taux d’intérêts

périodique (par exemple : annuel), n est le nombre de périodes écoulées depuis le début (par exemple :

le nombre d’années) et à ce moment-là Cn indique le montant présent sur le compte au bout de la

durée n.

Supposons fixés le capital initial (1000 €) ainsi que le taux d’intérêts annuel (8%). Dans ces conditions, la

formule ci-dessus s’écrit : , nnC = ×1000 1 08 . Le montant présent sur le compte est uniquement

fonction de la durée.

Pour se rapprocher du langage des fonctions, notons x la durée (au lieu de n) et f (x) le montant (au lieu

de Cn) : ( ) , xf x = ×1000 1 08 . Nous avons affaire à une fonction dite exponentielle. Le nombre 1,08

étant supérieur à 1, cette fonction est strictement croissance (et on parle ici de croissance

exponentielle).

1) Obtenir sur calculatrice un tableau de valeurs puis une courbe, pour des durées comprises entre 0 et

30 ans.

2) Vérifier, grâce à la courbe ou au tableau de valeurs, que votre somme aura doublé en neuf ans.

f(0) = 1000 et f(9) = 1999

3) Une croissance exponentielle veut que, pour chaque ajout identique à la variable, un facteur

identique s’applique à la fonction. Plus clairement : si la somme a été multipliée par deux en neuf

ans, alors elle sera encore multipliée par deux en neuf ans de plus. Vérifier que la somme atteint

effectivement 4000 € au bout de 18 ans. f(18) = 3996

Que sera devenu notre montant au bout de 27 ans ? 8000 € Vérifier f(27)=7988

4) Le diagramme ci-dessous présente une échelle étrange sur l’axe vertical : c’est une échelle

logarithmique, dans laquelle les valeurs augmentent de plus en plus lentement, au rythme d’une

fonction logarithme. Ce diagramme est censé rendre plus aisée la représentation graphique d’une

fonction exponentielle. Réaliser la représentation de notre fonction sur ce diagramme, puis

commenter.

5) Représenter sur ce même diagramme l’évolution pendant 30 ans d’un montant initial de 1000 € placé

cette fois à 15% annuels.


3.3 Dérivation, étude de variations, extrema


* EX 3.33. Dériver la fonction dans les cas suivants :

a) (�) � �� − 5 ’(�) � 3/2

b) (�) � −�² + 3� − 10 ’(�) � −2� + 3c) (�) � −4�� + 2�² − 5� + 1 ’(�) � −12�² + 4� − 5d) (�) � 3 − 5�² ’(�) � −10�e) (�) � (3� − 1)(�� + 2) ’(�) � 3(�² + 2)+(3� − 1)2� � 9�² − 2� + 6f) (�) � (5� − 2)² ’(�) � 5(5� − 2)+(5� − 2)5 � 10(5� − 2)

g) b(X) � cc!dX be(X) � d

(c!dX)² j) b(X) � fg(hX + i)be(X) � hhX�i

h) b(X) � !hiX!c be(X) � !j

(iX!c)² k) b(X) � fgZ−Xi + h\be(X) � !iX!X²�h

I) b(X) � iX!chX�i be(X) � i(hX�i)!(iX!c)h(hX�i)² � k(hX�i)² l) b(X) � WiX!cbe(X) � iWiX!c

m) b(X) � Wl!Xbe(X) � −Wl!X

n) b(X) � hWm,lX + hX²be(X) � c, lWm,lX + jX

* EX 3.34. Dans un hypermarché, un samedi, le nombre de clients présents dans le magasin en

fonction de l’heure peut être déterminé par la fonction mathématique telle que :

b(X) � −d, nXh + iilX² − hhklX + cjlmmavec X qui représente les horaires d’ouverture, compris entre 10 h et 20 h

et b(X): le nombre de clients arrondi au nombre entier le plus proche.

Plus il y a de clients dans l’hypermarché, plus il faut prévoir du personnel à la caisse.

Problématique :

à quelle(s) heure(s) faut-il prévoir un maximum et un minimum de personnel à la caisse ?

1. Étude graphique avec la calculatrice :

a) Réaliser un tableau de valeurs :

� 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(�) 450 211.2 105.6 105.4 178.8 300 439.2 567.6 656.4 676.8 600

b) Réaliser la représentation graphique de la fonction f et répondre à la problématique.

2. Étude de la fonction

a) Déterminer la dérivée ’ ’(�) � −14,4�² + 450� − 3375

b) Résoudre l’équation ’(�) = 0 deux solutions 18,75 et 12,5

c) Étudier le signe de la dérivée. - + -

d) Construire le tableau de variations de la fonction

e) Répondre à la problématique. Minimum à 12h30 et maximum à 18h45

* EX 3.35. La consommation d’essence ](en litres) d’un véhicule dépend, entre autres, de sa vitesse o

(en km/h). Cette consommation est donnée par la fonction ] sur l’intervalle [40 ; 90] définie par :


p(q) � m, mjq + clmq

1. Calculer la consommation d’un véhicule roulant à 50 km/h, à 70 km/h et à 90 km/h . 6 ; 6,3 ; 7,1

2. a) Déterminer la dérivée ]’de la fonction ]. 0,06– 150/o² b) étudier le signe de ]’. ]’(50) � 0 signe - +

c) Construire le tableau de variations de la fonction ]. Décroissante puis croissante

3. À quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale ? Quelle est cette

consommation ? à 50 km/h elle est de 6 L

4. Tracer la représentation graphique de la fonction ] à la calculatrice et vérifier vitre réponse.

* EX 3.36. La centrale nucléaire du Tricastin comprend quatre réacteurs à eau pressurisée utilisant

annuellement 88 kg de combustible nucléaire chacun. Une fois retiré du réacteur, ce combustible

contient des déchets radioactifs. La masse J (en kg) de ces déchets évolue en fonction du temps

noté G, exprimé en millions d’années, selon la loi suivante : s(t) � i, jW!u,u.cmvdt 1. Calculer la masse de déchets radioactifs au moment où l’on retire le combustible du réacteur

(instant G = 0) m(0)=2,6 kg

2. Réaliser et compléter le tableau de valeurs de la fonction J sur l’intervalle [0 ; 3000] (arrondir à

10-2)

G 0 100 200 300 400 500 600 800 1000 1500 2000 2500 3000

J(G) 2.6 2.35 2.13 1.93 1.75 1.58 1.44 1.18 0.97 0.59 0.36 0.22 0.13

3. Tracer la représentation graphique de la fonction J à la calculatrice.

4. Déterminer la dérivée J’, puis indiquer le signe de cette dérivée.

J’(G) � −0,002574W−u,u.cm−dt cette dérivée est négative

5. Construire le tableau de variations de la fonction J. Décroissante

6. À l’aide du menu GRAPH de la calculatrice, estimer le temps au bout duquel la masse de déchets

radioactifs a été réduite de moitié par rapport à la masse initiale. m = 1,3 lorsque t = 700 millions

7. Retrouver cette valeur du temps G en résolvant l’équation : J(G) � 1,3. (arrondir le résultat à

l’unité). t = ln(0,5)/(-9,9.10-4 ) = 700,15

8. On évalue à environ 5 milliards d’années la durée de vie restant à notre soleil.

a) Quelle serait, à ce moment-là, la masse de déchets radioactifs ? m(5000)=0,0184 kg

b) Ces déchets peuvent-ils être complètement dégradés ? non, la fonction ex n’atteint pas 0

* EX 3.37. Soit la fonction définie sur l’intervalle [-2 ; 4] par b(X) � X − h + iW!Xi

1. Déterminer la dérivée ’de la fonction . e(�) � 1 − W!Xi

2. Résoudre l’équation ’(�) = 0. � � −2V�1 ⇔ � � 0

3. Étudier le signe de ’. Elle est négative pour x <0 et positive pour x >0

4. En déduire le tableau de variations de . Décroissante puis croissante, minimum (0 ;-1).

5. Réaliser le tableau de valeurs et la représentation graphique de la fonction sur la calculatrice et

vérifier votre tableau de variations.

* EX 3.38. Le taux d’anticorps présents dans le sang d’un jeune enfant est lié à l’âge. Depuis la

naissance jusqu’à deux ans, on considère que cette relation est donnée par :

p(t) � cit + ci − cifg(ht + c) ] : taux d’anticorps en g/L


G : l’âge du jeune enfant en années

1. Calculer le taux d’anticorps à la naissance ; puis à deux ans. C(0) = 12 C(2) = 12,65

2. On modélise le taux d’anticorps par la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 2] par :

�� = 12� + 12 − 12ln �3� + 1�

a) Réaliser le tableau de valeurs et la représentation graphique de la fonction sur la

calculatrice.(prendre un pas de 0,1) fonction décroissante puis croissante

b) Déterminer la dérivée ’ de la fonction . e�� = 12 −�`

��$

c) Résoudre l’équation ’�� = 0. x = 2/3

d) Étudier le signe de ’. Négative pour x < 2/3 puis positive pour x > 2/3

e) En déduire le tableau de variations de .

La fonction est décroissante puis croissante, avec un minimum à (0,67 ;6,82)

3. Indiquer l’âge pour lequel le taux d’anticorps est minimal (arrondir au mois) : 12*2/3 = 8 mois

4. À quel âge le jeune enfant retrouve-t-il le même taux d’anticorps qu’à sa naissance ?

vers 1,9 ans donc 1 an et 11 mois

3.4.7 Notion de primitive

EXERCICES

* EX 3.39. Déterminer une primitive de chaque fonction

a) �� = −� + 7 b) �� = 8 − 2� +$

� c) �� =

#

�+ 2��

w�� = −0,5�² + 7� − 10 w�� = 8� − �² + V�� w�� = 4V�� + 0,5�#

* EX 3.40. Pour chacune des fonctions, déterminer la primitive qui satisfait à la condition donnée :

a) �� = 2� + 3 FG w�−2� = 1 b) �� =�

�+ 3� + 5 FG w�1� =

x

�

w�� = �� + 3� + 3 w�� = 2 ln�� +�

��² + 5� − 2

* EX 3.41. Une petite entreprise fabrique des agendas. Chaque jour elle en produit entre 0 et 50

unités. Le coût marginal, en euro, de cette production est modélisé par la fonction :

]y�� = 0,3� + 4,4 où � représente le nombre d’agendas produits.

a) Le coût de production journalière ] de � agendas est une primitive du coût marginal. Sachant

que ](0) = 50 , déterminer l’expression exacte de ]��.

]�� = 0,15�� + 4,4� + 50

b) Chaque agenda étant vendu 18,50 €, vérifier que le bénéfice _ réalisé par la vente de � agendas

peut s’écrire _�� = −0,15�² + 14,1� − 60.

_�� = 18,50� − �0,15�� + 4,4� + 50� = −0,15�² + 14,1� − 50

c) Déterminer la dérivée _’ de _. _′�� = −0,3� + 14,1

d) Établir le tableau de variations de la fonction _ sur l’intervalle [0 ; 50].

Croissante puis décroissante avec un maximum à (47 ; 281,35).

e) En déduire le nombre d’agendas à fabriquer chaque jour pour obtenir un bénéfice maximal.

* EX 3.42. Lors d’une étude de marché, on étudie :

- La demande d’un produit, c’est-à-dire le prix unitaire accepté par les consommateurs (en fonction

de la quantité achetée).


- L’offre de ce même produit, c’est-à-dire le prix unitaire proposé par les distributeurs (en fonction

de la quantité vendue).

La demande est modélisée par une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6 ] par (�) � −0,2�² � 8. L’offre est modélisée par une fonction a définie sur l’intervalle [0 ; 6] par a�� 0,1�² � 0,1�. La quantité � est exprimée en milliers d’unités et le prix unitaire est exprimé en centaines d’euros.

1. a) A l’aide de la calculatrice, représenter graphiquement les fonctions et a sur l’intervalle [0 ; 6].

b) On appelle prix d’équilibre le prix unitaire p0 qui se forme sur le marché lorsque l’offre est égale à

la demande. La quantité d’équilibre q0 est la quantité associée au prix d’équilibre.

Lire graphiquement les valeurs de p0 et q0. q0 = 5 et p0 =3

2. a) On appelle surplus des consommateurs, noté Sc, l’économie réalisée par les consommateurs

prêts à payer un prix supérieur au prix d’équilibre.

Il peut être calculé à l’aide de la formule suivante : Sc = w(q0) � q0.p0 où w est la primitive de sur

l’intervalle [0 ; 6] telle que w(0) =0.

Déterminer la primitive exacte w de . w�� @,�� 8�.

Calculer la valeur de Sc. Sc = � @,�� 5� � 8 � 5 � 5 � 3 � 16,67{�|G1667€

b) On appelle surplus des producteurs Sp, le gain réalisé par les producteurs prêts à vendre à un prix

inférieur au prix d’équilibre. Il peut être calculé par la formule suivante : Sp = q0.p0 �~(q0) où ~

est la primitive de a sur l’intervalle [0 ; 6] telle que ~(0)=0.

Déterminer la primitive exacte ~ de a. . ~�� @,$� �� 0,05�² Calculer la valeur de Sp. Sp =5 � 3 � �@,$� � 5� � 0,05 � 5�� 9,58{�|G958€

* EX 3.43. Une étude de marché de la vente du kilogramme de nectarines a permis d’établir le

graphique ci-dessous des fonctions d’offre et de demande en fonction de la quantité.

La demande est modélisée par la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 15 ] par �� 0,01�² � 5. L’offre est modélisée par une fonction affine a.


La quantité � est exprimée en milliers de tonnes et le prix unitaire est exprimé en euros.

a) Déterminer graphiquement le prix d’équilibre p0 et la quantité d’équilibre q0. 10 et 4

b) Calculer le surplus des consommateurs Sc = w(q0) − q0.p0 où w est la primitive de sur

l’intervalle [0 ; 15] telle que w(0) =0.

w(�) � − 0,013 �� 5� ��Sc � �0,01

3 � 10� � 5 � 10 � 10 � 4 � 6,67€

c) Calculer le surplus des producteurs : Sp = q0.p0 �~(q0) où ~ est la primitive de a sur l’intervalle

[0 ; 15] telle que ~(0)=0.

a�� 0,3� � 1 ��~�� 0,15�� Sc � 40 � �0,3 � 10 � 1� � 36€.

Remise à niveau 3 : FONCTIONS - JFF & des maths

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