Microsoft Word - Cours math-fin.doc

LES ANNNITES1. DEFINITION ET CARACTERISTIQUES

On appelle annuits une suite de flux montaires perus ou rgls intervalles de temps gaux.Le terme annuit est habituellement rserv des priodicits annuelles. Lorsque la priode est diffrente de lanne, il est prfrable de remplacer le terme annuit par semestrialit , trimestrialit ou mensualit .Ltude des annuits consiste dterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, une date donne, dune suite de flux. Elle prend en considration la date du premier flux, la priodicit des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux.Lorsque les annuits sont gales, on parle dannuits constantes, alors que lorsque leur montant varie dune priode une autre, on parle dannuits variables.Les annuits peuvent tre perues ou verses en dbut de priode ou en fin de priode.Les annuits peuvent tre certaines lorsque leur nombre est connu lavance, alatoires ou viagres, lorsque leur nombre est inconnu au moment du contrat ou enfin perptuelles lorsque leur nombre est illimit.

2. LES ANNUITES CONSTANTES

La valeur acquise ou la valeur actuelle dune suite dannuits constantes dpend de la date de versement cest dire dbut de priode ou fin de priode.

2.1. Les annuites constantes de fin de periode

2.1.1. La valeur acquise

On appelle valeur acquise par une suite dannuits constantes de fin de priode, la somme des annuits (Vn) exprime immdiatement aprs le versement de la dernire annuit.aaaa

012n-1n

Si on note par:Vn : la valeur acquise par la suite des annuits a : lannuit constante de fin de prioden : le nombre de priodes (dannuits)i: le taux dintrt par priode de capitalisation On a alors:Vn = a + a(1+i) + a(1+i)2 + ..+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 Vn = a [ 1 + (1+i) + (1+i)2 + ..+ (1+i)n-2 + (1+i)n-1 ]

a a(1+i)

a(1+i)n-2a(1+i)n-1

Vn =

Il sagit dune suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc:1 in - 1

Vn a

1 i - 1

Vn a1 in - 1

i

Le terme

1 in - 1 i

est fourni par la table financire N3

2.1.2. La valeur acquise exprimee p periodes apres le dernier versement

aaaa

012n-1n12pVn

VnSoitp

la valeur acquise de la suite des annuits constantes de fin de priode exprime p

priodes aprs le dernier versement.

Vp V

1 i p

nn

p1 i n - 1 p

Vn ai

1 i

On peut donc crire :1 i n p - 1 i p

nVp ai

Vp a T 1 i n p - 11 i p - 1 n- Lii J

2.1.3. La valeur actuelleOn appelle valeur actuelle dune suite dannuits constantes de fin de priode, la somme des annuits actualises (V0) exprime la date origine.aaaa

a(1+i)-1a(1+i)-2

a(1+i)-n+1 a(1+i)-n

V0 =

012n-1n-2

Si on note par:V0 = la valeur actuelle par la suite des annuits a = lannuit constante de fin de prioden = le nombre de priodes (dannuits)i= le taux dintrt par priode de capitalisation

Alors:

V0 = a(1+i)-1 + a(1+i)-2 + ..+ a(1+i)-n+1 + a(1+i)-nV0 = a [ (1+i)-1 + (1+i)-2 + ..+ (1+i)-n+1 + (1+i)-n ]V0 = a (1+i)-1 [ 1+ (1+i)-1 + ..+ (1+i)-n+2 + (1+i)-n+1 ]

On a donc une suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i)-1 et comprenant n termes. La formule devient :

V0

a 1

i -1 1 - 1 i

- n1- 1 i -1

V0

1- 1 i - n

1 i - 1

1- 1 i - nV0 a i

Le terme

1- 1 i - n

i

est fourni par la table financire N4

2.1.4. La valeur actuelle exprimee p periode avant la date d'origine

aaaa

-p-2-1012n-1n

p1- 1 i - n - p

V 0 a

1 ii

0V p a

1 i - p - 1 i - n - p

i

V p a T1- 1 i - n - p1- 1 i - p 0- Lii J

2.2. Les annuites constantes de debut de periode2.2.1. La valeur acquiseSi on considre que les flux sont verss en dbut de priode, on obtient le graphique suivant: aaaa

012n-1na(1+i) a(1+i)n-2a(1+i)n-1 a(1+i)n

Vn = a(1+i) + a(1+i)2 + ..+ a(1+i)n-1 + a(1+i)nVn = a(1+i) [ 1 + (1+i) + (1+i)2 + ..+ (1+i)n-2 + (1+i)n-1 ]

Vn =

On a donc une suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc:

Vn

a 1

i 1 i - 1

n1 i - 1

2.2.3. La valeur actuelle

aaaa

012n-1n

a a(1+i)-1a(1+i)-2a(1+i)-n+1 V0 =

V0 = a + a(1+i)-1 + a(1+i)-2 + ..+ a(1+i)-n+1 V0 = a [ 1+ (1+i)-1 + (1+i)-2 + ..+ (1+i)-n+1]On a donc une suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i)-1 et comprenant n termes. La formule devient :

1- 1 i - n

V0

1- 1 i -1

V0

1 i1 i

1- 1 i - n1- 1 i -1

V a 1 - - n01 i1 ii

2.2.4. La valeur actuelle exprimee p periode avant la date d'origine

00V p

- p

- n 1 - 1 i1 i - pV p 0i1 i1p 1 i1- np

0V p i

V p a T1- 1 i1- n - p1- 1 i 1- p 0- Lii J

3. LES ANNUITES VARIABLES3.1. Les annuites quelconques3.1.1. Les annuites quelconques de fin de periode3.1.1.1. La valeur acquiseSi on note par:Vn = la valeur acquise par la suite des annuits. ap = lannuit la date p.n = le nombre de priodes (dannuits)i= le taux dintrt par priode de capitalisation

40Alors:

Vn = an + an-1(1+i) ++ a2(1+i)n-2+a1(1+i)n-1

V a 1 inpnnpp 1

3.1.1.2. La valeur actuelle

V0 = a1(1+i)-1 + a2(1+i)-2 ++ an-1(1+i)-n+1+an(1+i)-n

V L a 1 ipn0pp 1

3.1.2. Les annuites quelconques de debut de periode3.1.2.1. La valeur acquise

Vn = an (1+i) + an-1(1+i)2 ++ a2 (1+i)n-1+a1 (1+i)n

nV L anp1 inp 1p 1

3.1.2.2. La valeur actuelle

V0 = a1+ a2(1+i)-1 ++ an-1(1+i)-n+2+an(1+i)-n+1

V L a 1 ip 1n0pp 1

3.2. Les annuites en progression arithmetique3.2.1. Les annuites de fin de periode en progression arithmetique3.2.1.1. La valeur acquiseSoit une progression arithmtique dannuits de raison r reprsente par le graphique suivant:

aa+ra+2r .a+(n-2)ra+(n-1)r

0123.n-1n

nV a n - 1r a n - 2r1 i ...... a 2r 1 in3 a r 1 in2 a 1 in 1

Ou encore,

Vn [a a 1 i

.... a 1 i n 3 a 1 i n 2 a 1 i n 1]

1 in 1

ai

[ n 1 r

n 2 r 1 i

..... 2r 1 i n 3 r 1 i n 2 ]

S

Calculons SS n - 1r n - 2r 1 i ........ 2r 1 in3 r1 in2 Calculons S(1+i)S 1 i n - 1r 1 i n - 2r 1 i2 ........ 2r 1 in2 r1 in1

Calculons S(1+i)-SS 1 i S n - 1r 1 i n - 2r 1 i2 ........ 2r 1 in2 r1 in1 - n - 1r n - 2r 1 i ........ 2r 1 in3 r1 in2

S1 i S r1 in 1 r1 in 2 r1 in 3 ......... r1 i2 r1 i n 1r

r1 in 1 r1 in 2 r1 in 3 ......... r1 i2 r1 i r nr

r 1 i n 1 1 in 1

D o, S1 i S r

1 in 1 in

nr

Ou encore,

1 i 1Si r nri

r 1 in 1nr41Donc,S ii

Or,V a n

1 in 1 i S.On remplace S par son expression. On obtient:

42

Vn a

1 in 1

r 1 in 1nr

Vn Ia 1Vr 1 in 1nrAi iiiiii

Donc,

Exemple:Calculer la valeur acquise dune suite dannuits de fin de priode, en progression arithmtique dont les caractristiques sont les suivantes:a = 1 000TNDn = 5ans i = 5%r = 100TND

Solution:

On a

Vr 1in

I1V

nAiii

V100 I 1,055 11

5 100

ID' o,

V 5A

V1

0,05 IA

0,05

1

V5 = 3000 (5,5256312) - 10 000 = 16 576,8936 - 10 000V5 = 6 576,894 TND

3.2.1.2. La valeur actuelle

nOn sait que : Vn V0 1 i

nDonc: V0 Vn 1 i

V 1 i n nTa r 1 i 1

nr

0iii

LJ

Vr V 1 1 in

nr n

IiV 0A

1I

Ai I

1 1 i

i1

VVr V 1 1 i n 0 Ia nr 1I1 Ai IAi1 nri

3.2.2. Les annuites de debut de periode en progression arithmetique3.2.2.1. La valeur acquiseVn a (n 1)r(1 i) a n 2r 1 i2 ...... a 2r1 in2 a r1 in1 a1 inVn (1 i) Ta (n 1)r a n 2r 1 i ...... a 2r1 in 3 a r1 in 2 a1 in 1 LJVr T 1 in 1nr

3.2.2.V2. Lar valeur ac1tuienlle 1nr

Ia A

1 i Li

Ji

IV nA

1 (1i

i) i

(1 i)iTr

1 in 1

nr(1 i)

nOn sait que: V0 Vn 1 i

V a (1 i)

1 i n

0 iii LJ

V0 Ia I (1 i) Vr T1 1 i n Ai Li Jnri 1 i n 1

3.3. Les annuites en progression geometrique3.3.1. Les annuites de fin de periode en progression geometrique3.3.1.1. La valeur acquiseSoit une progression gomtrique dannuits de fin de priode de raison q reprsente par le graphique suivant:

01234n-2n-1n

aaqaqaq3aqn-3aqn-2aqn-1

Vn aqn 1 aqn 2 1 i ..... aq2 1 in 3 aq1 in 2 a1 in 1

V a1 i n 1 q 1 i n 2 q2 1 i n 3 ......... qn 2 1 i qn 1 n..,Suite gomtrique de 1er terme 1 in 1, de raison q 1 i 1 1 iet comprenant n termes

TV q n

Tqn 1 in

II 1

n 1 A 1 i n

V a 1 in 1

1 in

V a 1 iV qn

II 1

q 1 i

A 1 i LJ

1 i LJ

Tn 1 qn 1 in

1i

V a 1 i

q 1 i

nL

1 in J

T nnn

V a q 1 i

nL

q 1 i

1 in J

66

V a Tqn 1 in n Lq 1 i J

3.3.1.2. nLa valeur actuelle

0On sait que :

V0a1 in LTqn 1 in q 1 i Jalors

V V 1 in

3.3.2. Les annuites de debut de periode en progression geometrique3.3.2.1. La valeur acquise

V a1 i Tqn 1 in n Lq 1 i J

3.3.2.2. La valeur actuelle

a

qn 1 in

V01 in

q 1 i

Va01 in 1qn 1 in

q 1 i

EXERCICES ET PROBLEMES

Exercice 1Un particulier doit 10000 dinars, 20000 dinars et 30000 dinars respectivement dans un, deux et trois ans. Il dsire se librer de sa dette en deux versements gaux dans quatre et cinq ans. En supposant un taux de 7%, calculer le montant des versements effectuer.

Exercice 2Pour acheter crdit un appareil lectromnager cotant 499,155 dinars, on peut sadresser deux magasins. Le premier propose le mode de paiement suivant : une suite de 12 mensualits de 44,810 dinars chacune. Le second propose un rglement unique de 579 dinars la fin de la premire anne.1) Dterminer les taux dintrt pratiqus par les deux magasins.2) Quel magasin propose le meilleur mode de paiement ?

Exercice 3Un couple dsire investir. Le mari dpose 250 dinars par mois pendant 3 ans un taux dintrt annuel de 8,5% capitalis mensuellement et son pouse, 900 dinars par semestre pendant la mme dure un taux annuel de 10% capitalis semestriellement.1) Lequel des deux placements est plus avantageux que lautre ?2) Lequel des deux placements aura accumul le plus de capital ?3) Calculer le capital accumul par le couple.

Exercice 4Un employ bnficiant dune part dhritage de 100000 dinars reoit immdiatement 10000 dinars et une suite de semestrialits de 5000 dinars. Si la banque o cet hritage est dpos lui verse un intrt capitalis semestriellement au taux annuel de 1,0025%, on vous demande de dterminer :1) Le nombre dannes durant lesquels cet employ reoit des versements de 5000 dinars.2) Le montant X du versement additionnel ajout au dernier versement de 5000 dinars lui permettant de recevoir la totalit de sa part dhritage.3) Le montant Y du versement effectu six mois aprs le dernier versement de 5 000 dinars lui permettant de recevoir la totalit de sa part dhritage.

Exercice 5Le 01/09/03, une personne dcide de verser un organisme de capitalisation, des intervalles rguliers gaux une anne, des sommes constantes de montant 1000 dinars chacune au taux dintrt annuel de 10%. Le premier versement aura lieu dans une anne. La date prvue pour le dernier versement est le 01/09/2019. On vous demande de calculer le montant du capital constitu :1) A la date du dernier versement.2) A la date du premier versement.3) Au 01/09/2023, si cette personne ne retire pas son capital au 01/09/2019.4) Au 01/09/2023, si cette personne opte pour une date du dernier versement plus loigne qui devient le 01/09/2023 au lieu du 01/09/2019.

Exercice 6Afin de disposer dun capital lui permettant de financer les tudes suprieures de son fils, monsieur Z dcide de dposer tous les trois mois 90,123 dinars, dans un compte bancaire o le taux dintrt est capitalis trimestriellement. Le premier dpt est effectu la naissance de lenfant et le dernier dpt quand il est g de 18 ans.Dterminer le taux dintrt annuel sachant que le banquier informe monsieur Z que le montant du capital constitu lorsque son fils aura 18 ans slvera 10000 dinars.

Exercice 7Le directeur de la socit Alpina dcide de mettre la disposition de son reprsentant commercial une voiture de service. A cet effet, il sest trouv devant deux ventualits possibles, acheter la voiture ou la louer auprs dune agence de la place.Les conditions de la location:Un loyer de 300 dinars pay au dbut de chaque mois pendant 36 mois la suite desquels on rend la voiture sans frais additionnels.Les conditions dachat:Le prix dachat de la mme voiture est de 9500 dinars toutes taxes comprises. Lentreprise compte financer cet achat par un emprunt bancaire au taux annuel de 12 % capitalis mensuellement. Le remboursement de lemprunt se fera par 36 mensualits gales de dbut de priode. Au bout du 36e mois, la valeur de revente de la voiture est value 3 000 dinars.1) Calculer la mensualit payer la banque prteuse.2) Quelle option suggrez-vous ce directeur ?3) Que devrait tre la valeur de revente de la voiture pour que les deux options (achat ou location) squivalent ?

Exercice 8Le 01 mai de chaque anne, une personne verse 20000 dinars capitaliss 7%. Aprs avoir effectu 10 versements, elle laisse la somme acquise en banque, pendant 5 ans, au taux de 8%. Au bout des 5 annes, elle procde, le premier mai de chaque anne, 10 retraits de 20000 dinars chacun (taux dintrt annuel = 7%).1) Calculer le solde disponible immdiatement aprs le dernier retrait.2) Quelle somme constante aurait-il fallu placer pour que ce solde soit nul ?

Exercice 9Monsieur Taktouk dcide aujourdhui de se constituer une pargne lui permettant dassurer les dpenses relatives aux tudes suprieures de son fils ainsi que sa propre pension de retraite.Son fils Falfoul, g aujourdhui de 10 ans, aura besoin de 4000 dinars par an, pour assurer ses tudes suprieures qui dbuteront dans 8 ans et dureront 4 ans.Concernant sa retraite, Taktouk, g aujourdhui de 40 ans, dsire bnficier dans 20 ans dune pension annuelle gale 25 000 dinars. Monsieur Taktouk estime sa dure de vie 80 ans (dure de vie moyenne des hommes en Tunisie).En supposant que le taux dintrt est gal 10%, calculer la somme que Taktouk doit pargner annuellement (un premier montant constant durant les 8 premires annes et un deuxime montant constant durant les 12 annes restantes) pour assurer lducation de son fils et sa pension de retraite.

Exercice 10Le 01/01/N, une personne prvoit son budget pour les deux annes venir. Elle prlvera sur ses revenus perus en fin de chaque mois : dune part 160 dinars par mois pour rgler son loyer ; dautre part 400 dinars dpargne mensuelle pendant 3 mois, 600 dinars par mois les 6 mois suivants et 750 dinars mensuellement durant la dernire priode. Elle pourrait placer ses capitaux au taux dintrt annuel de 19,56%.On vous demande de calculer la valeur du loyer global et de lpargne totale :1) A la date du dernier versement.2) A la date du premier versement.3) Trois ans aprs le dernier versement.

Exercice 11Une personne effectue 10 versements de 10000 dinars chacun, tous les deux ans au taux dintrt annuel de 8,5%.On vous demande de calculer la valeur du placement global :1) A la date du dernier versement.2) Au moment du premier versement.3) Deux ans aprs le denier versement

Exercice 12Un individu de 38 ans pense se constituer une retraite personnelle par capitalisation. La phase dpargne sera constitue par 22 rglements constants, le premier intervenant la signature du contrat.La phase de retraite est constitue par des versements annuels qui dbuteront lorsque lindividu aura 60 ans. Le contrat prvoit 25 versements, le premier versement est de 15 000 dinars la premire anne, avec un taux de revalorisation de 2% par an. Le taux dintrt annuel est de 5% aussi bien pendant la phase dpargne que pendant la phase de retraite.Calculer le montant dpargne ncessaire.

Rponses :

Exercice 1 : Montant = 34 761,266 dinars.

Exercice 2 : 1) ia 1 14,98%;2) Magasin 1.

ia 2 16%.

Exercice 3 : 1) Le placement effectu par lpouse.2) Le capital accumul par le mari. 3) C = 16 261,644 dinars.

Exercice 4 : 1) 9 ans.2) X = 4 524,655 dinars.3) Y = 4 547,288 dinars.

Exercice 5 : 1) V2019 = 35 949,730 dinars.2) V2004 = 8 606,079 dinars.

3) V2023 = 52 634 dinars.4) V2023 = 57 275 dinars.

Exercice 6 : i = 4 ,418%.

Exercice 7 : 1) 309,877 dinars.2) Achat.3) 425,399 dinars.

Exercice 8 : 1) 470 118,386 dinars.2) 7 403,843 dinars.

Exercice 9 : 1er montant = 5 307, 316 dinars ; 2e montant = 4 087,699 dinars.Exercice 10 : 1) V (abonnement) = 4 581,363 ; V (pargne) = 18 849,833 dinars.2) V (abonnement) = 3 252,938 ; V (pargne) = 13 384,081 dinars.3) V (abonnement) = 7 829,832 ; V (pargne) = 32 215,526 dinars.

Exercice 11 : 1) V18= 232 024,044 dinars.2) V0= 53 431,542 dinars.3) V20= 273 144,505 dinars.

Exercice 12 : 6 694,217 dinars.

EXTRAITS DES SUJETS D'EXAMENS

EXAMEN GESTION FINANCIERE SESSION PRINCIPALE 2003/2004

ExerciceMonsieur A dsire financer lachat dun logement par un prt auprs de la Banque de lHabitat au taux de 6,625% sur une dure de vingt ans. Le prt sera rembours en mensualits constantes terme chu. En supposant que lemprunteur a une capacit de remboursement de 105 dinars par mois et que grce une pargne quil a constitu il peut payer au comptant 4300,950 dinars, quel est le prix du logement qui sera acquis par monsieur A ?

Rponse : 18 460 dinars.

TEST DE CONTROLE CONTINU GESTION FINANCIERE 2003/2004

ExerciceVous aimeriez avoir 1000000 TND dans 30 ans, au moment de prendre votre retraite.1/ Si on suppose que vous avez aujourdhui 10000 TND, quel rendement (taux dintrt) vous faudrait-il pour atteindre votre but.2/ Quel montant doit-on placer aujourdhui, si le taux de rendement serait de 13%.3/ Avant combien dannes auriez-vous du commencer le placement des 10000 TND au taux de 13% pour obtenir lchance 1000000 TND.4/ Si on suppose que vous avez aujourdhui 10000 TND, que vous placez au taux de rendement i qui augmente tous les cinq ans de 1%. Calculez i qui au bout dune dure de placement de 30 ans vous permet davoir 1000000 TND.

Rponse : 1/ i = 16,6 %2/ V0 = 25565, 0533/ n = 37 ans + 8 mois + 5 jours 4/ i = 13,59%

TROISIEME CHAPITRE

LES EMPRUNTS INDIJIISET LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES

1. LES EMPRUNTS INDIVIS1.1. DefinitionUn emprunt indivis est un emprunt ordinaire faisant lobjet dun contrat entre un prteur et un emprunteur. Il ny a quun seul prteur, il est donc indivisible, do le qualificatif indivis.Le remboursement de cet emprunt seffectue gnralement, par annuits de fin de priode. Chaque annuit est compose de deux lments:YUn remboursement dune partie du capital emprunt, appel lamortissement.YUne partie intrt calcule sur la base du taux dintrt convenu entre les deux parties et du capital restant d dpendant.

1.2. Remboursement d'un empruntLe remboursement dun emprunt dpend du mode damortissement utilis (in fine, par annuits constantes ou par amortissement constant). Dune faon gnrale le tableau damortissement se prsente comme suit :

PriodeCapital restant d dbut de priodeIntrt de la priodeAmortissementAnnuit de fin de priode

1C0I1 =C0 . im1a1 = I1+m1

2C1 = C0 m1I2 =C1 . im2a2 = I2+m2

pCp-1 = Cp-2 mp-1Ip =Cp-1 . impap = Ip+mp

n-1Cn-2 = Cn-3 mn-2In- 1 =Cn-2 . imn-1an-1 = In-1+mn-1

nCn-1 = Cn-2 mn-1In =Cn-1 . imnan = In+mn

Avec:C0 : capital restant d au dbut de la premire anne soit le montant de lemprunt. Ip : intrt de la pme priode.mp : amortissement de la pme priode. ap : annuit de la pme priode.Cp-1: capital restant d au dbut de la pme priode.

nLp 1mp C0Les amortissements servent rembourser la dette donc leur somme est gale au capital emprunt:

Aprs le paiement du nme amortissement mn, le capital restant d est gal zro donc la dette non rembourse avant le paiement de mn est gale mn cest dire Cn-1 = mn

Relation entre deux annuits successives :

ra mp p mp Cp 1 iI

mI

al

p 1 p 1 mp 1 Cp i

ap 1 - ap mp 1 - mp CP xap 1 - ap mp 1 - mp 1 i

i - Cp - 1x i

1.2.1 Remboursement in fineLe remboursement du capital dun emprunt seffectue en une seule fois, la fin du contrat. Le montant de lintrt (I) vers chaque chance, prvue par le contrat, est gal au montant emprunt multipli par le taux dintrt.

012n-1n

IIII Emprunt C0Remboursement C0

TABLEAU DAMORTISSEMENT

PriodeCapital restant d dbut de priodeIntrt de la priodeAmortissementAnnuit de fin de priode

1C0I1 = I =C0.i---a1 = I1= I

2C0I2 = I =C0.i---a2 = I2= I

pC0Ip = I =C0.i---ap = Ip= I

n-1C0In- 1 = I =C0.i---an-1 = In-1= I

nC0In = I =C0.iC0an = In+ C0 = I +C0

1.2.1 Remboursement par annuites constantes

PriodeCapital restant d dbut de priodeIntrt de la priodeAmortissementAnnuit de fin de priode

1C0I1 =C0 . im1a = I1+m1

2C1 = C0 m1I2 =C1 . im2a = I2+m2

pCp-1 = Cp-2 mp-1Ip =Cp-1 . impa = Ip+mp

n-1Cn-2 = Cn-3 mn-2In- 1 =Cn-2 . imn-1a = In-1+mn-1

nCn-1 = Cn-2 mn-1In =Cn-1 . imna = In+mn

On a, a1 = a2 = . = ap= .= an = aet, a = mn + In a = mn + Cn-1 .i a = mn + mn.i

a = mn (1+i)

1.2.1.1. Loi de succession des amortissementsOn a : ap 1 - ap mp 1 - mp 1 iEt ap+1 = ap

mp+1=mp(1+i)Alors

Daprs la relation prcdente, on aura: m2 = m1(1+i)m3 = m2(1+i) = m1(1+i) m4 = m3(1+i) = m1(1+i)3mp = m1 (1+i)p-1

On a : mn = m1(1+i)n-1 Or, a = mn(1+i)D o, a = m1(1+i)n-1 (1+i) = m1(1+i)n

a = m1(1+i)nDonc:

1.2.1.2. Relation entre CO et le premier amortissement (m1)C0 m1 m2 m3 m4 ......... mnC0 m1 m11 i m11 i2 m11 i3 ......... m11 in 1

1T2301

n 1

C m

L 1 i 1 i

1 i

......... 1 iJ

C0 m T 1 in 1 1Li J

T m C i10 L 1 in 1 J Et

1.2.1.3. Relation entre CO et l'annuite constante (a)

C0 a T1 1 i- n Li JT a C0 iL1 1 i - n JLa valeur actuelle des annuits = C0

Et,

Exemple :Le tableau damortissement dun emprunt remboursable par annuits constantes indique que les intrts pays lavant dernire anne slvent 12300 dinars et les intrts pays la dernire anne sont gaux 6300 dinars. Enfin, la diffrence entre les intrts de la 1re anne et ceux de la 2me anne slve 4061,040 dinars.Dterminer i, a, m1 puis C0.

Solution :On a In-1 = 12300 dinars = Cn-2 . i = (mn-1 +mn).i In = 6300 dinars = Cn-1. i = mn.iI1 - I2 = 4061,040 dinars = C0 . i- C1 . i = (C0 - C1 ).i = m1.iOn sait que: mn = mn-1.(1+i)

r mn

i 6 300TND

rm i 6 300TND

n V

lmn - 1mn i 12 300TND

Imn.1 i 1 mn 1 i 12 300 dinars

nrm i 6 300TND

lA

J i 12 300TND1

V

n ImlA

T1 1 iL

1 1

1 1 i 1

12 300

12 300 6 300 IV1 1 i 11 1 i 1 12 300 1A6 300 1 0,952380952 i 0,05 1 ii = 5%

mn .i = 6300 mn = 126 000 dinarsa = mn .(1+i) = 126000 (1 + 0,05) a = 132300 dinars I1 - I2 = 4061,040 = C0 . i- C1 . i = (C0 - C1 ).i = m1.i

m 1

I I

12i

4 061,0400,05

132 300 - 81 220,800

1a m1 C0 i

a mi

0,05

C0 = 1021584 dinars

1.2.1.4. Expression de la dette amortie et non amortie apres le versement de la peme annuiteAprs le paiement de la pme annuit, la partie de lemprunt qui a t rembourse slve lasomme des p premiers amortissements: Rp Rp = m1 + m2 + . +mp

p1T12

p 1

R m

L 1 i 1 i

........ 1 iJ

T 1 ip 1

i

R m

. Or, m C

p1LiJ

10 1 in 1

Tp1

Alors, R

i 1 i

Rp C0 1 ip 11 i 1n C

pDonc

0 1 in 1LiJ

La dette non amortie est gale C0 - Rp

1.2.2. Remboursement d'un emprunt par amortissements constantsSoit: C0: le montant de lemprunt n : le nombre d annuitsm : amortissement constant

m C0ln

Donc, les annuits ne sont pas constantes

JIp Cp1

i

PriodeCapital restant d dbut de priodeIntrt de la priodeAmortissementAnnuit de fin de priode

1C0I1 =C0 . ima1 = I1+m

2C1 = C0 m1I2 =C1 . ima2 = I2+m

pCp-1 = Cp-2 mp-1Ip =Cp-1 . imap = Ip+m

n-1Cn-2 = Cn-3 mn-2In- 1 =Cn-2 . iman-1 = In-1+m

nCn-1 = Cn-2 mn-1In =Cn-1 . iman = In+m

1.2.2.1. Loi de succession des annuites

On a :

ap 1 - ap mp 1 - mp 1 i

or donc

mp 1

C

pm0 n

ap 1pC a0 in=> On remarque que les annuits sont en progression

arithmtique de raison

C

VnI I A

i11

Exemple :Un emprunt indivis contract au taux annuel i est remboursable par 5 annuits: a1, a2, a3, a4 , a5 .Les amortissements successifs m1 ,m2 ,m3 ,m4 et m5 forment une progression gomtrique de raison (1+k), k tant diffrent de i.1) Sachant que: Les intrts de la 2me anne I2 = 102102 dinars Les intrts de la 4me anne I4 = 55902 dinars. le 2me amortissement m2 = 440000 dinars.Calculer i2) Dterminer le montant de lemprunt et dresser le tableau damortissement.

Solution

On a I2 = 102102 = C1 . i I4 = 55 902 = C3 . i m2 = 440 000

I2 = C1 . i = (C0 - m1 ).i = (m1+ m2 + m3 + m4 + m5 - m1).i= (m2 + m3 + m4 + m5).i

I4 = C3 . i = [C0 - (m1 + m2 + m3 )].i= (m1+ m2 + m3 + m4 + m5 - m1 - m2 - m3 ).i = (m4 + m5).i

D o, I2 = (m2 + m3 + m4 + m5).i =102102(1) I4 = (m4 + m5).i = 55902(2)

(1) - (2) => (m2 + m3).i = 102102 - 55902 = 46200 (3)m4 m5 i 55902

(2)/(3) =>

m2 m3

i

46200

1,21

m4 m4 1 k

m4 1 1 k

m4

m2 m2

1 k

1,21

m2 1 1 k

1,21

1,21m2

42Or, m m 1 k2

m 4 m2

m 1 k2

2m2

1,21

1 k2

1,21

1,12

k 10%

A partir de (3), on a:(m2 + m3).i = 46 200 i 46 200

i 46 200 m2 m3

440 000 440 0001,1

0,05

Donc i =5%

nCm m m 1 k m

2 m

3 m

2)0 Li i 1

11

11 k

11 k

11

k4

C0 m1

1 k5 1ork

m 11 k

440000

1,10

400 000

C0 400 000

1,15 1

0,1

2 442 040

C0 = 2442040 dinars

Le tableau damortissement de cet emprunt se prsente comme suit:

PriodeCapital restant duAmortissementAnnuitIntrt

12442040400000122102522102

22042040440000102102542102

3160204048400080102564102

4111804053240055902588302

558564058564029282614929

2. LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES2.1. DefinitionLorsque le montant de lemprunt est trs lev, lemprunteur est oblig de sadresser plusieurs prteurs appels obligataires ou souscripteurs . En effet, le montant de lemprunt est divis en parts gales ngociables appeles obligations.En dehors de certains cas particuliers, lobligation donne son dtenteur le droit de percevoir un intrt annuel (coupon) et dtre rembours de son titre lchance.Les principes mathmatiques sont identiques ceux des emprunts indivis sauf que le capital emprunt est rembours diffrents prteurs. Donc, pour constituer un capital de nominal C0, lemprunteur met N obligations gales dun montant VN. On aura:

C0 = VN * N.

2.2. Les principales caracteristiques d'une obligationLes obligations sont caractrises par les lments suivants:Y La valeur nominale (VN): Cest la valeur faciale de lobligation. Elle est unique pour toutes les obligations dun mme emprunt. Elle constitue le montant partir duquel est tabli le tableau damortissement et la base de calcul des intrts.Y La valeur dmission (VE): Cest la somme effectivement paye par lobligataire pour lachat dune obligation. Ce prix peut tre diffrent du nominal. Lorsquil est gal au nominal, on dit que lobligation est mise au pair , sil en est infrieur, on dit que lobligation est au dessous du pair alors que sil en est suprieur, on dit que lmission est au dessus du pair . La diffrence entre la valeur dmission et la valeur nominale est appele prime dmission.Y La valeur de remboursement (VR): Cest la somme verse par lemprunteur au moment du remboursement de lobligation. Cette somme peut tre gale la valeur nominale, on parle dans ce cas dun remboursement au pair , ou suprieure la valeur nominale et on parle alors dun remboursement au dessus du pair . La diffrence entre la valeur de remboursement et la valeur dmission est appele prime de remboursement.Le mode de remboursement peut tre: En bloc ou in fine: tous les titres sont rembourss en une seule fois lchance. Par amortissement constant: un mme nombre dobligations tires au sort est rembours chaque anne. Par annuits sensiblement constantes: les obligations amortir chaque anne sont galement tires au sort. Les annuits ne sont pas strictement constantes parce que lamortissement doit concerner un nombre entier dobligations.Y Le taux nominal (i) : Cest la rmunration de lobligation. On lappelle aussi taux facial. Appliqu la valeur nominale, il permet de calculer le montant des intrts (coupon).Y La date de souscription : Cest la date de rglement de lachat de lobligation par le souscripteur.Y La date de jouissance : Cest la date partir de laquelle les intrts commencent courir.Y Le coupon (c): cest le montant des intrts servis chaque chance, pour chaque obligation. On a : c = VN * i.

2.3. Remboursement d'un emprunt obligataireSoit: N: nombre des obligations mises. VE: prix dmission de lobligation. VN: valeur nominale de lobligation. VR: valeur de remboursement de lobligation. i : taux du coupon. c: coupon = VN * i. N1, N2Nn : nombre dobligation restant en circulation aprs le 1er, 2e,ne tirage. (Nn = 0). m1, m2mn : nombre de titres amortis au 1er, 2e,ne tirage. a1, a2an : montant de lannuit relative au 1er, 2e,ne tirage.

PriodeDette en dbut de priodeIntrtsAmortis.AnnuitsNombre de titres en circulation

1C0 = N * VNN * cm1 * VRa1 = N*c+m1*VRN1 = N - m1

2C1 = N1 * VNN1 * cm2 * VRa2 = N1*c+ m2*VRN2 = N1 m2

pCp-1 = Np-1 * VNNp-1 * cmp * VRap = Np-1*c+ mp*VRNp = Np-1 mp

n-1Cn-2 = Nn-2 * VNNn-2 * cmn-1*VRan-1= Nn-2*c+mn-1*VRNn-1 = Nn-2 mn-1

nCn-1 = Nn-1 * VNNn-1 *cmn * VRan = Nn-1*c+ mn*VRNn = Nn-1 mn

Nn = Nn-1 mn = 0 Nn-1 = mnOr an = Nn-1 * c + mn* VR = mn * c + mn* VR = mn * (c + VR) an = mn * (c + VR)

2.3.1. Relation entre les annuites et les amortissementsap+1= Np * c+ mp+1 * VR ap+1 = (Np-1 - mp) * c+ mp+1 * VR Etap = Np-1 * c + mp * VR

ap+1 - ap = (Np-1 - mp) * C+ mp+1 * VR - Np-1 * c mp * VR= mp+1 * VR mp * c - mp * VR= mp+1 * VR - mp * (c +VR)V c

Do

ap1 ap mp1VR VRmp II V

111

A RPosons, r: le taux dintrt, qui appliqu la valeur de remboursement, nous donne le

coupon:

r R

ap 1 ap mp 1 *VR VR * mp * r 1On aura alors,

2.4. Remboursement d'un emprunt obligataire par annuites constantes2.4.1. Loi de succession des amortissementsOn a a1 = a2 = .= an = a

VVOr ap 1 ap mp 1VR VRmp 1 r

Do

mp 1

R mp

R 1 r

Donc mp 1 mp 1 r

Les amortissements sont en progression gomtrique de raison (1+r).

2.4.2. Relation entre le nombre d'obligations et l'annuite (n) constante

On peut dmontrer que a N. VR

. r 1- 1 rn

2.5. Remboursement d'un emprunt obligataire par amortissements constantsComme pour lemprunt indivis, les annuits sont en progression arithmtique de raison

10. iVC IAn

EXERCICES ET PROBLEMES

Exercice 1Un prt de 70442,910 dinars est consenti au taux dintrt annuel de 3%. Il est amortissable par 24 annuits de fin de priode telles que chacune delles est gale la prcdente majore de 5%. Lamortissement de la 19e anne slve 4720,152 dinars.1) Etablir la relation qui lie le capital emprunt et les annuits. En dduire le montant de la premire annuit.2) Etablir la relation qui lie les amortissements successifs.3) Construire la 1re, la 18e, la 19e et la 24e ligne du tableau damortissement.

Exercice 2Une socit de crdit prte une somme dargent remboursable chaque fin danne en 20 annuits constantes tel que le produit du premier et du troisime amortissement soit gal 2241613,400 dinars et que le produit du 5e amortissement par le 6e soit gal 5064949,200 dinars.1) Calculer :a) Le taux dintrt.b) Le premier amortissement.c) Lannuit.d) La somme emprunte (arrondir lunit suprieure).e) La dette amortie et non amortie aprs le paiement de la 8e annuit.2) Etablir les 12e et 13e lignes du tableau damortissement.

Exercice 3Une entreprise sadresse une banque pour emprunter 110410 dinars. La banque lui propose un remboursement au moyen dune srie de 12 annuits constantes de fin de priode aux taux de 8% les 4 premires annes, 9% les 4 annes suivantes et 10% les 4 dernires annes.1) Calculer le montant de lannuit.2) Dterminer le taux effectif annuel dintrt de cet emprunt auprs de la banque.3) Etablir le tableau damortissement de cet emprunt.

Exercice 4Une personne dsire emprunter 60000 dinars, sadresse trois organismes financiers qui lui proposent trois modalits de remboursement diffrentes :Organisme 1 : versement dune annuit constante (a) pendant 8 ans au taux de 8%. Organisme 2 : versement dune somme constante (b) tous les deux ans pendant 8 ans, comprenant une part de remboursement et des intrts calculs au taux annuel de 8%.Organisme 3 : Versement de 8 annuits comprenant dune part un huitime du capital emprunt et dautre part des intrts calculs au taux i sur la base du capital restant du.

1) Dterminer le montant de lannuit a verser la suite dun emprunt auprs de lorganisme 1.2) Dterminer le montant b verser si lemprunt est contract auprs de lorganisme 2.3) Dterminer le taux dintrt i pratiqu par lorganisme 3, sachant que la premire annuit dpasse la dernire de 3937,500 dinars.

Exercice 5Montrer que la loi de succession des amortissements relatifs au remboursement dun emprunt obligataire par annuits constantes est dfinie par la relation suivante :

Tels que :mp : amortissement de la priode p ; mp1 : amortissement de la priode p+1 et r : taux effectif.

mp1

mp

1 r

Que devient lgalit si on suppose en outre, un remboursement au paire ?

Exercice 6Un emprunt obligataire est mis en juin 1996 aux conditions suivantes: Valeur nominale: 5000 dinars. Prix dmission: 4975 dinars. Taux nominal: 7 %. Dure totale: 8 ans (remboursement in fine). Date de jouissance: 15 juin 1996.1) Calculer le taux actuariel brut offert par lemprunt.2) Le 16 juin 1998, immdiatement aprs le dtachement du coupon, le taux du march est de 10 %. Quelle est cette date la valeur de lobligation ? Mme question si le taux du march passe 5 %. Que peut-on conclure ?

Exercice 7On considre un emprunt obligataire de 500000 dinars dont les caractristiques sont les suivantes : Valeur nominale dune obligation = 100 dinars. Valeur de remboursement = 125 dinars. Taux dintrt = 10%. Dure de lemprunt = 20 ans. Remboursement par amortissements constants.1) Etablir les 1re, 2e et 20e lignes du tableau damortissement de cet emprunt.2) Si aprs 17 ans, on envisage un remboursement par anticipation, quel est le montant S payer y compris la 17e annuit ?

Exercice 8Une entreprise a mis un emprunt obligataire dont un extrait du tableau damortissement est donn ci- dessous :

Nombre dobligationsAmortissement (remboursement au pair)IntrtsAnnuits sensiblement constantes

En circulationAmorties

1

1096

567000

496416

2

3

4

5

6

71711

8

1) Dterminer :a) Le taux dintrt i.b) La valeur nominale dune obligation. Arrondir le rsultat lunit infrieure.c) Le nombre de titres en circulation au dbut de la 6e anne.d) Le nombre dobligations mises.e) La dure de lemprunt.f) La valeur de la 1re, de la 4e et de la 8e annuit.2) Complter le tableau damortissement.

Rponses :

Exercice 1 : 1) C0 29,32677327a1; a1 2 402 dinars.2) mp1 1,03mp 0,05ap .3)Priodecapital restant duIntrt de la priodeAmortissementAnnuit

170 442,9102 113,287288,7132 402,000

1839 666,9981 190,0104 315,4185 505,428

1935 351,5801 060,5474 720,1525 780,699

247 162,914214,8877 162,9137 377,800

Exercice 2 : 1) a) i = 12,35%b) m1 = 1 332,623 dinars.c) a = 13 682,607 dinars.d) C0 = 100 000 dinars.e) R8 = 16 601,629 dinars; C0 - R8 = 83 398,371 dinars.

Priodecapital restant duIntrt de la priodeAmortissement

121371 944,52667 147,0688 885,1498 292,6634 797,4585 389,944

Exercice 3 : 1) a = 15 034,021 dinars.2) i = 8,5057%3)Priodecapital restant duIntrt de la priodeAmortissementAnnuit constante

1110 410,0008 832,8006 201,22115 034,021

2104 208,7798 336,7026 697,31915 034,021

397 511,4607 800,9177 233,10415 034,021

490 278,3567 222,2687 811,75315 034,021

582 466,6047 421,9947 612,02715 034,021

674 854,5776 736,9128 297,10915 034,021

766 557,4685 990,1729 043,84915 034,021

857 513,6195 176,2269 857,79515 034,021

947 655,8244 765,58210 268,43915 034,021

1037 387,3853 738,73911 295,28215 034,021

1126 092,1032 609,21012 424,81115 034,021

1213 667,2921 366,72913 667,29215 034,021

Exercice 4 : 1) a = 10 440,885 dinars.2) b = 21 717,042 dinars.3) I = 7,5%.

Exercice 5 : 1) Voir paragraphe 2.4.

Exercice 6 : 1) i = 7,084%2) V (i=10%) = 4 346,710 dinars; V (i=5%) = 5 507, 569 dinars.

Exercice 7 : 1)PriodeDette en dbutde priodeIntrtAmortissementconstantAnnuitNombre de titresen circulation

1500 00050 00031 25081 2504 750

2475 00047 50031 25078 7504 500

2025 0002 50031 25033 7500

2) S = 131 792,825 dinars.

Exercice 8 : 1) a) i = 16%b) VN = 600 dinars.c) N5 = 5 171 obligations.d) N = 10 000 obligations.e) n = 8 ans.f)a1 = 1 381 200 dinars; a4 = 1 381 248 dinars et a8 = 1 381 560 dinars.

2)

Nombre d'obligationsAmortissement (remb, au pair)lntertsAnnuites sensiblement constantes

En circulationAmorties

110 000702421 200960 0001 381 200

29 298816489 600892 6081 382 208

38 482944567 000814 2721 381 272

47 5381096657 600723 6481 381 248

56 4421271762 600618 4321 381 032

65 1711475885 000496 4161 381 416

73 69617111 026 600354 8161 381 416

81 98519851 191 000190 5601 381 560

EXTRAITS DES SUJETS D'EXAMENS

EXAMEN GESTION FINANCIERE DEUXIEME SESSION 2003/2004

ExerciceLe 12 juin N, une entreprise a contract un emprunt de 100000 dinars, remboursable par 12 annuits constantes de fin de priode. Le taux dintrt annuel est gal 13,2%. Au cours de cette priode, le taux dintrt ayant diminu, lentreprise envisage de rembourser cet emprunt par anticipation. La date de remboursement par anticipation est fixe au 12 juin N+4. A cette date, lentreprise versera : La quatrime annuit ; Le remboursement du capital restant du cette date.Pour disposer du montant ncessaire lui permettant ce remboursement par anticipation du capital restant du aprs le paiement de la quatrime annuit, lentreprise contracte, le 12 juin N+4 un nouvel emprunt gal la somme rembourser par anticipation, au taux dintrt annuel gal 11%. Cet emprunt est remboursable sur 8 ans par amortissements constants. La premire annuit tant verse le 12 juin N+5.Travail faire :1) Dterminer le montant verser le 12 juin N+4.2) Etablir les 3 dernires lignes du tableau damortissement du second emprunt.3) Est-ce que la dcision de remboursement par anticipation est opportune ?

Rponse :1) Montant verser le 12/06/N+4 = 98 318,901 dinars. 2)PriodeCapital restant duAmortissementIntrtAnnuit

630 475,39110 158,4603 352,29313 510,753

720 316,92710 158,4602 234,86212 393,322

810 158,46010 158,4601 117,43111 275,891

3) Oui.

67